Дисципліна: Вища математика
Тема: Матриці та визначники
Поняття матриці.При вивченні питань, пов'язаних з дією над векторами, а також при вивченні систем лінійних рівнянь доводиться мати справу з таблицями з чисел, які називаються матрицями.
Визначення. Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить
Числа
Для короткого позначення матриці може бути використана і одна буква, наприклад,
Числа
Для квадратної матриці вводиться поняття головної та побічної діагоналі: головна діагональ йде з верхнього лівого кута в нижній правий; побічна - з верхнього правого в нижній лівий.
Ранг матриці. Еквівалентні матриці.
Дана прямокутна матриця:
Виділимо в цій матриці k довільних рядків і k довільних стовпців (k Ј m, k Ј n).
Визначення. Визначник k-го порядку, складений з елементів матриці A, розташованих на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k-го порядку матриці A. Матриця A має C k m * C k n миноров k-го порядку.
Визначення. Розглянемо всілякі мінори матриці A, відмінні від нуля. Рангом матриці A називається найбільший порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці. Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то ранг цієї матриці приймають рівним нулю.
Визначення. Всякий відмінний від нуля мінор матриці, порядок якого дорівнює рангу цієї матриці, називається базисним мінором матриці.
Ранг матриці A будемо позначати через r (A). Якщо r (A) = r (B), то матриці A і B називаються еквівалентними.
Корисно мати на увазі, що ранг матриці не змінюється від елементарних перетворень. Під елементарними перетвореннями розуміються:
1) заміна рядків стовпцями, а стовпців відповідними строками;
2) перестановка рядків матриці;
3) викреслення рядка, всі елементи якої дорівнюють нулю;
4) множення будь-якого рядка на число, відмінне від нуля;
5) додаток до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка.
Дії над матрицями.
Визначення. Дві матриця називаються рівними, якщо вони мають однакові порядки і всі їх відповідні елементи збігаються.
Визначення. Сумою двох матриць
На листі ця дія може бути записано так:
Визначення. Твором матриці
Множення матриці на число може бути записано:
Ця операція має такі властивості: сполучним щодо числового множника
Після перших двох дій необхідно відзначити, що віднімання матриць проводиться аналогічно складанню, а розподіл матриці на число може бути визначене як множення на зворотне число.
Визначення. Твором матриці
Записується цю дію так
Твір матриць
Серед квадратних матриць необхідно виділити важливий клас діагональних матриць.
Визначення. Діагональної називається квадратна матриця, всі елементи якої, розташовані поза головної діагоналі, дорівнюють 0:
У тому випадку, якщо
Серед діагональних матриць з рівними один одному елементами особливе місце займають дві матриці: одинична і нульова. У одиничної матриці
Як було показано
Поняття визначника.
Вище було показано, що матриця - це прямокутна таблиця, складена з чисел. Особливе місце серед матриць займають квадратні матриці. Розглянемо довільну квадратну матрицю порядку
Виявляється, що з такою матрицею завжди можна зв'язати цілком певну чисельну характеристику.
Визначення. Чисельна характеристика квадратної матриці називається її визначником.
Розглянемо матрицю першого порядку
Визначення. Чисельної характеристики матриці першого порядку, тобто визначником першого порядку, називається величина її елемента
Позначається визначник одним із символів
Розглянемо матрицю другого порядку
Визначення. Визначником другого порядку, відповідним матриці другого порядку, називається число, рівне
Позначається визначник одним із символів
Очевидно, що для складання визначника другого порядку, необхідно знайти різницю твори елементів, що стоять на головній діагоналі матриці, і твори елементів, що стоять на побічної діагоналі цієї матриці.
Оскільки одна з форм позначення визначника і позначення матриці мають багато спільного (записується таблиця з чисел), то так само, як і в матриці, говорять про стовпцях, рядках і елементах визначника.
Після того як розглянуті визначники 1-го і 2-го порядків, можна перейти до поняття визначника будь-якого порядку. Але перед цим введемо поняття мінору.
Визначення. Мінором будь-якого елементу
Зазвичай мінор елемента
Визначення. Визначником порядку
Позначається визначник одним із символів
(3.1 3) |
У наведеному правилі обчислення визначника фігурує лише перший рядок. Виникає питання, а чи не можна обчислити визначник, використовуючи елементи інших рядків?
Теорема. Який би не був номер рядка
звана розкладанням цього визначника по
Неважко помітити, що в цьому формулюванні ступінь за (-1) дорівнює сумі номерів рядка та стовпця, на перетині яких стоїть елемент
Доведемо цю теорему для
Отримане вираження збігається з тим, яке було надане у визначенні, отже, для визначника 2-го порядку теорема доведена.
Для довільного
Отже, показано, що визначник може бути розкладений по будь-якому рядку. Виникає питання, а чи не можна зробити те ж саме, використавши довільний стовпець.
Теорема. Який би не був номер стовпця
Доведемо теорему для
Цей вираз дорівнює величині визначника, введеної за визначенням.
Отже, на підставі теорем можна сказати, що для обчислення визначника
На закінчення введемо ще одне визначення.
Визначення. Алгебраїчним доповненням даного елемента
Значить, алгебраїчне доповнення відрізняється від відповідного мінору тільки лише знаком. Тепер величину визначника можна обчислити за допомогою формул:
Література
1. Лобоцький Н.Л. Основи вищої математики. Мінськ, "Вища школа", 1973.2. Мінорскій В.П. Збірник задач з вищої математики.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Короткий курс вищої математики. М., "Наука", 1986.
4. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М., "Вища школа" вид. 5, 1977.
5. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей і математичній статистиці. М., "Вища школа" ізд.2.
6. Баврін І.І. Вища математика - 1980 р. 3
7. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричні обчислення. - М.: Світ, 1999.
8. Беллмана Р. Введення в теорію матриць. - М.: Світ, 1969.
9. Гантмахер Ф.Р. Теорія матриць (2-е видання). - М.: Наука, 1966.
10. Ланкастер П. Теорія матриць. - М.: Наука, 1973.
11. Соколов Н.П. Просторові матриці та їх застосування. - М.: ГІФМЛ, 1960.