Контрольна робота на тему:
«Матриці, дії з ними»
Історична довідка
Поняття Матриця (у математиці) було введено в роботах У. Гамільтона і А. Келі в середині 19 століття. Основи теорії створені К. Вейерштрасом і Ф. Фробеніуса (2-я половина 19 століття і початок 20 століття). І.А. Лаппо-Данилевський розробив теорію аналітичних функцій від багатьох матричних аргументів і застосував цю теорію до дослідження систем диференціальних рівнянь з аналітичними коефіцієнтами. Матричні позначення набули поширення в сучасній математиці і її додатках. Обчислення Матриця (у математиці) розвивається в напрямку побудови ефективних алгоритмів для чисельного вирішення основних завдань.
Розкриття теми
Поняття про матрицю
Матриця - безліч чисел, що утворюють прямокутну таблицю, яка містить m-рядків і n-стовпців. Для позначення матриці використовується напис:
a ij, I - номер рядка, j - номер стовпця.
Елементи матриці, що стоять на діагоналі, що йдуть з верхнього лівого кута називають головною діагоналлю, іншу діагональ називають побічної.
приклад 1.
Елементи головної діагоналі: 1,6,5. Побічної діагоналі: 3,6,3. (Приклад 1)
приклад 2.
Якщо кількість рядків m матриці не дорівнює кількості стовпців n, то матриця називається прямокутної (приклад 2).
Якщо кількість стовпців матриці збігаються з кількістю рядків, то матриця називається квадратної (приклад 1).
Кількість рядків або стовпців у квадратної матриці називаються її порядком.
Якщо всі елементи квадратної матриці, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця називається діагональною (приклад 3).
прімер3
Якщо всі числа головної діагоналі дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною (приклад 4).
приклад 4
Якщо в прямокутній матриці m * n m = 1, то виходить матриця-рядок (приклад 5).
x T = (2 3 5). приклад 5.
Якщо n = 1, то виходить матриця-стовпець (приклад 6).
приклад 6.
Матриці-рядки матриці-стовпці називаються векторами.
Властивості матриць:
A + (B + C) = (A + B) + C
A + B = B + A
A (BC) = (AB) C
A (B + C) = AB + AC
(B + C) A = BA + CA
(AT) T = A
(A * B) T = BT * AT
Дії з матрицями
Додавання матриць
Матриці однакового розміру можна складати.
Сумою двох таких матриць А і В називається матриця С, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць А і В. Символічно будемо записувати так: А + В = С.
Приклад.
Легко бачити, що складання матриць підпорядковується переместительному і сполучний закон:
А + В = В + А
(А + В) + С = А + (В + С).
Нульова матриця при складанні матриць виконує роль звичайного нуля при додаванні чисел: А +0 = А.
Віднімання матриць.
Різницею двох матриць А і В однакового розміру називається матриця С, така, що
З + В = А
З цього визначення випливає, що елементи матриці С рівні різниці відповідних елементів матриць А і В.
Позначається різниця матриць А і В так: С = А - В.
Приклад.
3. Множення матриць
Розглянемо правило множення двох квадратних матриць другого порядку.
Твором матриці А на матрицю В називається матриця С = АВ.
Правила множення прямокутних матриць:
Множення матриці А на матрицю В має сенс у тому випадку, коли число стовпців матриці А збігається з числом рядків у матриці В.
В результаті множення двох прямокутних матриць виходить матриця, що містить стільки рядків, скільки рядків було в першій матриці і стільки стовпців, скільки стовпців було у другій матриці.
4. Множення матриці на число
При множенні матриці A на число a всі числа, які становлять матрицю A, множаться на число a. Наприклад, помножимо матрицю на число 2. Отримаємо
, Тобто при множенні матриці на число множник «вноситься» під знак матриці.
Транспонування матриці
Транспонована матриця - матриця A Т, отримана з вихідної матриці A заміною рядків на стовпці.
Формально, транспонована матриця для матриці A розмірів m * n - матриця A T розмірів n * m, визначена як A T [i, j] = A [j, i].
Наприклад,
Властивості транспонованої матриці
1. (A T) T = A
2. (A + B) T = A T + B T
3. (AB) T = B T A T
4. detA = detA T
Список літератури
Баврін, Матросов В.Л. Вища математика: Підручник для студентів вузів - М.: 2002.
Беллман Р. Введення в теорію матриць. - М.: Мир, 1969
Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричні обчислення. - М.: Мир, 1999.