Математичні ігри як засіб розвитку логічного мислення

Третій етап рішення розумової задачі - саме рішення. Процес рішення здійснюється за допомогою різних розумових дій з використанням логічних операцій. Розумові дії утворюють певну систему, послідовно змінюючи один одного.
Останнім етапом рішення розумових задач є перевірка правильності рішення. Перевірка правильності рішення дисциплінує розумову діяльність, дозволяє осмислити кожен крок її, знайти непомічені помилки і виправити їх.
Уміння вирішувати розумові завдання характеризує розум людини, особливо, якщо людина може вирішувати їх самостійно і найбільш економними способами. Другою ознакою розвитку будемо вважати вміння учнів виділяти групи схожих випадків.
При реалізації знань, описаних у другому розділі, одним із показників розвитку мислення ми будемо вважати збільшення ступеня самостійності учнів під час вирішення розумових завдань. Другою ознакою розвитку будемо вважати вміння учнів виділяти групи випадків, що характеризуються за якою-небудь ознакою.

1.6 Види мислення

У залежності від того, яке місце в розумовому процесі займають слово, образ і дія, як вони співвідносяться між собою, виділяють три види мислення: конкретно-дієве, або практичне, конкретно-образне і абстрактне [1]. Ці види мислення виділяються ще й на підставі особливостей завдань - практичних і теоретичних. Так само існує і інше розділення: предметно-дієве, образне і теоретичне (понятійне) [10]. Але ми зупинимося на першій класифікації видів мислення.
Конкретно-дійове мислення спрямоване на вирішення конкретних завдань в умовах виробничої, конструктивної, організаторської і іншої практичної діяльності людей. Практичне мислення - це, перш за все, технічне, конструктивне мислення. Воно полягає в розумінні техніки і в умінні людини самостійно вирішувати технічні завдання. Процес технічної діяльності є процес взаємодій розумових і практичних компонентів роботи. Складні операції абстрактного мислення переплітаються з практичними діями людини, нерозривно пов'язані з ними. Характерними особливостями конкретно-дієвого мислення є яскраво виражена спостережливість, увага до деталей, частковостей й уміння використовувати їх у конкретній ситуації, оперування просторовими образами і схемами, уміння швидко переходити від міркування до дії і назад. Саме в цьому виді мислення в найбільшій мірі виявляється єдність думки і волі.
Конкретно-образне, або художнє, мислення характеризується тим, що абстрактні думки, узагальнення людина втілює в конкретні образи.
Абстрактне, або словесно-логічне мислення спрямоване в основному на знаходження загальних закономірностей в природі і людському суспільстві. Абстрактне, теоретичне мислення відображає загальні зв'язки і відносини. Воно оперує головним чином поняттями, широкими категоріями, а образи, уявлення в ньому відіграють допоміжну роль.
Відзначимо, що абстрактне мислення деякі автори [14] називають так само словесно-логічним, інші автори [29, 13] називають його абстрактно-логічним або абстрактним. Але з іншого боку словесно-логічне і логічне мислення іноді ототожнюють [21].
Розглянемо кілька визначень:
Абстрактне мислення - мислення, що оперує складними абстрактними поняттями і умовиводами, що дозволяє подумки вичленувати і перетворити в самостійний об'єкт розгляду окремі сторони, властивості або стану предмета, явища. Таке виокремлення та самостійне властивість є абстракцією узагальнення і утворення понять. Виділення змістовних, володіють відносною самостійністю, абстракцією відповідає теоретичному мисленню, здатному до створення раціоналістичних схем, тоді як формальні абстракції виокремлює властивості предмета, що не існують самі по собі і незалежно від нього, і відповідають емпіричному рівню [23].
Абстрактно-логічне (абстрактне) мислення - вид мислення, заснований на виділенні суттєвих властивостей і зв'язків предмета і відверненні від інших, несуттєвих [29].
Абстрактно-логічне мислення - це природна здатність здорового людського мозку до самостійної розробки самостійних методів "добування" з навколишньої дійсності нових знань. Висока здатність оперувати з "абстрактними", "уявними" поняттями (які в принципі неможливо побачити або "помацати руками" і здатність до відстеження впливу "абстрактних" понять на явища конкретного життя) [13].
Словесно-логічне мислення (логічне) - вид мислення, що здійснюється за допомогою логічних операцій з поняттями. При словесно-логічному мисленні оперуючи логічними поняттями, суб'єкт може пізнавати суттєві закономірності та неспостережний взаємозв'язку досліджуваної реальності. Розвиток словесно-логічного мислення перебудовує і впорядковує світ образних уявлень і практичних дій [18].
Розглянемо тепер визначення логічного мислення, яке дає Бурмістрова:
Логічне мислення - це вміння оперувати абстрактними поняттями, це кероване мислення, це мислення шляхом міркувань, це суворе дотримання законів невблаганної логіки, це бездоганне побудова причинно-наслідкових зв'язків.
Слід зазначити, що у всіх представлених визначеннях є щось спільне: Всі ці види мислення спрямовані на оперування абстрактними поняттями і вони неможливі без міркувань.
Таким чином єдиної точки зору на те як співвідносяться між собою абстрактне і логічне мислення немає. Далі в роботі я погоджуся з О.О. Івіном і Ю.В. Бурмістрової і буду припускати, що абстрактне і логічне мислення взаємопов'язані між собою, але не тотожні, логічне мислення більш суворе і формалізоване. В якості основи для подальшого дослідження візьму визначення Є.В. Бурмістрової.
Далі більш детально поняття логічного мислення буде розглянуто в 1.9
Повертаючись до трьох видів мислення, слід зазначити, що тісно пов'язані один з одним. У багатьох людей в однаковій мірі розвинені конкретно-дієве, конкретно-образне і теоретичне мислення, але залежно від характеру завдань, які людина вирішує, на перший план виступає то один, то інший, то третій вид мислення.
Якщо мислення розглядати в процесі розвитку його у дітей, то можна виявити, що раніше всього виникає мислення конкретно-дієве, потім конкретно-образне і, нарешті, абстрактно-логічне. Але особливості кожного із зазначених видів мислення у дітей декілька інші, зв'язок їх простіше.
У своїй роботі я і буду розвивати логічне мислення.
Тепер розглянемо індивідуальні відмінності в мисленні.

1.7 Індивідуальні відмінності в мисленні

Види мислення є разом з тим типологічними особливостями розумової та практичної діяльності людей. В основі кожного виду лежить особливе ставлення сигнальних систем. Якщо у людини переважає конкретно-дійове або конкретно-образне мислення, це означає певну перевагу у нього першої сигнальної системи над іншою, якщо ж людині найбільш властиве словесно-логічне мислення, це означає певну перевагу у нього другої сигнальної системи над першою. Існують і інші відмінності в розумовій діяльності людей. Якщо вони стійкі, їх називають якостями розуму.
Поняття розуму ширше поняття мислення. Розум людини характеризують не тільки особливості його мислення, а й особливості інших пізнавальних процесів (спостережливість, творча уява, логічна пам'ять, уважність). Розуміючи складні зв'язки між предметами і явищами навколишнього світу, розумна людина має добре розуміти і інших людей, бути чуйним, чуйним, добрим. Якості мислення - основні якості розуму. До них відносять гнучкість, самостійність, глибину, широту, послідовність і деякі інші мислення.
Гнучкість розуму виражається в рухливості розумових процесів, умінні враховувати мінливі умови розумових або практичних дій і відповідно до цього змінювати способи вирішення завдань. Гнучкості мислення протистоїть інертність мислення. Людині інертної думки більш властиво відтворення засвоєного, ніж активні пошуки невідомого. Інертний розум - це ледачий розум. Гнучкість розуму - обов'язкова якість людей творчості.
Самостійність розуму виражається в здатності ставити питання і знаходити оригінальні шляхи їх вирішення. Самостійність розуму передбачає його самокритичність, тобто вміння людини бачити сильні і слабкі сторони своєї діяльності взагалі й розумової зокрема.
Інші якості розуму - глибина, широта і послідовність також мають важливе значення. Людина глибокого розуму здатний "доходити до кореня", вникати в сутність предметів і явищ. Люди послідовного розуму вміють строго логічно міркувати, переконливо доводити істинність або хибність якого-небудь висновку, перевіряти хід міркування.
Всі ці якості розуму виховуються в процесі навчання дітей в школі, а також шляхом наполегливої ​​роботи над собою.
На мій погляд, ігри представлені у другому розділі допомагають формуванню самостійності, послідовності, глибини і широти. Вони вчать суворо логічно міркувати.
Тепер розглянемо, як же формується мислення у дітей.
1.8 Формування мислення у дітей
Дитина народжується, не володіючи мисленням. Щоб мислити, необхідно володіти деяким почуттєвим і практичним досвідом, закріпленим пам'яттю. До кінця першого року життя в дитини можна спостерігати прояви елементарного мислення.
Основною умовою розвитку мислення дітей є цілеспрямоване виховання і навчання їх. У процесі виховання дитина опановує предметними діями і мовою, навчається самостійно вирішувати спочатку прості, потім і складні завдання, а також розуміти вимоги, які пред'являються дорослими, і діяти відповідно до них.
Розвиток мислення виражається в поступовому розширенні змісту думки, у послідовному виникненні форм і способів розумової діяльності і зміні їх у міру загального формування особистості. Одночасно в дитини підсилюються і спонукання до розумової діяльності - пізнавальні інтереси.
Мислення розвивається протягом усього життя людини в процесі його діяльності. На кожному віковому етапі мислення має свої особливості.
Мислення дитини раннього віку виступає у формі дій, спрямованих на вирішення конкретних завдань: дістати який-небудь предмет, що знаходиться в полі зору, надягти кільця на стрижень іграшкової піраміди, закрити або відкрити коробочку, знайти заховану річ, залізти на стілець, принести іграшку і т . п. Виконуючи ці дії, дитина думає. Він мислить, діючи, її мислення наочно-дієве.
Оволодіння мовою оточуючих людей викликає зрушення у розвитку наочно-дієвого мислення дитини. Завдяки мові діти починають мислити узагальнено.
Подальший розвиток мислення виражається у зміні співвідношення між дією, образом і словом. У рішенні задач все більшу роль відіграє слово.
Існує певна послідовність у розвитку видів мислення в дошкільному віці. Попереду йде розвиток наочно-дієвого мислення, услід за ним формується наочно-образне і, нарешті, словесне мислення.
Мислення учнів середнього шкільного віку (11-15 років) оперує знаннями, засвоєними головним чином словесно. При вивченні різноманітних навчальних предметів - математики, фізики, хімії, історії, граматики тощо - учні мають справу не тільки з фактами, а й з закономірними відносинами, загальними зв'язками між ними.
У старшому шкільному віці, для якого і представлені ігри у другому розділі, мислення стає абстрактним. Разом з тим спостерігається і розвиток конкретно-образного мислення, особливо під впливом вивчення художньої літератури.
Навчаючись основам наук, школярі засвоюють системи наукових понять, кожне з яких відбиває одну зі сторін дійсності. Формування понять - процес тривалий, залежить від рівня узагальненості та абстрактності їх, від віку школярів, їхньої розумової спрямованості й від методів навчання.
У засвоєнні понять існує кілька рівнів: у міру розвитку учні все ближче підходять до сутності предмета, явища, позначеного поняттям, легше узагальнюють і пов'язують один з одним окремі поняття.
Для першого рівня характерне елементарне узагальнення конкретних випадків, узятих з особистого досвіду школярів або з літератури. На другому рівні засвоєння виділяються окремі ознаки поняття. Кордони поняття учні то звужують, то зайві розширюють. На третьому рівні учні намагаються дати розгорнуте визначення поняття з вказівкою основних ознак і наводять вірні приклади з життя. На четвертому рівні відбувається повне оволодіння поняттям, зазначення його місця серед інших моральних понять, успішне застосування поняття в житті. Одночасно з розвитком понять формуються судження й умовиводи.
Для учнів 1-2 класів характерні судження категоричні, позитивної форми. Діти судять про який-небудь предмет односторонньо і не доводять своїх суджень. У зв'язку зі збільшенням обсягу знань і зростанням словника в школярів 3-4 класів з'являються судження проблематичні й умовні. Учні 4 класу може міркувати, спираючись не тільки на прямі, але і на непрямі докази, особливо на конкретному матеріалі, взятому з особистих спостережень. У середньому віці школярі вживають також розділові судження і свої висловлювання найчастіше обгрунтовують, доводять. Учні старших класів практично володіють усіма формами вираження думки. Судження з припущенням вираження, допущення, сумніви і т.д. стають нормою в їхніх міркуваннях. З однаковою легкістю старші школярі користуються індуктивними і дедуктивними висновками і умовиводом за аналогією. Самостійно можуть порушувати питання і доводити правильність відповіді на нього. Особливо це видно в грі "бики і корови", в якій у першій партії питання задає вчитель, а в решті учні вчаться самі формулювати питання, відповідати на них і аналізувати різні аспекти проблеми.
Розвиток понять, суджень і умовиводів відбувається в єдності з оволодінням, узагальненням та ін Успішне оволодіння розумовими операціями залежить не тільки від засвоєння знань, але і від спеціальної роботи вчителя в цьому напрямку.
Далі розглянемо, що ж таке логічне мислення.

1.9 Логічне мислення і актуальність проблеми його розвитку в учнів

Логічне, або словесно-логічне мислення функціонує на базі мовних засобів і є найбільш пізній етап історичного та онтогенетичного розвитку мислення. Для логічного мислення характерне використання понять, логічних конструкцій, які інколи не мають прямого образного вираження (наприклад, вартість, чесність, гордість і т.д.). Завдяки логічному мисленню людина може встановлювати найбільш загальні закономірності, передбачати розвиток процесів у природі і суспільстві, узагальнювати різний, наочний матеріал.
У той же час навіть саме абстрактне мислення ніколи повністю не відривається від наочно-чуттєвого досвіду. І будь-яке абстрактне поняття має у кожної людини свою конкретну чуттєву опору, яка, звичайно, не може відобразити всієї глибини поняття, але в той же час дозволяє не відриватися від реального світу. При цьому надмірна кількість яскравих запам'ятовуються деталей в об'єкті може відволікати увагу від основних, істотних властивостей пізнаваного об'єкта і тим самим ускладнювати його аналіз.
До основних форм логічного мислення відносяться, перераховані вище поняття, судження, умовивід.
Поняття закріплюється і виражається за допомогою слова або словосполучення. Багатозначність слів ускладнює процес логічного мислення та незнання точного значення вживаних слів. Поняття як логічна форма мислення не в змозі передати все багатство людської думки, воно лише основа наших міркувань та висловлювань про різні властивості і якісних предметів.
Судження ж не може існувати без понять, але і поняття не може бути без судження, тому що закладена в понятті думка і розкривається лише в судженнях та висловлюваннях. Судження найчастіше виявляється у вигляді містить твердження чи заперечення розповідного речення.
Без умовиводів процес мислення неможливий. Вони використовуються в повсякденному житті і науковій діяльності. Приймаючи ті чи інші рішення, роблячи певні висновки, використовуючи різні аргументи, ми прагнемо з уже перевірених на практиці знань отримати в результаті нові знання.
При роздумах, не усвідомлюючи цього, ми дуже часто використовуємо прийоми логічного мислення: порівняння, аналіз, синтез, абстрагування, узагальнення (об'єднання окремих предметів у деякому понятті), опис (перерахування зовнішніх, чуттєво сприймані ознак предмета. Мета - створити за допомогою такого чуттєво -наочного образу уявлення предметі), характеристика (призначена для перерахування деяких внутрішніх, суттєвих ознак предмета, а не його зовнішнього вигляду, як при описі), класифікація (розподіл предметів за групами (класами), де кожен клас має своє постійне певне місце).
Логічне мислення не дано від народження. Воно складається поступово, виростає з попередніх ступенів відображення реальності та переробки інформації про неї.
Оволодіння цим способом мислення означає "гігантський", за своїми розмірами скачок. Зовнішнє логічне мислення реалізується як система логічних перетворень та зв'язків висловлювань.
Про актуальність проблеми розвитку логічного мислення школярів можна говорити в різних аспектах.
Проблема розвитку логічного мислення повинна мати своє відображення в шкільному курсі математики в силу недостатності підготовки учнів у цій частині, в силу великої кількості логічних помилок, що допускаються учнями усваиваемом змісті шкільного курсу математики, де пред'являються найбільш високі вимоги в порівнянні з іншими шкільними предметами за логічною організації матеріалу.
Часто виникає питання про взаємозв'язок творчого та логічного мислення. У реальному процесі мислення творче і логічне мислення тісно переплетені, взаємопроникають, але нетотожні.
З метою вивчення проблеми розвитку логічного мислення ці два поняття доцільно розділити. Тоді логічне мислення, яке проходить у рамках формальної логіки, що відповідає вимогам формальної логіки. Логічне мислення у такому розумінні не є творчим, т.к згідно із законами та правилами формальної логіки не можна вивести з посилок нічого такого, що не було б у цих посилках укладено. Ця думка міститься в словах англійського філософа Д. Локка про те, що силогізм в кращому випадку є лише мистецтво вести боротьбу за допомогою того невеликого знання, яке у нас є, не додаючи до нього нічого. Відомі математики, вивчали процес відкриття нового знання (Ж. Адамара, А. Пуанкаре), психологи, які вивчали процес мислення (Я. О. Пономарьов, А. Ф. Есаулов та інші), поділяють творче і логічно мислення. Логічні міркування припускають відсутність стрибка думки, пропуску окремих ланок у міркуванні і всього міркування, тобто осяяння, інсайда, інтуїції.
Завдання розвитку логічного мислення учнів ставиться і певним чином вирішується в масовій школі. У всіх шкільних програмах з математики як одна з цілей навчання предмета відзначена - розвиток логічного мислення.
Але програми з математики поки що не містять розшифровки цієї мети. Тому кожен вчитель розуміє її по-своєму і по-своєму її вирішує. Представляється, що є необхідність усвідомлювати проблему розвитку логічного мислення у всій широті і багатогранність і вміти її реалізовувати. Для цього можна використовувати математичні ігри, які сприяють більш чіткому мисленню, допомагають формулювати висновки.
У цьому випадку вироблення умінь учнів логічно мислити протікає швидше. З іншого боку цікавість матеріалу може сприяти розвитку інтересу до математики в цілому, що теж важливо.
Я пропоную розвивати логічне мислення за коштами математичних ігор, про що і розповім в наступному розділі.

Глава 2 Можливості застосування математичних ігор для розвитку логічного мислення

2.1 Поняття математичної гри та її психолого-педагогічні основи

Поняття математичної гри складне. Жорстких визначень цього поняття немає, різні автори розуміють це по-різному. Я вважаю найбільш підходящим визначення запропоноване Є.А. Дишніскім: Математичні ігри - це ігри у вигляді різноманітних завдань і вправ цікавого характеру, що вимагають прояву спритності, оригінальності мислення, кмітливості, вміння критично оцінити умови та постановку питання. До математичним ігор відносяться небудь гри, які мають справу з фігурами, числами, і тому подібним, або ігри, результат яких може бути попередньо визначений теоретичним аналізом [11].
Математична гра є однією з форм позакласної роботи з математики. Вона використовується в системі позакласної роботи з формування у дітей інтересу до предмета, набуття ними нових знань, умінь, навичок, поглиблення вже наявних знань. Гра поряд із вченням і працею - один з основних видів діяльності людини, дивний феномен нашого існування.
Що ж розуміється під словом гра? Термін "гра" багатозначний, у широкому вжитку кордону між грою і не грою надзвичайно розмиті. Як справедливо підкреслював Д.Б. Ельконін [24] і С.А. Шкаков [30], слова "гра" і "грати" вживаються в самих різних сенсах: розвага, виконання музичного твору або ролі в п'єсі. Провідна функція гри - відпочинок, розвага. Це властивість якраз і відрізняє гру від не ігри.
Російський психолог О.М. Леонтьєв вважає гру провідним типом діяльності дитини, з розвитком якої відбуваються головні зміни психіки дітей, що готують перехід до нової, вищої ступеня їх розвитку. Бавлячись і граючи, дитина знаходить себе і усвідомлює себе особистістю.
Гра, зокрема математична, надзвичайно інформативна і багато чого "розповідає" самій дитині про нього. Вона допомагає знайти дитиною себе в колективі товаришів, в цілому суспільстві, людство, у всесвіті.
У педагогіці до ігор відносять найрізноманітніші дії і форми занять дітей. Гра - це заняття, по-перше, суб'єктивно значиме, приємне, самостійне і добровільне, по-друге, - що має аналог в реальній дійсності, але відрізняється своєю не утилітарністю і буквальне відтворення, по-третє, - виникає спонтанно або створювана штучно для розвитку будь-яких функцій або якостей особистості, закріплення досягнень або зняття напруги.
А.С. Макаренко вважав, що "гра повинна постійно поповнювати знання, бути засобом всебічного розвитку дитини, її здібностей, викликати позитивні емоції, поповнювати життя дитячого колективу цікавим змістом" [17].
Можна дати наступне визначення гри. Гра - вид діяльності, що імітує реальне життя, що має чіткі правила і обмежену тривалість. Але, незважаючи на відмінності у підходах до визначення сутності гри, її призначення, всі дослідники сходяться в одному: гра, у тому числі математична, є способом розвитку особистості, збагачення її життєвого досвіду. Тому гра використовується як засіб, форма і метод навчання та виховання.
Існує багато класифікацій і видів гри. Якщо класифікувати гру за предметними галузями, то можна виділити математичну гру. Математична гра по області діяльності це, перш за все, інтелектуальна гра, то є гра, де успіх досягається в основному за рахунок розумових здібностей людини, її розуму, наявних у нього знань з математики .
Математична гра допомагає закріплювати і розширювати передбачені шкільною програмою знання, вміння і навички.
У сучасній школі математична гра використовується в наступних випадках: як самостійної технології ^* для освоєння поняття, теми або навіть розділу навчального предмета; як елемент більш великої технології; в якості уроку або його частини; як технологія позакласної роботи.
Математична гра, включена в заняття, і просто ігрова діяльність у процесі навчання роблять помітний вплив на діяльність учнів. Ігровий мотив є для них дійсним підкріпленням пізнавальному мотиву, сприяє створенню додаткових умов для активної розумової діяльності учнів, підвищує концентрованість уваги, наполегливість, працездатність, створює додаткові умови для появи радості успіху, задоволеності, почуття колективізму [11].
Математична гра, та й будь-яка гра в навчально-виховному процесі, має характеристичні риси. З одного боку, умовний характер гри, наявність сюжету або умов, наявність використовуваних предметів і дій, за допомогою яких відбувається рішення ігрової задачі. З іншого боку, свобода вибору, імпровізація в зовнішній і внутрішній діяльності дозволяють учасникам гри отримувати нову інформацію, нові знання, збагачуватися новими чуттєвим досвідом і досвідом розумової та практичної діяльності. Через гру, реальні почуття і думки учасників гри, їх позитивний настрій, реальні дії, творчість можливе успішне вирішення навчально-виховних завдань, а саме, формування позитивної мотивації у навчальній діяльності, почуття успіху, інтересу, активності, потреби в спілкуванні, бажання досягти кращого результату, перевершити себе, підвищити свою майстерність [26].
Математичних ігор дуже багато. У своїй роботі я розгляну тільки деякі. А саме "гри на папері". Будь-яка з таких ігор - це не просто забава. Це цілий джерело нової інформації і корисних навичок, тренажер, учащий мислити і міркувати.
З моєї точки зору, доцільно для початку розглянути просту на перший погляд гру (яка відома майже всім) - хрестики-нулики. Хоча правила гри досить прості, це зовсім не означає, що і сама гра елементарна. У хрестики-нулики можна грати в якості розминки на уроці. Але щоб її проаналізувати знадобиться кілька занять.
З моєї точки зору, найбільш ефективними для розвитку логічного мислення є ігри на відгадування. Прагнення до розгадування різних загадок і таємниць властиво людині в будь-якому віці. Дитяча пристрасть до ігор і головоломок "на відгадування" іноді пробуджує у школярів бажання цілком присвятити себе математиці, фізиці, біології, щоб "відгадати" вже більш серйозні, наукові загадки і проблеми. Кращі отгадчику надалі, трапляється, створюють математичні теорії, розшифровують стародавні папіруси або відкривають нові закони природи. Безсумнівно, ігри на відгадування розвивають творчі здібності людини, його логічне мислення, вчать ставити важливі питання та знаходити на них відповіді.
Всі ігри на відгадування багато в чому схожі один на одного - один гравець щось загадує, задумує або розставляє, а інший, задаючи ті чи інші питання та отримуючи відповіді на них, повинен знайти розгадку, визначити задуманий об'єкт. У цій главі я розгляну три гри на відгадування, що містять певні математичні та логічні елементи. У грі "бики і корови" - потрібно відгадати число, в "відгадати слово" - визначити слово, а в грі "морський бій" - виявити розташування кораблів. У всіх трьох іграх, побудованих на питаннях і відповідях, отгадчику на кожному ходу витягує деяку інформацію про задуманий об'єкті і після низки питань відгадує його (тобто знаходить задумане число, слово або розташування кораблів). Мета гри полягає в тому, щоб визначити об'єкт, задавши якомога менше питань. Загадчік і отгадчику міняються ролями, і переможець визначається за сукупністю зустрічей.
Кожна з ігор зазвичай займає не багато часу, але якщо аналізувати ці ігри, шукати виграшні стратегії, то це може зайняти кілька занять.
Нижче запропоновано розробку факультативного курсу, для старших класів.
Я пропоную наступне тематичне планування. Присвятити:
Хрестики-нулики - 2 години;
Морський бій - 3 години;
Відгадай слово - 2 години;
Бики і корови - 3 години;
Резерв - 2 години.
Ця приблизна планування, в залежності від того з якою швидкістю школярі розбирають запропоновані ігри, можна збільшити або зменшити запропонована кількість годин.
Для цього факультативу не потрібно спеціальних знань, і він в цікавій формі сприяє розвитку логічного мислення.

2.2 Хрестики-нулики (2ч)

Учитель пояснює правила гри і деякі аспекти гри: Отже, найпростіша гра - хрестики-нулики на дошці 3Ч3. Навіть на такому простому прикладі можна проілюструвати багато важливих поняття математичної теорії ігор. Гра "3 в ряд" відноситься до категорії кінцевих, переборних, стратегічних ігор двох осіб. Спочатку уроку школярам потрібно пояснити правила гри: партнери по черзі ставлять на поля квадрата (дошки) хрестики і нулики, і виграє той, хто першим вибудує три своїх знака в ряд. Гра триває не більше дев'яти ходів. Якщо нікому з гравців не вдається досягти мети, партія закінчується внічию.
Тепер давайте зіграти. Розбийтеся на пари і починайте гру (3 - 4 хв). Після декількох партій, ми проаналізуємо гру.
Учитель пропонує школярам проаналізувати гри, для цього вони розглядають як скласти дерево перебору. Переходячи від хрестиків-нуликів до дерева перебору школярі вчаться абстрагування та аналізу. При зворотній операції ("від дерева до партії") розвивають конкретизацію.
Вчитель: Складаючи дерево, будемо позначати вершинами (точками) виникають у процесі гри "позиції" (розташування хрестиків та нуликів). Нехай починають хрестики. З'єднаємо початкову вершину (порожня дошка) з тими дев'ятьма, які відповідають першому ходу хрестиків. Кожну з них з'єднаємо з вісьмома вершинами, що відповідають ходами нуликів, і т.д. У результаті ми отримуємо дерево гри (дерево перебору) [Додаток 1]. Початкова вершина - корінь дерева, максимальна довжина гілки (глибина перебору) в даному випадку дорівнює дев'яти.
Розглянувши частина дерева перебору, за допомогою запитань вчитель наводить школярів до думки, що необхідно виділити групи партій, які відрізняються один від одного по будь-якою ознакою, наприклад за першою зайнятої клітці.
Діти, аналізуючи зіграні партії, приходять до висновку: У хрестиків три принципові початку - зайняти кут, центр або бічну клітинку дошки.

Малюнок 1

Учитель ставить питання, щоб діти проаналізували, що буде якщо хрестики не будуть займати першим ходом центральне місце:
Вчитель: Хай хрестики зробили хід а1. Які можливі ходи є у нуликів?
Учень: З восьми можливих відповідей правильним для нуликів є лише хід в центр дошки. Після цього нічия досягається без праці (а1 малюнок 1)
Вчитель: Припустимо, що нулики зіграли інакше: на a1 відповіли b1. Тоді слід хід хрестиків а3. Яким має бути хід нуликів?
Учень: Єдина відповідь нуликів а2.
Вчитель: На що вирішує хід с3. Яким буде наступний хід нуликів і чим закінчиться парія?
Учень: Це партія закінчується з вилкою, тобто з подвійною загрозою b2 або b3 (рисунок 1а). Наступним ходом хрестики ставлять третій знак і виграють.
Вчитель: Аналіз центральної і бічних клітин ви зробите будинку.
Тепер вчитель пропонує до звичайної дошці 3Ч3 всього одне поле - d1 (рисунок 1б): Чим завершується гра в цьому випадку?
Граючи, учні швидко приходять до висновку: На такій дошці хрестики швидко здобувають перемогу. Вирішує хід с1. Якщо нулики не грають b2, то, як ми знаємо, вони програють на звичайній дошці 3Ч3 (справа обійдеться без додаткового поля). Якщо ж вони займуть полі b2, то після b1 неминучий наступний хід хрестиків на а1 або d1 (рисунок 1б).
Учитель підкреслює: Існує дошка з 10 полів, на якій хрестики фіксоване здобувають перемогу. А що буде відбуватися на дошці з семи клітин, що представляє собою два ряди 4Ч1, що перетинаються в одній зі своїх внутрішніх клітин (рисунок 1в)?
Знову діти грають і приходять до висновку: Виграш досягається вже на третьому ходу. Перший хрестик ставиться на перетині рядів, другий - на одне із сусідніх внутрішніх полів, після чого нулики беззахисні. Неважко переконатися, що, якою б не була дошка з числом клітин, меншим семи, результат гри буде нічийний.
Вчитель: Повернімося до хрестиками-нулики на дошці 3Ч3. Здається забавним, але на ній можна грати в піддавки! Тому, хто першим виставить ряд з трьох своїх знаків, зараховується поразка. Давайте зіграємо в піддавки і проаналізуємо гру.
Школярі грають, а потім порівнюють звичайну гру 3Ч3 і піддавки, і приходять до висновку: На відміну від "прямої" гри в "зворотної" ініціатива належить нулями. Втім, у хрестиків є надійна нічийна стратегія - на першому ходу вони повинні зайняти центр і далі симетрично повторювати ходи партнера.
Учитель: Давайте розглянемо новий різновид гри. Наступний варіант хрестиків-нуликів свідчить про те, що навіть така маленька дошка, як 3Ч3, може служити невичерпним джерелом для винахідників ігор. Від звичайних правил відмінність тільки в тому, що кожен гравець при своєму ході може за бажанням поставити або хрестик, або нулик. Перемагає той, хто першим закінчить ряд з трьох однакових знаків, причому байдуже яких. У звичайній грі, та й у піддавки, якщо партнери не роблять грубих помилок, партія закінчується в нічию. Хто ж виграє в даному варіанті?
Щоб це визначити школярі знову грають, а потім разом з учителем аналізують гру.
Учитель задає навідні запитання: Припустимо, що перший гравець першим ходом займає центр, b2, наприклад, як зазвичай, ставить на ньому хрестик (рис.2).

Малюнок 2

Учень: Другий гравець може зайняти або кутове поле, або лежить на боці дошки, і, щоб не програти відразу, він повинен поставити нулик.
Вчитель: Якщо вибрано кутове поле а1, що буде робити перший гравець?
Учень: Перший гравець малює нулик в протилежній вершині с3 і куди тепер противник не поставив хрестик або нулик, він своїм наступним ходом закінчує відповідно ряд з хрестиків або нуликів.
Вчитель: Що буде відбуватися, якщо другий гравець займає першим ходом бічне поле а2?
Учень: Те перше ставить нулик на одній лінії з двома наявними знаками, тобто на полі с2. У другого гравця немає нічого кращого, ніж поставити ще один нулик на b1, і після відповідного, четвертого нулика на b3 він змушений здатися (рис 2а). Тим саами, в цій грі перемагає початківець.
Так само вчитель пропонує ще один варіант гри на дошці 3Ч3: Партнери по черзі ставлять на дошку три своїх хрестика або нулика, після чого нові знаки вже не малюються. Якщо за цей час ніхто не збудував три знаки в ряд, гра продовжується. Тепер на кожному ходу гравці можуть переставити один свій знак на сусіднє поле по вертикалі або горизонталі. Виграє знову той, хто раніше вибудує три знаки в ряд. Цю гру вчитель ви проаналізуєте будинку.
Діти, проаналізувавши, повинні прийти до висновку, що як у попередній грі, право першого ходу є тут вирішальним. Початківець повинен поставити свій хрестик у центр дошки. Якщо тепер нулик поставлений у кутку, наприклад, на полі а2, то перший гравець ставить хрестик на b1. Відповідь змушений - b3. На це слід с3, відповідь знову єдиний - а1. Дебют партії закінчений (рис.2б). Двома наступними ходами перший гравець переставляє хрестики з b2 на с2 і з b1 на с1 і виграє партію. Якщо на першому ході другий гравець займе бічне поле, наприклад b3, то перший грає а1, а другий відповідає с3, тоді перший йде а3, а противник а2. Усі знаки виставлені, тепер перший гравець переставляє хрестик з а1 спочатку на b1, а потім на с1 і бере гору. Якщо домовитися, щоб початківець не займав першим ходом центральне поле, то при правильній грі обох партнерів жоден з них не зможе досягти мети, партія закінчується в нічию.
Вчитель: Звичайно, в останній грі замість хрестиків та нуликів зручніше користуватися білими і чорними шашками. Цю гру можна розглядати як вступ в клас ігор, що представляють собою гібрид хрестиків-нуликів і шашок. На дошці 4Ч4 така гра називається так-тіклі. Про цю гру і іншого різновиду хрестиків-нуликів я вам просто розповім, за бажанням, можете пограти в неї вдома.
У так-тіль кожна сторона має по чотири шашки (малюнок 2в). Гравці по черзі пересувають їх на одну клітину по вертикалі і горизонталі, і хто першим розташує три шашки в ряд, той і виграє.
Ось зразок партія в так-тіль:
1. с1-с2 d1-c1.
2 b4-b3 b1-b2
3. b3-a3 (загрожувало 3 ... А4-а3) 3 ... А4-b4 4. а1-b1 з виграшем, так як чорні не можуть перешкодити маневру
5. d4-d3.
За допомогою ЕОМ доведено, що так-тіклі нічийна, тобто при точній грі жодному з партнерів не вдається поставити три шашки в ряд.
Подальшим узагальненням двох останніх ігор є "млин", одна з найдавніших в історії людства ігор. На рис.3 зображено кілька "млинів". Первісна форма дошки (а) до цих пір залишається найпопулярнішою. У цьому варіанті. Званому простий млином, у кожної сторони по дев'ять шашок. У млині завитці (б) число шашок збільшується до 12, а в шестикутної (в) у противників по 13 шашок.


Малюнок 3
Відомі як і млин-павутина, млин-сітка, п'ятикутна млин та інше у всіх різновидах гри правила однакові. Партія складається з трьох етапів. Перший етап (дебют) полягає у розстановці шашок. Гравці по черзі ставлять свої шашки на будь-які вільні поля дошки. Три шашки одного кольору, виставлені в ряд, утворюють фігуру, звану млином. Побудувавши її. Гравець знімає з дошки будь-яку шашку супротивника. Якщо одним ходом вдалося спорудити два млини, то з дошки знімають дві шашки.
Другий етап (міттельшпіль) починається після розстановки всіх шашок. Тепер партнери по черзі пересувають їх уздовж ліній на сусідні поля. Мета колишня - вибудувати млин і зняти з дошки шашку супротивника.
Третій етап (ендшпіль) наступає, коли в одного з гравців залишається три шашки. Тепер він отримує право при черговому ході переставляти будь-яку з них на довільне вільне поле дошки, не звертаючи уваги на лінії, що з'єднують поля. Споруджуючи млин своїми трьома шашками, він знімає шашку партнера, який ходить по звичайних правилах до тих пір, поки у нього не залишиться три шашки.
Перемагає той, хто зуміє довести число шашок супротивника до двох, позбавляючи його можливості побудувати млин. Партія може закінчитися і раніше, якщо в якийсь момент один з партнерів не в змозі зробити хід, тобто всі його шашки затиснуті. Якщо у обох партнерів нині мало шашок (наприклад, по три) і жоден з них вже не може спорудити млин, партія закінчується в нічию. Зауважимо, що забороняється двічі використовувати одну й ту ж млин. Займати шашками три даних поля дошки можна скільки завгодно разів, але шашка супротивника знімається тільки при першому побудові млини.
Вчитель підводить підсумок: Ми з вами на цих заняттях розглянули гру хрестики-нулики. Спробували знайти виграшні стратегії. Подальше аналізування гри ви можете продовжити самостійно.
Зауваження: Зазначимо, що для того щоб провести аналіз гри школярі спочатку повинні були дев'ять способів зробити перший хід об'єднати в групи з будь-якою ознакою (зайнято перше поле - перша група, зайнято кутове поле - друга група, зайнято бічне поле - третя група) , тобто вони повинні провести порівняння і класифікацію деяких об'єктів. Коли школярі переходять від конкретних партій до побудови дерева перебору, тобто учні повинні абстрагуватися від поля, хрестиків та нуликів і перейти до математичної моделі. Після того, як вчитель змінив початкові умови школярі повинні були самостійно спробувати знайти самостійну стратегію. Передбачається, що до кінця заняття учні швидше вчаться знаходити ключові моменти (перший хід, правила заповнення поля, для того щоб не програти)

2.3 Морський бій (3ч)

Вчитель: Багато людей знають гру "морський бій". Незважаючи на зовнішню простоту, ця популярна гра і її різні модифікації містять чимало тонкощів. Класичний морський бій. Почнемо з найпопулярнішого варіанту морського бою, поширеного в багатьох країнах. Кожен з двох гравців малює на картатому аркуші паперу дві дошки розміром 10Ч10. На першій з них він розставляє свої кораблі, а на другий розгадує розташування кораблів супротивника. До складу флотилії входить десять кораблів: один лінкор (корабель 4Ч1), два крейсери (3Ч1), три есмінця (2Ч1) і чотири катери (1Ч1). Кораблі можуть займати будь-які поля дошки, але не повинні торкатися один одного ні сторонами, ні кутами. Після розміщення флоту гравці починають по черзі стріляти по ворожої території, тобто називати поля дошки - а3, б7, И9 і т.д. (Горизонталі дошки будемо позначати числами від 1 до 10, а вертикалі - російськими буквами від а до к) після кожного пострілу гравець отримує від партнера наступну інформацію: "потрапив", якщо постріл прийшовся по полю з кораблем; "убив", а якщо це останнє поле корабля (по інших полях, зайнятим їм, попадання сталося раніше), і нарешті, "повз", якщо поле пусте. У перших двох випадках гравець проводить ще один постріл, і так до першого промаху, після чого черга ходу передається партнерові. Перемагає той, хто потопить всі 10 кораблів противника. Таким чином, в даній текстової грі шифром служить набір прямокутників, розташованих на дошці, а самим тестом - удари по ній. Зазвичай постріл у морському бою позначається крапкою, а при попаданні в корабель точка перетворюється на хрестик (сам потоплений корабель обводиться прямокутником). Звичайно, точка стає і на ті поля, про які вже точно відомо, що вони не можуть входити до складу жодного з кораблів (лежать навскоси від "підбитих" полів або оточують потоплений корабель).

Малюнок 4
Ось розказані правила гри, тепер можете пограти. Розбийтеся на пари, на розданих аркушах, з накреслені полями малюйте кораблі і починайте гру.
Після того як партії зіграні, вчитель разом з учнями порівнюють зіграні партії і в цілому аналізують гру.
Вчитель зауважує: Успіх у цій грі в якійсь мірі залежить від везіння. Можна безладно наносити удари по ворожої території і при цьому без промаху знищити всі його кораблі. Але навряд чи на це варто розраховувати. Якщо говорити про мистецтво гри в морський бій, виникають два питання:
1) як стріляти, щоб підвищити вірогідність попадання в ворожі кораблі;
2) як розставляти власні кораблі, щоб противнику було важче їх потопити? Припустимо, ми хочемо потрапити у ворожий лінкор. Як ми повинні стріляти, щоб зробити це якомога швидше?
Учні пропонують різні варіанти відповіді: Можна стріляти послідовно спочатку по полях першого горизонталі (зліва на право), потім по полях другий і т.д.
Вчитель: А давайте визначимо після якого удару ми точно потрапимо у лінкор?
Школярі вважають і роблять висновок: У гіршому випадку це буде на 97-му ударі (якщо корабель займає поля з Ж10 по К10).
Вчитель: А давайте подумаємо, як робити ходи, щоб зробити це швидше.
Діти аналізують зіграні партії і приходять до висновку: Оптимальним варіантом буде, якщо робити кроки так, як показано на малюнку 5а або 5б.
Вчитель: Скільки максимально може бути ходів?
Учень: Це відбудеться не пізніше 24-го удару (24 хрестика слідують один за одним через три поля вздовж кожній вертикалі і горизонталі).


Малюнок 5

Малюнок 6
Вчитель: А давайте розглянемо більш загальний випадок. Припустимо, що на дошці n Ч n розташований один-єдиний корабель k Ч1 (k-міно). Сукупність пострілів, що гарантують нам попадання в цей корабель, назвемо стратегією. Стратегію, яка містить мінімальне число пострілів, назвемо оптимальної; число пострілів в ній позначимо через . Для початку розглянемо дошку 4Ч4 і корабель розміром 4Ч1. Скільки буде дорівнює ?
Школярі аналізують і приходять до висновку: . Всі сім оптимальних стратегій для дошки 4Ч4 представлені на малюнку 8 (стратегії, які співпадають при поворотах і дзеркальних відображеннях дошки, ми не розрізняємо). Зрушуючи всі постріли на чотири поля по вертикалі і горизонталі, отримуємо сім стратегій на дошці 10Ч10. Однак дві з них є оптимальними (рісунок.5а і 5б), причому .
Учитель: А як же буде в загальному випадку, для попадання в корабель k Ч1, розташований на дошці n Ч n?
Школярі, подумавши, знову висувають гіпотезу: Постріли повинні відстояти друг від друга на k полів по вертикалі і горизонталі. Це означає, що на кожній лінії міститься приблизно по пострілів оптимальної стратегії, і ми отримуємо наближену формулу .
Вчитель підводить підсумок: Досвідчені гравці зазвичай діють наступним чином. Спочатку, користуючись однією із стратегій на малюнку 5, виявляють єдиний лінкор противника. Коли з ним буде покінчено, приймаються за пошук крейсерів. Тепер удари наносяться не через три поля по вертикалі і горизонталі, а через два. Потопивши обидва крейсера, переходять до есмінцям. Коли непотопленнимі залишаться одні катери, вибір полів ударів вже не буде мати ніякого значення, і доводиться покладатися тільки на випадок. Звичайно, "легкі" кораблі можуть бути виявлені і при полюванні за "важкими".
Отже, найважче йде справа з катерами, для перебування яких не можна придумати ефективної стратегії.
Тому при розміщенні власної флотилії треба розташовувати всі великі кораблі щільніше, представляючи противнику для пошуку катерів як можна більше вільної території.
Найбільш вигідне в цьому сенсі розміщення показано на малюнку 7. Якщо навіть суперник потопив всі шість наших великих кораблів, для виявлення чотирьох катерів у нього є територія найбільшої площі - аж 60 полів (на малюнку праворуч від межі).


Малюнок 7
Учитель: Зараз нам деякі з учнів розкажуть доповіді, приготовані раніше, про різних варіаціях гри морський бій і деяких цікавих аспектах цієї гри.
Доповідач 1: Доповідь про різні дошках і кораблях. Форма дошки в морському бою, вид кораблів і складу флотилії особливого значення не мають. Так, шахісти, можливо, вважають за краще грати на дошці 8Ч8. Зауважимо, що в термінах гри "Полімін" наші кораблі мають такі назви: катер - мономіно, есмінець - доміно, крейсер - прямо тріміно, лінкор - пряме тетраміно (малюнок 4). Як кораблів у цій грі можна використовувати й інші види Полімін. На малюнку 4 представлені всі дев'ять кораблів, що містять не більше чотирьох клітин.
Битва можна вести не тільки на морі, але і на суші. Для цього дошку слід розбити на дві частини - морську і берегову. Супротивники отримують у своє розпорядження три види бойових засобів - флот (кораблі можуть розташовуватися тільки в море), сухопутні війська (розміщуються на суші) і літаки, які знаходяться як у морі, так і на суші. Можна, наприклад, використовувати для гри 20 бойових одиниць: по флотилію включити десять кораблів звичайного морського бою, в сухопутні війська - два квадратні, два косих, два Т-і два L-тетраміно і, нарешті, два прямокутні тріміно перетворити на літаки. Одне з розташувань усіх видів військ на дошці 20Ч15 представлено на малюнку 8 (бігова частину дошки на малюнку заштрихована). Як і належить, флот знаходиться в морі, а сухопутні війська дислоковані на суші, один літак літає над морем, інший охороняє берег.

Малюнок 8

Малюнок 9
Ось ще один різновид морського бою. Гра протікає на шахових дошках 8Ч8; кожен із двох гравців розбиває свою дошку на чотири частини довільної форми, що складається з однакової кількості полів - по 16 кожна. На рисунку 9. дано чотири варіанти розбиття дошки. Хід складається з чотирьох одночасних пострілів по полях дошки, створюючими довільний квадрат 2Ч2, наприклад б5, Б6, В5, В6 (на рис.9 його поля позначені хрестиками). Обстрілює гравець повідомляє номери частин, в які відбулося попадання, не вказуючи при цьому, які поля яких частинам належать. Для наших квадратів відповіді будуть такі: 2, 2, 2, 3 - рис.9; 1, 1, 2, 2 - ріс.9б; 2, 2.3, 4 - ріс.9в; 2, 2, 3, 3 - рис 9г. Після кожного ходу партнери роблять певні висновки про можливе розбитті дошки і на їх підставі вибирають наступний хід. Перемагає гравець, який першим визначає, на які чотири частини розбив противник свою дошку.
Доповідач 2:
Я хочу розповісти про цікавий "ендшпілі", в якому одна неточність відразу вирішує результат бою (цей приклад придумав В. Чванов).
На малюнку 10 зображено положення, що виникло в процесі гри. До даного моменту обидві флотилії - і наша (малюнок 10а) і противника (малюнок 10б) постраждали однаково. У обох потоплені лінкор, один крейсер і один есмінець, продовжують бій по одному крейсеру, по два есмінці і всі чотири катери. Розташування наших кораблів супротивника вже відомо (на малюнку 10а вони обведені пунктиром), і при своєму ході он розгромить їх без промаху.

Малюнок 10

Малюнок 11

На щастя хід наш і доля партії в наших руках. Ми повинні потопити один за іншим всі сім кораблів, зосереджених у кварталі 5Ч5. Для знаходження переможної комбінації в цій напруженій сутичці потрібно насамперед провести логічний аналіз ситуації.
За правилами будь-які два корабля відстоять один від одного не менше ніж на одне поле. Оточимо кожен корабель облямівкою шириною в півполя (рис.11), отриманий прямокутник назвемо добудовою цього корабля. Знайдемо тепер площа добудов всіх семи кораблів, які належить потопити. Якими вони будуть?
Учні: Добудова катери - 4 клітини (2Ч2), есмінця - 6 клітин (3Ч2) і крейсера - 8 клітин (4Ч2). Загальна площа добудов становить 36 кліток.
Докладчік2: Вірно. Але площа добудови дошки (добудова з облямівкою в півполя) також 36 клітин, з чого випливає, що кутові поля дошки 5Ч5 обов'язково зайняті кораблями (інакше кутова площа добудови дошки "пропадає"). Передерій всі можливі розташування кораблів. Скільки їх буде, якщо повороти і дзеркальні відображення дошки не враховувати?
Учні: Їх усього п'ять (малюнок 12а - д).

Малюнок 12
Докладчік2: Проведений аналіз дозволяє ефективно завершити гру. Як ви думаєте, куди треба вистрілити спочатку?
Учні: Перші чотири постріли слід провести по кутах дошки 5Ч5. Як ми переконалися, всі вони досягають мети. Якщо при цьому три катери будуть потоплені (рис.12), то розташування решти кораблів визначається однозначно.
Доповідач 2: Нехай потоплений тільки один катер (малюнок 12б, в,). Який висновок можна зробити?
Учні: Так як добудови кораблів щільно покривають добудову дошки, п'ятий і шостий постріли можна без ризику зробити по полях а3 і е1, і знаходиться на два поля від кутового, зайнятого потопленим катером. Від результату цих двох пострілів залежить, який з випадків - "б" або "в" - має місце.
Докладчік2: Якщо постріли по кутах призвели до потоплення двох катерів (малюнок 12г, д), що можна сказати?
Учні: Удари по полях а3 і В5 дозволять відразу з'ясувати, який з двох варіантів вибрав супротивник.
Доповідач 2: Отже, після шести пострілів ми маємо повну інформацію про розташування ворожих кораблів і наступними п'ятьма ударами переможно завершимо цю напружену битву. Розглянутий приклад показує, що в критичній ситуації від грають у морський бій потрібно не мале мистецтво і витримка.
Доповідач 3: Моя доповідь про залпу пострілів. До цих пір розповідалося про те, що кожен постріл робиться по одному полю дошки. Цікавим різновидом морського бою є гра, в якій один хід складається одразу з ряду пострілів - ведеться, так би мовити, масований вогонь по ворожому флоту. Суперник повідомляє загальні результати стрілянини, не вказуючи при цьому, в якій корабель і на якому полі відбулося попадання. Наприклад, при трьох одночасних пострілах відповіді можуть бути такими: три промахи; два промахи і одне влучення; один промах і одне потоплення і т.д. (Останній відповідь означає, що два постріли з трьох потрапили в один і той же корабель і його потопити). Інші правила гри не змінюються. Після кожного ходу і відповіді на нього гравці отримують певну інформацію про дислокацію ворожих кораблів і наступними ходами намагаються використовувати її.
В іншому варіанті цієї гри кожному гравцеві дозволяється одночасно проводити постріли по стількох полях дошки, скільки у нього ще залишилося непотопленних кораблів. Обстрілює гравець знов повідомляє стріляє тільки загальне число влучень, потоплених і промахів. При звичайній флотилії з десяти кораблів перший хід складається з дев'яти пострілів. Якщо один або кілька кораблів потоплені, то число пострілів зменшиться. Коли всі кораблі підуть на дно, гравець позбавляється права ходу (0 пострілів), але воно йому більше не потрібно - бій закінчився його поразкою.
Розглянемо ще одну цікаву модифікацію морського бою на довільній квадратної дошці. У ній також дозволяється проводити серії пострілів. Будемо вважати, що флотилії обох партнерів складаються з кораблів одного типу: катерів, есмінців, крейсерів, лінкорів або взагалі кораблів k Ч1 (k-міно) на дошці n Ч n (k ≤ n). Число k обговорюється до початку гри. Гравець може розставляти на дошці будь-яку кількість кораблів, бути може, ні одного, не повідомляючи це число противнику.
Гра складається всього з одного ходу, який полягає в одночасному творі пострілів по ряду полів дошки (залп пострілів). При цьому гравець отримує інформацію про кожному полі дошки - попадання або промах (про потоплення повідомлень не робиться) проаналізувати відповіді противника, він повинен однозначно визначити розташування всієї його флотилії. Переможцем стає гравець, залп якого містить менше пострілів.
І в кінці вчитель підводить підсумок:
Ми з вами розглянули гру морський бій. Погравши в неї ми порівнювали, аналізували і приходили до висновку про правильної стратегії цієї гри, що розвиває логічне мислення.
Вчитель підводить підсумок: Отже, на заняттях присвячених морському бою були розглянута звичайна гра морський бій. Ми спробували знайти оптимальну стратегію для виграшу. А також були розглянуті різні варіації гри і деякі цікаві аспекти гри.
Зауваження: Зазначимо, що на заняттях присвячених морському бою школярі аналізували те, як краще розставляти кораблі, щоб противнику було складніше їх знайти й те, як потрібно наносити удари по ворожій флотилії, щоб здобути перемогу. Спочатку був розглянутий окремий випадок, як знайти ленкор (4Ч1), потім учні запропонували розглянути більш загальний випадок: корабель розміром kЧ1. Проводячи узагальнення та аналіз учні повинні були сформулювати гіпотезу про приблизний кількість пострілів, необхідному для гарантованого попадання в корабель. Тобто учні переходили від поля і кораблів до формул і назад (абстрагування і конкретизація).
Так само учні познайомилися з деякими варіаціями гри в морський бій. Якщо їх зацікавила ця тема, то вони можуть вдома самостійно провести аналіз можливих стратегій гри. Потім, учні при розгляді "ендшпіля" перебирають усі можливі комбінації розташування семи кораблів у кварталі 5Ч5 і виявляють суттєві моменти цих розташувань.

2.4 Відгадай слово (2ч)

На початку уроку вчитель розповідає правила гри. А потім розглядає приклад: Гра "відгадай слово" вперше з'явилася на світ в кінці 60-х років, майже одночасно з "биками і коровами", про яку буде розказано пізніше, і до цих пір користується великою популярністю, в неї охоче грають школярі, студенти, наукові співробітники.
Дійсно, як ми зараз побачимо, ця захоплююча гра значно багатше і глибше більшості відомих словесних ігор. Для успіху в ній важливим є не тільки великий запас слів, лексикон грають, але й уміння логічно міркувати.
Грають двоє. Один гравець задумує слово з п'яти букв, а інший повинен його відгадати. З цією метою він називає одне за іншим слова, що складаються з довільного числа літер, на кожне з яких партнер у відповідь повідомляє число, що означає, скільки разів букви задуманого слова входять до названого; при цьому кожна буква задуманого слова враховується у відповіді стільки разів, скільки вона міститься у названому.
Природно, слова замислюють обидва гравця, причому вони намагаються вибрати їх важче для відгадування. Перемагає той, хто відгадав слово противника, тобто отримує відповідь "відгадав", за менше число ходів.
Як і в більшості ігор в слова, і задумане слово, і "ходи" повинні бути іменниками, загальними, в однині. Щоб уникнути зайвих суперечок, краще всього відразу домовитися про те, які дозволяється використовувати словники.
Очевидно, гра "відгадати слово", як і "бики і корови", є тестовою. Вибір слів-ходів, що приводить до мети, по суті, є тест для відгадування задуманого противником слова (шифру), і завдання гравця полягає в тому, щоб побудувати тест як можна коротше. Звичайно, гру легко узагальнити, дозволяючи задумувати слова іншої довжини, однак довжина п'ять є оптимальною (подібно чотирьом цифрам у "биках і коровах" - різноманітність пятібуквенних слів дуже велике, і відгадати їх зовсім не просто).
Робити ходи (назвати тестові слова) не обов'язково по черзі, важливо загальне число ходів. При великій кількості партій в кожній з них можна враховувати не тільки те, хто раніше відгадав слово, але і на скільки ходів швидше. Для того щоб краще ознайомитися з грою, відчути її тонкощі, розглянемо декілька партій, тобто висловлюючись шаховим мовою, прокоментуємо їх. Усюди передбачається, що слово задумує ваш партнер, і нам треба його відгадати. Поряд з названими словами вказуються відповіді противника на них.
Наведемо приклад. Нехай наш уявний партнер задумав слово КОЛБ, а ми своїм ходом назвали слово ОБОРОНА. Тоді він повинен відповісти числом 5. У самому справі, букви К і Л задуманого слова не входять в назване (або інакше - входять 0 разів), буква Про входить 3 рази, літери А і Б - по 1 разу. Разом: 0 +0 +3 +1 +1 = 5.
Називаючи деяке слово і отримуючи на нього відповідь, ми щоразу робимо певні висновки щодо задуманого слова. Так, відповідь супротивника на слово ОБОРОНА означає, що задумане слово, поки не відоме нам, обов'язково містить букву О (у противному випадку максимальний відповідь була б дорівнює 4), а так само дві літери з чотирьох Б, Р, Н, А. Розглянемо інші можливості. Відповідь 0 свідчив би про те, що в відгадувати слова немає жодної з п'яти букв, що входять в слово ОБОРОНА; відповідь 1 або 2 - що в ньому міститься відповідно одна або дві літери з чотирьох - Б, Р, Н, А і немає літери О; відповідь 3 - що в ньому є О і немає Б, Р, Н, А, або, навпаки, є три з цих чотирьох букв і немає О; нарешті, при відповіді 4 робимо висновок, що задумане слово містить букву О і одну букву з чотирьох інших або всі ці чотири букви разом, але тоді відсутня О.
Отримуючи на кожному ходу ту чи іншу інформацію про задуманий слові противника, ми робимо наступний хід і т.д., поки не отримаємо відповідь "відгадав".
Давайте розглянемо одну партію разом.
Партія 1
Вчитель починає гру: Я загадую слово і противник на перше своє слово отримує відповідь 2. Що це означає?
ПЕРЕВАЛ 2
Учні аналізують і приходять до висновку: У даній партії перший хід дозволяє зробити наступний висновок: або в задуманому слові є буква Е і немає букв П, Р, В, А, Л, або є дві літери з цієї п'ятірки, але немає Є.
Вчитель: Мета другого ходу - розібратися в ситуації. Противник називає наступне слово і отримує відповідь 0.
ЗВАЛИЩІ 0
Учні знову аналізують і приходять до висновку: Відповідь 0 дає можливість викинути з розгляду цілий ряд букв. У даному випадку після другого ходу ми бачимо, що в задуманому слові немає літер В, А, Л (і, звичайно, С і К), і отже, з урахуванням першого ходу, воно містить або Е, або одночасно П і Р.
Вчитель: Яким словом можна визначити точне наявність, наприклад літери П?
Школярі, не довго думаючи, видають відповідь: ПОП.
Учитель: На це слово відповідь буде 0. Що це означає?
ПОП 0
Учні: Отже, другий варіант відпадає, літери П, а разом з нею і Р в слові немає, а є Є.
Учитель знову пропонує нове слово до розгляду: На нове слово противника відповідь буде 4. Який висновок ми можемо зробити з цього, якщо згадати, що відсутність деяких букв ми вже визначили?
Факультатив 4
Учні пригадують ті літери, яких вже немає і роблять висновок: Так як ми вже знаємо, що букв А, К, Л, В у слові немає, то останній хід і відповідь на нього означають, що фактично нам треба проаналізувати таку ситуацію з фіктивним словом -ходом: ФУЬТТІ 4.
Вчитель: Припустимо, що в задуманому слові немає Т. Що це значить?
Учні: Тоді воно містить всі чотири залишилися літери, тобто Ф, У, Т, І. оскільки літера Е вже знайдена раніше, шукане слово має складатися з букв Ф, У, Т, І, Є.
Учитель: А чи можна з цих букв скласти слово?
Учні проводять аналіз (це вже не логічний аналіз, а чисто словесний), і приходять до висновку: З цих букв зібрати слово неможливо. Таким чином, у задуманому слові обов'язково присутня буква Т, крім того, в ньому є Е і дві букви з чотирьох Ф, У, Т, І.
Вчитель робить деякі висновки: Черговими ходами ми б могли визначити дві ці букви і відсутню п'яту. Однак спочатку спробуємо витягти побільше інформації, не роблячи ходів, а тільки грунтуючись на отриманих відповідях (найтонше місце партії!). Дві букви з чотирьох можна вибрати шістьма способами, . Додаючи до кожної пари вже відомі літери Е і Т, отримуємо шість можливих комбінацій:
1) Ф, У, Е, Т;
2) Ф, Ь, Е, Т;
3) Ф, І, Е, Т;
4) У, Т, Е, Т;
5) У, І, Е, Т;
6) Ь, І, Е, Т. Які ж з комбінацій навіть при додаванні третьої букви не можуть утворити слово?
Школярі аналізують і висувають гіпотезу: Останні три комбінації при будь-якому додаванні п'ята букви не можуть утворювати жодного слова. Що ж до перших трьох комбінацій, то, додаючи до першої з низ букву Б, до другої Н або до третин Ш, отримуємо три можливих слова: буфет, НАФТА, фетиш.
Вчитель: Звичайно, аналіз вимагає великого перебору варіантів, але зате ми не зробили жодного зайвого ходу!
Отже, нам залишилося з'ясувати, яка буква з трьох літер - Б, Н, Ш - виходить у задумане слово. Спробуємо впоратися з цим завданням за один хід. Для цього використовуємо такий прийом: Побер слово, в якому одна з цих букв не міститься зовсім, а дві інші містяться, але в різній кількості. Наступний хід задовольняє вимогам. Відповідь на який 1. Який же висновок ми можемо зробити?
БАНАНИ 1
Учні: Відповідь показує, що в слові є літера Б, і наступний хід закінчує гру.
Буфет Відгадав
Учитель пропонує розглянути інші варіанти: Що означало б, якщо при відповіді на п'ятому ходу 0.
Учні: задумали виявилося б слово фетиш.
Вчитель: А при відповіді 2.
Учні: НАФТА.
Так само вчитель робить зауваження: До речі, неточним був би, наприклад, п'ятий хід сноб, а так як при відповіді 1 ми не змогли б вирішити, яка з двох, Н або Б, входить до задумане слово.
Далі вчитель пропонує дітям пограти, задумує слово, а діти відгадують.
Партія 2
Школярі називають перше слово і отримують відповідь 3
КАРЕЛІЯ 3
Учитель задає навідні запитання: Яким має бути наступне слово, щоб визначити наявність якого-небудь літери?
Учні приходять до висновку: Слово має відрізнятися від попереднього лише кількома літерами.
Учні називають наступне слово, на яке отримують відповідь 2.
Креол 2
Учитель знову пропонує подумати і зробити висновок.
Учні аналізують і приходять до висновку: Оскільки чотири літери у цих двох стовпців загальні, а відповіді різні, робимо висновок, що буква А в шуканому слові є, а букви О, ні.
Вчитель: А що ми можемо сказати про інші буквах?
Учні приходять до висновку: З відповіді на другий хід слід, що з чотирьох букв К, Р, Е, Л в шуканому слові міститься дві.
Учні записують шість можливих варіантів наступним чином:
1) А, К, Р (Е, Л, О);
2) А, К, Е, (Р, Л, О);
3) А, К, Л (Р, Е, О); (1)
4) А, Р, Е, (К, Л, О);
5) А, Р, Л, (К, Е, О);
6) А, Е, Л (К, Р, О).
Тут перед дужками записані букви, які шукане слово може містити. А всередині дужок літери, яких при цьому в слові точно немає.
Учні називають наступне слово і отримують відповідь 3.
БЕКОН 3
Учні аналізують і роблять висновок: Так як букви О в слові немає, то потрібно вибрати три букви з чотирьох. Це можна вибрати чотирма способами :
1) Б, Е, К (О, Н);
2) Б, Е, Н (К, О);
3) Б, К, Н (Е, О), (2)
4) Е, К, Н (Б, О).
Учитель допомагає дітям провести аналіз: Комбінуючи шість варіантів (1) з чотирма варіантами (2), отримуємо 6Ч4 = 24 комбінації. Однак не всі вони "сумісні". Так, несумісні є перші можливості в (1) і (2). З одного боку, літера Е міститься у шуканому слові - перший варіант у (2), а з іншого - ні - перший варіант у (1).
Далі школярі самі продовжують аналізувати і приходять до висновку: Аналіз показує, що з 24 варіантів сумісними є тільки шість:
К, А, Р, Б, Н, (Е, Л, О);
К, А, Е, Б (Р, Л, О, Н);
К, А, Е, Н (Б, Р, Л, Н);
К, А, Л, Б, Н (Р, Е, О);
А, Р, Е, Б, Н (К, Л, О);
А, Е, Л, Б, Н (К, Р, О).
Школярі знову називають слово, на яке отримують відповідь 1
АБРИС 1
Учні аналізують і роблять висновок: Враховуючи, що в шуканому слові є А, знаходимо, що в ньому немає Б, і, значить, з останньої збірки, що містить шість слів, залишається тільки третя можливість - шукане слово містить чотири букви К, А, Е , Н.
На наступний хід учні отримують відповідь 1.
Брошка 1
Учні приходять до висновку: Букв Б, Р, О в задуманому слові немає, і ми отримуємо, що в ньому є Ш або Ь. А тепер, маємо дві можливі п'ятірки літер: К, А, Е, Н, Ь або К, А, Е, Н, Ш. З першої п'ятірки слова утворити не можна, а з другої можна - кашне. Наступний хід завершує партію.
Кашне
Учитель визнає, що партія закінчена. І дає слово одному з учнів, який приготував цікаве завдання:
Доповідач 1: Знайти слово, яке складається з п'яти різних букв, що містяться в зазначеній кількості в таких шести рядках:
АБРИС 1
Брошка 1
Пан 2
Креол 2
БЕКОН 3
КАРЕЛІЯ 3
Ось рішення вправи, наведене в журналі "Наука і життя". Слова Пане і АБРИС мають чотири загальні літери, при цьому Пан містить дві букви задуманого слова, а АБРИС - одну. З цього випливає, що Н входить до нього, а С - ні. Аналогічно, порівнюючи слова Карелі і креоли, знаходимо, що А входить до задумане слово, а О - немає. З слова АБРИС за умовою в шукане слово входить рівно одна буква. Оскільки, як ми встановили, воно містить А, то літер Б, Р, І, С у ньому немає. так, як у слові немає літер Б, Р, О, зі слова БЕКОН до нього обов'язково входить Е, К, Н, а зі слова Брошка - Ш або Ь. А тепер, п'ятьма літерами задуманого слова є або Н, А, Е, К, Ш, або Н, А, Е, К, Ь. З другого набору слова не виходить, а перший дає слово кашне, яке і було потрібно знайти.
Друга партія вийшла досить "напруженою". Наш п'ятий хід був, взагалі кажучи, неточний. Дійсно, при відповіді 0 з'ясувалося б, що в слові немає жодної Ш, ні Ь, проте воно може міститися П і Д (ПІНКА, ДЕКАН). Легко придумати слово, розшифровуючи відразу три букви - Ш, П, Д, наприклад Дідусь.
І знову нова партія, вчитель загадує слово.
Партія 3
На перше слово учні отримують відповідь 6.
ПЕРЕКЛАД 6
Учні аналізують і приходять до висновку: У шуканому слові точно є буква Е (без неї максимальний відповідь 5), а також чотири літери з п'яти П, Р, В, О, Д. Отже, маємо п'ять можливостей:
1) Е, П, Р, В, О;
2) Е, П, Р, В, Д;
3) Е, П, Р, О, Д;
4) Е, П, В, О, Д;
5) Е, Р, В, О, Д.
Школярі аналізують всі варіанти і приходять до висновку: Слово можна скласти тільки з останньої комбінації літер - відро. Фактично партія триває всього один хід!
Відра
Учитель зазначає: Слово відгадати. Якщо п'ять букв вже знайдені, це ще не означає закінчення партії. Адже не виключено, що з цієї п'ятірки букв можна скласти не одне слово, а декілька. Слова, утворені з одних і тих же букв, називаються анаграма, а набір таких слів - блоками анаграм. Якщо, визначивши п'ять літер, ми "натрапили" на такий блок, доведеться зробити додаткові ходи, щоб з'ясувати, яке саме слово задумано.
Партія 4
Тапок 5
Капот 5
Похило 5
ТОПку Відгадав
В останньому прикладі, який можна вважати ендшпілем (заключна частина партії) якоїсь більш довгою партії, визначивши на першому ж ходу всі п'ять букв задуманого слова, ми потім зробили ще три, щоб знайти саме слово, тобто справи склалися не найкращим чином.
Може здатися, що загадувати слова-анаграмми вигідно, оскільки навіть при відгадуванні всіх букв нашого слова подальші дії партнеру доведеться вести навмання - від нього вже нічого не залежить. Але треба врахувати, що, чим більше слів у блоці анаграм, тим менше використовується рідкісних букв і, значить, тим легше знайти п'ятірку букв. Блок пятібуквенних анаграму (нас цікавлять зараз тільки такі) може містити від двох слів до шести. Ось унікальний набір анаграм, що складається з шести слів (єдиний в російській мові): АВТОР, ТОВАР, ТАВРІЯ, відвар, БЛЮВОТА, другий.
Далі вчитель пропонує розглянути кілька завдань:
У грі "відгадати слово" виникають цікаві та оригінальні завдання зі словами. Розглянемо кілька таких завдань. За деякими завданням учні приготували доповіді, а інші розберемо разом.
Доповідач 2: За правилами гри ходи є слова російської мови (як уже говорилося, іменники, номінальні, в однині). А що зміниться, якщо зняти це обмеження, тобто дозволити робити ходи, так би мовити, абстрактними словами - що складаються з довільного набору букв? Може здатися, що така зміна правил не має особливого значення, однак з рішення наступної задачі випливає, що гра при цьому "вироджується".
Завдання 1. За скільки ходів можна вгадати слово (або п'ять букв анаграмми), якщо дозволяється ходити "абстрактними" словами?
Це завдання носить чисто математичний характер, і відповідь на неї досить несподіваний - потрібно всього один хід! Він може бути, наприклад, таким:

Дане "слово" містить всі 33 літери алфавіту, причому букву А - 1 раз. Відповідь на хід, зроблений таким словом, дозволяє відразу визначити п'ять букв. Дійсно, якщо в задуманому слові є Бо останньою цифрою відповіді буде 1, якщо ж у ньому немає, то на кінці стоїть 0. Якщо слово містить букву Б, то на другому місці праворуч (кількість десятків) коштує 1, в іншому випадку - 0. Якщо слово містить В, то на третьому місці праворуч (кількість сотень) коштує 1, в іншому випадку - 0 і т.д. Таким чином, число, яке ми отримаємо у відповідь на наш хід, складається з багатьох нулів (28, якщо в слові є буква Я) і рівно п'яти одиниць, які й визначають п'ять потрібних букв.
Наведемо приклад. Нехай у відповідь на наше абстрактне слово отримане число 100 101 011. Це означає, що у задуманому числі є літери: А (1 на правому кінці), Б (1 на другому кінці), (1 на четвертому місці праворуч), Е (1 на шостому місці праворуч) і З (1 на дев'ятому місці праворуч ). Отже, задумано слово ЗАБІГ.
"Чарівне" слово має астрономічну довжину, але в даній задачі важливо лише саме існування універсального ходу.
Учитель пропонує розглянути ще одне завдання: Повернемося до звичайних варіантів гри "відгадати слово". Часто в процесі відгадування виникає необхідність визначити, чи міститься у слові та чи інша конкретна буква. У зв'язку з цим цікава наступна задача.
Завдання 2. Для яких букв алфавіту можна визначити за один хід, містяться вони в задуманому слові чи ні?
Тут передбачається, що жодною інформацією про задуманий слові ми поки не маємо. Ідея дуже проста - "підозрілою" буква повинна виділятися числом входжень у тестове слово. Найпростіше використовувати трибуквені слова з двома однаковими буквами. Отримуючи відповідь на такий хід, ми відразу визначаємо, чи є ці дві букви в задуманому слові чи ні. Нехай зроблений перший хід ДІД. Якщо відповідь 0, то в задуманому слові немає жодної Д, ні Е. Якщо відповідь 1, то Е є і немає Д, якщо відповідь 2, то є Д і немає Е, нарешті, якщо відповідь 3, то є і Д, і Е .
Школярі аналізують і приходять до висновку:
Майже дві третини алфавіту - 20 букв з 33 - вимагають лише одного ходу для з'ясування питання про їхню наявність (таблиця 1). Всього трьохбуквені словами такого виду вдається визначити 10 букв. Ще для десяти використовуються слова більшої довжини. Дев'ять шуканих тестових слів влаштовані так: вони містять підозрювану букву і ще дві пари інших букв. У результаті непарний відповідь (1, 3 або 5) свідчить про наявність даної літери в задуманому слові, а парний (0, 2 або 4) - про її відсутність.

Таблиця 1

Букви	Слова, точно визначають наявність літери	Букви	Слова, точно визначають наявність літери
А	РОТАРОР	Р	ВИТРАТ
Б	БОБ	З	КОКОС
У	ДОКАЗИ	Т	ПОТОПИТЬ
Г	Наган	У	ПУП
Д	ДІД	Ф	ТОРФ, ТОР
Е	ДІД	Х	ДОХІД
Е	ЯЛИНКА	Ц	МЕТА, ЕЛЬ
Ж	ЖАР, АР	Ч	ЧЕСТЬ, МЕРЕЖА
З	КОЗАК	Ш	ДУЛЯ
І	МІМ	Щ	ЩЕЛЬ, ЕЛЬ
Й	РАЙ, АР	'	В'ЇЗД, зів, ДІД
До	ОКО	И	ДІРА, ДАР
Л	Курінь	Ь	КІНЬ, КОН
М	МІМ	Е	ЕРА, АР
Н	КОКОН	Ю	Спідниця, ВАК
Про	ОКО	Я	Ябеда, БІДА
П	ПОП

Вчитель підводить підсумок: Була складена таблиця, точно визначає наявність літери. Так само були й інші варіанти для відгадування.
Для відгадування літери А той самий прийом зажадав семібуквенного слова (у ньому три пари сторонніх літер). Можна використовувати і більш короткий пятібуквенное слово АТАКА. Тут ідея відгадування дещо інша - відповідь 3 і більше говорить про те, що буква А є, а менший відповідь, що ні.
Звичайно, пятібуквенное слово, яке служить для розгадки однієї з букв, може не допомогти для визначення інших його літер. Так, якщо відповіддю на хід ДОКАЗИ служить число 2, то ми знаємо, що в задуманому слові немає В, а є Д або Про, але яка саме з цих букв - не відомо. Інша справа, якщо б яке-небудь пятібуквенное слово містило тільки дві літери (одну - 2 рази, а іншу - 3), тоді вони визначилися б відразу, однак такого слова нам знайти не вдалося.
Навіть якщо всі букви знову мають різне число входжень, воно тим не менш може виявитися не придатним для визначення кожної з них. Так, слово Баобаб містить три букви в різній кількості, але при невдалому для нас відповіді на нього ми не зможемо точно сказати, яка з його літер міститься в заданому слові. Дійсно, відповідь 0 говорить про те, що в слові немає літер А, Б і О, відповідь 1 - що в слові є О, але немає А і Б, відповідь 2 - що у слові є А, але немає Б і О, проте відповідь 3 не вносить повної ясності - з нього випливає, що або в слові є Б і немає А і О, або, навпаки, немає Б і є А і О. Мета може бути досягнута, якщо три букви, які ми хочемо розгадати, міститься у слові-ході в таких кількостях: 1, 2, 4 або 2, 3,4. Проте чи є такі слова в російській мові, нам теж невідомо. Про це дітям запропонували подумати будинку.
Вчителем: Давайте ще раз пригадаємо деякі моменти. Для кожної букви алфавіту відповісти на наступне питання: за яку найменування число ходів можна точно визначити, чи міститься ця буква в задуманому слові чи ні?
Учні: Будь-яку літеру (виключаючи ред) можна знайти не більше ніж за два ходи! Необхідну пару слів для відгадування 12 букв можна утворити так: одне слово скласти з літер другого слова з додаванням шуканої літери. Однакові відповіді на ці слова покажуть, що в задуманому слові даної літери немає, а різні, що є. Наприклад, однакові відповіді на ходи РАЙ та АР означають, що літери Й у задуманому слові немає, а різні (вони можуть відрізнятися тільки на 1), що є. Усього даним прийомом визначається 12 літер (таблиця 1).
Для 'вдалося знайти тільки триходове рішення. Цікаво, що якщо букви Е і Е не розрізнити, то і для 'достатньо двох слів - мопедів, ПІДЙОМ.
Вчитель підводить підсумок: На практиці, звичайно, рідко прагнуть знайти якусь одну певну букву задуманого слова. У процесі гри виникають різні ситуації, і не варто гнатися за однією буквою, а краще спробувати отримати більше інформації про задуманий слові противника.
У третій партії, зігравши словом із семи літер, ми відразу відгадали задумане слово, хоча при цьому довелося провести певний аналіз. У наступному прикладі визначити задумане слово по семібуквенному ходу не так легко.
Парапет 7
Отримана відповідь відразу дає нам п'ять букв: П, А, Р, Е, Т і разом з ними слово Патер.
Тепер можна сформулювати таку цікаву задачу.
Завдання 4. Придумати якомога більш довге слово, яке на першому ж ходу (при вдалому для вас відповіді противника) допоможе відгадати нам задумане слово.
Оскільки семібуквенное тестове слово ми вже знаємо, шукати слід слова з восьми, дев'яти і більше букв.
Щодо вирішення цієї задачі ви подумаєте будинку.
Отже, нами була розглянута гра відгадай слово. Ми спробували знайти оптимальну стратегію, для більш швидкого визначення загаданого слова. Так само можна зробити висновок, що початку гри, мабуть, має сенс ходити словами, в яких більше голосних - голосних в алфавіті менше, ніж приголосних, і, отже, є шанси швидше відгадати їх. Для виявлення однієї конкретної букви найкраще зіграти словом з великим числом її входжень. Наприклад, на слово Обороноздатність відповідь, менший семи, означає, що букви О в задуманому слові немає, а відповідь 7 або більше, що вона майже напевно в ньому є. Звичайно, питання про букву Про вирішує і хід ОКО (або БОБ), але він дає нам набагато менше інформації про інших буквах.
Зауваження: Граючи в відгадай слово школярі аналізували те, якими словами краще грати, щоб за менше число ходів вгадати задумане слово. З допомогою вчителя були розібрані кілька партій і в кожній новій партії школярі швидше приходили до висновків. Школярами були розглянуті кілька завдань. Наприклад, у задачі, в якій було запропоновано поміняти правила гри і замість російських слів (іменників, загальним, в однині) робити ходи розділами букв, школярі навчалися оперувати абстрактними поняттями. У іншої задачі учні намагалися знайти слова, точно визначають наявність букви в слові. Роблячи це вони групували (проводили класифікацію) за кількома групами: ті які можна визначити за допомогою одного слова і ті які можна визначити за допомогою двох-трьох.
Так як ця гра пов'язана зі знанням російської мови деяким школярам, ​​які знають більше добре російську мову, було цікаво, вони себе відчували сильнішими, в ситуації успіху. Але з іншого боку тут доводилося проводити логічний аналіз.

2.5 Бики і корови (3ч)

Учитель пояснює правила гри і пропонує розглянути перший приклад разом: Ця логічна, комбінаторна гра, придумана порівняно недавно, в 70-і роки, завоювала величезну популярність у багатьох країнах. Її найбільш поширений варіант випускається у вигляді комплекту під назвою "Mastermind" (мастермайнд, буквальний переклад - "видатний розум"). Але почнемо нашу розповідь з "биків і корів".
Грають двоє. Кожен задумує чотиризначне число з різними цифрами, яке має відгадати партнер (на першому місці може стояти 0). Хід полягає в тому, що відгадують називає певне число, також чотиризначне з різними цифрами. Якщо задумане і назване числа мають загальні цифри, які перебувають на одних і тих же місцях, то таку ситуацію називають "биком" (далі позначається "б"). Якщо загальні цифри є, але коштують вони на різних місцях, то це "корова" (позначається "до").
У відповідь на хід партнера загадчік порівнює своє число з назвою і повідомляє загальне число "биків" і "корів". Наприклад, якщо задумано 5239, а названо 2735, то відповідь буде "1 бик 2 корови" (1б 2к). Цифра 3 є в обох числах і стоїть на однакових місцях (1б), цифри 2 і 5 загальні, але стоять на різних місцях (2к), цифри 7 і 9 не є загальними.
Зробивши хід і отримавши відповідь, отгадчику витягує деяку інформацію про задуманий числі і, врешті-решт, визначає його. Гра закінчується в той момент, коли на черговий свій хід він отримує відповідь 4б, тобто задумане число знайдено. Виграє той, хто швидше відгадає число противника.
Наведемо один приклад. Припустимо, що партнер задумав число 3594, яке нам потрібно відгадати. Ходи і відповіді на них будемо записувати в табл.2.
Таблиця 2

Номер ходу	Ходи	Відповідь суперника
1 2 3 4 5 6	1568 1586 1658 2570 4539 3594	1б 1б 1к 1б 1б 3к 4б

Наш перший хід 1568 дав відповідь 1б. що це значить?
Учні: Це означає, що у задуманому числі має всього одна цифра з названих, причому стоїть на своєму місці.
Вчитель: Постараємося відгадати її, не привертаючи поки - щоб не заплутатися - інші цифри. Зробимо другий хід 1586. Відповідь 1б. Про що він говорить?
Учні: Це говорить про те, що на своєму місці стоїть цифра 1 або 5.
Вчитель: Тепер слід третій хід 1658, і відповідь 1к. Що він показує?
Учні: Ця відповідь показує, що в задуманому числі на другому місці коштує 5, а цифр 1, 6, 8 у ньому немає.
Вчитель: Ходом 2570 постараємося з'ясувати наявність цифр 2, 7 і 0. Відповідь 1б. що він нам дає?
Учні: Ця відповідь вельми вдалий - цих цифр у шуканому числі немає. Отже, ясно, що задумане число складається з цифр 3, 4.5, 9, причому на другому місці - 5.
Вчитель: Зробимо наступний хід 4539. Відповідь 1б 3к. Що це означає?
Учні: Це означає, що задумано одне з чисел - 3594 або 9543. Якщо перша цифра 3, то 9 може бути тільки третьою, а якщо перша 9, то 3 тільки четвертою.
Вчитель: Хід 3594 і відповідь 4б привів нас до мети; відповідь 1б 3к означав би, що задумане число 9543, в цьому випадку партія тривала б на хід довше.
Вчитель: Перед тим як почати гру, давайте послухаємо доповідь, відзнаку биків і корів від мастермайнда:
Доповідач: У комплекті мастермайнда роль цифр виконують кілочки шести кольорів (червоні, жовті, сині, зелені, білі, чорні), вони вставляються в отвір дошки, яка виглядає приблизно так, як показано на рис.13. Задуманий набір кодових кілочків - цифр (угорі дошки) шифрувальник загороджує спеціальними воротами, і його не видно расшіфровальщіку.
Для кожного ходу також передбачені чотири отвори, а ще чотири отвори, розміром трохи менше, розташовані зліва - для відповіді на нього.
Хід полягає в тому, що отгадчику вставляє в отвори чотири кольорові кілочка, а загадчік у відповідь маленькі ключові кілочки двох кольорів (чорні і білі) в отвір ліворуч від ходу (в будь-якому порядку). Чорні кілочки виконують роль "биків", а білі "корів". Якщо вгадані не всі кольори, то деякі отвори залишаються порожніми.

Малюнок 13
У прикладі на малюнку 13. обраний шифр ксбж. При ході зчсж відбулася одна повний збіг (ж) і один колір (с) опинився не на своєму місці. Таким чином, відповідь БЧ (по-старому 1б 1к). на другому ходу відповідь чбб, на третьому - ббчч (визначені всі чотири кольори), на четвертому - чччч. Гра закінчена. Партія тривала чотири ходи. Взагалі, як ми бачимо, дошка розрахована на десять ходів (тільки зовсім не досвідчені гравці не вкладаються в ці рамки).

У перекладі мастермайнда на язик "биків і корів" ми отримуємо, що задумане число і числа-ходи дозволяється утворювати лише з шести цифр (шість кольорів кілочків). Правда, кольору кілочків в шифрі і ходах можуть повторюватися (на відміну від "биків і корів", де всі цифри різні). Так, на рис.13. у дев'ятій рядку зроблений хід сскк. Відповідь на нього чб (синій колір на своєму місці, червоний не на своєму) обидва кольори вважаються тільки один раз. При шифрі ккбж і тому ж ході сскк червоний колір вважався б вже двічі, і відповідь ББ.
Сформулюємо більш точно, як дається відповідь на кожен хід у мастермайнде. Спочатку порівнюються кольору першого кілочків шифру і ходу. Якщо вони збігаються, ставиться чорний кодової кілочок ("бик"), а перші кілочки шифру і ходу виключаються з розгляду. Якщо вони різні, порівнюються кольору першого кілочка шифру і другого кілочка ходу. При збігу ставиться білий кодовий кілочок ("корова"), а перший кілочок шифру і другий ходу виключається з розгляду. Якщо кольори різні, порівнюються кольору першого кілочка шифру і третього кілочка ходу і т.д. Коли перший кілочок шифру буде виключений з розгляду (або сам по собі, або при одному з збігів квітів - разом з відповідним кілочком ходу), точно такий же послідовно порівнюється колір другий кілочка з кольором шифру з квітами кілочків ходу, а потім аналогічно третій і четвертий кілочки шифру. Очевидно, для шифру і ходів у таблиці 2 наша процедура дасть ті ж відповіді.
Мастермайнд відрізняється зовнішньою привабливістю - красива дошка, різнокольорові кілочки, ворота і т.д. Проте у "биків і корів" іншу перевагу - для гри не потрібно нічого, крім паперу й олівця.
Для відгадування числа в "биках і коровах" або шифру в мастермайнде партнер повинен як би придумати тест для розгадування числа або шифру.
У мастермайнде на будь-якому місці може стояти кілочок будь-якого кольору (з шести можливих), тобто всього 6 ⁴ = 1296 варіантів.
Учитель: Давайте повернемося до биків і корів. Визначимо скільки різних чисел може бути загадане в биках і корів.
Учні роблять висновок: загадуючи число в "биках і коровах", його першу цифру можна вибрати десятьма способами, другу - дев'ятьма (одна цифра зайнята), третю - вісім, нарешті, четверту - сім, все маємо 10Ч9Ч8Ч7 = 5040 різних чисел.
Учитель: Отже, ми визначили, що в "биках і коровах" є 5040 різних чисел, які можна загадувати і якими можна ходити. А скільки існує різних відповідей? Всі вони вказані у другому стовпці таблиці 3, їх 14 (очевидно, відповідь 3б 1к неможливий). Горизонтальною лінією в таблиці розділені випадки, в яких виявлені всі чотири цифри, три цифри, дві, одна і жодної. У третьому стовпці зазначено кількість чисел, які можуть дати відповідну відповідь на першому ходу. Найприємніший відповідь, звичайно, 4б, відразу закінчує гру. Як ми бачимо, найбільша різноманітність можливих чисел залишається при відповіді 1к - 1440.
Таблиця 3

Номер ходу	Відповіді	Кількість чисел, що дають відповідну відповідь на першому ходу
1 2 3 4	4б 2б 2к 1б 3к 4к	1 6 8 9
5 6 7 8	3б 2б 1к 1б 2к 3к	24 72 216 264
9 10 11	2б 1б 1к 2к	180 720 1260
12 13	1б 1к	480 1440
14	0б 0к	360

Зрозуміло, результат гри, тобто кількість ходів, за яке відгадуються задумане число, в якійсь мірі залежить від випадку. Але багато що визначається і мистецтвом, що грають. Тут виникає питання: що розуміти під майстерністю гри в "бики і корови"? Адже навіть початківець гравець вже першим ходом може випадково відгадати задумане число, але це ще не говорить про його вміння.
Припустимо, гравці А і Б зіграли матч з трьох партій. Гравець А у всіх трьох партіях відгадав число партнера за 5 ходів. Гравець Б у двох партіях відгадав число за 4 ходи, а в одній за 9. Хто грав краще? Гравець Б виграв матч з рахунком 2: 1, але ж загальна кількість ходів у нього більше. Якщо, скажімо, в шахах важлива сама перемога незалежно від тривалості партії, то в "биках і коровах" саме швидкість відгадування, кількість витрачених ходів власне і складають результат гри. Тим самим, якщо вважати за загальним числом ходів, то отримав перемогу гравець А.
Давайте тепер пограємо, один з вас буде загадувати число, а я буду його відгадувати. Решта учнів будуть аналізувати гру. Для визначеності я завжди буду починати з числа 1234.
Будуть розглянуті кілька партій. Розібравши їх, вийде непогана ілюстрація тонкощів гри в "бики і корови". Будуть вивчені всі ситуації, коли відповідь супротивника на перший хід - для визначеності число 1234 - збігається з одним із перших п'яти в таблиця 2. При відповіді 4б партія триває всього один хід, а для кожного з чотирьох інших випадків буде вказано спосіб гри, який гарантує відгадування задуманого числа за найменшу кількість ходів. Іншими словами. За скільки ходів число противника буде точно відгадати, яким би воно не було.
Партія 1. На перший хід 1234 учень дав відповідь: 2б 2к.
Учитель задає питання: Яку найменшу кількість ходів гарантує відгадування задуманого числа?
Учні аналізують і приходять до висновку: Тільки шість задуманих чисел у відповідь на перший хід 1234 можуть дати відповідь 2б 2к (таблиця 4, перший стовпець), і при будь-якому другому ході принаймні три з них дадуть однакову відповідь.

Таблиця 4

Після 1-го ходу 1234 і відповіді 2б 2к	2-й хід 1356	Третій хід 3256
1324 1432 1243 4231 3214 2134	2б 1б 1к 1б 1к 2к 2к 2к	- 2к 1б 1к 1б 1к 2б 2к

Вчитель робить другий хід і одночасно аналізує: Другим ходом зіграємо 1356 (замість цифр 5 і 6 можна було б взяти і інші, відмінні від 1, 2, 3,4). Які можуть бути відповіді?
Учні аналізують всі можливі варіанти і приходять до висновку: Може бути три можливі відповіді. Всі можливі відповіді знаходяться в другому стовпці таблиці. Відповідь 2б відразу визначає задумане число - 1324 (у інших чисел іншу відповідь), відповідь 1б 1к залишає два варіанти, а відповідь 2к - три.
Учень на хід 1356 дав відповідь: 2к.
Вчитель робить третє хід: Третій хід 3256.
Учні знову аналізують: Третій хід (з урахуванням другого) вносить повну ясність - всі п'ять чисел-кандидатів дають різну пару відповідей. Прочерк у таблиці 3 (і усіх наступних таблицях) означає, що при відповідному ході "реакція" на нього даного числа нас вже не цікавить. Таким чином, на четвертому ходу гарантував відповідь 4б і партія триває не більше чотирьох ходів.
Учень дає відповідь: 2к.
З цією відповіддю вчитель одразу відгадує число: 2134.
Так само вчитель робить зауваження до цієї партії: Типова і зовсім не очевидна помилка, яку допускають багато, хто вирішують це завдання, полягає у використанні для гри чисел, які містять лише цифри 1, 2, 3,4. Логіка тут проста - раз всі цифри відомі, то навіщо підключати нове? Однак при такому підході задумане число з гарантією визначається на п'ятому ходу (відповідь 4б).
Партія 2. Нова партія, знову хід вчителя 1234, але відповідь на перший хід: 1б 3к.
Учні аналізують і роблять висновок: На перший хід 1234 вісім чисел можуть дати відповідь 1б 3к (таблиця 5).
Вчитель робить другий хід: 1256.
При цьому ході вчитель отримує відповідь: 1б 1к.
Учитель пропонує проаналізувати: Які можливі варіанти відповідей можуть бути на друге число?
Учні аналізують і висувають гіпотезу: При будь-якому другому ході хоча б одна четвірка чисел дає один і той же відповідь.
Вчитель підводить підсумок: Для з'ясування ситуації знадобляться ще два ходи. При другому ході 1256 числа поділяються на дві групи; для чисел першої групи (відповідь 1б 1к) зробимо третій хід 1563, а для чисел другої групи (відповідь 2к) - хід 2564. Так як я отримав відповідь 1б 1к, я роблю хід 1563.
Вчитель одержує відповідь: 1б 1к.
Учні аналізують і приходять до висновку: Після цього залишаються дві пари чисел в кожній групі, що вимагають ще одного ходу.
Вчитель робить четвертий хід: Четвертий хід 1564 повністю прояснює картину. Таким чином, друга партія ділиться не більше п'яти ходів.
І дійсно, він отримує відповідь: 2к.
Вчитель з легкістю визначає число: 4213.

Таблиця 5

Після 1-го ходу 1234 і відповідь 1б 3к	Другий хід 1256	Третій хід		4-й хід 1564
		1563	2564
1423 3241 1342 4213 2314 4132 3124 2431	1б 1к 1б 1к 1б 1к 1б 1к 2к 2к 2к 2к	2б 2к 1б 1к 1б 1к	- 2б 2к 1б 1к 1б 1к	- 1б 1к 2к 1б 1к 2к

Партія 3. Нова партія, знову хід 1234, але відповідь на перший хід інший: 4к.
Учням знову пропонується проаналізувати. І вони приходять до висновку: У відповідь на перший хід 1234 дев'ять чисел можуть дати відповідь 4к (таблиця 6).
Вчитель робить другий хід: 3102.
Учні аналізують і приходять до висновку: 3102 розшифровує два числа, а інші сім ділить на дві групи.
Вчитель підтверджує це і підводить підсумок: В одній групі вирішує хід 4153, а в іншій - 2456. Четвертий хід завершить партію (буде отримано відповідь 4б).
І дійсно, на хід 4156, учитель отримав відповідь: 1б 2к.
Зробив новий хід: 4153.
Отримав відповідь: 3б.
Це і вирішило результат гри, вчитель з легкістю відгадав число: 4123.
Таблиця 6

Після 1-го ходу 1234 і відповіді 4к	2-й хід 3102	Третій хід
		4153	2456
3142 3412 2143 3421 4123 4312 2341 2413 4321	3б 2б 1к 1б 2к 1б 2к 1б 2к 1б 2к 3к 3к 3к	- 2б 1к 3к 3б 1б 2к	- 1б 1к 2б 2к

Партія 4. Нова партія, знову хід вчителя 1234, але відповідь на перший хід: 3б.
Учні аналізують і приходять до висновку: Відповідь 3б на перший хід 1234 дають 24 числа. Три цифри можна зафіксувати на своїх місцях чотирма способами, а для четвертої є шість можливостей: 0, 5, 6, 7, 8, 9, тобто всього 4 * 6 = 24 варіанту.
Учитель пропонує розглянути таблицю: Розглянемо таблицю 7а. У її перших чотирьох рядках α позначає будь-яку з цифр 8, 9, 0. Таким чином, тут представлені всі 24 можливості. Зробимо другий хід 1567. Що означатиме відповідь 0б 0к?
Учні роблять висновок: Відповідь 0б 0к залишає вибір з трьох нерозгаданих чисел.
Вчитель підводить підсумок: Для цього годиться третій хід 8934 (табл.7б). При відповіді 2б можна зіграти 1506 (табл.7в), а у відповідях 1к - 5634 (табл.7г). Давайте розберемо які відповіді можуть бути на такі ситуації?
Учні аналізують і приходять до висновку: В усіх цих варіантах відповіді виходять різні, що і допомагає з легкістю визначити задумане число.
Таблиця 7а

Після 1-го ходу 1234 і відповіді 3б	2-й хід 1567
α234 1α34 12α4 123α	0б 0к 1б 1б 1б
1534 1264 1237	2б 2б 2б
5234 6234 7234	1к 1к 1к
1254 1274 1235 1634 1236 1734	1б 1к 1б 1к 1б 1к 1б 1к 1б 1к 1б 1к

Таблиця 7б

Відповідь на 2-й хід 0б 0к	Третій хід 8934
8234 9234 0234	3б 2б 1к 2б

Таблиця 7в

Відповіді на 2-й хід 2б	Третій хід 1506
1534 1264 1237	2б 1б 1к 1б

Таблиця 7г

Відповідь на 2-й хід 1к	Третій хід 5634
5234 6234 7234	3б 2б 1к 2б

Таблиця 7д

Відповідь на 2-й хід 1к	Третій хід 3564	4-й хід
		5896	5698
1834 1934 1034	1б 1к 1б 1к 1б 1к	1б 1к 0б 0к	-
1284 1294 1204	1б 1б 1б	1к 1б 0б 0к	-
1238 1239 1230	1к 1к 1к	-	1б 1к 0б 0к

Таблиця 7е

Відповідь на 2-й хід 1б 1к	Третій хід 0254	4-й хід 0689
1254 1274 1235 1634 1236 1734	3б 2к 1б 1к 1б 1б 1б	- 1б 1к 0б 0к

Учитель пропонує скласти ще одну таблицю: Для дев'яти чисел з відповіддю 1б в табл.7 складемо табл.7д (знову α може приймати одне зі значень - 8, 9, 0). Робимо третій хід 3564. Що станеться?
Учні приходять до висновку: Третій хід розділяє їх на три рівні групи, четвертим ходом числа ідентифікується, і п'ятий хід завершує гру (відповідь 4б).
Вчитель: У нас залишилося ще шість чисел, розташованих в нижніх рядках табл.7, випишемо їх окремо (таблиця 7е). Який висновок можна зробити звідси?
Учні: І з цієї шісткою вдається розібратися за два додаткові ходу. Отже, знову партія ділиться не більше п'яти ходів.
І дійсно, вчитель робить другий хід: 1567.
Отримує відповідь: 2б.
Третій хід вчителя (таблиця 7в): 1506.
І знову вчитель отримує відповідь: 2б.
І тепер вчитель з легкістю може назвати число: 1534.
Учень підтверджує, що число відгадати.
Вчитель підводить підсумок: Результати всіх розглянутих партій зібрані в таблиці 8.
Таблиця 8

Відповідь на 1-й хід	Кількість можливих чисел	Найбільша довжина партії
2б 2к 1б 3к 4к 3б	6 8 9 24	4 5 4 5

Розібрані приклади показують, що майстерна гра в "бики і корови" вимагає тонкого математичного розрахунку.
Вчитель підводить підсумок заняття: У грі бики і корови були розглянуті кілька партій з різними початковими відповідями, що допомогло більш детально проаналізувати гру. Так само була розглянута гра мастермайнд. Тепер ви можете продовжити гру самостійно.
Зауваження: Коли учні почали аналізувати гру, приходили до висновку про те, що довжина партії в загальному випадку залежить від першого ходу, тому вони вивчають скільки варіантів відповіді може дати людина, який задумав число. Так як у грі хрестики-нулики дуже багато чого залежало від першого ходу, то тут учні приходять до думки про те, що потрібно розглянути всі можливі варіанти відповіді на перший хід набагато швидше.
Відзначимо, що якщо спочатку першої партії учні довго думали над питаннями вчителя, то ближче до кінця школярі стали відповідати швидше і проводити аналіз більш правильно. Якщо учні досить сильні, то до кінця заняття вони вже можуть проводити аналіз партій без допомоги вчителя. Про те на скільки учні зрозуміли основні моменти заняття можна судити з того на скільки ретельно і правильно вони проводять аналіз партій в кінці заняття (коли грають один з одним).

Висновок

Найважливішим завданням математичної освіти є озброєння учнів загальними прийомами мислення, розвиток здатності розуміти зміст поставленої задачі, вміння логічно міркувати, засвоїти навички алгорітмічного мислення.
Кожному важливо навчиться аналізувати, відрізняти гіпотезу від факту, чітко висловлювати свої думки, а з іншого боку - розвинути уяву та інтуїцію (просторове уявлення, здатність передбачати результат і угадати шлях рішення). Саме математика надає сприятливі можливості для виховання волі, працьовитості, наполегливості і подоланні труднощів, завзятості в досягненні цілей.
Мені здається, що в процесі вивчення математики найкраще може бути сформульовано саме логічне мислення.
Підводячи підсумки роботи, хочеться відзначити:
Необхідність розвитку логічного мислення учнів не викликає сумнівів;
Математика представляє широкі можливості для цього;
Математичні ігри в цікавій формі сприяють розвитку логічного мислення та інтересу до математики в цілому.
У своїй роботі я спробувала розробити факультативний курс за допомогою якого можна розвивати у школярів уміння аналізіровть, порівнювати, узагальнювати і т.д.
Мені було цікаво і цікаво вивчати цю тему, планую продовжити подальше вивчення.

Список літератури

1. Абдулін, О. А. Педагогіка / О.А. Абдулін. - Москва: Просвещение, 1983.
2. Алдер, Х. НЛП. Сучасні психотехнології / Херрі Алдер. - Санкт-Петербург: Питер, 2000.
3. Астапов, В. М. Діагностика розвитку понятійних форм мислення / В.М. Астапов. - Москва: аркто, 2000.
4. Бабанський, Ю. К. Методи навчання в сучасній загальноосвітній школі / Ю.К. Бабанський. - Москва: Просвещение, 1985.
5. Бурмістрова, Є. В. Розвиток логічного мислення дітей старшого шкільного віку через дидактичні ігри / Логічні дослідження 1996, № 5.
6. Войшвилло, А. Г. Самовчитель мислення 2-е вид. / О.Г. Войшвилло. - Москва: Інформаційно-Впроваджувальний центр "Маркетинг", 2001.
7. Гетманова, А. Д. Підручник по логіці / А.Д. Гетманова. - Москва: Владос, 1995.
8. Гік, Є. Я. Цікаві математичні ігри / Є.Я. Гик. - Москва: Знання, 1987.
9. Гусєв, Д. А. Мистецтво правильного мислення / Д.А. Гусєв. - Москва: НЦ ЕНДС, 2003.
10. Данилко, А. А. Загальна психологія / А.А. Данилко, Н.С. Данілкова. - К.: МДПУ, 2007.
11. Дишинського, Е. А. Ігротека математичного гуртка / Е.А. Дишніцкій. - Москва: Наука, 1972.
12. Зак, А. З. Відмінності в мисленні дітей. Навчально-методичний посібник / О.З. Зак. - Москва: Владос, 1992.
13. Звєрєв, а. А. Збірник бізнес-планів з рекомендаціями й коментарями / О. О. Звєрєв, В.М. Попов, С.І. Ляпунов, С.Г. Млодік. - Москва: Владос, 2000.
14. Івін, А. А. Мистецтво правильно мислити / А.А. Івін. - Москва: Просвещение, 1986.
15. Кондаков, М. І. Логічний словник / Н.І. Кондаков. - Москва: Наука, 1971.
16. Кулагіна, І. Ю. Вікова психологія / І.Ю. Кулагіна. - Москва: Наука, 1998.
17. Макаренко, А. С. Про виховання в сім'ї / А.С. Макаренко. - Москва: Учредгіз, 1955.
18. Основи загальної психології / під ред. Ю.В. Александрової. - Москва: Наука, 1999.
19. Підласий, І. П. Педагогіка / І.П. Підласий. - Москва: Владос, 2003.
20. Прокоф'єв, А. А. Універсальний довідник з математики / А.А. Прокоф'єв, І.Б. Кожухов. - Москва: Лист Нью, 2003.
21. Психологія - Словник / під ред. А.В. Петровського, М.Г. Ярошевського. - Москва: Видавництво політичної літератури, 1990.
22. Психологія. Підручник для студентів педагогічних навчальних закладів / за ред. І.В. Дубровиной, О.Є. Данилової, А.М. Прихожан. - Москва: Академія, 2001.
23. Рудня, Н. Педагогічна психологія / М. Руднєв. - Москва: Наука, 2000.
24. Сіденко, А. Ігровий підхід у навчанні / Народна освіта, 2000, № 8.
25. Столяр, А. А. Як математика розум до ладу приводить / А.А. Столяр. - Мінськ: Вишейшая школа, 1991.
26. Технологія ігрової діяльності: навчальний посібник / Л.А. Байкова, Л.К. Теренкіна, О.В. Єрьомкін. - К.: РГПУ, 1994.
27. Тропіна, М. В. Інтелектуальні математичні ігри / Н.В. Тропіна, Л.М. Коваленко. - К.: Вид. МДПУ, 2000.
28. Холіна, Л. І. Психологія і педагогіка / Л.І. Холіну. - К.: МДПУ, 2008.
29. Шадрін, Д. А. Логіка / Д.А. Шадрін. Москва: Наука, 1998.
30. Ельконін, Д. Б. психологія гри / Д.Б. Ельконін. - Москва: Педагогіка, 1978.