Основні поняття.
Метою математичного моделювання економічних систем є використання методів математики для найбільш ефективного вирішення завдань, що виникають в у сфері економіки, з використання, як правило, сучасної обчислювальної техніки.
Процес вирішення економічних завдань здійснюється в кілька етапів:
1. Змістовна (економічна) постановка задачі. Спочатку потрібно усвідомити завдання, чітко сформулювати її. При цьому визначаються також об'єкти, які відносяться до розв'язуваної задачі, а також ситуація, яку треба реалізувати в результаті її рішення. Це - етап змістовної постановки задачі. Для того, щоб завдання можна було описати кількісно і використовувати при її вирішенні обчислювальну техніку, потрібно зробити якісний і кількісний аналіз об'єктів і ситуацій, які мають до неї відношення. При цьому складні об'єкти, розбиваються на частини (елементи), визначаються зв'язку цих елементів, їх властивості, кількісні та якісні значення властивостей, кількісні й логічні співвідношення між ними, що виражаються у вигляді рівнянь, нерівностей і т.п. Це - етап системного аналізу завдання, в результаті якого об'єкт виявляється представленим у вигляді системи. Наступним етапом є математична постановка задачі, у процесі якої здійснюється побудова математичної моделі об'єкту і визначення методів (алгоритмів) отримання рішення задачі. Це - етап системного синтезу (математичної постановки) завдання. Слід зауважити, що на цьому етапі може виявитися, що раніше проведений системний аналіз привів до такого набору елементів, властивостей і співвідношень, для якого немає прийнятного методу розв'язання задачі, в результаті доводиться повертатися до етапу системного аналізу. Як правило, вирішуються в економічній практиці завдання стандартизовані, системний аналіз проводиться з розрахунку на відому математичну модель і алгоритм її вирішення, проблема полягає лише у виборі відповідного методу.
Наступним етапом є розробка програми вирішення задачі на ЕОМ. Для складних об'єктів, що складаються з великого числа елементів, що володіють великим числом властивостей, може знадобитися складання бази даних і засобів роботи з нею, методів вилучення даних, потрібних для розрахунків. Для стандартних завдань здійснюється не розробка, а вибір відповідного пакета прикладних програм і системи управління базами даних.
На заключному етапі проводиться експлуатація моделі і отримання результатів.
Таким чином, рішення задачі включає наступні етапи:
1. Змістовна постановка задачі.
2. Системний аналіз.
3. Системний синтез (математична постановка задачі)
4. Розробка або вибір програмного забезпечення.
5. Рішення завдання.
Послідовне використання методів дослідження операцій та їх реалізація на сучасній інформаційно-обчислювальної техніки дозволяє подолати суб'єктивізм, виключити так звані вольові рішення, засновані не на строгому і точному обліку об'єктивних обставин, а на випадкових емоціях і особистій зацікавленості керівників різних рівнів, які до того ж не можуть узгодити ці свої вольові рішення.
Системний аналіз дозволяє врахувати і використовувати в управлінні всю наявну інформацію про керований об'єкт, узгодити рішення, що приймаються з точки зору об'єктивного, а не суб'єктивного, критерію ефективності. Економити на обчисленнях при управлінні те ж саме, що економити на прицілюванні при пострілах. Однак ЕОМ не тільки дозволяє врахувати всю інформацію, а й позбавляє управлінця від непотрібної йому інформації, а всю потрібну пускає в обхід людини, представляючи йому тільки саму узагальнену інформацію, квінтесенцію. Системний підхід в економіці ефективний і сам по собі, без використання ЕОМ, як метод дослідження, при цьому він не змінює раніше відкритих економічних законів, а лише вчить, як їх краще використовувати.
1.1. Основні системні поняття
Кібернетична система - це безліч взаємопов'язаних об'єктів - елементів системи, здатних сприймати, запам'ятовувати і переробляти інформацію, а також обмінюватися інформацією. Система включає також зв'язки між елементами. Елементи і зв'язки між ними можуть мати властивості (показниками), кожне з яких може приймати деякий безліч значень. Приклади кібернетичних систем: автопілот, регулятор температури в холодильнику, ЕОМ, людський мозок, живий організм, біологічна популяція, людське суспільство.
Кожен елемент системи, у свою чергу, може бути системою, яка по відношенню до вихідної системи є підсистемою. У свою чергу, будь-яка система може бути підсистемою іншої системи, яка по відношенню до неї є надсістемой.
Середовищем даної системи називається система, що складається з елементів, що не належать цій системі.
Об'єднання двох систем є система, складена з елементів об'єднуються систем.
Перетин двох систем є система, що складається з елементів, що належать одночасно обом цим системам.
Об'єднання системи та її середовища називається система-універсум.
Перетин системи та її середовища називається порожньою системою. Вона не містить жодного елемента.
Для того, щоб елементи системи могли сприймати, запам'ятовувати і переробляти інформацію, вони повинні володіти мінливістю, тобто змінювати свої властивості. Кажуть, що елемент може перебувати в різних станах. Кожен елемент характеризується набором показників. При зміні значення хоча б одного з показників елемент переходить в інший стан, тобто стан елемента визначається сукупністю конкретних значень показників елемента. Система в цілому також може розглядатися як елемент, вона характеризується своїми показниками і може переходити з одного стану в інший.
Показники можуть бути числовими і нечисловими. Числові показники можуть бути безперервними і дискретними. Нечислові показники звичайно виражають у вигляді числових, наприклад - інтелект (коефіцієнт інтелекту), рівень знань студента (оцінка в балах), ставлення однієї людини до іншої (соціологічні індекси).
Елемент може здійснювати вплив на інші елементи системи, змінюючи їх стан. Для переходу елемента з одного стану в інший потрібна певна енергія. Якщо фізичний процес впливу одного елемента на інший дає також енергію для перекладу в інший стан, то на другий елемент здійснюється енергетичний вплив. Якщо ж вказаний процес дає тільки відомості про стан впливає елемента, а енергія для перекладу в інший стан елемента, на який спрямовано вплив, береться з іншого джерела, то на елемент здійснюється інформаційний вплив. Кажуть, що перший елемент передає сигнал другого елементу.
Сигнал є повідомлення про стан елемента.
Надалі ми будемо вживати термін "передача сигналу" замість "інформаційний вплив" і "вплив" замість "енергетичний вплив".
Стан елементу може змінюватися мимовільно, або в результаті сигналів і впливів, що надходять ззовні системи.
Повідомлення - це сукупність сигналів.
Сигнали, що виробляються елементами системи, можуть надходити за межі системи, в цьому випадку вони називаються вихідними сигналами системи. У свою чергу, на елементи можуть надходити сигнали ззовні системи, вони називаються вхідними. Аналогічним чином визначаються вхідні і вихідні впливу.
Структура системи - це сукупність її елементів і зв'язків між ними, за якими можуть проходити сигнали і впливу.
Входами називаються елементи системи, до яких включені вхідні дії або на які надходять вхідні сигнали.
Вхідними показниками називаються ті показники системи, які змінюються в результаті вхідного впливу або сигналу.
Виходами називаються елементи системи, які здійснюють вплив або передають сигнал в іншу систему.
Вихідними показниками називаються ті показники системи, зміни яких викликають вихідна вплив або вихідний сигнал, або самі є таким впливом або сигналом.
1.2. Класифікація систем.
Класифікацію кібернетичних систем ми проведемо за двома критеріями: ступінь складності системи та її детермінованість.
За ступенем складності системи бувають:
1. Прості.
2. Складні.
3. Надскладні.
До простих належать системи, що мають просту структуру і легко піддаються математичному опису, вони можуть бути реалізовані без використання ЕОМ.
Складними є системи, які мають багато внутрішніх зв'язків і складне математичний опис, що реалізовується на ЕОМ.
Надскладні системи не піддаються математичному опису.
Межі між вказаними класами розмиті і можуть з часом зміщуватися, наприклад, вдосконалення математичного апарату та обчислювальної техніки дозволяє дати опис систем, для яких це раніше було неможливо, або складне опис зробити простим.
За другим критерієм системи діляться на детерміновані та імовірнісні.
Всі можливі випадки виходять комбінуванням зазначених класів:
1. Прості детерміновані системи:
- Холодильник з регулятором;
- Система розміщення верстатів у цеху;
- Система автобусних маршрутів;
- Розклад занять факультету;
2. Складні детерміновані системи:
- ЕОМ;
- Кольоровий телевізор;
- Складальний автоконвейер;
3. Надскладні детерміновані системи:
- Шахи.
4. Прості імовірнісні системи:
- Лотерея;
- Система статистичного контролю продукції на підприємстві;
5. Складні імовірнісні системи:
- Система матеріально-технічного постачання на підприємстві;
- Система диспетчирування руху літаків поблизу великого аеропорту;
- Система диспетчирування енергетичної системи Росії;
6. Надскладні імовірнісні системи:
- Підприємство в цілому, включаючи всі його технічні, економічні, адміністративні, соціальні характеристики;
- Суспільство;
- Людський мозок.
У нашому курсі ми будемо цікавитися, головним чином, простими і складними системами, імовірнісними і детермінованими.
1.3. Динаміка системи
Стан системи - це сукупність значень її показників.
Всі можливі стану системи утворюють її безліч станів. Якщо в цій безлічі визначено поняття близькості елементів, то воно називається простором станів.
Рух (поведінка) системи - це процес переходу системи з одного стану в інший, з нього в третє і т.д.
Якщо перехід системи з одного стану в інший відбувається без проходження будь-яких проміжних станів, то система називається дискретною.
Якщо при переході між будь-якими двома станами система обов'язково проходить через проміжний стан, то вона називається динамічною (безперервної).
Можливі наступні режими руху системи:
1) рівноважний, коли система знаходиться весь час в одному і тому ж стані;
2) періодичний, коли система через рівні проміжки часу проходить одні й ті ж стану;
Якщо система перебуває в рівноважному або періодичному режимі, то говорять, що вона знаходиться в сталому або стаціонарному режимі.
3) перехідний режим - рух системи між двома періодами часу, у кожному з яких система перебувала в стаціонарному режимі;
4) аперіодичний режим - система проходить деякий безліч станів, однак закономірність проходження цих станів є більш складною, ніж періодичні, наприклад, змінний період;
5) ергодичної режим - система проходить весь простір станів таким чином, що з плином часу проходить скільки завгодно близько до будь-якому заданому стану.
Властивості об'єкта і його поведінка залежать від того, яким чином ми його представляємо у вигляді системи. Наприклад, якщо повітря, що знаходиться в цій кімнаті, уявити у вигляді системи молекул, кожна з яких характеризується своїми координатами і швидкістю, то поведінка такої системи буде ергодичність, якщо ж визначити його як систему, що складається з одного елемента, показниками якого є тиск і температура , то така система перебуває в рівноважному режимі.
Для всіх практичних завдань другий спосіб визначення системи переважно. Ми отримуємо просту детерміновану систему, а в першому випадку - надскладну імовірнісну, яку ми не зможемо дослідити, а якщо б навіть змогли, то ніде б не використовували отримані результати. Необхідно правильне визначення системи і при дослідженні економічних об'єктів, якими ми бажаємо керувати. Інструментом дослідження об'єктів для цілей вибору оптимальних способів керування є кібернетичне моделювання.
1.5. Кібернетичному моделювання
У процесі дослідження об'єкта часто буває недоцільно або навіть неможливо мати справу безпосередньо з цим об'єктом. Зручніше буває замінити його іншим об'єктом, подібним даному в тих аспектах, які важливі в даному дослідженні. Наприклад, модель літака продувають в аеродинамічній трубі, замість того, щоб відчувати справжній літак - це дешевше. При теоретичному дослідженні атомного ядра фізики представляють його у вигляді краплі рідини, що має поверхневий натяг, в'язкість тощо Керовані об'єкти є, як правило, дуже складними, тому процес управління невіддільний від процесу вивчення цих об'єктів.
Модель - це подумки яка надається або матеріально реалізована система, яка, відображаючи або відтворюючи об'єкт дослідження, здатна заміщати його так, що її вивчення дає нову інформацію про цей об'єкт.
При моделюванні використовується аналогія між об'єктом - оригіналом і його моделлю. Аналогії бувають наступними:
1) зовнішня аналогія (модель літака, корабля, мікрорайону, форма);
2) структурна аналогія (водопровідна мережа і електромережу моделюються за допомогою графів, що відображають всі зв'язки і перетину, але не довжини окремих трубопроводів);
3) динамічна аналогія (по поведінці системи) - маятник моделює електричний коливальний контур;
4) кібернетичні моделі відносяться до другого і третього типу. Для них властиве те, що вони реалізуються за допомогою ЕОМ. Сенс кібернетичного моделювання полягає в тому, що експерименти проводяться не з реальною фізичною моделлю об'єкта, а з його описом, який міститься в пам'ять ЕОМ разом з програмами, що реалізують зміни показників об'єкта, передбачені цим описом.
З описом виробляють машинні експерименти: міняють ті чи інші показники, тобто змінюють стан об'єкта та реєструють його поведінку в цих умовах. Часто поведінка об'єкта імітується у багато разів швидше, ніж насправді, завдяки швидкодії ЕОМ. Кібернетичну модель часто називають імітаційної моделлю.
Формування опису об'єкта (його системний аналіз) є найважливішою ланкою кібернетичного моделювання. Спочатку досліджуваний об'єкт розбивається на окремі частини і елементи, визначаються їх показники, зв'язку між ними і взаємодії (енергетичні та інформаційні). У результаті об'єкт виявляється представленим у вигляді системи. При цьому дуже важливо врахувати все, що має значення для тієї практичної задачі, у якій виникла потреба в кібернетичному моделюванні, і разом з тим не ускладнювало систему.
Наступним етапом є складання математичних моделей ефективного функціонування об'єкту і його системної моделі. Потім проводиться програмування опису і моделей його функціонування.
Поняття управління
Управління - це таке вхідний вплив або сигнал, в результаті якого система веде себе заданим чином. Зазвичай управління спрямоване на те, щоб система перебувала в стаціонарному режимі (рівноважному або періодичному).
Управління розвитком системи - це дії або сигнали, спрямовані на зміну структури чи безлічі станів системи. Наприклад, план реконструкції підприємства. У цьому випадку здійснюється управління поведінкою системи, яка реалізує розвиток даної системи.
Таким чином, управління завжди має певну мету. Зазвичай вона формулюється як обмеження на безліч можливих станів системи, або який-небудь показник системи, який потрібно підтримувати в заданих межах, або максимізувати. Якщо відома залежність зазначеного показника від вхідних впливів на систему, або її стану, то він називається цільовою функцією.
Часто мета не може бути досягнута відразу, а необхідно пройти кілька етапів, на кожному з яких є локальна ціль, не збігається з головною метою. Ці локальні цілі називаються завданнями управління. Приклад: автобус йде по маршруту. Мета - кінцевий пункт. Завдання - проїхати по даній вулиці. Може виявитися, що напрямок руху по вулиці сильно відрізняється від напрямку на кінцевий пункт.
Для здійснення процесу управління потрібно наявність трьох елементів:
- Керований об'єкт;
- Орган управління;
- Виконавчий орган.
Орган управління - це система, на вхід якої надходять сигнали про стан керованого об'єкта і середовища, а на виході - сигнал про необхідний в даній ситуації управлінні.
Виконавчий орган - це система, на вхід якої надходить сигнал про необхідний управлінні, а на виході виробляється керуючий вплив на керований об'єкт.
Система управління об'єднує орган управління і виконавчий орган.
Системи управління бувають наступними:
1) ручні - без використання обчислювальної техніки;
2) автоматизовані - використовується обчислювальна техніка, яка приймає на себе основний потік інформації, однак людина залишається найважливішою ланкою системи управління, функцією якого є прийняття рішень або затвердження рішень, вироблених ЕОМ;
3) автоматичні - людина не бере участь у процесі управління і не входить у цю систему управління. Зазвичай він здійснює контроль за правильністю функціонування об'єкта управління і втручається тільки при виникненні особливих (наприклад, аварійних) ситуацій. У автоматичних системах управління людина є ланкою іншої системи управління, для якої керованим об'єктом є дана автоматична СУ з її керованим нею об'єктом.
. Схема управління
z B
 | |||
УО | |||
ІЕ |
u
xy
ІВ
УО - керований об'єкт;
ЗУ - орган управління;
ІС - виконавчий орган;
ІЕ - джерело енергії керуючих впливів;
x - управління (вхід УО);
y - вихід УО, що характеризує його стан (результат управління);
u - керуючий сигнал;
В - обурення середовища;
z - інформація, яка надходить в ОУ.
Виконавчий орган зображений у вигляді вентиля, що відображає процес, що відбувається в ньому: малопотужне вплив призводить в рух великий потік енергії, що йде в УО в якості управляючого впливу (вимикач, кран і т.п.), тобто ОУ сам є виконавчим органом по відношенню до ІС.
2.3. Способи управління
Розрізняють три способи управління, в залежності від того, на підставі якої інформації ОУ формує керуючий сигнал.
1) Управління по відхиленню - використовуються відомості про зміни виходу УО, його поведінки. Цей спосіб реалізує замкнута схема управління.
z
 | |||
УО | |||
ІЕ |
u
xy
ІВ
Тут є замкнутий контур y -> u -> x -> y, тому така схема управління називається замкненою. Зв'язок ОУ -> УО називається прямий, УО -> ОУ - зворотним зв'язком.
Зворотній зв'язок може бути позитивною і негативною. Позитивний зворотний зв'язок така, при якій збільшення y призводить до таких значень x, які тягнуть подальше зростання y, при негативній - зростання y призводить до значень x, що викликає зменшення y.
Приклади позитивного зворотного зв'язку: ланцюгові реакції, вибух, система аварійної сигналізації. У всіх подібних випадках невелике відхилення має викликати якомога більш енергійну реакцію керованого об'єкта.
Негативний зворотний зв'язок здійснюється, наприклад, при управлінні запасом товарів на складі: при виникненні істотного відхилення запасу від нормативного вживаються заходи щодо усунення цього відхилення - завезення товарів, або реалізація надлишку.
2) Управління по обуренню або навантаженні - використовуються відомості про стимулах на керований об'єкт з боку навколишнього середовища. Цей спосіб управління реалізує розімкнена схема управління.
+-------+ |
| ОУ