Контрольна робота
З ДИСЦИПЛІНИ«Математична статистика»
Завдання до контрольної роботи
1. Генеральна сукупність. Вибірка. Обсяг вибірки. Середнє значення. Дисперсія. Середньоквадратичне відхилення.2. Знайти коефіцієнт еластичності для зазначеної моделі в заданій точці X. Зробити економічний висновок. Модель:
3. Для представлених даних виконати наступне завдання:
3.1 Провести економетричний аналіз лінійної залежності показника від першого чинника. Зробити прогноз для будь-якої точки з області прогнозу, побудувати довірчу область. Знайти коефіцієнт еластичності в точці прогнозу.
3.2 Провести економетричний аналіз нелінійної залежності показника від другого чинника, скориставшись підказкою. Зробити прогноз для будь-якої точки з області прогнозу, побудувати довірчу область. Знайти коефіцієнт еластичності в точці прогнозу.
3.3 Провести економетричний аналіз лінійної залежності показника від двох чинників. Зробити точковий прогноз для будь-якої точки з області прогнозу. Знайти часткові коефіцієнти еластичності в точці прогнозу.
Продуктивність праці, фондовіддача і рівень рентабельності по хлібозаводам області за рік характеризуються наступними даними: № заводу | Фактор | Рівень рентабельності, % | |
Фондовіддача, грн | Продуктивність праці, грн | ||
1 | 38,9 | 3742 | 10,7 |
2 | 33,3 | 2983 | 11,3 |
3 | 37,7 | 3000 | 12,2 |
4 | 31,1 | 2537 | 12,4 |
5 | 29,4 | 2421 | 10,9 |
6 | 37,2 | 3047 | 11,3 |
7 | 35,6 | 3002 | 11,1 |
8 | 34,1 | 2887 | 14,0 |
9 | 16,1 | 2177 | 6,8 |
10 | 22,8 | 2141 | 7,1 |
11 | 21,7 | 2005 | 8,9 |
12 | 26,8 | 1843 | 4,2 |
13 | 23,3 | 2031 | 7,4 |
14 | 24,5 | 2340 | 11,4 |
15 | 19,9 | 1933 | 4,8 |
1. Генеральна сукупність. Вибірка. Обсяг вибірки. Середнє значення. Дисперсія. Середньоквадратичне відхилення
Генеральна сукупність - вся досліджувана вибірковим методом статистична сукупність об'єктів та / або явищ суспільного життя, які мають загальні якісні ознаки або кількісні змінні.
Вибіркова сукупність (вибірка) - частина об'єктів з генеральної сукупності, відібраних для вивчення, з тим щоб зробити висновок про всю генеральної сукупності.
Для того, щоб висновок, отримане шляхом вивчення вибірки, можна було поширити на всю генеральну сукупність вибірка повинна мати властивість репрезентативності.
Обсяг вибірки - загальна кількість одиниць спостереження в вибіркової сукупності. Визначення обсягу вибірки являє собою один з основних етапів її формування. Обсяг вибірки для генеральної сукупності позначається-N, для вибірки - n.
Середнє значення вибірки можна обчислити за формулою:
Дисперсія (від лат. Dispersio - розсіяння), в математичній статистиці та теорії ймовірностей, найбільш вживана міра розсіювання, тобто відхилення від середнього. Дисперсія обчислюється за формулою:
- Проста дисперсія,
Дисперсія є середня величина квадратів відхилень. Для цього достатньо витягти з дисперсії корінь другого ступеня, вийде середнє квадратичне відхилення (
або
Середнє квадратичне відхилення - це узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки в сукупності.
2. Знайти коефіцієнт еластичності для зазначеної моделі в заданій точці X. Зробити економічний аналіз
Відомо, що коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться в середньому результат, якщо фактор зміниться на 1%. Формула розрахунку коефіцієнта еластичності:
де f '(x) - перша похідна, що характеризує співвідношення приросту результату і фактора для відповідної форми зв'язку.
Отже отримаємо наступне математичний вираз
При заданому значенні X = 4 отримаємо, що коефіцієнт еластичності дорівнює Е = 0,25.
Припустимо, що задана функція
3. Продуктивність праці, фондовіддача і рівень рентабельності по хлібозаводам області за рік характеризуються наступними даними:
№ заводу | Фактор | Рівень рентабельності, % | |
Фондовіддача, грн | Продуктивність праці, грн | ||
1 | 38,9 | 3742 | 10,7 |
2 | 33,3 | 2983 | 11,3 |
3 | 37,7 | 3000 | 12,2 |
4 | 31,1 | 2537 | 12,4 |
5 | 29,4 | 2421 | 10,9 |
6 | 37,2 | 3047 | 11,3 |
7 | 35,6 | 3002 | 11,1 |
8 | 34,1 | 2887 | 14,0 |
9 | 16,1 | 2177 | 6,8 |
10 | 22,8 | 2141 | 7,1 |
11 | 21,7 | 2005 | 8,9 |
12 | 26,8 | 1843 | 4,2 |
13 | 23,3 | 2031 | 7,4 |
14 | 24,5 | 2340 | 11,4 |
15 | 19,9 | 1933 | 4,8 |
Послідовність виконання завдання 3
1. Вводимо дані. Визначаємо основні числові характеристики.
2. Будуємо діаграму розсіювання (кореляційне поле).
3. Визначаємо тісноту лінійного зв'язку за коефіцієнтом кореляції.
4. Будуємо лінійну модель вигляду у = bо + b 1 * х.
5. Визначаємо загальну якість моделі за коефіцієнтом детермінації R 2. Перевіряємо отриману модель на адекватність за критерієм Фішера
6. Перевіряємо статистичну значимість коефіцієнтів моделі.
7. За отриманою моделі розраховуємо значення показника Y для всіх точок вибірки і в точці прогнозу (точку прогнозу вибираємо довільно з області прогнозу).
8. Розрахуємо напівширину довірчого інтервалу d. =
9. Розрахуємо довірчий інтервал для всіх точок вибірки і в точці прогнозу: (Yd, Y + d).
10. Розраховуємо коефіцієнт еластичності:
11. Будуємо, використовуючи «Майстер діаграм», кореляційне поле, графік еластичності і довірливу область.
12. Робимо лист з формулами.
Рішення 1:
1. Вводимо дані. Визначаємо основні статистики. Будуємо кореляційне поле. По виду кореляційного поля висуваємо гіпотезу про нелінійної залежності між X і Y.
2. За допомогою формул переходу лінеарізуем нелінійну модель:
V = b 0 + b 1 u
3. Розраховуємо основні числові характеристики X, Y, V, U за допомогою «Майстра функцій» і функції «Описова статистика».
4. Продовжимо регресійний аналіз за допомогою вкладки «Аналіз даних» і функції «Регресія».
5. Обчислимо значення V (U), V min, V max.
6. Розрахуємо напівширину довірчого інтервалу d.
7. За формулами зворотного переходу перераховуємо значення Y, Ymin (ліва межа довірчого інтервалу ", Ymaх (права межа довірчого інтервалу).
8. Розраховуємо коефіцієнт еластичності
9. Будуємо довірчі області V (U) і Y (х) і графік еластичності.
10. Робимо лист з формулами.
Рішення 2:
1. Вводимо дані.
2. Визначаємо основні статистики.
3. За кореляційної таблиці перевіряємо фактори на колінеарність.
4. Будуємо лінійну модель вигляду y = b 0 + b 1 х + b 2 х.
5. Визначаємо загальну якість моделі за коефіцієнтом детермінації R 2. Перевіряємо отриману модель на адекватність за критерієм Фішера.
6. Перевіряємо статистичну значимість коефіцієнтів моделі.
7. За отриманою моделі розраховуємо значення показника Y для всіх точок вибірки і в точці прогнозу (точку прогнозу вибрали довільно з області прогнозу).
8. Розраховуємо часткові коефіцієнти еластичності:
- За фактором X1
- За фактором Х2
4. Економічний аналіз
Позначимо Фондоотдачу (грн.) - Х, Рівень рентабельності (%) - Y. Знайдемо основні числові характеристики.Обсяг вибірки n = 15 - сумарна кількість спостережень.
Фондовіддача змінюється від 16,1 до 38,9 грн., Рівень рентабельності змінюється від 4,2 до 14%.
Середнє значення фондовіддачі становить 28,83 грн, середнє значення рівня рентабельності становить 9,63%.
Середнє значення можна обчислити за формулою:
Дисперсія
Середньоквадратичне відхилення
Визначимо, чи пов'язані X і У між собою, і, якщо так, то визначити формулу зв'язку.
По таблиці будуємо кореляційне поле (діаграму розсіювання) - завдамо точки (X, Y) на графік. Точка з координатами (
По виду кореляційного поля можна припустити, що залежність між Y і X лінійна.
Для визначення тісноти лінійного зв'язку знайдемо коефіцієнт кореляції (з таблиці регресійна статистика):
Так як
Намагаємося описати зв'язок між X і Y залежністю
Параметри
Так як
Значимість коефіцієнта може бути перевірена за допомогою критерію Стьюдента:
Значимість
Значимість
Перевіримо модель на адекватність. Проаналізувавши таблицю Дисперсійний аналіз можна сказати, розкид даних, що пояснюється регресією
Перевіримо модель за допомогою критерію Фішера. Для перевірки знайдемо величини:
Знайдемо прогноз.
Приймемо за точку прогнозу значення фондовіддачі 33 грн.
Розраховуємо прогнозні значення за моделлю для всіх точок вибірки і для точки прогнозу:
Побудуємо довірчу область для точки прогнозу і всіх точок.
Знайдемо напівширину довірчого інтервалу в кожній точці вибірки:
де
Прогнозований довірчий інтервал для будь-якого x такий
Знайдемо еластичність.
Для лінійної моделі
Коефіцієнт еластичності показує, що при зміні фондовіддачі на 1% рівень рентабельності збільшиться з 10,83% на 0,876%. Тобто при збільшенні фондовіддачі рентабельність зростає.
Завдання № 3.2
Позначимо продуктивність праці в розрахунку на одного працівника (грн.) - Х, Рівень рентабельності (%) - Y. Побудуємо нелінійну залежність показника від фактора виду
Продуктивність праці в розрахунку на одного працівника змінюється від 1843 до 3742 грн. Середня продуктивність складає 2535,27 грн. Відхилення від середнього становить 546,96.
Визначимо, чи пов'язані X і У між собою, і, якщо так, то визначити формулу зв'язку.
По таблиці будуємо кореляційне поле (діаграму розсіювання) - завдамо точки (X, Y) на графік.
По виду кореляційного поля можна припустити, що залежність між Y і X нелінійна.
Намагаємося описати зв'язок між X і Y залежністю
Перейдемо до лінійної моделі. Робимо лінеарізующую підстановку:
Параметри
Значимість коефіцієнта може бути перевірена за допомогою критерію Стьюдента:
Значимість
Значимість
Отримали лінійну модель
Перевіримо модель на адекватність. Проаналізувавши таблицю дисперсійний аналіз можна сказати, розкид даних, що пояснюється регресією
Перевіримо модель за допомогою критерію Фішера. Для перевірки знайдемо величини:
Вид нелінійної функції:
Знайдемо прогноз. Приймемо за точку прогнозу значення продуктивності праці 2500 грн.
Розраховуємо прогнозні значення за моделлю для всіх точок вибірки і для точки прогнозу:.
Побудуємо довірчу область для точки прогнозу і всіх точок.
Знайдемо напівширину довірчого інтервалу в кожній точці вибірки:
де
Прогнозований довірчий інтервал для будь-якого x такий
Для нелінійної моделі знайдемо довірчий інтервал, скориставшись зворотного заміною:
Знайдемо еластичність.
Для лінійної моделі
Коефіцієнт еластичності для точки прогнозу:
Коефіцієнт еластичності показує, що при збільшенні продуктивності на 1% рівень рентабельності збільшиться з 9,69% на 1.1%. Тобто при збільшенні продуктивності праці рентабельність зростає.
Завдання № 3.3
Позначимо Фондоотдачу (грн.) - Х1, Продуктивність праці в розрахунку на одного працівника (грн) - X2, Рівень рентабельності (%) - Y. Побудуємо лінійну залежність показника від факторів.
Перш ніж будувати модель перевіримо фактори на колінеарність. За вихідними даними будуємо кореляційну матрицю. Коефіцієнт кореляції між X1 і X2 дорівнює 0,87. Так як
Параметри
Перевіримо значущість коефіцієнтів
Значимість коефіцієнта може бути перевірена за допомогою критерію Стьюдента:
Значимість
Значимість
Значимість
Перевіримо модель на адекватність.
Проаналізувавши таблицю дисперсійний аналіз можна сказати, розкид даних, що пояснюється регресією
Перевіримо модель за допомогою критерію Фішера. Для перевірки знайдемо величини:
Модель вважається адекватною з гарантією понад 95%.
З отриманої моделі можна зробити висновок, що рівень рентабельності від фондовіддачі і продуктивності праці описується наступною залежністю:
Знайдемо прогноз.
Приймемо за точку прогнозу значення продуктивності праці 25000 грн, фондовіддачі 33 грн. Отримали за даних умов рівень рентабельності
Розраховуємо прогнозні значення за моделлю для всіх точок вибірки і для точки прогнозу:
Знайдемо еластичність по кожному фактору.
Для лінійної моделі
Значить для збільшення рентабельності доцільніше збільшувати продуктивність праці.