"Відкрилося мені: у законах точних числ, У бунтує, розумової стихії -
Не я, не я - благі ієрархії
Високий свій відобразили сенс.
Зірка ... Вона - у непеременном блиску ...
Але бігає летючий промінь зірки
Алмазами по дзеркалу води
І блискучі креслить арабески ".
А. Білий. Дух (1914).
Як справедливо відзначив ще О. Шпенглер [37], не існує універсального стилю математичного мислення (універсальної математики), оскільки не існує універсальної загальнолюдської культури. У різні епохи і у різних народів математика відрізнялася настільки сильно, що перед нами, в деякому розумінні, різні культурні феномени (наприклад, математика антична і математика нововременную). Інший важливий теза Шпенглера полягає в тому, що існує найтісніший взаємозв'язок між різноманітними сторонами життя даного культурного організму: антична математика найглибшим чином пов'язана з античними міфологією, релігією, мистецтвом, архітектурою, організацію суспільного життя і т.д., а нововременную математика - з відповідними сторонами нововременной культури. Ці два шпенглеровской тези є основоположними для будь-якої соціокультурної філософії математики.
Бажаючи простежити далі процес диференціації стилів, і придивляючись до математики певного культурного організму, ми побачимо більш дрібні поділу. Наприклад, у випадку сучасної європейської культури стало вже загальноприйнятим протиставляти математику "працюючих математиків" (working mathematicians) і математику математичних логіків і фахівців з підстав. Інший приклад: А. Н. Крічевец пропонує розрізняти в рамках сучасної культури, принаймні, три математики - математику професійних математиків, математику інженерів, і математику фізиків [14, с.387-388]. Можна, очевидно, зробити і інші поділу сучасної математики. Для подальшого нам буде зручно дещо розвинути розрізнення А. Н. Крічевцов: ми можемо розділяти математику через переважне тяжіння до певної суміжній галузі культури: так у нас будуть з'являтися не тільки математика фізиків чи інженерів, а й математика філософів, математика художників, математика поетів і т.д. Особливе становище при такому поділі займе математика професійних математиків. Вона не взаємодіє безпосередньо з іншими областями культури: така взаємодія завжди опосередковано однієї з "математик", перерахованих нами вище.
Переважна зв'язок з тією чи іншою областю культури, так само як і установка, що складається в уникнення такого зв'язку, накладає певний відбиток на стиль математичного мислення, характерний для даної "математики". Можна навіть дивитися на таке розподіл математики як на розрізнення стилів мислення par excellence.
Очевидно, диференціацію стилів математичного мислення можна продовжувати і далі, поки не дійдемо до унікального стилю даного математика або навіть даного математичного тексту. Проте вже виробленого вище розрізнення буде цілком достатньо для наших цілей.
Поки що ми проводили розділові лінії. Ми відокремлювали математику різних культур і епох, ми поділяли математику і в рамках єдиної епохи і єдиної культури, в залежності від основної області додатків. Тепер необхідно сказати, що, звичайно ж, в культурному організмі математика фізиків не відокремлена від математики професійних математиків або від математики середньої школи, а складним чином взаємодіє з ними. Та й між культурами немає все-таки непроникних перегородок: так антична математика і математика нововременную, незважаючи на всі свої відмінності, пов'язані все ж ланцюгом "соціальних естафет" (М. А. Розов). Саме наявність цієї, хоча інколи дуже крихкою зв'язку і дозволяє нам все ж таки сподіватися на можливість розуміння, так само як і на виправданість розмови про єдиний феномен математики (хоча більш адекватним тут було б порівняння не з єдиної життям, а з ланцюгом перевтілень, пов'язаної єдністю карми).
Отже, хоча універсальної математики не існує, це не означає безглуздості розмови про математику взагалі. (Нижче ми будемо говорити не тільки про певний стилі математичного мислення, але й про розуміння математики взагалі, цим стилем провокується). Досить зручним для роз'яснення того, що ми хочемо сказати, виявляється протиставлення поняття-ємності і поняття-типу, вироблене Р. Арнхеймом [2, с.34-39]. "Поняття-ємність - це сума властивостей, за якими можна дізнатися даний вид сутності. Тип - це структурна основа такого виду сутності "[2, с.35]. Ми не будемо намагатися в подальшому призвести необхідний і (у сукупності) достатній перелік рис, що визначають математичне мислення. Та такий перелік і неможливо скласти (тут доречно згадати знамениті міркування Вітгенштейна про поняття "гра"). Однак це не робить менш цікавою спробу вгадати якийсь образ, якусь структуру-гештальт, яка давала б нам відчуття прозріння в таємницю математичного.
При цьому досить зрозуміло, що характер подібного "прозріння" буде залежати від обраного кута зору на математику (у нашому випадку, поглядом на неї з точки зору її зв'язку переважно з такими областями культури як релігія, філософія, мистецтво, тобто поглядом sub specie artis). Вибір іншого кута зору привів би до іншої картині, але обрання однієї точки зору і не припускає заперечення правомірності інших, а значить, ми і не маємо у вказівці на наявність інших можливих підходів вирішального аргументу проти права створюваної в даній роботі картини на існування. Більше того: ми не просто обираємо тут певний ракурс, але прагнемо зберігати його, поки залишається можливість розвивати думку в обраному напрямку. Це свідомий метод даної роботи.
Почати природно з виразу "математична міфологія". Для роз'яснення того, що мається на увазі, нам доведеться звернутися до Платона.
1. Що таке математична міфологія?
Платонівський Тімей говорить: "... не дивуйся, Сократ, що ми, розглядаючи у багатьох відношеннях багато речей, таких, як боги і народження Всесвіту, не досягнемо в наших міркуваннях повної точності і несуперечності. Навпаки, ми повинні радіти, якщо наше міркування виявиться не менш правдоподібним, ніж будь-яке інше, і притому пам'ятати, що і я, розмірковує, і ви, мої судді, всього лише люди, а тому нам доводиться задовольнятися в таких питаннях правдоподібним міфом, не вимагаючи більшого "[21, с.433; курсив мій].
Міфологія "Тімея" насичена математичними елементами. Це не просто міф, але міф математичний. Тут і міркування про кулястість космосу, і поділ світової душі відповідно до визначених арифметичними закономірностями, і все вчення про чотири стихії, що включає знамениті міркування про правильних багатогранників. Згідно Проклу, "Платон багато дивовижні вчення про богів викладає нам за допомогою математичних форм", такий і "весь спосіб Піфагора вчити про богів" [24, с.81].
У чому ж сенс математичного міфу? У чому привабливість саме математичної міфології для античного мислителя? Відповідь на ці питання ми знаходимо у того ж Платона, і в першу чергу в діалозі "Держава".
По-перше, тут ми дуже чітко бачимо, яким чином міф працює в динаміці платонівської думки. В кінці VI книги будуються взаємопов'язані ієрархії буття і пізнавальних здібностей, а паралельно їм розвивається відповідна міфологічна конструкція, яка знаходить остаточне завершення вже у VII книзі в знаменитому міфі про печеру. По суті Платон паралельно зводить дві тісно пов'язані між собою конструкції - метафізичну і міфологічну. Їх взаємозв'язок організовується за допомогою широко застосовуваного Платоном принципу пропорції чи аналогії (див. докладніше у А. Ф. Лосєва [16, с.250-275]).
Наведемо як приклад лише малий фрагмент цього побудови [21, с.253-319]. Міститься у VI книзі вчення про благо може бути представлено наступною пропорцією:
Числители виписаних дробів відносяться до області справжнього буття, а знаменники - до області чуттєво сприйманого (зримого). Метафізичну зв'язок між мисленням, ідеями та Благом, пропонується розуміти за аналогією з тим, як пов'язані між собою зір, видимі з його допомогою речі і, тільки й роблять можливим існування зору і видимого світу, Сонце і його світло. Наша душа, яка загрузла в чуттєвому світі, і наша мова, пристосований переважно для вираження предметів і відносин цього світу, дозволяє нам з допомогою такої пропорції уявити, до деякої міри, і сверхчувственное ставлення надчуттєвих предметів. У цьому й полягає, по всій видимості, головний зміст, як наведеного побудови, так і всього міфу про печеру, в який це побудова розростається в VII книзі.
По-друге, в тих же книгах "Держави" ми знаходимо відповідь не тільки на питання про функції платонівського міфу взагалі, а й про специфічну привабливості саме математичного міфу. Мається на увазі знамените вчення про серединному положенні математики, і як наслідок виняткової ролі останньої в процесі сходження душі від світу чуттєвого до світу справжнього. Як роз'яснюють нам Платон і Прокл, математичні конструкції ближче до світу справжнього, більш досконалі і більш стійкі, ніж текучі образи чуттєвого світу, проте не повністю вільні від матеріальності (hyle phantaston), що і дозволяє будувати на їх основі міф, але міф більш правдоподібний , більш адекватний реаліям справжнього світу.
Ступінь математична - проміжна ступінь сходів, за якою слідує діалектика. Проте (чого часто не помічають!), Перехід на ступінь діалектики зовсім не означає у Платона відмова від усього того, що малося на щаблі математики. При цьому переході необхідно повинно відбуватися усвідомлення та осмислення тих передумов, які залишалися неусвідомленими і несвідоме на попередній щаблі, але математичні дисципліни визнаються "помічниками і попутниками" (Платон) діалектичного методу, його "підмогою і азбукою" (Алкіной).
В якості вельми виразного приклад можна вказати на останній трактат "Енеад" Гребля. Трактат "Про благо чи єдиному", за самою своєю тематикою, особливо яскраво виявляє двоїсте ставлення до математики (обумовлене промежуточностью її статусу) характерне для платоників.
З одного боку, наставляючи тих, хто бажає філософствувати про єдине, Плотін вимагає "споглядати єдине, не приєднавши жодного почування і нічого від оного не беручи в нього щось, але споглядати найчистіше чистим розумом і тим, що в умі перше". "Стало бути, - продовжує Плотін, - коли приступив до споглядання ось такого уявляє у цієї природи або величину, або фігуру, або масу, не розум стає провідником йому в спогляданні, тому що не розуму прірождено бачити такі, а це - діяльність почування і думки, наступного за відчуття "[22, с.219; курсив мій]. Отже, приступаючи до розгляду єдиного, слід відкинути всякі образи (як власне чуттєві, так і математичні), адже єдине пуста, чуже всякого образу (aneideos).
З іншого боку, читаючи трактат далі, ми виявляємо, що Плотін активно залучає різні образи, особливо математичні, і саме щоб говорити (= мислити) про єдиний. Тут виникають образи геометричної точки і арифметичній одиниці. Предмет розгляду трактату, каже Плотін, ми називаємо "єдиним і нероздільним не так, як ми називаємо точку або одиницю, бо ті, що суть єдине таким чином, - почала кількості, яке б не існувало, не будь перед ним сутності і того, що перш сутності (отже, не потрібно вперять сюди думку); однак перші завжди подібні останнім у відповідностях (аналогічні - В.Ш.) за простотою і уникнення множини і розподілу "[22, с.221; курсив мій].
Далі ця думка розвивається. Розвитком (еманацією) образу точки виявляється образ кола, а потім і сфери (сама ж точка виступає тепер як центр). Душа, пише Плотін, "знає, що її рух не прямолінійний, ну хіба лише тоді, коли б воно зазнало відхилення, властиве ж їй за природою рух таке, як рух по колу (1) не навколо чогось зовні, а навколо центру , центр ж - те, від чого походить круг, то вона буде рухатися навколо цього, від якого відбувається, і буде залежати від цього, залучаючи себе до того самого, до якого пристало спричинятися всім душам <...>. Ну а цей як би центр душі чи є шукане? Або слід визнати щось інше, в чому всі як би центри збігаються? І визнати, що це - "центр" за аналогією з тутешнім колом? І не тому, що душа - коло так, як фігура, але тому, що в ній і навколо неї давня природа, і тому, що вона походить від "такого", а ще більше й тому, що душі відокремлені цілком. Нині ж, коли частина нас утримується тілом, як якщо б хтось тримав ноги у воді, іншим же тілом здіймався, ми піднявшись догори тим-то, що не притоплений тілом, цим-то стикаємося в центрі самих себе з як би центром всього так само, як центри найбільших кіл стикаються з центром осяжний сфери, і відпочиваємо. Ну а якщо б кола були тілесними, а не душевними, то вони просторово стикалися б з центром і, раз центр розташований десь, були б навколо нього, та коли вже і самі душі умопостігаемості, і "те" вище за розуму, він покладе , що зіткнення відбувається завдяки іншим силам "[22, с.223; курсив мій].
Ті ж геометричні образи Плотін використовує і далі: "Так ось, тоді бачить і не бачить, і не розрізняє, і не уявляє собі двох, а, немов ставши іншим, він, і не сам, і не свій, відноситься туди, і, ставши "того", він є єдине, як би поєднавши центр з центром. І адже тут центри суть єдине, збігшись, і - двійця, коли вони порізно. Так і ми нині називаємо "те" іншим. Тому-то й складне для видовище. Адже як хто-небудь зміг би повідати про "те" як іншому, побачивши там, коли він споглядав, не інша, а єдине з собою самим? "[22, с.225; курсив мій].
Що ж виходить? Плотін забув про власні умовляння? - Ні. Більш того, він неодноразово повторює їх упереміш з наведеними вище міркуваннями, що використовують образи одиниці, точки, кола, сфери (і її великих кіл). Крім того, і в самих цих міркувань він постійно робить застереження: "не потрібно вперять сюди думка", "як би центр", "" центр "за аналогією", "не тому, що душа - коло, як фігура" та багато інших . Всю ж ситуацію він наприкінці трактату роз'яснює наступним порівнянням: прагне до осягнення єдиного "зовсім як хтось, який увійшов всередину святилища і залишив позаду статуї в храмі, які вийшов із святині знову постають першими після видовища всередині і спілкування там не з статуєю і не з образом , а з "самим", і які, отже, виявляються подальшими видовищами. <...> Ну а ці видовища - подоби, і тому мудрим з віщунів вони натякають, як той бог зрите; мудрий ж жрець, зрозумівши натяк, міг би, опинившись там у святилище, зробити споглядання істинним "[22, с.225 ].
Все стає на свої місця, коли ми починаємо розуміти, що для Гребля є дві математики (так само як і два відношення до чуттєво сприймається). Одну з них він відкидає, тоді, як іншу сприймає. Це ті самі дві математики, які так настійно протиставляє Платон в "Державі" [21, с.304-315] - "комерційний" математика і математика філософська, математика сама по собі (або навіть орієнтована на технічні програми та отримання мирської вигоди) і математика як "підмога і абетка" діалектики (як математична діалектика або діалектична математика). Іншими словами, як Платон, так і Плотін відкидають математичні образи як такі і вітають їх як елемент міфу. Справжня математика для них - це математичний міф, це ті статуї в храмі, які оточують святилище (2).
Ще більш виразне вираження цих самих думок знаходимо у Миколи Кузанського, що вважав, що саме математика "найкраще допомагає нам у розумінні різноманітних Божественних істин". Розмірковує він у такий спосіб: "Видиме воістину є образ невидимого", і Творця "можна побачити по творінню як би в дзеркалі і подобі". Якщо ж "розвідку ведеться все-таки виходячи з подоб, потрібно, щоб у тому образі, відштовхуючись від якого ми переносимося до невідомого, не було принаймні нічого двозначного; адже шлях до невідомого може йти тільки через заздалегідь і безсумнівно відоме. Але все чуттєве перебуває в якійсь постійній хиткості зважаючи достатку в ньому матеріальної можливості. Найбільш надійними і самими для нас безсумнівними виявляються тому сутності більш абстрактні, в яких ми відволікаємося від чуттєвих речей, - сутності, які й не зовсім позбавлені матеріальних опор, без чого їх було б не можна уявити, і не зовсім схильні текучої можливості. Такі математичні предмети ". Тому, "якщо приступити до Божественного нам дано тільки через символи, то це було б вигідно скористатися математичними знаками з-за їх невиліковним достовірності" [18, с.64-66].
До математичної міфології можуть бути віднесені знамениті міркування Миколи Кузанського в "De docta ignorantia", що використовують динамічні можливості геометричних фігур: куля нескінченного радіуса, центр якого всюди, а периферія - ніде; багатокутник, вписаний в коло, число кутів якого необмежено збільшується; збіг нескінченної прямої та кола нескінченного радіуса і т.п.
Звернемо увагу, що математичні конструкції, ставши частиною міфу, починають жити особливим життям. Тут можуть виникати, та й у дійсності виникають, міркування, що виглядають абсолютно жахливо для людини незвичного до подібного стилю мислення. Досить згадати вже згадані міркування Платона про правильні багатогранника, чи численні аргументи на користь досконалості декади в "теологуменом арифметики", висхідні до Спевсіппу, а можливо і до Филолаю або навіть раннім піфагорійцям [38, с.417-418].
Про особливості відповідного погляду на математику ми поговоримо трохи нижче, а зараз подивимося на деякі більш близькі і звичні для нас способи поводження з математичними конструкціями, що перебувають, тим не менш, в самому тісному родинному з математичної міфологією.
2. Виродження математичної міфології: математичні
конструкції як парадигмальні схеми.
Розпочнемо з кількох прикладів, запозичених у Лейбніца.
"Простота субстанції не перешкоджає множинності модифікацій, які мають спільно існувати в тій же самій простий субстанції і складатися в різноманітності відносин до зовнішніх речей. Точно так само в центрі, або точки, як вона ні проста, знаходиться безліч кутів, утворених лініями, в ній зустрічаються "[15, с.404; курсив мій] (3).
"... випадок досконалого рівноваги хімерічен: він ніколи не зустрічається, тому що універсум не можна розрізати або розділити на дві абсолютно рівні і схожі частини. Універсум, як еліпс або інший подібний овал (мається на увазі: на відміну від еліпса або іншого подібного овалу - В.Ш.), не можна розкласти за допомогою проведеної через центр прямої лінії на дві збіжні частини. Універсум не має центру, і його частини нескінченно різноманітні; отже, ніколи не буде випадку, коли всі на обох сторонах стане однаковим і буде робити на нас рівний вплив ... "[15, с.381; курсив мій].
"Але коли я все більше сосредотачивал думка, не даючи їй блукати в тумані труднощів, мені прийшла в голову своєрідна аналогія між істинами і пропорціями, яка, освітивши яскравим світлом, все дивним чином роз'яснила. Подібно до того як у будь-пропорції менше число включається в більшу або дорівнює в рівне, так і у всякій істині предикат присутній у суб'єкті; як у будь-пропорції, яка існує між однорідними (подібними) кількостями (числами), може бути проведений якийсь аналіз рівних або співпадаючих і менше може бути відібране від більшого вирахуванням з більшого частини, дорівнює меншій, і подібним же чином від вичтенного може бути відібрано залишок і так далі, безперервно аж до нескінченності; точно так і в аналізі істин на місце одного терміна завжди підставляється рівнозначний йому, так що предикат розкладається на ті частини, які містяться у суб'єкта. Але точно так само, як у пропорціях аналіз колись все ж вичерпується і приходить до загальної мірою, яка своїм повторенням повністю визначає обидва терміни пропорції, а аналіз іноді може бути продовжений у нескінченність, як буває при зіставленні раціонального і уявного числа або сторони і діагоналі квадрата, аналогічно цьому істини іноді бувають доказовими, тобто необхідними, а іноді - довільними або випадковими, які ніяким аналізом не можуть бути приведені до тотожності, тобто як би до загальної мірою. А це і є основним відмінністю, які є як для пропорцій, так і для істин "[15, с.316; курсив мій] (4).
Ці три фрагменти, що взяті з різних робіт Лейбніца, об'єднує наступне: в контекст метафізичного міркування вводяться математичні фрагменти (ми виділяли їх курсивом). При цьому сам автор сприймає їх як "своєрідні аналогії" досить випадково зв'язалися в його думки з метафізичним міркуванням. Наприклад, ще в одному місці, Лейбніц пише, що він болісно роздумував "над тим, як можна поєднати свободу і випадковість з ланцюгом причинної залежності і провидінням". "Але тут раптом - каже він - блиснув мені якийсь небачений і несподіване світло, що з'явився звідти, звідки я найменше чекав його, - з математичних спостережень над природою нескінченного. Адже для людського розуму існує два найбільш заплутаних питання ("два лабіринту"). Перший з них стосується структури безперервного, або континууму, а другий - природи свободи, і виникають вони з одного і того ж нескінченного джерела "[15, с.312-313; курсив мій].
Неважко побачити зв'язок між наведеними міркуваннями Лейбніца і математичними міфами Платона і Миколи Кузанського. Проте неважко помітити також і суттєві відмінності: по-перше, залучення математики не є тепер усвідомленим, виправданим і систематично проводяться пізнавальним прийомом, по-друге, математичні конструкції не знаходять в цих міркуваннях особливої життя, вони в готовому вигляді запозичуються з розвинених незалежно математичних теорій . Тут спостерігається як би виродження математичного міфу, забуття їм власних коренів. Зовні все як у математичному міфі, але зникло вимірювання глибини, залишилася лише поверхня, яка втратила свій сенс і нездібна до самостійного життя та розвитку.
Тепер перед нами лише аналогія або модель, єдиний сенс якої - дати наочне уявлення самим по собі мало наочним метафізичним міркувань. Вплетена у метафізичний контекст математична конструкція служить тут зразком (парадигмою) для наочного подання метафізичних відносин, пропонує для них чіткий образ. Бажаючи відрізнити подібний додаток математики від математичного міфу, ми будемо називати відповідні математичні конструкції - парадигмальний схемами [33, с.67; 35, с.370].
Легко помітити, що між математичним міфом і використанням математичних конструкцій у ролі парадигмальних схем неможливо провести виразною демаркаційної лінії. У кожному конкретному випадку може виникати сумнів - що перед нами? Якщо правильні багатогранники в "Тимеї" Платона - швидше математичний міф, ніж парадигмальна схема, а геометричні та арифметичні конструкції в текстах Лейбніца - vice versa, то чим є "абсолютно-круглий кулю" в поемі Парменіда [33, с.57-59] сказати вже важко. При цьому в одного і того ж автора поряд з повноцінними математичними міфами можуть зустрічатися і вироджені варіанти - наприклад, вже згадане вище пристрасть Платона до використання конструкцій геометричній пропорції і геометричної подоби, в якості засобів організації ієрархії.
Ситуація ще більш ускладнюється тим, що недостатня усвідомленість і продуманість зв'язку між ходом метафізичного міркування і залучаються для його ілюстрації математичними аналогіями (як у випадку Лейбніца, лише смутно здогадується про невипадковість є його думки метафізика-математичних паралелей як слідстві єдності їх "нескінченного джерела") , часто призводить до тим більшою неусвідомлюваної залежності ходу метафізичного міркування від майбутніх думки математичних схем (як і вийшло у Лейбніца), іноді аж до справжньої математичної експансії [33, с.63-64]. Справа в тому, що відповідні математичні конструкції навряд чи привносяться в метафізичні міркування лише post hoc, коли основний малюнок міркування вже склався. Будучи на ранніх стадіях формування думки, відповідні математичні конструкції не залишаються пасивними. Наочність цих конструкцій, виразність математичних образів, робить їх, можна сказати, "нав'язливими", визначаючи їх активний вплив на ті шляхи, які обирає знаходиться в стадії становлення метафізична думка.
Тексти Лейбніца були обрані нами як приклад, звичайно ж, не випадково. Однак, не слід думати, що вони єдині у своєму роді, тобто в тому як використовується в них математика. Використання математичних конструкцій у ролі парадигмальних схем - широко поширене явище, причому не тільки серед філософів математиків, таких як Лейбніц і Г. Вейль [33, с.63-64], або мислителів, які отримали гарне математичну освіту, таких як П. Флоренський [ 33; 35] (5), а й у дуже далеких від математики мислителів - наприклад, у Вл.Соловьева [28, с.3, 20], - хоча в останньому випадку набір застосовуваних математичних конструкцій зі зрозумілих причин значно біднішими.
Ще більш поширене застосування різноманітних схем і діаграм - діаграми Ейлера-Венна, що з'явилися в логіці задовго до побудов, зв'язали математичну логіку і топологію; діаграми, застосовувані школою Г.П.Щедровіцко-го, і мова картинок, що розвивається А. Г. Барабашева [ 4]; діаграми А. Білого [5] і т.п. Ми описали найбільш яскраві приклади. Однак, всяке ілюстрування міркування за допомогою наочної схеми, складеної з "кружечків", "прямокутників", "стрілочок" і т.п. (Див., наприклад, рис.1 і 2 в цьому тексті), варто в легко помітному спорідненість з математичними конструкціями в ролі парадигмальних схем, будучи ще більш виродженої версією математичної міфології [33, с.67-68]. Цікаво, що і ці діаграми та схеми мають "нав'язливістю" математичних образів і здатні вести за собою думка (на що особливо звертає увагу А. Г. Барабаш).
3. Математика як естетичний феномен і пангеометрізм як
спосіб розуміння природи математики.
У попередніх пунктах був продемонстрований певний контекст, в якому можуть існувати, і існують математичні конструкції. Спробуємо усвідомити деяких визначальних особливості такого їх існування.
По-перше, звернемо увагу на суто якісний, квалітативність, підхід до математичних конструкцій. Ця особливість досить яскраво простежується в наведених вище прикладах.
По-друге, - на відсутність необхідного зв'язку між нематематичних предметом розгляду та математичної конструкцією [33, с.66; 35, с.369]. Наведемо відповідний приклад.
Існує ціла традиція використання геометричного образу кола (кола) для прояснення співвідношення Божественних іпостасей (hypostasis), яких три при єдності сутності (oysia). Однак робитися це може дещо по-різному.
Так Микола Кузанський порівнює Бога з максимальним колом, у якого, в силу єдиності максимуму, центр, діаметр і окружність тотожні. "Ти бачиш, - пише він, - що простий і неподільний максимум цілком залягає всередині все як нескінченний центр, що він ззовні все охоплює все як нескінченна окружність і що він усе пронизує як нескінченний діаметр. Він початок всього як центр, кінець все як коло, середина все як діаметр. Він діє, причина як центр, формальна причина як діаметр, цільова причина як коло. Він дарує буття як центр, править як діаметр, зберігає як коло, - і багато чого в тому ж роді "[18, с.83]. Мабуть, центр, що дає єдність колі, символізує тут Отця як єдність, діаметр, як характеризує рівність кола в усіх напрямках, - Сина, як рівність єдності, окружність, замикає і єднальна коло, - Духа, як зв'язок Отця і Сина.
Дещо по-іншому у Кеплера: "Образ Триєдиного Бога - це сферична поверхня; іншими словами, Бог-Отець знаходиться в центрі, Бог-Син - на зовнішній поверхні, а Бог-Дух Святий - у рівності відносин між точкою та поверхнею" [2 , с.62]. Замість кола ми маємо тут справу з кулею, а елементи, з якими пов'язувалися Син і Дух, помінялися місцями.
Пояснюючи чому Бог троичен, а не четверічен, пятерічен і т.д., Микола Кузанський використовує образ трикутника як найпростішого з багатокутників: "чотирикутна постать не мінімальна, що очевидно, оскільки трикутник менше її; значить найпростішій максимуму, який може співпасти тільки з мінімумом , чотирикутник, завжди складовою і тому більший мінімуму, підходити ніяк не може "[18, с.81].
Розглядаючи те ж питання, П. А. Флоренський приваблює інший образ: він вважає за краще уявляти собі взаємне розташування точок на колі. "У трьох іпостасях, - пише він, - кожна - безпосередньо поруч із кожною, і відношення двох тільки може бути опосередковано третьою. Серед них абсолютно немислимо першість. Але будь-яка четверта іпостась вносить у відношення до себе перших трьох той чи інший порядок і, значить, собою ставить іпостасі в неоднакову діяльність у ставленні до себе, як іпостасі четвертої "[30, с.50]. (Докладніше див [31, с.149-150]).
Обговорюване відсутність необхідного зв'язку цікаво виразилося вже в "Тимеї". Бажаючи конструювати правильні багатогранники з прямокутних трикутників, Платон обирає два найбільш "прекрасних" з них - рівнобедрений і "той, який в поєднанні з подібним йому утворює третю трикутник - рівносторонній" (т.зв. гемітрігон). Перший з обрання трикутників "хороший" із зрозумілих причин - у нього рівні катети. Але чому з усіх неравнобедренних прямокутних трикутників обраний саме гемітрігон? Цього Платон не пояснює: "обгрунтовувати це було б занадто довго (втім, якщо б хто викрив нас і довів протилежне, ми охоче визнали б його переможцем)" [21, с.457; курсив мій]. Звернемо увагу на виділені курсивом слова. Що це означає? На наш погляд, Платон підкреслює, що для нього важливий ефект, вироблюваний його міркуванням в цілому та основні принципи його розгортання (в даному випадку: естетичне досконалість), а не окремі його деталі, які можуть і не визначатися темою діалогу однозначним чином, а значить , і можуть бути замінені іншими, якщо такі будуть представлені.
Обидві названі особливості існування математичних конструкцій в який нас культурному контексті є приватними проявами більш загальної тенденції - тяжіння до сприйняття математики як естетичного феномена. Естетичного - в широкому, первісному значенні цього слова - від aisthesis - чуттєве сприйняття (в першу чергу зір). Грецька математика переважно геометрична, а в платонічного традиції саме геометрія виявлялася самої "математичної" з усіх математичних дисциплін, дисципліною, найбільш повно втілює серединне положення математики між чуттєвим і ейдетично [27]. Саме естетична сторона математики виявляє себе найбільш повно в математичній міфології.
Як ми вже відзначали, всяка специфічна область додатки математики дозволяє по-новому поглянути на математику взагалі. Яку ж перспективу в розумінні математики відкриває нам математична міфологія і робота математичних конструкцій у ролі парадигмальних схем?
У даному аспекті ключ до розуміння природи математики найбільш природним представляється шукати, звичайно ж, у найбільш наочною, "зримою", області математики - в геометрії.
Вже Прокл чітко зафіксував головну особливість геометричній думки: вона здатна дати розгорнуте знання про своїх предметах лише за допомогою уяви (phantasia), відбивши їх в уявній матерії (hyle phantaston) [24]. Предмет математики не умозрітелен, але і не сприймаємо почуттями. Він дивним чином причетний і того і іншого, що Аристотель зафіксував у парадоксальних, які суміщають головні протилежності платонічного онтології термінах hyle noete ("мислима матерія") і noys pathetikos ("пасивний розум") [27]. Геометричне уяву Прокла виявляється одночасно суміщає в собі здавалося б несумісне - чисту активність (noys) і чисту пасивність (hyle). Чистий думка (noys theoretikos), уречевлені, звертається в геометрії в noys pathetikos, а матерія чуттєвого сприйняття (hyle aisthete), очищаючись, постає як більш "тонка" геометрична матерія (hyle noete, hyle phantaston).
Наступний важливий крок в осмисленні природи геометричній думки робить Кант. Прокловскому розрізненню hyle aisthete і hyle phantaston у Канта відповідає протиставлення емпіричного і чистого споглядання (reine Anschauung). Причому Кант явно називає це чисте споглядання - "простір + час". Тут "простір і час" позначають той універсальний фундамент, який відповідний уявний експеримент виявляє в основі будь-якого нашого уявлення. Геометричне мислення є просторово-тимчасове конструювання, а предмет геометрії - простір і його відносини, тимчасова динаміка просторових конструкцій [11, т.3, с.67, 76-77, 528-529].
Справді, в естетичному аспекті діяльність геометра постає як організація та переорганизация просторових елементів у часі, а мета - вивчення існуючих тут можливостей. Вирішуючи завдання з елементарної геометрії, ми проводимо прямі та кола, фіксуємо їх перетину як точки. Потім досліджуємо пристрій вийшла конфігурації: наскільки "жорстко" задані умови фіксують відповідну "конструкцію", скільки різних конструкцій може бути "зібрано" з даних елементів і т.п. Особливо важливо відзначити, що з'єднання будь-яких двох елементів у цій діяльності безпосередньо дається нам у спогляданні, ми безпосередньо "бачимо" як вони "стикуються" між собою. Докази ж і обчислення в естетичному аспекті постають як порівняння і зіставлення різних елементів досліджуваної конструкції.
Намальована картина породжує, проте, ряд питань і потребує коментаря.
По-перше, звернемо увагу на те, як проявляється у нашому простому випадку платонічна тема серединного положення геометричної діяльності між чистою активністю і чистої пасивністю. З одного боку, в наявності активне, конструктивний початок - ми можемо породжувати ті чи інші конфігурації за власним бажанням. З іншого боку, ми не можемо, наприклад, змусити дві прямі "укладати простір", - те середовище, в якій ми розгортаємо свою конструктивну активність, має свої закономірності, що не дозволяють нашому конструювання бути абсолютно довільним, накладаючи на нього свої обмеження. Це середовище має "відсталістю", вона чинить опір формующей руці творця, це середовище матеріальна - актуалізувати в ній можна лише те, що допускається її власними потенціями. Більше того, діяльність геометра, судячи з усього, якраз і спрямована саме на виявлення цих потенцій, а не на насолоду власним свавіллям. Поряд з конструктивним початком у найпростішій геометричній діяльності ми виразно відчуваємо і присутність початку рецептивного (7).
По-друге, слід особливо зупинитися на кантовському розрізненні чистого і емпіричного. Наскільки математична думка дійсно вільна від емпіричних образів? Розмірковуючи, геометр креслить паличкою на піску, крейдою на дошці або ручкою на папері. Ті чи інші емпіричні "підпірки" постійно супроводжують геометричну думку. В якому сенсі можна говорити, що вона від них незалежна? Адже добре відомо, що вже у випадку досить складного завдання з елементарної геометрії практично неможливо обійтися без допомоги емпіричного креслення (8).
Подібні здивування були вдало дозволені ще Аристотелем. Так, геометр міркує, дивлячись на намальований ним на дошці трикутник. Можна навіть сказати, що він міркує про це самому намальованому трикутнику, однак, не оскільки він намальований крейдою і на дошці, тобто НЕ оскільки він є деякий об'єкт емпіричного світу, а оскільки цей трикутник організований у нашому поданні за певним закономірностям. Точніше: цей емпіричний креслення дозволяє геометрія утримувати увагу на певній просторової конфігурації. При цьому нам не так уже й важливо здатні ми представляти трикутник повністю вільним від емпіричних характеристик (напр., кольору) чи ні. Нам цілком достатньо розрізняти в самому емпіричному предметі просторово-часові характеристики від усіх інших. Так різні (з емпіричної точки зору) креслення цілком можуть представляти одну й ту ж геометричну конфігурацію (єдиний гештальт) (9).
Однак ми можемо поставити тепер наступне питання: а чи справді ми здатні відрізняти просторово-часові характеристики від усіх інших? Кант переконаний, що так. Але наведений їм на підтвердження цього і вже згаданий вище уявний експеримент аж ніяк не доводить бажаного. Він викликає в нашій уяві лише якісь невиразні образи (з різновиду "образів абстрактного", які Р. Арнхейм уподібнює імпресіоністської живопису). Інтерсуб'єктивність таких образів може викликати серйозні сумніви. Значно більш надійно вказують на цікавий для нас предмет самі слова "простір" і "час". Сам факт стійкого існування їх у мові передбачає наявність постійної наступності в контекстах їх вживання, в достатній мірі забезпечує взаєморозуміння (хоча і не гарантує абсолютної незмінності їхнього змісту!). В усякому разі, ці слова визначають свій предмет не гірше ніж слово "математика" - свій (10). Більш конкретним роз'ясненням вкладається в них у цьому виступі сенсу може служити лише сам текст цього виступу. Але, що ж все-таки здатний прояснити для нас уявний експеримент Канта? У всякому разі, достатню фундаментальність ситуацій вживання слів, що виражають просторово-часові характеристики.
По-третє, певного коментаря вимагає і твердження про даності геометричних фігур у спогляданні. Ще Декартом був приведений знаменитий приклад з тисячеугольніком [9, с.58], який не може бути нами воображе. Гірше того: навіть такі найпростіші геометричні об'єкти як "точка" або "пряма" непредставіма наочно в точному сенсі слова, адже найпростіший уявний експеримент переконує нас у непредставімостью ні занадто малого, ні занадто великого [25, с.208; 12, с.273 -274; 26, с.63-65; 32, с.44-48, 101-111; 33, с.37-38]. Дійсно, ми не можемо представити точку, що не має розмірів, не можемо уявити лінію, яка не має товщини, не можемо відразу охопити поглядом нескінченну пряму. Однак це не заважає нам представляти прямі і точки все-таки досить чітко для того, щоб відрізняти різні частини геометричній конструкції один від одного і безпосередньо "бачити" їх взаємне розташування. Пряму ми маємо можливість "бачити" досить тонкої для того, щоб у процесі міркування не звертати уваги на її товщину, а крапку - досить малою для того, щоб ігнорувати її розміри (11). Дійсно, ми не можемо уявити тисячеугольнік настільки чітко, щоб відрізняти його від багатокутника з дещо більшим або трохи меншим числом сторін. Однак ми можемо досить чітко уявити його бік і з'єднання її з сусідніми сторонами, а цього вже цілком достатньо для вивчення математичних властивостей відповідної конструкції (докладніше це буде роз'яснено нижче).
По-четверте, необхідно сказати кілька слів про час в геометрії. Вираз "просторово-часовий конструювання" слід розуміти як просторову організацію і переорганізації елементів у часі. Час входить в геометричні конструкції лише як динаміка їх просторових елементів. Час в геометрії завжди є лише рух просторових елементів. Час як таке не підлягає не тільки геометричному, але й математичного вивчення взагалі, та й рух як таке також. Лише підмінивши час рухом, а рух його просторовим слідом (траєкторією) ми можемо зробити їх предметом математичного вивчення. По суті, ми будемо вивчати при цьому не час і не рух, а особливості просторової організації самої траєкторії. Навіть вивчаючи в елементарній геометрії, що може бути побудовано за допомогою циркуля і лінійки, а що - ні, ми також не робимо предметом нашого розгляду геометричне становлення як таке, але скоріше - розкриваються їм особливості організації простору (12).
Отже, ми зробили деякі спостереження над найпростішими проявами геометричній думки в естетичному її аспекті. Наступним кроком, природно, повинна стати спроба, поширити наші міркування і на інші галузі математики, перевірити, чи не виявимо ми і там те, що привернуло нашу увагу в найпростіших геометричних прикладах. Необхідно з'ясувати, якою мірою те, що було сказано нами про геометрію, можна повторити і про математику взагалі; що можна повторити дослівно, а що лише mutatis mutandis.
Кант цей крок робить: конструктивний характер математичне мислення зберігає і за межами геометрії, однак власне геометричне, або остенсивно, конструювання замінюється в арифметиці й алгебрі на символічне [11, т.3, с.530-531, 542].
Щось принципово нове, порівняно з розглянутим вище власне геометричним конструюванням, ми виявляємо вже на прикладі позиційної запису натуральних чисел. Ввівши суворо фіксований кінцевий набір графічних символів і певні правила їх комбінування, ми отримуємо можливість, наочно представляти досить великі натуральні числа і вироблені над ними дії. В естетичному аспекті вся арифметика натуральних чисел постає як система організовуються на площині графічних символів. Організація символів здійснюється за допомогою декількох типів маніпулювання цими символами: розстановки і перестановки знаків, заміни одних знаків іншими. Згадаймо хоча б множення "стовпчиком" або поділ "куточком". Зазначені маніпуляції можуть бути охарактеризовані як квазігеометріческіе, оскільки, вдаючи із себе операції з графічними знаками як цілісними утвореннями, власне геометричними вони не є (геометрична конфігурація самого знака тут абсолютно неважлива, важливо лише зручність його з точки зору простоти написання, перестановок і замін, а також достатня відміну від інших знаків у рамках тієї ж системи [7, с.58, 61-62]).
Робота з більш багатою і різноманітною алгебраїчної графікою також може бути охарактеризована як маніпулювання графічними символами. Розглянемо, як приклад, одну з найпростіших конструкцій алгебри - групу. Група - це сукупність елементів (як графічних символів можна використовувати букви латинського алфавіту), правила маніпулювання з якими, задаються наступними умовами, званими аксіомами групи: (G1) з двох елементів x і y можна скласти новий графічний символ x • y; (G2 ) графічні символи (x • y) • z і x • (y • z) є взаємозамінними; (G3) серед елементів групи є елемент, який називається нейтральним, який позначимо e, такий, що містять його графічні символи x • e, e • x і x є взаємозамінними; (G4) разом з елементом x є елемент, який називається зворотним для x, позначимо його x ', такий, що символи x • x', x '• x і e є взаємозамінними. У всіх аксіомах x, y і z - довільні елементи групи. Докази будь-яких тверджень щодо груп представляють собою розгортання певних квазігеометріческіх конструкцій. Це демонстрація певних особливостей маніпуляції з графічними символами при дотриманні зазначених правил. Розглянемо, наприклад, як проводиться доказ того, що нейтральний елемент єдиний. Демонструється, що будь-які два графічних символу, що зображують нейтральний елемент, взаємозамінні. Справді, нехай це символи e і f. Тоді, згідно з правилом (G3), f взаємозамінний з e • f, а цей останній символ - з e, отже, e і f взаємозамінні. Перед нами маніпуляційні обгрунтування, в основі якого завжди лежать найпростіші маніпуляції, типу "підставити замість", що є неформальними, геометрично очевидними діями. Розуміння того, що вони позначають, завжди негласно передбачається. Н. Малкольм зберіг таку думку Вітгенштейна: "Доказ в математиці полягає в тому, що рівняння записують на папері і дивляться, як один вираз випливає з іншого. Але якщо завжди брати під сумнів висловлювання, які з'являються на папері, то не може існувати ні доказів, ні самої математики "[17, с.90]. Згадуються також слова Г. Вейля: "Спосіб, яким математик звертається зі своїми формулами, побудованими із знаків, трохи відрізняється від того, як столяр у своїй майстерні звертається з деревом і рубанком, пилкою і клеєм" [7, с.58].
В естетичному аспекті, як геометричне, так і математичний доказ взагалі, постає як демонстрація, тобто безпосередній показ того, як з'єднуються, "стикуються" елементи відповідної математичної конструкції. Результат же математичного докази - математичне твердження - є, в який нас аспекті, твердження про особливості з'єднання елементів математичної конструкції, яке ми мали можливість "бачити" у процесі докази. Невипадково математичне твердження отримало назву теорема (theorema), тобто "Видовище", "те, що дивляться".
Як відомо, найвагоміший аргумент для повсякденного мислення звучить приблизно так: "Я сам бачив, не віриш - піди і подивись". Заслуговує на увагу, що найбільш точна із теоретичних наук - математика, складова як би діаметральну протилежність повсякденному знання, черпає доказову силу своїх міркувань в безпосередній наочності свого предмета, тобто також у можливості "побачити самому" і "показати іншому". Можна сказати навіть, що справжньою переконливістю, справжньої доказовою силою володіє тільки демонстрація (безпосередній показ). Як говорить Шопенгауер: "Остання, тобто споконвічна очевидність, - созерцаемо, що показує вже саме слово "[36, т.1, с.200].
Якщо б не існувало обговорювали вище природних обмежень можливостей нашого наочного подання просторово-часових відносин (у сприйнятті занадто великого, занадто малого і т.п.), то, можливо, і математичного докази, а тим самим і теоретичної математики не виникло б. Математикам не знадобилося б йти далі лаконічного "дивися" стародавніх індійців або перегинання креслення (як, мабуть, обгрунтовував геометричні затвердження ще Фалес). Ми могли б сміливо, слідом за Шопенгауер [36, т.1, с.104-108, 196-216, т.2, с.212-214], обуритися хитросплетіннями доказів від протилежного, вироблених Евклідом там, де достатньо всього лише перегнути малюнок, і вважати, що самим кращим обгрунтуванням теореми Піфагора є вдалий креслення без будь-яких коментарів.
Проте вказані обмеження існують, і саме обговорюванні відповідних креслень та їх особливостей знаменувало народження математики як такої. Але математики не змогли б просунутися достатньо далеко у своїх вишукуваннях, якби не навчилися втілювати словесні міркування в квазігеометріческіе символічні побудови, тобто не змогли б знову спертися на геометричну оче-видність, але на якісно новому рівні. Саме слово (logos) виявляється тією сполучною ланкою, яка дозволяє зробити крок від геометричного конструювання до квазігеометріческому маніпулюванню графічними символами (13). "За допомогою понятійного мислення - каже Г. Рейхенбах - ми можемо перейти від споглядання до перетвореному споглядання. Людський розум має здатність, так би мовити, "перехитрити" візуальні образи за допомогою абстрактних понять і після цього продукувати нові образи "[26, с.67].
Вже при вирішенні найпростіших завдань геометрії, поряд із власне геометричним конструюванням систематично застосовується і квазігеометріческое конструювання. Повертаючись до прикладу з тисячеугольніком, можна помітити, що хоча його наочне уявлення і неможливо в тій мірі, в якій воно здійсненне для трьох-або п'ятикутника, однак, зберегти конструктивний характер відповідних міркувань легко вдається за допомогою введення алгебраїчної символіки, що дозволяє міркувати про співвідношення кутів і відрізків відповідної конфігурації незалежно від числа сторін, а також розрізняти, нерозрізнені в наочному поданні багатокутники з тисячею і тисяча двома сторонами. Там, де геометрична наочність нам відмовляє, ми можемо спертися на наочність квазігеометріческую. При цьому, як ми могли відволікатися (абстрагуватися) від товщини геометричних ліній і розміру геометричних точок, так ми абстрагуємося і від конкретного обриси використовуваних нами алгебраїчних знаків, зосереджуючи увагу лише на системі просторово-часових відносин, з їх допомогою передаються.
Те, що математик займається при цьому саме просторово-часовими відносинами, добре ілюструється широким застосуванням в математиці аксіоматичного методу. Адже головна його ідея полягає у зведенні визначення об'єкта до вказівки системи відносин, в яких цей об'єкт може знаходитися з іншими об'єктами тієї ж теорії.
Отже, в естетичному аспекті математичне мислення постає перед нами як просторово-тимчасове конструювання, яке може бути або у формі власне геометричного конструювання, або як квазігеометріческое конструювання, тобто маніпулювання графічними символами.
Що вивчає математика?
Просторово-часові конструкції.
Як вона це робить?
За допомогою розгортання просторово-тимчасових конструкцій іншого рівня.
Такий погляд на природу математики може бути охарактеризований як пангеометрізм (14). Для нього ключем до розуміння специфіки математичного мислення є саме подібний аспект математики, понятійно-логічний же аспект розглядається при цьому як вторинний.
4. Математика містиків, філософів, поетів і традиційна історія
математики (Замість висновку).
Розгортання математичних просторово-тимчасових конструкцій здатне викликати особливе почуття краси, яке без сумніву є найважливішим психологічним стимулом, як до професійних, так і до аматорським занять математикою. Як всяка справжня краса, математичне дійство має магічний чарівністю. Воно здатне створити в нас відчуття дотику до таємниці, а часом і релігійний екстаз.
Це безпомилково вгадав особливо чуйний до такого роду речей Новаліс (Фрідріх фон Гарденберг, 1772-1801). У його "Фрагментах" (в першу чергу маються на увазі "гімни до математики", як назвав їх Вільгельм Дільтей) ми знаходимо чітке вираження цих думок: "Справжня математика - справжня стихія мага. Істинний математик є ентузіаст per se. Без ентузіазму немає математики. Життя богів є математика. Чиста математика - це релігія. На Сході справжня математика у себе на батьківщині. У Європі вона виродилася в суцільну техніку "[19, с.153]. Новаліс переконаний, що поет розуміє природу краще, ніж вчений. Не вченому і створеної завдяки його зусиллям техніці дано опанувати світом, але поетові, здатному розчути потаємний ритм світобудови. Не ззовні, але зсередини знаходиться світ. "Справжня математика" Новаліса - це та математика, яка дозволяє нам вловити цей прихований ритм. "Кожен метод є ритм: якщо хто опанував ритмом світу, це значить, він опанував світом. У кожної людини є свій індивідуальний ритм. Алгебра - це поезія. Ритмічне почуття є геній "[19, с.152].
Сучасна математична культура мало в своєму розпорядженні нас до розуміння того, що це за справжня математика (яка в той же час є справжня поезія, справжня релігія і справжня магія), про яку так натхненно говорить Новаліс (15). Може бути тому ми так погано розуміємо і математику піфагорейської-платонічного традиції, а також багато інших феномени європейської духовної культури настільки ж незвичайно для нас сприймають математику і розвивають її. І справа тут не стільки у культурному гордині, скільки в реальних бар'єри заважають пробитися до суті реалій іншої культури. Приклад того, що вдається побачити сучасному математику, яка звернулася до "другорядним сторінкам історії" дає книга Дена Пидоу "Geometry and the Liberal Arts" (1976). Автору залишається лише засмучуватися, що ми втратили здатність захоплюватись природою простих геометричних фігур, і сподіватися, що "неопіфагорейскіе навчання все ж таки отримають поширення в культурі прийдешніх поколінь" [20, с.207]. Безсумнівно, більш вдалими слід визнати спроби П. А. Флоренського і А. Ф. Лосєва, які і стали головними натхненниками мого інтересу до даної області, проте уважне знайомство з їхніми працями ще раз переконує наскільки серйозні труднощі доводиться долати на цьому шляху.
Мартін Дайк, автор монографії, присвяченій математичним фрагментами Новаліса, говорить про свою книгу: "Це дослідження частково зроблено для тих математиків-професіоналів, яким може трапитися ознайомитися з фрагментами Новаліса і виявити, що математичні поняття застосовуються тут, добре чи погано, але до таких предметів, які не прийнято розглядати математично, які не вкладаються в рамки усталених математичних уявлень, і це буде схиляти їх до висновку про те, що такі фрагменти не можуть, мабуть, мати будь-якого сенсу. Можна прийняти з самого початку, що ці пов'язані з математики фрагменти філософічно, але не технічні. З позиції суворого математика вони неточні (unrigorous), довільні (arbitrary) і не вносять ніякого внеску в технічні аспекти математичної науки. Не встигає Новаліс проникнути в чудове по своїй стрункості будівлю математики, як виявляється, що він вже встиг незаконним чином розширити його межі (transgressed its boundaries), заглибившись у джунглі філософських ідей, в які ні один математик, залишаючись математиком, не вирішиться за ним послідувати , з побоювання, що грунт там занадто хитка (the ground too slippery) і доказ безсило приборкати (and prove defenceless among) диких звірів, що населяють ці темні області ". Бажаючи стежити за польотом думки Новаліса, що веде нас у цьому напрямку, ми не можемо обійтися без постійної оглядки на офіційно прийняті результати, постійного співвіднесення з загальноприйнятим змістом тих математичних областей, в які він вторгається, однак "нам не слід використовувати ці офіційні стандарти в якості абсолютних і придатних для будь-якої ситуації мірок (as measuring rods with absolute and exclusive value) ", і тоді" до його на перший погляд фантастичних ідеях про математику можна буде розгледіти глибокі прозріння про природу цієї науки "[41, p.2-3] .
Те, що говорить М. Дайк про сучасний математики-професіонала, може бути, на жаль, надто часто повторено і про сучасний історика математики, над яким також в повній мірі мають владу стереотипи професійного математичної освіти. У результаті, ми просто дуже погано знаємо "другорядні" сторінки історії математики, а тим більше погано уявляємо собі їх роль у розвитку того, що поміщається нами на "основних" її сторінках. Книга М. Дайка являє собою скоріше виняток, ніж правило. Але чи можна апріорі стверджувати, що роль ця невелика, коли ми ледь знаємо в обличчя тих, чию роль поспішаємо применшити?
Історичне дослідження неминуче передбачає відбір матеріалу. Історія культури може бути уподібнене найскладнішої павутині, де кожне культурна подія є "вузлик", пов'язаний неозорим числом найтонших "ниток" з іншими "вузликами". Тому, будь-яке вивчення цієї "павутини" полягає у виділенні основних "вузликів" та зв'язків між ними, та ігноруванні другорядних. Однак, викликає серйозні сумніви можливість адекватної і однозначної оцінки "на око" того, які "вузлики" і які "нитки" є основними. Відносно "зорового сприйняття" такий "павутини", судячи з усього, може і повинен проявлятися добре відомий ефект перемикання зорового гештальта. При цьому перемиканні вибір основних "вузликів" і "ниток" може істотно змінюватися. Яку конфігурацію "вузлів" і "ниток" ми виділимо з неозорого безлічі всіх можливих, залежить від нашої установки. Що ми "побачимо" ("два профілю" або "вазу") залежить від нас. Наше математичну освіту готує нас до того, щоб завжди бачити "два профілю" та ніколи "вазу", але це зовсім не означає, що перше являє собою адекватне виділення основного, тоді як друга - ні. Пафос цієї доповіді як раз і полягає в тому, щоб нагадати про можливість дивитися як на саму математику, так і на її історію sub specie artis, тобто бачити "вазу" там, де зазвичай бачать лише "два профілі".
Наведемо ще кілька прикладів традиційно "другорядних" сторінок історії математики, які, з проведеної нами точки зору, опиняються в числі основних.
Про Йенському професора математики та астрономії Ерхард Вейгель (Erhard Weigel, 1625-1699) можна зараз почути в основному у зв'язку з біографією Лейбніца, на якого він надав незаперечний вплив. Колись "всесвітньо відомий", "славнозвісний професор математики", який створив в Єні сильну школу математики та фізики [10, с.135] в даний час практично повністю забутий. Вже для Моріца Кантора математика Вейгеля всього лише приклад характерного для німецьких університетів того часу відсутності потреби в математиці [29, с.8-9]. В даний час, численні роботи Вейгеля практично неможливо знайти в бібліотеках, вони не перевидаються і не переводяться. Рідко в якому енциклопедичному словнику знайдеш статтю про нього. У чому ж справа? А справа в тому, який математикою займався Вейгель.
У центрі його уваги - створення єдиної системи знання (що включає в себе як богослов'я, так і всі явища фізичного і соціального порядку) на основі універсального логіко-математичного методу, і реформа на цій основі сучасної йому системи освіти. Він переконаний у загальному приложимости математичного методу і прагне до зближення на цьому грунті всіх галузей людського знання. Його девіз: omnia mensura, numero et pondere. На основі поєднання методу Евкліда (зведення змісту науки до її основних елементів) і Арістотеля (виведення з цих елементів наслідків допомогою силогізму) він прагне побудувати раціональну теорію науки, завдання якої - пізнати світ як sillogismus realis. При цьому аксіоми виступають як закони природи, а виводяться з них слідства є не тільки необхідними, а й реальними. Вейгель розвиває ідею "загальної математики" (Mathesis universae) або "пантометріі" (Pantometria), яка поширюється їм не тільки на фізичний, а й на громадянський мир. Пізніше він буде розвивати думку, що "пантогнозія" (Pantognosia), або спосіб точно знати, що б то не було, зводиться до вимірювання та рахунку всіх предметів пізнання, бо достовірно тільки кількісне знання. Звідси природно випливає "пантологія" (Pantologia) - погляд на світ, як на таку систему речей, в якій все має свою логіку. У цьому контексті він писав про моральну арифметиці, тобто про зведення всіх моральних якостей до кількостей; розробляв практичну етику на арифметичній основі; займався вивченням проблеми зла з математичної точки зору; доводив "геометрично" буття Боже і т.д. [29; 10, с.39-41].
Ще одна сторінка історії математики, в який нас аспекті, - це діяльність Юзефа Гоене-Вронського (JMHoеne-Wroсski, 1776-1853). Вона, поряд з роздумами Декарта, Вейгель, Лейбніца, Новаліса та багатьох інших, виявляється важливим "вузликом" в історії вельми значущою для розвитку математики Нового часу ідеї Mathesis Universalis. Як і Новаліс, Вронський спирався у своїх міркуваннях на філософію математики Канта. Доля математичних робіт польського математика-філософа в XIX столітті вельми нагадувала долю спадщини Вейгель, а ставлення до ідей Вронського з боку загальновизнана математики В. В. Бобинін описував так: "У продовженні всього його життя офіційна наука з наполегливістю, гідною кращої долі, постійно відмовляла йому у визнанні наукового значення його праць з філософії математики, хоча, строго кажучи, в послідовників його вчення і не бракувало "[6, с.10]. У цитованій праці 1886 Бобинін називає Вронського "найвидатнішим, навіть можна сказати, поки єдиним, представником філософії математики - науки, тільки ще створюється, але має в майбутньому підпорядкувати собі весь подальший розвиток наук математичних" [6, с.1]. Пророцтво Бобиніна про майбутнє значенні робіт Вронського поки не справдилося. Правда, у XX столітті філософсько-математичним творів Вронського пощастило більше: у 1925 р. вони були перевидані, а в 1939 про "loi sudivme" Вронського з'явилася стаття такого великого математика як Стефан Банах. Втім, як у минулому столітті, так і в нинішньому занадто підозрілою продовжує виглядати для більшості математично освічених людей тісний зв'язок математичних міркувань Вронського з "месіанізмом", "абсолютною філософією" і т.п. [40].
Переконаність у єдиності звичного і загальноприйнятого погляду на те, що таке "справжня математика", не дає навіть підійти до вивчення філософсько-математичних робіт Новаліса, Вейгель, Вронського, або Карла Еккартсхаузена (K. von Eckartshausen, 1752-1803). Ці роботи написані з точки зору іншого розуміння математики і вимагають для свого вивчення вміння подивитися на них під тим кутом зору, під яким розглядали їх автори, вміння визнати за цим кутом зору хоча б мінімальну, "стартову", цінність. На мій погляд, тут відкривається широке поле для досліджень. Мої власні перші несміливі кроки в цьому напрямку і представлені у викладених вище міркуваннях про математичну міфології і пангеометрізме.
Примітки.
1. "Чуттєве споглядання може бути порівняно з лінією, а розумовий - з колом" [23, с.61]. Пропонована Плотіном аналогія перегукується з "Тімею" Платона.
2. Заслуговує всілякої уваги, що як прихильники, так і противники математики у філософії (філософської математики, математизувати філософії) знаходять головні свої аргументи у Платона, тобто, захищаючи діаметрально протилежні позиції, вони розвивають думки відбуваються із загального джерела (Платон і неоплатоніки). Як правило, така дивина пов'язана з розумінням критики Платоном неправильного ставлення до математики як вирішального аргументу проти математики взагалі, а протилежності математичного та діалектичного методів як несумісності математики і філософії взагалі (Кант, Гегель, В. Гамільтон). І в першому і в другому випадку повністю ігнорується можливість і дієвість математичної діалектики.
3. Близький образ зустрічається у Гребля: Єдиний (Єдиний) "споглядається в безлічі істот, більшою чи меншою мірою здатних сприйняти і відображати його в собі, але який відрізняється і відокремлений від усіх них, подібно до того, як один центр у колі залишається один сам по собі, між тим як безліч радіусів з усіх точок периферії до нього сходяться "[23, с.66; курсив мій].
4. Аналогія, використовувана Лейбніцем в цьому досить каламутному уривку, може бути роз'яснена наступним чином: як відрізки можуть бути між собою або порівнянними, або - ні, причому, в першому випадку, процедура знаходження загальної міри, - показує, що один з відрізків складений з тих же частин, що й інший, - може бути здійснена за кінцеве число кроків, а в другому - прямує до нескінченності, так і істини можуть бути або необхідними, або випадковими, причому, в першому випадку, за кінцеве число кроків може бути показано , що предикат складається з тих же частин, які є в суб'єкті, а в другому - процедура аналізу прямує до нескінченності.
5. П. А. Флоренський не обмежувався роботою з математичними конструкціями як парадигмальний схемами. Він один з небагатьох, хто усвідомлено прагнув до відродження математичного міфу в його повноті. Слідом за ним у цьому напрямку йшов і А. Ф. Лосєв.
6. Простір і час визначаються Кантом як обов'язковий компонент будь-якого споглядання: відкидаючи в спогляданні все, що може бути відкинуто, ми в кінцевому підсумку отримуємо простір і час у чистому вигляді. Див. [11, т.3, с.64, т.4, с.38]. По суті, апріорне споглядання (простір і час) виявляється у Канта тим самим, що не може бути відкинуто ні з якого споглядання, і виявляється нами в ході уявного експерименту, що складається у відкиданні всього, що відкинути можливо.
7. До речі сказати, ця, рецептивна, сторона геометричній думки залишилася не достатньо зазначеної Кантом. Чисте споглядання Канта, замінило геометричну матерію платоніки, не є вже якась середовище із своїми власними потенціями, які і розкриваються в геометричних міркуваннях. У математиці "поняття про предмет дається дефініцією спочатку", "математичні дефініції створюють саме поняття", а предмет розгляду математика "не може містити в собі ні більше, ні менше, ніж поняття" [11, т.3, с.538-539 ]. Ні дефініції, - немає поняття про предмет, а тим самим і самого предмета (що містить у собі рівно стільки, скільки поняття). Тут ніби немає предмета, властивості якого прагне вловити дефініція, адже ця остання "нізвідки не виводиться". Бажаючи в усьому протиставити математику і філософію, Кант доходить у своїх міркуваннях майже до абсурду: втративши відмінний від неї предмет розгляду математична дефініція (поняття) стає чистим свавіллям. Навряд чи Кант дійсно дотримувався такої точки зору, (чистий сваволя не може служити джерелом синтезу), однак у запалі полеміки він виявляється в небезпечній близькості від цієї межі.
8. Звичайно, можна згадати Я. Штейнера, ніколи не користувався на своїх лекціях ніякими малюнками, або Дістервега, навіть спеціально затемнювати приміщення під час семінарських занять з геометрії [13, с.146], однак, це скоріше історичні казуси, ніж закономірність. Неважко здогадатися, що здатність слухачів стежити за міркуваннями цих геометрів припускала вже певний досвід геометричного мислення використовує емпіричні допомоги.
9. Хотілося б звернути особливу увагу на близькість розвиваються в цьому звіті ідей з поглядами американського психолога, спеціаліста в галузі психології мистецтва, Рудольфа Арнхейма, викладеними в його книзі "Visual Thinking" (1969) [39]. Арнхейм якраз підходить до математики sub specie artis і (в силу цього) звертає увагу переважно на ті ж культурні феномени, які виявилися і в центрі моєї уваги. Спроба прояснити склалися у мене в ході отримання математичної освіти і досвіду викладання математики уявлення про математичному мисленні (та й мисленні взагалі) привели мене до поглядів, які опинилися в самому близькому спорідненні з уявленнями Макса Вертхеймером про творчому мисленні (productive thinking) [8] і, особливо, з ідеями Арнхейма, також явно примикають до гештальт-психології. "Продуктивне мислення - говорить Арнхейм - за потребою засноване на перцептуальних образах і, навпаки, активне сприйняття включає в себе окремі аспекти мислення" [3, с.165]. "Тільки те, що, принаймні, в принципі є наочному уяві, може піддаватися і людського розуміння" [2, с.78-79]. Є "близьку спорідненість перцептуального досвіду і теоретичного міркування", тому "між мистецтвами і науками немає великої різниці; також немає прірви і між використанням картин і вживанням слів" [3, с.167]. Саме пряме відношення до нашої теми мають погляди Арнхейма на природу абстракції, на розрізнення статичних і динамічних понять, на протиставлення фігури і фону, як основу найпростіших систем образів (зокрема, образів математичних) і т.д. Поняття ж "хорошого гештальта" (Вертхеймер) дає ключ до розуміння того, що таке математична краса. Втім, використання напрацювань гештальт-психологів в області психології мислення для цілей філософії математики вимагає окремого обговорення.
10. Розвиток цієї думки означає розмову про соціокультурну природі феномену математики. Перед нами місток, що дозволяє нам відчути соціокультурну гнучкість висунутого погляду. Його гнучкість визначається історичною мінливістю розуміння слів "простір", "час", "просторово-часовий конструювання" і т.п. Однак, соціокультурна природа розглянутого феномена гарантує нам не тільки гнучкість і мінливість, а й спадкоємність, збереження "сімейного подібності" (Л. Вітгенштейн) за допомогою "соціальних естафет" (М. А. Розов) (див. також введення до цього доповіді).
11. Вже Аристотель зауважив, що математик не потребує для своїх міркувань в поданні занадто великих величин, адже його цікавлять не самі величини, а їхні стосунки, але "в тому ж відношенні, в якому ділиться найбільша величина, можна було б розділити і яку завгодно іншу "(Phys., III, 7) [1, с.121]. Отже, всі уявні математиками конструкції, без будь-якого для них шкоди, можуть бути покладені в рамки кінцевого арістотелівського космосу. А як тільки ми хочемо говорити про нашу індивідуальної здатності уявляти - в межі між верхнім і нижнім порогами сприйняття; потрібно лише вчасно змінювати масштаб: гомотетічним чином збільшувати або зменшувати всю конструкцію.
12. Хотілося б зробити деякі зауваження, які проясняють ставлення висловлюваної точки зору на роль часу й руху в математиці до позицій платонічного традиції і Канта. Хоча Аристотель (Met., VI, 1) і пропонує відрізняти математику від фізики по нерухомості предмета вивчення першої, проте, намічене у нього ж вчення про специфічну матерії математичних предметів (Met., VII, 10-11; VIII, 6) природно веде до думки і про наявність становлення (руху в широкому аристотелевском сенсі) в цій області: адже всяка матерія є не тільки лишенность форми, але і обов'язково її можливість, а будь-яка можливість розкриває себе лише переходячи в дійсність, тобто передбачає наявність становлення. Таким чином, можна говорити про математичне становленні (Met., IX, 9), проте математика цікавить не саме становлення (це специфічний предмет арістотелівської фізики), а лише його результат. Цей погляд підтверджується і Проклом [24]: з одного боку, геометрія визначається у нього як вивчає величини в спокої (на відміну від астрономії, що вивчає величини в русі, і охарактеризованою у зв'язку з цим Аристотелем як сама фізична з математичних дисциплін - Phys., II, 2), а, з іншого боку, всередині самої геометрії розрізняються проблеми і теореми, що безпосередньо пов'язують Проклом з розрізненням становлення і буття [27].
Час, згідно Канту, "ми можемо мислити не інакше, як звертаючи увагу при проведенні прямої лінії (яка повинна бути зовні образним уявленням про час) виключно на дію синтезу різноманітного, за допомогою якого ми послідовно визначаємо внутрішнє відчуття, і тим самим маючи на увазі послідовність цього визначення. Навіть саме поняття послідовності породжується, насамперед, рухом як дією суб'єкта (але не як визначенням об'єкта) "[11, т.3, с.142]. Кант вельми насторожено ставиться до руху в геометрії, як науці заснованої на чистому спогляданні. Адже "поняття руху, що сполучає в собі і простір і час, припускає щось емпіричне" [11, т.3, с.78]. Тому він пропонує розрізняти "рух об'єкта в просторі", яке "не підлягає розгляду в геометрії, тому що рухливість чого б то не було пізнається не a priori, а тільки досвідом", і "рух як опис простору", яке є "чистий акт послідовного синтезу різноманітного в зовнішньому спогляданні взагалі за допомогою продуктивної здатності уяви "[11, т.3, с.142] - без якого неможлива геометрична думка, і яке було охарактеризовано вище як" дія суб'єкта, але не визначення об'єкта ". Це кантівське розрізнення двох видів руху цілком відповідає платонічному розрізненню становлення емпіричного і становлення геометричного.
Неможливо не згадати тут також про зводиться зазвичай до Канту ідеї про особливу зв'язку геометрії з спогляданням простору, а арифметики з спогляданням часу. Справді, у Канта читаємо: "Геометрія кладе в основу чисте споглядання простору. Арифметика створює поняття своїх чисел послідовним збільшенням одиниць у часі "[11, т.4, с.38]. Це місце дійсно провокує таке розуміння: як геометрія пов'язана з простором, так арифметика з часом. Саме так сприймає це місце Шопенгауер: "На зв'язку частин часу засноване числення, слова в ньому служать лише для того, щоб відзначати окремі кроки послідовності; отже, на цьому зв'язку заснована і арифметика, яка навчає тільки методичного скорочення обчислення". "Так само на зв'язку положення частин простору заснована вся геометрія" [36, т.1, с.104]. Шопенгауер не дуже добре розбирався в математиці, проте цю ж ідею підхоплює такий великий математик як В. Р. Гамільтон, в 1833 р. випустив "an elementary essay on Algebra as the Science of pure time" [13, с.206], втім , змушений визнати, що вже введення вирахування вимагає просторових уявлень. Цікаво, що більш уважне знайомство з Кантом переконує, що ніякого протиставлення арифметики, як спирається виключно на споглядання часу, і геометрії, - як спирається виключно на споглядання простору, їм не проводиться. Ніякого представлення простору, вільного від подання часу бути не може: "час є апріорне формальна умова всіх явищ взагалі" [11, т.3, с.73]. Не може бути і представлення часу, вільного від подання простору - вище ми вже цитували одне з місць першу Критики, де ця думка висловлюється, крім того, можна вказати на чорнові замітки Канта спеціально розвиваючі цю думку [11, т.8, с.651 ]. Ми завжди маємо справу з просторово-часовим комплексом уявлень, який лежить в основі, як арифметики, так і геометрії, хоча акценти і можуть розставлятися різному. Справжнє ж відмінність геометрії від арифметики і алгебри в типі конструювання - остенсивно в першому випадку і символічному - у другому.
На помилковість уявлення про особливу зв'язку геометрії з спогляданням простору, а арифметики - із спогляданням часу, вказував Шпенглер. Однак він вважав, що цю помилку зробив і сам Кант. "Колосальною за своїми наслідками - писав Шпенглер - і аж до цього дня ще не подоланою помилкою Канта було те, що він абсолютно схематично встановив зв'язок зовнішнього і внутрішнього світу людини з багатозначними і, головне, не стабільними поняттями простору і часу і тим самим абсолютно хибним чином пов'язав геометрію та арифметику, замість яких тут повинна бути хоча б згадали понад глибока протилежність математичного та хронологічного числа. Арифметика і геометрія обидві суть числення простору і у вищих своїх областях взагалі не підлягають розрізненню. Числення часу, інтуїтивно цілком зрозуміле наївній людині, відповідає на питання "коли", а не на питання "що" або "скільки" "[37, с.132]. "Кожну логічну операцію - пише Шпенглер далі - можна намалювати. Кожна система є геометричний спосіб поводження з думками. Тому час позбавлене місця в "системі" чи падає жертвою її методу. Тим самим спростовується і повсюдно поширене непорозуміння, поверхневим чином сполучна час з арифметикою, а простір з геометрією, оману, якому не мав би підпасти Кант, хоча навряд чи варто було очікувати чогось іншого від Шопенгауера з його нерозумінням математики. Оскільки живий акт числення якось співвідноситься з часом, число і час постійно змішували один з одним. Але лічити не є число, як малювання не є малюнок. Числення та малювання суть становлення, числа і фігури - стало. Кант та інші мали на увазі в одному випадку живий акт (числення), а в іншому - його результат (пропорції готових фігур). Але одне відноситься до сфери життя і часу, інше - до протяжності і каузальності. Те, що я счисляется, підлягає органічної логікою, те, що я счисляется, - неорганічної. Вся математика, - популярно висловлюючись, арифметика і геометрія - відповідає на питання "як" і "що", стало бути, на питання про природне розпорядку речей. У суперечності з цим знаходиться питання про "коли" речей, специфічно історичне питання - питання про долю, майбутнє і минуле. Все це таїться в слові "літочислення", яке наївна людина розуміє абсолютно недвозначно. Між арифметикою і геометрією немає ніякої протилежності. Кожен рід числа <...> належить в усьому своєму обсязі до сфери протяжного і став, будь то евклідового величина або аналітична функція. А до якої з обох сфер слід було б віднести ціклометріческіе функції, біномінальної теорему, риманова площині, теорію груп? Кантівська схема була вже спростована Ейлером і Д'Аламбером, перш ніж він встиг її сформулювати, і лише непоінформованість більш пізніх філософів за частиною сучасної їм математики - на противагу Декарту, Паскалю і Лейбніца, які самі створювали математику свого часу з глибин власної філософії, - могла призвести до того, що дилетантські погляди на відношення між часом і арифметикою продовжували передаватися у спадок, майже не зустрічаючи заперечень. Але становлення ні в чому не стикається з якою-небудь областю математики "[37, с.282-283]. Ця велика цитата наведена тут не тільки як яскравий приклад протесту проти зв'язування арифметики виключно із спогляданням часу, а геометрії - з спогляданням простору, але і як найяскравіший приклад протесту проти уявлення про те, що час і становлення взагалі можуть служити предметом застосування математичних методів. Проте хоча в головному Шпенглер, безумовно, прав, картина дещо складніше, ніж йому уявляється. Звернемо увагу, що серед прихильників уявлення про особливу зв'язку алгебри і часу ми знаходимо В. Р. Гамільтона, якого навряд чи можна звинуватити в незнанні сучасної йому математики. Це означає, що справа тут не в дилетантизмі, як вважає Шпенглер. Справа не в тому, що математики та її методів недоступні час і становлення взагалі, а в тому, що час і становлення в математиці істотно інші, ніж ті історичний час і емпіричне становлення, про які говорить Шпенглер. Більш адекватним тут виявляється платонічне уявлення про серединному характері математики (її предмета та методу) - це і не повна свобода від часу і становлення - вічне буття ейдосів і споглядає їх розуму, але й не власне емпіричне час і становлення чуттєво сприйманого космосу. Можна й потрібно говорити про час і становленні в математиці, але пам'ятаючи, що це особливі, математичні, час і становлення. Наприклад, вони не мають унікальністю і неповторністю історичного часу і емпіричного становлення. У математиці можна двічі увійти в одну й ту ж річку. Її час і її становлення подібні часу і становленню кінофільму, який можна прокручувати ще і ще раз, і навіть подивитися у зворотному порядку. Однак сама подія, що полягає в тому, що нам трапилося прокрутити саме цей "математичний кінофільм", саме в цей час і саме в цьому місці, є факт емпіричного та історичного порядку.
13. Слід зауважити, що роль слова в математичному мисленні, так і в мисленні взагалі, значно помітніша, ніж це представлено у цьому виступі. Зосередивши увагу на естетичному аспекті математики, ми говорили переважно про споглядання і образі, залишивши в тіні нерозривно пов'язані з ними мову і поняття. Справа тут не в недооцінці останніх, а в певному куті зору обраному в даній роботі. Насправді я вважаю, що не тільки перехід від геометричного до квазігеометріческому конструювання припускає мовне посередництво, але і будь-яка геометрична конструкція, та й всякий виразний образ взагалі, неможливий поза досвіду обговорюванні, поза мовної обробки споглядального фону. Споглядання і мова, образ і поняття не можуть існувати одне без одного, їх можна уподібнити двом сторонам однієї монети [33, с.14-27; 21]. Образ і поняття нерозривно пов'язані не тільки в процесі генези, але і в процесі комунікації. Наведемо простий приклад. Припустимо, ми бачимо людину малює щось. Просто дивлячись на те, що він малює ми не маємо ніякої можливості з'ясувати, що перед нами - художньо творчість або математична діяльність, чи є те, що ми бачимо орнаментом або геометричним кресленням. Чи здатні ми поза досвіду обговорюванні відрізнити архітектурна споруда від стереометрическое моделі? Дитина, яка росте в сім'ї математиків, як правило, досить рано починає виявляти цікавість до тих "карлючка", якими були її батьки в достатку покривають паперові листи. Він пробує наслідувати їх, можливо не без деякого успіху. Припустимо, він власноруч відтворив на аркуші паперу ланцюжок формул. Чи є його діяльність математичної? - Звичайно, немає. Дуже ймовірно, що для дитини цей ланцюжок формул має переважно естетичної цінністю, але - це не математична естетика. Так само не є математикою гра у квача, в хрестики-нулики, в шахи. Та й побудова кінцевих ланцюжків знаків за певними правилами (нехай навіть запозиченим з метаматематики!) Стане математикою тільки в контексті зв'язку цих правил з змістовної математичної теорією, або з міркуваннями, з'ясовуються особливості просторово-часової організації відповідної системи знаків (проблеми еквівалентності, розв'язності, аксіоматичного побудови і т.п.). Подібним же чином предметом математичного вивчення можуть бути зроблені і п'ятнашки, хрестики-нулики чи шахи. Іншими словами, математичность (або нематематічность) деякої графіки визначається не їй самій, а тим смисловим контекстом, що зв'язує її з вивченням просторово-часових відносин, створити ж цей контекст можна лише словом.
14. Така позиція діаметрально протилежна панаріфметізму, представленому, наприклад, роботою Аурелія-Едмунда Фосса (A. Voss) "Про сутність математики" (1908). У цій роботі читаємо: "... розділимо всю сукупність математичних досліджень на чисту математику і області її застосування. До останніх ми відносимо геометрію і механіку, розуміючи їх в самому широкому сенсі. Чистий же математика є наука про числа, а числа суть створені нами знаки для впорядкує діяльності нашого розуму, які допускають поєднання один з одним за певними загальними правилами. У вченні про числа ми вбачаємо тому справжню суть математики, а пояснення того, як всі інші уявлення, що містяться в понятті величини, можуть бути підпорядковані поняття числа, складає в межах чистої математики перехід до областей її застосування "[32, с.17]. Якщо ми в цьому звіті прагнули підібратися до таємниці математики через поширення на всю математику ідеї геометричної побудови, то Фосс робить те ж саме стосовно ідеї числа. Якщо ми дивилися на математику sub specie artis, то Фосс - з точки зору внутріматематіческой тенденції до арифметизації математики, характерною для останньої третини XIX століття, особливо для Берлінської школи К. Вейєрштрасса.
15. Так, наприклад, висловлювання Новаліса "крива лінія є перемога вільної природи над правилом" [19, с.146], з його антіплатоніческім пафосом, може бути належним чином зрозуміти лише в контексті особливої, онтологічно виділеної, ролі, що відводиться платониками кола та прямий (відкинутої ще в "Геометрії" Декарта!), а також платонічного вчення про матерію.