Введення
Вторгнення (часто необдумане) людини в природу пов'язано з нерозумінням законів гармонії живої природи. Формування екологічної культури повинно починатися з осягнення єдності і різноманіття біологічних об'єктів. Сутність гармонії природи неможливо виявити тільки в біологічних об'єктах, навіть супроводжуючи їх абстрактно-математичними побудовами, - можна лише спостерігаючи і осмислюючи її прояви, підійти до таємниць живої природи: повторення живого об'єкта в собі подібному. Розгляд різних форм, що призводять до взаємопов'язаним висновків і на їх основі до моделі формоутворення. Тому мета роботи: відшукання єдності в різноманітті, а інструмент дослідження математика, що дозволяє розглядати форму як категорію простору, а, отже, район програми векторної геометрії.
1. Поняття «форма» у біології й у векторної геометрії
Яке з чудес могло б з більшою силою вразити людську уяву, ніж поява нового життя? Простір, який щойно уявлялося нічим, стає яблуком, деревом, людиною. Виникнення нової істоти - явище цілісне. Будь-який науковий експеримент вимірюванням і уявою вченого розділяє простір (форму) і речовина (плоть), у той час як цілісність - головна якість життя. Природа приховано керує геометричним подобою, і сприйняття форми людиною теж виявляють геометрична подібність Геометричне подобу потрібно розглядати як фундаментальну основу еволюції життя і метод конструювання нею форм. Тому математичні закони формоутворення неминуче виявляються на стику наукових дисциплін. Тут потрібен свій спеціальна мова, і почати потрібно з визначення поняття «форма». Розкриваючи зміст цього поняття, можна тлумачити його традиційно: поверхня, що окреслює обсяг живої істоти або рослини, але таке визначення віддаляє нас від мети дослідження: у ньому зникло саме явище зростання, воно відображає життя в чужих їй категоріях не як динаміку, а як статику.
Тому, щоб досліджувати формоутворення, необхідно з'єднати в понятті «форма» уявлення про зростання, як про процес енергетичному, і геометричне його зміст, як «оволодіння простором», як «розвиток точки початку». Щоб зробити акцент на геометричну сутність явища, введемо поняття «експансія» [expansio (лат.) - розширення, поширення]. Користуючись ним, визначимо форму в живій природі як граничну поверхню замкнутого простору експансії
2. Математична модель формоутворення
2.1 Пошук методу дослідження
Кілька слів про правомірність опису енергетичних процесів на мові геометрії. Можливі 2 шляхи пізнання:
1) вивчення об'єкта по фізичних, хімічних параметрах - занурення дослідника в безмежну складність структурних ієрархій самих різних рівнів макро-і мікросвіту, описуваних неозорим числом параметрів на різних предметних мовами.
2) шлях геометричного абстрагування, де предметом дослідження служать тільки просторові характеристики структур, хоча і незвичайні, але ведуть до моделі формоутворення. Єдина математична модель - представлення про експансію точки початку. У запропонованій моделі простір розуміється як сукупність точок, які мають рівної енергетичної потенцією взаємодії. Радіус взаємодії відображає подвійність експансії:
Єдність адитивності і мультипликативности справедливо для відрізків, що взаємодіють рід кутом π або 0 (пряма лінія) і у векторній геометрії для будь-яких кутів взаємодії (0 ≤ α ≤ 2π). Таким чином, «золотий» векторний трикутник будує клас замкнутих кривих - нетривіальні симетрії, відображають біологічні форми. З тріади золотого перетину можна перейти в простір симетрій подоб наступним чином.
2.2 Від золотого відрізка - до простору симетрій подоб
2.2.1 Розподіл відрізка в золотому відношенні
Золотий перетин - це закон пропорційної зв'язку цілого і складових це ціле частин. Класичний приклад золотого перерізу - поділ відрізка в среднепропорціональном відношенні, коли ціле так відноситься до більшої своєї частини, як більша частина - до меншої.
За уявною простотою операції ділення в крайньому і середньому відношенні приховано безліч дивовижних форм вираження пропорції золотого перерізу в світі живої природи. Лінійний закон золотого перерізу широко поширений як числова характеристика членувань стебел рослин, їх розташування на стовбурі і навіть пропорцій людського тіла.
Розглянемо один із способів розподілу відрізка в золотому перетині (так вирішували завдання поділу відрізка в крайньому і середньому відношенні в стародавньому Єгипті і древньої Греції): подільний відрізок AD = а (рис. 1) добудовують до подвійного квадрата ABCD зі стороною AB = а / 2 . Потім з діагоналі DB циркулем відсікають відрізок ВЕ = АВ = а / 2. За допомогою циркуля переносять відрізок FD = FE = x = 5 - a / 2. Завдання вирішена: a: x = x: (a - x) = 1.618034 ...
Рис. 1
Взагалі, будь-який спосіб розподілу відрізка в золотому перетині зводиться до побудови квадрата та подвійного квадрата (полуквадрата). Таким чином, в математику приходять числа 2 і 5 (Діагоналі квадрата та подвійного квадрата). Поява діагоналі BD подвійного квадрата ABCD і є поява відносини золотого перерізу: сторона, а є середнім між діагоналлю BD = 5, збільшеної на сторону а / 2, і цією ж діагоналлю, зменшеної на сторону а / 2: 1,618 ...
2.2.2 А-ромб і «живий» трикутник
Зобразимо на вертикалі відрізок, поділений у золотому перетині на дві нерівні частини (рис. 2).
Велику частину ще раз розділимо у золотому перерізі і так будемо поширювати золотий ланцюг до нескінченності в напрямі, висхідному від більшого до меншого (адитивність). У центрах отриманих відрізків побудуємо кола радіусами цих відрізків. До відкриття можливості, прихованої у золотому перерізі і дозволяє моделювати форми, які відіграють ключову роль у ритмах життя живої природи, залишається кілька кроків. Введення прямого кута в креслення перетворив лінійний ряд золотого перерізу в простір симетрій подоб. Для цього зазначимо межа, до якої прагне регресний вид (точка N на кресленні). Потім проведемо дотичні через точку N до проведених колами. Поєднавши точки дотику з центрами відповідних кіл, отримуємо трикутники з прямими кутами. Поєднавши точку О0 і Л1 (або П1), отримаємо прямокутний трикутник з аналогічним відношенням сторін. У одержані прямокутних трикутниках ставлення малого катета до великого дорівнює відношенню великого катета до гіпотенузі. Такий трикутник - трикутник геометричній прогресії отримав в кресленні шість орієнтацій. Отриману фігуру будемо називати асиметричним ромбом (А-ромбом); ліва і права частини дзеркальні, висхідна ланцюг золотого перерізу розвинена колами, а не півкола (що потрібно для практичного поділу відрізка в золотому перетині), що дозволяє виявити деякі відображення образу даного креслення в формах живої природи. А-ромб не має мірності: будь-який відрізок в структурі А-ромба можна прийняти за лінійну міру довжини. Тоді довжина будь-якого його елементу є число n Ф, де n - цілі числа, позитивні або негативні. Горизонталі, що з'єднують точки перетину кіл, ділять вертикальну вісь А-ромба навпіл (точка Е), а кожен її відрізок також навпіл. Рис. 2 А-ромб.
Кут підстави 2 α в А-ромбі з точністю до п'ятого знака збігається з числом 1,618 ...
Цей же кут визначає внутрішньомолекулярні зв'язки в молекулі води: він є кутом атомами водню в молекулі води (рис. 3).
Рис. 3
Що таке вода? Більшу частину якої живої клітини становить вода. Клітини майже завжди оточені водним середовищем: це може бути прісна або морська вода, тканинний сік, плазма, позаклітинна рідина. Біологічна інформація може передаватися чистою водою, а, крім того, вода може зберігати пам'ять про біологічно активних молекулах, що контактували з нею і зниклих з неї внаслідок багаторазових розбавлень. Тобто, вода лежить в основі життя по багатьом параметрам. Життя виникла у воді; ніщо живе без води не може існувати. У вугіллі 2 α полягає асоціація з явищем зростання в живій природі. Кут характерний для листя клена (рис. 3) і членування стебел рослин, їх розташування на стовбурі, зростання раковин «Pecten» (найдавніша форма життя моря, висхідна до середини Сілуру, близько 350 млн. років) - точка О1 А-ромба відповідає початку зростання раковини.
Відрізок, поділений в золоті, встановлює зв'язок трьох величин: двох його частин і цілого, які можна виразити як числа х2, х і 1. Але трикутник А-ромба ООNЛ1 (і всі йому подібні) теж має співвідношення сторін х2, х і 1 (Катети суть 1 і Ф = 1,272 ... гіпотенуза (Ф) 2 = 1,618 ...). Значить, поділ відрізка в золоті є окремий випадок трикутника ООNЛ1, - якщо катети розташуються на одній прямій під кутом π, гіпотенуза сполучиться з катетами і виникне випадок ділення відрізка в золотому перетині. Одну зі сторін такого трикутника можна прийняти за 1, а дві інші будуть описуватися квадратичною залежністю. Звідси випливає, що трикутник, зберігаючи ту ж закономірність, може описувати, подібно годинниковим стрільцям, будь-які кути взаємодії катетів в межі кута 2 π, тобто описувати деякі замкнуті простору. Проблема пропорційності і пропорцій зміщується в цьому випадку до опису форми. Як буде вести себе «живий» трикутник, у якого боку суть х2, х і 1? Отже, розглянемо «живий» трикутник (рис. 7), в якому одна сторона лежить на вертикалі, будучи віссю симетрії на площині або ж віссю обертання в просторі. Одна зі сторін трикутника служить лінійної мірою простору, дві інші - пов'язані квадратичною залежністю: одна сторона є квадрат інший. Очевидно, сформульована задача має шість варіантів рішення. Становище на вертикалі може зайняти будь-яка з трьох сторін трикутника: х2, х або 1. При цьому дві інші сторони можуть мінятися місцями.
Випадок 1-ий. На вертикалі мінлива х:
а) Якщо до точки початку прикладена константа хо = 1, трек описав сферу;
б) Якщо до точки початку прикладена змінна х2, трек описав поверхню, відтворюючу яйце подовженої форми з відношенням діаметрів вертикального до горизонтального 3:2. Форма типова для яєць качиних.
Випадок 2-ой. На вертикалі мінлива х2:
а) Якщо до точки початку прикладена константа хо = 1, трек описує сферичний сегмент, що має в основі коло діаметром 3 і висоту ½. Сектор, побудований з точки початку і охоплює цей сегмент, визначений кутом 2 π / 3. Поверхня сегмента становить ¼ поверхні сфери, а так як вона описана вершиною трикутника двічі, її слід розуміти як складену вдвічі оболонку, що охоплює простір, рівний 0.
2.2.3 Логарифмічна спіраль
Повернемося до А-ромбу. Трикутник Л1NOO, подібний трикутнику OOО1Л1, можна отримати наступним чином. На боці Л1П1 відкласти подібний йому трикутник так, щоб сторона Л1N стала меншою катетом, а гіпотенуза отриманого подібного треугоьніка лежала на боці Л1N. При цьому мірність трикутника зі сторонами х2, х і 1 збільшилася у Ф раз. Продовжимо такий ланцюг побудов до нескінченності. Вершини отриманих трикутників окреслюють логарифмічну спіраль.
Ця спіраль часто зустрічається в природі і повторює форми лусочок на соснової шишки, спіраль раковини молюска Наутілуса, суцвіття багатьох рослин, наприклад, маргаритки чи соняшнику. Один з найбільш поширених павуків, Епейра, сплітаючи павутину, закручує нитки навколо центру з логарифмічною спіралі. Спіраль, якщо уявити її як живий об'єкт, що виникає з точки початку полярних координат, захоплює простір за законом, представленому фундаментальними константами природи: ірраціональне число Ф, раціональне число 2, трансцендентні числа е, π.
Існування спіралі приводить до цікавого висновку: число π можна замінити числом Ф: π = 22: Ф1 / 2 ≈ 3,1446
Таким чином, поворотна симетрія π / 2 і закон зміни мірності Ф1 / 2 будують логарифмічну спіраль π.
Логарифмічна спіраль - єдиний тип спіралі, не змінює своєї форми при збільшенні розмірів. Це властивість і пояснює, чому логарифмічна спіраль часто зустрічається в природі.
2.4 Рівняння експансії - векторна основа формоутворення
Розглянемо детальніше рівняння експансії, як можливу основу моделі формоутворення.
Які б фактори ні складалися в поняття «потенція S», і які б не складові не складали потенцію U, для геометричної моделі істотно важлива взаємодія внутрішньої потенції S і зовнішньої U; при цьому: «+» - експансія з центру зовні, «-» - ззовні в центр.
Припущення про статечної залежності R від U: R = Un, де 0 ≤ n ≤ ∞, випливає з того, що змінити величину U крім неї самої ніщо не може; а S = const = 1. У цьому випадку умова R = Un будує U-симетрії. Поряд з розглянутими U-домінантними формами виявляються S-домінантні форми, задані умовою R = Sn. Рівняння експансії продукує 8 типів симетрій, дихотомичность полярних: S-симетрії і U-симетрії, плюс-симетрії і мінус-симетрії, прямі (n) і зворотні (1 / n). І одночасно з цим рівняння експансії встановлює алгоритм відносин збереження та мінливості. У симетріях U програма S сферична і форма об'єкта не тотожна програмі R ≡ S ≡ S. У симетріях U, навпаки, програма не сферична, але форма R тотожна програмі: R ≡ S ≡ S. Зміна знаків тотожно - нетотожні відображає кардинальні відмінності дихотомичность організованого процесу становлення біологічних об'єктів.
Проведені дослідження біологічних форм (реальних і у вигляді зображень) підтвердили відповідності розглянутої векторної моделі з високим ступенем точності: симетрії -1/2U,-2U,-1U повторили форму коконів і личинок комах, форму насіння квасолі; симетрії -1/2S, - 2S мали форму, характерну для яєць хижих птахів; симетрії +2 S, +1 / 2S малюють обрис і річні кільця молюска Pecten, з високою точністю окреслюють фронтальні проекції капсул, в яких укладено головний мозок хребетних (рис. 11), наприклад, птахів, окреслюють форму яблука, гарбузи, хурми; симетрія +2 U відтворює форми, характерні для птахів качиних.
Висновок
Дослідження формоутворення у цій роботі зажадало особливого підходу до поняття «форма» (з точки зору векторної геометрії) і введення поняття «експансія», тобто розгляду перетворень деякої точки початку, що володіє властивостями простору-речовини і нульовий мірністю в області простору-речовини з діючими параметрами. Використання методології золотого перетину і геометричної подібності в просторі відкриває шлях до моделювання форм і живих структур.
Поетапне моделювання включало в себе побудову А-ромба, «живого» трикутника, логарифмічної спіралі, дослідження рівняння експансії з метою отримання 8 типів симетрій: S-симетрії і U-симетрії, плюс-симетрії і мінус - симетрії, прямі (n) і зворотні (1 / n). Представлена модель експериментально перевірено на відповідних біологічних об'єктах.
Проведене дослідження змушує задуматися не тільки про те, що таке формоутворення в природі, а й про те, чому феноменальний світ такий, як він є, а не інший. Людство повинно піклуватися про різноманітність і гармоні біологічних форм, зберігаючи сприятливу екологічну обстановку.
Список використаної літератури
1. Стахов О.П. Коди золотої пропорції. - М., 1984
2. Урманцев Ю.А. Симетрія природи і природа симетрій. - М., 1972
3. Шевельов И.Ш., Марутаев М.А., Шмельов І.П. Золотий перетин: три погляди на природу гармонії. - М.: Стройиздат, 1990
4. Федоров Е.С. Розподіл площині і простору. - Л., 1979
5. Заварикін В.М. та ін Чисельні методи: Учеб. посібник для студентів фіз.-мат. спец. пед. ин-тов / В.М. Заварикін, В.Г. Житомирський, М.П. Лапчик. - М.: Просвещение, 1990. - 176 с 6. Тинкевіч М.А. Економіко-математичні методи (дослідження операцій). Изд. 2, испр. і доп. - Кемерово, 2000. - 177 с.