Зміст
Введення
Глава I. Школа піфагорійців
1.1 Розвиток математики як теорії
1.2 Поворотний пункт в історії античної математики
Глава II. Проблема нескінченності
Глава III. Період Академії
3.1 Період самостійної діяльності греків
3.2 Період занепаду
Висновок
Список літератури
Математика народилася в Греції. Це, звичайно, перебільшення, але не надто велике. У країнах-сучасників Еллади математика використовувалася або для повсякденних потреб (підрахунки, вимірювання), або, навпаки, для магічних ритуалів, що мали на меті з'ясувати волю богів. Греки підійшли до справи з іншого боку: вони висунули зухвалий теза "Числа правлять світом". Або, як сформулювали цю ж думку два тисячоліття тому: "Природа розмовляє з нами мовою математики".
Греки перевірили справедливість цієї тези в тих областях, де зуміли: астрономія, оптика, музика, геометрія, пізніше - механіка. Усюди були відзначені вражаючі успіхи.
Створення нових та подальший розвиток існуючих математичних теорій пов'язано зазвичай з уточненням (узагальненням) їх вихідних основних понять і посилок і заснованих на них методів. Математики нерідко зустрічалися з труднощами, подолати які їм вдавалося лише після тривалих пошуків.
Головною заслугою піфагорійців в галузі науки є істотний розвиток математики як за змістом, так і за формою. За змістом - відкриття нових математичних фактів. За формою - побудова геометрії та арифметики як теоретичних, доказових наук, які вивчають властивості абстрактних понять про числа і геометричних формах.
Дедуктивне побудова геометрії стало потужним стимулом її подальшого зростання.
Піфагорійці розвинули і обгрунтували планиметрию прямолінійних фігур: вчення про паралельні лінії, трикутники, чотирикутники, правильних багатокутниках. Отримала розвиток елементарна теорія кола і круга.
Наявність у піфагорійців вчення про паралельні лінії говорить про те, що вони володіли методом докази від протилежного і вперше довели теорему про суму кутів трикутника. Вершиною досягнень піфагорійців в планіметрії є доказ теореми Піфагора. Остання за багато століть раніше була сформульована вавілонськими, китайськими та індійськими вченими, проте її доказ їм не було відомо.
Успіхи піфагорійців в стереометрії були значними. Вони займалися вивченням властивостей кулі, відкрили побудова чотирьох правильних багатокутників - тетраедра, куба, октаедра і додекаедра (ікосаедр досліджував згодом Геетет).
Однак вони не змогли обгрунтувати твердження, що відносяться до обсягів тіл (піраміди, конуса, циліндра і кулі), хоча, звичайно, ці твердження були встановлені емпірично багато століть раніше. Не знали піфагорійці і відносини поверхні кулі до великому колу. В області арифметики піфагорійці вивчали властивості парних і непарних, і складових натуральних чисел, шукали скоєні числа, тобто такі, які дорівнюють сумі всіх своїх дільників (наприклад, 6 = 1 +2 +3; 28 = 1 +2 +4 +7 +14).
Піфагорійці знали також дробові числа і в зв'язку з цим розробили теорію арифметичної і геометричної пропорцій. Вони володіли поняттями середнього арифметичного, середнього геометричного і середнього гармонійного.
З приводу цього відкриття Аристотель говорив, що Піфагор показав, що якщо б діагональ квадрата була б порівнянна з його стороною, то парне дорівнювало б непарному.
Це зауваження Аристотеля ясно показує, що при доказі несумірності діагоналі квадрата з його стороною Піфагор використовував метод від супротивного.
Наприкінці V століття до н.е. Феодор з Кірени встановив, що несумірність діагоналі квадрата з його стороною не є винятком. Він показав, що сторони квадратів, площі яких дорівнюють 3, 5, 6, ..., 17 несумірні з стороною одиничного квадрата. Піфагор вчив, що сутність усіх речей є число; число - самі речі; гармонія чисел - гармонія самих речей. Аристотель говорив, що в піфагорійців числа приймалися за початок і в якості матерії і як [вирази для] їх стану і властивостей.
Відкриття несумірних величин спочатку "викликала здивування" (Арістотель). Це природно: до відкриття Піфагора давньогрецькі математики вважали, що будь-які два відрізки мають спільну міру, хоча, може бути, і дуже малу. Коли, однак, піфагорійці переконалися, що доказ існування несумірних величин бездоганно, вони зрозуміли, що їх філософія опинилася в скрутному становищі.
Піфагорійці знали тільки позитивні цілі і дробові числа. Дотримуючись своєї філософської установці, вони, по суті справи, вважали, що кожна річ може бути охарактеризована позитивним цілим чи дробовим числом, яке "виражає сутність" цієї речі. На ділі це означало, що геометрія будувалася на базі арифметики. Відкриття несумірних відрізків знаменувало, тому початок кризи піфагорейської філософії та методологічних основ розвивається ними системи математики. Після виявлення існування несумірних величин перед піфагорійцями відкрилися дві можливості. Можна було спробувати розширити поняття числа за рахунок приєднання до раціональних числах чисел ірраціональних, охарактеризувати несумірні величини числами іншої природи і таким чином відновити силу філософського принципу "все є число".
Проте цей шлях настільки природний і простий з сучасної точки зору, для піфагорійців був закритий. У цьому випадку треба було побудувати досить сувору арифметичну теорію дійсних чисел, що при рівні піфагорейської математики було справою нездійсненною. Тому треба було йти іншим шляхом - шляхом певного перегляду вихідних принципів, наприклад, прийняти, що геометричні об'єкти є величинами більш загальної природи, ніж дробові й цілі числа, і намагатися будувати всю математику не на арифметичній, а на геометричній основі. Саме цей другий шлях і обрали піфагорійці, а слідом за ними більшість давньогрецьких математиків, аж до Архімеда і Аполлонія.
Поняття нескінченності як математична категорія вперше з'являється у Анаксігора (близько 500-428 рр.. До н. Е.). У творі "Про природу" Анаксігор писав: речі нескінченно подільні, немає останнього ступеня подільності матерії, з іншого боку, завжди є щось більше, що є більшою.
Нескінченність для Анаксігора - потенційна; вона існує у двох формах: як нескінченно мале і нескінченно велике. У математиці точка зору Анаксагора знайшла сприятливий грунт завдяки відкриттю несумірних величин - величин, які не можуть бути виміряні будь-який, який завгодно малої, загальною мірою.
Демокріт (близько 560-570 рр. до н. Е.), мабуть, вивчав так звані рогоподібним кути (кути, утворені дугою кола і дотичної до неї).
Оскільки кожен рогоподібним кут "менше" будь-якого прямолінійного кута, тут з'являється поняття актуально нескінченно малого. Згодом з'явилося і поняття актуальної нескінченності.
Аристотель (384-322 рр. до н. Е.) чітко розрізняє два види нескінченності: потенційну й актуальну. Поняття актуальної нескінченності в стародавній Греції не отримало розвитку як у філософії, так і в математиці.
Поняття нескінченності піддавалося серйозній критиці з боку Зенона
Елейскої (близько 490-430 рр.. До н.е.). Зенон був учнем Парменіда, глави елейської школи. Парменід стверджував, що буття єдине, нерухомо і незмінно. Рух, зміна - це тільки видимість, обумовлена недосконалістю наших органів чуття. Світ (буття) може бути пізнаний лише розумом, але не почуттями.
Зенон Елейський висунув 45 апорій (антиномій), маючи при цьому метою розвинути і краще обгрунтувати вчення Парменіда. З цих антиномій до нашого часу дійшло лише 9.
Заслуга Зенона елейскої у розвитку філософії і математики полягає в тому, що він виявив реальну суперечливість часу, руху і простору, а значить і нескінченність. В.І. Ленін писав, що Зенон не заперечував чуттєву достовірність руху; його цікавило питання, як виразити сутність руху в логіці понять.
Однак, Зенон останню завдання не вирішив, не вирішили її й інші вчені древньої Греції.
Головним результатом про математичної діяльності самого Платона було створення філософії математики і зокрема її методології. Як відомо, його власні роботи дуже мало стосувалися збільшення математичних знань у кількісному відношенні і були спрямовані на встановлення суворих і точних визначень основних понять геометрії, на виявлення і відведення справжнього місця її основним положенням, на приведення придбаних раніше математичних знань у сувору логічний зв'язок як між собою, так і з основними поняттями та положеннями, і нарешті, на приведення в повну ясність і вивчення методів відкриття та докази нових істин, методів, хоча вже давно вживаних у науці, але ще не з'ясували достатньою мірою перед свідомістю. Методів, розроблених Платоном, за свідченням Прокла, було три: аналітичний, синтетичний і апагогіческій. Особливої новизною для сучасників Платона відрізнялися результати зробленого їм вивчення аналітичного методу, як це можна бачити з того, що Діоген Лаерція і з меншою впевненістю Прокл дивляться на цей метод як на нововведення Платона. У дійшли до нас творах Платона не міститься жодних відомостей про його дослідженнях з даного предмету, так що для судження про їх результати нам не залишається нічого іншого, як скористатися визначенням цих методів у першого за часом відомого нам письменника, який його дає. Таким письменником є Евклід, за визначенням якого "аналіз є прийняття шуканого як би знайденим, ніж через слідства досягається те, що знайдено істинним, а синтез є прийняття вже знайденого, ніж через слідства досягається те, що знайдено істинним". Викладені, на підставі пізніших досліджень предмета, більш повним і головне більш певним чином, ці визначення представляються в наступному вигляді.
Аналітичний метод полягає в освіті ланцюга пропозицій, з яких кожне випливає з наступного за ним, як безпосередній наслідок. Першою ланкою цього ланцюга служить доказуване пропозицію, останнім - пропозиція вже доведене.
Синтетичний метод є звернення аналітичного і тому складається в освіті ланцюга пропозицій, з яких перше є доведена істина, а кожне з наступних є наслідок йому передує.
Про апагогіческом методі, чи методі приведення до безглуздя (reductio ad absurdum), Евклід не говорить, але досить ясне його визначення поряд з неясними визначеннями аналізу і синтезу дає Прокл, при своєму приписуванні їх Платону; "Третій (апагогіческій) метод, - каже він , - є приведення до неможливого, яке не доводить прямо того, що шукається, а спростовує те, що йому суперечить, і таким чином через зв'язок того й іншого знаходить істину ". В основі цього методу лежить істина, що якщо з двох пропозицій одне цілком заперечує інше, або, іншими словами, якщо дві пропозиції суперечать, то для переконання у справедливості одного достатньо показати хибність іншого.
Вчені математики, що належали до Академії розпадалися на дві групи: на вчених, які отримали свій математичну освіту незалежно від Академії і які перебували тільки в більш-менш тісних стосунках з нею, і на колишніх учнів Академії. До числа перших належали Теетет Афінський, Леода Фасосскій, Архіт Тарентський і пізніше Евдокс Кнідський; до числа друге - Неоклід, Леон, Амикл з Гераклеї, брати Менехм і Дінострат, і під час старості Платона - Теюдій з Магнезії, Кизик Афінський, Гермотім Колофонскій, Філіп Мендейскій і Філіп Опунтскій.
У школі Платона часто за його вказівками, а іноді і при безпосередньому керівництві, тривала розробка планіметрії, отримала значний рух вперед мало розроблена раніше стереометрія, склалося вчення про конічні перетини і більш загальне про геометричні місцях. Крім того, в ній продовжував свій розвиток одержав, наскільки нам відомо, початок у працях Гіппократа Хиосськом метод вичерпання, про який ми будемо говорити далі, і були зроблені дві нові спроби складання книги "Елементів" геометрії: Леоном на початку існування Академії, і Теюдіем з Магнезії в кінці життя Платона.
Створення в школі Платона філософії математики повинно було повісті необхідним чином до розробки необхідної для неї історії математики. Справа цієї розробки взяла на себе заснована учнем Платона, Аристотелем, школа перипатетиків в особі двох своїх представників, Евдем Родоського і Теофраста Лесбоський. Не можна не помітити, що в працях з історії математики цих вчених полягає все велике, що було зроблено школою перипатетиків для розвитку наук математичних. Опіка наук, який чиниться династія Птолемеїв, царів нової греко-єгипетської монархії, що виникла після смерті Олександра Македонського на грунті давнього Єгипту, зробило, приблизно з 300 р. до н.е., зі столиці цієї монархії, Олександрії, головний центр розумової і духовного життя грецького світу.
У наступну за тим фазу занепаду, що почалася близько 100 р. до н.е., колишня стійкість грецького генія в утриманні національного спрямування виявляється абсолютно втраченою, і якщо роботи грецьких математиків можуть вважатися грецькими, то тільки з мови, а ніяк не за духом. Першим з чужих грецькому генію напрямків, що з'явилися на зміну національного, було прикладне напрям, розвинуте на грунті давнього Єгипту, колишнє, цілком ймовірно, спадщиною єгипетської математики, про утилітарному напрямку якої за часів складання папірусу Ринда вже говорилося раніше.
Третьою фазою занепаду грецької математики була епоха виключної діяльності коментаторів великих творів грецької математичної літератури минулого часу. Великим представником початку цієї епохи, подібного якому в подальшому її течії вже не зустрічалося, був Папп Александрійський. Він, дійсно, у своєму "Зборах", цьому найважливішому з його творів, був ще в змозі до викладу змісту творів розглядаються ним авторів приєднувати від себе різні пропозиції, що пояснюють або доповнюють предмет, хоча нерідко і стоять з ним в дуже віддаленій зв'язку. Цією здатністю, все ще вносить у науку дещо нове, наступні діячі розглянутої епохи: Теона Олександрійський, його дочка Іпатія, Прокл Діадох, Дамаск, Евтокій ашкелонський, Асклепій з Траллеса і Іван Філопон вже не мали.
Четвертої, і останньою, фазою занепаду грецької математики була епоха візантійських вчених, тривала від VII століття н.е. до взяття турками Константинополя (1453). У цю епоху твори стародавніх грецьких математиків стали до того недоступними новим, що про сам їх існування ці останні нерідко дізнавалися від арабів і персів; в той час, коли арабські математики докладали всі зусилля до того, щоб мати на своїй мові переклади всіх скільки-небудь видатних у грецькій математичній літературі творів, візантійські математики не були в силах справлятися навіть з самими незначними елементарними творами арабської математичної літератури і для переробок переказів на грецьку мову потрібних їм творів зверталися вже до зовсім незначною математичній літературі персів. Особливого розвитку це користування перськими відгомонами таких творів колишньої грецької літератури, як Алмагест, досягло в XIV ст. в працях Хіоніада Константинопольського, Георга Хрізокоццеса, Федора Мелітеніота і ченця Ісаака Аргіра.
Піфагорійці заклали основи геометричної алгебри. Зачатки аналізу помітні у Архімеда, коріння алгебри - у Діофанта, аналітична геометрія - у Аполлонія. Теетет і Евклід встановили класифікацію квадратичних іррациональностей. Евдопс розвинув загальну теорію пропорцій - геометричний еквівалент теорії додатних дійсних чисел - і розробив метод вичерпання - зародкову форму теорії меж.
Ці теорії створили міцний каркас будівлі давньогрецької математики, фундаментом якого була геометрія; тим самим долалися труднощі, пов'язані з фактом існування несумірних величин. Щоб уникнути труднощів в обгрунтуванні математики, пов'язаних з парадоксами нескінченності (Зенон, Аристотель), більшість вчених давньої Греції вважали за краще відмовитися від використання в математиці ідей нескінченності і руху або звести їх застосування до мінімуму. В якості такого мінімуму було прийнято твердження про необмежену подільності геометричних величин.
Але головне навіть не в цьому. Два досягнення грецької математики далеко пережили своїх творців.
Перше - греки побудували математику як цілісну науку з власної методологією, заснованої на чітко сформульованих законах логіки.
Друге - вони проголосили, що закони природи збагненна для людського розуму, і математичні моделі - ключ до їх пізнання.
У цих двох відносинах антична математика цілком сучасна.
2) Вигодський М.Я. Арифметика і алгебра в стародавньому світі - М.: Просвещение, 1967. - 101 с.
3) Глейзер Г.І. Історія математики в школі - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.
4) Депман І.Я. Історія арифметики. Посібник для вчителів. Вид. друге - М.: Просвещение, 1965. - 102-103, 236-238 с.
5) Історія математики Т 1: З найдавніших часів до початку Нового часу / Під редакцією А.П. Юшкевича (у трьох томах): - М.: Наука, 1970. - 321 с.
6) Клайн М. Математика. Втрата визначеності - М.: Світ, 1984. - 231с.
7) Крисітскій В. Шеренга великих математиків - Варшава: Наша Ксенгарня, 1981. - 31-34 с.
8) Рибников К.О. Історія математики - М.: Просвещение, 1994. - 123 - 125 с.
9) Хрестоматія з історії математики. Арифметика і алгебра. Теорія чисел. Геометрія / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Наука, 1976. - 23 с.
Введення
Глава I. Школа піфагорійців
1.1 Розвиток математики як теорії
1.2 Поворотний пункт в історії античної математики
Глава II. Проблема нескінченності
Глава III. Період Академії
3.1 Період самостійної діяльності греків
3.2 Період занепаду
Висновок
Список літератури
Введення
Поняття давньогрецька математика охоплює досягнення грецькомовних математиків, які жили в період між VI століттям до н.е. і V століттям н.е.Математика народилася в Греції. Це, звичайно, перебільшення, але не надто велике. У країнах-сучасників Еллади математика використовувалася або для повсякденних потреб (підрахунки, вимірювання), або, навпаки, для магічних ритуалів, що мали на меті з'ясувати волю богів. Греки підійшли до справи з іншого боку: вони висунули зухвалий теза "Числа правлять світом". Або, як сформулювали цю ж думку два тисячоліття тому: "Природа розмовляє з нами мовою математики".
Греки перевірили справедливість цієї тези в тих областях, де зуміли: астрономія, оптика, музика, геометрія, пізніше - механіка. Усюди були відзначені вражаючі успіхи.
Створення нових та подальший розвиток існуючих математичних теорій пов'язано зазвичай з уточненням (узагальненням) їх вихідних основних понять і посилок і заснованих на них методів. Математики нерідко зустрічалися з труднощами, подолати які їм вдавалося лише після тривалих пошуків.
Глава I. Школа піфагорійців
1.1 Розвиток математики як теорії
Математика як теорія отримала розвиток в школі Піфагора (571-479 рр.. До н.е.).Головною заслугою піфагорійців в галузі науки є істотний розвиток математики як за змістом, так і за формою. За змістом - відкриття нових математичних фактів. За формою - побудова геометрії та арифметики як теоретичних, доказових наук, які вивчають властивості абстрактних понять про числа і геометричних формах.
Дедуктивне побудова геометрії стало потужним стимулом її подальшого зростання.
Піфагорійці розвинули і обгрунтували планиметрию прямолінійних фігур: вчення про паралельні лінії, трикутники, чотирикутники, правильних багатокутниках. Отримала розвиток елементарна теорія кола і круга.
Наявність у піфагорійців вчення про паралельні лінії говорить про те, що вони володіли методом докази від протилежного і вперше довели теорему про суму кутів трикутника. Вершиною досягнень піфагорійців в планіметрії є доказ теореми Піфагора. Остання за багато століть раніше була сформульована вавілонськими, китайськими та індійськими вченими, проте її доказ їм не було відомо.
Успіхи піфагорійців в стереометрії були значними. Вони займалися вивченням властивостей кулі, відкрили побудова чотирьох правильних багатокутників - тетраедра, куба, октаедра і додекаедра (ікосаедр досліджував згодом Геетет).
Однак вони не змогли обгрунтувати твердження, що відносяться до обсягів тіл (піраміди, конуса, циліндра і кулі), хоча, звичайно, ці твердження були встановлені емпірично багато століть раніше. Не знали піфагорійці і відносини поверхні кулі до великому колу. В області арифметики піфагорійці вивчали властивості парних і непарних, і складових натуральних чисел, шукали скоєні числа, тобто такі, які дорівнюють сумі всіх своїх дільників (наприклад, 6 = 1 +2 +3; 28 = 1 +2 +4 +7 +14).
Піфагорійці знали також дробові числа і в зв'язку з цим розробили теорію арифметичної і геометричної пропорцій. Вони володіли поняттями середнього арифметичного, середнього геометричного і середнього гармонійного.
1.2 Поворотний пункт в історії античної математики
Хоч як великі заслуги піфагорійців у розвитку змісту та систематизації геометрії та арифметики, проте всі вони не можуть зрівнятися із зробленим ними ж відкриттям несумірних величин. Це відкриття стало поворотним пунктом в історії античної математики.З приводу цього відкриття Аристотель говорив, що Піфагор показав, що якщо б діагональ квадрата була б порівнянна з його стороною, то парне дорівнювало б непарному.
Це зауваження Аристотеля ясно показує, що при доказі несумірності діагоналі квадрата з його стороною Піфагор використовував метод від супротивного.
Наприкінці V століття до н.е. Феодор з Кірени встановив, що несумірність діагоналі квадрата з його стороною не є винятком. Він показав, що сторони квадратів, площі яких дорівнюють 3, 5, 6, ..., 17 несумірні з стороною одиничного квадрата. Піфагор вчив, що сутність усіх речей є число; число - самі речі; гармонія чисел - гармонія самих речей. Аристотель говорив, що в піфагорійців числа приймалися за початок і в якості матерії і як [вирази для] їх стану і властивостей.
Відкриття несумірних величин спочатку "викликала здивування" (Арістотель). Це природно: до відкриття Піфагора давньогрецькі математики вважали, що будь-які два відрізки мають спільну міру, хоча, може бути, і дуже малу. Коли, однак, піфагорійці переконалися, що доказ існування несумірних величин бездоганно, вони зрозуміли, що їх філософія опинилася в скрутному становищі.
Піфагорійці знали тільки позитивні цілі і дробові числа. Дотримуючись своєї філософської установці, вони, по суті справи, вважали, що кожна річ може бути охарактеризована позитивним цілим чи дробовим числом, яке "виражає сутність" цієї речі. На ділі це означало, що геометрія будувалася на базі арифметики. Відкриття несумірних відрізків знаменувало, тому початок кризи піфагорейської філософії та методологічних основ розвивається ними системи математики. Після виявлення існування несумірних величин перед піфагорійцями відкрилися дві можливості. Можна було спробувати розширити поняття числа за рахунок приєднання до раціональних числах чисел ірраціональних, охарактеризувати несумірні величини числами іншої природи і таким чином відновити силу філософського принципу "все є число".
Проте цей шлях настільки природний і простий з сучасної точки зору, для піфагорійців був закритий. У цьому випадку треба було побудувати досить сувору арифметичну теорію дійсних чисел, що при рівні піфагорейської математики було справою нездійсненною. Тому треба було йти іншим шляхом - шляхом певного перегляду вихідних принципів, наприклад, прийняти, що геометричні об'єкти є величинами більш загальної природи, ніж дробові й цілі числа, і намагатися будувати всю математику не на арифметичній, а на геометричній основі. Саме цей другий шлях і обрали піфагорійці, а слідом за ними більшість давньогрецьких математиків, аж до Архімеда і Аполлонія.
Глава II. Проблема нескінченності
У давньогрецькій філософії поняття нескінченності з'явилося вперше у матеріалістів мілетської школи. Анаксимандр (610-546 рр.. До н.е.), наступник Фалеса, учив: матерія нескінченна в просторі і в часі; всесвіт нескінченний, число світів нескінченно. Анаксимен (546 р. до н.е. - розквіт діяльності) говорив: вічний кругообіг матерії - це і є нескінченність.Поняття нескінченності як математична категорія вперше з'являється у Анаксігора (близько 500-428 рр.. До н. Е.). У творі "Про природу" Анаксігор писав: речі нескінченно подільні, немає останнього ступеня подільності матерії, з іншого боку, завжди є щось більше, що є більшою.
Нескінченність для Анаксігора - потенційна; вона існує у двох формах: як нескінченно мале і нескінченно велике. У математиці точка зору Анаксагора знайшла сприятливий грунт завдяки відкриттю несумірних величин - величин, які не можуть бути виміряні будь-який, який завгодно малої, загальною мірою.
Демокріт (близько 560-570 рр. до н. Е.), мабуть, вивчав так звані рогоподібним кути (кути, утворені дугою кола і дотичної до неї).
Оскільки кожен рогоподібним кут "менше" будь-якого прямолінійного кута, тут з'являється поняття актуально нескінченно малого. Згодом з'явилося і поняття актуальної нескінченності.
Аристотель (384-322 рр. до н. Е.) чітко розрізняє два види нескінченності: потенційну й актуальну. Поняття актуальної нескінченності в стародавній Греції не отримало розвитку як у філософії, так і в математиці.
Поняття нескінченності піддавалося серйозній критиці з боку Зенона
Елейскої (близько 490-430 рр.. До н.е.). Зенон був учнем Парменіда, глави елейської школи. Парменід стверджував, що буття єдине, нерухомо і незмінно. Рух, зміна - це тільки видимість, обумовлена недосконалістю наших органів чуття. Світ (буття) може бути пізнаний лише розумом, але не почуттями.
Зенон Елейський висунув 45 апорій (антиномій), маючи при цьому метою розвинути і краще обгрунтувати вчення Парменіда. З цих антиномій до нашого часу дійшло лише 9.
Заслуга Зенона елейскої у розвитку філософії і математики полягає в тому, що він виявив реальну суперечливість часу, руху і простору, а значить і нескінченність. В.І. Ленін писав, що Зенон не заперечував чуттєву достовірність руху; його цікавило питання, як виразити сутність руху в логіці понять.
Однак, Зенон останню завдання не вирішив, не вирішили її й інші вчені древньої Греції.
Глава III. Період Академії
3.1 Період самостійної діяльності греків
Період цілком самостійної діяльності греків в області математики починається з діяльності Платона і заснованої ним у 389 р. Філософською школи, відомої під ім'ям Академії. З цього часу подальший розвиток, якщо не всієї математики взагалі, то, безсумнівно, геометрії, зосереджується виключно в руках однієї грецької нації, яка і веде його, поки знаходить у своєму розпорядженні необхідні кошти.Головним результатом про математичної діяльності самого Платона було створення філософії математики і зокрема її методології. Як відомо, його власні роботи дуже мало стосувалися збільшення математичних знань у кількісному відношенні і були спрямовані на встановлення суворих і точних визначень основних понять геометрії, на виявлення і відведення справжнього місця її основним положенням, на приведення придбаних раніше математичних знань у сувору логічний зв'язок як між собою, так і з основними поняттями та положеннями, і нарешті, на приведення в повну ясність і вивчення методів відкриття та докази нових істин, методів, хоча вже давно вживаних у науці, але ще не з'ясували достатньою мірою перед свідомістю. Методів, розроблених Платоном, за свідченням Прокла, було три: аналітичний, синтетичний і апагогіческій. Особливої новизною для сучасників Платона відрізнялися результати зробленого їм вивчення аналітичного методу, як це можна бачити з того, що Діоген Лаерція і з меншою впевненістю Прокл дивляться на цей метод як на нововведення Платона. У дійшли до нас творах Платона не міститься жодних відомостей про його дослідженнях з даного предмету, так що для судження про їх результати нам не залишається нічого іншого, як скористатися визначенням цих методів у першого за часом відомого нам письменника, який його дає. Таким письменником є Евклід, за визначенням якого "аналіз є прийняття шуканого як би знайденим, ніж через слідства досягається те, що знайдено істинним, а синтез є прийняття вже знайденого, ніж через слідства досягається те, що знайдено істинним". Викладені, на підставі пізніших досліджень предмета, більш повним і головне більш певним чином, ці визначення представляються в наступному вигляді.
Аналітичний метод полягає в освіті ланцюга пропозицій, з яких кожне випливає з наступного за ним, як безпосередній наслідок. Першою ланкою цього ланцюга служить доказуване пропозицію, останнім - пропозиція вже доведене.
Синтетичний метод є звернення аналітичного і тому складається в освіті ланцюга пропозицій, з яких перше є доведена істина, а кожне з наступних є наслідок йому передує.
Про апагогіческом методі, чи методі приведення до безглуздя (reductio ad absurdum), Евклід не говорить, але досить ясне його визначення поряд з неясними визначеннями аналізу і синтезу дає Прокл, при своєму приписуванні їх Платону; "Третій (апагогіческій) метод, - каже він , - є приведення до неможливого, яке не доводить прямо того, що шукається, а спростовує те, що йому суперечить, і таким чином через зв'язок того й іншого знаходить істину ". В основі цього методу лежить істина, що якщо з двох пропозицій одне цілком заперечує інше, або, іншими словами, якщо дві пропозиції суперечать, то для переконання у справедливості одного достатньо показати хибність іншого.
Вчені математики, що належали до Академії розпадалися на дві групи: на вчених, які отримали свій математичну освіту незалежно від Академії і які перебували тільки в більш-менш тісних стосунках з нею, і на колишніх учнів Академії. До числа перших належали Теетет Афінський, Леода Фасосскій, Архіт Тарентський і пізніше Евдокс Кнідський; до числа друге - Неоклід, Леон, Амикл з Гераклеї, брати Менехм і Дінострат, і під час старості Платона - Теюдій з Магнезії, Кизик Афінський, Гермотім Колофонскій, Філіп Мендейскій і Філіп Опунтскій.
У школі Платона часто за його вказівками, а іноді і при безпосередньому керівництві, тривала розробка планіметрії, отримала значний рух вперед мало розроблена раніше стереометрія, склалося вчення про конічні перетини і більш загальне про геометричні місцях. Крім того, в ній продовжував свій розвиток одержав, наскільки нам відомо, початок у працях Гіппократа Хиосськом метод вичерпання, про який ми будемо говорити далі, і були зроблені дві нові спроби складання книги "Елементів" геометрії: Леоном на початку існування Академії, і Теюдіем з Магнезії в кінці життя Платона.
Створення в школі Платона філософії математики повинно було повісті необхідним чином до розробки необхідної для неї історії математики. Справа цієї розробки взяла на себе заснована учнем Платона, Аристотелем, школа перипатетиків в особі двох своїх представників, Евдем Родоського і Теофраста Лесбоський. Не можна не помітити, що в працях з історії математики цих вчених полягає все велике, що було зроблено школою перипатетиків для розвитку наук математичних. Опіка наук, який чиниться династія Птолемеїв, царів нової греко-єгипетської монархії, що виникла після смерті Олександра Македонського на грунті давнього Єгипту, зробило, приблизно з 300 р. до н.е., зі столиці цієї монархії, Олександрії, головний центр розумової і духовного життя грецького світу.
3.2 Період занепаду
У діяльності Евкліда, Аполлонія Пергейского і особливо Архімеда період самостійної діяльності греків в області математики досяг моменту найбільшої висоти математичних досліджень як в кількісному, так і в якісному відношенні. Потім починається період занепаду. Роботи грецьких математиків дрібнішають. Справа йде вже не про створення нових галузей науки і вирішенні її найважчих питань, а про поповнення тих, кажучи відносно, неважливих прогалин, які були залишені попереднім швидким розвитком науки. У цій першій фазі занепаду діяльність представників математики: Никомеда, Діоклеса, Персея, Зенодор, Гіпсікл Олександрійського, астронома Гіппарха, все ще залишається вірною раніше напрямку, яке, як продукт характеристичних властивостей і особливостей грецької нації, може бути названо національним.У наступну за тим фазу занепаду, що почалася близько 100 р. до н.е., колишня стійкість грецького генія в утриманні національного спрямування виявляється абсолютно втраченою, і якщо роботи грецьких математиків можуть вважатися грецькими, то тільки з мови, а ніяк не за духом. Першим з чужих грецькому генію напрямків, що з'явилися на зміну національного, було прикладне напрям, розвинуте на грунті давнього Єгипту, колишнє, цілком ймовірно, спадщиною єгипетської математики, про утилітарному напрямку якої за часів складання папірусу Ринда вже говорилося раніше.
Третьою фазою занепаду грецької математики була епоха виключної діяльності коментаторів великих творів грецької математичної літератури минулого часу. Великим представником початку цієї епохи, подібного якому в подальшому її течії вже не зустрічалося, був Папп Александрійський. Він, дійсно, у своєму "Зборах", цьому найважливішому з його творів, був ще в змозі до викладу змісту творів розглядаються ним авторів приєднувати від себе різні пропозиції, що пояснюють або доповнюють предмет, хоча нерідко і стоять з ним в дуже віддаленій зв'язку. Цією здатністю, все ще вносить у науку дещо нове, наступні діячі розглянутої епохи: Теона Олександрійський, його дочка Іпатія, Прокл Діадох, Дамаск, Евтокій ашкелонський, Асклепій з Траллеса і Іван Філопон вже не мали.
Четвертої, і останньою, фазою занепаду грецької математики була епоха візантійських вчених, тривала від VII століття н.е. до взяття турками Константинополя (1453). У цю епоху твори стародавніх грецьких математиків стали до того недоступними новим, що про сам їх існування ці останні нерідко дізнавалися від арабів і персів; в той час, коли арабські математики докладали всі зусилля до того, щоб мати на своїй мові переклади всіх скільки-небудь видатних у грецькій математичній літературі творів, візантійські математики не були в силах справлятися навіть з самими незначними елементарними творами арабської математичної літератури і для переробок переказів на грецьку мову потрібних їм творів зверталися вже до зовсім незначною математичній літературі персів. Особливого розвитку це користування перськими відгомонами таких творів колишньої грецької літератури, як Алмагест, досягло в XIV ст. в працях Хіоніада Константинопольського, Георга Хрізокоццеса, Федора Мелітеніота і ченця Ісаака Аргіра.
Висновок
Грецька математика вражає перш за все красою і багатством змісту. Багато вчених Нового часу відзначали, що мотиви своїх відкриттів почерпнули у древніх.Піфагорійці заклали основи геометричної алгебри. Зачатки аналізу помітні у Архімеда, коріння алгебри - у Діофанта, аналітична геометрія - у Аполлонія. Теетет і Евклід встановили класифікацію квадратичних іррациональностей. Евдопс розвинув загальну теорію пропорцій - геометричний еквівалент теорії додатних дійсних чисел - і розробив метод вичерпання - зародкову форму теорії меж.
Ці теорії створили міцний каркас будівлі давньогрецької математики, фундаментом якого була геометрія; тим самим долалися труднощі, пов'язані з фактом існування несумірних величин. Щоб уникнути труднощів в обгрунтуванні математики, пов'язаних з парадоксами нескінченності (Зенон, Аристотель), більшість вчених давньої Греції вважали за краще відмовитися від використання в математиці ідей нескінченності і руху або звести їх застосування до мінімуму. В якості такого мінімуму було прийнято твердження про необмежену подільності геометричних величин.
Але головне навіть не в цьому. Два досягнення грецької математики далеко пережили своїх творців.
Перше - греки побудували математику як цілісну науку з власної методологією, заснованої на чітко сформульованих законах логіки.
Друге - вони проголосили, що закони природи збагненна для людського розуму, і математичні моделі - ключ до їх пізнання.
У цих двох відносинах антична математика цілком сучасна.
Список літератури
1) Ван дер Варден. Пробуждающееся наука. Математика стародавнього Єгипту, Вавилона і Греції. Переклад з голландської І.М. Веселовського - М.: Физматгиз, 1959. - 456 с.2) Вигодський М.Я. Арифметика і алгебра в стародавньому світі - М.: Просвещение, 1967. - 101 с.
3) Глейзер Г.І. Історія математики в школі - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.
4) Депман І.Я. Історія арифметики. Посібник для вчителів. Вид. друге - М.: Просвещение, 1965. - 102-103, 236-238 с.
5) Історія математики Т 1: З найдавніших часів до початку Нового часу / Під редакцією А.П. Юшкевича (у трьох томах): - М.: Наука, 1970. - 321 с.
6) Клайн М. Математика. Втрата визначеності - М.: Світ, 1984. - 231с.
7) Крисітскій В. Шеренга великих математиків - Варшава: Наша Ксенгарня, 1981. - 31-34 с.
8) Рибников К.О. Історія математики - М.: Просвещение, 1994. - 123 - 125 с.
9) Хрестоматія з історії математики. Арифметика і алгебра. Теорія чисел. Геометрія / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Наука, 1976. - 23 с.