Лінійний гармонічний осцилятор

Лінійний гармонічний осцилятор.

3.5.1. Періодичні зміщення ядер молекули щодо деяких рівноважних положень називають молекулярними коливаннями. Цей вид внутрішньомолекулярного руху при деяких спрощення можна представити у вигляді сукупності однономерних рухів, кожному з яких відповідає своя коливальна ступінь свободи.
3.5.2. Просторовим переміщенням центру мас молекули відповідають 3 поступальні ступені свободи. Рухам її як цілого щодо центру мас відповідають обертальні ступені свободи. Їх число визначається мінімально необхідною кількістю плоских поворотів, необхідних для перекладу молекули в будь-яку просторову орієнтацію щодо закріпленої системи координат, що виходить із центру мас. У молекули з нелінійної рівноважної геометрією ядерного остову таких поворотів 3 та стільки ж обертальних ступенів свободи, а в молекул з лінійною геометрією - достатньо лише двох поворотів і обертальних ступенів свободи дві.
Всього ж зовнішніх механічних ступенів свободи, до яких відносяться поступальні й обертальні, у молекул або 6, або 5. Якщо молекула містить N-атомів, то для повного механічного опису ядерних переміщень потрібно 3N ступенів свободи і на частку коливальних залишається 3N-6 у нелінійних молекул і 3 N -5 у лінійних.
3.5.3. Найпростіша, дуже ефективна модель молекулярного одновимірного коливання описує коливання гармонійне, зване лінійним вібратором або лінійним осцилятором. Для простоти, далі скрізь будемо називати його просто осцилятором, за винятком спеціально застерігаються ситуацій.
З елементарної фізики відомо, що гармонійні коливання класичної системи породжуються пружною силою, лінійно залежить від зміщення коливної маси щодо рівноважного положення, тобто   (Сила Гука). Потенційна енергія пружних сил квадратично залежить від зсуву:
. (3.70)
Нагадаємо також, що константа пружності k пов'язана з коливається наведеної масою μ і власної кругової частотою ω формулою
, Де , (3.71)
так що потенційна енергія має вигляд:
. (3.72)
3.5.4. Рішення рівняння Шредінгера для гармонічного осцилятора досить складно і вимагає спеціальних відомостей з теорії диференціальних рівнянь, хоча при цьому не додається якісно нової інформації в порівнянні із завданнями "ящика" і "ротатора". Можливий інший, значно простіший шлях розрахунку рівнів та хвильових функцій осцилятора, заснований на використанні тільки елементів алгебри операторів. Цей шлях заснований на спільному аналізі рівняння Шредінгера (коливального гамільтоніану) і комутаційного співвідношення Гейзенберга (3.67). При цьому ми отримуємо можливість як би "перераховувати" рівні і стану, "переміщаючись" по їх драбинці, за допомогою спеціально вводяться операторів зсуву рівнів-станів.

3.5.5. Отже, розглянемо систему операторних виразів, а саме:
гамільтоніан , (3.73)
комутаційне співвідношення . (3.73а)
Введемо підстановки, які не впливають на зміст формул, а лише змінюю-щие "масштаби" змінних
. (3.74)
Множачи вираз (3.73) на 2 μ, а (3.73а) на μω і використовуючи підстароста новки (3.74), можна спростити формули (3.73) і (3.73а)
, (3.75)
, (3.76)
і для будь-якого з дискретних рівнів з номером υ рівняння Шредінгера при-набуває вигляду:
. (3.77)
3.5.6. Гамільтоніан (3.75) представлений у вигляді суми квадратів двох операторів і , Пов'язаних комутаційним співвідношенням (3.76). Використовуючи схему алгебри комплексних чисел (див. розділ 1.3.2.), Спробуємо розкласти гамільтоніан (3.75) на співмножники, що містять лише перші ступеня складових його операторів
, (3.78)
. (3.79)
3.5.7. Твори комплексних чисел комутативними, тому байдужий порядок запису комплексно-сполучених співмножників:
(A + ib) (a - ib) = (a - ib) (a + ib) = C · C * = | C | ^2. (3.80)    
Так як оператори не мають властивість комутативності слід очікувати, що операторні твори і різні і не рівні гамільтоніану, тому потрібно дослідити їх зв'язок з гамильтонианом. При цьому слід пам'ятати, що в силу лінійності операторів, складові операторних сум можна переставляти, а окремі групи співмножників можна об'єднувати, так як операторні твори мають властивість асоціативності.
, (3.81)
. (3.82)
Таким чином, твори операторів і відрізняються від гамільтоніану на постійну величину відповідно.
Підставимо знайдені в (3.81) і (3.82) вирази гамільтоніану в рівняння Шредінгера (3.77) і перенесемо постійні множники в праву частину отриманих рівнянь:
(3.83)
(3.84)
3.5.8. Для з'ясування сенсу операторів і ще раз подіємо першим з них на обидві частини рівняння (3.83), а другим - на рівняння (3.84), тобто домножимо ці рівняння зліва на і відповідно:
, (3.85)
. (3.86)
Підставимо замість творів операторів ( ) І ( ) Їх вираження (3.82) і (3.81) і знову перенесемо постійні величини Ω в праву частину рівнянь:
(3.87)
. (3.88)
У результаті кожне з рівнянь (3.87) і (3.88) придбало стандартний вид рівняння Шредінгера, але власні функції в них ( ) І ( ) Відмінні від хвильової функції вихідного стану Ψ _υ, а власні значення відрізняються від вихідного ε _υ на постійну величину. Функції ( ) Відповідає рівень , На величину 2Ω зрушений вниз по відношенню до рівня стану Ψ _υ, тобто оператор справив зниження рівня на один номер:
. (3.89)
Аналогічно оператор зрушує номер рівня і стану Ψ _υ на оди-ніцу вгору:
. (3.90)
Функції і , Отримані за допомогою операторів і за формулами (3.89) і (3.90), не нормовано, але в подальших розрахунках це несу-ественно. Стану відповідає рівень , А - Рівень , Тобто
. (3.91)
3.5.9. Перехід до звичайної енергетичної шкалою з використанням підстароста-новок (3.74б і 3.74в) дає
. (3.92)
Відповідно до формули (3.92), рівні гармонійного осцилятора еквідіс-тантни, і інтервал между.німі дорівнює .
3.5.10. Продовжуючи дослідження драбинки рівнів, врахуємо, що зверху вона необмежена, але нижня межа визначена рівнем основного стану Ψ _0, нижче якого не існує станів системи. Тому спроба подіяти оператором пониження на хвильову функцію основного стану повинна дати нульовий результат, тобто стосовно до хвильової функції основного рівня оператор зниження зіграє роль її "знищує" - аннігілятора:
(3.93)
Тут доцільно повернутися до змінної х. З урахуванням виразу для (3.80) і підстановки (3.74а) формулу (3.93) після простих перетворень приводимо до диференціальних рівнянь для :
, (3.94)
при інтегруванні якого отримаємо хвильову функцію основного стану:
. (3.95)
Далі знаходимо нормировочной множник А _0:
(3.96)
. (3.97)
При розкритті виразу (3.96) використано інтеграл Пуассона:
.
3.5.11. Хвильова функція є власною функцією гамільто-ніана. Тому для розрахунку основного рівня досить подіяти по-останньому на і визначити власне значення
(3.98)
Енергія шуканого основного рівня дорівнює . (3.99)
Послідовними зрушеннями на вгору, згідно з рівнянням (3.92), виходить вся драбинка енергетичних рівнів, і схема квантування енергії осцилятора передається формулою:
(3.100)
3.5.12. Оператор підвищення дозволяє отримати весь спектр хвильових функцій з . Якщо υ раз подіяти оператором на , То вийде з точністю до постійного множника. Іншими словами, генератор хвильової функції υ-го стану - це оператор підвищення, зведений у ступінь υ:
. (3.101)
Нагадаємо, що будь-яке перетворення хвильової функції, в загальному випадку, породжує необхідність нової нормування.
3.5.13. Обговоримо вигляд хвильових функцій осцилятора. Для цього зручно зробити ще одне спрощення за рахунок заміни змінної шляхом підстановки:
, (3.102)
завдяки чому і оператор підвищення , Необхідний для одержання , Приймуть вид:
, (3.103)
. (3.104)
Постійний коефіцієнт у виразі (3.104) ие грає ролі, так як до функції Ψ _υ, що генерується за формулою (3.105), він додає лише множник , Який далі автоматично входить до складу нормувального множника А _υ, і тому Ψ _υ передається формулою:
(3.105)
Оператор являє собою біном, складений зі ступенів змінної s і оператора диференціювання , Який у свою чергу витягає з гауссовой експоненти статечні множники, в результаті вираз (3.105) перетвориться до виду:
, (3.106)
де - Многочлен ступеня υ, званий поліномом Ерміта. Неважко переконатися, що ці поліноми можна представити виразом, який легко запам'ятовується, завдяки своїй симетричності:
. (3.107)
Послідовно надаючи υ значення 0, 1, 2, 3 ..., читач легко може вивести формули поліномів Ерміта різних порядків. Для того, щоб читач зміг перевірити свої розрахунки, наведемо в табл.2 декілька перших поліномів Ерміта разом з їх корінням і графіками. У табл.2 також зображені графіки ненормованих хвильових функцій
=.
У хвильових функцій є один і той же множник - експонента ; Ця швидко спадає до нуля функція при видаленні від початку координат "притискує" до осі абсцис розходяться було гілки поліномів. У результаті виходить картина, дуже нагадує поведінку хвильових функції "ящика".
Табл.2.
Поліноми Ерміта і хвильові функції гармоніяеского
осцилятора

υ		Коріння поліномів	Графіки поліномів	Графіки хвильових функцій .
0	1	-
1	2 s	0
2	4 s 2 - 2	± 1 / √ 2
3	8 s 3 - 12 s	0; ± 3 / 2
4	16 s 4 -48 s 2 +12	± 0,525; ± 1,651

Читач може сам отримати формулу для нормувальних коефіцієнтів або взяти їх готове вираз:
. (3.108)
3.5.14. Прямими обчисленнями неважко ще раз перевірити властивість ортогональності хвильових функцій. Інтегрування по всій області можливих значень змінної х дає:
, (3.109)
що наочно видно з графіків табл. 2
Нагадаємо, що властивість ортогональності - це загальна властивість влас-них функцій будь-якого ермітової оператора, до числа яких належить і гамільтоніан.
3.5.15. Всі поліноми Ерміта і породжувані ними хвильові функції діляться на два класи - парні і непарні. Раніше подібна властивість спостерігалося у хвильових функцій "ящика" і "ротатора". Аналіз парності хвильових функцій та їх творів виявляється дуже корисним при оцінці різних характеристик системи. Розглянемо це на прикладах.
Покажемо, що середнє відхилення коливної системи від положення рівноваги дорівнює нулю. Дотримуючись 5-му постулату, запишемо для υ = 0:
. (3.110)
Підінтегральна вираз непарне, так як утворено у вигляді вироблена-дення за правилом (чет Ч непар Ч чет). Інтеграл, взятий в симетричних межах від непарної функцій, тотожно дорівнює нулю, так що . Це ж має місце і для інших станів.

3.5.16. Інакше йде справа з середньоквадратичним відхиленням , На-зване середньоквадратичне амплітудою осцилятора. Зробимо відповід-ся необхідні розрахунки; знову звертаючись до 5-го постулату:
, (3.111)
(3.112)
У перетворенні (3.112) використано табличний інтеграл
. (3.113)
3.5.17. Порівняємо середньоквадратичне відхилення з квадратом амплі-туди, передбачає на основі формули, що зв'язує класичне і квантово-механічне вираз для повної енергії:
, (3.114)
звідки і . (3.115)
Формули (3.112) і (3.115) практично дають один і той же результат, оскільки класична амплітуда А ₀ - це максимальне відхилення осцилятора від положення рівноваги, тоді як квадратична "амплітуда" усереднена по всіх положень осцилятора, а поняття точної траєкторії і граничного відхилення не має сенсу в квантовій механіці.
Можна показати, що відповідність класичної амплітуди та квантово-механічного середньоквадратичного відхилення зберігається і в інших станах осцилятора, а саме:
і (3.120)
(У квазіклачисному підході) (у квантовомеханічної підході)
3.5.18. Середньоквадратичні амплітуди грають важливу роль в експериментах, пов'язаних з визначенням рівноважних положень ядер у молекулах, наприклад, в електронографії або в рентгеноструктурному аналізі. Вони також дозволяють на основі досвідчених коливальних спектрів (інфрачервоного поглинання та комбінаційного розсіювання) визначити межі зміни молекулярних "розмірів" за рахунок коливальних деформацій ядерного остову молекули.

3.6. Порівняння властивостей "ящика", "ротатора" і осцилятора.

3.6.1. Три розглянуті моделі найпростіших одновимірних рухів у обмеженому просторі дозволяють простежити деякі загальні якісні закономірності, що стосуються станів і рівнів квантово-механічних систем. Вони наочно проявляються при зіставленні енергетичних діаграм і графіків хвильових функцій "частки в ящику", "гармонійного осцилятора" і "плоского ротатора".
3.6.2. У першому випадку потенційна енергія нульова на виділеному інтервалі, і, як кажуть, потенційна "яма" має прямокутну форму. У другому випадку потенційна енергія змінюється квадратично при відхиленні від рівноваги і говорять про параболічної формі потенційної "ями". Нарешті, ротатор відсутністю потенційної енергії нагадує "ящик". Звідси, хоча способи нумерації рівнів і відрізняються, схеми квантування енергії у цих систем однакові - рівні розходяться зі зростанням квантового числа.
У гармонійного осцилятора квантування енергії унікально - рівні еквідистантно. Завдяки цьому при взаємодії з квантами світла частота поглинається випромінювання збігається з власною частотою молекулярного осцилятора, наприклад, тих, хто вагається атомів, пов'язаних хімічним зв'язком.
Таким чином, квантування повної енергії системи визначається потенційної функцією.
3.6.3. У розділі 3.2.5. ми зв'язали виродження рівнів ротатора з рівноправністю двох напрямків обертання навколо осі. Можна висловити ще і більш загальне твердження, що зв'язує наявність виродження з порядком обертальної осі системи. Плоский ротатор - це система з віссю обертання нескінченного порядку. Далі буде показано, що вироджені рівні з'являються у систем, що мають вісь третього порядку і вище.
У цілому ж, нам вдалося придбати деякі необхідні навички у вирішенні найпростіших завдань квантової механіки.