Крайові задачі для алгоритмів наближеного побудови заданого режиму термообробки дротів

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

«Гомельський державний університет імені Франциска Скорини»

Математичний факультет

Кафедра диференціальних рівнянь

Курсова робота

"Крайові задачі для алгоритмів наближеного побудови заданого режиму термообробки дротів на зустрічних курсах"

Гомель 2003

Реферат

Курсова робота 24 сторінки, 1 рисунок, 6 джерел.

Ключові слова: термообробка дротів, закони розподілу температур дротів, муфельні термоаппарат.

Мета курсової роботи: розробка алгоритму розрахунку параметрів термопроцесса на зустрічних курсах з заданим режимом термообробки.

Об'єкт дослідження: режим термообробки дротів на зустрічних курсах.

Предмет дослідження: розробка алгоритму розрахунку параметрів термопроцесса на зустрічних курсах з заданим режимом термообробки

Завдання: створення алгоритму.

Висновок: доведена здійсненність форсованого режиму термообробки з платоподібні нагріванням і довільним монотонним режимом охолодження.

Пропозиції: методика розрахунку вивчених режимів може бути використана для практичної мети.

Економічна ефективність: можливе поліпшення техніко-економічних показників відповідних технічних процесів

Зміст

Введення

1. Фізичні та математичні моделі досліджуваних термопроцессов і методика їх дослідження

2. Простий отжиг дротів на зустрічних курсах в муфельній термоаппарате

3. Складний отжиг дротів на зустрічних курсах в муфельній термоаппарате

4. Приклад термообробки дротів на зустрічних курсах

Висновок

Список джерел

Введення

При виробництві ниткоподібних матеріалів відповідального призначення широко використовується їх безперервна термообробка, зазвичай супроводжується операціями такими як травлення, промивання, шліфування, нанесення покриттів і т.п. Цей комплекс операцій обробки здійснюється при рівномірній перемотуванні безлічі ниток-дротів та їх послідовному проходженні через термоаппарат і подальший ряд пристроїв відповідної фінальної обробки. Безперервність процесу забезпечується своєчасним нарощуванням ниток з резервних вихідних котушок, у міру їх вичерпання їх запасу на даних, і періодичним зніманням мотків з фінальних моталок, у міру накопичення на них певної кількості продукту. Загальна довжина гілок дротів, що стягають вихідні котушки з фінальними моталки може вимірюватися багатьма десятками метрів, а кількість паралельно оброблюваних дротів може обчислюватися багатьма десятками одиниць Сталість форми дротів по траєкторії їхнього руху через весь агрегат підтримується гальмуванням збігають з вихідних котушок гілок оброблюваних дротів, а швидкість їх руху задається швидкістю їх змотування моталки.

У виробах з термооброблених ниткоподібних матеріалів одночасно реалізуються два відомих ефекту підвищення рівня використання корисних властивостей матеріалів: масштабний ефект, обумовлений малими розмірами перерізів ниток, і теплофізичних ефект, що досягається операцією термообробки. Покращуємо термообробкою властивостями матеріалів можуть бути міцність, пластичність, пружність, твердість, зносостійкість, циклічна міцність, корозійна стійкість, светопроводимость, електропровідність. Поліпшення комплексу таких властивостей оброблюваного матеріалу досягається в результаті певних змін його структурно-фазового будови за допомогою нагрівання і охолоджування. Характер і кінетика кожного з паралельних або послідовних термопревращеній даного матеріалу підпорядковується законам теплофізики та теплохіміі цього матеріалу і характеризується своїми кінетичними постійними. [2]

Для рівноважних термопревращеній матеріалу основним параметром, керуючим характером і кінетикою його трансформацій, прийнято вважати питому внутрішню енергію даного матеріалу, що включає його питому теплову енергію і визначається з точністю до постійної. Кожна зміна внутрішньої будови матеріалу відбувається при певному рівні його внутрішньої енергії і супроводжується тепловим ефектом з виділенням або поглинанням певної кількості тепла. Ці кількості в порівнянні з загальними кількостями тепла, що поглинається матеріалом при нагріві і охолодженні є невеликими. При охолодженні до своєї початкової температури, матеріал зазвичай віддає тепла майже стільки, скільки він його поглинає. [3]

Промислове застосування отримують тільки такі види безперервної термообробки, ефект яких проявляється у досить значне поліпшення комплексу певних корисних властивостей продукту і тривалість циклу термообробки яких виявляється досить малою. Тому обговорювані термопроцесси можна вважати інтенсивними, їх режими - форсованими, а структурні стану оброблюваних і оброблених матеріалів - нерівноважними або метастабільними.

При інтенсивних процесах термообробки істотно залежать від швидкості зміни температури стають багато параметрів стану і еволюції матеріалу, включаючи порогові температури, періоди інкубаційних станів, кінетичні постійні термопревращеній, їх характер, спектр, послідовність і т.п. Граничні температури більшості термопревращеній твердої речовини зі збільшенням швидкості його нагрівання зростають, а зі збільшенням швидкості його охолодження, навпаки - знижується.

Нагрівальними пристроями дротяних термоаппаратов переважно служать багатоканальні муфельні печі з зовнішнім полум'яним або електричним обігрівом муфелей. Середовищем нагріву служить або повітря, або спеціальний газ, безперервно подається в канали муфеля. Режим нагріву дротів контролюється за значеннями температури муфеля в його окремих точках, а управління цим режимом здійснюється регулюванням щільності теплового потоку зовнішнього джерела тепла.

Основні якісні відмінності різних видів термообробки різних матеріалів проявляється у відповідних їм режимах охолодження. При таких видах термообробки, як нормалізація, відпустка цілком допустимими виявляються режими природного охолодження нагрітих дротів на повітрі. У цьому випадку термоаппарат включає тільки нагрівальну піч, а роль охолоджуючого пристрою виконує атмосфера й елементи агрегату, з якими взаємодіють перемотується дроту після проходження їх через піч.

При видах термообробки, іменованих гартом, застосовуються прискорені режими охолодження. У цьому випадку термоаппарат виповнюється зі спеціальним охолоджуючим пристроєм, яке покликане забезпечити безперервний стаціонарний відвід тепла від безлічі рухомих дротів у відповідності з закономірностями шуканих термопревращеній даного охолоджуваного матеріалу. На практиці такий прискорений режим охолодження досягається в рідких середовищах, в якості яких використовується вода, розчини солей, лугів, рідкі вуглеводні, емульсії, розплави солей і металів. Склад гартівних рідин підбирається експериментально і адресно для кожного матеріалу і виду його термообробки. Управління режимом охолодження дротів зводиться до підтримки певної температури охолоджуючої рідини і до її перемішуванню. [4]

Систему, що включає термоаппарат, що заповнює його робочий простір робоче середовище і потік оброблюваних дротів можна віднести до відомого класу нерівноважних термодинамічних систем з безперервним обміном енергії і маси. Подібної системі навіть при строго постійних однорідних граничних умовах, примушують її до здійснення переносів енергії і маси при певному пресингу цих граничних умов в рухомих середовищах можуть мимовільно збуджуватися хвильові явища, виникати динамічні структурні утворення типу осередків Бернара, відбуватися інші аномальні події, скажімо, типу торнадо , що істотно змінюють поля температур і швидкостей рухомого середовища.

1. Фізичні та математичні моделі досліджуваних термопроцессов і методика їх дослідження

Основним, базовим термоаппаратом приймаємо традиційну багатоканальну муфельну піч з газовим середовищем нагрівання і з рівномірним зовнішнім обігрівом муфеля. Нехай 2 L - його довжина, Н - середня міжосьова відстань дротів, r - їх радіус, О - центральна точка деякого каналу, Ох - його вісь, х [- L; l] - зона обігріву муфеля зовнішнім джерелом тепла, х [- L; L] - робоча зона термоаппарата, l <L, - Модуль швидкості дротів, = 2 L / v - тривалість їх проходження через термоаппарат, - Середній рівень кінематичних збурювань тривалості .

Зрушенням шкали температур початкову температуру дротів приймемо за нуль і нехай [о, T *] - інтервал температур розглянутої термообробки, - Середній рівень обурень початкової температури дротів.

Простим отжигом дротів назвемо фізично спрощену модель обговорюваних термопроцессов, засновану на наступних гіпотезах:

1. Шуканий ефект цієї термообробки досягається нагріванням дротів до даної максимальної температури , А якість термообробки визначається рівнем збурень температури , Обмежених певною граничною величиною [ ].

2. В інтервалі температур термообробки матеріал дротів зберігає незмінними свої щільність і питому теплоємність .

3. Теплоізоляція термоаппарата, настільки досконала, що все тепло, яке надходить із зовнішніх джерел, поглинається оброблюваними дротами.

4. Теплова інерція муфеля набагато перевершує теплову інерцію містяться в ньому дротів.

5. Теплові потоки між дротами і муфелем нормальні до його осі Ох і підкоряється закону теплопровідності Фур'є, тобто пропорційні відповідним різницям температур.

6. Щільність теплового потоку від зовнішнього джерела тепла постійна по довжині і ширині муфеля.

Математичною моделлю даного виду термообробки служать рівняння теплового балансу на ділянці робочої зони [x, x + Δ x] за інтервал часу Δ t при стаціонарному термопроцессе.

Нехай Т А = Т А (х), T B = T B (x), T C = T C (x) - стаціонарні розподілу температур дротів і муфеля в робочій зоні х [- L; L]

(1. 1)

  • їх збільшення на ділянці робочої зони [х; х + Δ x],

(1.2)

  • кількості маси цих дротів, що проходять за час Δ t через дану ділянку каналу,

(1.3)

(1.4)

- Кількості теплової енергії, що поглинається тут за цей час дротами А і В,

(1.5)

- Середня кількість тепла, що поглинається одним дротом на ділянці робочої зони [х; х + Δх] за час Δ t.

При рівномірному обігріві муфеля за час Δ t на даній ділянці каналу в розрахунку на одну дріт надійде кількості тепла

(1.6)

З (1.5) і (1.6) знаходимо, що при нагріванні муфельній

(1.7)

У той же час, швидкості зміни температур дротів рівні

(1.8)

а швидкість зміни їх середньої температури рівна

(1.9)

отже,

(1.10)

(1.11)

при чому i = const, якщо i = const.

Відповідно до гіпотези 4 °, при стаціонарному муфельній нагріванні дротів кількість тепла поглинається дротами А і В за час Δ t на ділянці робочої зони [х; х + Δх], пропорційні цього часу, бічній поверхні дротів і відповідним різницям температур:

(1.12)

(1.13)

де > 0 і 0 - умовні коефіцієнти теплообміну кожної з дротів, відповідно, з муфелем і з сусідньої дротом.

При роздільному русі дротів А і В у сусідніх каналах теплообмін між ними можливий тільки непрямий, через тіло муфеля, чому відповідають значення > 0 і = 0. Якщо ж ці дроту рухаються в загальному каналі, то їх непрямий теплообмін буде доповняться прямим теплообміном, інтенсивність якого характеризується коефіцієнтом > 0 і нехай

(1.14)

- Параметр, що визначає співвідношення інтенсивностей прямого і непрямого теплообміну дротів для умов даного термопроцесса.

Інтенсивність прямого теплообміну дротів можна регулювати різними відомими способами, зокрема, зміною відстані між ними. Можливий діапазон такого регулювання, згідно з нашими розрахунками можна оцінити значенням g [0; l]. У даному дослідженні для відповідних орієнтовних розрахунків буде прийматися значення g = 0,5.

Оригінальний процес термообробки дротів на паралельних курсах з нагріванням в газовому середовищі вважаємо певним з повнотою, достатньою для обчислення відповідного значення коефіцієнта . Нехай - Аналогічний коефіцієнт для іншого варіанта процесу тієї ж термообробки тих же дротів з тією швидкістю,

(1.15)

- Його відносна величина. Значенням будуть моделюватися такі ж умови теплообміну дротів і муфеля, які мають місце при вихідному термопроцессе. При заповненні каналів муфеля рідкої робочим середовищем інтенсивність теплообміну дротів збільшується, принаймні, на порядок. В орієнтовних розрахунках такий варіант термопроцесса будемо моделювати значенням f = 10.

І так, в даному дослідженні якісні оцінки основних показників різних варіантів обговорюваних термопроцессов будемо моделювати при наступних значеннях параметрів:

_

(1.16)

(1.17)

Рівняння балансу тепла для розглянутих елементів дротів А і В можна отримати попарно прирівнюючи величини (1.3), (1.12) і (1.4), (1.13).

(1.18)

Умови даної термообробки дротів на паралельних курсах виражаються співвідношеннями:

, (1.19)

(1.20)

а на зустрічних курсах - співвідношеннями

(1.21)

(1.22)

Крім того, спільним є умова, що

(1.23)

Таким чином, для знаходження трьох невідомих функцій Т А = Т А (х), T B = T B (x), T C = T C (x) отримана система трьох рівнянь (1.10), (1.18), рішення яких, задовольняють відповідної комбінації умов (1.19) - (1.23), дозволяють одноманітно описати і оцінити показники кінетики різних варіантів простого відпалу, використовуючи в якості базових даних відомі параметри деякого вихідного процесу даної термообробки. Порівняння показників кінетики двох варіантів цієї термообробки, що відрізняються тільки спрямованістю руху сусідніх дротів А і В, дозволяє виявити невідомі особливості режимів термообробки дротів на зустрічних курсах.

2. Простий отжиг дротів на зустрічних курсах в муфельній термоаппарате

Цей процес описується залежностями (1.10), (1.11), (1.18), (1.21) - (1.23). Умови його здійснення зберігаємо ідентичними умовами процесу термообробки дротів на паралельних курсах.

У цьому випадку в робочій зоні x [- L; L] розподілу температур Т А = Т А (х), T B = T B (x), T C = T C (x) дротів А, В і С муфеля задовольняють відповідним умовам симетрії:

(2.1)

Ці умови є необхідними умовами забезпечення однакових режимів термообробки для всіх дротів, незалежно від напрямку їх руху і названі залежності задовольняють цим умовам. Дроту А і В з початковою температурою, умовно прийнятої рівною нулю, вступають в робочу зону з протилежних сторін:

(2.2)

Виходячи з фізичного змісту задачі, можна припустити, що свою задану температуру вони досягають у зоні, що обігрівається муфеля в деяких точках x = ± h:

(2.3)

Нехай

(2.4)

Отже, кожна з дротів, вступаючи в термоаппарат з нульовою температурою, його покидає з температурою Т 4. Отже, питома кількість тепла, що поглинається дротом в термоаппарате - питома енергоємність даного процесу дорівнює

, (2.5)

а показник відносної енергоємності

(2.6)

дорівнює

(2.7)

Необхідна для цього енергія надходить із зовнішнього джерела, що діє в зоні , І отже,

(2.8)

У цій зоні середня швидкість нагріву дротів

(2.9)

а щільність зовнішнього теплового потоку тут постійна і, згідно (1.11) рівна

(2.10)

У периферійних необогреваемих зонах муфеля j = 0 і i = 0.

За названих умов і угоди систему (1.10), (1.18) перетворимо до вигляду:

(2.11)

де

(2.12)

Якщо

К <0,5, (2.13)

то рішення системи (2.12), що задовольнить всієї сукупності названих умов і обмежень, можна виразити наступними залежностями:

(2.14)

(2.15)

При цьому

(2.16)

У зоні обігріву графіками температур Т А = Т А (х), T B = T B (x), T C = T C (x) та середньої температури дротів

(2.17)

є однакові, звернені опуклістю вгору параболи з вершинами, відповідно де

(2.18)

(2.19)

. (2.20)

3. Складний отжиг дротів на зустрічних курсах в муфельній термоаппарате

Розглянемо отжиг дротів на зустрічних курсах і розглянемо рівняння балансу тепла:

(3.1)

Домовимося що

(3.2)

Відповідно до § 2 температура дротів А і В, при постійній щільності потоку , Наростає по параболічного закону на відрізку [- h, h]. На цьому відрізку дріт А досягає своєї максимальної температури (див. рис.)

Y


Т * A const

T *

F (t)

B \



X

Рис. 1

Постановка завдання. Полога, що допустимо будь форсований режим нагріву з умовою изотермичности в околиці максимальної температури і що заданий строго певний режим охолодження в обмеженому інтервалі температур, розробити алгоритм розрахунку параметрів нагріву дротів при їх русі зустрічними потоками.

Нехай T A (x), T B (x), T С (x) - розподіл температур дротів A і B, що рухаються назустріч один одному, і муфеля С. Весь шлях термообробки дротів A і B розбитий на інтервали: [- h, h], [h, ], [ . Відомо, що на інтервалі [- h, h] при постійній щільності потоку j 0 дроту нагріваються по параболічного закону, на інтервалі [h, ] Дріт A досягає максимальної температури T * і зберігає її на всьому інтервалі. На інтервалі [ закон розподілу температури дроту A: T A (x) = F (t) = F ( ). Потрібно визначити закони розподілу температур дроту B, муфеля С і щільності потоку j на інтервалах [h, ], [ . При цьому процес вважаємо симетричним.

Так як на [h, ] Дріт A досягає максимальної температури Т * то з (3.1) знаходимо закон розподілу температури дроту В

(3.3)

(3.4)

Враховуючи, що T A = T *, одержуємо диференціальне рівняння, вирішуючи яке закон знаходимо зміни температури дроту В.

(3.5)

Тут нам треба визначити С = з nst. Для цього відрізок [A, B] позначимо через . Тоді отримуємо точку і звідки знаходимо початкова умова для дроту В:

(3.6)

тоді

(3.7)

отже

(3.8)

З цієї ж системи знаходимо закон розподілу температури муфеля:

(3.9)

звідки отримаємо

(3.10)

Знаходимо щільність потоку j (x) з системи (3.1) Враховуючи Т А = Т *, (3.8), (3.10).

(3.11)

Нехай тепер на відомий закон розподілу температури дроту А (див. рис1):

(3.12)

І нехай для дроту В відомо початкова умова:

(3.13)

Тоді згідно з цим законом та початкової умові знаходимо закони розподілу температур дроту В, муфеля і щільності j.

Враховуючи рівняння (3.4) знаходимо Т B (х)

(3.14)

(3.14) є лінійним неоднорідним рівнянням виду [4]

(3.15)

Його рішенням є

(3.16)

Звідки знаходимо

. (3.17)

Враховуючи початкова умова (3.13) знаходимо С = const

(3.18)

Підставляючи З в (3.17) знаходимо закон розподілу температури дроту B:

З (3.9) визначимо закон розподілення температури муфеля

(3.20)

Щільність теплового потоку j знаходимо з третього рівняння системи (3.1), враховуючи формули (3.12), (3.19), (3.20).

Відповідно до другого параграфу на I = [- h; h] щільність потоку j 0 постійна величина. Знайдемо її.

(3.21)

тоді

(3.22)

Враховуючи (3.7) отримуємо

.

Визначимо невідомий параметр . Визначити його можна виходячи з умови (3 )

(3.23)

Перепишемо це рівняння це рівняння у вигляді:

(3.24)

Вирішується це рівняння методом ітерацій. [1] Опишемо схему рішення: якщо будь-яким способом отримано наближене значення (Як можна взяти довільне значення з інтервалу, що містить корінь; такий інтервал можна зробити досить малим) кореня (3.24), то уточнення кореня можна здійснити методом послідовних наближень. Для цього рівняння представляють у вигляді

, (3.25)

Що завжди можна зробити, і притому багатьма способами, наприклад

, (3.26)

де c - довільна постійна.

Нехай число є результат підстановки в праву частину рівняння (3.25):

(3.27)

Ітераційний процес сходиться ( ), Якщо на відрізку [a; b], що містить корінь і його послідовні наближення, виконана умова

. (3.28)

4. Приклад термообробки дротів на зустрічних курсах

Розглянемо процес термообробки дротів на зустрічних курсах аналогічний розглянутому в попередньому параграфі тільки в якості закону розподілу температури дроту А візьмемо закон:

(4.1)

Тоді з системи (3.1) знаходимо, Т В (х), Т С (х) і щільність потоку j, враховуючи початкова умова (3.13).

З (3.14) отримуємо

(4.2)

Вирішуючи його отримуємо:

(4.3)

Тоді

(4.4)

(4.5)

Висновок

У курсовій роботі було розглянуто: фізичні та математичні моделі термопроцессов на зустрічних курсах, простий і складний отжиг дротів на зустрічних курсах в муфельній термоаппарате.

Наведено: методика дослідження фізичних і математичних моделей.

Розглянуто приклад термообробки дротів.

Список джерел

1 Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Чисельні методи .- М.   Видавництво «Наука», 1987.   - 600   с.

2 Гольдштейн М.І. Спеціальні сталі - М. Видавництво «Наука», 1968. - 500 с.

3 Островський О.І. Властивість металевих розплавів - М. Видавництво «Наука», 1978. - 660 с.

4. Зінов'єв В.Є. Теплофізичні властивості металів при високих температурах сталі - М. Видавництво «Наука», 1986.   - 350   с.

5 Матвєєв Н.М. Методи інтегрування звичайних диференціальних рівнянь. - М: Видавництво «Вишейшая школа», 1974. - 250 с.

6 Михалин С.Г. Курс математичної фізики - М. Видавництво «Наука», 1968. - 575 с.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
84.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Крайові задачі для алгоритмів наближу нного побудови заданого режиму термообробки дротів на
Крайові задачі і різницеві схеми
Проект програмного модуля для знаходження наближеного значення нескінченної суми
Розрахунок індуктора і вибір індукційної установки для термообробки заготовок циліндричної форми
України і принципи її побудови 3 Бюджетний процес його утримання і задачі 4 Проблема збалансованого
Принципи розробки алгоритмів і програм для вирішення прикладних завдань
Просторові задачі теорії пружності для шару
Експертна система для вирішення задачі про комівояжера
Використання нейромереж для побудови системи розпізнавання мовлення
© Усі права захищені
написати до нас