Коріння многочленів від однієї змінної

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Новосибірський державний педагогічний університет.

Математичний факультет.

Кафедра алгебри.

Курсова робота з математики.

Многочлени

Виконала: студентка 35гр.

Голобокова О.В.

Науковий керівник:

старший викладач

Гейбука С.В.

м. Новосибірськ, 2008

Зміст

Введення

§ 1. Многочлени від однієї змінної

Поняття многочлена. Ступінь многочлена

Рівність многочленів. Значення многочленів

Операції над многочленами

Схема Горнера

Коріння многочленів

Кратні корені многочлена

Раціональні корені многочлена

§ 2. Задачі про многочленів

Висновок

Список літератури

Введення

Тема моєї курсової роботи "Многочлени".

У ній я хочу дати поняття многочлена, визначити операції над ними, розглянути способи знаходження залишків при діленні: схема Горнера. А так само розглянути види коренів: раціональні, кратні.

Для цього мені потрібно вивчити наукову та методичну літературу, підібрати і вирішити завдання по даній темі, включаючи олімпіадні.

У першому розділі своєї роботи я розглядаю основне поняття многочлена, операції над ними, вводжу визначення та основні поняття схеми Горнера, розглядаю кратні і раціональні корені многочлена. У другому розділі вирішую завдання, включаючи олімпіадні.

§ 1. Многочлени від однієї змінної

Поняття многочлена. Ступінь многочлена

Многочленом від змінної х будемо називати вираз вигляду

a n x n + a n -1 x n -1 + ... + A 1 x + a 0, де n - натуральне число; а n, a n -1 ,..., a 1, a 0 - будь-які числа, звані коефіцієнтами цього многочлена. Вирази a n x n, a n -1 x n -1 ,..., a 1 х, a 0 називаються членами многочлена, а 0 - вільним членом.

Часто будемо вживати і такі терміни: a n - коефіцієнт при х n, а n -1 - Коефіцієнт при х n -1 і т.д.

Прикладами многочленів є наступні вирази: 4 +2 х 3 + (-3) х 3 + (3 / 7) х + ; 2 +0 х +3; 0х 2 +0 х +0. Тут для першого многочлена коефіцієнтами є числа 0, 2, - 3, 3 / 7, ; При цьому, наприклад, число 2 - коефіцієнт при х 3, а - Вільний член.

Многочлен, у якого всі коефіцієнти дорівнюють нулю, називається нульовим.

Так, наприклад, многочлен 2 +0 х +0 - нульовий.

Із запису многочлена видно, що він складається з кількох членів. Звідси і стався термін <<многочлен>> (багато членів). Іноді многочлен називають поліномом. Цей термін походить від грецьких слів πολι - багато і νομχ - член.

Многочлен від однієї змінної х будемо позначати так: f (x), g (x), h (x) і т.д. наприклад, якщо перший наведених вище многочленів позначити f (x), то можна записати: f (x) = 0 x 4 +2 x 3 + (-3) x 2 +3 / 7 x + .

Для того щоб запис многочлена виглядала простіше і виглядала компактніше, домовилися про низку умовностей.

Ті члени не нульового многочлена, у коефіцієнти дорівнюють нулю, не записують. Наприклад, замість f (x) = 0 x 3 +3 x 2 +0 x +5 пишуть: f (x) = 3 x 2 +5; замість g (x) = 0 x 2 +0 x +3 - g ( x) = 3. Таким чином, кожне число - це теж многочлен. Многочлен h (x), у якого всі коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто нульовий многочлен, записують так: h (x) = 0.

Коефіцієнти многочлена, які не є вільним членом і рівні 1, теж не записують. Наприклад, многочлен f (x) = 2 x 3 +1 x 2 +7 x +1 можна записати так: f (x) = x 3 + x 2 +7 x +1.

Знак <<->> негативного коефіцієнта відносять до члена, який містить цей коефіцієнт, тобто, наприклад, многочлен f (x) = 2 x 3 + (-3) x 2 +7 x + (-5) записують у вигляді f (x) = 2 x 3 -3 x 2 +7 x -5. При цьому, якщо коефіцієнт, який не є вільним членом, дорівнює - 1, то знак "-" зберігають перед відповідним членом, а одиницю не пишуть. Наприклад, якщо многочлен має вигляд f (x) = x 3 + (-1) x 2 +3 x + (-1), то його можна записати так: f (x) = x 3 - x 2 +3 x -1 .

Може виникнути питання: навіщо, наприклад, умовляється про заміну 1 х на х у записі многочлена, якщо відомо, що 1 х = х для будь-якого числа х? Справа в тому, що останнє рівність має місце, якщо х - число. У нашому ж випадку х - елемент довільної природи. Більше того запис 1 х ми поки не маємо права розглядати як добуток числа 1 і елемента х, бо, повторюємо х - це не число. Саме такою обставиною і викликані умовності у записі многочлена. І якщо ми далі говоримо все-таки про твір, скажімо, 2 і х без всяких підстав, то цим допускаємо деяку нестрогість.

У зв'язку з умовностями у записі многочлена звертаємо увагу на таку деталь. Якщо є, наприклад, многочлен f (x) = 3х 3-2х 2-х +2, то його коефіцієнти - це числа 3, - 2, - 1,2. Звичайно, можна було б сказати, що коефіцієнтами є числа 0, 3, - 2, - 1, 2, маючи на увазі таке подання даного многочлена: f (x) = 0 x 4 -3 x 2 -2 x 2 - x + 2.

Надалі для визначеності будемо вказувати коефіцієнти, починаючи з відмінного від нуля, у порядку їх слідування у записі многочлена. Так, коефіцієнтами многочлена f (x) = 2 x 5 - x є числа 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Справа в тому, що хоча, наприклад, член з х 2 у записі відсутня, це лише означає, що його коефіцієнт дорівнює нулю. Аналогічно вільного члена в запису немає, оскільки він дорівнює нулю.

Якщо є многочлен f (x) = a n x n + a n -1 x n -1 + ... + A 1 x + a 0 і a n ≠ 0, то число n називають ступенем многочлена f (x) (або кажуть: f (x) - n-го ступеня) і пишуть ст. F (x) = n. У цьому випадку a n називається старшим коефіцієнтом, а a n x n - старшим членом даного многочлена.

Наприклад, якщо f (x) = 5 x 4 -2 x +3, то ст. F (x) = 4, старший коефіцієнт - 5, старший член - 4.

Розглянемо тепер многочлен f (x) = a, де а - число, відмінне від нуля. Чому дорівнює ступінь цього многочлена? Легко помітити, що коефіцієнти многочлена f (x) = a n x n + a n -1 x n -1 + ... + A 1 x + a 0 пронумеровані справа наліво числами 0, 1, 2, ..., n -1, n і якщо a n ≠ 0, то ст. F (x) = n. Значить, ступінь многочлена - це найбільший з номерів його коефіцієнтів, відмінних від нуля (при тій нумерації, про яку тільки що говорилося). Повернімося тепер до многочлені f (x) = a, a ≠ 0, і пронумеруємо його коефіцієнти справа наліво числами 0, 1, 2, ... коефіцієнт а при цьому отримає номер 0, а так як всі інші коефіцієнти - нульові, то це і є найбільший з номерів коефіцієнтів даного многочлена, відмінних від нуля. Значить ст. F (x) = 0.

Таким чином, багаточлени нульової ступеня - це числа, відмінні від нуля.

Залишилося з'ясувати, яка ситуація зі ступенем нульового многочлена. Як відомо, всі його коефіцієнти дорівнюють нулю, і тому до нього не можна застосувати дане вище визначення. Так от, домовилися нульового многочлені не присвоювати ніякої ступеня, тобто що він не має ступеня. Така умовність викликана деяким обставиною, які будуть розглянуті дещо пізніше.

Отже, нульовий многочлен ступеня не має; многочлен f (x) = a, де а - число, відмінне від нуля, має ступінь 0; ступінь ж всякого іншого многочлена, як легко помітити, дорівнює найбільшому показнику степеня змінної х, коефіцієнт при якої дорівнює нулю.

На закінчення нагадаємо ще кілька визначень. Многочлен другого ступеня f (x) = ax 2 + bx + c називається квадратним тричленної. Многочлен першого ступеня виду g (x) = x + c називається лінійним двучленной.

Рівність многочленів. Значення многочленів

Два многочлена f (x) і g (x) вважаються рівними, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових ступенях змінної х і вільні члени (або, коротше, рівні їх відповідні коефіцієнти). У цьому випадку пишуть: f (x) = g (x ).

Наприклад, многочлени f (x) = x 3 +2 x 2 -3 x +1 і g (x) = 2 x 2 -3 x +1 не рівні, бо у першого з них коефіцієнт при х 3 дорівнює 1, а в другого - нулю (згідно прийнятим умовностям ми можемо записати: g (x) = 0 x 3 +2 x 2 -3 x +1. У цьому випадку пишуть: f (x) ≠ g (x). Не рівні і многочлени h (x) = 2 x 2 -3 x +5, s (x) = 2 x 2 +3 x +5, так як у них коефіцієнти при х різні. А ось многочлени f 1 (x) = 2 x 5 +3 x 3 + bx +3 і g 1 (x) = 2 x 5 + ax 3 -2 x +3 рівні тоді і тільки тоді, коли а = 3, а b =- 2.

Нехай дано многочлен f (x) = a n x n + a n -1 x n -1 + ... + A 1 x + a 0 і деяке число с. Число f (c) = a n c n + a n -1 c n -1 + ... + A 1 c + a 0 називається значенням многочлена f (x) при х = с.

Таким чином, щоб знайти f (c), в многочлен замість х потрібно підставити с і провести необхідні обчислення. Наприклад, якщо f (x) = 2 x 3 +3 x 2 - x +5, то f (-2) = 2 (-2) 3 + (-2) 2 - (-2) +5 = 3.

Розглянемо многочлен f (x) = a і знайдемо, наприклад, f (2). Для цього в многочлен замість х треба підставити число 2 і провести необхідні обчислення. Однак у нашому випадку f (x) = a і змінної х у явному вигляді немає. Згадаймо, що даний многочлен можна записати у вигляді f (x) = 0 x + a. Тепер все в порядку, можна підставити значення х = 2: f (2) = 0 2 + a = a. Зауважимо, що для даного многочлена f (c) = a при будь-якому с. Зокрема, нульовий многочлен при будь-якому з приймає значення, рівне нулю.

Взагалі кажучи, многочлен при різних значеннях змінної х може набувати різних значень. Нас же досить часто будуть цікавити ті значення х, при яких многочлен приймає значення 0. Число з називається коренем многочлена f (x), якщо f (c) = 0.

Наприклад, якщо f (x) = x 2 -3 x +2, то числа 1 і 2 є коренями цього многочлена, бо f (1) = 0 і f (2) = 0. А ось многочлен f (x) = 5 коренів взагалі не має. Справді, при будь-якому значенні х він приймає значення 5, а значить, ніколи не приймає значення 0. Для нульового ж многочлена, як легко помітити, кожне число є коренем.

Пошук коренів многочленів є однією з найважливіших задач алгебри. Знаходити коріння лінійних двучленной і квадратних тричленної вчать ще в школі. Що стосується многочленів вищих ступенів, то для них таке завдання є досить важкою і не завжди вирішуваною. Надалі ми неодноразово будемо нею займатися. А зараз зауважимо тільки, що знайти коріння многочлена f (x) = a n x n + a n -1 x n -1 + ... + A 1 x + a 0 і вирішити рівняння a n x n + a n -1 x n -1 + ... + A 1 x + a 0 = 0 - це еквівалентні завдання. Тому, навчившись знаходити коріння многочлена, ми навчимося вирішувати відповідні рівняння, і навпаки.

Звернемо увагу на відмінність між двома твердженнями: "многочлен f (x) дорівнює нулю (або, що те ж саме, многочлен f (x) - нульовий)" і "значення многочлена f (x) при х = с дорівнює нулю". Наприклад, многочлен f (x) = x 2 -1 не дорівнює нулю, бо у нього є ненульові коефіцієнти, а його значення при х = 1 дорівнює нулю. Коротше, f (x) ≠ 0, а f (1) = 0.

Між поняттями рівності многочленів і значення многочлена існує тісний взаємозв'язок. Якщо дані два рівних многочлена f (x) і g (x), то їх відповідні коефіцієнти рівні, а значить, f (c) = g (c) для кожного числа с. Іншими словами, якщо f (c) = g (c) для кожного числа c, то чи рівні многочлени f (x) і g (x)? Спробуємо відповісти на це питання в окремому випадку, коли f (x) = px 2 + qx + r, а g (x) = kx + m. Так як f (c) = g (c) для кожного числа с, то, зокрема, f (0) = g (0), f (1) = g (1), f (-1) = g (- 1).

Обчисливши фігурують у цих равенствах значення розглянутих многочленів, отримаємо систему

З цієї системи випливає, що p = 0, q = k, r = m, а значить, f (x) = g (x).

Таким чином, для розглянутого прикладу відповідь на поставлене питання позитивна. Виявляється, це справедливо і в загальному випадку, після ознайомлення з деякими іншими поняттями і твердженнями теорії многочленів.

Операції над многочленами

Многочлени можна складати, віднімати і множити за звичайними правилами розкриття дужок і приведення подібних членів. При цьому в результаті знову виходить многочлен. Зазначені операції володіють відомими властивостями:

f (x) + g (x) = g (x) + f (x),

f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h (x),

f (x) g (x) = g (x) f (x),

f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g (x)) h (x),

f (x) (g (x) + h (x)) = f (x) g (x) + f (x) h (x).

Встановимо ще кілька корисних властивостей операцій над многочленами.

Нехай дано два многочлена f (x) = a n x n + a n -1 x n -1 + ... + a 1 x + a 0, a n ≠ 0, і g (x) = b m x m + b m-1 x m-1 + ... + b 1 x + b m ≠ 0. Ясно, що ст. f (x) = n, а ст. g (x) = m. Неважко помітити, що якщо перемножити ці два многочлена, вийде многочлен виду f (x) g (x) = a n b m x m + n + ... + A 0 b 0. Так як a n ≠ 0 і b n ≠ 0, то a n b m ≠ 0, а значить, ст. (F (x) g (x)) = m + n. Звідси випливає важливе твердження.

Ступінь твори двох ненульових многочленів дорівнює сумі ступенів співмножників, або, коротше, ст. (F (x) g (x)) = ст. F (x) + ст. G (x).

Легко довести, що аналогічне твердження має місце для будь-якого кінцевого числа ненульових співмножників, тобто що ст. (F 1 (x) f 2 (x) ... f s (x)) = ст. F 1 (x) + ст. F 2 (x) + ... + Ст. F s (x).

З міркувань, наведених вище для ступеня твори двох многочленів, слід два корисних твердження, які легко розповсюджуються на будь-яке кінцеве число співмножників.

Старший член (коефіцієнт) твори двох ненульових многочленів дорівнює добутку старших членів (коефіцієнтів) співмножників.

Вільний член твори двох многочленів дорівнює добутку вільних членів співмножників.

Ступені многочленів f (x), g (x) і f (x) ± g (x) пов'язані наступним співвідношенням: ст. (F (x) ± g (x)) ≤ max ст. f (x), ст. g (x) .

Нагадаємо, що многочлен - вираз вид a n x n + a n -1 x n -1 + ... + + a 1 x + a 0.

Чи будуть многочленами вирази: 2 x 2 +4 +3 x 3; (x 2 -1) (2 x +5), (x 2 +1) (x -3) + 2 x?

Спробуємо розібратися в цьому.

Перший вираз можна розглядати як суму многочленів f 1 (x) = 2 x 2, f 2 (x) +4, f a (x) +3 x 3. Але, як відомо, сума многочленів - це теж многочлен. Значить, перше вираз можна вважати невдало записаним многочленом. Скориставшись тим, що при складанні многочленів доданки можна переставляти місцями, отримаємо 2 x 2 +4 +3 x 3 = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) = f 3 (x) + f 1 ( x) + f 2 (x) = 3 x 3 +2 x 2 +4.

Аналогічно другий вираз - це твір многочленів g 1 (x) = x 2 -1 і g 2 (x) = 2 x +5, а значить, теж многочлен. Легко переконатися, що і третє вираз також є многочленом.

Тепер познайомимося з ще однією операцією над многочленами - суперпозицією.

Суперпозицією многочленів f (x) і g (x) називається многочлен, що позначається f (g (x)), який виходить якщо в многочлене f (x) замість x підставити многочлен g (x).

Наприклад, якщо f (x) = x 2 +2 x -1 і g (x) = 2 x +3, то f (g (x)) = f (2 x + 3) = (2 x + 3) 2 +2 (2 x +3) - 1 = 4 x 2 +16 x +14, g (f (x)) = g (x 2 +2 x -1) = 2 (x 2 +2 x - 1) + 3 = 2 x 2 +4 x +1.

Видно, що f (g (x)) ≠ g (f (x)), тобто суперпозиція многочленів f (x), g (x) і суперпозиція многочленів g (x), f (x) різні. Таким чином, операція суперпозиції не має властивість переместительному.

Схема Горнера

Розділити із залишком многочлен f (x) на ненульовий многочлен g (x) - це означає представити f (x) у вигляді f (x) = g (x) s (x) + r (x), де s (x) і r (x)-многочлени і або r (x) = 0, або ст. r (x) <ст. g (x). S (x) назвемо неповним приватним, а r (x) - залишком при розподілі f (x ) на g (x).

Неповне приватне при розподілі можна знайти за допомогою простого правила, званого схемою Горнера, яке, до речі, дозволяє знайти і залишок.

Нехай f (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0, a n 0 - многочлен n-го ступеня. При розподілі його на x - c ми отримаємо неповне приватне s (x) і залишок r, тобто f (x) = (x - c) s (x) + r. Оскільки ст. f (x) = n, а ст. (x - c) = 1, то

ст. s (x) = n - 1, т. е. s (x) = b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + ... + b 1 x + b 0, b n - 1 ≠ 0. Таким обрз, маємо рівність

a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0 = (x - c) (b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + ... + b 1 x + b 0) + r.

Многочлени, що стоять в лівій і правій частинах цього співвідношення, рівні, а значить, рівні їх відповідні коефіцієнти. Прирівняємо їх, розкривши попередньо дужки і привівши подібні члени в правій частині даного рівності. Отримаємо:

a = b n-1, a 1 = b n-2 - cb n-1, a -2 = b n-3 - cb n-2,

a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0.

Нагадаємо, що потрібно знайти неповне приватне, тобто його коефіцієнти, і залишок.

Висловимо їх з отриманих рівностей:

b n-1 = a n,

b n-2 = cb n-1 + a n-1, b n-3 = cb n-2 + a n-2,

b 1 = cb 2 + a 2, b 0 = cb 1 + a 1, r = cb 0 + a 0.

Ми знайшли формули, за якими можна обчислювати коефіцієнти неповного приватного s (x) і залишок r. При цьому обчислення оформляються у вигляді такої таблиці, вона називається схемою Горнера.

Таблиця 1.

Коефіцієнти f (x)


a n

a n-1

a n-2

...

a 0

c

b n-1

b n-2 = cb n-1 + a n-1

b n-3 = cb n-2 + a n-2

...

r = cb 0 + a 0

Коефіцієнти s (x) залишок

У перший рядок цієї таблиці записують підряд всі коефіцієнти многочлена f (x), залишаючи першу клітку вільною. У другому рядку в першій клітині записують число c.

Решта клітини цього рядка заповнюють, обчислюючи один за іншим коефіцієнти неповного приватного s (x) і залишок r. У другій клітці записують коефіцієнт b n -1, який, як ми встановили, дорівнює a n.

Коефіцієнт, що стоять у кожній наступній клітці, обчислюються за таким правилом: число c множиться на число, що стоїть у попередній клітці, і до результату додається число, що стоїть над заповнюваної кліткою. Щоб запам'ятати, скажімо, п'яту клітку, тобто знайти стоїть в ній коефіцієнт, потрібно c помножити на число, що знаходиться в четвертій клітці, і до результату додати число, що стоїть над п'ятою кліткою.

Розділимо, наприклад, многочлен f (x) = 3 x 4 -5 x 2 +3 x -1 на х-2 із залишком, використовуючи схему Горнера.

При заповненні першого рядка цієї схеми не можна забувати про нульових коефіцієнтах многочлена.

Так, коефіцієнти f (x) - це числа 3, 0, - 5, 3, - 1. І ще слід пам'ятати, що ступінь не повного приватного на одиницю менше ступеня многочлена f (x).

Отже, виконуємо поділ за схемою Горнера:

Таблиця 2.


3

0

-5

3

-1

2

3

6

7

17

33

Отримаємо неповне приватне s (x) = 3 x 3 +6 x 2 +7 x +17 і залишок r = 33. зауважимо, що одночасно ми вирахували значення многочлена f (2) = 33.

Розділимо тепер той же многочлен f (x) на х +2 з залишком. У цьому випадку з =- 2. отримаємо:

Таблиця 3.


3

0

-5

3

-1

-2

3

-6

7

-11

21

В результаті маємо f (x) = (x +2) (3 x 3 -6 x 2 +7 x -11) +21.

Коріння многочленів

Раніше ми встановили що якщо с - корінь многочлена f (x) ділиться на х-с. Зараз узагальнимо це твердження.

Нехай з 1, с 2, ..., з m - різні коріння многочлена f (x). Тоді f (x) ділиться на х-с 1, тобто f (x) = (x - c 1) s 1 ( x). Покладемо в цій рівності х = с 2. Отримаємо f (c 2) = (c 2 - c 1) s 1 (c 2) і, так f (c 2) = 0, то 2-с 1) s 1 (c 2) = 0. Але з 2 ≠ з 1, тобто з 2-з 1 ≠ 0, а значить, s 1 (c 2) = 0. Таким чином, з 2 - корінь многочлена s 1 (x). Звідси випливає, що s 1 (x) ділиться на х-с 2, тобто s 1 (x) = (x - c 2) s 2 (x ). Підставимо отриманий вираз для s 1 (x) в рівність f (x) = (x - c 1) s 1 (x). Маємо f (x) = (x - c 1) (x - c 2) s 2 (x). Поклавши в останньому рівність х = с 3 з урахуванням того, що f (c 3) = 0, з 3 ≠ с1, з 3 ≠ з 2, отримаємо, що з 3 - корінь многочлена s 2 (x). Значить, s 2 (x) = (x - c 3) s 3 (x), а тоді f (x) = (x - c 1) (x - c 2) (x - c 3) s 3 (x) і т.д. Продовживши ці міркування для решти коренів з 4, с 5, ..., з m, ми, нарешті, отримаємо f (x) = (x - c 1) (x - c 2) ... (х-с m) s m (x ), тобто доведено формулируемое нижче твердження.

Якщо з 1, с 2, ..., з m - різні коріння многочлена f (x), то f (x) можна представити у вигляді f (x) = (x - c 1) (x - c 2) ... (X - c m) s m (x).

Звідси випливає важливий наслідок.

Якщо з 1, с 2, ..., з m - різні коріння многочлена f (x), то f (x) ділиться на многочлен (х-с 1) (х-с 2) ... (х-с m).

Як ми вже відзначали, однією з важливих задач в теорії многочленів є завдання відшукання коренів многочлена. У зв'язку з цим суттєвим є питання про їх числі. Справді, якщо дано якийсь многочлен і вже знайдено, скажімо, 10 його коренів, то потрібно знати, чи варто продовжувати пошуки. А раптом цей многочлен більше не має коренів? У таких випадках нам буде корисна приводиться нижче теорема.

Число різних коренів ненульового многочлена f (x) не більше, ніж його ступінь.

Дійсно, якщо f (x) коренів не має, то ясно, що теорема правильна, бо ст. F (x) ≥ 0.

Нехай тепер f (x) має m коренів з 1, с 2, ..., з m, причому всі вони різні. Тоді, за щойно доведеним f (x) ділиться на (х-с 1) (х-с 2) ... (х-с m). В такому випадку ст. F (x)ст. ((Х-с 1) (х-с 2) ... (х-с m)) = ст. (Х-с 1) + ст. (Х-с 2) + ... + ст. (Х-с m) = m, тобто ст. f (x) ≥ m, а m - це число коренів розглянутого многочлена.

А ось у нульового многочлена нескінченно багато коренів, адже його значення для будь-якого х дорівнює 0. Зокрема, з цієї причини йому й не наказують ніякої певної міри.

З щойно доведеної теореми випливає таке твердження.

Якщо многочлен f (x) не є многочленом ступеня, більшою, ніж n, і має більш, ніж n коренів, то f (x) - нульовий многочлен.

Справді, з умов цього твердження випливає, що-небудь f (x) - нульовий многочлен, або ст. F (x) ≤ n. Якщо припустити, що многочлен f (x) не нульовий, то ст. F (x) ≤ n, і тоді f (x) має не більше, ніж n коренів. Приходимо до протиріччя. Значить, f (x) - ненульовий многочлен.

Нехай f (x) і g (x) - ненульові многочлени ступені, не більшою, ніж n. Якщо ці многочлени приймають однакові значення при n +1 значення змінної х, то f (x) = g (x).

Для доказу розглянемо многочлен h (x) = f (x) - g (x). Ясно, що - або h (x) = 0, або ст. H (x) ≤ n, тобто h (x) не є многочленом ступеня, більшою, ніж n. Нехай тепер число з таке, що f (c) = g (c). Тоді h (c) = f (c) - g (c) = 0, тобто з - корінь многочлена h (x). Отже, многочлен h (x) має n +1 корінь, а коли, як тільки що доведено, h (x) = 0, тобто f (x) = g (x).

Якщо ж f (x) і g (x) приймають однакові значення при всіх значеннях змінної х, то ці многочлени тим більше рівні.

Ця теорема досить ефективно використовується при доказі деяких числових тотожностей. Доведемо, наприклад, що для будь-яких попарно різних чисел а, b, с і будь-якого числа х.

(((Xb) (xc)) / ((ab) (ac))) + (((xa) (xc)) ((ba) (bc))) + (((xa) (xb)) (( ca) (cb))) = 1

Звичайно, можна перетворивши ліву частину зазначеного рівності, переконатися, що в результаті вийде 1. Але такий метод докази пов'язаний з громіздкими перетвореннями. Спробуємо обійтися без них.

Будемо розглядати х як змінну. Тоді, як неважко помітити, в лівій частині тотожності знаходиться многочлен, який ми позначимо f (x). Мінлива х входить в цей многочлен найбільше в ступені 2, тобто ст. f (x) ≤ 2. в правій частині того ж тотожності - так само многочлен: g (x) = 1.

Знайдемо тепер значення многочленів f (x) і g (x) при х = a, b, c. Ясно, що g (a) = g (b) = g (c) = 1. Далі,

f (a) = (((ab) (ac)) / ((ab) (ac))) + (((aa) (ac)) ((ba) (bc))) + (((aa) ( ab)) ((ca) (cb))) = 1.

Аналогічно f (b) = f (c) = 1. Отже, f (a) = g (a), f (b) = g (b), f (c) = g (c). Бачимо, що многочлени f (x) і g (x), які не є многочленами ступеня вище, ніж 2, приймають однакові значення при трьох різних значеннях змінної. Значить, f (x) = g (x).

Кратні корені многочлена

Якщо число з є коренем многочлена f (x), цей многочлен, як відомо, ділиться на х-с. Може статися, що f (x) ділиться і на якусь ступінь многочлена х-с, тобто на (х-с) k, k> 1. У цьому випадку з називають кратним коренем. Сформулюємо визначення більш чітко.

Число з називається коренем кратності k (k-кратним коренем) многочлена f (x), якщо многочлен ділиться на (х-с) k, k> 1 (k - натуральне число), але не ділиться на (х-с) k + 1. Якщо k = 1, то з називають простим коренем, а якщо k> 1, - кратним коренем многочлена f (x).

Надалі при визначенні кратності коренів нам буде корисно наступну пропозицію.

Якщо многочлен f (x) представимо у вигляді f (x) = (x - c) m g (x), m - натуральне число, то він ділиться на (х-с) m +1 тоді і тільки тоді, коли g ( x) ділиться на х-с.

Справді, якщо g (x) ділиться на х-с, тобто g (x) = (x - c) s (x), то f (x) = (x - c) m +1 s ( x), а значить, f (x) ділиться на (х-с) m +1.

Назад, якщо f (x) ділиться на (х-с) m +1, то f (x) = (x - c) m +1 s (x). Тоді (x - c) m g (x) = ( x - c) m +1 s (x) і після скорочення на (х-с) m отримаємо g (x) = (x - c) s (x). Звідси випливає, що g (x) ділиться на х-с .

А зараз повернемося до поняття кратності кореня. З'ясуємо, наприклад, чи є число 2 коренем многочлена f (x) = x 5 -5 x 4 +3 x 3 +22 x 2 -44 x +24, і якщо так, знайдемо його кратність. Щоб відповісти на перше питання, перевіримо за допомогою схеми Горнера, чи ділиться f (x) на х-2. маємо:

Таблиця 4.


1

-5

3

22

-44

24

2

1

-3

-3

16

-12

0

Як бачимо, залишок під час ділення f (x) на х-2 дорівнює 0, тобто ділиться на х-2. Значить, 2 - корінь цього многочлена. Крім того, ми отримали, що f (x) = (x -2) (x 4 -3 x 3 -3 x 2 +16 x -12). Тепер з'ясуємо, чи є f (x) на (х-2) 2. Це залежить, як ми тільки що довели, від подільності багаточлена g (x) = x 4 -3 x 3 -3 x 2 +16 x -12 на х-2. Знову скористаємося схемою Горнера:

Таблиця 5.


1

-3

-3

16

-12

2

1

-1

-5

6

0

Отримали, що g (x) ділиться на х-2 і g (x) = (x -2) (x 3 - x 2 -5 x +6). Тоді f (x) = (x -2) 2 (x 3 - x 2 -5 x +6).

Отже, f (x) ділиться на (х-2) 2, тепер потрібно з'ясувати, чи ділиться f (x) на (x -2) 3.

Для цього перевіримо, чи ділиться h (x) = x 3 - x 2 -5 x +6 на х-2:

Таблиця 6.


1

-1

-5

6

2

1

1

-3

0

Отримаємо, що h (x) ділиться на х-2, а значить, f (x) ділиться на (х-2) 3, і f (x) = (x -2) 3 (x 2 + x -3).

Далі аналогічно перевіряємо, чи ділиться f (x) на (х-2) 4, тобто чи ділиться s (x) = x 2 + x -3 на х-2:

Таблиця 7.


1

1

-3

2

1

3

3

Знаходимо, що залишок під час ділення s (x) на х-2 дорівнює 3, тобто s (x) не ділиться на х-2. Значить, f (x) не ділиться на (х-2) 4.

Таким чином, f (x) ділиться на (х-2) 3, але не ділиться на (х-2) 4. Отже, число 2 є коренем кратності 3 многочлена f (x).

Зазвичай перевірку кореня на кратність виконують в одній таблиці. Для даного прикладу ця таблиця має наступний вигляд:

Таблиця 8.


1

-5

3

22

-44

-24

2

1

-3

-3

16

-12

0

2

1

-1

-5

6

0

2

1

1

-3

0

2

1

3

3

Іншими словами, за схемою Горнера розподіл многочлена f (x) на х-2, у другому рядку ми отримаємо коефіцієнти многочлена g (x). Потім цю другий рядок вважаємо першим рядком нової системи Горнера і виконуємо розподіл g (x) на х-2 і т.д. продовжуємо обчислення до тих нір, поки не отримаємо залишок, відмінний від нуля. У цьому випадку кратність кореня дорівнює числу отриманих нульових залишків. У рядку, що містить останній ненульовий залишок, знаходиться і коефіцієнти приватного при діленні f (x) на (x -2) 3.

Тепер, використовуючи щойно запропоновану схему перевірки кореня на кратність, вирішимо наступну задачу. За яких a і b многочлен f (x) = x 4 +2 x 3 + ax 2 + (a + b) x +2 має число - 2 коренем кратності 2?

Так як кратність кореня - 2 повинна дорівнювати 2, то, виконуючи поділ на х +2 за запропонованою схемою, ми повинні два рази отримати залишок 0, а втретє - залишок, відмінний від нуля. Маємо:

Таблиця 9.


1

2

a

a + b

2

-2

1

0

a

-A + b

2a-2b +2

-2

1

-2

а +4

-3a + b-8

-2

1

-4

а +12

Таким чином, число - 2 є коренем кратності 2 вихідного многочлена тоді і тільки тоді, коли

Звідси отримуємо: a =- 7 / 2, b =- 5 / 2.

Раціональні корені многочлена

Як ми вже відзначали, однією з найважливіших задач в теорії многочленів є завдання відшукання їх коренів. Для вирішення цього завдання можна використовувати метод підбору, тобто брати навмання число і перевіряти, чи є воно коренем даного многочлена.

При цьому можна досить швидко "натрапити" на корінь, а можна і ніколи його не знайти. Адже перевірити всі числа неможливо, так як їх нескінченно багато.

Інша справа, якби нам вдалося звузити область пошуку, наприклад знати, що шукані корені знаходяться, скажімо, серед тридцяти зазначених чисел. А для тридцяти чисел можна і перевірку зробити. У зв'язку з усім сказаним вище важливим і цікавим видається таке твердження.

Якщо нескоротного дріб l / m (l, m - цілі числа) є коренем многочлена f (x) з цілими коефіцієнтами, то старший коефіцієнт цього многочлена ділиться на m, а вільний член - на 1.

Справді, якщо f (x) = a n x n + a n -1 x n -1 + ... + a 1 x + a0, a n ≠ 0, де a n, a n-1 ,..., a 1, a 0 - цілі числа, то f (l / m) = 0, т. е.

а n (l / m) n + a n-1 (l / m) n-1 + ... + a 1 l / m + a 0 = 0.

Помножимо обидві частини цієї рівності на m n. Отримаємо

a n l n + a n-1 l n-1 m + ... + A 1 lm n-1 + a 0 m n = 0.

Звідси слід

a n l n = m (-a n-1 l n-1 -... - a 1 lm n-2-a 0 m n-1).

Бачимо, що ціле число a n l n ділиться на m. Але l / m - нескоротного дріб, тобто числа l і m взаємно прості, а тоді, як відомо з теорії подільності цілих чисел, числа l n і m теж взаємно прості. Отже, a n l n ділиться на m і m взаємно прості з l n, значить, a n ділиться на m.

Доведена тема дозволяє значно звузити зону пошуку раціональних коренів многочлена з цілими коефіцієнтами. Продемонструємо це на конкретному прикладі. Знайдемо раціональні корені многочлена f (x) = 6 x 4 +13 x 2 -24 x 2 -8 x +8. Згідно теоремі, раціональні корені цього многочлена знаходяться серед нескоротного дробів виду l / m, де l - дільник вільного члена a 0 = 8, а m - Дільник старшого коефіцієнта a 4 = 6. при цьому, якщо дріб l / m - Негативна, то знак "-" будемо відносити до чисельника. Наприклад, - (1 / 3) = (-1) / 3. Значить, ми можемо сказати, що l - дільник числа 8, а m - позитивний дільник числа 6.

Так як подільники числа 8 - це ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, а позитивними дільниками числа 6 будуть 1, 2, 3, 6, то раціональні корені многочлена розглянутого знаходяться серед чисел ± 1, ± 1 / 2, ± 1 / 3, ± 1 / 6, ± 2, ± 2 / 3, ± 4, ± 4 / 3, ± 8, ± 8 / 3. нагадаємо, що ми виписали лише нескоротного дробу.

Таким чином, ми маємо двадцять чисел - "кандидатів" в корені. Залишилося тільки перевірити кожне з них і відібрати ті, які дійсно є корінням. Але знову-таки доведеться зробити досить багато перевірок. А ось наступна теорема спрощує цю роботу.

Якщо нескоротного дріб l / m є коренем многочлена f (x) з цілими коефіцієнтами, то f (k) ділиться на l - km для будь-якого цілого числа k за умови, що l - km ≠ 0.

Для доказу цієї теореми розділимо f (x) на x - k з залишком. Отримаємо f (x) = (x - k) s (x) + f (k). Оскільки f (x) - многочлен з цілими коефіцієнтами, то таким є многочлен s (x), а f (k) - ціле число . Нехай s (x) = b n -1 + b n -2 + ... + b 1 x + b 0. Тоді f (x) - f (k) = (x - k) (b n -1 x n - 1 + b n -2 x n -2 + ... + b 1 x + b 0). Покладемо в цій рівності x = l / m. Враховуючи, що f (l / m) = 0, отримуємо

f (k) = ((l / m) - k) (b n-1 (l / m) n-1 + b n-2 (l / m) n-2 + ... + b 1 (l / m) + b 0).

Помножимо обидві частини останнього рівності на m n:

m n f (k) = (l - km) (b n -1 l n -1 + b n -2 l n -2 m + ... + b 1 lm n -2 + b 0 m n -1).

Звідси випливає, що ціле число m n f (k) ділиться на l - km. Але так як l і m взаємно прості, то m n і l - km теж взаємно прості, а значить, f (k) ділиться на l - km. Теорема доведена.

Повернімося тепер до нашого прикладу і, використавши доведену теорему, ще більше звузимо коло пошуків раціональних коренів. Застосуємо вказану теорему при k = 1 і k =- 1, тобто якщо нескоротного дріб l / m є коренем многочлена f (x), то f (1) / (l - m), а f (-1) / (l + m). Легко знаходимо, що в нашому випадку f (1) =- 5, а f (-1) =- 15. Зауважимо, що заодно ми виключили з розгляду ± 1.

Отже раціональні коріння нашої многочлена слід шукати серед чисел ± 1 / 2, ± 1 / 3, ± 1 / 6, ± 2, ± 2 / 3, ± 4, ± 4 / 3, ± 8, ± 8 / 3.

Розглянемо l / m = 1 / 2. Тоді l - m =- 1 і f (1) =- 5 ділиться на це число. Далі, l + m = 3 і f (1) =- 15 так же ділиться на 3. Значить, дріб 1 / 2 залишається в числі "кандидатів" в корені.

Нехай тепер l \ m =- (1 / 2) = (-1) / 2. У цьому випадку l - m =- 3 та f (1) =- 5 не ділиться на - 3. Значить, дріб - 1 / 2 не може бути коренем даного многочлена, і ми виключаємо її з подальшого розгляду. Виконаємо перевірку для кожної з виписаних вище дробів, отримаємо, що шукані корені знаходяться серед чисел 1 / 2, ± 2 / 3, 2, - 4.

Таким чином, досить-таки простим прийомом ми значно звузили область пошуку раціональних коренів розглянутого многочлена. Ну, а для перевірки залишилися чисел застосуємо схему Горнера:

Таблиця 10.


6

13

-24

-8

8

1 / 2

6

16

-16

-16

0

Бачимо, що 1 / 2 - корінь многочлена f (x) і f (x) = (x -1 / 2) (6 x 3 +16 x 2 -16 x -16) = (2 x -1) (3 x 3 +8 x 2 -8 x -8). Ясно, що всі інші корені многочлена f (x) збігаються з корінням многочлена g (x) = 3 x 3 +8 x 2 -8 x -8, а значить, подальшу перевірку "кандидатів" в корені можна проводити вже для цього многочлена. При цьому ми кілька виграємо за часом в обчисленнях, так як перевірку будемо виконувати для більш "короткого" многочлена. Знаходимо:

Таблиця 11.


3

8

-8

-8

2 / 3

3

10

-4 / 3

-80 / 9

Отримали, що залишок при розподілі g (x) на x -2 / 3 дорівнює - 80 / 9, т.е.2 / 3 не є коренем многочлена g (x), а значить, і f (x).

Далі легко знаходимо, що - 2 / 3 - корінь многочлена g (x) і g (x) = (3 x +2) (x 2 +2 x -4). Тоді f (x) = (2 x -1) (3 x +2) (x 2 +2 x -4). Подальшу перевірку можна проводити для многочлена x 2 +2 x -4, що, звичайно, простіше, ніж для g (x) або тим більше для f (x) . В результаті отримаємо, що числа 2 і - 4 корінням не є.

Отже, многочлен f (x) = 6 x 4 +13 x 3 -24 x 2 -8 x +8 має два раціональних кореня: 1 / 2 і - 2 / 3.

Нагадаємо, що описаний вище метод дає можливість знаходити лише раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Між тим, многочлен може мати й ірраціональні корені. Так, наприклад, розглянутий у прикладі многочлен має ще два корені: - 1 ± √ 5 (це коріння многочлена х 2 +2 х-4). А, взагалі кажучи, многочлен може і зовсім не мати раціональних коренів.

Тепер дамо кілька порад.

При випробуванні "кандидатів" в корені многочлена f (x) за допомогою другий з доведених вище теорем зазвичай використовують останню для випадків k = ± 1. Іншими словами, якщо l / m - "кандидат" у коріння, то перевіряють, чи ділиться f (1) і f (-1) на l - m і l + m відповідно. Але може статися, що, наприклад, f (1) = 0, т.е.1 - корінь, а тоді f (1) ділиться на будь-яке число, і наша перевірка втрачає сенс. У цьому випадку слід розділити f (x) на x -1, тобто отримати f (x) = (x -1) s (x), і проводити випробування для многочлена s (x). При цьому не слід забувати, що один корінь многочлена f (x) - x 1 = 1 - ми вже знайшли.

Якщо при перевірці "кандидатів" в корені, що залишилися після використання другої теореми про раціональні коріння, за схемою Горнера отримаємо, що, наприклад, l / m - корінь, то слід знайти його кратність. Якщо вона дорівнює, скажімо, k, то f (x) = (x - l / m) k s (x), і подальшу перевірку можна виконувати для s (x), що скорочує обчислення.

Таким чином, ми навчилися знаходити раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Виявляється, що тим самим ми навчилися знаходити ірраціональні корені многочлена з раціональними коефіцієнтами. Справді, якщо ми маємо, наприклад, многочлен f (x) = x 4 +2 / 3 x 3 +5 / 6 x 2 +3 / 8 x +2, то, навівши коефіцієнти до спільного знаменника і внісши його за дужки , отримаємо f (x) = 1 / 24 (24 x 4 +16 x 3 -20 x 2 +9 x +48). Ясно, що коріння многочлена f (x) збігаються з корінням многочлена, що стоїть в дужках, а в нього коефіцієнти - цілі числа. Доведемо, наприклад, що sin 10 0 - число ірраціональне. Скористаємося відомою формулою sin α 3 = 3 sinα -4 sin α 3. Звідси sin 30 0 = 3 sin 10 0 -4 sin 10 березня 0. Враховуючи, що sin 30 0 = 0.5 і проводячи нескладні перетворення, отримуємо 8 sin 3 жовтня 0 -6 sin 10 0 +1 = 0. Отже, sin 10 0 є коренем многочлена f (x) = 8 x 3 -6 x +1. Якщо ж ми будемо шукати раціональні корені цього многочлена, то переконаємося, що їх немає. Значить, корінь sin 10 0 не є раціональним числом, тобто sin 10 0 - число ірраціональне.

§ 2. Задачі про многочленів

Завдання 1.

Довести, що многочлен

a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy + a 5 x 2 + a 6 y 2 + a 7 x 4 + a 8 y 4 + a 9 x 2 y 2 + a 10 xy 3 + a 11 x 3 y

не є твором двох многочленів, одного від x, іншого від y, якщо не один з його коефіцієнтів не дорівнює нулю.

Рішення.

Нехай денний многочлен є твором многочленів P (x) і Q (y).

Так як в цьому многочлене є такі коефіцієнти, як a 10 xy 3 та a 11 x 3 y і є вільний член a 1, отже, при творі повинні бути такі коефіцієнти як mx 3 + ny 3, а їх немає, отже даний многочлен НЕ є твором многочленів P (x) і Q (x). ч. т.д.

Завдання 2.

Многочлен з дійсними коефіцієнтами ax 2 + bx + c, a> 0 має чисто уявний корінь. Довести, що його можна представити у вигляді (Ax + B) 2 + (Cx + D) 2.

Рішення.

Якщо x = i - Корінь многочлена, то його коренем є так само число x =- i , Тепер за теоремою Вієта знайдемо b і c:

і многочлен приймає вигляд: ax + A , Який можна привести до потрібного вигляду:

ч. т.д.

Завдання 3.

Доведіть, що многочлен x 12 - x 9 + x 4 - x +1 при всіх дійсних значеннях x позитивний.

Рішення.

Розберемо окремо випадки при x <0 і x ≥ 0.

У першому випадку розіб'ємо многочлен на три складових:

(1 - x) + (x 4 - x 9) + x 12, 1 - x> 0, x 4 - x 9 = x 4 (1 - x 5)> 0, x 12> 0, отже і вся сума більша нуля.

У другому випадку уявімо многочлен у вигляді:

(X 8 +1) (x 4 - x) +1, x 8 +1> 0.

Для x 4-х розглянемо два випадки: при х> 1, x 4-х> 0, з ледовательно і весь вираз більше нуля; при х <1, - 1 <x 4-х ≤ 0, а вираз x 8 +1 трохи більше 1, отже твір - 1 <(x 8 +1) (x 4 - x) ≤ .0 і вся сума більше нуля.Ч. т.д.

Задача 4.

При яких значеннях a і b многочлен x 4 + ax 3 + bx 2 -8 x +1 має точний квадрат.

Рішення.

Точний квадрат має вигляд: (mx 2 + nx + p) 2, зведемо його в квадрат: (mx 2 + nx + p) 2 = m 2 x 4 + (nx + p) 2 +2 mx 2 (nx + p) = m 2 x 4 + n 2 x 2 + p 2 +2 +2 npx mnx 3 + 2 mpx 2 = m 2 x 4 +2 mnx 3 + (n 2 +2 mp) x 2 +2 npx + p 2. прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях.

1 випадок:

2 випадок:

3 випадок:

4 випадки:

Відповідь: a 1 ​​=- 8, b 1 = 18; a 2 = 8, b 2 = 14.

Задача 5.

Доведіть, що якщо многочлен a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n, a 0 ≠ 0 при всіх дійсних значеннях х позитивний, то він представляється у вигляді суми квадратів двох многочленів.

Рішення.

Даний многочлен не може мати дійсних коренів, отже, його коріння є попарно комплексно-спряженими. Тому многочлен представляється у вигляді:

A [(x - α 1) ... (X - α k)] [(x - ) ... (X - )], Де А> 0.

Якщо f (x) - дійсна частина многочлена, що виходить після розкриття дужок у першій квадратної дужки, і g (x) - його уявна частина, то друга квадратна дужка представляється у вигляді f (x) - ig (x) (так як вона комплексно -пов'язана з першою).

Даний многочлен, отже, дорівнює

A [f (x) + ig (x)] [f (x) - ig (x)] = A [f 2 (x) + g 2 (x)].

Задача 6.

Число з є коренем многочлена

f (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0. Вкажіть будь-якої корінь многочлена на g (x) = a n x n - a n -1 x n -1 + a n -2 x n -2 + ... + (-1) n a 0.

Рішення.

Так як з - корінь, то

f (c) = a n c n + a n -1 c n -1 + a n -2 c n -2 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Покажемо, що-с - корінь многочлена g (x). Обчислимо

g (-c) = a n (-c) n-a n-1 (-c) n-1 + a n-2 (-c) n-2 - ... + (-1) n a 0.

Якщо n - парне число, то n -1 - непарне, n -2 - парне, n -2 - парне і т.д. Тоді g (- c) = a n c n + a n -1 c n -1 + a n -2 c n -2 + ... + a 0 = 0. Якщо ж n - непарне, то n -1 - парне, n -2 - непарне і т.д. Тоді g (- c) =- a n c n - a n -1 c n -1 - a n -2 c n -2 - ... - a 0 = - f (c) = 0.

Завдання 7.

Нехай многочлен f (x) з цілими коефіцієнтами приймає значення, рівне 5, при п'яти різних цілих значеннях змінної х. доведіть, що f (x) не має цілих коренів.

Рішення.

Нехай з 1, с 2, с 3, з 4, з 5 - такі числа, що f (c 1) = f (c 2) = f (c 3) = f (c 4) = f (c 5) = 5. Розглянемо многочлен g (x) = f (x) - 5. Числа з 1, с 2, с 3, с 4, с 5 є його корінням, а значить, f (x) = f (x) - 5 = (x - c 1) (x - c 2) (x - c 3) (x - c 4) (x - c 5) s (x). Якщо тепер а - цілий корінь многочлена f (x), то, поклавши в останньому рівність х = а, отримаємо - 5 = (a - c 1 ) (a - c 2) (a - c 3) (a - c 4) (a - c 5) s (a). бо всі числа з 1, с 2, с 3, з 4, з 5 різні, то різні і числа a - c 1, a - c 2, a - c 3, a - c 4, a - c 5. Отже, число - 5 має принаймні п'ять різних цілих дільників, тоді як насправді їх тільки чотири: ± 1, ± 5. Прийшли до суперечності.

Завдання 8.

Нехай f (x) - многочлен з цілими коефіцієнтами і нескоротного дріб l / m є його коренем. Доведіть, що якщо: f (0), f (1) - непарні числа, то m - парне число.

Рішення.

Так як f (0) - вільний член многочлена f (x), f (0) ділитися на l. Звідси випливає, що l - Непарне число. Далі, оскільки f (1) ділиться на l - m, то l - m - теж непарне число. Звідси випливає, що різниця l - (l - m) = m - парне число.

Задача 9.

Многочлен f (x) має наступну властивість: для деякої арифметичної прогресії значення х з різницею, відмінною від нуля, відповідне значення многочлена так само утворює арифметичну прогресію.

Доведіть, що ст. F (x) ≤ 1.

Рішення.

Позначимо члени арифметичної прогресії, яку утворюють значення х, через с 1, с 2, с 3, ..., а різниця - через d 1. тоді відповідна арифметична прогресія значень многочлена має вигляд: f (c 1), f (c 2), f (c 3), ...; позначимо її різниця d 2. розглянемо многочлен g (x) = (d 2 / d 1) x + f (c 1) - (d 2 / d 1) c 1. Маємо.

g (c 1) = (d 2 / d 1) c 1 + f (c 1) - d 2 / d 1) c 1 = f (c 1),

g (c 2) = (d 2 / d 1) c 2 + f (c 1) - (d 2 / d 1) c 1 = f (c 1) + (d 2 / d 1) (c 2 - c 1) = f (c 1) + (d 2 / d 1) d 1 = f (c 1) + d 2 = f (c 2).

Аналогічно встановлюється, що g (c 3) = f (c 3), g (c 4) = f (c 4), ..., g (c n +1) = f (c n +1). Таким чином f ( x) і g (x) приймають однакові значення при x = c 1, с2, с3, ..., з n, а значить, f (x) = g (x). Тоді ст. f (x) = ст. g ( x) ≤ 1 (якщо d 2 = 0, то g (x) - многочлен нульової ступеня).

Завдання 10.

Знайдіть ступінь многочлена f (x), якщо, f (x) = (a 2 -4) x 3 + (a -2) x 2 +3.

Рішення.

Якщо a 2 -4 ≠ 0, тобто a ≠ ± 2, то ст. F (x) = 3. Залишилося розглянути випадки a =- 2 і a = 2. Якщо a =- 2, то f (x) =- 4 x 2 +3, тобто ст. f (x) = 2. Якщо a = 2, то f (x) = 3, тобто ст. f (x) = 0.

Задача 11.

Знайдіть многочлен другого ступеня f (x), якщо, f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 5.

Рішення. Многочлен другого ступеня має вигляд f (x) = ax 2 + bx + c. Обчисливши f (1), f (2), f (3), отримаємо

Вирішивши цю систему, знайдемо: a = 1, b =- 2, c = 2, тобто f (x) = x 2 -2 x +2.

Завдання 12.

Дано многочлени f (x) = x 3 -2 x 2 +3 і g (x) = x 2 - x +2. Знайдіть f (g (1)).

Рішення.

Обчислимо спочатку g (1) = 1 2 -1 +2 = 2. Тоді f (g (1)) = f (2) = 2 3 -2 × 2 2 +3 = 3.

Завдання 13.

Дано многочлени f (x) і g (x), причому ст. (F (x) g (x)) = 5 і ст. (F (x) + g (x)) = 3. Знайдіть ст. F (x) і ст. G (x).

Рішення.

З умов завдання випливає, що ст. F (x) + ст. G (x) = 5. Значить, можливі наступні випадки:

ст. f (x) = 0, ст. g (x) = 5;

ст. f (x) = 1, ст. g (x) = 4;

ст. f (x) = 2, ст. g (x) = 3;

ст. f (x) = 3, ст. g (x) = 2;

ст. f (x) = 4, ст. g (x) = 1;

ст. f (x) = 5, ст. g (x) = 0.

Якщо припустити, що ст. F (x) = 0, ст. G (x) = 5, то легко помітити, що ст. (F (x) + g (x)) = 5. Значить, випадок 1 неможливий. Аналогічно і в випадках 2, 5,6. Таким чином, або ст. F (x) = 2 і ст. G (x) = 0, або навпаки.

Завдання 14.

Вкажіть такий многочлен f (x), для якого числа - 1, 2, 3, 5 є корінням.

Рішення.

f (x) = (x +1) (x -2) (x -3) (x -5).

Задача 15.

Вкажіть такий многочлен f (x), який при x = 1, 2, 3, 4, 5 приймає значення, рівне 7.

Рішення.

f (x) = (x -1) (x -2) (x -3) (x -4) (x -5) +7.

Завдання 16.

Знайдіть f (g (x)), g (f (x)) і f (f (x)), якщо f (x) = 2 x -1, а g (x) = x 3 +2 x +3.

Рішення.

f (g (x)) = 2 (x 3 +2 x +3) - 1; g (f (x)) = (2 x -1) 3 +2 (2 x -1) +3; f (f (x) = 2 (2 x -1) - 1.

Завдання 17.

Доведіть, що cos 20 0 є ірраціональним числом.

Рішення.

Скористаємося відомою формулою cos 3 α = 4 cos 3 α -3 cos α. Звідси cos 60 0 = 4 cos 20 березня 0 -3 cos 20 0. Враховуючи, що cos 60 0 = 0.5 і проводячи нескладні перетворення, отримуємо 8 cos 20 березня 0 -6 cos 20 0 -1 = 0. Отже, cos 20 0 є коренем многочлена f (x) = 8 x 3 -6 x -1. Якщо ж ми будемо шукати раціональні корені цього многочлена, то переконаємося, що їх немає. Значить, корінь cos 20 0 не є раціональним числом, тобто cos 20 0 - Число ірраціональне.

Завдання 18.

Доведіть, що рівняння x 4 -3 x 3 y = y 4 не має рішень у цілих числах, відмінних від нуля.

Рішення.

Припустимо, що рівняння має рішення в цілих числах x = a, y = b, відмінних від нуля, тобто a 4 -3 a 3 b = b 4. Так як b ≠ 0, то розділимо обидві частини отриманого рівності на b 4. Тоді (a / b) 4 -3 (a / b) - 1 = 0. Таким чином, a / b - раціональний корінь многочлена f (t) = t 4 -3 t 3 -1. Але, як легко переконатися, f (t) раціональних коренів не має. Отримали суперечність, а значить, наше припущення невірно.

Висновок

Я вивчила теорію про многочленами. У ній спеціально був підібраний цікавий матеріал, який не зустрічається в шкільному курсі, а якщо і зустрічається, то менш яскраво подається. У цю курсову роботу було внесено багато прикладів і завдань, включаючи олімпіадні, які допомагають краще зрозуміти цей матеріал.

Важливо не навчити, а захопити предметом школяра. Якщо це вдасться, то дитина сама буде вивчати ті аспекти предмета, які не передбачені шкільним курсом.

Думаю, дана робота може послужити методичним посібником для проведення короткого факультативу, але потрібно враховувати, що єдиної системи викладання цієї теми на сьогоднішній день немає.

Список літератури

  1. В.В. Деменчук "Многочлени та мікроколькулятор". Мінськ, "Вища школа", 1988р.

  2. А.І. Кострикін "Введення в алгебру". Москва, "Физматлит", 2001р.

  3. А.Г. Курош "Курс вищої алгебри". Санкт-Петербург, "Лань", 2003р.

  4. А.А. Прокоф'єв, І.Б. Кожухов "Універсальний довідник з математики школярам і абітурієнтам". Москва, "Лист Нью", 2003р.

  5. "Збірник завдань московських математичних олімпіад". Москва, "Освіта", 1965р.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
130.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Інтерполяція функції однієї змінної методом Ньютона
Види многочленів
Рішення математичних многочленів
Програма Множення многочленів
Мінімальні форми булевих многочленів 2
Мінімальні форми булевих многочленів
Деякі властивості многочленів та їх використання в задачах зв`язку
Смислові коріння
Коріння наркоманії
© Усі права захищені
написати до нас