Контрольна робота
Короткі відомості і завдання по курсу векторної та лінійної алгебри
Векторна алгебра
Варіант № 21
Знайти скалярний твір
.
При якому значенні α вектори
і
ортогональні?
;
;
;
;
;
;
Два вектора ортогональні, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Для прямої М 1 М 2 написати рівняння з кутовим коефіцієнтом, у відрізках і загальне рівняння. Накреслити графік прямій. М 1 (0, -3) М 2 (2,1).
Загальний вигляд рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом записується у вигляді:
y - y 1 = k (x - x 1),
значить для прямої М 1 М 2
у +3 = kx
Загальний вигляд рівняння прямої, що проходить через дві точки записується у вигляді:
,
значить для прямої М 1 М 2
Загальний вигляд рівняння прямої у відрізках записується у вигляді:
,
Тут
Рівняння прямої у відрізках для прямої М 1 М 2
;
У трикутнику М 0 М 1 М 2 знайти рівняння медіани, висоти, проведених їх вершини М 0, а також рівняння середньої лінії EF, паралельної підставі М 1 М 2. (М 0 (-1, -2); М 1 (0, -3); М 2 (2,1)).
Знайдемо координати точки М 3, координати середини боку М 1 М 2:
рівняння прямої, що проходить через дві точки записується у вигляді:
,
рівняння для висоти М 0 М 3:
Знайдемо рівняння прямої М 1 М 2:
З умови перпендикулярності (k 2 =- 1 / k 1) випливає, що k 2 = 1 / 2.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом записується у вигляді:
y - y 1 = k (x - x 1),
тоді рівняння для висоти прийме вигляд:
y +1 = (x +2) / 2
або
x +2 y = 0.
Відстань від точки М (x 0, y 0) до прямої Ax + By + c = 0 знаходиться за формулою:
Щоб знайти довжину висоту, знайдемо відстань від точки М 0 (-3, -5) до прямойМ 1 М 2, рівняння якої має вигляд - x +2 y -4 = 0. Підставимо дані в формулу (1):
Знайдемо координати точок Е і F.
Для точки Е: x =- 1 / 2; y =- 5 / 2; E (-1 / 2; -5 / 2).
Для точки F: x = 1 / 2; y =- 1 / 2; F (1 / 2; -1 / 2).
Рівняння прямої EF:
y +5 / 2 =- 2 x -1 або 2 x + y +3,5 = 0.
За канонічного рівняння кривої другого порядку визначити тип кривої, накреслити її графік. Знайти координати фокусів, вершин і центру (для центральної кривої).
(1)
Скористаємося паралельним переносом (O '(-3, -1))
(2)
Підставимо (2) в (1), отримаємо
крива другого порядку є еліпсом.
F 1 (c; 0); F 2 (- c; 0).
т.к.
Координати центру: O '(- 3, -1).
Перетворити до полярних координатах рівняння лінії.
1)
2)
Перше рівняння є (при будь-яких значеннях φ) полюс О. Друге - дає всі точки лінії, в тому числі полюс. Тому перше рівняння можна відкинути. Отже, отримуємо:
Лінійна алгебра
Матриці
Відповіді на питання
Дайте визначення зворотної матриці. Які ви знаєте способи обчислення зворотної матриці?
Матриця В називається зворотної для матриці А, якщо виконується умова АВ = ВА = Е, де Е - одинична матриця. Способи обчислення зворотної матриці: 1) використання алгебраїчних доповнень; 2) привести вихідну матрицю до ступінчастого вигляду методом Гаусса, після чого необхідно перетворити її в одиничну .
Як записується система рівнянь у матрично-векторній формі? Як знайти розв'язок системи рівнянь за допомогою оберненої матриці?
Система рівнянь в матрично-векторній формі записується у вигляді: .
Рішення системи рівняння за допомогою оберненої матриці:
Сформулюйте, в чому полягає процедура Гаусса і для вирішення яких лінійних задач застосовується?
Процедура Гаусса використовується для розв'язання систем лінійних рівнянь і полягає в наступному:
Виконуються елементарні перетворення, внаслідок чого можна отримати два результати:
виходить рядок, в якій до межі стоять нулі, а після - ненульове число, тоді рішення немає;
система приводиться до сходового увазі.
Якщо в системі сходового виду число рівнянь збігається з числом невідомих, то рішення єдине.
Якщо число рівнянь менше ніж число невідомих, то рішень безліч. У цьому випадку невідомі розділяються на залежні і вільні. Число залежних невідомих збігається з числом рівнянь.
Завдання 1.
X 4-вільна мінлива
r = 3
система сумісна.
Завдання 2
т.к. detA 0, то матриця є невиродженої.
А 11 = 3; А 12 = -1; А 13 = 10; А 21 = 0; А 22 = 0; А 23 = -1; А 31 = 0; А 32 = -1; А 33 = -1.
;
.
.
.
5. Знайти скалярний твір .
При якому значенні α вектори
;
;
;
;
;
;
Два вектора ортогональні, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Для прямої М 1 М 2 написати рівняння з кутовим коефіцієнтом, у відрізках і загальне рівняння. Накреслити графік прямій. М 1 (2, -2) М 2 (1,0).
Загальний вигляд рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом записується у вигляді:
yy 1 = k (xx 1),
значить для прямої М 1 М 2
у +2 = k (x -2)
Загальний вигляд рівняння прямої, що проходить через дві точки записується у вигляді:
,
значить для прямої М 1 М 2
Загальний вигляд рівняння прямої у відрізках записується у вигляді:
,
тут
Рівняння прямої у відрізках для прямої М 1 М 2
;
y =- 2x +2
У трикутнику М 0 М 1 М 2 знайти рівняння медіани, висоти, проведених їх вершини М 0, а також рівняння середньої лінії EF, паралельної підставі М 1 М 2. (М 0 (-3, -5); М 1 (2, -2); М 2 (1,0)).
Знайдемо координати точки М 3, координати середини боку М 1 М 2:
рівняння прямої, що проходить через дві точки записується у вигляді:
,
рівняння для висоти М 0 М 3:
Знайдемо рівняння прямої М 1 М 2:
З умови перпендикулярності (k 2 =- 1 / k 1) випливає, що k 2 =- 1 / 2.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом записується у вигляді:
yy 1 = k (xx 1),
тоді рівняння для висоти прийме вигляд:
y +5 = - (x +3) / 2
або
x +2 y +13 = 0.
Відстань від точки М (x 0, y 0) до прямої Ax + By + c = 0 знаходиться за формулою:
Щоб знайти довжину висоту, знайдемо відстань від точки М 0 (-3, -5) до прямойМ 1 М 2, рівняння якої має вигляд 2 x + y -2 = 0. Підставимо дані в формулу (1):
Знайдемо координати точок Е і F.
Для точки Е: x =- 1 / 2; y =- 7 / 2; E (-1 / 2; -7 / 2).
Для точки F: x =- 1; y =- 5 / 2; F (-1; -5 / 2).
Рівняння прямої EF:
y +7 / 2 =- 2 x -1 або 2 x + y +4,5 = 0.
За канонічного рівняння кривої другого порядку визначити тип кривої, накреслити її графік. Знайти координати фокусів, вершин і центру (для центральної кривої).
(1)
Скористаємося паралельним переносом (O '(-2,2))
(2)
Підставимо (2) в (1), отримаємо
крива другого порядку є еліпсом.
F 1 (c; 0); F 2 (- c; 0).
т.к.
Координати центру: O '(-2,2).
Перетворити до полярних координатах рівняння лінії.
1)
2)
Перше рівняння є (при будь-яких значеннях φ) полюс О. Друге - дає всі точки лінії, в тому числі полюс,. Тому перше рівняння можна відкинути. Отже отримуємо:
Відповіді на питання
Дайте визначення зворотної матриці. Які ви знаєте способи обчислення зворотної матриці?
Матриця В називається зворотної для матриці А, якщо виконується умова АВ = ВА = Е, де Е - одинична матриця. Способи обчислення зворотної матриці: 1) використання алгебраїчних доповнень; 2) привести вихідну матрицю до ступінчастого вигляду методом Гаусса, після чого необхідно перетворити її в одиничну .
Як записується система рівнянь у матрично-векторній формі? Як знайти розв'язок системи рівнянь за допомогою оберненої матриці?
Система рівнянь в матрично-векторній формі записується у вигляді:
.
Рішення системи рівняння за допомогою оберненої матриці:
Сформулюйте, в чому полягає процедура Гаусса і для вирішення яких лінійних задач застосовується?
Процедура Гаусса використовується для розв'язання систем лінійних рівнянь і полягає в наступному:
Виконуються елементарні перетворення, внаслідок чого можна отримати два результати:
виходить рядок, в якій до межі стоять нулі, а після - ненульове число, тоді рішення немає;
система приводиться до сходового увазі.
Якщо в системі сходового виду число рівнянь збігається з числом невідомих, то рішення єдине.
Якщо число рівнянь менше ніж число невідомих, то рішень безліч. У цьому випадку невідомі розділяються на залежні і вільні. Число залежних невідомих збігається з числом рівнянь.
Завдання 1.
r = 2; система сумісна.
х 3, x 4 - вільні змінні
;
.
Завдання 2.
т.к. detA 0, то матриця невирождена.
А 11 =- 1; А 12 =- 3; А 13 =- 1; А 21 =- 3; А 22 = 1; А 23 = 2; А 31 = 2; А 32 =- 1; А 33 = -3 .
.