Муніципальне Освітнє Установа
Середня Загальноосвітня школа № 4
Конічні перетини
Виконав
Спиридонов Антон
учень 11 А класу
Перевірив
Коробейникова А. Т.
Тобольськ - 2006 р.
Поняття конічних перерізів
Види конічних перерізів
Дослідження
Побудова конічних перерізів
Аналітичний підхід
Застосування
Додаток
Список літератури
Введення.
Мета: вивчити конічні перетину.
Завдання: навчитися розрізняти види конічних перерізів, будувати кинической перетину і застосовувати аналітичний підхід.
Конічні перетини вперше запропонував використовувати давньогрецький геометр Менехм, який жив у IV столітті до нашої ери, під час вирішення завдання про подвоєння куба. Це завдання пов'язують з наступною легендою.
Одного разу на острові Делосі спалахнула епідемія чуми. Жителі острова звернулися до оракула, який сказав, що для припинення епідемії треба збільшити вдвічі золотого жертівника, який мав форму куба і знаходився в храмі Аполлона в Афінах. Остров'яни виготовили новий жертовник, ребра якого були вдвічі більше ребер колишнього. Однак чума не припинилася. Розгнівані мешканці почули від оракула, що невірно зрозуміли його розпорядження - подвоїти було треба не ребра куба, а його обсяг, тобто збільшити ребра куба в
разів. У термінах геометричної алгебри, якою користувалися грецькі математики, завдання означала: по даному відрізку а знайти такі відрізки х і y такі, що а: х = х: y = y: 2a. Тоді довжина відрізка х буде дорівнює 
.
Наведену пропорцію можна розглядати як систему рівнянь:
Але x 2 = ay і y 2 = 2ax - це рівняння парабол. Тому для вирішення задачі слід відшукати точки їх перетину. Якщо ж врахувати, що з системи можна отримати і рівняння гіперболи xy = 2a 2, то цю ж завдання можливо вирішити знаходженням точок перетину параболи з гіперболою.
Для отримання конічних перерізів Менехм перетинав конус - гострокутий, прямокутний або тупокутний - площиною, перпендикулярної однієї з утворюють. Для гострокутного конуса переріз площиною, перпендикулярної до його утворюючої, має форму еліпса. Тупокутний конус при цьому дає гіперболу, а прямокутний - параболу.
Звідси відбулися і назви кривих, які були введені Аполлонія Пергського, що жив у III столітті до нашої ери: еліпс (έλλείψίς), що означає вада, недолік (кута конуса до прямого); гіпербола (ύπέρβωλη) - перебільшення, перевага (кута конуса над прямим ); парабола (παραβολη) - наближення, рівність (кута конуса прямого кута). Пізніше греки помітили, що всі три криві можна отримати на одному конусі, змінюючи нахил січної площини. При цьому слід брати конус, що складається з двох порожнин і мислити, що вони простягаються у безкінечність (Мал. 1).
Якщо провести розтин кругового конуса, перпендикулярне його осі, а потім повертати січну площину, залишаючи одну точку її перетину з конусом нерухомою, то побачимо, як окружність буде спочатку витягуватися, перетворившись на еліпс. Потім друга вершина еліпса піде у нескінченність, і замість еліпса вийде парабола, а потім площину припинить і другу порожнину конуса і вийде гіпербола.
Поняття конічних перетинів.
Конічні перетини - це плоскі криві, які виходять перетином прямого кругового конуса площиною, не проходить через його вершину. З точки зору аналітичної геометрії конічний перетин представляє собою геометричне місце точок, що задовольняють рівнянню другого порядку. За винятком вироджених випадків, що розглядаються в останньому розділі, конічними перетинами є еліпси, гіперболи або параболи (Мал. 2).
При обертанні прямокутного трикутника біля одного з катетів, гіпотенуза з її продовженнями описує конічну поверхню, звану поверхнею прямого кругового конуса, яка може бути розглянута як безперервний ряд прямих, що проходять через вершину і званих утворюючими, причому всі утворюють спираються на одну й ту ж коло, звану виробляє. Кожна з утворюють представляє собою гіпотенузу обертового трикутника (у відомому його положенні), продовжену в обидві сторони до нескінченності. Таким чином, кожна утворює простягається по обидва боки від вершини, внаслідок чого і поверхня має дві порожнини: вони сходяться в одну точку в загальній вершині. Якщо таку поверхню перетнути площиною, то в перерізі вийде крива, яка і називається конічним перетином. Вона може бути трьох типів:
1) якщо площина перетинає конічну поверхню по всьому твірними, то розтинають лише одна порожнину і в перетині виходить замкнута крива, звана еліпсом;
2) якщо січна площина перетинає обидві порожнини, то виходить крива, що має дві гілки і звана гіперболою;
3) якщо січна площина паралельна однієї з утворюють, то виходить парабола.
Якщо січна площина паралельна виробляє кола, то виходить коло, яка може бути розглянута як окремий випадок еліпса. Січна площина може перетинати конічну поверхню тільки в одній вершині, тоді в перетині виходить точка, як окремий випадок еліпса.
Якщо площиною, що проходить через вершину, перетинаються обидві порожнини, то в перерізі виходить пара пересічних прямих, що розглядається як окремий випадок гіперболи.
Якщо вершина нескінченно віддалена, то конічна поверхня звертається в циліндричну, і перетин її площиною, паралельною твірними, дає пару паралельних прямих як окремий випадок параболи. Конічні перетини виражаються рівняннями 2-го порядку, загальний вигляд яких
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
і називаються кривими 2-го порядку.
Види конічних перетинів.
Конічні перетини можуть бути трьох типів:
1) січна площина перетинає всі утворюють конуса в точках однієї його порожнини; лінія перетину є замкнута овальна крива - еліпс; окружність як окремий випадок еліпса виходить, коли січна площина перпендикулярна осі конуса.
2) Січна площина паралельна однієї з дотичних площин конуса; в перетині виходить незамкнута, що йде в нескінченність крива - парабола, цілком лежить на одній порожнини.
3) Січна площина перетинає обидві порожнини конуса; лінія перетину - гіпербола - складається з двох однакових незамкнутих, що тягнуться в нескінченність частин (гілок гіперболи), що лежать на обох порожнинах конуса.
a 11 x 2 +2 a 12 xy + a 22 y 2 = a 33.
Подальші дослідження таких (званих центральними) конічні перетину показують, що їх рівняння можуть бути приведені до ще простішого вигляду:
Ах 2 + Ву 2 = С,
якщо за напрямки осей координат вибрати головні напрями - напрямки головних осей (осей симетрії) конічних перетинів. Якщо А і В мають однакові знаки (збігаються зі знаком С), то рівняння визначає еліпс; якщо А і В різного знаку, то - гіперболу.
Рівняння параболи привести до виду (Ах 2 + Ву 2 = С) не можна. При належному виборі осей координат (одна вісь координат - єдина вісь симетрії параболи, інша - перпендикулярна до неї пряма, що проходить через вершину параболи) її рівняння можна привести до вигляду:
y 2 = 2рх.
ПОБУДОВА конічний перетин.
Вивчаючи конічні перетини як перетину площин і конусів, давньогрецькі математики розглядали їх і як траєкторії точок на площині. Було встановлено, що еліпс можна визначити як геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок постійна; параболу - як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки і заданої прямої; гіперболу - як геометричне місце точок, різниця відстаней від яких до двох заданих точок постійна.
Ці визначення конічних перетинів як плоских кривих підказують і спосіб їх побудови за допомогою натягнутої нитки.
Еліпс. Якщо кінці нитки заданої довжини закріплені в точках F 1 і F 2 (рис. 3), то крива, описувана вістрям олівця, ковзаючим по туго натягнутій нитці, має форму еліпса. Точки F 1 і F 2 називаються фокусами еліпса, а відрізки V 1 V 2 і v 1 v 2 між точками перетину еліпса з осями координат - великий і малими осями. Якщо точки F 1 і F 2 збігаються, то еліпс перетворюється в коло (Мал. 3).
Гіпербола. При побудові гіперболи точка P, вістря олівця, фіксується на нитки, яка вільно ковзає по шпенькам, встановленим у точках F 1 і F 2, як показано на малюнку 4, а, відстані підібрані так, що відрізок PF 2 перевершує по довжині відрізок PF 1 на фіксовану величину, меншу відстані F 1 F 2. При цьому один кінець нитки проходить під шпенькам F 1, і обидва кінці нитки проходять поверх шпенька F 2. (Вістря олівця не має ковзати по нитці, тому його потрібно закріпити, зробивши на нитки маленьку петлю і просмикнувши в неї вістря.) Одну гілку гіперболи (PV 1 Q) ми вичерчуємо, стежачи за тим, щоб нитка залишалася весь час натягнутою, і, потягуючи обидва кінці нитки вниз за точку F 2, а коли точка P виявиться нижче відрізка F 1 F 2, притримуючи нитку за обидва кінця і обережно відпускаючи її. Другу гілку гіперболи ми вичерчуємо, попередньо помінявши шпенька F 1 і F 2 (Мал. 4).
Гілки гіперболи наближаються до двох прямим, які перетинаються між гілками. Ці прямі, звані асимптотами гіперболи, будуються, як показано на малюнку 4, б. Кутові
коефіцієнти цих прямих рівні де - відрізок бісектриси кута між асимптотами, перпендикулярної відрізку F 2 F 1; відрізок v 1 v 2 називається сполученої віссю гіперболи, а відрізок V 1 V 2 - її поперечною віссю. Таким чином, асимптоти є діагоналями прямокутника зі сторонами, що проходять через чотири точки v 1, v 2, V 1, V 2 паралельно осям. Щоб побудувати цей прямокутник, необхідно вказати місце розташування точок v 1 і v 2. Вони знаходяться на однаковій відстані, рівному
від точки перетину осей O. Ця формула передбачає побудову прямокутного трикутника з катетами Ov 1 і V 2 O і гіпотенузою F 2 O.
Якщо асимптоти гіперболи взаємно перпендикулярні, то гіпербола називається равнобочной. Дві гіперболи, що мають спільні асимптоти, але з переставленими поперечної та сполученої осями, називаються взаємно сполученими.
Парабола. Фокуси еліпса та гіперболи були відомі ще Аполлонію, але фокус параболи, мабуть, вперше встановив Папп (друга пол. III ст.), Який визначив цю криву як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки (фокуса) і заданої прямої, яка називається директрисою. Побудова параболи з допомогою натягнутої нитки, засноване на визначенні Паппа, було запропоновано Ісідором Мілетським (VI ст.) (Мал. 5).
Розташуємо лінійку так, щоб її край збігся з директоркою, і докладемо до цього краю катет AC креслярського трикутника ABC. Закріпимо один кінець нитки завдовжки AB у вершині B трикутника, а інший - у фокусі параболи F. Натягнувши вістрям олівця нитка, притиснемо вістря у змінній точці P до вільного катету AB креслярського трикутника. У міру того, як трикутник буде переміщатися вздовж лінійки, точка P буде описувати дугу параболи з фокусом F і директрисою, так як загальна довжина нитки дорівнює AB, відрізок нитки прилягає до вільного катету трикутника, і тому залишився відрізок нитки PF має дорівнювати решти катета AB, тобто PA. Точка перетину V параболи з віссю називається вершиною параболи, пряма, що проходить через F і V, - віссю параболи. Якщо через фокус провести пряму, перпендикулярну осі, то відрізок цієї прямої, що відсікається параболою, називається фокальним параметром. Для еліпса та гіперболи фокальний параметр визначається аналогічно.
АНАЛІТИЧНИЙ ПІДХІД
Алгебраїчна класифікація. У алгебраїчних термінах конічні перетину можна визначити як плоскі криві, координати яких в декартовій системі координат задовольняють рівнянню другого ступеня. Інакше кажучи, рівняння всіх конічних перерізів можна записати в загальному, вигляді як
де не всі коефіцієнти A, B і C дорівнюють нулю. За допомогою паралельного перенесення і повороту осей рівняння (1) можна привести до виду
ax 2 + by 2 + c = 0
або
px 2 + qy = 0.
Перше рівняння виходить з рівняння (1) при B 2> AC, друге - при B 2 = AC. Конічні перетини, рівняння яких приводяться до першого виду, називаються центральними. Конічні перетини, задані рівняннями другого виду з q> 0, називаються нецентральним. У рамках цих двох категорій є дев'ять різних типів конічних перетинів у залежності від знаків коефіцієнтів.
1) Якщо коефіцієнти a, b і c мають один і той же знак, то не існує речових точок, координати яких задовольняли б рівнянню. Таке конічний перетин називається уявним еліпсом (чи уявної окружністю, якщо a = b).
2) Якщо a і b мають один знак, а c - протилежний, то конічний перетин - еліпс; при a = b - коло.
3) Якщо a і b мають різні знаки, то конічний перетин - гіпербола.
4) Якщо a і b мають різні знаки і c = 0, то конічний перетин складається з двох пересічних прямих.
5) Якщо a і b мають один знак і c = 0, то існує лише одна справжня точка на кривій, яка задовольняє рівнянню, і конічний перетин - дві уявні пересічні прямі. У цьому випадку також говорять про стягнутої в точку еліпсі або, якщо a = b, стягнутої в точку кола.
6) Якщо або a, або b дорівнює нулю, а інші коефіцієнти мають різні знаки, то конічний перетин складається з двох паралельних прямих.
7) Якщо або a, або b дорівнює нулю, а інші коефіцієнти мають один знак, то не існує жодної дійсної точки, що задовольняє рівнянню. У цьому випадку говорять, що конічний перетин складається з двох уявних паралельних прямих.
8) Якщо c = 0, і або a, або b також дорівнює нулю, то конічний перетин складається з двох дійсних співпадаючих прямих. (Рівняння не визначає ніякого конічного перерізу при a = b = 0, оскільки в цьому випадку вихідне рівняння (1) не другого ступеня.)
9) Рівняння другого типу визначають параболи, якщо p і q відмінні від нуля. Якщо p> 0, а q = 0, ми отримуємо криву з п. 8. Якщо ж p = 0, то рівняння не визначає ніякого конічного перетину, оскільки вихідне рівняння (1) не другого ступеня.
Застосування
Конічні перетини часто зустрічаються в природі і техніці. Наприклад, орбіти планет, які обертаються навколо Сонця, мають форму еліпсів. Окружність являє собою окремий випадок еліпса, у якого велика вісь дорівнює малої. Параболічне дзеркало володіє тим властивістю, що всі падаючі промені, паралельні його осі, сходяться в одній точці (фокусі). Це використовується в більшості телескопів-рефлекторів, де застосовуються параболічні дзеркала, а також в антенах радарів і спеціальних мікрофонах з параболічними відбивачами. Від джерела світла, вміщеного у фокусі параболічного відбивача, виходить пучок паралельних променів. Тому в потужних прожекторах та автомобільних фарах використовуються параболічні дзеркала. Гіпербола є графіком багатьох важливих фізичних співвідношень, наприклад, закону Бойля (зв'язує тиск і об'єм ідеального газу) і закону Ома, що задає електричний струм як функцію опору при постійній напрузі
Додаток
л
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Список літератури.
1. Алексєєв. Теорема Абеля у завданнях і рішеннях. 2001
2. Базилєв В. Т., Дуніч К. І., Іваницька В. П.. Навчальний посібник для студентів 1 курсу фізико-математичних факультетів педагогічних інститутах. Москва «просвітництво» 1974
3. Верещагін Н.К., А. Шень. Лекції з математичної логіки та теорії алгоритмів. 1999
4. Гельфанд І.М.. Лекції з лінійної алгебри. 1998.
5. Гладкий А.В.. Введення в сучасну логіку. 2001
6. М. Е. Казарян. Курс диференціальної геометрії (2001-2002).
7. Прасолов В.В.. Геометрія Лобачевського 2004
8. Прасолов В.В.. Завдання з планіметрії 2001
9. Шейнман О.К.. Основи теорії зображень. 2004
Середня Загальноосвітня школа № 4
Конічні перетини
Виконав
Спиридонов Антон
учень 11 А класу
Перевірив
Коробейникова А. Т.
Тобольськ - 2006 р.
ЗМІСТ.
ВведенняПоняття конічних перерізів
Види конічних перерізів
Дослідження
Побудова конічних перерізів
Аналітичний підхід
Застосування
Додаток
Список літератури
Введення.
Мета: вивчити конічні перетину.
Завдання: навчитися розрізняти види конічних перерізів, будувати кинической перетину і застосовувати аналітичний підхід.
Конічні перетини вперше запропонував використовувати давньогрецький геометр Менехм, який жив у IV столітті до нашої ери, під час вирішення завдання про подвоєння куба. Це завдання пов'язують з наступною легендою.
Одного разу на острові Делосі спалахнула епідемія чуми. Жителі острова звернулися до оракула, який сказав, що для припинення епідемії треба збільшити вдвічі золотого жертівника, який мав форму куба і знаходився в храмі Аполлона в Афінах. Остров'яни виготовили новий жертовник, ребра якого були вдвічі більше ребер колишнього. Однак чума не припинилася. Розгнівані мешканці почули від оракула, що невірно зрозуміли його розпорядження - подвоїти було треба не ребра куба, а його обсяг, тобто збільшити ребра куба в
Наведену пропорцію можна розглядати як систему рівнянь:
Але x 2 = ay і y 2 = 2ax - це рівняння парабол. Тому для вирішення задачі слід відшукати точки їх перетину. Якщо ж врахувати, що з системи можна отримати і рівняння гіперболи xy = 2a 2, то цю ж завдання можливо вирішити знаходженням точок перетину параболи з гіперболою.
Для отримання конічних перерізів Менехм перетинав конус - гострокутий, прямокутний або тупокутний - площиною, перпендикулярної однієї з утворюють. Для гострокутного конуса переріз площиною, перпендикулярної до його утворюючої, має форму еліпса. Тупокутний конус при цьому дає гіперболу, а прямокутний - параболу.
Звідси відбулися і назви кривих, які були введені Аполлонія Пергського, що жив у III столітті до нашої ери: еліпс (έλλείψίς), що означає вада, недолік (кута конуса до прямого); гіпербола (ύπέρβωλη) - перебільшення, перевага (кута конуса над прямим ); парабола (παραβολη) - наближення, рівність (кута конуса прямого кута). Пізніше греки помітили, що всі три криві можна отримати на одному конусі, змінюючи нахил січної площини. При цьому слід брати конус, що складається з двох порожнин і мислити, що вони простягаються у безкінечність (Мал. 1).
Якщо провести розтин кругового конуса, перпендикулярне його осі, а потім повертати січну площину, залишаючи одну точку її перетину з конусом нерухомою, то побачимо, як окружність буде спочатку витягуватися, перетворившись на еліпс. Потім друга вершина еліпса піде у нескінченність, і замість еліпса вийде парабола, а потім площину припинить і другу порожнину конуса і вийде гіпербола.
Поняття конічних перетинів.
Конічні перетини - це плоскі криві, які виходять перетином прямого кругового конуса площиною, не проходить через його вершину. З точки зору аналітичної геометрії конічний перетин представляє собою геометричне місце точок, що задовольняють рівнянню другого порядку. За винятком вироджених випадків, що розглядаються в останньому розділі, конічними перетинами є еліпси, гіперболи або параболи (Мал. 2).
При обертанні прямокутного трикутника біля одного з катетів, гіпотенуза з її продовженнями описує конічну поверхню, звану поверхнею прямого кругового конуса, яка може бути розглянута як безперервний ряд прямих, що проходять через вершину і званих утворюючими, причому всі утворюють спираються на одну й ту ж коло, звану виробляє. Кожна з утворюють представляє собою гіпотенузу обертового трикутника (у відомому його положенні), продовжену в обидві сторони до нескінченності. Таким чином, кожна утворює простягається по обидва боки від вершини, внаслідок чого і поверхня має дві порожнини: вони сходяться в одну точку в загальній вершині. Якщо таку поверхню перетнути площиною, то в перерізі вийде крива, яка і називається конічним перетином. Вона може бути трьох типів:
1) якщо площина перетинає конічну поверхню по всьому твірними, то розтинають лише одна порожнину і в перетині виходить замкнута крива, звана еліпсом;
2) якщо січна площина перетинає обидві порожнини, то виходить крива, що має дві гілки і звана гіперболою;
3) якщо січна площина паралельна однієї з утворюють, то виходить парабола.
Якщо січна площина паралельна виробляє кола, то виходить коло, яка може бути розглянута як окремий випадок еліпса. Січна площина може перетинати конічну поверхню тільки в одній вершині, тоді в перетині виходить точка, як окремий випадок еліпса.
Якщо площиною, що проходить через вершину, перетинаються обидві порожнини, то в перерізі виходить пара пересічних прямих, що розглядається як окремий випадок гіперболи.
Якщо вершина нескінченно віддалена, то конічна поверхня звертається в циліндричну, і перетин її площиною, паралельною твірними, дає пару паралельних прямих як окремий випадок параболи. Конічні перетини виражаються рівняннями 2-го порядку, загальний вигляд яких
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
і називаються кривими 2-го порядку.
Види конічних перетинів.
Конічні перетини можуть бути трьох типів:
1) січна площина перетинає всі утворюють конуса в точках однієї його порожнини; лінія перетину є замкнута овальна крива - еліпс; окружність як окремий випадок еліпса виходить, коли січна площина перпендикулярна осі конуса.
2) Січна площина паралельна однієї з дотичних площин конуса; в перетині виходить незамкнута, що йде в нескінченність крива - парабола, цілком лежить на одній порожнини.
3) Січна площина перетинає обидві порожнини конуса; лінія перетину - гіпербола - складається з двох однакових незамкнутих, що тягнуться в нескінченність частин (гілок гіперболи), що лежать на обох порожнинах конуса.
Дослідження.
У тих випадках, коли конічні перетин має центр симетрії (центр), тобто є еліпсом або гіперболою, його рівняння може бути приведене (шляхом перенесення початку координат у центр) до вигляду:a 11 x 2 +2 a 12 xy + a 22 y 2 = a 33.
Подальші дослідження таких (званих центральними) конічні перетину показують, що їх рівняння можуть бути приведені до ще простішого вигляду:
Ах 2 + Ву 2 = С,
якщо за напрямки осей координат вибрати головні напрями - напрямки головних осей (осей симетрії) конічних перетинів. Якщо А і В мають однакові знаки (збігаються зі знаком С), то рівняння визначає еліпс; якщо А і В різного знаку, то - гіперболу.
Рівняння параболи привести до виду (Ах 2 + Ву 2 = С) не можна. При належному виборі осей координат (одна вісь координат - єдина вісь симетрії параболи, інша - перпендикулярна до неї пряма, що проходить через вершину параболи) її рівняння можна привести до вигляду:
y 2 = 2рх.
ПОБУДОВА конічний перетин.
Вивчаючи конічні перетини як перетину площин і конусів, давньогрецькі математики розглядали їх і як траєкторії точок на площині. Було встановлено, що еліпс можна визначити як геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок постійна; параболу - як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки і заданої прямої; гіперболу - як геометричне місце точок, різниця відстаней від яких до двох заданих точок постійна.
Ці визначення конічних перетинів як плоских кривих підказують і спосіб їх побудови за допомогою натягнутої нитки.
Еліпс. Якщо кінці нитки заданої довжини закріплені в точках F 1 і F 2 (рис. 3), то крива, описувана вістрям олівця, ковзаючим по туго натягнутій нитці, має форму еліпса. Точки F 1 і F 2 називаються фокусами еліпса, а відрізки V 1 V 2 і v 1 v 2 між точками перетину еліпса з осями координат - великий і малими осями. Якщо точки F 1 і F 2 збігаються, то еліпс перетворюється в коло (Мал. 3).
Гіпербола. При побудові гіперболи точка P, вістря олівця, фіксується на нитки, яка вільно ковзає по шпенькам, встановленим у точках F 1 і F 2, як показано на малюнку 4, а, відстані підібрані так, що відрізок PF 2 перевершує по довжині відрізок PF 1 на фіксовану величину, меншу відстані F 1 F 2. При цьому один кінець нитки проходить під шпенькам F 1, і обидва кінці нитки проходять поверх шпенька F 2. (Вістря олівця не має ковзати по нитці, тому його потрібно закріпити, зробивши на нитки маленьку петлю і просмикнувши в неї вістря.) Одну гілку гіперболи (PV 1 Q) ми вичерчуємо, стежачи за тим, щоб нитка залишалася весь час натягнутою, і, потягуючи обидва кінці нитки вниз за точку F 2, а коли точка P виявиться нижче відрізка F 1 F 2, притримуючи нитку за обидва кінця і обережно відпускаючи її. Другу гілку гіперболи ми вичерчуємо, попередньо помінявши шпенька F 1 і F 2 (Мал. 4).
Гілки гіперболи наближаються до двох прямим, які перетинаються між гілками. Ці прямі, звані асимптотами гіперболи, будуються, як показано на малюнку 4, б. Кутові
коефіцієнти цих прямих рівні де - відрізок бісектриси кута між асимптотами, перпендикулярної відрізку F 2 F 1; відрізок v 1 v 2 називається сполученої віссю гіперболи, а відрізок V 1 V 2 - її поперечною віссю. Таким чином, асимптоти є діагоналями прямокутника зі сторонами, що проходять через чотири точки v 1, v 2, V 1, V 2 паралельно осям. Щоб побудувати цей прямокутник, необхідно вказати місце розташування точок v 1 і v 2. Вони знаходяться на однаковій відстані, рівному
від точки перетину осей O. Ця формула передбачає побудову прямокутного трикутника з катетами Ov 1 і V 2 O і гіпотенузою F 2 O.
Якщо асимптоти гіперболи взаємно перпендикулярні, то гіпербола називається равнобочной. Дві гіперболи, що мають спільні асимптоти, але з переставленими поперечної та сполученої осями, називаються взаємно сполученими.
Парабола. Фокуси еліпса та гіперболи були відомі ще Аполлонію, але фокус параболи, мабуть, вперше встановив Папп (друга пол. III ст.), Який визначив цю криву як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки (фокуса) і заданої прямої, яка називається директрисою. Побудова параболи з допомогою натягнутої нитки, засноване на визначенні Паппа, було запропоновано Ісідором Мілетським (VI ст.) (Мал. 5).
Розташуємо лінійку так, щоб її край збігся з директоркою, і докладемо до цього краю катет AC креслярського трикутника ABC. Закріпимо один кінець нитки завдовжки AB у вершині B трикутника, а інший - у фокусі параболи F. Натягнувши вістрям олівця нитка, притиснемо вістря у змінній точці P до вільного катету AB креслярського трикутника. У міру того, як трикутник буде переміщатися вздовж лінійки, точка P буде описувати дугу параболи з фокусом F і директрисою, так як загальна довжина нитки дорівнює AB, відрізок нитки прилягає до вільного катету трикутника, і тому залишився відрізок нитки PF має дорівнювати решти катета AB, тобто PA. Точка перетину V параболи з віссю називається вершиною параболи, пряма, що проходить через F і V, - віссю параболи. Якщо через фокус провести пряму, перпендикулярну осі, то відрізок цієї прямої, що відсікається параболою, називається фокальним параметром. Для еліпса та гіперболи фокальний параметр визначається аналогічно.
АНАЛІТИЧНИЙ ПІДХІД
Алгебраїчна класифікація. У алгебраїчних термінах конічні перетину можна визначити як плоскі криві, координати яких в декартовій системі координат задовольняють рівнянню другого ступеня. Інакше кажучи, рівняння всіх конічних перерізів можна записати в загальному, вигляді як
де не всі коефіцієнти A, B і C дорівнюють нулю. За допомогою паралельного перенесення і повороту осей рівняння (1) можна привести до виду
ax 2 + by 2 + c = 0
або
px 2 + qy = 0.
Перше рівняння виходить з рівняння (1) при B 2> AC, друге - при B 2 = AC. Конічні перетини, рівняння яких приводяться до першого виду, називаються центральними. Конічні перетини, задані рівняннями другого виду з q> 0, називаються нецентральним. У рамках цих двох категорій є дев'ять різних типів конічних перетинів у залежності від знаків коефіцієнтів.
1) Якщо коефіцієнти a, b і c мають один і той же знак, то не існує речових точок, координати яких задовольняли б рівнянню. Таке конічний перетин називається уявним еліпсом (чи уявної окружністю, якщо a = b).
2) Якщо a і b мають один знак, а c - протилежний, то конічний перетин - еліпс; при a = b - коло.
3) Якщо a і b мають різні знаки, то конічний перетин - гіпербола.
4) Якщо a і b мають різні знаки і c = 0, то конічний перетин складається з двох пересічних прямих.
5) Якщо a і b мають один знак і c = 0, то існує лише одна справжня точка на кривій, яка задовольняє рівнянню, і конічний перетин - дві уявні пересічні прямі. У цьому випадку також говорять про стягнутої в точку еліпсі або, якщо a = b, стягнутої в точку кола.
6) Якщо або a, або b дорівнює нулю, а інші коефіцієнти мають різні знаки, то конічний перетин складається з двох паралельних прямих.
7) Якщо або a, або b дорівнює нулю, а інші коефіцієнти мають один знак, то не існує жодної дійсної точки, що задовольняє рівнянню. У цьому випадку говорять, що конічний перетин складається з двох уявних паралельних прямих.
8) Якщо c = 0, і або a, або b також дорівнює нулю, то конічний перетин складається з двох дійсних співпадаючих прямих. (Рівняння не визначає ніякого конічного перерізу при a = b = 0, оскільки в цьому випадку вихідне рівняння (1) не другого ступеня.)
9) Рівняння другого типу визначають параболи, якщо p і q відмінні від нуля. Якщо p> 0, а q = 0, ми отримуємо криву з п. 8. Якщо ж p = 0, то рівняння не визначає ніякого конічного перетину, оскільки вихідне рівняння (1) не другого ступеня.
Застосування
Конічні перетини часто зустрічаються в природі і техніці. Наприклад, орбіти планет, які обертаються навколо Сонця, мають форму еліпсів. Окружність являє собою окремий випадок еліпса, у якого велика вісь дорівнює малої. Параболічне дзеркало володіє тим властивістю, що всі падаючі промені, паралельні його осі, сходяться в одній точці (фокусі). Це використовується в більшості телескопів-рефлекторів, де застосовуються параболічні дзеркала, а також в антенах радарів і спеціальних мікрофонах з параболічними відбивачами. Від джерела світла, вміщеного у фокусі параболічного відбивача, виходить пучок паралельних променів. Тому в потужних прожекторах та автомобільних фарах використовуються параболічні дзеркала. Гіпербола є графіком багатьох важливих фізичних співвідношень, наприклад, закону Бойля (зв'язує тиск і об'єм ідеального газу) і закону Ома, що задає електричний струм як функцію опору при постійній напрузі
Додаток
л
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Список літератури.
1. Алексєєв. Теорема Абеля у завданнях і рішеннях. 2001
2. Базилєв В. Т., Дуніч К. І., Іваницька В. П.. Навчальний посібник для студентів 1 курсу фізико-математичних факультетів педагогічних інститутах. Москва «просвітництво» 1974
3. Верещагін Н.К., А. Шень. Лекції з математичної логіки та теорії алгоритмів. 1999
4. Гельфанд І.М.. Лекції з лінійної алгебри. 1998.
5. Гладкий А.В.. Введення в сучасну логіку. 2001
6. М. Е. Казарян. Курс диференціальної геометрії (2001-2002).
7. Прасолов В.В.. Геометрія Лобачевського 2004
8. Прасолов В.В.. Завдання з планіметрії 2001
9. Шейнман О.К.. Основи теорії зображень. 2004