Контроль знань учнів при вивченні лінії рівнянь в основній школі

Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа
вищої професійної освіти
«Вятський державний гуманітарний університет»
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Випускна кваліфікаційна робота
Контроль знань учнів при вивченні лінії рівнянь в основній школі
Виконала студентка V курсу
очної форми навчання фізико-математичного факультету
(Спеціальність 050201.65 Математика)
Семіохіна Марія Олександрівна
Науковий керівник:
канд. пед. наук, доцент кафедри дидактики фізики і математики
Шилова З. В.
Рецензент:
канд. пед. наук, доцент кафедри дидактики фізики і математики
Крутіхін М. В.
Робота допущена до захисту в ГАК
«___» _________2008 Р. Зам. зав. кафедрою ____________ М. В. Крутіхін
«___» _________2008 Р. Декан факультету ______________ Є. В. Кантор
Кіров 2008

Зміст
Введення
Глава I. Теоретичні основи контролю знань, умінь і навичок учнів
§ 1. Цілі контролю знань і вмінь учнів
§ 2. Функції контролю знань і вмінь учнів
§ 3. Педагогічні вимоги до організації контролю
§ 4. Види контролю
§ 5. Методи контролю
§ 6. Форми контролю
Глава II. Методичні особливості контролю знань, умінь і навичок учнів при вивченні лінії рівнянь в основній школі
§ 1. Аналіз змісту програми з математики
§ 2. Аналіз викладу тем, пов'язаних з вивченням лінії рівнянь, у шкільних підручниках з алгебри для 5-9 класів
§ 3. Методичні рекомендації щодо здійснення контролю при вивченні лінії рівнянь в основній школі
§ 4. Дослідне викладання
Висновок
Бібліографічний список
Додаток 1
Додаток 2
Додаток 3
Додаток 4
Додаток 5
Додаток 6
Додаток 7
Додаток 8
Додаток 9
Додаток 10

Введення
Лінія рівнянь в основній школі є, мабуть, однією з головних, і її теоретичні положення найкращим чином пов'язані з практикою. Рівняння використовуються в тому числі і в математичному моделюванні.
При вивченні рівнянь так само, як і в інших розділах шкільного курсу математики, необхідно особливо виділити їх теоретичну основу і зв'язки цього розділу з іншим змістом курсу математики, з іншими змістовно-методичними лініями. У першому випадку мова йде про формалізоване вивченні найбільш важливих класів рівнянь і їх систем (у тому числі і на функціональній основі), у другому - найчастіше про рішення текстових завдань; і в третьому, головним чином, - про послідовне розширення числових систем, так як всі числові області, що розглядаються в шкільному курсі алгебри і початків аналізу, як правило, виникають у зв'язку з рішенням будь-яких рівнянь і їх систем.
Щоб отримати відомості не тільки про правильність чи неправильності кінцевого результату виконаної діяльності, але і про саму діяльності, необхідно організувати перевірку знань, умінь і навичок учнів. Контроль навчальної діяльності учнів дозволяє вчителю оцінювати одержувані ними знання, уміння, навички, вчасно надати необхідну допомогу і добиватися поставлених цілей навчання, а так само дозволяє вчителю не тільки правильно оцінити рівень засвоєння учнями досліджуваного матеріалу, але і побачити свої власні удачі і промахи.
Все вищесказане і обумовлює актуальність проблеми нашого дослідження.
Об'єктом дослідження є процес навчання математики учнів в основній школі.
Предмет дослідження - контроль знань учнів при вивченні лінії рівнянь в основній школі.
Мета дослідження полягає в вивченні можливості організації контролю знань учнів при вивченні лінії рівнянь на уроках алгебри в 5-9 класах.
Гіпотеза дослідження: використання викладених у даній роботі теоретичних положень і методичних рекомендацій сприяє організації більш ефективного, повного та об'єктивного контролю знань і умінь учнів при вивченні рівнянь, посилює підготовку школярів по даній темі.
Проблема, мета і гіпотеза дослідження зумовили наступні завдання:
1. Вивчити навчально-методичну літературу з проблеми дослідження та виділити цілі, функції, основні види і методи контролю; проаналізувати різні форми перевірки знань і умінь школярів.
2. Вивчити вимоги до знань і вмінь учнів при вивченні лінії рівнянь в основній школі.
3. Провести аналіз викладу матеріалу по лінії рівнянь в шкільних підручниках алгебри.
4. Скласти методичні рекомендації щодо здійснення контролю при вивченні лінії рівнянь в основній школі.
5. Здійснити дослідне викладання.
Для вирішення сформульованих завдань були використані наступні методи дослідження: вивчення науково-методичної літератури, педагогічної літератури та періодичних видань з математики з проблеми дослідження; аналіз програми і навчальних посібників з математики для загальноосвітніх шкіл; дослідне викладання в МОУ ЗОШ ім. С. С. Ракітін р. Мураши і МОУ СЗШ з УІОП № 37 м. Кірова.

Глава I. Теоретичні основи контролю знань, умінь і навичок учнів
§ 1. Цілі контролю знань і вмінь учнів
Перевірка знань, умінь і навичок учнів є важливою складовою частиною процесу навчання. У процесі вивчення математики учні повинні оволодіти безліччю математичних понять, їх властивостей, відносин, а також повинні вміти виявляти і обгрунтовувати ці властивості, застосовувати їх при вирішенні практичних завдань. Вивчення характеру засвоєння учнями навчального матеріалу, оцінка їх знань і вмінь, виявлення рівня розумового розвитку та розвитку пізнавальних здібностей - необхідна сторона процесу навчання, складова внутрішній зміст кожного його ланки. Тому, в даній роботі розглянемо цілі, завдання контролю, для з'ясування ролі перевірки в процесі навчання математики розглянемо її найбільш значущі функції, види, відповідно до форм навчання розглянемо форми і методи контролю знань і вмінь учнів.
Контроль є частиною процесу навчання. Контроль - це виявлення і порівняння (на певному етапі навчання) результату навчальної діяльності до вимог, які задаються до цього результату програмою. Причому, контроль знань і умінь конкретного учня передбачає оцінку цих знань і умінь тільки за результатами його особистої навчальної діяльності.
Складовим компонентом контролю є перевірка знань. Основний дидактичної функцією перевірки знань учнів з математики є забезпечення зворотного зв'язку між учителем і учнями, що включає в себе: виявлення недоліків перебігу навчального процесу, виявлення прогалин знань в учнів, визначення ступеня засвоєння навчального матеріалу з математики. Крім перевірки контроль містить у собі оцінювання (як процес) і виставляння позначки (результату оцінювання).
Основна мета контролю знань і умінь полягає у виявленні досягнень, успіхів учнів; у вказівці шляхів вдосконалення, поглиблення знань, умінь, з тим, щоб створювалися умови для подальшого включення школярів в активну творчу діяльність.
Ця мета в першу чергу пов'язана з визначенням якості засвоєння учнями навчального матеріалу - рівня оволодіння знаннями, вміннями і навичками, передбаченими програмою з математики. Конкретизація основної мети контролю пов'язана з навчанням школярів прийомів взаємоконтролю і самоконтролю, формуванням потреби в самоконтролю і взаємоконтролю, а також передбачає виховання в учнів таких якостей особистості, як відповідальність за виконану роботу, прояв ініціативи. Однією з найважливіших цілей контролю знань і умінь учнів слід вважати перевірку роботи вчителя для коригування підготовки і проведення уроків. Правильно поставлений контроль може і повинен дати вчителю чітке уявлення про якість його роботи, про допущені ним помилки, шляхи їх своєчасного усунення.
Не менш важлива мета перевірки - мотивування регулярної, напруженої і цілеспрямованої роботи учнів, стимулювання їх уважності, зосередженості на уроці і при самостійних заняттях. Інтенсивність і регулярність роботи учнів залежить головним чином від частоти і регулярності контролю. Від регулярності контролю залежить і тривалість збереження в пам'яті учнів засвоєних знань. При регулярному контролі створюються найкращі умови набуття умінь і навичок, розвитку мислення учнів. Контроль знань дає можливість учням зіставити свою роботу з вимогами вчителя і внести, якщо потрібно, необхідні корективи у свою підготовку. У ході контролю учню і вчителю стають відомими недоробки учня. Завдяки цьому, учень може уявити собі, над чим, він повинен додатково попрацювати, а вчитель - у чому може полягати його допомога учневі. Контроль знань і вмінь учнів сприяє повторенню і закріпленню матеріалу, перевіряючи учня за порівняно невеликої частини вивченого, передбаченого програмою, вчитель може судити про засвоєння всього його обсягу.
Підготовка і процедура контролю сприяють розвитку усного та писемного мовлення учнів, їх здатності послідовно викладати свої думки, чіткості і логічності мислення.
Контроль здійснюється в повній відповідності з принципами навчання. Він повинен бути науково обгрунтованим, систематичним і послідовним, забезпечувати свідомість і активність учнів у навчанні, бути наочним і доступним, сприяти формуванню стійких і міцних знань, умінь і навичок ([40], [27]).
Завдання контролю у процесі навчання різнобічні:
• встановити готовність учнів до сприйняття і засвоєння нових знань (встановити необхідні внутрішньопредметні та міжпредметні зв'язки);
• отримати інформацію про характер самостійної роботи учнів у процесі навчання;
• виявити труднощі, помилки учнів і причини їх виникнення;
• визначити ефективність організації, методів і засобів навчання;
• виявити ступінь правильності, обсяг, глибину засвоєних знань, умінь і навичок [44].
Таким чином, перераховані цілі і завдання контролю визначають основні функції контролю знань учнів, які розглянемо докладно в наступному параграфі.

§ 2. Функції контролю знань і вмінь учнів
Контроль, як і всі інші компоненти навчального процесу, виконує певні функції. У науково-методичній літературі з теорії та методики навчання математики виділяють наступні найбільш значущі функції перевірки: контролюючу, навчальну, діагностичну, прогностичну, розвиваючу, ориентирующую і виховує [40].
1. Контролююча функція полягає у виявленні стану знань і умінь учнів, рівня їх розумового розвитку, у вивченні ступеня засвоєння прийомів пізнавальної діяльності, навичок раціонального навчальної праці. За допомогою контролю визначається базовий рівень для подальшого оволодіння знаннями, вміннями і навичками, вивчається глибина і обсяг їх засвоєння. Порівнюється плановане з дійсними результатами, встановлюється ефективність використовуваних вчителем методів, форм і засобів навчання.
2. Навчальна функція контролю полягає у вдосконаленні знань і вмінь, їх систематизації. У процесі перевірки учні повторюють і закріплюють вивчений матеріал. Вони не тільки відтворюють раніше вивчене, але і застосовують знання і вміння в нову ситуацію, мобілізують певні способи вирішення завдань, певні прийоми навчально-пізнавальної діяльності. Перевірка допомагає школярам виділити головне, основне в досліджуваному матеріалі, уточнити зміст розглянутого питання, зробити перевіряються знання та вміння більш ясними, точними і дієвими. Перевірка сприяє узагальненню і систематизації знань, вироблення відповідних даному етапу навчання умінь і навичок [51].
3. Сутність діагностичної функції перевірки полягає у отриманні інформації про помилки, недоліки, прогалини в знаннях і уміннях учнів і породжують їх причини. Тут важливо отримати інформацію не тільки про причини даного стану знань учнів, а й про ступінь впливу цих причин на якість знань, умінь і навичок учнів. Результати діагностичних перевірок дають матеріал про витоки труднощів учнів в оволодінні матеріалом, про кількість, характер та причини помилок, що дозволяє вибрати найбільш дієвий індивідуальний підхід, акцентувати увагу на підбір досить повної системи вправ, більш дієвої методики навчання і в загальному плані уточнити напрямок подальшого вдосконалення змісту, методів і засобів навчання.
4. Прогностична функція перевірки є отримання випереджаючої інформації про навчально-виховному процесі. У результаті перевірки отримують підстави для прогнозу про хід певного відрізка навчального процесу: чи достатньо сформовані конкретні знання, вміння та навички для засвоєння наступної порції навчального матеріалу (розділу, теми). Результати прогнозу використовують для створення моделі подальшої поведінки учня, допускає сьогодні помилки даного типу або має певні прогалини в системі прийомів пізнавальної діяльності. Прогноз допомагає отримати вірні висновки для подальшого планування та здійснення навчального процесу.
5. Розвиваюча функція контролю полягає у стимулюванні пізнавальної активності учнів, у розвитку їх творчих здібностей. Контроль володіє винятковими можливостями у розвитку учнів. У процесі контролю розвиваються мова, пам'ять, увагу, уяву, воля і мислення школярів. Контроль має великий вплив на розвиток і прояв таких якостей особистості, як здібності, нахили, інтереси, потреби.
6. Сутність орієнтує функції контролю - в отриманні інформації про ступінь досягнення цілі навчання окремим учнем і класом в цілому - наскільки засвоєний і як глибоко вивчений навчальний матеріал. Контроль орієнтує учнів у їх труднощі і досягнення. Розкриваючи прогалини, помилки і недоліки учнів, він вказує їм напрями докладання сил щодо вдосконалення знань і умінь. Контроль допомагає учню краще пізнати самого себе, оцінити свої знання і можливості.
7. Виховує функція контролю полягає у вихованні в учнів відповідального ставлення до навчання, дисципліни, акуратності, чесності, в привчанні учнів до систематичної роботи, а також у розвитку навичок самоконтролю і самооцінки, без яких успішне просування учня в пізнавальній сфері навряд чи можливо. Перевірка спонукає школярів більш серйозно і регулярно контролювати себе при виконанні завдань. Вона є умовою виховання твердої волі, наполегливості, звички до регулярного праці. Тільки той контроль можна вважати досить результативним, якщо він сприяв підвищенню якості знань школярів і зміцненню їхньої віри в свої сили [51].
Виділення функцій контролю підкреслює його роль і значення в процесі навчання. У навчальному процесі самі функції проявляються в різному ступені і різних поєднаннях. Наприклад, при поточній перевірці засвоєння навчального матеріалу з математики домінуючою повинна бути навчальна функція, а при підсумковому контролі - контролююча. Реалізація виділених функцій на практиці робить контроль більш ефективним, а також ефективніше стає і сам навчальний процес.
§ 3. Педагогічні вимоги до організації контролю
Теорією і практикою навчання встановлено наступні педагогічні вимоги до організації контролю за навчальною діяльністю учнів:
1. Індивідуальний характер контролю, що вимагає здійснення контролю за роботою кожного учня, за його особистої навчальною роботою, що не допускає підміни результатів навчання окремих учнів підсумками роботи колективу (групи чи класу) і навпаки.
2. Систематичність, регулярність проведення контролю на всіх етапах процесу навчання, поєднання його з іншими сторонами навчальної діяльності учнів.
3. Всебічність, яка полягає в тому, що контроль повинен охоплювати всі розділи навчальної програми, забезпечувати перевірку теоретичних знань, інтелектуальних і практичних умінь і навичок учнів.
4. Об'єктивність контролю, що виключає навмисні, суб'єктивні і помилкові оціночні судження і висновки вчителя, засновані на недостатньому вивченні школярів або упередженому ставленні його до деяких з них.
5. Диференційований підхід, що враховує специфічні особливості кожного навчального предмета та окремих його розділів, а також індивідуальні якості учнів, що вимагає застосування у відповідності з цими особливостями різної методики проведення контролю та педагогічного такту вчителя.

III. Пояснення нового матеріалу.
Пояснення нового матеріалу (стор. 48 - 49):
1. Розглянути метод алгебраїчного додавання при вирішенні системи двох рівнянь з двома змінними.
2. Вирішити систему методом алгебраїчного додавання:
1)

IV. Закріплення нового матеріалу.
Вирішити завдання з № 125 (б), 126 (а, б), 127 (а, б).
Перевірочна робота по варіантах.
V. Підведення підсумків.
VI. Домашнє завдання: № 125 - 127 (в, г); теорія в підручнику, стор 48 - 49; робочий зошит, стор 22, № 6, 7, 8.

Урок 5. Методи рішення систем рівнянь
Цілі уроку: сформувати вміння розв'язувати системи рівнянь методом заміни змінних; сформувати вміння розв'язувати системи рівнянь різними методами.
Хід уроку
I. Організаційний момент.
II. Перевірка домашнього завдання.
1. Вирішіть систему рівнянь методом підстановки:
Варіант 1
1)
2)
Варіант 2
1)
2)
2. Вирішіть систему рівнянь методом алгебраїчного додавання:

Пояснення нового матеріалу.
Пояснення нового матеріалу (стор. 50 - 54):
1. Розібрати метод введення нових змінних на різних системах рівнянь. Оформити всі в таблицю:

Дана система рівнянь	Введення нової змінної	Система рівнянь з новими змінними

2. Розглянути рішення системи методом введення нової змінної:

III.
IV. Закріплення нового матеріалу.
Рішення завдань з № 128, 129 біля дошки.
V. Підведення підсумків.

VI. Домашнє завдання: № 130, 131; теорія в підручнику, стор 50 - 54; робочий зошит, стор 20, № 5; на додаткову оцінку за варіантами:
VII.

Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3	Варіант 4
а	б	в	г
№ 132, 133, 134

6. Єдність вимог вчителів, які здійснюють контроль за навчальною роботою учнів у даному класі.
Дотримання зазначених вимог забезпечує надійність контролю і виконання ним своїх завдань у процесі навчання [45].
§ 4. Види контролю
Існують різні види контролю знань учнів. У схемі 1 представлена класифікація за різними підставами.

SHAPE \ * MERGEFORMAT

Види контролю

по
масовості
(Формам)

за місцем у процесі навчання

по тому, хто здійснює контроль

за формою зразка

· Індивідуальний
· Груповий
· Фронтальний

· Попередній
· Поточний
· Тематичний
· Підсумковий

· Зовнішній
· Взаємний
· Самоконтроль

· По кінцевому результату
· Покроковий
· За відомим умові

Схема 1
1. Відповідно до форм навчання на практиці виділяють 3 види контролю: індивідуальний, груповий (разом з різновидом - ущільненим опитуванням) і фронтальний (разом з масовими перевірками).
При індивідуальному контролі кожен школяр отримує своє завдання, яке він повинен виконати без сторонньої допомоги. Ця форма контролю доцільна в тому випадку, якщо потрібно з'ясувати індивідуальні знання, здібності і можливості окремих учнів. Кожен учень показує результати самостійної розумово-практичної діяльності. Учитель виявляє правильність відповіді, його послідовність, повноту і глибину, самостійність суджень і висновків, ступінь розвитку логічного мислення, культуру мовлення тощо. Враховуючи значення і багатофункціональність перевірки, на практиці прагнуть охопити індивідуальної перевіркою кожного учня класу, причому неодноразово. Вчитель намічає коли, кого, з якою метою запитати, які для цього використовувати кошти.
При груповому контролі клас тимчасово ділиться на кілька груп (від 2 до 10 учнів) і кожній групі дається перевірочне завдання. Залежно від мети контролю групам пропонують однакові завдання або диференційовані: перевіряють результати письмово-графічного завдання, яке учні виконували по двоє, або практичного, що виконується кожної четвіркою учнів, або перевіряють точність, швидкість та якість виконання конкретного завдання (у формі дидактичної гри або змагання ) по ланках. Групову форму організації контролю застосовують: при повторенні з метою узагальнення та систематизації навчального матеріалу, виділення прийомів і методів розв'язання задач, при акцентуванні уваги учнів на найбільш раціональних способах виконання завдань, на кращі з варіантів докази теореми тощо.
При фронтальному контролі завдання пропонуються всьому класу. У процесі цього контролю вивчається правильність сприйняття і розуміння навчального матеріалу, якість словесного, графічного, предметного оформлення, ступінь закріплення в пам'яті. Вчителі цікавить свідомість у відповідях учнів, обгрунтованість і доказовість [40].
2. Відповідно до місця у процесі навчання використовуються різні види контролю: попередній, поточний, тематичний і підсумковий [45].
Попередній контроль спрямований на виявлення знань, умінь і навичок учнів на уроках чи розділу, який буде вивчатися. У V клас приходять учні з різним рівнем підготовленості. Щоб спланувати свою роботу, вчитель повинен знати, хто що може і знає. Це допоможе йому визначити, на чому слід більше затримувати увагу учнів, які питання потребують більше часу, а на чому слід лише зупинитися, допоможе визначити індивідуальний підхід до кожного учня.
Поточний контроль здійснюється в повсякденній роботі з метою перевірки засвоєння попереднього матеріалу і виявлення прогалин у знаннях учнів. Він проводиться, перш за все, за допомогою систематичного спостереження вчителя за роботою класу в цілому і кожного учня окремо на всіх етапах навчання.
Тематичний контроль здійснюється періодично в міру проходження нової теми, розділу і має на меті систематизацію знань учнів. Цей вид контролю проходить на повторительно-узагальнюючих уроках і готує до контрольних заходів: усним і письмовим заліків.
Підсумковий контроль проводиться в кінці чверті, півріччя, усього навчального року, а також після закінчення навчання в початковій, неповній середній і повної середньої школи.
3. Залежно від того, хто здійснює контроль за результатами діяльності учнів, виділяють зовнішній, взаємний контроль і самоконтроль.
Зовнішній контроль (здійснюється вчителем над діяльністю учня). Компонентами такого контролю є:
1. Уточнення цілей вивчення даного відрізку навчального матеріалу і встановлення конкретного змісту контролю.
2. Вибір видів, форм, способів і засобів контролю, що відповідають поставленим цілям.
3. Різні способи вираження результатів контролю: оцінка і відмітка.
Зовнішній контроль може здійснюватися вчителем як груповий, індивідуальний або фронтальний контроль.
Взаємний контроль (здійснюється учнем над діяльністю товариша) сприяє виробленню таких якостей особистості, як чесність і справедливість, колективізм. Взаємний контроль допомагає також вчителю здійснювати перевірку знань учнів. У масовій школі порівняно часто використовується взаємна перевірка організаційної готовності до уроку (констатуючій взаємоконтроль виконання домашнього завдання) і часткова, епізодична взаємоперевірка знань учнів (рецензування відповідей на уроці, рецензування письмових робіт). Систематична ж взаємна перевірка знань, умінь, навичок застосовується досить рідко [23].
Взаємоперевірка знань значно активізує діяльність учнів, підвищує інтерес до знань і навіть подобається їм. У ході взаємного контролю розкриваються індивідуальні особливості дітей, їх взаємини з товаришами.
Самоконтроль (здійснюється учнем над власною діяльністю). Постійної уваги вчителя потребує проблема виховання в учнів віри у свої здібності. Відомо, що багато учнів бояться приступати до вирішення завдань, алгоритм розв'язання яких їм невідомий. Іноді виявляється страх перед труднощами, невміння долати їх самостійно. Вихід тут тільки один - прищеплювати учням уміння і навички самоконтролю.
Це важливо з виховної, психолого-педагогічної точки зору. Адже при цьому учні фактично беруть участь в управлінні своєю власною навчальною діяльністю. Це породжує у них задоволеність своїми заняттями, своєю роботою, дозволяє їм повірити в себе, у свої пізнавальні здібності, відкриває простір для творчої ініціативи та самостійності. Зазначимо прийоми формування критичного ставлення учнів до результатів своєї роботи. Учням пропонується розглянути рішення низки прикладів і оцінити їх. Зазвичай ці рішення містять типові помилки, які треба виявити. Іноді потрібно з'ясувати, чи вірний відповідь до завдання. Навички самоконтролю можна розвивати і на цікавих завданнях, заснованих на звичайній життєвій кмітливості. Їх корисно розглядати як у молодших, так і в старших класах. Ці завдання привертають увагу всіх учнів, навіть тих, які не мають особливих успіхів в математиці. Важко утримати інтерес учнів до предмету, якщо переслідується єдина мета: навчити школярів виконувати дії у цій зразком. Тому поряд з вивченням алгоритмів виникає необхідність вчити усвідомленого, творчому їх застосування. Наведемо один поширений прийом такого навчання. Відразу після того, як учні освоїли всі етапи алгоритму, їм пропонується завдання, яке вирішується по вивченому алгоритмом, але не самим раціональним способом. Більш гарне рішення виходить, якщо не слідувати алгоритму, а просто проаналізувати умову задачі і зробити вірні висновки. Відзначимо ще кілька прийомів роботи вчителя у формуванні потреби в самоконтролі під час навчання математиці.
1. Давати визначення іноді має сенс не в остаточному вигляді. Більш змістовні бесіди з класом виходять тоді, коли учні пропонують свій варіант визначення, який потім уточнюється.
2. Майже всі вправи, які пропонуються учням, сформульовані позитивно (довести, знайти). З'явилися також вправи та іншого типу (чи вірно, перевірити), але їх дуже мало. І зовсім немає вправ на спростування тверджень, в той час як вони надзвичайно корисні. Вправи такого типу легко отримати із завдань позитивних, особливо на доказ.
3. Якщо учень дав письмове рішення завдання (на дошці або в зошиті) з помилкою, то в інших випадках не треба поспішати з виставленням оцінки. Якщо є можливість дати йому час на знаходження власної помилки, то її потрібно використовувати. Якщо помилка буде знайдена, то оцінку знижувати не варто.
4. Клас працює самостійно. Вибірково переглядаючи деякі рішення, вчитель бачить різноманітні помилки, найбільш повчальні з них варто показати всім учням класу.
5. На уроці запропоновано завдання і відразу відповідь до неї. У кого-то вийшов іншу відповідь. Не варто поспішати з допомогою - надамо її тільки тоді, коли самостійні спроби знайти помилку ні до чого не привели.
6. Дуже ризикований, але гідний уваги прийом, коли вчитель береться з ходу вирішувати досить складне завдання, причому на дошці. Якщо її й вдається вирішити, то навряд чи найкращим способом. Учні ще раз переконуються, що перший варіант рішення не завжди є найкращим. У результаті проведення описаної роботи в учнів починає формуватися потреба в самоконтролі.
Звичайним способом організації самоконтролю в процесі навчання математиці є вказівка відповіді (відомого заздалегідь або сообщаемого учнями один одному). Деяким учням у разі трудомістких завдань цілком достатньо звіритися з остаточним результатом. Іншим потрібно дати проміжні відповіді. Це допомагає їм самостійно виконувати навчальні завдання навіть в той момент, коли у них ще не вироблені міцні навички.
Серед навчальних завдань, що стимулюють самоконтроль у роботі учнів, певне місце посідають завдання з програмованим контролем. Такі завдання дозволяють збільшити інтенсивність самостійної навчальної роботи учнів, зручні для організації фронтальної роботи і колективного обговорення отриманих індивідуальних результатів.
Послідовно працюючи над прищепленням умінь, пов'язаних з контролем і самоконтролем у математичній діяльності учнів, можна домогтися помітних результатів. При цьому зростає загальна математична культура школярів, їх роботи і відповіді стають більш грамотними [23].
4. Всякий контроль передбачає зіставлення, порівняння виконуваної діяльності з якимись зразками або уявленнями про неї. Залежно від того, що береться за зразок, можливі такі види контролю: контроль за кінцевим результатом, покроковий контроль, контроль за відомими умовам або параметрами діяльності.
Контроль за кінцевим результатом. Таким видом контролю є звірка отриманого рішення з наявним відповіддю або звіряння результатів виконання завдання зі зразком такого виконання на дошці або в зошиті товариша. До цього ж виду контролю відноситься звірка рішення задачі з результатом її рішення іншим способом або за допомогою особливих прийомів перевірки. При цьому способі контролю приймається до уваги головним чином результат діяльності, а не її хід або склад.
Покроковий контроль можна здійснювати в тих випадках, коли орієнтовна основа діяльності сформульована у вигляді покрокової програми (алгоритму, евристичної схеми). Такий контроль є кращим, ніж контроль за результатом з точки зору навчального ефекту. Справа в тому, що будь-який контроль, крім прямого ефекту, а саме, встановлення ступеня відповідності виконуваної дії зразком або поданням про нього, має ще й побічний ефект, бо в процесі контролю учень усвідомлює сутність і характер своєї діяльності, що застосовуються при цьому методи і прийоми і тим самим більш свідомо і узагальнено їх засвоює. Природно, що при покроковому контролі цей ефект порівняно більший, ніж при першому виді контролю, бо сама діяльність в цьому випадку постає перед учнем у більш розгорнутому вигляді.
Контроль за відомими умовами або параметрами діяльності.
Прикладом такого контролю є перевірка рішення задачі за її умовами. У геометричних задачах на побудову ця перевірка виділяється навіть в особливий етап рішення: доказ, що побудована фігура задовольняє всім вимогам задачі. Однак більш істотним прикладом такого контролю є контроль за якою-небудь якісному параметру діяльності, наприклад, по наявності в ньому повної орієнтовної основи, по узагальненості, обгрунтованості, усвідомленості тощо [50].
§ 5. Методи контролю
Методи контролю - це способи, за допомогою яких визначається результативність навчально-пізнавальної та інших видів діяльності учнів і педагогічної роботи вчителя. У навчальному процесі в різних поєднаннях використовуються методи усного, письмового, практичного (лабораторного), машинного контролю та інші.
Усне опитування здійснюється в індивідуальній і фронтальній формах.
Мета усного індивідуального контролю - виявлення вчителем знань, умінь і навичок окремих учнів. Учневі пропонується відповісти на загальне питання, який у подальшому розбивається на ряд більш конкретних, уточнюючих. Зазвичай для відповіді учні викликаються до дошки. Додаткові питання при індивідуальному контролі задаються при неповному відповіді, якщо необхідно уточнити деталі, перевірити глибину знань або ж якщо у вчителя виникають коливання при виставленні оцінки.
Усний фронтальний контроль (опитування) вимагає серії логічно пов'язаних між собою питань по невеликому обсязі матеріалу. При фронтальному опитуванні від учнів вчитель чекає коротких, лаконічних відповідей з місця. Зазвичай він застосовується з метою повторення і закріплення навчального матеріалу за короткий проміжок часу. По відношенню до індивідуального опитування фронтальний має свої переваги і недоліки. Переваги в тому, що він активізує роботу всього класу, дозволяє запитати багатьох учнів, економить час. При фронтальному опитуванні всім учням надається можливість брати участь у доповненні, уточненні, підтвердженні, виправленні, але після що відбувся відповіді їхнього товариша. Недоліки ж фронтального опитування очевидні: не перевіряє глибину знань; можливі випадкові вдалі відповіді учнів.
Письмовий контроль рідко буває індивідуальним, коли окремим учням пропонуються контрольні завдання за картками. Зазвичай це фронтальні контрольні роботи.
Фронтальні та індивідуальні роботи можуть бути розраховані на весь урок або його частину. У другому випадку перевірка здійснюється, як правило, після виконання завдання. Письмові роботи можуть пропонуватися також у формі звітів, графічних побудов, карток тощо.
Для контрольних заходів письмового характеру є широкий арсенал дидактичних збірників задач і вправ. Вони використовуються і для індивідуальної перевірки знань, умінь і навичок учнів у випадках, якщо учень пропустив якусь тему, щоб не відривати весь клас від роботи, якщо в учня мовні дефекти (погано говорить) або соромиться відповідати публічно.
Перевірка письмово-графічних робіт має свої якісні особливості: велика об'єктивність у порівнянні з усною перевіркою, охоплення потрібного числа що перевіряються, економія часу. Застосування письмових робіт використовується для:
1) перевірки знання теоретичного матеріалу;
2) вміння застосовувати його до рішення задач;
3) контролю сформованих навичок.
У методиці письмово-графічних робіт виділяють чотири основних етапи, яким треба приділяти увагу, це підготовка, організація, проведення, аналіз результатів.
Практичний контроль застосовується на уроках математики, а також фізики та хімії. У старших класах з цією метою проводяться лабораторні роботи. На уроках математики проводять вимірювальні роботи, на інших уроках перевіряють вміння користуватися приладами типу амперметр, вольтметр, мікрометр і інше. Іншими словами, цей метод контролю необхідний, а, отже, і застосовується, коли треба виявити сформованість тих чи інших умінь і навичок практичної роботи.
За допомогою перевірки практичних робіт отримують дані про вміння учнів застосовувати отримані знання при вирішенні практичних завдань, користуватися різними таблицями, формулами, креслярськими і вимірювальними інструментами, приладами.
Вчитель одержує звіт учня, у якому наводиться тільки результат чи схематично описані план практичної роботи та її результати. Це трохи ускладнює перевірку й оцінку кожної дії учня, тому на практиці в перевірочному завданні наводиться алгоритм його виконання, що дозволяє здійснити таку перевірку правильності дій учня. Всі роботи перевіряються, але оцінюються по-різному: за результатами оглядових робіт оцінки виставляються в журнал, за результатами тренувальних робіт можна виставляти лише позитивні оцінки.
З розвитком інформаційних технологій навчання все ширше використовується машинний контроль. Найбільшого поширення набули різні види програмованого контролю, коли учням пропонується з декількох варіантів можливих відповідей вибрати правильний. Переваги машинного контролю в тому, що машина безстороння. Разом з тим цей метод не виявляє способу отримання результату, утруднень, типових помилок та інших нюансів, які не проходять повз увагу педагога при усному і письмовому контролі.
Для контролю знань учнів використовують персональний комп'ютер. Для контролю знань учнів зручно застосовувати типові розрахунки, які включають найбільш характерні завдання базового курсу математики.
Перерахуємо деякі переваги використання ЕОМ для створення типових розрахунків:
1.Однотіпние завдання друкуються в будь-якій кількості неповторюваних варіантів.
2.Варіанти, створені за допомогою комп'ютерних програм, перевіряються значно швидше, так як ЕОМ може надати відповіді до кожного завдання.
3.Компьютерние типові завдання зручні для відпрацювання необхідних навичок з відстаючими учнями (вчитель не витрачає час на підбір однотипних завдань для відпрацювання певних навичок).
4.Учащіеся з величезним інтересом працюють з такими завданнями, особливо, якщо картка із завданням індивідуальна і учень може працювати в ній.
Поєднання різних методів контролю отримало назву комбінованого або ущільненого контролю. Зазвичай це поєднання усного та письмового опитування. Його сутність полягає в тому, що до дошки для відповіді викликаються відразу кілька учнів, з яких один відповідає усно, двоє або більше готуються до відповіді біля класної дошки, частина учнів виконують письмові завдання за картками, а інші беруть участь в опитуванні. Переваги цього методу в тому, що він дає можливість грунтовної перевірки декількох учнів за невеликий проміжок часу; застосовується, коли весь матеріал засвоєний і є необхідність перевірити знання відразу у декількох учнів ([45], [40]).
Загальне призначення всіх цих методів полягає в тому, щоб найкращим чином провести контроль, разом з тим кожен метод контролю має свої дидактичні можливості для виявлення тих чи інших показників засвоєння навчального матеріалу. Тому, контролюючи результати навчального процесу, необхідно враховувати і переваги, і обмеженість застосування цих методів [47].
§ 6. Форми контролю
Процес контролю знань учнів повинен бути не тільки ефективним, але й цікавим для самого учня. Існує велика різноманітність форм контролю знань. Раніше були виділені попередній, поточний, тематичний і підсумковий контроль.
До попередньому контролю відносять такі форми контролю як самостійна робота, математичний диктант і тестування. Через систему самостійних робіт, домашніх робіт, а також через проведення контрольних робіт здійснюється поточний контроль знань. До тематичного контролю можна віднести тестування, контрольні роботи, заліки та домашні контрольні роботи. Підсумковий контроль можна організувати за допомогою контрольних робіт, заліків та іспитів [22].
Розглянемо докладніше деякі форми контролю знань.
Самостійні роботи
При вивченні математики важливо, щоб учні не тільки знали теоретичний матеріал, але і вміли застосовувати його до рішення задач і вправ, мали б поруч навичок (обчислювальними навичками, вміннями перетворювати вирази і так далі). Ці вміння та навички можуть бути по справжньому перевірені тільки у письмовій роботі. Зазвичай самостійні роботи проводяться після колективного рішення завдань нової теми і передують контрольної роботи з цієї теми [25].
Самостійну діяльність учнів можна і потрібно організовувати на різних рівнях: від відтворення дій за зразком і пізнавання об'єктів шляхом їх порівняння з відомим зразком до складання моделі та алгоритму дій в нестандартних ситуаціях.
Вчителю необхідно враховувати, що при складанні завдань самостійної роботи ступінь складності повинна відповідати навчальним можливостям дітей.
Перехід з одного рівня на інший повинен здійснюватися поступово, тільки коли вчитель буде переконаний, що учень впорається з наступним рівнем самостійності. Інакше в атмосфері поспіху і нервозності у учня виникають прогалини у знаннях.
Дуже важливо, щоб зміст самостійної роботи, форма і час її виконання відповідали основним цілям навчання даній темі на даному етапі.
Залежно від цілей, які ставляться перед самостійними роботами, вони можуть бути: навчальними, тренувальними, що закріплюють, повторювальним, розвиваючими, творчими, контрольними.
Сенс навчальних самостійних робіт полягає у самостійному виконанні школярами даних вчителем завдань в ході пояснення нового матеріалу. Мета таких робіт - розвиток інтересу до досліджуваного матеріалу, привернення уваги кожного учня до того, що пояснює вчитель. У ході з'ясовується незрозуміле, виявляються складні моменти, дають себе знати прогалини в знаннях, які заважають міцно засвоїти досліджуваний матеріал.
До навчальним самостійних робіт можна віднести складання прикладів на досліджувані правила, властивості, самостійне складання алгоритмів, рішення задач за алгоритмом. До тренувальним ставляться завдання на розпізнавання різних об'єктів та їх властивостей. Наприклад: які з даних графіків є графіком статечної функції? Тренувальні самостійні роботи складаються з однотипних завдань, містять істотні ознаки і властивості даного визначення, правила. Така робота мало сприяє розумовому розвитку дітей, але вона необхідна, тому що дозволяє виробити основні вміння та навички і тим самим створити базу для подальшого вивчення математики.
До таких робіт можна віднести виконання завдань з різнорівневими картками. Зараз такі дидактичні матеріали випущені і з алгебри, і з геометрії для всіх класів.
До закріплює можна віднести самостійні роботи, які сприяють розвитку логічного мислення і вимагають комбінованого застосування різних правил і теорем. Вони показують наскільки міцно, осмислено засвоєний навчальний матеріал. За результатами перевірки завдань даного виду вчитель визначає чи потрібно ще займатися даною темою. Приклади таких робіт в достатку зустрічаються в різних дидактичних матеріалах.
Дуже важливі так звані повторювальні (оглядові чи тематичні) роботи. Перед вивченням нової теми вчитель повинен знати, чи підготовлені школярі, чи є у них необхідні знання, які прогалини зможуть утруднити вивчення нового матеріалу.
Самостійними роботами розвивального характеру можуть бути домашні завдання зі складання доповідей на певні теми, підготовка до олімпіад, науково-творчим конференцій, проведення в школі «днів математики», твір математичних ігор, казок, вистав та ін На уроках - це самостійні роботи, що вимагають вміння вирішувати дослідницькі завдання.
Великий інтерес викликають в учнів творчі самостійні роботи, які передбачають високий рівень самостійності. Тут учні відкривають для себе нові сторони вже наявних у них знань, вчаться застосовувати ці знання в нових несподіваних ситуаціях.
Самостійні роботи контрольного характеру є необхідною умовою досягнення запланованих результатів навчання.
По-перше, контрольні завдання мають бути рівноцінними за змістом та обсягом роботи, по-друге, вони повинні бути спрямовані на відпрацювання основних навичок, по-третє, забезпечувати достовірну перевірку рівня навчання; по-четверте, вони повинні стимулювати учнів, дозволяти їм продемонструвати прогрес у своїй спільній підготовці [25].
Контрольні роботи
Контрольна робота є однією з основних найбільш вживаних форм тематичного контролю знань учнів.
Для того щоб контрольна робота, як форма тематичного контролю, була найбільш ефективною, необхідно виконувати такі вимоги:
1. Перед проведенням контрольної роботи необхідно визначити об'єкт контролю, мета майбутньої роботи та засоби контролю. Вони повинні бути повідомлені учням.
2. Залежно від виду завдань потрібно продумати, яким чином учень повинен їх оформити.
3. Вчитель повинен продумати, що він віднесе до недоліків, а що до помилок. З цього буде складатися оцінка. Критерії оцінки хоча б у загальних рисах повинні бути відомі учням.
4. Контрольна робота повинна бути посильною для всіх учнів без винятку. Сильним учням необхідно запропонувати додаткові завдання більш складного характеру.
5. Кожній контрольній роботі повинна передувати самостійна робота з аналогічними вправами.
6. Аналіз контрольної роботи необхідно проводити відразу, для цього необхідно завершувати роботу за кілька хвилин до дзвінка. Бажано фрагменти рішення розібрати одразу після написання роботи, бо наступного дня або пізніше учні вже втрачають інтерес до змісту роботи і багато хто цікавиться тільки оцінкою.
7. Обов'язково потрібно проводити кількісний і якісний аналіз контрольної роботи.
Дані кількісного аналізу зручно представляти у вигляді таблиці (таблиця 1)
Таблиця 1

1	2	3	4					5
Клас	Кількість уч-ся в класі	Кількість учнів, які виконали роботу	Оцінка					Виконані завдання
Клас	Кількість уч-ся в класі	Кількість учнів, які виконали роботу	5	4	3	2	1	1	2	3	4	5

Але дані кількісного аналізу не дозволяють встановити рівень володіння матеріалом конкретного учня.
Таку можливість представляє якісний аналіз. Інформація, яка піддається якісному аналізу, повинна включати дані про виконання кожного завдання запропонованої контрольної роботи кожним учнем класу.
Такі дані можна фіксувати в таблиці (таблиця 2)
Таблиця 2

Прізвище учня	1 завдання
	Види помилок

Іванов А.	+	-	+	-
Петров М.	-	+	-	+

Зміст основної частини таблиці свідчить про основні помилки учнів, допущених при виконанні окремих завдань (- означає, що в завданні немає помилок, а + означає, що в завданні допущена помилка).
Аналіз результатів контрольної роботи може сприяти отриманню висновків про особливості своєї діяльності з організації засвоєння школярами навчального матеріалу.
У поточні письмові контрольні роботи поряд з питаннями даної теми повинні включатися і завдання за раніше вивченим розділам програми. Такі роботи можуть бути побудовані на однорідному матеріалі, але можуть бути і комбінованими, що включають як арифметичні, так і алгебраїчні завдання.
Організація тематичного контролю у формі контрольних робіт дозволяє не тільки здійснювати контролюючу і оценивающую роль перевірки знань учнів, але й сприяє реалізації програмних вимог до рівня знань, умінь і навичок учнів ([27], [43]).
Домашнє завдання
Контроль над засвоєнням вивченого матеріалу зазвичай починається з перевірки домашнього завдання.
Основною метою перевірки виконання домашнього завдання є встановлення усвідомленості учнями змісту завдання, виявлення та роз'яснення недоліків, котрі виникли в знаннях.
Роль домашніх завдань практично знецінюється, якщо не налагоджена їх перевірка. Вчителі практикують різні форми обліку. Це і усне опитування біля дошки або з місця по домашньому завданню, і коротка письмова робота, але, перш за все, - це безпосередня перевірка завдання в зошитах-фронтальна при обході класу на початку уроку і більш грунтовна, вибіркова в позаурочний час.
Розглянемо деякі прийоми перевірки домашнього завдання.
Самоперевірка за зразком застосовується на першому уроці після пояснення нового матеріалу. Зразок рішення домашньої роботи записаний на дошці заздалегідь. Учні розглядають рішення-зразок і усно коментують його, зошити у всіх закриті. Потім хлопці відкривають зошити і перевіряють свої роботи за зразком, підкреслюючи помилки. Цей спосіб розвиває увагу і виявляє помилки за допомогою зразка.
Взаємоперевірка за допомогою зразка використовується на наступному уроці. У цьому випадку учні перевіряють домашню роботу свого сусіда теж за зразком. Як і в першому випадку, остаточно зошити перевіряє вчитель [40].
Математичний диктант
Математичний диктант може замінити опитування за темою, заданої для повторення. Його тривалість звичайно 8-10 хвилин. Він являє собою систему питань, пов'язаних між собою [21].
Текст диктанту може бути написаний на плакаті, спроецирован на дошку за допомогою кодоскопа або проектора, зачитаний вчителем.
Наведемо методику проведення диктанту.
1. Учитель повністю зачитує текст, а учні слухають, не роблячи записів.
2. Учитель читає текст по фразах, роблячи паузи від однієї до двох хвилин, щоб дати учням можливість виконати завдання.
3. Коли всі завдання виконані, вчитель знову читає весь текст з невеликими зупинками (це дає учням можливість щось виправити і зробити доповнення).
Правильні відповіді записуються на дошці. Учні можуть перевірити диктант самостійно у сусіда по парті. У 5-7 класах всі роботи перевіряються вчителем. Цей метод перевірки рідше використовується в старших класах.
Існує ще один різновид диктанту - це математичний диктант з графічною записом відповіді.
За допомогою математичного диктанту можна перевірити в учнів знання формулювань, визначень, властивостей, теорем, формул; вміння і навички їх використання. Ця форма контролю знань і вмінь учнів знімає частину навантаження з інших форм, може застосовуватися в поєднанні з іншими формами контролю [21].
Тестування
Серед форм тематичного контролю знань, умінь і навичок тестовий контроль займає особливе місце. Від інших форм тематичного контролю його відрізняє, перш за все, об'єктивність результатів перевірки: завдяки наявності еталона кожен перевіряючий приходить до одного й того ж результату по перевіреній роботі учнів. Можливість автоматизації перевірки і зменшення часу виконання учнями самих операцій контролю призводить до зниження часу перевірки, що дає можливість збільшити частоту і регулярність контролю [19].
Тест, націлений на перевірку засвоєння конкретної теми, завжди буде більш надійним, ніж тест, спрямований на перевірку всього розділу, що охоплює значну кількість матеріалу - закономірностей, фактів.
Перевага такого тематичного контролю в тому, що одночасно зайняті всі учні і продуктивно працює весь клас, швидко можна перевірити виконані роботи, оцінити можна відразу весь клас, перевіряється теоретичний матеріал, перевіряється великий обсяг матеріалу малими порціями, виставляється об'єктивна оцінка результатів виконаної роботи. Це змушує учнів готуватися до кожного уроку, працювати систематично, чим і вирішується проблема ефективності і необхідної міцності знань.
При складанні тестових завдань рекомендується враховувати вимоги, які пред'являються АСТ (автоматизованою системою тестування). Крім того, при формуванні тестового фонду необхідно дотримуватися таких правил:
· Не можна включати відповіді, неправильність яких на момент тестування не може бути обгрунтована учнями;
· Неправильні відповіді повинні конструюватися на основі типових помилок і повинні бути правдоподібними;
· Правильні відповіді серед всіх передбачуваних відповідей повинні розміщуватися у випадковому порядку;
· Питання (по можливості) не повинні повторювати формулювань навчальних завдань, наведених на класних заняттях;
· Відповіді на одні запитання не повинні бути підказками для відповідей на інші;
· Питання не повинні містити «пасток».
Найбільш поширений в практиці тестування тест з вибором відповіді. Поступово учні звикають до того, що потрібно при виконанні завдання перевірити себе, порівнявши отриманий відповідь із запропонованими для вибору. Потім конструкція завдань набуває звичний для тіста вигляд, і учні без нагадування контролюють своє рішення, тобто тести виконують важливу функцію, привчаючи учнів до самоконтролю.
Наступний вид тестів - тест на встановлення істинності (хибності) затвердження. У ньому пропонується лише дві відповіді для вибору «так», «ні». Цей вид тестів містить велику ймовірність випадкового вибору відповіді. Щоб уникнути вказаного недоліку питання тесту рекомендується дублювати за змістом, змінюючи лише їхню конструкцію. Такі тести перевіряють вміння учнів міркувати, робити висновки, відрізняти вірне міркування від невірного. Перед роботою з ними учнів слід підготувати.
Ще один вид тестів - тест на заповнення пропусків у справжньому затвердження. Такого виду тести допомагають вчителю отримати інформацію про якість формування мовної математичної культури учнів та рівні оволодіння математичним апаратом, тобто цілі перевірки можуть бути і комплексні.
Якщо тестування здійснюється в письмовому вигляді, то лист з тестовими завданнями дається кожному учневі. Тест по одній і тій же темі корисно робити в двох-чотирьох варіантах. Для простоти обробки завдання, розташовані під одним номером, ідентичні за змістом.
Критерії оцінок можуть бути різні, в залежності від тесту і кількості питань ([19], [29], [30]).
Поряд з тестовою формою контролю, на уроках математики можуть застосовуватися різного роду ігри, зокрема, чайнворд, кросворди, криптограми. Вони увійшли в практику навчання порівняно недавно, досвід їх застосування грунтовно не вивчений і не узагальнений, але користь, принесена ними, їх вплив на засвоєння навчального матеріалу абсолютно очевидні і реально відчутні. Зміст, вкладають в ігри, може бути різним. В основному це математична термінологія, не виключені й окремі цифрові дані.
Урок - залік
Однією з форм організації контролю знань, умінь і навичок учнів є урок-залік. Основна мета його полягає в діагностиці рівня засвоєння знань і умінь кожним учнем на певному етапі навчання. Позитивна відмітка за залік виставляється у випадку, якщо учень впорався з усіма завданнями, відповідними рівню обов'язкової підготовки з вивченого предмету. Якщо хоча б одне з таких завдань залишилося невиконаним, то, як правило, позитивна оцінка не виставляється. У цьому випадку залік підлягає перездачі, причому учень може перездати не весь залік цілком, а тільки ті види завдань, з якими він не впорався [32].
Практикуються різні види заліків: поточний і тематичний, залік-практикум, диференційований залік, залік-екстерн і т. д. При їх проведенні використовуються різні форми організації діяльності вчителя та учнів: залік у формі іспиту, рингу, конвеєра, громадського огляду знань, аукціону і тому подібне. Якщо учням заздалегідь повідомляють приблизний перелік завдань, що виносяться на залік, то його заведено називати відкритим, у противному випадку - закритим. Частіше ж перевага віддається відкритим заліків з метою визначення результатів вивчення найбільш важливих тем навчального предмета.
В якості прикладу розглянемо можливі основні етапи підготовки та проведення відкритого тематичного заліку.
Такий залік проводиться як завершальна перевірка в кінці досліджуваної теми. Приступаючи до її викладу, вчитель повідомляє про майбутній заліку, його зміст, особливості організації та строки здачі. Для проведення заліку з числа найбільш підготовлених учнів відбираються консультанти. Вони допомагають розподілити учнів по групах у 3-5 осіб, готують облікові картки для своїх груп, в яких будуть фіксуватися позначки за виконання учнями кожного завдання і підсумкові оцінки за залік. Завдання готуються двох видів: 1) основні, відповідні обов'язкового рівня підготовки учнів; 2) додаткові, виконання яких разом з основними необхідно для одержання гарної або відмінною позначки.
Кожному учневі, крім консультантів, готуються індивідуальні завдання, що включають основні і додаткові запитання та вправи. На початку заліку, як правило, на спареному уроці, учні одержують свої завдання і приступають до їх виконання. У цей час вчитель проводить співбесіду з консультантами. Він перевіряє і оцінює їх знання, а потім ще раз пояснює методику перевірки завдань, особливо основних.
На наступному етапі уроку консультанти приступають до перевірки виконання завдань у своїх групах, а вчитель вибірково з різних груп перевіряє в першу чергу роботи учнів, впоралися з основними завданнями та приступили до виконання додаткових завдань.
У заключній частині уроку завершується оцінка виконання кожного завдання виставленням оцінок в облікові картки. Зібравши облікові картки груп, вчитель на основі виставлених оцінок виводить підсумкову оцінку кожному учневі та підбиває загальні підсумки заліку [32].
Іспити
Іспити діляться на два види: усні (за вибором) та письмові (обов'язкові). Форма проведення іспиту за вибором може бути різною: за квитками, співбесіду, захист реферату, тестування.
Обов'язковий іспит з математики за курс середньої школи у формі ЄДІ увазі рішення

двох головних завдань. З одного боку, перевірку обов'язкового рівня засвоєння випускником повної середньої школи курсу алгебри і початків аналізу і, з іншого боку, - відбір найбільш підготовленої частини учнів для подальшого навчання у вищих навчальних закладах [24].
Навчальні портфоліо
Під навчальним портфоліо розуміється форма і процес організації зразків і продуктів навчально-пізнавальної діяльності учня, а також відповідних інформаційних матеріалів із зовнішніх джерел (від однокласників, вчителів, батьків та інших), призначених для подальшого їх аналізу, всебічної кількісної та якісної оцінки рівня учня і подальшої корекції процесу навчання. Склад навчального портфоліо безпосередньо залежить від конкретних цілей навчання даного предмета [46].
Окремі автори характеризують навчальні портфоліо як
· Колекцію робіт учня, всебічно демонструє докладені зусилля, а також очевидний прогрес у знаннях і уміннях учня в порівнянні з його попередніми результатами;
· Виставку досягнень учня з даного предмету (або кількох предметів) за даний період навчання;
· Форму цілеспрямованої, систематичної і безперервного оцінки та самооцінки навчальних результатів учня;
· Антологію робіт учня, яка передбачає його безпосередню участь у виборі робіт, що подаються на оцінку, а також їх самоаналіз та самооцінку.
Очевидно, що наведені вище пункти далеко не вичерпують складу можливої навчального портфоліо, але вони дають більш-менш уявлення про те, що може бути включено до нього.
Основний сенс навчального портфоліо - показати, продемонструвати все, на що ти здатний. Основне завдання - простежити динаміку навчального прогресу.
Переваги навчального портфоліо в наступному:
· На відміну від традиційного підходу, який розділяє викладання, навчання і оцінювання, навчальний портфоліо органічно інтегрує ці три складові процесу навчання;
· Дозволяє об'єднати кількісну та якісну оцінку здібностей учня за допомогою аналізу різноманітних продуктів навчально-пізнавальної діяльності;
· Заохочується не тільки оцінка, але і самооцінка і взаимооценка учнів;
· Навчальний портфоліо направлено на співпрацю вчителя і учня з метою оцінки досягнень, прикладених зусиль і прогресу в навчанні.
У навчальний портфоліо можуть бути включені такі категорії і найменування продуктів навчально-пізнавальної діяльності: роботи самого учня - як класні самостійні, так і домашні; прикладні математичні проекти (як індивідуальні, так і групові); вирішення складних цікавих завдань з даної теми (на вибір учня); вирішення завдань і вправ з підручника, виконаних самостійно понад навчальної програми; завдання, складені самим учням на цю тему; графічні роботи, виконані по даній темі; описи експериментів та лабораторних робіт, виконаних учням (як індивідуально, так і в малій групі ); варіанти робіт, виконані учням в парах або в процесі взаємонавчання.
До недоліків навчального портфоліо відносять ослаблення її валідності та надійності, розмитість критеріїв оцінки елементів складу портфоліо і трудомісткість процесу їх перевірки і оцінки, високий рівень суб'єктивності оцінки. Саме тому така форма контролю знань, умінь і навичок з математики використовується поки вкрай рідко [46].
Рейтингова система контролю
Проблема об'єктивності оцінювання якості знань учнів можна залагодити, можливе застосування рейтингової системи контролю знань учнів. Використання такої системи ставить перед учителем завдання більш ретельно відбирати і оцінювати завдання, складові основу текстів контрольних і самостійних робіт. При цьому до текстів завдань пред'являється ряд вимог. Вони повинні бути зрозумілі, недвозначні, не абстрактні, «нові» (тобто раніше не розглянуті на практичних заняттях), не дуже прості і складні. Загальне число завдань визначається з розрахунку часу, відведеного на самостійну роботу учнів, для кожного завдання визначається свій «вагу». Можливі такі методи визначення «ваги»:
· Оцінюється смислова значимість завдання навчального матеріалу, тобто найбільший рейтинг присвоюється завданням, перевіряючим наявність обов'язкового рівня знань;
· Враховується відсоток учнів (одного класу), правильно виконали завдання, за формулою p = k / n (K - число учнів, правильно виконали завдання; n - загальне число досліджуваних);
· Враховується число і значущість операцій завдання;
· Оцінюються експертні розрахунки. Експертам (вчителям) пропонується анкета з завданнями, які їм необхідно проранжировать. Після обробки результатів пропонується друга анкета, в якій завдання розташовані за ступенем їх значущості, визначеної експертами. Завдання оцінюються за кількістю очок, потім розраховується «вагу» i-го завдання за формулою:

, Де B _ij - «Вагу», певний j-м експертом i-му завданням, n - число експертів.
Розглянуті методи визначення "ваги" застосовні до будь-якого завданням, що задовольняє перерахованим вище вимогам.
Таким чином, розглянувши теоретичний матеріал з проблеми контролю, можна зробити висновок, що існує велика різноманітність різних видів, форм і методів перевірки знань учнів, які вчитель може застосовувати на уроках математики. Якщо вчитель володіє цим матеріалом, то контроль буде ефективним.
У практичній діяльності вчитель вибираючи методи, форми та види контролю навчальної діяльності учнів, зазвичай керується цілями навчання і його змістом. Таким чином, вибір методів педагогічної діяльності не довільний акт. Він підкоряється ряду закономірностей, серед яких першорядне значення мають цілі та конкретні освітньо-виховні завдання, зміст і принципи, рівень підготовленості класу і його розвиток як колективу, особливості особистості самого педагога.
У другому розділі даної роботи проведемо аналіз змісту програми з математики, підручників з алгебри 5-9 класів на тему «Рівняння». А на підставі теоретичного матеріалу першого розділу і проведеного аналізу дамо методичні особливості контролю знань, умінь і навичок учнів при вивченні лінії рівнянь в основній школі [26].

Глава II. Методичні особливості контролю знань, умінь і навичок учнів при вивченні лінії рівнянь в основній школі
§ 1. Аналіз змісту програми з математики
Матеріал, що вивчається в курсі алгебри 7-9 класу по темі рівняння, досить об'ємний і в обов'язковому порядку входить у іспит. Тому від того, як був проведений контроль знань, умінь і навичок учнів і як засвоєно матеріал, залежить успішність здачі іспиту. Щоб вчителю визначитися з вибором форм перевірки, спочатку необхідно виділити зміст контролю. Відправною точкою учительської роботи є аналіз програми, потім аналіз змісту теми в підручниках і тільки потім, відповідно до них, вибір форм і методів контролю. Про це і піде мова у другому розділі.
Курс алгебри в 7-9 класах характеризується підвищенням теоретичного рівня навчання, поступовим посиленням ролі теоретичних узагальнень і дедуктивних висновків. Прикладна спрямованість курсу забезпечується систематичним зверненням до прикладів, що розкриває можливості застосування математики до вивчення дійсності та вирішення практичних завдань [48].
Метою вивчення цього курсу є розвиток обчислювальних та формально-оперативних алгебраїчних умінь до рівня, що дозволяє впевнено використовувати їх при вирішенні задач математики і суміжних предметів (фізика, хімія, основи інформатики і обчислювальної техніки та інші), засвоєння апарату функцій як основного засобу математичного моделювання, вирішення прикладних завдань, здійснення функціональної підготовки школярів.
У зв'язку з цим програма курсу математики передбачає наступне зміст з вивчення рівнянь в основній школі.
Рівняння з однією змінною. Корені рівняння. Лінійне рівняння. Квадратне рівняння. Формула коренів квадратного рівняння. Рішення раціональних рівнянь.
Система рівнянь. Рішення системи двох лінійних рівнянь з двома змінними. Рішення нелінійних систем. Графічна інтерпретація розв'язання систем рівнянь з двома змінними. Рішення текстових задач методом складання рівнянь.
Числові нерівності та їх властивості. Лінійні нерівності з однією змінною та їх системи. Квадратні нерівності з однією змінною.
Відповідно до програми виділяються наступні вимоги до математичної підготовки учнів:
- Розуміти, що рівняння - це математичний апарат вирішення різноманітних завдань з математики, суміжних галузей знань, практики;
- Правильно вживати терміни «рівняння», «нерівність», «система», «корінь рівняння», «рішення системи», розуміти їх у тексті, у мові вчителя, розуміти формулювання завдання «вирішити рівняння, нерівність, систему»;
- Вирішувати лінійні, квадратні рівняння і найпростіші раціональні рівняння, що зводяться до них, системи рівнянь з двома змінними (лінійні і системи, у яких одне рівняння другого ступеня);
- Вирішувати лінійні нерівності з однією змінною та їх системи, нерівності другого ступеня;
- Розв'язувати текстові задачі за допомогою складання рівнянь.
При організації навчального процесу вчителю слід будувати свою роботу, спираючись на розділ програми «Тематичне планування навчального матеріалу», в якому наводиться конкретне планування, орієнтоване на діючі в даний час підручники математики.
Отже, аналіз програми дозволяє зорієнтуватися в основних вимогах, пропонованих до вивчення лінії рівнянь в основній школі. Наступним етапом, що дозволяє продумати ефективний систематичний контроль, є аналіз змісту тем, пов'язаних з вивченням рівнянь, у шкільних підручниках з алгебри для основної школи.
§ 2. Аналіз викладу тем, пов'язаних з вивченням рівнянь, у шкільних підручниках з алгебри
У підручниках, рекомендованих Міністерством освіти і науки Російської Федерації до використання в освітньому процесі в загальноосвітніх закладах на 2007/2008 навчальний рік, існують різні підходи до вивчення рівнянь. Для порівняння розглянемо такі підручники.
1. [1], [2], [3].
2. [33], [34].
3. [35], [36], [37], [38].
4. [4], [5], [6].
5. [13], [14], [15].
6. [9], [10], [39].
У таблиці 3 (Додаток 1) представлений порівняльний аналіз змісту та послідовності вивчення теми «Рівняння» за даними підручниками. З даної таблиці видно, що зміст даної теми викладено по-різному. Відмінність спостерігається і в порядку проходження тим, і за місцем у навчальному процесі, і за обсягами викладеного матеріалу, його складності і значущості, і за системою завдань.
Аналіз підручників для класів загальноосвітніх установ
Відзначимо, що в підручниках [1], [2], [3] тема «Рівняння» слідує за темою «Алгебраїчні вирази» і вивчається на початку навчального року. Поняття рівняння вводиться в 7-му класі через сюжетну завдання, як рівність, що містить невідоме число, позначене літерою. Далі дано визначення кореня рівняння, як значення невідомого, при якому рівняння звертається у вірне рівність, і на прикладах показано, що кількість коренів може бути різним. Так само вводиться поняття вирішити рівняння (знайти всі його корені або встановити, що їх немає), на інтуїтивному рівні впроваджується поняття лінійного рівняння, так як воно не отримує явного визначення, а замінюється описом і ілюстрацією кількома прикладами.
Далі, в темі «Рішення рівнянь з одним невідомим, що зводяться до лінійних», вводяться властивості рівнянь (про перенесення членів рівняння і множенні їх на одне і те ж, нерівне нулю число), і тим самим учням обгрунтовується відомий з курсу математики V-VI класів спосіб вирішення рівнянь, багато часу приділяється викладу правил послідовного перетворення рівняння.
Для закріплення даної теми наводяться завдання:
1) на оперування основними поняттями;
2) на оволодіння алгоритмом рішення рівнянь даного класу;
3) на застосування рівнянь до розв'язання текстових задач.
Більш глибоко дана тема викладена в підручнику [2]. Система вправ включає не тільки завдання на відпрацювання типових умінь, а й завдання підвищеної складності (задачі на доведення, на складання програм для обчислення значення виразу, системи рівнянь з двома невідомими, де одне з рівнянь третього ступеня, текстові задачі на рух, завдання Маклорена) . У даному курсі вивчаються квадратні рівняння, неповні квадратні рівняння, рівняння виду

, де > , Наведені квадратні рівняння, формули для знаходження коренів даних рівнянь, теорема Вієта і зворотна теорема. Це єдиний підручник, в якому детально вивчена тема «Комплексні числа» та їх зв'язок з рівняннями - «Квадратне рівняння з комплексними невідомими».
У підручнику [3] є декілька вправ на рішення ірраціональних рівнянь. Для вирішення таких рівнянь використовується метод зведення в квадрат і координатний метод. У розділі «Елементи тригонометрії» наведені вправи на рішення тригонометричних рівнянь.
Зауважимо, що у вправи для повторення включений окремий пункт, до якого входять вправи на рішення різних видів рівнянь і їх систем, завдання на складання рівнянь. Примітно те, що більш важкі завдання з теми «Рівняння» знайшли своє відображення в розділі «Завдання для позакласної роботи».
У підручниках [33], [34] поняття рівняння, на відміну від підручників [1], [2], [3], вводиться вже в 5-му класі в розділі «Натуральні числа», хоча і також через сюжетну завдання. Визначення рівняння, його кореня і рішення аналогічно визначенню, даному в підручнику [1]. Однак знаходження невідомого базується не на основі використання основних властивостей, а за допомогою правил знаходження невідомого доданка, зменшуваного, від'ємника, множника, діленого і дільника, з використанням переместительное, сочетательно і розподільного законів. У 5-му класі учні набувають навички розв'язання рівнянь в основному при вирішенні текстових завдань (безпосередньо саме рішення задач, складання завдань за рівнянням, визначення значення виразу), таким чином, учні ще й логічно мислять, міркують, аналізують.
Підручник [34], по суті, є продовженням підручника [33], так як з темою рівняння учні стикаються тільки при безпосередньому вирішенні самих рівнянь і текстових задач. Єдина відмінність полягає в наступному: учні при вирішенні рівнянь використовують операцію розкриття дужок і приведення подібних доданків, що базується на законах, відомих з курсу 5-ого класу. І лише після закінчення курсу 6-ого класу на підставі вже вивченого раніше вводяться дві властивості рішення рівнянь, які в підручниках [1], [2], [3] мають місце в 7-му класі.
У підручниках [35], [36], [37], [38] поняття рівняння вводиться вперше в 6-му класі також через сюжетну завдання. Правила рішень аналогічні правилам, даними в підручниках [33], [34]. Однак зауважимо, що визначення поняття вирішити рівняння і визначення поняття корінь не дано, як, втім, не сказано про те, скільки взагалі коренів може мати рівняння. Дані поняття вводяться лише в підручнику [36].
Подальше вивчення теми «Рівняння» триває в курсі алгебри 7-ого класу. Примітно, що так само як і в підручниках [33], [34], учні набувають навичок рішення рівнянь в основному при складанні та вирішенні текстових завдань. Проте варто відзначити те, що матеріал з даної теми не є циклічним - весь необхідний матеріал вивчається окремими блоками, а блоки структуровані за складністю (від простих рівнянь до складніших).
Система завдань у підручниках [35], [36], [37], [38] значно ширше, крім завдань на оперування основними поняттями та завдань на оволодіння алгоритмом рішення рівнянь при вирішенні текстових завдань (причому не тільки алгебраїчним методом, але і арифметичним) , вона включає ще і вправи в читанні і запису алгебраїчних вправ, вправи на тлумачення алгебраїчних виразів для різних умов завдання, вправи на складання алгебраїчних виразів і завдань з готовим виразами, крім того, присутні завдання тестового характеру. Завдання підвищеної складності винесені в пункти під назвою «Для тих, кому цікаво». Способи вирішення рівнянь аналогічні способам, даними в підручниках інших авторів.
Примітно те, що при вирішенні рівнянь учні можуть користуватися не тільки основними властивостями, але й методами, які використовуються в підручниках [11], [12].
У 8-му класі учні вирішують квадратні рівняння (у тому числі неповні і наведені рівняння), користуючись прийомом виділення квадрата двочлена, методом заміни змінної, методом розкладання на множники, теоремою Вієта. Система завдань з теми «Квадратні рівняння» включає різноманітні завдання: завдання на оперування основними поняттями, завдання на складання рівнянь, завдання на заповнення пропусків у рівнянні та інші.
Примітно, що в підручнику [37] знаходить відображення формула знаходження коренів квадратного рівняння з парних другий коефіцієнтом (1) і формула знаходження коренів наведеного квадратного рівняння (2):

(1)

(2)
Далі учні закріплюють навички розв'язання рівнянь при вирішенні різних систем рівнянь і задач.
У курс 9-ого класу учні вирішують рівняння з модулем, цілі, раціональні, ірраціональні, дробові рівняння, рівняння з параметром, завдання на складання рівнянь, системи рівнянь з двома змінними. Відзначимо, що в підручнику [38] для знаходження кореня рівняння використовується графічне дослідження рівнянь.
Таким чином, в навчальному посібнику [38] охоплений більш широкий клас рівнянь, ніж у підручниках інших авторів, а в розділ «Повторення» включені всі види рівнянь, вивчених раніше, а також системи рівнянь другого ступеня.
У підручниках [4], [5], [6] перед введенням рівнянь з однією змінною вивчаються спочатку вирази та їх перетворення. Поняття рівняння з однією змінною вводиться через сюжетну завдання в 7-му класі. Далі дано визначення кореня рівняння: «Коренем рівняння називається значення змінної, при якому рівняння звертається у вірне рівність» [[4], 23с.]; На прикладах показано, що кількість коренів може бути різним. Так само вводиться поняття «вирішити рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає» [[4], 24с.] І рівносильні рівняння. Далі розглядаються лінійні рівняння з однією змінною.
Відзначимо, що система завдань включає однотипні вправи на рішення рівнянь, майже всі вони обов'язкового рівня. Проте, пункт «Додаткові вправи» містить різноманітні завдання підвищеного рівня, а, загалом, весь курс алгебри 7-ого класу пронизаний рівняннями різного ступеня складності.
Відзначимо також, що в підручнику [4] курс алгебри 7-ого класу починається і закінчується темою рівняння. У кінці навчального року в розділі «Системи лінійних рівнянь» вводиться визначення лінійного рівняння з двома змінними та його рішення. Система завдань у цьому розділі включає вправи різного ступеня складності на рішення рівнянь і їх систем різними способами.
У пункт «Завдання підвищеної труднощі» включені параметричні рівняння, рівняння з модулем, цілочисельні рівняння, а також завдання на складання систем рівнянь і їх рішення.
У підручнику [5] в розділі «Квадратні корені» вивчаються рівняння виду

, Пізніше вводиться визначення квадратного рівняння, формула коренів квадратного рівняння, теорема Вієта. Система завдань включає вправи на рішення квадратних, раціональних, дробово-раціональних та інших видів рівнянь різними методами, а також вправи на вирішення завдань за допомогою системи рівнянь. Відзначимо, що в підручнику [5] є глава «Додаткові вправи», в яку включений дуже широкий клас завдань різного ступеня складності на розв'язання рівнянь.
У підручнику [6] рівняння вивчаються в окремому розділі, в яку включені цілі рівняння, біквадратні, ірраціональні рівняння, системи рівнянь з двома змінними та системи рівнянь другого ступеня, а також завдання на складання систем рівнянь. Система завдань, також як і в підручнику [5], включає вправи різного ступеня складності, в тому числі, і завдання підвищеної складності.
У підручниках [13], [14], [15] закладено проблемний виклад матеріалу, розвивальне навчання та діалектичний підхід до введення математичних понять.
Поняття рівняння розглядається в 7-му класі в якості математичної моделі. Саме рішення рівнянь, тобто знаходження коренів, відбувається посредствам застосування формул скороченого множення, способу угруповання, розкладання на множники та інше.
У підручнику [13] розглядається лінійне рівняння, причому, крім визначення поняття рівняння з однією змінною (аналогічно визначенню, даному в підручниках [1], [2]), вводиться визначення поняття рівняння з двома змінними та його рішення, а також теорема про графік лінійного рівняння. Підсумком вивчення рівнянь в 7-му класі є розгляд теми «Графічне рішення рівнянь» і теми «Системи двох лінійних рівнянь з двома змінними».
У підручнику [14] завдання на дану тему стають складніше: це рішення раціональних і ірраціональних рівнянь, квадратних (повних, неповних, наведених, неприведення) і біквадратних рівнянь, рівнянь з параметрами та інші, хоча методи рішення рівнянь аналогічні методам, даними в підручниках [ 36], [37], [38].
Відзначимо також, що дані, які потрібно запам'ятати, наприклад, алгоритми вирішення конкретного класу рівнянь, виділені курсивом.
Система завдань включає в себе різноманітні завдання - від примітивних завдань до завдань підвищеної складності. Така різноманітність завдань забезпечив наявність задачника до даного підручника.
У курс 9-ого класу учні знайомляться з поняттям раціонального рівняння з двома змінними і поняттям рішення такого рівняння, отримують уявлення про рівносильні перетвореннях. Виходячи з цього, система завдань містить різні види вправ на рішення раціональних рівнянь з двома невідомими і їх систем, а також вправи на застосування даних рівнянь при вирішенні текстових завдань.
Зауважимо, що в кінці курсу 9-ого класу учні також вирішують найпростіші тригонометричні рівняння.
У підручниках [9], [10], [39] визначення поняття рівняння вводиться на інтуїтивному рівні (через приклад) в 6-му класі в главі раціональні числа. Визначення поняття кореня і рішення рівняння аналогічно визначень, даним іншими авторами. Далі наведена примітивна система завдань, де в основному присутні вправи на рішення за зразком і вправи на складання рівнянь при вирішенні текстових завдань.
Далі, в підручнику [10] також на інтуїтивному рівні вводиться визначення поняття рівняння першого ступеня з одним невідомим. Зауважимо, що у визначенні поняття вирішити рівняння не обмовляється той факт, що коріння може і не бути. Визначення поняття лінійного рівняння наступне: «Лінійним рівнянням з одним невідомим називають рівняння, ліва і права частини якого є многочлени першого ступеня відносно х або числа». Крім того, автор виділяє ще одна властивість, необхідне при вирішенні рівнянь, - приведення подібних членів, яке в підручниках інших авторів є методом вирішення лінійних рівнянь. Далі учні вирішують найпростіші лінійні рівняння з одним невідомим, текстові задачі на складання рівнянь, системи лінійних рівнянь з двома невідомими і завдання на складання даних систем. Зауважимо, що автор включає в систему завдань по темі «Рівняння» однорідні Діофантові рівняння і пропонує більш простий спосіб вирішення систем рівнянь - метод Гаусса.
У 8-му класі учні набувають навички розв'язання квадратних (неповних, загального вигляду, наведених) і раціональних рівнянь (біквадратних; «розпадаються»; рівняння, одна частина якого алгебраїчна дріб, а інша - нуль) і застосовують отримані знання при вирішенні завдань. Крім даних рівнянь вивчають комплексні рівняння, рівняння прямої та кола. В кінці курсу 8-ого класу учні вирішують системи раціональних рівнянь першого та другого ступеня, причому, з трьома невідомими, а також вирішують завдання, складаючи системи рівнянь. Відзначимо, що в якості способу вирішення систем рівнянь активно використовується графічний метод.
У курс 9-ого класу включені лише вправи на рішення різних видів рівнянь, ніяких нових відомостей про лінію рівнянь учні не отримують.
Таким чином, матеріал у підручниках [9], [10], [39] розташований так, що окремі теми програми вивчаються один раз і в повному обсязі, щоб потім до них не повертатися в теоретичній частині підручника. Подальше закріплення і повторення, а іноді і розвиток вивченого ведеться через лінію вправ. Виклад матеріалу зв'язне - підряд викладаються великі теми, немає дрібних питань, що порушують логіку викладу тем. Основний методичний принцип, покладений в основу викладу теоретичного матеріалу та організації системи вправ, полягає в тому, що учень за один раз повинен долати не більше однієї труднощі. Тому кожне нове поняття формується, кожне нове вміння відпрацьовується спочатку по окремості, потім труднощі поєднуються. Складність завдань в кожному пункті наростає лінійно. Вправи побудовані за наростання складності і не перебиваються вправами на інші теми. Важливу роль у формуванні початкових уявлень про зародження і розвиток науки відіграють історичні відомості, які завершують кожен розділ підручника. Підручники [9], [10], [39] націлені на підвищений рівень математичної підготовки учнів, але їх можна використовувати у класах із звичайною програмою з математики.
Аналіз підручників для класів з поглибленим вивченням математики
Проаналізуємо підручники [7], [8], [16], [17], [11], [12], так як дані підручники призначені для класів з поглибленим вивченням математики і в них описані інші підходи до вивчення матеріалу та значно розширено зміст .
У підручнику [7] містяться 18 параграфів, які охоплюють усі основні теми загальноосвітнього курсу алгебри у 7-му класі, і ряд додаткових питань. Підручник дає можливість досить докладно розглянути теоретичні питання і запропонувати учням широке коло вправ, різних за рівнем складності. Що стосується конкретного матеріалу з теми «Рівняння», то він досить об'ємний і містить вправи різного ступеня складності. У даному курсі вивчаються рівняння з однією змінною та його коріння, рівносильні рівняння, лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до лінійних, рівняння з модулем і завдання на складання рівнянь.
Далі, після вивчення розділів «Розкладання многочленів на множники» і «Формули скороченого множення», продовжується вивчення лінії рівнянь (незважаючи на те, що вправи на рішення рівнянь різного ступеня складності в цих розділах також присутні) у розділі «Системи лінійних рівнянь». У цьому розділі для вирішення пропонуються вправи на рішення рівнянь з двома змінними в цілих числах, на рішення систем рівнянь різними способами (у тому числі системи рівнянь з трьома змінними) та завдання на складання рівнянь.
У підручнику [8] на відміну від підручника [7] тема «Рівняння» викладена в окремому розділі «Квадратні рівняння», яка вивчається в кінці курсу 8-ого класу. У даній главі також як і в підручниках для класів загальноосвітніх установ викладено теоретичний матеріал про квадратних рівняннях та його корінні, про рішення дробово-раціональних рівнянь. Проте виклад досить грунтовно і представлений великий набір різноманітних за тематикою та рівнем складності вправ (наприклад, вправи на рішення параметричних рівнянь, рівнянь з модулем, на застосування зворотної теореми Вієта, вправи на доказ).
Відзначимо, що в тему «Квадратні рівняння» додатково включено питання про вирази, симетричних щодо коренів квадратного рівняння.
Підручник [16] відрізняється, перш за все, більш поглибленим вивченням відповідних питань курсу (вилучені занадто прості приклади і міркування, додані більш складні і цікаві приклади). Матеріал з теми дослідження написаний у руслі тієї концепції, яка використана в підручнику [14], з дотриманням практично того ж порядку проходження параграфів, але з природним розширенням матеріалу. За змісту відразу можна виділити додатковий матеріал: алгоритм добування квадратного кореня, рівняння вищих ступенів, рівняння з модулями і параметрами. Система завдань, також як у підручнику [8], різноманітна за змістом і рівнем складності.
Підручник [17] є продовженням підручника [16] і написаний на базі підручника [15]. Єдина відмінність полягає у включенні в курс додаткового матеріалу з теми дослідження: задачі з параметрами, спеціальні методи розв'язання систем рівнянь (включаючи системи з трьома, чотирма змінними), однорідні, ірраціональні, симметрические системи, системи з модулями. Відповідно і система завдань значно ширше.
У підручник [11] включені вправи на рішення дрібно-раціональних і кубічних рівнянь, невизначених рівнянь першого ступеня, використовується метод розкладання на множники, формули скороченого множення, метод виділення повного квадрата, основна властивість пропорції, найбільший загальний дільник коефіцієнтів і так далі. Система завдань включає рівняння вищого порядку, оскільки учні при виконанні завдань можуть користуватися теоремою про поділ многочлена на многочлен із залишком, теоремою Безу про коріння многочлена, теоремою про симетричних многочленів від двох змінних. Відповідно і система завдань більш складна і трудомістка. Незважаючи на те, що рівняння різного ступеня складності включені в кожну тему, розглянуту в даному підручнику, вони знаходять своє відображення в окремому розділі «Квадратні рівняння. Системи нелінійних рівнянь ». У цьому розділі вводиться визначення поняття квадратного і наведеного рівняння, коренів рівняння, формула знаходження коренів через дискримінант і по теоремі Вієта (у тому числі і для многочленів вищих ступенів). Відзначимо, що система завдань включає вправи на складання рівнянь за відомим коріння і їх кратності, вправи на рішення рівнянь з параметрами, вправи на доказ, вправи на знаходження суми, твори, різниці коренів рівняння, не вирішуючи дане рівняння, на визначення знака коренів, завдання на складання рівнянь.
Відзначимо, що в курсі алгебри 8-ого класу учні вчаться вирішувати поворотні і однорідні рівняння, симметрические системи рівнянь і системи рівнянь з параметрами та модулем. Крім методів, відомих з курсу алгебри загальноосвітньої школи, учні при вирішенні рівнянь часто вдаються до використання графічного методу рішення рівнянь.
У підручнику [12] в систему завдань включені ірраціональні, показникові рівняння, в тому числі з модулем. Досить багато вправ на рішення рівнянь включено в розділ «Елементи теорії множин», але також є глава, в якій знаходить своє відображення матеріал на тему «Рівняння» - «Рівняння, нерівності та їх системи». Зауважимо, що в даній главі, на функціональному рівні дані загальне визначення рівняння з однією змінною та його кореня, визначення цілого раціонального рівняння і методи рішення таких рівнянь (розкладання на множники, введення нової змінної і інші), визначення дробово-раціонального рівняння, визначення рівносильних рівнянь. Також як і в курсі алгебри загальноосвітньої школи вводяться слідства з рівнянь.
Система завдань досить добре структурована, містить багато вправ на вирішення всіх вивчених видів рівнянь різного ступеня складності.
Ця глава є підсумковою при вивченні рівнянь у курсі алгебри, тому що включає в себе всі види рівнянь, вивчених не тільки в курс 9-ого класу, але і рівняння, що раніше розглядалися.
Таким чином, аналіз програми і шкільних підручників дозволяє виділити 3 основні блоки навчального матеріалу по темі «Рівняння» - теоретичний, практичний та прикладною. Теоретичний блок включає в себе: визначення рівняння, корінь рівняння, рішення рівняння і системи та інше. Практичний блок складається з вміння вирішувати лінійні, квадратні, раціональні рівняння, що зводяться до них, системи рівнянь різними методами. Прикладної блок складають такі завдання: рішення нерівностей та їх систем, побудова графіків, розв'язування текстових задач та інше. Під прикладними вміннями в контексті нашого дослідження ми розуміємо вміння розв'язувати задачі, в яких рівняння виступають як засіб вирішення.
§ 3. Методичні рекомендації щодо здійснення контролю при вивченні лінії рівнянь в основній школі
На основі проведеного аналізу змісту програми з математики, аналізу викладу тем, пов'язаних з вивченням рівнянь, у шкільних підручниках з алгебри, можна зробити наступний висновок: для успішної перевірки знань, умінь, навичок учнів можна виділити три основні блоки, які підлягають контролю, - теоретичний, практичний, прикладний. У відповідності до виділених в попередньому параграфі блоками навчального матеріалу по темі «Рівняння», а також розглянутими у першому розділі основними формами контролю дамо деякі методичні рекомендації щодо здійснення перевірки знань, умінь і навичок учнів при вивченні рівнянь в основній школі.
Теоретичний блок
Перевіряти слід ті знання, які є провідними в даному курсі або відносно важко засвоюються учнями, або, які необхідні для успішного засвоєння подальших розділів і тем курсу. На контроль теоретичних знань впливає вид перевірки: для уточнення змісту матеріалу при поточній перевірці необхідний аналіз зв'язків досліджуваного матеріалу з раніше пройденим, а для тематичної і підсумкової перевірки - виділення провідних знань і способів оперування ними. Як відомо, практики без теорії не буває.
Теоретичні знання можуть бути перевірені за допомогою тесту на заповнення пропусків у справжньому затвердження (глава I § 6 с. 29). Наведемо приклад такого тесту перевірки теоретичного матеріалу по темі «Квадратні рівняння» за підручником [5], при якій перевіряються наступні знання: визначення квадратного рівняння і його кореня, неповного квадратного рівняння, дискримінант і кількість коріння квадратного рівняння в залежності від знаку дискриминанта, теорема Вієта (Додаток 2).
Тести можуть складатися з комбінації завдань з вибором відповіді, на заповнення пропусків і встановлення відповідності. Наведемо приклад таких тестів (Додаток 3).
Тест № 1 є діагностують, спрямований на попередження неуспішності, пов'язаної з наявністю прогалин, що перешкоджають успішному засвоєнню нової інформації. Перед вивченням теми «Системи рівнянь» вчитель повинен бути впевнений, що його учні володіють базовими знаннями, наприклад, по темі «Квадратні рівняння".
Тест № 2 проводиться, як правило, після вивчення нового матеріалу, але перед вирішенням основних, типових завдань на застосування отриманих знань. Основною метою цього тестування є закріплення і перевірка навиків складання і рішення системи рівнянь за умовою завдань різної ситуації, виявлення прогалин у знаннях з теми «Системи рівнянь». В якості прикладу розглянемо тест № 2 (Додаток 3) за підручником [15], контролюючий ступінь засвоєння теми «Системи рівнянь» [18].
Тест № 3 призначений для заключного контролю після того, як уже проведені уроки за рішенням завдань на застосування нових знань. У тест включені питання для визначення глибини засвоєння матеріалу, а не для його простого репродуктивного відтворення. Розглянемо як приклад тест № 3 (Додаток 3), систематизуються знання та вміння з теми «Системи рівнянь» [42].
Тест № 4 включає в себе завдання підвищеної складності за темою «Рівняння». Даний тест можна запропонувати відмінникам на підсумковому уроці після проведення контрольної роботи на час проведення аналізу контрольних робіт з іншими учнями [18].
У силу специфіки математичних диктантів (глава I § 6 с. 27) (сприймаються на слух питання, лаконічні відповіді) їхні педагогічні можливості обмежені. З їх допомогою, як правило, можна перевірити, чи опанували учні обов'язковий мінімум знань, але не можна організувати поглиблену перевірку. Тому помилкою було б протиставляти диктанти інших форм контролю, наприклад, самостійних робіт. Одне й те саме завдання, в принципі, може бути і в диктанті, і в самостійній роботі. Але ці завдання будуть мати різну дидактичну функцію. У самостійній роботі від учня вимагається фіксування ходу роботи, що робить підконтрольним пошук результату. У математичному диктанті контроль може вестися лише за кінцевим результатом. Не по-якої теми можна і потрібно проводити математичний диктант. Розглянемо приклад математичного диктанту для 9-ого класу за темою «Рівняння» (Додаток 4).

Практичний блок
Загальні вміння, виділені в попередньому параграфі, відпрацьовуються на уроках алгебри і при самостійному виконанні домашніх завдань. Традиційно організувати перевірку можна за допомогою домашніх контрольних робіт, самостійних робіт і контрольних робіт. Теоретичні знання і практичні вміння учнів можуть бути перевірені в ході підсумкового контролю у формі іспиту. Ефективною формою тематичного контролю знань, умінь, навичок учнів є урок-залік, в ході якого можуть бути перевірені теоретичні знання та практичні вміння.
Домашня контрольна робота носить навчальний характер. Наведемо приклад домашньої контрольної роботи для 9-ого класу до підручника [6] за темою «Рішення квадратних рівнянь різними способами» за підручником [28] (Додаток 5).
Самостійні роботи (глава I § 6 с. 22) носять навчальний характер. Вони представлені в двох варіантах. У кожній роботі представлені два блоки завдань. Перший блок, розташований над рисою, складається зі стандартних тренувальних вправ. Другий блок, розташований під рискою, складається із завдань, ускладнених в порівнянні із завданнями першого блоку в алгоритмічній або логічному плані і сприяють розвитку учнів. Розглянемо приклад самостійної роботи «Рівняння і системи рівнянь» для 9-ого класу (Додаток 6), яка може бути використана, коли викладання ведеться за підручником [6].
Контрольна робота (глава I § 6 с. 24) одна з найбільш вживаних форм тематичного контролю знань учнів. Організація тематичного контролю у формі контрольних робіт дозволяє не тільки здійснювати контролюючу і оценивающую роль перевірки знань учнів, але й сприяє реалізації програмних вимог до рівня знань, умінь і навичок учнів. Розглянемо приклад контрольної роботи за темою «Системи рівнянь» для учнів 9-ого класу (Додаток 7), яка може бути використана, коли викладання ведеться за підручником [15]. У варіант включені завдання, що відповідають рівню обов'язкової підготовки, і одне завдання підвищеної складності [28].
Прикладної блок
Даний блок включає в себе прикладні уміння (знаходження невідомого функції, при якому вона приймає конкретне значення, рішення нерівностей та інше). Рівняння стає не метою, а засобом, що допомагає вирішити нерівність, систему нерівностей. Мова йде про використання рівнянь при вирішенні нерівностей та їх систем. За допомогою рівнянь можна знайти точки перетину з віссю Про x, побудувати графік, скласти завдання. У Додатку 8 наведемо приклад застосування рівнянь при вивченні теми «Рівняння» та інших тем курсу у формі ЄДІ (глава I § 6 с.31) [24] .
Для опрацювання і перевірки рівня досягнутих знань за курсом рішення рівнянь різного виду можна використовувати розвиваючу самостійну роботу (глава I § 6 с.25) [28]. Приклад самостійної роботи наведено у Додатку 9.
Отже, перевірка знань, умінь і навичок учнів - це складова частина навчального процесу, спрямована на об'єктивний аналіз ходу вивчення та засвоєння учнями програмного матеріалу, посилення відповідальності школярів за якість самостійної роботи. Для того, щоб учні успішно засвоювали навчальний матеріал, усували прогалини у своїх знаннях, необхідно мати повну інформацію про ефективність їх роботи. Щоб визначити зміст контролю, спочатку виділяються його об'єкти (тобто вказується те, що контролюється після вивчення матеріалу), а потім встановлюється, за допомогою яких форм перевірки можна це зробити. З точки зору мети навчання до таких об'єктів в курсі алгебри 7-9 класів при вивченні лінії рівнянь можна віднести: теоретичні знання, прикладні знання. Особлива увага приділяється розробці змісту контролю знань учнів. Зміст обумовлено дидактичними цілями і завданнями, що стоять при вивченні теми, розділу або всієї навчальної дисципліни в цілому, і змінюється в залежності від місця контролю в навчальному процесі [47].

§ 4. Дослідне викладання
Дослідне викладання здійснювалося в МОУ ЗОШ ім. С. С. Ракітін р. Мураши. В якості основної експериментальної бази був вибраний 7 ^а клас, в якому було проведено спарений урок по темі «Лінійні рівняння з двома змінними». В якості контролю з даної теми була проведена самостійна робота. Аналіз даної самостійної роботи, її якісні і кількісні характеристики показують, наскільки ефективним був контроль знань, здійснюваний учителем на попередніх етапах навчання.
Приклад уроку наведено далі. Так само у вигляді плану в додатку 10 наведені уроки з теми «Системи рівнянь» на базі підручника [15]. Дані уроки в даний час використовуються вчителями математики в МОУ СЗШ ІМ. С. С. Ракітін р. Мураши.
Тема уроку: лінійні рівняння з двома змінними.
Тип уроку: урок введення нового матеріалу, урок первинного закріплення.
Цілі:
1) загальнодидактична мета: створити учням умови для отримання та осмислення нових знань, вироблення умінь і навичок застосовувати знання при вирішенні завдань.
Триєдина дидактична мета:
1) освітній аспект: створення умов для перевірки знань учнів з даної теми, виявлення наявних прогалин та організації роботи з їх ліквідації;
2) розвиваючий аспект: створення умов для розвитку практичного мислення при використанні математичних знань, уваги, пам'яті, логічного мислення, комунікативних умінь;
3) виховний аспект: створення умов для вироблення в учнів правильної самооцінки рівня своїх знань, створення умов для виховання уваги, спостережливості, зосередженості, акуратності ведення записів у зошиті.
Підручник [4]
Урок
I. Організаційне початок уроку.
- Здрастуйте, сідайте.
II. Повідомлення теми і мети.
- Сьогодні на уроці ми познайомимося з рівняннями нового виду - «Лінійними рівняннями з двома змінними».
III. Актуалізація знань учнів.
- Подивіться на дошку. Які з цих рівнянь вам вже знайомі?

- А як називаються ці рівняння?
- Правильно, це лінійні рівняння з однією змінною.
- А хто скаже визначення лінійного рівняння з однією змінною?
- Рівняння виду

, В якому x - змінна, а а і b - деякі числа, називається лінійним рівнянням з однією змінною.
- Наведіть приклади лінійних рівнянь з однією змінною.
- Подивіться на дошку, перед вами лінійні рівняння. Давайте згадаємо, як вони вирішуються.
1)

- Відкрийте зошити, запишіть число, класна робота, тема: «Лінійні рівняння з двома змінними».
- Усе вирішують рівняння в зошитах, а ... ... .. піде до дошки і вирішить з докладним поясненням перше рівняння:

.
(Перенесемо доданок без х в праву частину рівняння, змінивши при цьому його знак на протилежний

, Обчислимо результат

. Розділимо обидві частини рівняння на 2, отримаємо х = 2).
- Молодець. Сідай.
- Друге рівняння піде вирішувати ... ....
(Розкриємо дужки: для цього помножимо на 2 кожний доданок суми

, Отримаємо

. Перенесемо складові, які містять х у ліву частину рівняння, а не містять х - на праву частину, змінивши при цьому знаки на протилежні

. Наведемо подібні доданки:

).
- Хлопці, такі рівняння ви добре вмієте вирішувати, а які властивості ви застосовували при вирішенні цих рівнянь? (Якщо в рівнянні доданок перенести з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то вийде рівняння, рівносильне даному).
- А яке ще властивість ви застосовували?
(Якщо розділити або помножити обидві частини рівняння на одне і теж відмінне від нуля число, то вийде рівняння рівносильне даному).
IV. Вивчення нового матеріалу.
- Хлопці, а сьогодні ми познайомимося з рівняннями нового виду.
- Нехай відомо, що одне з двох чисел на 5 більше іншого. Якщо перше число позначити буквою х, а друге літерою у, то співвідношення між ними можна записати у вигляді рівності

, Що містить 2 змінні. Такі рівняння називаються рівняннями з двома змінними або рівняннями з двома невідомими.
- Рівняння з двома змінними також є рівняння:

(Запис на дошці).
- З цих рівнянь перші два мають вигляд

, Де а, b, с - числа. Такі рівняння називаються лінійними рівняннями з двома змінними. - Отже, що ж називається лінійним рівнянням з двома змінними? Спробуйте сформулювати визначення (формулюють)
- Отже, лінійним рівнянням з двома змінними називається рівняння виду

, Де х і у - змінні, а, b, с, - деякі числа.
- Відкрийте підручники на сторінці 174. Прочитайте визначення про себе.
- Тепер прочитайте вголос.
- Повтори,
- Розглянемо рівняння

. При х = 8, у = 3 воно звертається в правильне рівність 8-3 = 5. Кажуть, що пара значень змінних x = 8, у = 3 є вирішенням цього рівняння. Записую на дошці: х-у = 5, х = 8, у = 3 8-3 = 5 - вірне рівність. Отже, х = 8, у = 3 - рішення даного рівняння. Визначення: Рішенням рівняння з двома змінними називається пара значень змінних, звертає це рівняння у вірне рівність.
- Прочитайте це визначення на сторінці 174 про себе.
- Прочитайте визначення вголос.
- Повтори,
- А які ще пари чисел будуть розв'язками рівняння

? (Х = 105, у = 100; х = 4, у = -1, ...)
- Правильно, рішеннями цього рівняння будуть числа, різниця яких дорівнює 5.
- Іноді пари значень змінних записують коротше: (105; 100), (4; - 1). (Запис на дошці).
- При такій запису необхідно знати, значення якої із змінних стоїть на першому місці, а який - на другому. У записі рішень рівняння зі змінними х і у на першому місці записують значення х, а на другому - значення у.
- Рівняння з двома змінними мають одні і ті ж рішення, називають рівносильними. Рівняння з двома змінними, що не мають рішень, також вважають рівносильними.
- Хлопці, при вирішенні лінійних рівнянь з однією змінною ми згадали їх властивості. А якими властивостями володіють лінійні рівняння з двома змінними? Відкрийте підручники на стор 175. Прочитайте ці властивості про себе.
- То якими ж, ... ..? Прочитай вголос. ... ... .., Повтори властивості.
- Розглянемо рівняння

. Скориставшись властивостями рівнянь, висловимо з цього рівняння одну змінну через іншу, наприклад у, через х. Для цього, перенесемо доданок 5х в праву частину рівняння, змінивши його знак:

. Розділимо обидві частини цього рівняння на 2:

. Рівняння

- Рівносильні.
- Користуючись формулою

, Можна знайти скільки завгодно рішень рівняння

. Для цього достатньо взяти довільне х і обчислити відповідне йому значення у. Наприклад: якщо х = 2, то у = -2,5, 2 +6 = 1. Якщо х = 0,4, то у = -2,5 * 0,4 +4 = 5. Пари чисел (2; 1), (0,4, 5) - рішення рівняння. Це рівняння має нескінченно багато рішень.
V. Первинне закріплення.
- Що ж називається лінійним рівнянням з двома змінними?
- Виконаємо № 1092 на сторінці 175 усно.
- Прочитай завдання.
- Чи є перше рівняння

лінійним? (Так).
- Чому? (Оскільки має вигляд

)
- А друге рівняння? (Ні).
- Чому? (Оскільки рівняння

не наводиться до виду

, Х має показник ступеня 2). (Далі аналогічно).
- А тепер запишіть № 1094.
- Прочитай завдання.
- Як відповісти на це питання? (Підставити значення х і у в рівняння, якщо вийде вірне рівність, то х і в є рішенням рівняння).
- ... .... вирішує біля дошки, інші - в зошитах. (Вирішують)
- А які ще числа можуть бути рішеннями цього рівняння? (Числа, що дають в сумі 6: 4 і 2, 3 і 3 і так далі).
- Запишіть будь-які 2 рішення цього рівняння.
- Не забувайте, що значення х пишеться на першому місці, а у - на другому місці.
VI. Самостійна робота
- Отже, сьогодні ми познайомилися з новим видом рівнянь - лінійними рівняннями з двома змінними. Зараз перевіримо, як ви засвоїли дану тему. Запишіть у зошитах самостійна робота і номер свого варіанта.
Варіант 1 Стор. 176, № 1096, № 1099 (а), № 1104 (б).
Варіант 2 Стор. 176, № 1097, № 1099 (б), № 1104 (а).
Додатково: № 1103.
(Здають зошити)
VII. Підведення підсумків і постановка домашнього завдання.
- Запишіть домашнє завдання: № 1101, № 1107.
- А тепер повторимо:
- Який вигляд має лінійне рівняння з двома змінними?
- Що називається рішенням лінійного рівняння з двома змінними?
- Якими властивостями володіють рівняння з двома змінними?
Аналіз уроку
Даний урок був проведений в класі з досить різними показниками успішності: з 17 осіб шестеро дуже успішні в навчальній діяльності (двоє відмінників і четверо хорошистів), вісім мають середню успішність, але є і слабкі по успішності учні. Однак, результати самостійної роботи досить високі. Більшість помилок було допущено в обчисленнях через неуважність, не через незнання матеріалу, а через прагнення виконати самостійну роботу за мінімальний проміжок часу. Ліквідація даної проблеми полягала в неявному вказівці на помилки (перевір, повтори правило, прочитай ще раз завдання), так як це навчальна самостійна робота, на якій можлива допомога вчителя.
Дані кількісного аналізу самостійної роботи представлені в таблиці 4 (глава I § 6 с. 25)
Таблиця 4

1	2	3	4					5
Варіант	Кількість учнів в класі	Кількість учнів, виконували роботу	Оцінка					Правильно виконані завдання
Варіант	Кількість учнів в класі	Кількість учнів, виконували роботу	5	4	3	2	1	1	2	3
1	17 (1 отсут.)	9	6	3	0	0	0	9	7	8
2	17 (1 отсут.)	7	4	2	1	0	0	7	4	6

Дані якісного аналізу представлені в таблиці 5 (глава I § 6 с. 25).
Таблиця 5

Прізвище учня	1 завдання			2 завдання			3 завдання
	Види помилок
	1 Обчислення	2 Запис	3 Не приступали	1	2	3	1	2	3
Баляснікова Ю.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Бородін А.	-	-	-	-	+	-	-	-	-
Видріна А.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Єрьомін М.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Єфремов М.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Зайцева В.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Заянова А.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Зотов О.	-	-	-	+	-	-	-	-	-
Зирянова А.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Коваленко С.	-	-	-	-	-	-	+	-	-
Лебедєв В.	-	-	-	-	+	-	-	-	-
Макаров	-	-	-	+	-	-	-	-	-
Менчіков М.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Метельова А.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Метельова К.	-	-	-	-	+	-	-	-	+
Саприкін А.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Сітчіхін А.

На підставі сказаного можна зробити висновок, що контроль знань був ефективний. Прикладом може служити те, що дана тема включає в себе всі основні моменти теми «Рівняння з однією змінною», засвоєння якої сприяло сприйняття нової теми «Лінійні рівняння з двома змінними», адже основна маса помилок зроблена через неуважність, а не через відсутність умінь застосовувати правильно отримані знання.

Висновок
Питання перевірки знань, умінь і навичок учнів в даний час досить широко висвітлюються в науково-методичної літератури. Однак на практиці багато вчителів відчувають великі труднощі в організації та проведенні контролю. Вся система контролю знань, умінь і навичок учнів повинна плануватися таким чином, щоб охоплювалися всі обов'язкові результати навчання для кожного учня. Одночасно в ході контролю треба дати учням можливість перевірити себе на більш високому рівні, перевірити глибину засвоєння матеріалу.
У процесі теоретичного і практичного дослідження відповідно до поставленої метою та завданнями отримані наступні основні висновки і результати:
1. У шкільній практиці необхідно регулярне спостереження за якістю математичних знань учнів, що вимагає певної системи контролю. В якості такої системи ми пропонуємо використовувати різні види контролю при аналізі всіх трьох блоків навчального матеріалу по темі «Рівняння»: теоретичного, практичного і прикладного.
2. Система контролю математичних знань учнів навчального процесу грунтується на: розробці системи контрольних заходів; розробці контрольних завданні, що дозволяють підвищити об'єктивність оцінки і зробити висновок про якість математичних знань і при необхідності внести зміни і корективи в процес навчання.
3. Розроблена та експериментально перевірена методика контролю математичних знань учнів.
У ході експерименту підтвердилося припущення про те, що використання викладених у даній роботі теоретичних положень і методичних рекомендацій сприяє організації більш ефективного, повного та об'єктивного контролю знань і умінь учнів при вивченні рівнянь, посилює підготовку школярів по даній темі.
Отримані результати свідчать про те, що завдання дослідження вирішені, мета дослідження досягнута, гіпотеза підтверджена. Результати апробації та впровадження запропонованої методики контролю математичних знань учнів загальноосвітніх установ свідчать про можливість і доцільність її використання в основній школі.

Бібліографічний список
1. Алгебра: навч. для 7 кл. СР шк. [Текст] / Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягін, Ю. В. Сидоров і ін - 2-е вид. - М: Освіта, 1993. - 191 с.
2. Алгебра: навч. для 8 кл. СР шк. [Текст] / Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягін, Ю. В. Сидоров і ін - 2-е вид. - М.: Просвещение, 1994. - 239с.
3. Алгебра: навч. для 9 кл. середовищ. шк. [Текст] / Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягін, Ю. В. Сидоров і ін - 2-е вид. - М.: Просвещение, 1992. - 223 с.
4. Алгебра: навч. для 7 кл. загаль. установ [Текст] / Ю. М. Макаричєв, Н. Г. Міндюк., К. І. ХОМЕНКО, С. Б. Суворова; під ред. С. А. Теляковського - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 223 с.
5. Алгебра: навч. для 8 кл. загаль. установ [Текст] / Ю. М. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. ХОМЕНКО, С. Б. Суворова; під ред. С. А. Теляковського - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 239 с.
6. Алгебра: навч. для 9 кл. загаль. установ [Текст] / Ю. М. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. ХОМЕНКО, С. Б. Суворова; під ред. С. А. Теляковського. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 270 с.
7. Алгебра. 7 кл.: Навч. для шк. і кл. з поглиблений. изуч. математики [Текст] / Ю. Н. Макаричєв и др. - М.: Мнемозина, 2000. - 272 с.

8. Алгебра. 8 кл.: Навч. для шк. і кл. з поглиблений. изуч. математики [Текст] / Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. ХОМЕНКО. - М.: Мнемозина, 2001. - 367 с.
9. Алгебра: навч. для 7 кл. загаль. установ [Текст] / С. М. Нікольський, М. К. Потапов, М. М. Решетніков, О. В. Шовкун. - 2-е вид. - М.: Просвещение, 2000. - 285 с.
10. Алгебра: навч. для 8 кл. загаль. установ [Текст] / С. М. Нікольський, М. К. Потапов, М. М. Решетніков, О. В. Шовкун. - М.: Просвещение, 1997. - 287 с.
11. Алгебра: навч. посібник для учнів 8 кл. з поглиблений. вивченням математики [Текст] / Н. Я. Віленкін, А. Н. Віленкін, Г. С. Сурвилло та ін; під ред. Н. Я. Виленкина. - 5-е вид. - М.: Просвещение, 2001. - 256 с.
12. Алгебра для 9 кл.: Навч. посібник для учнів шк. і кл. з поглиблений. изуч. математики [Текст] / Н. Я. Віленкін, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. І. Кудрявцев; під ред. Н. Я. Виленкина. - 3-е вид. - М.: Просвещение, 1999. - 384 с.
13. Алгебра. 7 кл.: Навч. для загаль. установ [Текст] / А. Г. Мордкович. - 5-е вид. - М.: Мнемозина, 2003. - 223 с.
14. Алгебра. 8 кл.: Навч. для загаль. установ [Текст] / А. Г. Мордкович. - 5-е вид. - М.: Мнемозина, 2003. - 223 с.
15. Алгебра. 9 кл.: Навч. і задачник для загаль. установ [Текст] / А. Г. Мордкович. - 6-е вид. - М.: Мнемозина, 2004. - 192 с.
16. Алгебра. 8 кл.: Навч. для кл. з поглиблений. изуч. математики [Текст] / А. Г. Мордкович. - 2-е вид. - М.: Мнемозина, 2004. - 256 с.
17. Алгебра. 9 кл.: Навч. для кл. з поглиблений. изуч. математики [Текст] / А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2004. - 296 с.
18. Алгебра. 9 клас. Поурочні плани за підручником А. Г. Мордкович та ін «Алгебра. 9 клас »[Текст] / Н. А. Кім. - Волгоград: ВТД Корифей. - 128 с.
19. Алексєєва, Л. Тестовий контроль засвоєння знань, умінь і навичок [Текст] / Л. Алексєєва / / Газета математика. - 1998. - № 46. - С.8-11.
20. Арифметика: навч. для 6 кл. загаль. установ [Текст] / С. М. Нікольський, М. К. Потапов, М. М. Решетніков, О. В. Шовкун. - М.: Просвещение, 2000. - 270 с.
21. Арутюнян, Е. Б. Математичні диктанти для 5-9 класів [Текст]: кн. для вчителя / Є. Б. Арутюнян, М. Б. Волович, Ю. А. Глазков, Г. Г. Левітас. - М.: Просвещение, 1991. - 80 с.
22. Борода, Л. Я. Деякі форми контролю на уроці [Текст] / Л. Я. Борода / / Математика в школі. - 1988. - № 4. - С.18-21.
23. Вахламова, А. П. Про систематичної взаємоперевірки знань учнів на уроках [Текст] / А. П. Вахламова, Є. С. Рабунский / / Математика в школі. - 1979. - № 1. - С. 17-18.
24. Висоцький І. Про концепцію та зміст Єдиного державного іспиту з математики [Текст] / І. Висоцький, Л. Звавіч / / Газета математика. - 2004. - № 2. - С. 6-9.
25. Гіршовіч, В. С. Види самостійних робіт [Текст] / В. С. Гіршовіч / / Математика в школі. - 1998. - № 3. - С.37-40.
26. Дорофєєв, Г. В. Оцінка якості підготовки випускників основної школи з математики [Текст] / Г. В. Дорофєєв, Кузнєцова Л. В., Кузнєцова Г. М. та ін - М.: Дрофа, 2000. - 80 с.
27. Ерецкій, М. І. Перевірка знань, умінь і навичок [Текст]: навчальний посібник / М. І. Ерецкій, Е. С. Пороцкій - М.: Вища школа, 1978.
28. Звавіч, Л. І. Контрольні й перевірочні роботи з алгебри. 9 кл.: Методичний посібник [Текст] / Л. І. Звавіч, Л. Я. Шляпочнік, Б. В. Козулін. - 3-е вид. - М.: Дрофа, 2005. - 93 с.
29. Квашко, Л. П. Тестова перевірка рівня засвоєння знань [Текст] / Л. П. Квашко / / Математика в школі. - 1994. - № 4. - С. 49-51.
30. Квашко, Л. П. Тести - у практику викладання математики [Текст] / Л. П. Квашко / / Математика в школі. - 1996. - № 2. - С.48-50.
31. Колесникова, Т. В. ЄДІ. Математика. 9 кл. Експериментальна екзаменаційна робота. Типові тестові завдання [Текст] / Т. В. Колеснікова, С. С. Мінаєва. - М.: Видавництво «Іспит», 2007. - 62 с.
32. Манвелов, С. Г. Конструювання сучасного уроку математики: кн. для вчителя [Текст] / С. Г. Манвелов - 2-е вид. - М.: Просвещение, 2005. - 175 с.
33. Математика: навч. для 5 кл. загаль. установ [Текст] / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохів, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд - 19-е вид. - М: Мнемозина, 2006. - 280 с.
34. Математика. 6 кл.: Навч. для загаль. установ [Текст] / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохів, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 20-е вид., Стер. - М: Мнемозина, 2007. - 280 с.
35. Математика. 6 клас: навч. для загаль. навч. закладів [Текст] / Г. В. Дорофєєв, С. Б. Суворова, І. Ф. Шаригін та ін; під ред. Г. В. Дорофеєва, І. Ф. Шаригіна. - М.: Дрофа, 1997. - 416 с.
36. Математика. Арифметика. Алгебра. Аналіз даних. 7 кл.: Навч. для загаль. навч. закладів [Текст] / Г. В. Дорофєєв, С. Б. Суворова, Є. А. Бунимович та ін; під ред. Г. В. Дорофеєва. - 3-е вид. - М.: Дрофа, 1999. - 288 с.
37. Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних. 8 кл.: Навч. для загаль. навч. закладів [Текст] / Г. В. Дорофєєв, С. Б. Суворова, Є. А. Бунимович та ін; під ред. Г. В. Дорофеєва. - М.: Дрофа, 1999. - 304 с.
38. Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних. 9 кл.: Навч. для загаль. навч. закладів [Текст] / Г. В. Дорофєєв, С. Б. Суворова, Є. А. Бунимович та ін; під ред. Г. В. Дорофеєва. - М.: Дрофа, 2000. - 352 с.
39. Математика: навч. для 8 кл. загаль. установ [Текст] / С. М. Нікольський, М. К. Потапов, М. М. Решетніков, О. В. Шовкун. - М.: Просвещение, 2000. - 287 с.
40. Методика викладання математики в середній школі. Загальна методика: навч. посібник для студентів пед. ін-тів [Текст] / А. Я. Блох, Є. С. Канін, Н. Г. Калініна та інших; сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.
41. Методичні рекомендації з математики [Текст] / Л. В. Потьомкін, Я. С. Бродський, 3. Я. Хаметова та ін; під. ред. І. А. Лур'є - М.: Вищ. шк., 1986. - 112 с.
42. Мордкович, А. Г. Алгебра: Тести для 7 - 9 кл. загаль. установ [Текст] / А. Г. Мордкович, Є. Є. Тульчинська. - 5-е вид. - М.: Мнемозина, 2006. - 127 с.
43. Про вдосконалення методів навчання математики: посібник для вчителя [Текст] / сост. В. С. Крамор - М.: Просвещение, 1978.
44. Педагогіка: навчальний посібник для студентів педагогічних вищих навчальних закладів і педагогічних коледжів [Текст] / під. ред. П. І. Підкасистого. - М.: Педагогічне товариство Росії, 1998.
45. Педагогіка: навчальний посібник для студентів педагогічних навчальних закладів [Текст] / В. А. Сластьонін, І. Ф. Ісаєв, О. І. Міщенко, Є. Н. Шиянов. - М.: Школа-Пресс, 1997. - 512 с.
46. Пейпа, С. Дж. Навчальні портфоліо - нова форма контролю і оцінки досягнень учнів [Текст] / С. Дж. Пейпа, М. Чошанов / / Директор школи. - 2000. - № 1.
47. Пітішкіна-Потаніч, Є. Контроль знань учнів [Текст] / Є. Пітішкіна-Потаніч, В. Пітішкін-Потаніч / / Народна освіта. - 1985. - № 3. - С. 68-71.
48. Програми для загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв: Математика. 5-11 кл. [Текст] / сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк - 3-е вид., Стереотип. - М.: Дрофа, 2002. - 320 с.
49. Темербекова, А. А. Методика викладання математики: навч. посібник для студ. спеціальності 032100 «Математика» [Текст] / А. А. Темербекова. - М.: Владос, 2003. - 176 с.
50. Фрідман, Л. М. Психолого-педагогічні основи навчання математики в школі: вчителю математики про пед. психології [Текст] / Л. М. Фрідман - М.: Просвещение, 1983 .- 160с.
51. Царьова, В. Контроль і перевірка знань учнів [Текст] / В. Царьова / / Учитель. - 1998. - № 4. - С. 64-66.

Додаток 1
Тест
1. Квадратним рівнянням називається рівняння вигляду де ... - змінна, - деякі числа, причому не дорівнює 0.
2. Рівняння виду

називається квадратним рівнянням.
3. Для рівняння

, Якщо

> 0, то рівняння має .... кореня, якщо

<0, то рівняння
4. Вираз

називають квадратного рівняння.
5. Якщо D> 0, то квадратне рівняння має кореня, якщо D = 0, то x =
6. Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює, а твір коренів одно
7. У п. 6 сформульована

Додаток 3
Тест № 1
Доповніть
1. Чи є запропонований многочлен квадратним тричленної? (Так, ні)
·

... ....
·

... ....
2. Дискримінант рівняння

... ... ... 0, тому рівняння має
3. Сума квадратів коренів рівняння

дорівнює
4. Квадратне рівняння

має тільки один корінь при p =
Встановіть відповідність
5. Рівняння і числа, що є коренем даного рівняння
1)

a) 1 b) 5 c) 3
2)

6. Рівняння і суми його коренів
1)

Тест № 2
Доповніть
1. Значення твори

... ... .., Де

- Рішення системи рівнянь

.
2. Система рівнянь

має .... рішень.
3. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 17см, а периметр трикутника дорівнює 40см. Тоді катети прямокутного трикутника рівні см і .... см.
Обведіть кружком номер правильної відповіді
4. Скільки рішень рівняння

знаходиться серед чисел

?
A. 0;
B. 1;
C. 2;
D. 3.
5. Яка з нижче зазначених пар чисел є розв'язком системи рівнянь

?
A.

6. Вкажіть значення суми

, Якщо відомо, що

- Рішення системи рівнянь

.
А. 5; B. 3; C. 0; D. 1.
7. При якому значенні параметра p система рівнянь

має три рішення?
А. 4; B. 0; C. -4; D. немає такого параметра.
8. Завдання: дві труби, працюючи спільно, наповнюють басейн за 4 години. Перша труба окремо може наповнити його на 6 годин швидше, ніж друга. За скільки годин заповнює басейн перша труба?
А. 6ч; B. 5ч; C. 4ч; D. 3ч.
Тест № 3
1. Скільки рішень рівняння

знаходиться серед пар чисел

?
А. 0 В. 1 С. 2 D. 3
2. Яка з вказаних нижче пар чисел є розв'язком системи рівнянь

?
А.

3. Вкажіть значення суми

, Якщо відомо, що

- Рішення системи рівнянь

.
А. 1; B. -3; C. 2; D. 0.
4. Скориставшись графічним методом, дайте відповідь на питання, скільки рішень має система рівнянь

?
А. 0; B. 1; C. 2; D. 3.
5. Вкажіть значення твору

, Якщо відомо, що

- Рішення системи рівнянь

.
А. 12; B. 12; C. 6; D. -6.
6. При якому значенні параметра p система рівнянь

має одне рішення?
А. 1; B. 0; C. -1; D. Не існує такого значення p.
Тест № 4

№ 1	1. Вкажіть суму коренів рівняння: 1) 0, 5, 2) -1,2; 3) -0,3; 4) 0,9. 2. Знайдіть , Якщо . 1) - 27abc, 2) - 81abc; 3) - 81a ² b ² c ^2; 4) - 27abc ^2; 5) 81abc;
№ 2	1. Знайдіть суму коренів рівняння . 1) -6; 2) 0, 3) -5; 4) 6; 5) 7. 2. Відомо, що . Чому може рівнятися ? 1) 0; 2) 4; 3) 6; 4) 8; 5) 8 або 0.
№ 3	1. Розв'яжіть рівняння 1998 x ² - 2000x +2 = 0. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 2. Знайдіть x + y, якщо числа x та y задовольняють рівності . 1) 4; 2) 1; 3) 3; 4) 2; 5) 5.
№ 4	1. Знайдіть різницю кубів більшого і меншого коренів рівняння 1) -2; 2) -1; 3) 2; 4) 1, 5) . 2. Чому дорівнює , Якщо має місце ? 1) 26; 2) 27; 3) 28; 4) 25; 5) 24.
№ 5	1. Скільки негативних коренів має рівняння ? 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4, 5) 2. Знайдіть найменше значення виразу . 1) 10; 2) -12, 3) -11, 4) -13; 5) -8.
№ 6	1. Скільки негативних коренів має рівняння ? 1) ; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4. 2. Знайдіть найменше значення виразу . 1) -1; 2) 0, 3) -2; 4) 1, 5) -0,5
№ 7	1. X і z задовольняють рівнянню . Чому одно твір ? 1) 0,25; 2) 0,4; 3) 0,5; 4) 1, 5) - 0,8 2. Вкажіть найбільше значення виразу . 1) 10; 2) 5; 3) 4; 4) 2, 5)
№ 8	1. Якщо , То чому одно зворотне число до ? 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 2. Чому дорівнює найменше значення виразу ? 1) 10; 2) 20; 3) 100, 4) 25; 5) 50.
№ 9	1. Якщо , То чому одно зворотне число до ? 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 2. При якому, вираженому через a і b, значенні m, вираз буде повним квадратом? 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Картка для відповідей

№ картки	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1 завдання
2 завдання

Додаток 4
Диктант з теми «Рівняння»
1. Як одним словом можна назвати два рівняння, що мають однакові корені або не мають коренів?
2. Чи може порушитися равносильность, якщо виконати наступне перетворення:
1) у рівнянні

розкрити дужки і привести подібні члени;
2) у рівнянні

дріб

скоротити на

;
3) обидві частини рівняння

розділити на

;
4) у рівнянні

різниця

замінити нулем?
3. Який математик довів теорему, яка має зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння і його корінням?
4. Що треба шукати насамперед, чому корені квадратного рівняння?
5. Зобразіть, як розташовується графік квадратного рівняння відносно осі абсцис, якщо:
1) D> 0;
2) D = 0;
3) D <0.
6. Перелічіть прийоми, за допомогою яких можна вирішити рівняння

.
7 ^*. Який математик одного разу зауважив, що: «Математичну теорію можна вважати досконалою лише тоді, коли ти зробив її настільки зрозумілою, що берешся викласти її зміст першому зустрічному»?

Додаток 5
Домашня контрольна робота
Варіант 1
1.

10.

11.

12.

Варіант 2
1.

10.

11.

12.

Варіант 3
1.

10.

11.

12.

Додаток 6
Самостійна робота «Рівняння і системи рівнянь»
Варіант 1
1. Розв'яжіть рівняння

2. Знайдіть всі невід'ємні рішення рівняння

3. Вирішіть систему рівнянь

4. Вирішіть систему рівнянь

5. Напишіть формули n-го члена і суми n перших членів арифметичної прогресії, якщо

6. Товарний поїзд був затриманий в дорозі на 18 хв, а потім на відстані 60 км надолужив це час, збільшивши швидкість на 10 км / год . Знайдіть первісну швидкість поїзда.
Варіант 2
1. Розв'яжіть рівняння

2. Розв'яжіть рівняння

3. Вирішіть систему рівнянь

4. Вирішіть систему рівнянь

5. Напишіть формули n-го члена і суми n перших членів арифметичної прогресії, якщо

6. Теплохід пройшов 4 км проти течії річки і потім пройшов ще 33 км за течією, витративши на весь шлях 1 ч. Знайдіть швидкість теплохода в стоячій воді, якщо швидкість течії річки дорівнює 6,5 км / год .

Додаток 7
Контрольна робота
Варіант 1
Варіант 2
1. Вирішіть систему рівнянь методом підстановки:

2. Вирішіть систему рівнянь методом алгебраїчного додавання:

3. Вирішіть графічно систему рівнянь:

4. Сума цифр двозначного числа дорівнює 10. Якщо поміняти місцями його цифри, то вийде число, більше даного на 36. Знайдіть дане число.
4. Якщо двозначне число розділити на число, записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку, то в приватному вийде 4, а в залишку 3. Якщо ж це число розділити на суму його цифр, то в приватному вийде 8, а в залишку 7. Знайдіть ці числа.
5 ^*. При якому значенні параметра a система рівнянь

має: а) одне рішення;
б) три рішення?

Додаток 8
ЄДІ
ТЕСТ 1
Частина 1
1. З формули периметра прямокутника

висловіть b.
A.

Б.

В.

Г.

2. Розв'яжіть рівняння:

A. -0,5 Б. -0,8 В. 0,5 Г . 0,8
3. Вирішіть систему рівнянь:

Відповідь: ___________________
4. Вирішіть нерівність:

Б.

В.

будь-яке число Г. Ні рішень
5. Зіставте рівняння прямої до графіка цієї прямої (рис. 1).
1)

Рис. 1
6. У книжковій шафі на верхній полиці книг в три рази більше, ніж на нижній. Після того, як на нижню полицю додали 6 книг, а з верхньої взяли 2 книги, на обох полицях книг стало порівну. Скільки книг було на нижній полиці?
Якщо позначити буквою x число книг на нижній полиці, то яке рівняння можна скласти за умовами задачі?
B.

Б.

В.

Г.

Частина 2
1. Сосна на 50% вище їли. Якщо кожне дерево підросте ще на 10 см , То сосна буде вище їли на 25%. Знайдіть первісну висоту їли.
2. Графіком квадратичної функції служить парабола з вершиною в точці D (6; -8), яка перетинає вісь ординат у точці K (0; 10). Задайте цю функцію формулою і побудуйте її графік.
3 ^*. Вирішіть систему рівнянь:

ТЕСТ 2
Частина 1
1. Висловіть з формули

змінну x.
А.

Б.

В.

Г.

2. Розв'яжіть рівняння

А. 1; 0,8 Б. -1; -0,8 В. 1; 0,6 Г . -1; -0,6
3. Використовуючи графіки функцій

(Рис. 2), вирішите систему рівнянь

Рис. 2
Відповідь: ______________________
4. З міста в селище, відстань до якого 90 км , Одночасно виїхали автобус і автомобіль. Швидкість автомобіля на 30 км / год більше швидкості автобуса, а тому він прийшов в селище на

год раніше автобуса. Знайдіть швидкість автобуса.
Яке рівняння можна скласти за умовами задачі, якщо буквою x позначити швидкість автобуса (у км / год)?
А.

Б.

В.

Г.

5. Вирішіть нерівність:

А. x <0 Б. x <0 В. Немає рішень Г.

будь-яке раціональне число
6. У таблиці показано залежність між величинами x і y.

x	2	3	4	5
y	3	5	7	9

Яке з наступних рівнянь описує цю залежність?
А.

Б.

В.

Г.

Частина 2
1. Вирішіть систему рівнянь:

2 ^*. Периметр статі прямокутної кімнати дорівнює 16 м . Площа підлоги на 26 м ² менше площі стін. Знайдіть площу підлоги, якщо відомо, що об'єм кімнати дорівнює 35 м ² .
3 ^*. За допомогою графіків визначте, за яких значеннях p рівняння

має єдиний корінь.
Бланк відповідей

Тест 1
Частина 1

№ завдання № відповіді	1	2	4	5	6
А				3)
Б			*	4)	*
У		*		1)
Г	*			2)

Завдання № 3: (-2; 4) і (4; -2)
Частина 2
1. 10
2.

3. (3, 2) і (-1; )
Тест 2
Частина 1

№ завдання № відповіді	1	2	4	5	6
А
Б
У		*			*
Г	*		*	*

Завдання № 3: (4, 3) і (-3; -4)
Частина 2
1. (9; 1)
2. 14 м ²
3. P <0

Додаток 9
Розвиваюча самостійна робота
№ 1. Рішення рівнянь виду

1. Перевірте, що рівняння

рівносильно сукупності

і вирішіть рівняння.
Варіант 1
1)
2)
3)
Варіант 2
1)
2)
3)
№ 2. Рішення рівнянь виду

1. Перевірте, що рівняння

рівносильно системі

і вирішіть рівняння.
Варіант 1
1)
2)
3)
Варіант 2
1)
2)
3)
№ 3. Рішення однорідних рівнянь
Варіант 1
1. Розв'яжіть рівняння

щодо a.
2. Використовуючи отримані результати, вирішите рівняння:

Варіант 2
1. Розв'яжіть рівняння

щодо a.
2. Використовуючи отримані результати, вирішите рівняння:
№ 4. Рішення рівнянь методом розкладання на множники
Варіант 1
1.

Варіант 2
1.

Додаток 10
Тема: Системи рівнянь
Урок 1. Основні поняття
Цілі уроку: повторити побудова графіка лінійної функції, квадратної функції, функції квадратного кореня, кола та функції модуля; ввести поняття «побудова графіка рівняння»; сформувати вміння складати рівняння кола.
Хід уроку
I. Організаційний момент.
II. Пояснення нового матеріалу.
Пояснення нового матеріалу (стор. 37 - 42):
1. Ввести визначення раціонального рівняння.
2. Ввести поняття рішення рівняння.
3. Ввести поняття рівносильності рівнянь і равносильности перетворення.
4. Побудувати графік рівняння: 1)

III. Закріплення нового матеріалу.
Рішення завдань з № 88, № 89, № 93 (а, г), № 94 (а, г), № 96 (а, г).
Написати рівняння кола в № 99 - 101.
IV. Підведення підсумків.
V. Домашнє завдання: № 92, № 97, № 93 (б, в), № 94 (б, в), № 96 (б, в); теорія в підручнику, стор 37 - 42; робочий зошит, стор 18, № 2.
Урок 2. Основні поняття
Цілі уроку: закріпити вміння будувати графік рівняння; сформувати вміння вирішувати графічно систему рівнянь.
Хід уроку
I. Організаційний момент.
II. Перевірка домашнього завдання.
Пояснення нового матеріалу (стор. 37 - 42):
1. Така форма перевірки може застосовуватися як для всього класу, так і для окремих учнів, або під час усного опитування, або на протязі всього уроку.

Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3	Варіант 4
а	б	в	г
№ 90, 95, 103, 102

2. Описати основні результати по робочому зошиті на стор 23.
III. Усний опитування по темі.
1. Які рівняння називаються раціональними?
2. Наведіть приклади раціональних рівнянь.
3. Що означає вирішити раціональне рівняння?
4. Які рівняння називають рівносильними?
5. Які перетворення рівняння називають рівносильними?
6. Перелічіть нерівносильні перетворення рівняння.
7. Що означає побудувати графік рівняння?
8. Яке рівняння є рівнянням кола?
9. Яка функція є графіком рівняння: 1)

IV. Рішення задач.
Вирішити графічно систему рівнянь в № 105. Побудувати графік рівняння в № 110. Рішення завдань по групах.
Група А: № 98, 104, 111, 114; група Б: № 108, 113, 115, 116.
V. Підведення підсумків.
VI. Домашнє завдання: № 106, 107, 112; на додаткову оцінку - № 117 - 119; теорія в підручнику, стор 43 - 46; робочий зошит, стор 8, № 3.

Урок 3. Методи рішення систем рівнянь
Цілі уроку: сформувати вміння розв'язувати системи рівнянь методом підстановки.
Хід уроку
I. Організаційний момент.
II. Перевірка домашнього завдання.
1. Побудуйте графік рівняння:
Варіант 1
1)
2)
Варіант 2
1)
2)
2. Напишіть рівняння кола:
з центром в точці (2; 0) і радіусом 7
з центром в точці (0; 4) і радіусом 7
3. Вирішити графічно систему рівнянь.

III. Пояснення нового матеріалу.
Пояснення нового матеріалу (стор. 47 - 48):
1. Розглянути алгоритм методу підстановки при вирішенні системи двох рівнянь з двома змінними.
2. Вирішити систему методом підстановки

IV. Закріплення нового матеріалу.
У дошки вирішують № 120, 121, 122 за схемою: завдання а вирішує учень з групи Б з докладним поясненням; завдання б и в вирішують два учнів з групи А, а перевіряють їх рішення два учнів з групи Б; завдання г вирішує знову учень з групи Б з докладним поясненням.
V. Підведення підсумків.
VI. Домашнє завдання: № 123, 124; теорія в підручнику, стор 47 - 48; робочий зошит, стор 19, № 4.
Урок 4. Методи рішення систем рівнянь
Цілі уроку: сформувати вміння розв'язувати системи рівнянь методом алгебраїчного додавання.
Хід уроку
I. Організаційний момент.
II. Перевірка домашнього завдання.
У дошки двоє учнів вирішують завдання № 123 (в), 124 (б). Інші завдання перевіряються з учнями усно.