Комплексні числа, їх минуле і сьогодення.
Зміст.
I. Вступ.
II. Про історію виникнення комплексних чисел і їх ролі в процесі розвитку математики.
III. Алгебраїчні дії над комплексними числами і їх геометричний зміст.
1. Основні поняття і арифметичні дії над комплексними числами.
2. Геометричне зображення комплексних чисел. Тригонометрична і показова форми.
3. Операція сполучення і її властивості.
4. Витяг коренів.
5. Геометричний сенс алгебраїчних операцій.
IV. Застосування комплексних чисел до розв'язання алгебраїчних рівнянь 3-ей і 4-ої ступенів.
1. Формула Кердано.
2. Метод Феррарі для рівняння 4-го ступеня.
V. Додаткові завдання і вправи, пов'язані з використанням комплексних чисел.
VI. Висновок.
VII. Література.
I. Вступ.
Алгебраїчні рівняння з одним невідомим і пов'язані з ними питання в знаходженні рішень відносяться до числа найбільш важливих в шкільній програмі. У загальному вигляді в середній школі вивчаються лише рівняння 1-го ступеня (лінійні) та рівняння 2-го ступеня (квадратні), оскільки для таких рівнянь існують прості формули, що виражають коріння рівняння через його коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і добування коренів.
Саме, якщо дано:
(Α) Лінійне рівняння ax + b = 0, де а ≠ 0, то x =- b / a - єдиний корінь;
(Β) Квадратне рівняння ax + bx + c = 0, де a, b, c - дійсні числа, a ≠ 0, то x = - b ± √ b ∙ b -4 ac / 2 a; при цьому число коренів залежить від величини D = b 2 - 4ac, званої дискримінант квадратного рівняння, а саме:
При D> 0 - два різних корені, D = 0 - один дворазовий корінь (або, що те ж, два співпадаючих кореня), D <0 - немає дійсних коренів.
З рівнянь більш високих ступенів у шкільному курсі алгебри розглядаються лише деякі приватні їх типи - тричленні (наприклад, біквадратні), симметрические, ... Однак жодних методів для вирішення довільних рівнянь 3-ей і 4-го ступеня (хоча відповідні формули відомі), в шкільній алгебрі не дається, тому що ці методи істотно спираються на теорію комплексних чисел.
Мета даного реферату полягає в тому, щоб ознайомити учнів середніх шкіл з найважливішим і новим для них математичним поняттям - поняттям комплексного числа, а також показати, наскільки ефективно його застосування при вирішенні деяких завдань, в тому числі і в першу чергу, при вирішенні кубичной рівнянь .
II. Про історію виникнення комплексних чисел і їх ролі в процесі розвитку математики.
Комплексні числа виникли в математиці на початку XVI століття у зв'язку з рішенням алгебраїчних рівнянь 3-го ступеня, а пізніше, і рівнянь 2-го ступеня. Деякі італійські математики того часу (- Сципіон дель Ферро, Ніколо Тарталья, Джіроломо Кардано, Рафаель Бомбеллі) ввели в розгляд символ √ -1 як формальне рішення рівняння х 2 +1 = 0, а також вираз більш загального вигляду (а + b ∙ √ -1) для запису рішення рівняння (х-а) 2 + b 2 = 0. Згодом вирази виду (а + b ∙ √ -1) стали називати «уявними», а потім «комплексними» числами і записувати їх у вигляді (а + bi) (символ i для позначення √ -1 ввів Леонард Ейлер у XVIII ст.) . Цих чисел, чисел нової природи виявилося достатньо для вирішення будь-якого квадратного рівняння (включаючи випадок D <0), а також рівняння 3-ей і 4-го ступеня.
МатематікіXVI ст. і наступних поколінь аж до початку XIX сторіччя ставилися до комплексних числах з явним недовір'ям і упередженням. Вони вважали ці числа «уявними» (Декарт), «неіснуючими», «вигаданими», «виникли від надлишкового мудрування» (Кардано) ... Лейбніц називав ці числа «витонченим і чудовим притулком божественного духу», а √ -1 вважав символом потойбічного світу (і навіть заповідав накреслити його на своїй могилі).
Проте використання апарату комплексних чисел (незважаючи на підозріле ставлення до них), дозволило вирішити багато важкі завдання. Тому з часом комплексні числа займали все більш важливе положення в математиці і її додатках. В першу чергу вони глибоко проникали в теорію алгебраїчних рівнянь, істотно спростивши їх вивчення. Наприклад, один з важких питань для математиків XVII-XVIII століть перебував у визначенні числа коренів алгебраїчного рівняння n-го ступеня, тобто рівняння виду a 0 ∙ x n + a 1 ∙ x n -1 + ... + a n -1 ∙ x + a n = 0. Відповідь на це питання, як виявилося, залежить від того, серед яких чисел - дійсних чи комплексних - слід шукати корені цього рівняння. Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна лише стверджувати, що їх не більше, ніж n. А якщо вважати допустимим наявність і комплексних рішень, то відповідь на поставлене питання виходить вичерпний: будь-яке алгебраїчне рівняння ступеня n (n ≥ 1) має рівно n коренів (дійсних або комплексних), якщо кожен корінь вважати стільки разів, яка його кратність (а це - число співпадаючих з ним коренів). При n ≥ 5 загальне алгебраїчне рівняння ступеня n нерозв'язно в радикалів, тобто не існує формули, що виражає його корені через коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і добування коренів натуральної ступеня.
Після того, як в XIX ст з'явилося наочне геометричне зображення комплексних чисел за допомогою точок площини і векторів на площині (Гаус в 1831 р, Вессель в 1799 р, Арган в 1806 р), стало можливим зводити до комплексних числах і рівнянням для них багато завдань природознавства , особливо гідро-і аеродинаміки, електротехніки, теорії пружності і міцності, а також геодезії і картографії. З цього часу існування «уявних», або комплексних чисел стало загальновизнаним фактом і вони отримали таку ж реальний зміст, як і числа дійсні. До теперішнього часу вивчення комплексних чисел розвинулося в найважливіший розділ сучасної математики - теорію функцій комплексного змінного (ТФКЗ).
III / Алгебраїчні дії над комплексними числами і їх геометричний зміст.
1. Основні поняття і арифметичні дії над комплексними числами.
Логічно строгу теорію комплексних чисел побудував у XIX ст (1835 р) ірландський математик Вільям Роумен Гамільтон. За Гамільтону комплексні числа - це впорядковані пари z = (x, y) дійсних чисел, для яких наступним чином визначені операції додавання і множення:
(X 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2); (1)
(X 1, y 1) ∙ (x 2, y 2) = (x 1 ∙ x 2 - y i y 2, x i y 2 + x 2 y 1). (2)
Дійсні числа x та y називаються при цьому дійсної та уявної частинами комплексного числа z = (x, y) і позначаються символами Rez і Imz відповідно (real - дійсний, imanginerum - уявний).
Два комплексних числа z 1 = (x 1, y 1) і z 2 = (x 2, y 2) називаються рівними тільки в тому випадку, коли x 1 = x 2 та y 1 = y 2. З визначення випливає, що будь-яке комплексне число (x, y) може бути представлена в наступному вигляді: (x, y) = (x, 0) + (0,1) (y, 0). (3)
Числа виду (х, 0) ототожнюються з дійсними числами х, тобто (Х, 0) = х, число (0,1), зване уявною одиницею, позначається символом i, тобто (0,1) = i, причому i 2 =- 1, рівність (3) приймає вигляд z = x + iy і називається алгебраїчної формою запису комплексного числа z = (x, y).
Операції додавання і множення комплексних чисел мають такі властивості:
а) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (переместительное закон або комутативність додавання і множення)
б) z 1 z 2 = z 2 z 1
в) z 1 + (z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3 (сочетательних закон або асоціативність)
г) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3
д) (z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 (розподільний закон або дистрибутивність)
Віднімання і ділення комплексних чисел z 1 = x 1 + iy 1 і z 2 = x 2 + iy 2 визначають, причому однозначно, їх різниця z 1-z 2 і приватне z 1 / z 2 як рішення відповідних рівнянь z + z 2 = z 1 і zz 2 = z 1 (при z 2 ≠ 0). Звідси випливає, що різниця і частка від ділення z 1 на z 2 обчислюються за формулами:
z 1-z 2 = (x 1-x 2) + i (y 1-y 2), (4)
z 1 / z 2 = (x 1 x 2 + y 1 y 2) / (x 2 2 + y 2 2) + i ((y 1 x 2-x 1 y 2) / (x 2 2 + y 2 лютого )) (5)
Дане визначення можна виразити в інших термінах, а саме, віднімання - як дія, зворотне додаванню: z = z 1 + (-z 2), де число (-z 2) називається протилежним z 2; розподіл - як дія, зворотне множенню: z = z 1 (z 2 -1), де z 2 -1 - число, протилежне для z 2 (z 2 ≠ 0). Таким чином, аналіз визначень і властивостей арифметичних операцій над комплексними числами призводить до наступних висновків:
- Безліч комплексних чисел (С) є розширенням багатьох R дійсних чисел, тобто дійсні числа містяться як окремий випадок, серед комплексних (точно так само як, наприклад, цілі числа містяться серед дійсних);
- Комплексні числа можна складати, вичитати, множити і ділити за правилами, яким підкоряються дійсні числа, замінюючи в підсумку (або в процесі обчислень) i 2 =- 1.
2. Геометричне зображення комплексних чисел. Тригонометрична і показова форми.
Зауваження. Поняття «більше» або «менше» для комплексних чисел позбавлене сенсу (не прийнято ніякого угоди).
Якщо на площині введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z = x + iy може бути поставлена у відповідність деяка точка М (х, у) з абсцисою «х» і ординатою «у», а також радіус - вектор 0м. При цьому говорять, що точка М (х, у) (або радіус - вектор 0м) зображує комплексне число z = x + iy.
Площина, на якій зображуються комплексні числа називається комплексної площиною, вісь 0у - уявної віссю.
Число r = √ x 2 + y 2, яка дорівнює довжині вектора, який зображує комплексне число, тобто відстані від початку координат до зображує це число точки, називається модулем комплексного числа z = x + iy і позначається символом | z |.
Кут φ = (0м, 0х) між позитивним напрямом осі 0х і вектором 0м, що зображує комплексне число z = x + iy ≠ 0, називається його аргументом.
З визначення видно, що кожне комплексне число (≠ 0), має нескінченну безліч аргументів. Всі вони відрізняються один від одного на цілі кратні 2π і позначаються єдиним символом Argz (для числа z = 0 аргумент не визначається, не має сенсу).
Кожне значення аргументу збігається з величиною φ деякого кута, на який слід повернути дійсну вісь (вісь 0ч) до збігу її напрями з напрямком радіус-вектора точки М, що зображує число z (при цьому φ> 0, якщо поворот відбувається проти годинникової стрілки і φ <0 в протилежному випадку). Таким чином, аргумент комплексного числа z = x + iy ≠ 0 є всяке рішення φ системи рівнянь cosφ = x / √ x 2 + y 2; sinφ = y / √ x 2 + y 2.
Значення Argz за умови 0 ≤ Argz <2π називається головним значенням аргументу і позначається символом argz. У деяких випадках головним значенням аргументу вважають найменше за абсолютною величиною його значення, тобто значення, що виділяється нерівністю-π <φ ≤ π.
Між алгебраїчними х, в і геометричними r, φ характеристиками комплексного числа існує зв'язок, що виражається формулами x = rcosφ, y = rsinφ, отже, z = x + iy = r (cosφ + isinφ). Останній вираз, тобто z = r (cosφ + isinφ) (6) називається тригонометричної формою комплексного числа. Будь-яке число z ≠ 0 може бути представлено у тригонометричній формі.
Для практики число вигляду (cosφ + isinφ) зручніше записувати коротше, за допомогою символу e i φ = cosφ + isinφ (7). Доведене для будь-яких чисел φ (дійсних або комплексних) це рівність називається формулою Ейлера. З її допомогою будь-яке комплексне число може бути записано в показовій формі z = re i φ (8)
3. Операція сполучення і її властивості.
Для даного комплексного числа z = x + iy число x-iy (відрізняється від z лише знаком при уявної частини) називається зв'язаним і позначається символом z. Перехід від числа z до числа z називається сполученням, а самі ці числа сполученими (один до одного), тому що (Z) = z. З визначення випливає, що тільки дійсне число пов'язане самому собі. Геометрично пов'язані числа зображуються точками, симетричними щодо дійсної осі (рис.2).
Звідси випливає, що | z | = | z |, argz =- argz. Крім того,
z + z = 2x = 2Rez;
zz = 2iy = 2iImz;
zz = x 2 + y 2 = | z | 2,
а також: z 1 + z 2 = z 1 + z 2; z 1 z 2 = z 1 z 2; (z 1 / z 2) = z 1 / z 2; P (z) = P (z), де Р (z) - будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами; (P (z) / Q (z)) = (P (z) / Q (z)), де P і Q - многочлени з дійсними коефіцієнтами.
4. Витяг коренів.
Вилучення кореня з комплексного числа є дія, зворотне зведення в ступінь. З його допомогою з даної ступеня (подкоренное число) і даним показником ступеня (показник кореня) знаходять основу (корінь). Інакше кажучи, ця дія рівносильно рішенням рівняння z n = a для знаходження z. У безлічі комплексних чисел дію добування кореня завжди здійснимо, хоча причому і неоднозначно: у результаті виходить стільки значень, який показник кореня. Зокрема, квадратний корінь має рівно два значення, які можна знайти за формулою:
√ a = √ α + iβ = ± ((√ | a | + α) / 2 ± i (√ | a |-α) / 2)), де знак "+" в дужках береться при β> 0, «- »- при β <0.
5. Геометричний сенс алгебраїчних операцій.
Нехай дано два комплексних числа z 1 і z 2. У результаті складання цих чисел виходить число z 3, зображуване вектором 0С діагоналі паралелограма 0АСВ (за правилом паралелограма додавання векторів): z 1 + z 2 = 0A +0 B = 0C = z 3.
Рис.3
Різниця (z 1-z 2) даних чисел, відповідна їх вирахуванню, можна розглядати як суму вектора 0А, який зображує число z 1 і вектора 0D =-- 0В, протилежного вектору 0В (симетричного йому відносно початку координат): z 1-z 2 = z 1 + (-z 2) = 0A +0 D = 0E = BA. Таким чином, різниці (z 1-z 2) даних чисел відповідає вектор ВА іншої діагоналі паралелограма 0АСВ.
Для ілюстрації інших алгебраїчних дій над комплексними числами більш зручна тригонометрична форма.
Множення. Нехай дано два комплексних числа z 1 = r 1 (cosφ 1 + isinφ 1) і z 2 = r 2 (cosφ 2 + isinφ 2). Перемножая їх отримаємо z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (φ 1 + φ 2) + isin (φ 1 + φ 2)). Отже, при множенні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. Це правило вірне і для будь-якого числа співмножників.
Розподіл. Якщо потрібно розділити z 1 на z 2, то виконуємо наступні перетворення: z 1 / z 2 = (z 1 z 2) / (z 2 z 2) = (r 1 (cosφ 1 + isinφ 1) r 2 (cosφ 2 - isinφ 2)) / (r 2 (cosφ 2 + isinφ 2) r 2 (cosφ 2-isinφ 2)) = (r 1 / r 2) (cos (φ 1-φ 2) + isin (φ 1-φ 2 )), тобто при діленні двох комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.
Зміст.
I. Вступ.
II. Про історію виникнення комплексних чисел і їх ролі в процесі розвитку математики.
III. Алгебраїчні дії над комплексними числами і їх геометричний зміст.
1. Основні поняття і арифметичні дії над комплексними числами.
2. Геометричне зображення комплексних чисел. Тригонометрична і показова форми.
3. Операція сполучення і її властивості.
4. Витяг коренів.
5. Геометричний сенс алгебраїчних операцій.
IV. Застосування комплексних чисел до розв'язання алгебраїчних рівнянь 3-ей і 4-ої ступенів.
1. Формула Кердано.
2. Метод Феррарі для рівняння 4-го ступеня.
V. Додаткові завдання і вправи, пов'язані з використанням комплексних чисел.
VI. Висновок.
VII. Література.
I. Вступ.
Алгебраїчні рівняння з одним невідомим і пов'язані з ними питання в знаходженні рішень відносяться до числа найбільш важливих в шкільній програмі. У загальному вигляді в середній школі вивчаються лише рівняння 1-го ступеня (лінійні) та рівняння 2-го ступеня (квадратні), оскільки для таких рівнянь існують прості формули, що виражають коріння рівняння через його коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і добування коренів.
Саме, якщо дано:
(Α) Лінійне рівняння ax + b = 0, де а ≠ 0, то x =- b / a - єдиний корінь;
(Β) Квадратне рівняння ax + bx + c = 0, де a, b, c - дійсні числа, a ≠ 0, то x = - b ± √ b ∙ b -4 ac / 2 a; при цьому число коренів залежить від величини D = b 2 - 4ac, званої дискримінант квадратного рівняння, а саме:
При D> 0 - два різних корені, D = 0 - один дворазовий корінь (або, що те ж, два співпадаючих кореня), D <0 - немає дійсних коренів.
З рівнянь більш високих ступенів у шкільному курсі алгебри розглядаються лише деякі приватні їх типи - тричленні (наприклад, біквадратні), симметрические, ... Однак жодних методів для вирішення довільних рівнянь 3-ей і 4-го ступеня (хоча відповідні формули відомі), в шкільній алгебрі не дається, тому що ці методи істотно спираються на теорію комплексних чисел.
Мета даного реферату полягає в тому, щоб ознайомити учнів середніх шкіл з найважливішим і новим для них математичним поняттям - поняттям комплексного числа, а також показати, наскільки ефективно його застосування при вирішенні деяких завдань, в тому числі і в першу чергу, при вирішенні кубичной рівнянь .
II. Про історію виникнення комплексних чисел і їх ролі в процесі розвитку математики.
Комплексні числа виникли в математиці на початку XVI століття у зв'язку з рішенням алгебраїчних рівнянь 3-го ступеня, а пізніше, і рівнянь 2-го ступеня. Деякі італійські математики того часу (- Сципіон дель Ферро, Ніколо Тарталья, Джіроломо Кардано, Рафаель Бомбеллі) ввели в розгляд символ √ -1 як формальне рішення рівняння х 2 +1 = 0, а також вираз більш загального вигляду (а + b ∙ √ -1) для запису рішення рівняння (х-а) 2 + b 2 = 0. Згодом вирази виду (а + b ∙ √ -1) стали називати «уявними», а потім «комплексними» числами і записувати їх у вигляді (а + bi) (символ i для позначення √ -1 ввів Леонард Ейлер у XVIII ст.) . Цих чисел, чисел нової природи виявилося достатньо для вирішення будь-якого квадратного рівняння (включаючи випадок D <0), а також рівняння 3-ей і 4-го ступеня.
МатематікіXVI ст. і наступних поколінь аж до початку XIX сторіччя ставилися до комплексних числах з явним недовір'ям і упередженням. Вони вважали ці числа «уявними» (Декарт), «неіснуючими», «вигаданими», «виникли від надлишкового мудрування» (Кардано) ... Лейбніц називав ці числа «витонченим і чудовим притулком божественного духу», а √ -1 вважав символом потойбічного світу (і навіть заповідав накреслити його на своїй могилі).
Проте використання апарату комплексних чисел (незважаючи на підозріле ставлення до них), дозволило вирішити багато важкі завдання. Тому з часом комплексні числа займали все більш важливе положення в математиці і її додатках. В першу чергу вони глибоко проникали в теорію алгебраїчних рівнянь, істотно спростивши їх вивчення. Наприклад, один з важких питань для математиків XVII-XVIII століть перебував у визначенні числа коренів алгебраїчного рівняння n-го ступеня, тобто рівняння виду a 0 ∙ x n + a 1 ∙ x n -1 + ... + a n -1 ∙ x + a n = 0. Відповідь на це питання, як виявилося, залежить від того, серед яких чисел - дійсних чи комплексних - слід шукати корені цього рівняння. Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна лише стверджувати, що їх не більше, ніж n. А якщо вважати допустимим наявність і комплексних рішень, то відповідь на поставлене питання виходить вичерпний: будь-яке алгебраїчне рівняння ступеня n (n ≥ 1) має рівно n коренів (дійсних або комплексних), якщо кожен корінь вважати стільки разів, яка його кратність (а це - число співпадаючих з ним коренів). При n ≥ 5 загальне алгебраїчне рівняння ступеня n нерозв'язно в радикалів, тобто не існує формули, що виражає його корені через коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і добування коренів натуральної ступеня.
Після того, як в XIX ст з'явилося наочне геометричне зображення комплексних чисел за допомогою точок площини і векторів на площині (Гаус в 1831 р, Вессель в 1799 р, Арган в 1806 р), стало можливим зводити до комплексних числах і рівнянням для них багато завдань природознавства , особливо гідро-і аеродинаміки, електротехніки, теорії пружності і міцності, а також геодезії і картографії. З цього часу існування «уявних», або комплексних чисел стало загальновизнаним фактом і вони отримали таку ж реальний зміст, як і числа дійсні. До теперішнього часу вивчення комплексних чисел розвинулося в найважливіший розділ сучасної математики - теорію функцій комплексного змінного (ТФКЗ).
III / Алгебраїчні дії над комплексними числами і їх геометричний зміст.
1. Основні поняття і арифметичні дії над комплексними числами.
Логічно строгу теорію комплексних чисел побудував у XIX ст (1835 р) ірландський математик Вільям Роумен Гамільтон. За Гамільтону комплексні числа - це впорядковані пари z = (x, y) дійсних чисел, для яких наступним чином визначені операції додавання і множення:
(X 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2); (1)
(X 1, y 1) ∙ (x 2, y 2) = (x 1 ∙ x 2 - y i y 2, x i y 2 + x 2 y 1). (2)
Дійсні числа x та y називаються при цьому дійсної та уявної частинами комплексного числа z = (x, y) і позначаються символами Rez і Imz відповідно (real - дійсний, imanginerum - уявний).
Два комплексних числа z 1 = (x 1, y 1) і z 2 = (x 2, y 2) називаються рівними тільки в тому випадку, коли x 1 = x 2 та y 1 = y 2. З визначення випливає, що будь-яке комплексне число (x, y) може бути представлена в наступному вигляді: (x, y) = (x, 0) + (0,1) (y, 0). (3)
Числа виду (х, 0) ототожнюються з дійсними числами х, тобто (Х, 0) = х, число (0,1), зване уявною одиницею, позначається символом i, тобто (0,1) = i, причому i 2 =- 1, рівність (3) приймає вигляд z = x + iy і називається алгебраїчної формою запису комплексного числа z = (x, y).
Операції додавання і множення комплексних чисел мають такі властивості:
а) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (переместительное закон або комутативність додавання і множення)
б) z 1 z 2 = z 2 z 1
в) z 1 + (z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3 (сочетательних закон або асоціативність)
г) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3
д) (z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 (розподільний закон або дистрибутивність)
Віднімання і ділення комплексних чисел z 1 = x 1 + iy 1 і z 2 = x 2 + iy 2 визначають, причому однозначно, їх різниця z 1-z 2 і приватне z 1 / z 2 як рішення відповідних рівнянь z + z 2 = z 1 і zz 2 = z 1 (при z 2 ≠ 0). Звідси випливає, що різниця і частка від ділення z 1 на z 2 обчислюються за формулами:
z 1-z 2 = (x 1-x 2) + i (y 1-y 2), (4)
z 1 / z 2 = (x 1 x 2 + y 1 y 2) / (x 2 2 + y 2 2) + i ((y 1 x 2-x 1 y 2) / (x 2 2 + y 2 лютого )) (5)
Дане визначення можна виразити в інших термінах, а саме, віднімання - як дія, зворотне додаванню: z = z 1 + (-z 2), де число (-z 2) називається протилежним z 2; розподіл - як дія, зворотне множенню: z = z 1 (z 2 -1), де z 2 -1 - число, протилежне для z 2 (z 2 ≠ 0). Таким чином, аналіз визначень і властивостей арифметичних операцій над комплексними числами призводить до наступних висновків:
- Безліч комплексних чисел (С) є розширенням багатьох R дійсних чисел, тобто дійсні числа містяться як окремий випадок, серед комплексних (точно так само як, наприклад, цілі числа містяться серед дійсних);
- Комплексні числа можна складати, вичитати, множити і ділити за правилами, яким підкоряються дійсні числа, замінюючи в підсумку (або в процесі обчислень) i 2 =- 1.
2. Геометричне зображення комплексних чисел. Тригонометрична і показова форми.
Зауваження. Поняття «більше» або «менше» для комплексних чисел позбавлене сенсу (не прийнято ніякого угоди).
Якщо на площині введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z = x + iy може бути поставлена у відповідність деяка точка М (х, у) з абсцисою «х» і ординатою «у», а також радіус - вектор 0м. При цьому говорять, що точка М (х, у) (або радіус - вектор 0м) зображує комплексне число z = x + iy.
Площина, на якій зображуються комплексні числа називається комплексної площиною, вісь 0у - уявної віссю.
Число r = √ x 2 + y 2, яка дорівнює довжині вектора, який зображує комплексне число, тобто відстані від початку координат до зображує це число точки, називається модулем комплексного числа z = x + iy і позначається символом | z |.
Кут φ = (0м, 0х) між позитивним напрямом осі 0х і вектором 0м, що зображує комплексне число z = x + iy ≠ 0, називається його аргументом.
З визначення видно, що кожне комплексне число (≠ 0), має нескінченну безліч аргументів. Всі вони відрізняються один від одного на цілі кратні 2π і позначаються єдиним символом Argz (для числа z = 0 аргумент не визначається, не має сенсу).
Кожне значення аргументу збігається з величиною φ деякого кута, на який слід повернути дійсну вісь (вісь 0ч) до збігу її напрями з напрямком радіус-вектора точки М, що зображує число z (при цьому φ> 0, якщо поворот відбувається проти годинникової стрілки і φ <0 в протилежному випадку). Таким чином, аргумент комплексного числа z = x + iy ≠ 0 є всяке рішення φ системи рівнянь cosφ = x / √ x 2 + y 2; sinφ = y / √ x 2 + y 2.
Значення Argz за умови 0 ≤ Argz <2π називається головним значенням аргументу і позначається символом argz. У деяких випадках головним значенням аргументу вважають найменше за абсолютною величиною його значення, тобто значення, що виділяється нерівністю-π <φ ≤ π.
Між алгебраїчними х, в і геометричними r, φ характеристиками комплексного числа існує зв'язок, що виражається формулами x = rcosφ, y = rsinφ, отже, z = x + iy = r (cosφ + isinφ). Останній вираз, тобто z = r (cosφ + isinφ) (6) називається тригонометричної формою комплексного числа. Будь-яке число z ≠ 0 може бути представлено у тригонометричній формі.
Для практики число вигляду (cosφ + isinφ) зручніше записувати коротше, за допомогою символу e i φ = cosφ + isinφ (7). Доведене для будь-яких чисел φ (дійсних або комплексних) це рівність називається формулою Ейлера. З її допомогою будь-яке комплексне число може бути записано в показовій формі z = re i φ (8)
3. Операція сполучення і її властивості.
Для даного комплексного числа z = x + iy число x-iy (відрізняється від z лише знаком при уявної частини) називається зв'язаним і позначається символом z. Перехід від числа z до числа z називається сполученням, а самі ці числа сполученими (один до одного), тому що (Z) = z. З визначення випливає, що тільки дійсне число пов'язане самому собі. Геометрично пов'язані числа зображуються точками, симетричними щодо дійсної осі (рис.2).
Звідси випливає, що | z | = | z |, argz =- argz. Крім того,
zz = 2iy = 2iImz;
zz = x 2 + y 2 = | z | 2,
а також: z 1 + z 2 = z 1 + z 2; z 1 z 2 = z 1 z 2; (z 1 / z 2) = z 1 / z 2; P (z) = P (z), де Р (z) - будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами; (P (z) / Q (z)) = (P (z) / Q (z)), де P і Q - многочлени з дійсними коефіцієнтами.
4. Витяг коренів.
Вилучення кореня з комплексного числа є дія, зворотне зведення в ступінь. З його допомогою з даної ступеня (подкоренное число) і даним показником ступеня (показник кореня) знаходять основу (корінь). Інакше кажучи, ця дія рівносильно рішенням рівняння z n = a для знаходження z. У безлічі комплексних чисел дію добування кореня завжди здійснимо, хоча причому і неоднозначно: у результаті виходить стільки значень, який показник кореня. Зокрема, квадратний корінь має рівно два значення, які можна знайти за формулою:
√ a = √ α + iβ = ± ((√ | a | + α) / 2 ± i (√ | a |-α) / 2)), де знак "+" в дужках береться при β> 0, «- »- при β <0.
5. Геометричний сенс алгебраїчних операцій.
Нехай дано два комплексних числа z 1 і z 2. У результаті складання цих чисел виходить число z 3, зображуване вектором 0С діагоналі паралелограма 0АСВ (за правилом паралелограма додавання векторів): z 1 + z 2 = 0A +0 B = 0C = z 3.
Різниця (z 1-z 2) даних чисел, відповідна їх вирахуванню, можна розглядати як суму вектора 0А, який зображує число z 1 і вектора 0D =-- 0В, протилежного вектору 0В (симетричного йому відносно початку координат): z 1-z 2 = z 1 + (-z 2) = 0A +0 D = 0E = BA. Таким чином, різниці (z 1-z 2) даних чисел відповідає вектор ВА іншої діагоналі паралелограма 0АСВ.
Для ілюстрації інших алгебраїчних дій над комплексними числами більш зручна тригонометрична форма.
Множення. Нехай дано два комплексних числа z 1 = r 1 (cosφ 1 + isinφ 1) і z 2 = r 2 (cosφ 2 + isinφ 2). Перемножая їх отримаємо z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (φ 1 + φ 2) + isin (φ 1 + φ 2)). Отже, при множенні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. Це правило вірне і для будь-якого числа співмножників.
Розподіл. Якщо потрібно розділити z 1 на z 2, то виконуємо наступні перетворення: z 1 / z 2 = (z 1 z 2) / (z 2 z 2) = (r 1 (cosφ 1 + isinφ 1) r 2 (cosφ 2 - isinφ 2)) / (r 2 (cosφ 2 + isinφ 2) r 2 (cosφ 2-isinφ 2)) = (r 1 / r 2) (cos (φ 1-φ 2) + isin (φ 1-φ 2 )), тобто при діленні двох комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.
Піднесення до степеня. Множачи число z = r (cosφ + isinφ) саме на себе «n» разів, отримуємо відповідно до правила множення z n = r n (cosφ + isinφ) n = r n (cosnφ + isinnφ). Таким чином, при зведенні комплексного числа до степеня «n» у ту ж ступінь зводить його модуль, а аргумент множиться на «n» (на показник ступеня). В окремому випадку, якщо r = 1, то попереднє рівність приймаємо вигляд (cosφ + isinφ) n = cosnφ + isinnφ (9). Отримана формула називається формулою Муавра (1667-1754).
Вилучення кореня. Нехай а = re i φ, z = ρe iσ. Вирішуємо рівняння z n = a для обчислення n √ a: ρ n e inσ = re i φ. Звідси з урахуванням того, що аргументи чисел відрізняються на ціле кратне числу 2π, отримуємо: ρ n = r, nσ-φ = 2πK, або ρ = n √ r; σ K +1 = (φ +2 πK) / n (причому До = 0,1,2 ... n-1). Таким чином, z k = n √ r (cosφ + isinφ) = n √ r ((cosφ +2 Kπ) / n + isin (φ +2 Kπ) / n)) (10), де n √ r, - арифметичний корінь, а К = 0,1,2, ..., n-1; тобто корінь ступеня n в множині комплексних чисел має "n" різних значень z k (виняток становить z = 0. У цьому випадку всі значення кореня рівні між собою і дорівнюють нулю).
Зауважимо також, що різниця між аргументами сусідніх чисел z k +1 і z k постійна і дорівнює 2π / n: σ k +1-σ k = (φ +2 π (K +1)) / n-(φ +2 πK) / n = 2π / n. Звідси випливає, що всі значення n √ a розташовуються на комплексній площині у вершинах деякого правильного n-кутника з центром у початку координат.
IV. Застосування комплексних чисел до розв'язання алгебраїчних рівнянь 3-ей і 4-ої ступенів.
1. Формула Кардано.
Розглянемо наведене рівняння алгебри 3-го ступеня: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (11).
(Загальне рівняння 3-го ступеня зводиться до наведеного діленням на коефіцієнт при старшого ступеня). За допомогою заміни x = ya / 3 це рівняння прийме вигляд y 3 + py + q = 0 (11 '), де p і q - нові коефіцієнти, залежні від a, b, c. Нехай у 0 - який або корінь рівняння (11 '). Уявімо його у вигляді у 0 = α + β, де α і β - невідомі поки числа, і підставимо в рівняння. Отримаємо α 3 + β 3 + (α + β) (3αβ + p) + q = 0 (12). Виберемо тепер α і β так, щоб 3αβ + р = 0. Такий вибір чисел α і β можливий, тому що вони (взагалі кажучи комплексні) задовольняють системі рівнянь
α + β = у 0;
αβ =- р / 3, а значить, існують.
За цих умов рівняння (12) набуде вигляду α 3 + β 3 + q = 0, а тому ще α 3 β 3 =- р 3 / 27, то отримуємо систему
α 3 + β 3 =- q;
α 3 β 3 =- р 3 / 27,
з якої по теоремі Вієта випливає, що α 3 та β 3 є корінням рівняння t 2 + qt-p 3 / 27 = 0. Звідси знаходимо: α 3 =- q / 2 + √ q 2 / 4 + p 3 / 27; β 3 =- q/2- √ q 2 / 4 + p 3 / 27, де √ q 2 / 4 + p 3 / 27 означає одне з можливих значень квадратного кореня. Звідси випливає, що корені рівняння (11 ') виражаються формулою D = (q / 2) 2 + (p / 3) 3.
y 1.2.3 = n √-q / 2 + √ q 2 / 4 + p 3 / 27 + 3 √ -q/2- √ q 2 / 4 + p 3 / 27, причому для кожного з трьох значення першого кореня 3 √ α відповідні значення другого кореня 3 √ β потрібно брати так, щоб була виконана умова αβ =- р / 3. Отримана формула називається формулою Кардано (її можна записати в більш компактному вигляді у = 3 √ α + 3 √ β, де α =- q / 2 + √ q 2 / 4 + p 3 / 27; β =- q/2- √ q 2 / 4 + p 3 / 27. Підставивши в неї замість р та q їх вираження через a, b, c і віднімаючи а / 3, отримаємо формулу для рівняння (11).
2. Метод Феррарі для рівняння 4-го ступеня.
Розглянемо наведене рівняння 4-го ступеня x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (13). Зробивши заміну змінної х = у-а / 4, отримаємо рівняння у 4 + ру 2 + qy + r = 0 (14) c коефіцієнтами p, q, r, залежними від a, b, c, d. Перетворимо це рівняння до вигляду (y 2 + p / 2) 2 + qy + (rp 2 / 4) = 0, а потім, увівши довільне поки число α, представимо його ліву частину в рівносильній формі (y 2 + p / 2 + α ) 2 - [2α (y 2 + p / 2) + α 2-qy + p 2 / 4-r] = 0 (15)
Виберемо тепер число α так, щоб вираз у квадратних дужках 2αy 2-qy + (αp + α 2 + p 2 / 4-r) стало повним (точним) квадратом щодо у. Для цього потрібно, щоб його дискримінант дорівнював нулю, тобто щоб q 2-8α (αp + α 2 + p 2 / 4-r) = 0, або 8α 3 +8 pα 2 +8 α (p 2 / 4-r)-q 2 = 0. Таким чином, для знаходження α виходить рівняння 3-го ступеня, і завдання зводиться до попередньої. Якщо як «α» взяти один з коренів цього рівняння, то ліва частина рівняння (15) буде різницею квадратів і тому може бути розкладена в добуток двох многочленів 2-го ступеня щодо «у».
V. Додаткові завдання і вправи, пов'язані з використанням комплексних чисел.
1. Обчислити: ii 2 i 3 ... i 10 =?
Рішення: ii 2 i 3 ... i 10 = i 1 +2 + ... +10 = i 11 ∙ 10 / 2 = i 55 = ii 54 = i (i 2) 27 = i (-1) 27 =- i.
2. Який геометричний сенс висловів: а) | z |, б) Argz; в) | z 1-z 2 |, г) Arg (z 1 / z 2)?
Відповідь: а) відстань від початку координат до точки, що зображує комплексне число z;
б) кут, на який потрібно повернути дійсну вісь до збігу з напрямком вектора 0м, зображує комплексне число z;
в) | z 1-z 2 | - відстань між точками z 1 і z 2, зображують комплексні числа z 1 і z 2;
г) Arg (z 1 / z 2) - кут між зображують векторами 0z 1 і 0z 2.
3. Довести, що cos3φ = cos 3 φ-3sin 2 φcosφ; sin3φ = 3cos 2 φsinφ-sin 3 φ.
Доказ: за формулою Муавра маємо: cos3φ + isin3φ = (cosφ + isinφ) 3 = (cos 3 φ-3cosφsin 2 φ) + (3cos 2 φsinφ-sin 3 φ), прирівнюючи дійсні та уявні частини комплексних чисел, що cos3φ = cos 3 φ-3sin 2 φcosφ, sin3φ = 3cos 2 φsinφ-sin 3 φ.
4. Знайти дійсні рішення рівняння (3 + i) x + (-5 +2 i) y = 4 +16 i.
Рішення: (3x-5y) + i (x +2 y) = 4 +16 i
3x-5y = 4
x +2 y = 16 x = 8; y = 4.
Відповідь: z = 8 +4 i.
5. Довести тотожність | z 1 + z 2 | 2 + | z 1-z 2 | 2 = 2 (| z 1 | 2 + | z 2 | 2) і обчислити його геометричний зміст.
Доказ: | z 1 + z 2 | 2 + | z 1-z 2 | 2 = (z 1 + z 2) (z 1 + z 2) + (z 1-z 2) (z 1-z 2) = (z 1 + z 2) (z 1 + z 2) + + (z 1-z 2) (z 1-z 2) = 2 z 1 z 1 +2 z 2 z 2 = 2 (| z 1 | 2 + | z 2 | 2).
Геометричний зміст: сума квадратів довжин діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх сторін паралелограма.
6. Знайти геометричне місце точок:
а) | zz 0 | = R; б) z = z 0 + Re it (0 ≤ t <2π)
Відповідь: Коло радіуса R з центром в z 0.
в) | z-3i | = | z +2 |;
г) | z + i | = | z-3 | = | z-1-i |;
д) | z | ≤ R
π / 4 ≤ argz ≤ 5π / 4
Рішення:
в) точка z повинна бути віддалена на таку ж відстань від точки z 1 =- 2, як і від точки z 2 = 3i, тобто повинна знаходитися на серединний перпендикуляр, проведеному до відрізка АВ. Отже, шукане геометричне місце точок - це пряма, що проходить через точку С (х с; у с), де х з = (-2 +0) / 2 =- 1; у с = (3 +0) / 2 = 3 / 2, перпендикулярна відрізку АВ.
г) Розглядаючи попарно спрямовані рівності | z + i | = | z-3 | і | z-3 | = | z-1-i |, приходимо до висновку, що шукане безліч точок - це безліч точок перетину серединних перпендикулярів, проведених до відрізкам АВ і ВС (а також і до АС).
д) Верхній півколо, обмежений променями argz = π / 4 і argz = 5π / 4 і колом | z | = R, який не містить (∙) z = 0.
7. Довести тотожність:
(2x-z) 2 + (2x-z) 2 = 2Re (z 2).
Доказ:
1) (2x-z) 2 + (2x-z) 2 = 4x 2-4xz + z 2 +4 x 2-4xz + z 2 = 8x 2-4x (z + z) + z 2 + z 2 = 8x 2 -4x2x + (z + z) 2 -
-2zz = (2x) 2 -2 | z | 2 = 4x 2 -2 (x 2 + y 2) = 2 (x 2 + y 2) = 2Re (z 2).
2) 2Re (z 2) = 2Re (x + iy) 2 = 2Re (x 2-y 2 +2 ixy) = 2 (x 2-y 2).
8. Вирішити систему рівнянь
(3-i) z 1 - (4 +2 i) z 2 = 1 +3 i;
(4 +2 i) z 1 + (2 +3 i) z 2 = 7.
Рішення: Застосуємо правило Крамера:
Δ = (3-i) - (4 +2 i) = (2 +3 i) (3-i) + (4 +2 i) 2 = 21 +23 i
(4 +2 i) + (2 +3 i)
Δ z1 = (1 +3 i) - (4 +2 i) = (2 +6 i +3 i-9) +28 +14 i = 21 +23 i
7 (2 +3 i)
Δ z2 = (3-i) (1 +3 i) = 21-7i-4-2i-12i +6 = 23-21i
(4 +2 i) 7
Z 1 = 21 +23 i = 1; z 2 = 23-21i =- i (21 +23 i) =- i
21 +23 i 21 +23 i21 +23 i
Відповідь: z 1 = 1; z 2 =- i.
9. Довести, що (а 2 +1) (b 2 +1) (c 2 +1) можна представити у вигляді суми квадратів цілих чисел (a, b, c - цілі числа).
Доказ: зауважимо, що а 2 +1 = | a + i | 2, тоді маємо: (а 2 +1) (b 2 +1) (c 2 +1) = (a + i) (ai) (b + i) (bi) (c + i) (ci) = (a + i) (b + i) (c + i) (a + i) (b + i) (c + i) = = ((ab- 1) + i (a + b)) (c + i) ((ab-1) + i (a + b)) (c + i )=((( ab-1) cab) + i ((a + b) c + ab-1)) ((ab-1) ca-b + i ((a + b) c + ab-1) = (abc-(a + b + c)) 2 + (ab + bc + ca-1) 2.
10. Знайти суми:
С = cosφ + cos2φ + ... + cosnφ; S = sinφ + sin2φ + ... + sinnφ.
Рішення: знайдемо суму σ = с + iS = (e iφ + e 2 iφ + ... + e inφ) і виділимо дійсну і уявну її частини, тобто С = Reσ; S = Imσ. Послідовно маємо: e iφ + e 2 iφ + ... + e inφ = e iφ ((1 - e inφ) / (1 - e iφ)) = (e iφ (1 - e inφ) (1 - e - iφ)) / ((1 - e iφ) (1 - e - iφ)) = = (e iφ -1 - e iφ (n +1) + e inφ) / | 1 - e iφ | 2.
Оскільки | 1 - e iφ | 2 = | (1-cosφ)-isinφ | 2 = (1-cosφ) 2 + sin 2 φ = 4sin 2 (φ / 2);
Re (e iφ -1 - e iφ (n +1) + e inφ) = cosφ-1-cos (n +1) φ + cosnφ = =- 2sin 2 (φ / 2) +2 sin (φ / 2) sin (nφ + φ / 2) = 2sin (φ / 2) 2sin (nφ / 2) cos ((n +1) φ) / 2 і Im (e iφ -1 - e iφ (n +1) + e inφ) = sinφ-sin (n +1) φ + sinnφ = 2sin (φ / 2) (cos (φ / 2)-cos (nφ + φ / 2)) = = 2sin (φ / 2) 2sin (nφ / 2) sin (((n +1) φ) / 2), то С = (4sin (φ / 2) sin (nφ / 2) cos (((n +1) φ) / 2)) / (4sin 2 (φ / 2)) = = [sin (nφ / 2) cos (((n +1) φ) / 2))] / sin (φ / 2);
S = (4sin (φ / 2) sin (nφ / 2) cos (((n +1) φ) / 2)) / (4sin 2 (φ / 2)) = = [sin (nφ / 2) cos ( ((n +1) φ) / 2))] / sin (φ / 2)
11. Знайти суму 1 + e π cosπ + e 2π cos2π + ... + e nπ cosnπ.
Рішення: Розглянемо функцію
S (x) = 1 + e x cosx + e 2 x cos2x + ... + e nx cosnx і знайдемо її значення при х = π.
У свою чергу, при знаходженні суми S (x) перейдемо до комплексних числах:
σ (z) = 1 + e x + ix + e 2x + i2x + ... + e nx + inx = 1 + e x (1 + i) + e 2x (1 + i) + ... + e nx (1 + i ) = (1 - (e x (1 + i)) n +1) / (1 - e x (1 + i)) = = 1-e x (n +1) (1 + i) / (1 - e x (1 + i)) = ((1-e x (n +1) (1 + i)) (1-e x (1-i)) / ((1-e x (1 + i)) (1-e x (1-i))) = (1 - e x (n +1) (1 + i) - e x (1-i) + e x (n +2 + ni)) / | 1 - e x (1 + i) | 2 =
= (1-e (n +1) x e i (n +1) x-e x e-ix + e (n +2) x e xni) / (1-2e x cosx + e 2x)
тому що S (x) = Reσ (z), то отримуємо формулу:
S (x) = 1 + e x cosx + e 2 x cos2x + ... + e nx cosnx = (1-e (n +1) x cos (n +1) x + e (n +2) x cosnx-e x cosx) / (1-2e x cosx + e 2 x)
Звідси випливає, що бажана сума дорівнює:
S (π) = 1 + e π cosπ + e 2 π cos2π + ... + e nπ cosnπ = (1 + e π + e π (n +2) (-1) n-e (n +1) (-1 ) n +1) / (1 +2 e π + e 2π) = = ((1 + e π) + (-1) n e π (n +1) (e π +1)) / (e π +1 ) 2 = (1 + (-1) n e π (n +1)) / (1 + e π)
12. Довести, що Re (z-1) / (z +1) = 0 | z | = 1.
Доказ:
Оскільки (Z-1) / (z +1) = ((z-1) (z +1 ))/(( z +1) (z +1)) = (zz + zz-1) / | z +1 | 2 = ((| z | 2 -1) +2 iy) / | z +1 | 2; то Re (z-1) (z +1) = 0, якщо тільки | z | 2 -1 = 0 | z | = 1.
13. Знайти всі значення кореня 4 √ 1 + i √ 3. Дати геометричну ілюстрацію.
Рішення:
z = 4 √ 1 + i √ 3 = 4 √ a, де a = 1 + i √ 3.
Оскільки а = r (cosφ + isinφ) = 2 (cosπ / 3 + isinπ / 3), то z k = 4 √ 2 (cos (π / 3 +2 Kπ) / 4 + isin (π / 3 +2 Kπ), де К = 0,1,2,3.
Одержуємо:
Z 0 = 4 √ 2 (cosπ/12 + isinπ/12); z 1 = 4 √ 2 (cos7π/12 + isin7π/12);
Z 2 = 4 √ 2 (cos13π/12 + isin13π/12); z 4 = 4 √ 2 (cos19π/12 + isin19π/12).
14. Представити в алгебраїчній формі комплексне число 1 / (1 + i √ 3) 6 -1 / (√ 3-i) 6 = z
Рішення: перетворимо дане число:
Z = ((1-i √ 3) / ((1 + i √ 3) (1-i √ 3))) 6 - ((√ 3 + i) / ((√ 3-i) (√ 3 + i ))) 6 = = (1-i √ 3) 6 / | 1 + i √ 3 | 12 - (√ 3 + i) 6 / | √ 3 + i | 12 = z 1-z 2 = (т.к . | z 1 | = | z 2 | = 2; φ 1 =- π / 3; φ 2 = π / 6, то) = 1 / 2 6 ∙ 6 лютого (cos (-π / 3) + isin (- π / 3)) 6 -1 / 2 6 ∙ 6 лютого (cosπ / 6 + isinπ / 6)) 6 = = cos (-2π) + isin (-2π)-cosπ-isinπ = 1 - (-1) = 2.
VII. Література.
VIII.
1. Кураш А.Г. «Алгебраїчні рівняння довільних ступенів». М., «Наука», 1983.
2. Маркушевич А.І. «Комплексні числа і конформні відображення». М., «Физматгиз», 1960.
3. Будівництво Д.Я. «Короткий нарис історії математики». М., «Наука», 1969.
4. Яглом І.І. «Комплексні числа та їх застосування в геометрії». М., Фізматвид, 1963.
5. Довідник з елементарної математики (для вступників до ВНЗ) під редакцією Фільчакова П.Ф. «Наукова Думка», Київ - 1972.
Вилучення кореня. Нехай а = re i φ, z = ρe iσ. Вирішуємо рівняння z n = a для обчислення n √ a: ρ n e inσ = re i φ. Звідси з урахуванням того, що аргументи чисел відрізняються на ціле кратне числу 2π, отримуємо: ρ n = r, nσ-φ = 2πK, або ρ = n √ r; σ K +1 = (φ +2 πK) / n (причому До = 0,1,2 ... n-1). Таким чином, z k = n √ r (cosφ + isinφ) = n √ r ((cosφ +2 Kπ) / n + isin (φ +2 Kπ) / n)) (10), де n √ r, - арифметичний корінь, а К = 0,1,2, ..., n-1; тобто корінь ступеня n в множині комплексних чисел має "n" різних значень z k (виняток становить z = 0. У цьому випадку всі значення кореня рівні між собою і дорівнюють нулю).
Зауважимо також, що різниця між аргументами сусідніх чисел z k +1 і z k постійна і дорівнює 2π / n: σ k +1-σ k = (φ +2 π (K +1)) / n-(φ +2 πK) / n = 2π / n. Звідси випливає, що всі значення n √ a розташовуються на комплексній площині у вершинах деякого правильного n-кутника з центром у початку координат.
IV. Застосування комплексних чисел до розв'язання алгебраїчних рівнянь 3-ей і 4-ої ступенів.
1. Формула Кардано.
Розглянемо наведене рівняння алгебри 3-го ступеня: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (11).
(Загальне рівняння 3-го ступеня зводиться до наведеного діленням на коефіцієнт при старшого ступеня). За допомогою заміни x = ya / 3 це рівняння прийме вигляд y 3 + py + q = 0 (11 '), де p і q - нові коефіцієнти, залежні від a, b, c. Нехай у 0 - який або корінь рівняння (11 '). Уявімо його у вигляді у 0 = α + β, де α і β - невідомі поки числа, і підставимо в рівняння. Отримаємо α 3 + β 3 + (α + β) (3αβ + p) + q = 0 (12). Виберемо тепер α і β так, щоб 3αβ + р = 0. Такий вибір чисел α і β можливий, тому що вони (взагалі кажучи комплексні) задовольняють системі рівнянь
αβ =- р / 3, а значить, існують.
За цих умов рівняння (12) набуде вигляду α 3 + β 3 + q = 0, а тому ще α 3 β 3 =- р 3 / 27, то отримуємо систему
α 3 β 3 =- р 3 / 27,
з якої по теоремі Вієта випливає, що α 3 та β 3 є корінням рівняння t 2 + qt-p 3 / 27 = 0. Звідси знаходимо: α 3 =- q / 2 + √ q 2 / 4 + p 3 / 27; β 3 =- q/2- √ q 2 / 4 + p 3 / 27, де √ q 2 / 4 + p 3 / 27 означає одне з можливих значень квадратного кореня. Звідси випливає, що корені рівняння (11 ') виражаються формулою D = (q / 2) 2 + (p / 3) 3.
y 1.2.3 = n √-q / 2 + √ q 2 / 4 + p 3 / 27 + 3 √ -q/2- √ q 2 / 4 + p 3 / 27, причому для кожного з трьох значення першого кореня 3 √ α відповідні значення другого кореня 3 √ β потрібно брати так, щоб була виконана умова αβ =- р / 3. Отримана формула називається формулою Кардано (її можна записати в більш компактному вигляді у = 3 √ α + 3 √ β, де α =- q / 2 + √ q 2 / 4 + p 3 / 27; β =- q/2- √ q 2 / 4 + p 3 / 27. Підставивши в неї замість р та q їх вираження через a, b, c і віднімаючи а / 3, отримаємо формулу для рівняння (11).
2. Метод Феррарі для рівняння 4-го ступеня.
Розглянемо наведене рівняння 4-го ступеня x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (13). Зробивши заміну змінної х = у-а / 4, отримаємо рівняння у 4 + ру 2 + qy + r = 0 (14) c коефіцієнтами p, q, r, залежними від a, b, c, d. Перетворимо це рівняння до вигляду (y 2 + p / 2) 2 + qy + (rp 2 / 4) = 0, а потім, увівши довільне поки число α, представимо його ліву частину в рівносильній формі (y 2 + p / 2 + α ) 2 - [2α (y 2 + p / 2) + α 2-qy + p 2 / 4-r] = 0 (15)
Виберемо тепер число α так, щоб вираз у квадратних дужках 2αy 2-qy + (αp + α 2 + p 2 / 4-r) стало повним (точним) квадратом щодо у. Для цього потрібно, щоб його дискримінант дорівнював нулю, тобто щоб q 2-8α (αp + α 2 + p 2 / 4-r) = 0, або 8α 3 +8 pα 2 +8 α (p 2 / 4-r)-q 2 = 0. Таким чином, для знаходження α виходить рівняння 3-го ступеня, і завдання зводиться до попередньої. Якщо як «α» взяти один з коренів цього рівняння, то ліва частина рівняння (15) буде різницею квадратів і тому може бути розкладена в добуток двох многочленів 2-го ступеня щодо «у».
V. Додаткові завдання і вправи, пов'язані з використанням комплексних чисел.
1. Обчислити: ii 2 i 3 ... i 10 =?
Рішення: ii 2 i 3 ... i 10 = i 1 +2 + ... +10 = i 11 ∙ 10 / 2 = i 55 = ii 54 = i (i 2) 27 = i (-1) 27 =- i.
2. Який геометричний сенс висловів: а) | z |, б) Argz; в) | z 1-z 2 |, г) Arg (z 1 / z 2)?
Відповідь: а) відстань від початку координат до точки, що зображує комплексне число z;
б) кут, на який потрібно повернути дійсну вісь до збігу з напрямком вектора 0м, зображує комплексне число z;
в) | z 1-z 2 | - відстань між точками z 1 і z 2, зображують комплексні числа z 1 і z 2;
г) Arg (z 1 / z 2) - кут між зображують векторами 0z 1 і 0z 2.
3. Довести, що cos3φ = cos 3 φ-3sin 2 φcosφ; sin3φ = 3cos 2 φsinφ-sin 3 φ.
4. Знайти дійсні рішення рівняння (3 + i) x + (-5 +2 i) y = 4 +16 i.
x +2 y = 16 x = 8; y = 4.
Відповідь: z = 8 +4 i.
5. Довести тотожність | z 1 + z 2 | 2 + | z 1-z 2 | 2 = 2 (| z 1 | 2 + | z 2 | 2) і обчислити його геометричний зміст.
Доказ: | z 1 + z 2 | 2 + | z 1-z 2 | 2 = (z 1 + z 2) (z 1 + z 2) + (z 1-z 2) (z 1-z 2) = (z 1 + z 2) (z 1 + z 2) + + (z 1-z 2) (z 1-z 2) = 2 z 1 z 1 +2 z 2 z 2 = 2 (| z 1 | 2 + | z 2 | 2).
Геометричний зміст: сума квадратів довжин діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх сторін паралелограма.
6. Знайти геометричне місце точок:
а) | zz 0 | = R; б) z = z 0 + Re it (0 ≤ t <2π)
Відповідь: Коло радіуса R з центром в z 0.
г) | z + i | = | z-3 | = | z-1-i |;
π / 4 ≤ argz ≤ 5π / 4
Рішення:
в) точка z повинна бути віддалена на таку ж відстань від точки z 1 =- 2, як і від точки z 2 = 3i, тобто повинна знаходитися на серединний перпендикуляр, проведеному до відрізка АВ. Отже, шукане геометричне місце точок - це пряма, що проходить через точку С (х с; у с), де х з = (-2 +0) / 2 =- 1; у с = (3 +0) / 2 = 3 / 2, перпендикулярна відрізку АВ.
7. Довести тотожність:
(2x-z) 2 + (2x-z) 2 = 2Re (z 2).
Доказ:
1) (2x-z) 2 + (2x-z) 2 = 4x 2-4xz + z 2 +4 x 2-4xz + z 2 = 8x 2-4x (z + z) + z 2 + z 2 = 8x 2 -4x2x + (z + z) 2 -
-2zz = (2x) 2 -2 | z | 2 = 4x 2 -2 (x 2 + y 2) = 2 (x 2 + y 2) = 2Re (z 2).
2) 2Re (z 2) = 2Re (x + iy) 2 = 2Re (x 2-y 2 +2 ixy) = 2 (x 2-y 2).
8. Вирішити систему рівнянь
(4 +2 i) z 1 + (2 +3 i) z 2 = 7.
Рішення: Застосуємо правило Крамера:
(4 +2 i) + (2 +3 i)
7 (2 +3 i)
(4 +2 i) 7
21 +23 i 21 +23 i
Відповідь: z 1 = 1; z 2 =- i.
9. Довести, що (а 2 +1) (b 2 +1) (c 2 +1) можна представити у вигляді суми квадратів цілих чисел (a, b, c - цілі числа).
Доказ: зауважимо, що а 2 +1 = | a + i | 2, тоді маємо: (а 2 +1) (b 2 +1) (c 2 +1) = (a + i) (ai) (b + i) (bi) (c + i) (ci) = (a + i) (b + i) (c + i) (a + i) (b + i) (c + i) = = ((ab- 1) + i (a + b)) (c + i) ((ab-1) + i (a + b)) (c + i )=((( ab-1) cab) + i ((a + b) c + ab-1)) ((ab-1) ca-b + i ((a + b) c + ab-1) = (abc-(a + b + c)) 2 + (ab + bc + ca-1) 2.
10. Знайти суми:
С = cosφ + cos2φ + ... + cosnφ; S = sinφ + sin2φ + ... + sinnφ.
Рішення: знайдемо суму σ = с + iS = (e iφ + e 2 iφ + ... + e inφ) і виділимо дійсну і уявну її частини, тобто С = Reσ; S = Imσ. Послідовно маємо: e iφ + e 2 iφ + ... + e inφ = e iφ ((1 - e inφ) / (1 - e iφ)) = (e iφ (1 - e inφ) (1 - e - iφ)) / ((1 - e iφ) (1 - e - iφ)) = = (e iφ -1 - e iφ (n +1) + e inφ) / | 1 - e iφ | 2.
Оскільки | 1 - e iφ | 2 = | (1-cosφ)-isinφ | 2 = (1-cosφ) 2 + sin 2 φ = 4sin 2 (φ / 2);
Re (e iφ -1 - e iφ (n +1) + e inφ) = cosφ-1-cos (n +1) φ + cosnφ = =- 2sin 2 (φ / 2) +2 sin (φ / 2) sin (nφ + φ / 2) = 2sin (φ / 2) 2sin (nφ / 2) cos ((n +1) φ) / 2 і Im (e iφ -1 - e iφ (n +1) + e inφ) = sinφ-sin (n +1) φ + sinnφ = 2sin (φ / 2) (cos (φ / 2)-cos (nφ + φ / 2)) = = 2sin (φ / 2) 2sin (nφ / 2) sin (((n +1) φ) / 2), то С = (4sin (φ / 2) sin (nφ / 2) cos (((n +1) φ) / 2)) / (4sin 2 (φ / 2)) = = [sin (nφ / 2) cos (((n +1) φ) / 2))] / sin (φ / 2);
S = (4sin (φ / 2) sin (nφ / 2) cos (((n +1) φ) / 2)) / (4sin 2 (φ / 2)) = = [sin (nφ / 2) cos ( ((n +1) φ) / 2))] / sin (φ / 2)
11. Знайти суму 1 + e π cosπ + e 2π cos2π + ... + e nπ cosnπ.
Рішення: Розглянемо функцію
S (x) = 1 + e x cosx + e 2 x cos2x + ... + e nx cosnx і знайдемо її значення при х = π.
У свою чергу, при знаходженні суми S (x) перейдемо до комплексних числах:
σ (z) = 1 + e x + ix + e 2x + i2x + ... + e nx + inx = 1 + e x (1 + i) + e 2x (1 + i) + ... + e nx (1 + i ) = (1 - (e x (1 + i)) n +1) / (1 - e x (1 + i)) = = 1-e x (n +1) (1 + i) / (1 - e x (1 + i)) = ((1-e x (n +1) (1 + i)) (1-e x (1-i)) / ((1-e x (1 + i)) (1-e x (1-i))) = (1 - e x (n +1) (1 + i) - e x (1-i) + e x (n +2 + ni)) / | 1 - e x (1 + i) | 2 =
= (1-e (n +1) x e i (n +1) x-e x e-ix + e (n +2) x e xni) / (1-2e x cosx + e 2x)
тому що S (x) = Reσ (z), то отримуємо формулу:
S (x) = 1 + e x cosx + e 2 x cos2x + ... + e nx cosnx = (1-e (n +1) x cos (n +1) x + e (n +2) x cosnx-e x cosx) / (1-2e x cosx + e 2 x)
Звідси випливає, що бажана сума дорівнює:
S (π) = 1 + e π cosπ + e 2 π cos2π + ... + e nπ cosnπ = (1 + e π + e π (n +2) (-1) n-e (n +1) (-1 ) n +1) / (1 +2 e π + e 2π) = = ((1 + e π) + (-1) n e π (n +1) (e π +1)) / (e π +1 ) 2 = (1 + (-1) n e π (n +1)) / (1 + e π)
Доказ:
Рішення:
z = 4 √ 1 + i √ 3 = 4 √ a, де a = 1 + i √ 3.
Оскільки а = r (cosφ + isinφ) = 2 (cosπ / 3 + isinπ / 3), то z k = 4 √ 2 (cos (π / 3 +2 Kπ) / 4 + isin (π / 3 +2 Kπ), де К = 0,1,2,3.
Одержуємо:
Z 0 = 4 √ 2 (cosπ/12 + isinπ/12); z 1 = 4 √ 2 (cos7π/12 + isin7π/12);
Z 2 = 4 √ 2 (cos13π/12 + isin13π/12); z 4 = 4 √ 2 (cos19π/12 + isin19π/12).
14. Представити в алгебраїчній формі комплексне число 1 / (1 + i √ 3) 6 -1 / (√ 3-i) 6 = z
Рішення: перетворимо дане число:
Z = ((1-i √ 3) / ((1 + i √ 3) (1-i √ 3))) 6 - ((√ 3 + i) / ((√ 3-i) (√ 3 + i ))) 6 = = (1-i √ 3) 6 / | 1 + i √ 3 | 12 - (√ 3 + i) 6 / | √ 3 + i | 12 = z 1-z 2 = (т.к . | z 1 | = | z 2 | = 2; φ 1 =- π / 3; φ 2 = π / 6, то) = 1 / 2 6 ∙ 6 лютого (cos (-π / 3) + isin (- π / 3)) 6 -1 / 2 6 ∙ 6 лютого (cosπ / 6 + isinπ / 6)) 6 = = cos (-2π) + isin (-2π)-cosπ-isinπ = 1 - (-1) = 2.
VII. Література.
VIII.
1. Кураш А.Г. «Алгебраїчні рівняння довільних ступенів». М., «Наука», 1983.
2. Маркушевич А.І. «Комплексні числа і конформні відображення». М., «Физматгиз», 1960.
3. Будівництво Д.Я. «Короткий нарис історії математики». М., «Наука», 1969.
4. Яглом І.І. «Комплексні числа та їх застосування в геометрії». М., Фізматвид, 1963.
5. Довідник з елементарної математики (для вступників до ВНЗ) під редакцією Фільчакова П.Ф. «Наукова Думка», Київ - 1972.