МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Державні освітні установи
ВИЩОЇ ОСВІТИ
«Воронезького державного ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА АГЛЕБРИ І ГЕОМЕТРІЇ
Комплексні числа
(Вибрані завдання)
ВИПУСКНА КВАЛІФІКАЦІЙНА РОБОТА
за фахом 050201.65 математика
(З додатковою спеціальністю 050202.65 інформатика)
Виконала: студентка 5 курсу
фізико-математичного
факультету
Науковий керівник:
ВОРОНІЖ - 2008
Зміст
1. Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в алгебраїчній формі .... ... ... ... ... ... .... ....
2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел ... ... ... ... .. ...
2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел
2.4. Додаток теорії комплексних чисел до розв'язання рівнянь 3-й і 4-го ступеня ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.5. Комплексні числа і параметри ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
3. Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .................
4. Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ...............
1. Введення
У програмі математики шкільного курсу теорія чисел вводиться на прикладах множин натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто на множині дійсних чисел, зображення яких заповнюють всю числову вісь. Але вже у 8 класі запасу дійсних чисел не вистачає, вирішуючи квадратні рівняння при негативному дискримінант. Тому було необхідно поповнити запас дійсних чисел за допомогою комплексних чисел, для яких квадратний корінь з від'ємного числа має сенс.
Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, полягає в тому, що поняття комплексного числа розширює знання учнів про числові системах, про рішення широкого класу задач як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про рішення алгебраїчних рівнянь будь-якого ступеня і про рішення задач з параметрами.
У даній дипломній роботі розглянуто рішення 82-х завдань.
У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведено вирішення завдань з комплексними числами в алгебраїчній формі, визначаються операції додавання, віднімання, множення, ділення, операція сполучення для комплексних чисел у алгебраїчній формі, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило добування квадратного кореня з комплексного числа.
У другій частині вирішуються завдання на геометричну інтерпретацію комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексній площині.
У третій частині розглянуті дії над комплексними числами в тригонометричній формі. Використовуються формули: Муавра і добування кореня з комплексного числа.
Четверта частина присвячена вирішенню рівнянь 3-й і 4-го ступенів.
При вирішенні завдань останньої частини «Комплексні числа і параметри» використовуються і закріплюються відомості, наведені в попередніх частинах. Серія завдань глави присвячена визначенню сімейств ліній в комплексній площині, заданих рівняннями (нерівностями) з параметром. У частині вправ потрібно вирішити рівняння з параметром (над полем С). Є завдання, де комплексна змінна задовольняє одночасно ряду умов. Особливістю вирішення завдань цього розділу є зведення багатьох з них до вирішення рівнянь (нерівностей, систем) другого ступеня, ірраціональних, тригонометричних з параметром.
Особливістю викладу матеріалу з кожної частини є первинний введення теоретичних основ, а надалі практичне їх застосування при вирішенні завдань.
В кінці дипломної роботи наведено список використаної літератури. У більшості з них досить докладно і доступно викладено теоретичний матеріал, розглянуті рішення деяких завдань і дані практичні завдання для самостійного рішення. Особливу увагу хочеться звернути на такі джерела, як:
1. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. [10]. Матеріал навчального посібника викладено у вигляді лекційних та практичних занять.
2. Шклярський Д.О., Ченцов М.М., Яглом І.М. Вибрані задачі та теореми елементарної математики. Арифметика і алгебра. [21] Книга містить 320 завдань, що належать до алгебри, арифметики і теорії чисел. За своїм характером ці завдання значно відрізняються від стандартних шкільних завдань.
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в алгебраїчній формі
Рішення багатьох задач математики, фізики зводиться до вирішення алгебраїчних рівнянь, тобто рівнянь виду
,
де a0, a1, ..., an дійсні числа. Тому дослідження алгебраїчних рівнянь є одним з найважливіших питань у математиці. Наприклад, дійсних коренів не має квадратне рівняння з негативним дискримінант. Найпростішим таким рівнянням є рівняння
.
Для того щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити безліч дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння
.
Позначимо цей корінь через . Таким чином, за визначенням
, Або ,
отже, .
Символ називається уявною одиницею. З його допомогою і з допомогою пари дійсних чисел і складається вираз виду
.
Отриманий вираз назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, так і уявну частини.
Отже, комплексними числами називаються вирази виду
,
де і - Дійсні числа, а - Деякий символ, що задовольняє умові . Число називається дійсною частиною комплексного числа , А число - Його уявною частиною. Для їх позначення використовуються символи
, .
Комплексні числа виду є дійсними числами і, отже, безліч комплексних чисел містить в собі безліч дійсних чисел.
Комплексні числа виду називаються чисто уявними. Два комплексних числа виду і називаються рівними, якщо рівні їх дійсні та уявні частини, тобто якщо виконуються рівності
, .
Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє здійснювати операції з ними за звичайними правилами алгебри.
Сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число виду
.
Твором двох комплексних чисел і називається комплексне число виду
.
1. Комутативними (переместительное) закон додавання:
.
2. Асоціативний (сочетательність) закон додавання:
.
3. Комутативними закон множення:
.
4. Асоціативний закон множення:
.
5. Дистрибутивний (розподільний) закон множення відносно додавання:
.
6. .
7. .
8. .
9. Будь-якому комплексному числу відповідає протилежне комплексне число таке, що .
10. Всякому комплексному числу відмінному від нуля, відповідає зворотне комплексне число таке, що .
Ступені уявної одиниці.
Якщо натуральний показник ступеня m при діленні на 4 дає в залишку r, тобто якщо , Де n - натуральне число, то
;
при цьому
Комплексне число називається зв'язаним комплексному числу , Якщо
.
Властивості операції сполучення.
1.
2. Для будь-якого дійсного числа a справедливо рівність
3. Для будь-якого дійсного числа b справедливо рівність
4.
5.
Слідство з 5.
6.
7. Сума та добуток двох комплексно спряжених чисел є дійсними числами.
Слідство з 7.
Модулем комплексного числа називається дійсне число вигляду
.
8. Теорема про зв'язаному корені.
Якщо число є коренем рівняння
(1)
з дійсним коефіцієнтами a0, a1, ..., an, то число також є коренем рівняння (1).
Витяг квадратного кореня з комплексного числа . Нехай
,
де x і y - дійсні числа. Зводячи обидві частини цієї рівності в квадрат, отримуємо
.
Що рівносильно системі
Вирішуючи цю систему, отримуємо:
; .
Таким чином, добування кореня квадратного з комплексного числа здійснюється за формулою
.
У дужках перед уявною одиницею береться знак плюс, якщо , І знак мінус, якщо .
Завдання 1. Знайдіть комплексні корені рівняння , Якщо:
а) ; Б) , В) .
Рішення
а) .
Так як , То це рівняння можна записати у вигляді або . Звідси, розкладаючи ліву частину на множники, отримуємо , Звідки , .
б) .
Враховуючи, що , Перетворимо це рівняння: , , , , Звідки , .
в) .
Перетворимо , , , Звідки , .
Відповідь: а) ; Б) , В) .
Завдання 2. Знайдіть x і y, для яких .
Рішення
Отримаємо і вирішимо систему двох рівнянь:
Відповідь: .
Завдання 3. Розв'яжіть рівняння щодо дійсних змінних x і y.
Рішення
Ліву частину рівняння можна розглядати, як деяке невідоме комплексне число. Привівши його до виду , Отримуємо рівняння рівносильне даному: . Оскільки два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні та уявні частини, приходимо до системи:
Відповідь: .
Завдання 4. За яких дійсних значеннях x та y комплексні числа і будуть протилежними?
Рішення
Комплексні числа і будуть протилежними, якщо виконуються умови:
Відповідь: ; .
Завдання 5. За яких дійсних значеннях x та y комплексні числа і будуть рівними?
Рішення
Комплексні числа і будуть рівними, якщо виконуються умови:
Відповідь: ; .
Завдання 6. Розв'яжіть рівняння щодо дійсних змінних x і y.
Рішення
Ліву частину рівняння можна розглядати, як деяке невідоме комплексне число. Привівши його до виду , Отримуємо рівняння рівносильне даному: . Оскільки два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні та уявні частини, приходимо до системи:
Відповідь: .
Завдання 7. Вирішіть в безлічі комплексних чисел рівняння .
Рішення
Так як , Тоді корені знаходяться за формулою
( ).
Звідси, , .
Відповідь: .
Завдання 8. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
Перепишемо рівняння у вигляді .
Вважаючи , Отримаємо рівняння , Яке має корінь . Тому ліву частину цього рівняння можна представити у вигляді добутку двочлена і квадратного тричлена.
Для знаходження коефіцієнтів квадратного тричлена застосуємо схему Горнера:
Отже, отримуємо рівняння .
Квадратний тричлен має коріння і .
Отже, вихідне рівняння має корені: , , .
Відповідь: ; .
Завдання 9. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
Коріння цього рівняння знаходяться за формулами
, ,
де і - Числа, що задовольняють умові . Звідси . Нехай , Тоді , Т. е. . Два комплексних числа рівні, отже, рівні їх дійсні та уявні частини:
Знаходимо два рішення цієї системи: , . Таким чином,
рішеннями вихідного рівняння є числа , І
, Т. е. , .
Відповідь: ; .
Завдання 10. Проведіть дії з комплексними числами в алгебраїчній формі:
а) ; Б) , В) .
Рішення
а)
б)
в)
Відповідь: а) ; Б) , В) .
Задача 11. Проведіть такі дії над комплексними числами:
а) ; Б) , В) ; Г) .
Рішення
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Відповідь: а) ; Б) , В) ; Г) .
Задача 12. Запишіть комплексне число у вигляді .
Рішення
Маємо
Відповідь: .
Задача 13. Знайдіть значення функції при .
Рішення
Підставимо значення x у функцію:
.
Обчислимо другий доданок:
.
Обчислимо перший доданок:
.
Таким чином, .
Відповідь: .
Завдання 14. Обчисліть ; ; ; .
Рішення
За допомогою формули:
Легко отримуємо:
;
;
;
.
Відповідь: ; ; ; .
Задача 15. Виконайте зазначені дії: .
Рішення
Обчислимо значення дробу .
Отже,
Відповідь: .
Завдання 16. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
За формулою , Знаходимо:
.
Зауважимо, що знайдені в цьому завданні коріння є сполученими: і . Знайдемо суму і добуток цих коренів: , . Число 4 - це другий коефіцієнт рівняння , Взятий з протилежним знаком, а число 13 - вільний член, тобто в цьому випадку справедлива теорема Вієта. Вона справедлива для будь-якого квадратного рівняння: якщо і - Корені рівняння , Де , .
Відповідь: .
Завдання 17. Складіть наведене квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, що має корінь .
Рішення
Другий корінь рівняння є числом, зв'язаних з даним коренем , Тобто . По теоремі Вієта знаходимо
; ,
де число 2 - це другий коефіцієнт рівняння, взятий з протилежним знаком, а число 5 - вільний член. Таким чином, отримуємо рівняння
.
Відповідь: Державні освітні установи
ВИЩОЇ ОСВІТИ
«Воронезького державного ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА АГЛЕБРИ І ГЕОМЕТРІЇ
Комплексні числа
(Вибрані завдання)
ВИПУСКНА КВАЛІФІКАЦІЙНА РОБОТА
за фахом 050201.65 математика
(З додатковою спеціальністю 050202.65 інформатика)
Виконала: студентка 5 курсу
фізико-математичного
факультету
Науковий керівник:
ВОРОНІЖ - 2008
Зміст
1. Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в алгебраїчній формі .... ... ... ... ... ... .... ....
2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел ... ... ... ... .. ...
2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел
2.4. Додаток теорії комплексних чисел до розв'язання рівнянь 3-й і 4-го ступеня ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.5. Комплексні числа і параметри ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
3. Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .................
4. Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ...............
1. Введення
У програмі математики шкільного курсу теорія чисел вводиться на прикладах множин натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто на множині дійсних чисел, зображення яких заповнюють всю числову вісь. Але вже у 8 класі запасу дійсних чисел не вистачає, вирішуючи квадратні рівняння при негативному дискримінант. Тому було необхідно поповнити запас дійсних чисел за допомогою комплексних чисел, для яких квадратний корінь з від'ємного числа має сенс.
Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, полягає в тому, що поняття комплексного числа розширює знання учнів про числові системах, про рішення широкого класу задач як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про рішення алгебраїчних рівнянь будь-якого ступеня і про рішення задач з параметрами.
У даній дипломній роботі розглянуто рішення 82-х завдань.
У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведено вирішення завдань з комплексними числами в алгебраїчній формі, визначаються операції додавання, віднімання, множення, ділення, операція сполучення для комплексних чисел у алгебраїчній формі, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило добування квадратного кореня з комплексного числа.
У другій частині вирішуються завдання на геометричну інтерпретацію комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексній площині.
У третій частині розглянуті дії над комплексними числами в тригонометричній формі. Використовуються формули: Муавра і добування кореня з комплексного числа.
Четверта частина присвячена вирішенню рівнянь 3-й і 4-го ступенів.
При вирішенні завдань останньої частини «Комплексні числа і параметри» використовуються і закріплюються відомості, наведені в попередніх частинах. Серія завдань глави присвячена визначенню сімейств ліній в комплексній площині, заданих рівняннями (нерівностями) з параметром. У частині вправ потрібно вирішити рівняння з параметром (над полем С). Є завдання, де комплексна змінна задовольняє одночасно ряду умов. Особливістю вирішення завдань цього розділу є зведення багатьох з них до вирішення рівнянь (нерівностей, систем) другого ступеня, ірраціональних, тригонометричних з параметром.
Особливістю викладу матеріалу з кожної частини є первинний введення теоретичних основ, а надалі практичне їх застосування при вирішенні завдань.
В кінці дипломної роботи наведено список використаної літератури. У більшості з них досить докладно і доступно викладено теоретичний матеріал, розглянуті рішення деяких завдань і дані практичні завдання для самостійного рішення. Особливу увагу хочеться звернути на такі джерела, як:
1. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. [10]. Матеріал навчального посібника викладено у вигляді лекційних та практичних занять.
2. Шклярський Д.О., Ченцов М.М., Яглом І.М. Вибрані задачі та теореми елементарної математики. Арифметика і алгебра. [21] Книга містить 320 завдань, що належать до алгебри, арифметики і теорії чисел. За своїм характером ці завдання значно відрізняються від стандартних шкільних завдань.
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в алгебраїчній формі
Рішення багатьох задач математики, фізики зводиться до вирішення алгебраїчних рівнянь, тобто рівнянь виду
де a0, a1, ..., an дійсні числа. Тому дослідження алгебраїчних рівнянь є одним з найважливіших питань у математиці. Наприклад, дійсних коренів не має квадратне рівняння з негативним дискримінант. Найпростішим таким рівнянням є рівняння
Для того щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити безліч дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння
Позначимо цей корінь через
отже,
Символ
Отриманий вираз назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, так і уявну частини.
Отже, комплексними числами називаються вирази виду
де
Комплексні числа виду
Комплексні числа виду
Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє здійснювати операції з ними за звичайними правилами алгебри.
Сумою двох комплексних чисел
Твором двох комплексних чисел
1. Комутативними (переместительное) закон додавання:
2. Асоціативний (сочетательність) закон додавання:
3. Комутативними закон множення:
4. Асоціативний закон множення:
5. Дистрибутивний (розподільний) закон множення відносно додавання:
6.
7.
8.
9. Будь-якому комплексному числу
10. Всякому комплексному числу
Ступені уявної одиниці.
Якщо натуральний показник ступеня m при діленні на 4 дає в залишку r, тобто якщо
при цьому
Комплексне число
Властивості операції сполучення.
1.
2. Для будь-якого дійсного числа a справедливо рівність
3. Для будь-якого дійсного числа b справедливо рівність
4.
5.
Слідство з 5.
6.
7. Сума та добуток двох комплексно спряжених чисел є дійсними числами.
Слідство з 7.
Модулем комплексного числа
8. Теорема про зв'язаному корені.
Якщо число
з дійсним коефіцієнтами a0, a1, ..., an, то число
Витяг квадратного кореня з комплексного числа
де x і y - дійсні числа. Зводячи обидві частини цієї рівності в квадрат, отримуємо
Що рівносильно системі
Вирішуючи цю систему, отримуємо:
Таким чином, добування кореня квадратного з комплексного числа здійснюється за формулою
У дужках перед уявною одиницею береться знак плюс, якщо
Завдання 1. Знайдіть комплексні корені рівняння
а)
Рішення
а)
Так як
б)
Враховуючи, що
в)
Перетворимо
Відповідь: а)
Завдання 2. Знайдіть x і y, для яких
Рішення
Отримаємо і вирішимо систему двох рівнянь:
Відповідь:
Завдання 3. Розв'яжіть рівняння
Рішення
Ліву частину рівняння можна розглядати, як деяке невідоме комплексне число. Привівши його до виду
Відповідь:
Завдання 4. За яких дійсних значеннях x та y комплексні числа
Рішення
Комплексні числа
Відповідь:
Завдання 5. За яких дійсних значеннях x та y комплексні числа
Рішення
Комплексні числа
Відповідь:
Завдання 6. Розв'яжіть рівняння
Рішення
Ліву частину рівняння можна розглядати, як деяке невідоме комплексне число. Привівши його до виду
Відповідь:
Завдання 7. Вирішіть в безлічі комплексних чисел рівняння
Рішення
Так як
Звідси,
Відповідь:
Завдання 8. Розв'яжіть рівняння
Рішення
Перепишемо рівняння у вигляді
Вважаючи
Для знаходження коефіцієнтів квадратного тричлена застосуємо схему Горнера:
1 | 1 | 2 | - 4 | |
1 | 1 | 2 | 4 | 0 |
Квадратний тричлен
Отже, вихідне рівняння має корені:
Відповідь:
Завдання 9. Розв'яжіть рівняння
Рішення
Коріння цього рівняння знаходяться за формулами
де
Знаходимо два рішення цієї системи:
рішеннями вихідного рівняння є числа
Відповідь:
Завдання 10. Проведіть дії з комплексними числами в алгебраїчній формі:
а)
Рішення
а)
б)
в)
Відповідь: а)
Задача 11. Проведіть такі дії над комплексними числами:
а)
Рішення
а)
б)
в)
г)
Відповідь: а)
Задача 12. Запишіть комплексне число
Рішення
Маємо
Відповідь:
Задача 13. Знайдіть значення функції
Рішення
Підставимо значення x у функцію:
Обчислимо другий доданок:
Обчислимо перший доданок:
Таким чином,
Відповідь:
Завдання 14. Обчисліть
Рішення
За допомогою формули:
Легко отримуємо:
Відповідь:
Задача 15. Виконайте зазначені дії:
Рішення
Обчислимо значення дробу
Отже,
Відповідь:
Завдання 16. Розв'яжіть рівняння
Рішення
За формулою
Зауважимо, що знайдені в цьому завданні коріння є сполученими:
Відповідь:
Завдання 17. Складіть наведене квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, що має корінь
Рішення
Другий корінь
де число 2 - це другий коефіцієнт рівняння, взятий з протилежним знаком, а число 5 - вільний член. Таким чином, отримуємо рівняння
Завдання 18. Дано числа
а)
Рішення
а)
б)
Задача 19. Знаючи, що коренем рівняння
Рішення
Оскільки всі коефіцієнти даного рівняння - дійсні числа, то на підставі теореми про зв'язаному корені, робимо висновок, що число
Нехай
Розділимо обидві частини останнього рівності на
Отже,
Відповідь:
Завдання 20. Знайдіть всі комплексні числа, кожне з яких пов'язане зі своїм квадратом.
Рішення
Нехай
За умовою задачі маємо:
Перетворивши це рівняння, отримаємо:
Два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні відповідно до їх дійсні та уявні частини. Отже, останнє рівняння рівносильно наступній системі рівнянь з дійсними змінними x і y:
Можливі два випадки:
1)
має наступні рішення:
2)
Отже, шуканих чисел чотири:
Відповідь:
Завдання 21. Відомо, що
а)
Рішення
а)
б)
Відповідь: а)
Завдання 22. За яких дійсних значеннях x та y комплексні числа
Рішення
Комплексні числа
плексного сполученими, якщо виконуються умови:
Відповідь:
Завдання 23. Доведіть тотожність
Рішення
Нехай
Звідси легко слід доказуване тотожність.
Завдання 24. Доведіть, що якщо число
Рішення
За умовою
Тотожність доведено.
Завдання 25. Нехай
Рішення
Оскільки
Тотожність доведено.
Завдання 26. Розв'яжіть рівняння
Рішення
Нехай
З другого рівняння цієї системи знаходимо: x = 0 і y = 0. При x = 0 перше рівняння системи запишеться у вигляді
При y = 0 для знаходження x отримуємо рівняння
Відповідь:
Завдання 27. Вирішити систему рівнянь:
Рішення
Вважаючи
отже,
Після перетворень дана система приймає вигляд
Рішення отриманої системи є пари
Відповідь:
Завдання 28. Доведіть, що якщо
Рішення
Припустимо, що існує таке комплексне число
Оскільки
то
Отже,
Отримане протиріччя доводить твердження.
Завдання 29. Розв'яжіть рівняння
Рішення
За формулами коренів квадратного рівняння маємо:
Вилучаючи корінь квадратний з числа
Отже,
Відповідь:
Завдання 30. Вийміть квадратний корінь із комплексного числа
Рішення
Нехай
За формулою
Таким чином
Відповідь:
Завдання 31. Розв'яжіть рівняння:
Рішення
Маємо
Отримуємо
Винесемо квадратний корінь із комплексного числа
Так як
Отже,
Де
Можна зробити перевірку по теоремі Вієта:
Відповідь:
Завдання 32.
Нехай
Рішення
Знаходимо
Використовуючи умову рівності двох комплексних чисел, отримуємо систему
Відповідь:
2. 2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел
Введемо на площині прямокутну систему координат xOy і поставимо відповідно кожному комплексному числу
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
y |
z |
a |
b |
0 |
Рис. 1
Таким чином, z одночасно позначають і комплексне число, і точку, яка зображує це комплексне число.
Комплексне число
Оскільки при зазначену відповідність дійсні числа
Комплексне число
модуль комплексного числа дорівнює довжині вектора
Завдання 33. Зобразіть на комплексній площині (рис.2), такі комплексні числа:
Рішення
Даним комплексним числах відповідають точки комплексній площині.
Покажемо їх.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
D |
3 |
0 |
4 |
1 |
-3 |
-3 |
-1 |
A |
C |
B |
Рис.2
Завдання 34. Знайдіть комплексну координату середини відрізка AB, якщо комплексні координати його кінців рівні
Рішення
Позначимо середину відрізка AB через O1. Тоді
Враховуючи, що комплексна координата вектора дорівнює
Відповідь:
Завдання 35. Зобразіть графічно безліч усіх точок комплексної площині, для яких виконуються дані умови:
а)
е)
Рішення
а)
Безліч точок - пряма
|
x |
3 |
0 |
y = 3 |
Рис. 3.
б)
Безліч точок - верхня щодо осі OX полуплоскость, включаючи пряму
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
0 |
Рис. 4.
в)
Безліч точок - пряма
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
0 |
-1 |
x =- 1 |
y |
Рис. 5.
г)
Безліч точок - ліва відносно прямої
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
0 |
3 |
x = 3 |
y |
Рис. 6.
д)
Безліч точок - пряма
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
y |
0 |
y = 0 |
Рис. 7.
е) Якщо
SHAPE \ * MERGEFORMAT
0 |
2 |
3 |
x |
y |
Рис. 8.
ж) Якщо
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
-1 |
y |
0 |
y =- 1 |
Рис. 9.
з) Якщо
Перетворимо його
Таким чином, безліч точок - це коло з центром у точці O
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
y |
0 |
Рис. 10.
і)
Безліч точок - коло з центром у початку координат
к) За умовою
Приходимо до висновку: шукане безліч точок - позитивна піввісь Ox з початком у точці
Завдання 36. Зобразіть на площині XOY безліч, усіх точок
а)
Рішення
а)
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
0 |
y |
1 |
(0; 1) |
z = i |
Рис. 11.
б)
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
Рис. 12.
в)
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
0 |
x |
Рис. 13.
г)
Звідси знаходимо:
Таким чином,
SHAPE \ * MERGEFORMAT
(0; -1) |
z =- i |
y |
(0; 1) |
0 |
z = i |
x |
Рис. 14.
д)
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
(-1; 0) |
(-2; 0) |
(-3; 0) |
x |
0 |
Рис. 15.
Завдання 37. Доведіть, що відстань між точками
Рішення
Так як
Тобто, як відомо з геометрії, формула відстані між двома точками
Завдання 38. Доведіть, що якщо точка
Рішення
Всі крапки
Завдання 39. Вкажіть, де на площині розташовані точки, відповідні комплексним числах
Рішення
Уявімо вираз
Нерівності
Так як нас цікавлять точки, що задовольняють одночасно двом умовам:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
-4 |
x |
-2 |
2 |
0 |
Рис. 16.
Завдання 40. Вкажіть, де на площині розташовані точки, відповідні комплексним числам, що задовольняє умові:
Рішення
Рівність
Тому цього рівності задовольняють точки півплощини, що лежать нижче прямої l не входить у вказану область, тому що дана нерівність суворе (рис. 17).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
0 |
l |
1 |
y |
Рис. 17.
Завдання 41. Зобразіть на площині комплексні числа
Рішення
Цим числах відповідають три точки: A (
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
y |
0 |
1 |
A |
B |
C |
Рис. 18.
Завдання 42. Зобразіть на площині комплексні числа
Рішення
Отримали дві точки: B (
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
y |
0 |
1 |
B |
C |
Рис. 19.
Завдання 43. Зобразіть безліч точок комплексної площині, що задовольняють умові:
Рішення
Дане нерівність рівносильно виконання двох умов:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
y |
0 |
2 |
-2 |
Рис. 20.
Завдання 44. Зобразіть безліч точок комплексної площині, що задовольняють умові:
Рішення
Дане нерівність рівносильно виконання двох умов:
Перетворимо його
Отримуємо
Шукана область - коло з центром у точці (0; 2) радіуса 2, включаючи кордон кола і виключаючи точку (0; 1) (рис. 21).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
0 |
1 |
2 |
Рис. 21.
Завдання 45. Зобразіть безліч точок комплексної площині, що задовольняють умові:
Рішення
Покладемо
Тоді
Нерівність
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
0 |
1 |
1 |
y |
Рис. 22
Завдання 46. Зобразіть на комплексній площині безліч точок, що задовольняють нерівностям:
Рішення
Уявімо число
За умовою,
Ліва частина подвійного нерівності задає область, що лежить поза колом з центром в точці K (-0,5; 0,5) і радіусом 1. права частина задає коло з центром в точці K і радіусом 2. У кожному випадку кордон не включається в заданий безліч. Шукане безліч точок зображено на рис. 23.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
0 |
1 |
1 |
K |
Рис.23.
Завдання 47. З усіх чисел
Рішення
I спосіб.
Нехай
Рівняння
Дійсно, для точок P і Q значення
|
x |
O |
B |
P |
Q |
A |
Рис. 24.
Знайдемо координати точок P та Q. Ці точки лежать на прямій AB, яка задається рівнянням
Так як
Рівняння
II спосіб. Нехай
Перетворимо останній вираз до виду
так як
звідки .
Зробимо заміну
Досліджуємо функцію
Неважко переконатися в тому, що якщо
Значенням
Відповідь:
Зауваження. Звичайно, II спосіб більш трудомісткий, але разом з тим і більш універсальний. Зокрема, якщо б на відрізку AB не знайшлося жодної точки, що задовольняє заданому в умові рівності, то рішення I способом було б взагалі неможливо.
Завдання 48. Зобразіть безліч точок
Рішення
Уявімо
Уявна частина дробу дорівнює
Нерівність
Нерівність
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
y |
0 |
1 |
1 |
Рис. 25.
Завдання 49. Серед комплексних чисел
Рішення
Скористаємося геометричним змістом модуля комплексного числа. Як відомо, для комплексних чисел
Відповідь:
Завдання 50. Нехай M - множина точок
Рішення
I спосіб.
Нехай
За умовою,
Безліч K точок комплексної площині, що задовольняють цій умові, є коло з центром у точці O2 (-
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
O |
O 1 |
O 2 |
N |
P |
Рис. 26.
Відповідь: 1.
Зауваження. Геометричне обгрунтування того, що довжина відрізка PN є відстань між даними фігурами, дуже просто. Дійсно, візьмемо на колах K і M такі точки N1 і P1 відповідно (рис. 27), що
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
O |
O 1 |
O 2 |
N |
P |
N 1 |
P 1 |
Рис. 27.
II спосіб.
Запишемо нерівності
Завдання 51. Знайдіть найбільший модуль комплексного числа
Рішення
Так як
Оскільки OA = 5,
Відповідь: 6.
Завдання 52. Вирішіть систему рівнянь
Рішення
Так як
Відповідь:
Завдання 53. Зобразіть на комплексній площині безліч точок, які відповідають умові
Рішення
Нехай
Шукане безліч зображено на рис. 28. Відзначимо, що кордон безлічі (пряма
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
y |
0 |
1 |
1 |
Рис. 28.
Завдання 53. Безліч точок комплексної площини визначається умова
Рішення
Безліч точок, заданий умовою
Нехай
має хоча б одне рішення?
Остання система рівносильна наступною:
Ця система має рішення тоді, коли має рішення квадратне нерівність
Відповідь:
2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел
Нехай вектор
Позначимо через φ кут між позитивною полуосью Ox і вектором
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
y |
A |
a |
b |
0 |
φ |
Рис. 29
Позначимо довжину вектора
Тоді
Запис відмінного від нуля комплексного числа z у вигляді
називається тригонометричної формою комплексного числа z. Число r називається модулем комплексного числа z, а число φ називається аргументом цього комплексного числа і позначається Arg z.
Тригонометрична форма запису комплексного числа - (формула Ейлера) - показова форма запису комплексного числа:
У комплексного числа z є нескінченно багато аргументів: якщо φ0 - який-небудь аргумент числа z, то всі інші можна знайти за формулою
Для комплексного числа
Таким чином, аргументом відмінного від нуля комплексного числа
Значення φ аргументу комплексного числа z, задовольняє нерівностям
Аргументи Arg z і arg z пов'язані рівністю
де
Формула
Головне значення аргументу відмінного від нуля комплексного числа
Формули множення і ділення комплексних чисел в тригонометричній формі мають такий вигляд:
При зведенні в натуральну ступінь комплексного числа використовується формула Муавра:
Під час вилучення кореня з комплексного числа використовується формула:
де k = 0, 1, 2, ..., n-1.
Завдання 54. Обчисліть
Рішення
Уявімо рішення цього виразу в показовій формі запису комплексного числа:
Якщо
Тоді
Відповідь:
Завдання 55. Запишіть комплексні числа у тригонометричній формі:
а)
Рішення
Так як тригонометрична форма комплексного числа має вигляд
а) У комплексному числі
Тоді
Тому
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Тому
Відповідь:
Завдання 56. Знайдіть тригонометричну форму комплексного числа
Рішення
Нехай
Тоді
Оскільки
Отже,
Відповідь:
Завдання 57. Використовуючи тригонометричну форму комплексного числа, зробіть зазначені дії:
Рішення.
Уявімо числа
1)
Знаходимо значення головного аргументу
Підставимо значення
2)
3) Знайдемо приватне
Далі, застосовуючи формулу (9) отримаємо:
Вважаючи k = 0, 1, 2, отримаємо три різних значення шуканого кореня:
Якщо
якщо
якщо
Відповідь:
Завдання 58. Нехай
а) число
б) має місце рівність:
Рішення
а) Уявімо дані комплексні числа у тригонометричній формі:
Припустимо, що
Останній вираз є позитивним числом, тому що під знаками синусів стоять числа з інтервалу
б) Маємо
так як число
Крім того,
Завдання 59. Запишіть в алгебраїчній формі число
Рішення
Уявімо число
Звідси випливає рівність:
Застосовуючи формулу Муавра:
отримуємо
Знайдена тригонометрична форма заданого числа.
Запишемо тепер це число в алгебраїчній формі:
Відповідь:
Завдання 60. Знайдіть суму
Рішення
Розглянемо суму
Застосовуючи формулу Муавра, знайдемо
Ця сума являє собою суму n членів геометричної прогресії зі знаменником
Застосовуючи формулу для суми членів такої прогресії, маємо
Виділяючи уявну частину в останньому виразі, знаходимо
Отже,
Виділяючи дійсну частину, отримуємо також наступну формулу:
Відповідь:
Завдання 61. Знайдіть суму:
а)
Рішення
За формулою Ньютона для зведення в ступінь маємо
За формулою Муавра знаходимо:
Прирівнюючи речові та уявні частини отриманих виразів для
Ці формули в компактному вигляді можна записати так:
Відповідь:
Завдання 62. Знайдіть всі
Рішення
Оскільки
Отже,
Точки, що відповідають числах
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
2 |
2 |
(0; 0) |
Рис. 30.
Відповідь:
Завдання 63. Розв'яжіть рівняння
Рішення
За умовою
Для того щоб число z було коренем даного рівняння, потрібно, щоб число
Звідси укладаємо, що вихідне рівняння має
Таким чином,
т. е.
Відповідь:
Завдання 64. Вирішіть в безлічі комплексних чисел рівняння
Рішення
Так як число
Всі корені цього рівняння виходять з формули (див. завдання 62):
Відповідь:
Завдання 65. Зобразіть на комплексній площині безліч точок, що задовольняють нерівностям:
Рішення
Нехай
Тоді
Комплексним числах, які мають однакові модулі, відповідають точки площини, що лежать на колі з центром на початку координат, тому нерівності
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
1 |
0 |
-1 |
Рис. 31.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
Рис. 32.
Перетворення
Запропонований спосіб, що використовує ідею геометричних перетворень площини, напевно, менш зручний в описі, але вельми витончений і ефективний.
Завдання 66. Знайдіть
Рішення
Нехай
Запишемо число z в тригонометричній формі:
Відповідь: - 64.
Завдання 67. Для комплексного числа
Рішення
Уявімо число
У першому випадку
Відповідь:
Завдання 68. Знайдіть суму таких чисел
Рішення
Зауважимо, що вже з самої формулювання завдання можна зрозуміти, що сума коренів рівняння можна знайти без обчислення самих коренів. Дійсно, сума коренів рівняння
Наведемо й інше можливе обгрунтування. Нехай
Припустимо і таке рішення. Представивши праву частину вихідного рівняння в тригонометричній формі, одержимо
Далі обчислюємо суму чотирьох коренів, яка дорівнює нулю.
Відповідь:
2.4. Додаток теорії комплексних чисел до розв'язання рівнянь
3 - і 4-го ступеня
Розглянемо рішення кубічного рівняння
на конкретному прикладі.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння
Рішення. Наведемо спочатку наше рівняння до рівняння, що не містить квадрат невідомої (таке рівняння називається наведеним), тобто до рівняння виду:
для чого зробимо підстановку:
Отримаємо рівняння:
Розкривши дужки і привівши подібні члени, приходимо до рівняння:
де
(Замечаніе.
Перехід до наведеного кубічному рівняння можна здійснити за допомогою схеми Горнера, розклавши многочлен
Для коренів кубічного рівняння
є так звана формула Кардано, хоча правильніше було б її називати формулою дель Ферро - Тартальї - Кардано.
Вперше наведене кубічне рівняння
вирішив професор Болонського університету Сципіон дель Ферро в кінці XV століття. Потім в 1535 році ті ж формули були виведені Ніколо Тарталей. Нарешті, в 1545 році рішення рівняння (1) було викладено у книзі Джироламо Кардано "Ars Magna" ("Велике мистецтво").
Формули Кардано мають вигляд:
де
Практично коріння
Нехай
де e1 і e2 - значення кореня кубічного з 1, тобто
Якщо обчислити
Дійсно,
Аналогічно доводиться рівність
Підставляючи отримані значення
знаходимо практичні формули:
У нашому випадку:
Таким чином, покладемо
отже,
З останніх рівностей, враховуючи, що
Відповідь:
Для наведеного кубічного рівняння
дискримінант обчислюється за формулою:
При цьому:
а) якщо
б) якщо
в) якщо
Таким чином, в будь-якому випадку рівняння (3) з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь.
Розглянемо рішення рівняння 4-го ступеня методом Феррарі на конкретному прикладі.
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння
Рішення.
Залишимо в лівій частині рівняння члени, що містять
Доповнимо ліву частину отриманого рівняння до квадрата:
або
Введемо в повний квадрат лівій частині рівності (1) параметр r:
Звідки з урахуванням рівності (1) отримаємо:
Підберемо значення параметра r таким чином, щоб дискримінант правій частині рівності (2) звернувся в нуль (тобто щоб у правій частині рівності (2) також вийшов повний квадрат).
Дискримінант D дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли число r є коренем рівняння:
Зокрема,
Підставивши значення
або
Звідки,
Отже,
Відповідь:
Завдання 69. Розв'яжіть рівняння
Рішення
Дане рівняння - приведений. Тут
Для вилучення кубічного кореня з комплексного числа
подамо його у тригонометричній формі:
тому
При
Значить,
тому
Отже,
Відповідь: 2;
Завдання 70. Розв'яжіть рівняння
Рішення
Поклавши
За формулами Кардано:
Легко бачити, що
Отже, число
кореня з комплексного числа
Таким чином,
Отже,
Звідси знаходимо корені квадратного рівняння:
Відповідь:
Завдання 71. Не вирішуючи такі рівняння, визначте характер коренів кожного з них:
а)
б)
в)
Рішення.
а)
Дискримінант
б)
Переходячи до наведеного кубічному рівнянню, отримуємо:
в)
Переходячи до наведеного кубічному рівнянню, отримуємо:
Відповідь: а) один дійсний і два комплексно спряжених кореня, б) три різних дійсний кореня; в) один дійсний і два комплексно спряжених кореня.
Завдання 72. Вирішіть рівняння: а)
б)
Рішення.
а)
Знаючи, що:
За формулами Кардано:
Таким чином, отримуємо
Отже,
Звідки,
б)
Переходити до наведеного кубічному рівнянню не потрібно, так як вихідне рівняння саме є наведеним, причому
Таким чином, отримуємо:
Тоді
Отже,
Відповідь: а)
б)
Завдання 73. Вирішіть рівняння: а)
б)
Рішення.
а) Перетворимо рівняння
Введемо в повний квадрат лівій частині рівності параметр r:
Звідки з урахуванням рівності (а *) знаходимо:
Тепер підберемо таке значення параметра r, щоб дискримінант
правій частині рівності (а **) звернувся в нуль.
Дискримінант D дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли число r є коренем рівняння:
Зокрема,
Підставивши знайдене значення
Звідки,
Отже,
б)
Перетворимо це рівняння за методом Феррарі:
Введемо в повний квадрат лівій частині рівності параметр r:
Звідки з урахуванням рівності (б *) знаходимо:
Підберемо таке значення параметра r, щоб дискримінант квадратного тричлена у правій частині рівності (а **) звернувся в нуль.
Легко бачити, що дискримінант D дорівнює нулю, якщо
Звідки,
Отже,
Відповідь: а)
б)
2.5. Комплексні числа і параметри
«Параметр (від грец.
Наприклад, рівняння
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
2 |
0 |
y |
1 |
1) |
2) |
3) |
Рис. 33.
Якщо а = 1, то отримаємо коло 1), якщо а = 2, то - окружність 2) і т.д.
Цікаво й таке визначення параметра «Невідомі величини, значення яких задаємо ми самі, називаються параметрами».
Нехай, наприклад, потрібно розв'язати рівняння
Краще спочатку вважати х параметром і вирішувати квадратне щодо а рівняння
Отримаємо
Перш, ніж перейти до вирішення завдань, що містять комплексні числа і параметр, сформулюємо визначення основних понять, пов'язаних з рівняннями (нерівностями) з параметром.
Визначення 1. Нехай дано рівність з змінними x і a:
Параметр зазвичай позначається першими літерами латинського алфавіту: а, b, с, d ...
Змінна, щодо якої вирішується рівняння останніми літерами латинського алфавіту: x, у, z, t, і, v.
Визначення 2. Під областю визначення рівняння
Іноді область визначення рівняння встановлюється досить легко, а іноді в явному вигляді це зробити важко. Тоді обмежуємося лише системою нерівностей, безліч рішень якої і є областю визначення рівняння.
Визначення З. Під рішенням рівняння
Визначення 4. Розв'язати рівняння
Визначення 5. Рівняння
Визначення 6. Рівняння є наслідком рівняння за певного значення a = а0, якщо безліч рішень рівняння міститься серед безлічі рішень рівняння .
Завдання 74. Визначте сімейство ліній в комплексній площині, заданих рівняннями:
а) ; Б) .
Рішення
а) . О.О.У.:
,
Вирішуємо рівняння (1).
1) Нехай : отримаємо рівняння осі абсцис, виключаючи початок координат.
2) : , . Це сімейство концентричних кіл з центром у точці радіуса .
б) .
Нехай , Тоді . І .
1) Якщо , То підлозі чаєм сімейство з двох прямих з рівняннями і .
2) Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями , З вершинами у точках , і асимптотами і .
3) Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями
, З вершинами у точках , і асимптотами і .
Відповідь: а) 1. Якщо , То - рівняння осі абсцис, виключаючи точку .
2. Якщо , То - сімейство концентричних кіл з центром у точці радіуса .
б) 1. Якщо , То - сімейство з двох прямих з рівняннями і .
2. Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями , З вершинами у точках , і асимптотами і .
3. Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями , З вершинами у точках , і асимптотами і .
Завдання 75. При яких значеннях n вірно рівність .
Рішення
Тригонометричними формами запису комплексних чисел і , Є і .
Зведемо до степеня n, отримаємо і .
Тоді:
Відповідь:
Завдання 76. При якому значенні d рівнянням задана вісь ординат в комплексній площині, виключаючи початок координат?
Рішення
О.О.У.:
Нехай . Тоді .
.
, .
Якщо , То отримаємо рівняння .
Відповідь: .
Завдання 77. Серед всіх комплексних чисел z таких, що , Де , Тобто рівно одне число, аргумент якого дорівнює . Знайдіть це число.
Рішення
Запишемо дані число в тригонометричній формі:
. Тоді і .
Перейдемо до рівняння , Де . Отримуємо квадратне рівняння , Де , .
.
Розглянемо 2 випадки:
1. : ,
. Тоді і .
2. :
.
Введемо функцію . Цікавить випадок, коли один з коренів квадратного тричлена більше 0, а інший - менше 0 (Мал. 34).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 34.
Досить вирішити систему нерівностей: Ця система несумісна, тому такий випадок неможливий.
Відповідь: .
Завдання 78. За яких дійсних значеннях a серед комплексних чисел таких, що , Немає ні одного числа, модуль якого дорівнює 2.
Рішення
Комплексне число з модулем запишеться так: .
Тоді .
Отримаємо рівняння .
1.Якщо , То рівняння дійсних рішень не має.
2.Пусть :
Вирішуючи систему методом «пелюсток» (Мал. 35), бачимо, що вона несумісна.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 35.
3. : ,
.
Останнє рівняння не має коренів, якщо a задовольняє системі:
Зобразимо графічно рішення в даних випадках (мал. 36).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 36.
Відповідь: .
Завдання 79. Для кожного дійсного числа a знайдіть всі комплексні числа , Що задовольняють рівності: а) ;
б) .
Рішення
а) Нехай , Тоді з вихідного рівняння маємо .
Звідси отримуємо систему для знаходження x і y:
з якої випливає, що . Підставляючи це значення x в перше рівняння, маємо . Коріння цього рівняння дійсні тоді і тільки тоді, коли його дискримінант є дійсним числом, тобто . Для цих значень a знайдемо причому , То . Нерівність виконується для всіх a з проміжку . Таким чином, вихідне рівняння при має два кореня: , при рішень не є.
б) Перепишемо дане рівняння у вигляді . Так як і a - дійсні числа, то звідси висновок, що число z є чисто уявним числом.
Нехай , Тоді з вихідного рівняння знаходимо, що , Т. е. .
Останнє рівняння рівносильно сукупності двох систем:
Рівняння має два кореня: при будь-якому значенні a. Нерівності задовольняє (при будь-якому значенні a) тільки число .
Рівняння другої системи сукупності має дійсні рішення тільки за умови , Тобто при . Корінням цього рівняння при кожному є числа .
Ясно, що при обидва кореня і менше нуля, а при - Більше нуля.
Таким чином, вихідне рівняння:
при має один корінь ;
при має три корені , , .
Відповідь: а) при , То ,
б) при , То ;
при , То , , .
Завдання 80. Для яких дійсних чисел a не існує комплексних чисел z, для яких виконуються рівності , ?
Рішення
Зауважимо, що дорівнюють відстані між точками і на комплексній площині. При фіксованому a точки , Для яких , Лежать на колі з центром у і радіусом 2. (Взагалі, безліч , Для яких , Є коло з центром у і радіусом ). Аналогічно рівність . Дві окружності не мають спільних точок, якщо відстань між їхніми центрами більше суми або менше різниці радіусів. Таким чином, повинно виконуватися одне з двох нерівностей: або , Тобто або .
Відповідь: або .
Завдання 81. За яких дійсних чисел a будь-яке комплексне число, яке задовольняє рівнянню , Задовольняє одночасно і нерівності ?
Рішення
Нехай . Тоді і отримаємо рівняння
Якщо , То маємо рівняння кола з центром у точці і
. Від нерівності перейдемо до нерівності
Розглянемо ряд випадків в залежності від значень a.
1. , Тобто . Нерівність (2) виконується при будь-яких парах дійсних значень x і y, в тому числі і при рішеннях рівняння (1).
2. Нехай :
Система рішень не має.
3.Якщо , То отримаємо систему
Нерівності системи задовольняють усі пари значень x і y ( ), Крім - Не є рішенням рівняння системи.
4.Аналогічно переконуємося, що умовою завдання задовольняє і .
5.Остается розглянути наступне безліч значень a: .
У цьому випадку і нерівність (2) задає безліч точок комплексної площині, розташованих поза кола, заданої рівнянням . (3) (Мал. 37).
Позначимо радіус цієї окружності через r ( ). І досить знайти такі значення a з розглянутого множини, при яких окружність, задана рівнянням (1), розташована поза кола з рівнянням (3).
Розглянемо прямокутний трикутник : ; ; ; .
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 37.
Отримаємо нерівність .
, , Таким чином .
Врахуємо безліч значень a, на якому ми вирішуємо систему (рис. 38):
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 38.
Таким чином, .
Відповідь: .
Завдання 82. Знайдіть всі дійсні a такі, що система рівнянь не має рішень.
Рішення
1. Якщо , То рішень немає.
2. При , .
3. Якщо :
Кожне з даних рівнянь задає на комплексній площині коло. Нехай О1 і О2 - центри цих кіл, r1 і r2 - відповідні радіуси.
Якщо відстань між їх центрами задовольняють умовам , То кола мають хоча б одну спільну точку. тоді отримаємо систему нерівностей
Тому при система рішень не має.
Відповідь: .
3. Висновок
У представленій випускний кваліфікаційної роботі отримані наступні результати.
1) Наведено систематичний виклад питання вирішення завдань з комплексними числами.
2) Наведено розв'язання задач з комплексними числами в алгебраїчній формі, обчислення операцій додавання, віднімання, множення, ділення, операції сполучення для комплексних чисел у алгебраїчній формі, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладено правило добування квадратного кореня з комплексного числа.
3) Вирішені завдання, присвячені геометричної інтерпретації комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексній площині;
4) Розглянуті дії над комплексними числами в тригонометричній формі.
5) Наведено рішення деяких рівнянь 3-й і 4-го ступенів;
6) Вирішено деякі завдання містять комплексні числа і параметри.
Матеріал, викладений у випускній кваліфікаційної роботи може бути використаний у навчальному процесі в курсі алгебри у вищому навчальному закладі, а також у класах з поглибленим вивченням математики або на елективних курсах у школі.
4. Список літератури
1. Абрамов А.М., Віленкін Н.Я., Дорофєєв Г.В., Єгоров О.О., Земляков О.М., Морковіч А.Г. Вибрані питання математики. 10 клас. Факультативний курс. - М.: Просвещение, 1980.
2. Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін - 7-е вид. - М.: Просвещение, 2000.
3. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунін М.Ш. Алгебра і початки аналізу. Пробний підручник 9-10 класів середньої школи. - М.: Просвещение, 1975.
4. Андронов І.К. Математика дійсних і комплексних чисел. - М.: Просвещение, 1975.
5. Бєляєва Е.С., Потапов А.С. Рівняння та нерівності першого ступеня з параметром і до них зводяться. Навчальний посібник. - Воронеж: ВДПУ, 2001.
6. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунін М.І. Лекції та завдання з елементарної математики. - М.: Наука, 1971.
7. Вавилов В.В, Мельников І.І., Олехнік С.М., Пасіченко П.І. Задачник з математики. Алгебра. Довідковий посібник. - М.: Наука, 1987.
8. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра і математичний аналіз для 11 класу: Навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики .- 6-е вид. - М.: Просвещение, 1998.
9. Галицький М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення курсу алгебри і математичного аналізу. - М.: Просвещение, 1989.
10. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. - Воронеж: ВДПУ, 2004.
11. Дадаян А.А., Новік І.А. Алгебра і початки аналізу. - М.: Просвещение, 1987.
12. Звавіч Л.І. та ін Алгебра і початки аналізу. Рішення завдань письмового іспиту. / Л.І. Звавіч, Л.Я. Шляпочнік, І.І. Кулагіна. - М.: Дрофа, 2000.
13. Карпо А.П. Збірник задач з алгебри та початків аналізу. Навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики .- М.: Просвещение, 1995.
14. Математика в школі. № 3, 1990.
15. Математика в школі. № 6, 1992.
16. Окунєв Л.Я. Вища алгебра. - М.: Просвещение, 1966.
17. Петраков І.С. Математичні гуртки у 8 - 10 класах. - М.: Просвещение, 1988.
18. Фадєєв Д.К., Нікулін М.С., Соколовський І.Ф. Елементи вищої математики для школярів. - М.: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1987.
19. Ципкін О.Г., Пінський О.І. Довідник з методів вирішення завдань з математики для середньої школи. - М.: Наука, 1989.
20. Шаригін І.Ф. Факультативний курс з математики: Рішення завдань: навчальний посібник для 10 класів середньої школи. - М.: Просвещение, 1989.
21. Шклярський Д.О., Ченцов М.М., Яглом І.М. Вибрані задачі та теореми елементарної математики. Арифметика і алгебра. - М.: Фізматліт, Лабораторія Базових Знань, 2001.
22. Енциклопедичний словник юного математика. (Упорядник Савін А.П.). - М.: Педагогіка, 1989.
23. Яглом І.М. Комплексні числа та їх застосування в геометрії. Вид. 2-е, стереотипне. - М.: Едіторіал УРСС, 2004.
Завдання 74. Визначте сімейство ліній в комплексній площині, заданих рівняннями:
а)
Рішення
а)
Вирішуємо рівняння (1).
1) Нехай
2)
б)
Нехай
1) Якщо
2) Якщо
3) Якщо
Відповідь: а) 1. Якщо
2. Якщо
б) 1. Якщо
2. Якщо
3. Якщо
Завдання 75. При яких значеннях n вірно рівність
Рішення
Тригонометричними формами запису комплексних чисел
Зведемо до степеня n, отримаємо
Тоді:
Відповідь:
Завдання 76. При якому значенні d
Рішення
О.О.У.:
Нехай
Якщо
Відповідь:
Завдання 77. Серед всіх комплексних чисел z таких, що
Рішення
Запишемо дані число в тригонометричній формі:
Перейдемо до рівняння
Розглянемо 2 випадки:
1.
2.
Введемо функцію
SHAPE \ * MERGEFORMAT
r |
0 |
Рис. 34.
Досить вирішити систему нерівностей:
Відповідь:
Завдання 78. За яких дійсних значеннях a серед комплексних чисел
Рішення
Комплексне число
Тоді
Отримаємо рівняння
1.Якщо
2.Пусть
Вирішуючи систему методом «пелюсток» (Мал. 35), бачимо, що вона несумісна.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
0 |
Рис. 35.
3.
Останнє рівняння не має коренів, якщо a задовольняє системі:
Зобразимо графічно рішення в даних випадках (мал. 36).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
0 |
є вирішене. |
є вирішене. |
є вирішене. |
Рис. 36.
Відповідь:
Завдання 79. Для кожного дійсного числа a знайдіть всі комплексні числа
б)
Рішення
а) Нехай
Звідси отримуємо систему для знаходження x і y:
з якої випливає, що
б) Перепишемо дане рівняння у вигляді
Нехай
Останнє рівняння рівносильно сукупності двох систем:
Рівняння
Рівняння
Ясно, що при
Таким чином, вихідне рівняння:
при
при
Відповідь: а) при
б) при
при
Завдання 80. Для яких дійсних чисел a не існує комплексних чисел z, для яких виконуються рівності
Рішення
Зауважимо, що
Відповідь:
Завдання 81. За яких дійсних чисел a будь-яке комплексне число, яке задовольняє рівнянню
Рішення
Нехай
Якщо
Розглянемо ряд випадків в залежності від значень a.
1.
2. Нехай
Система рішень не має.
3.Якщо
Нерівності системи задовольняють усі пари значень x і y (
4.Аналогічно переконуємося, що умовою завдання задовольняє і
5.Остается розглянути наступне безліч значень a:
У цьому випадку
Позначимо радіус цієї окружності через r (
Розглянемо прямокутний трикутник
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
O |
A |
B |
R |
r |
Рис. 37.
Отримаємо нерівність
Врахуємо безліч значень a, на якому ми вирішуємо систему (рис. 38):
SHAPE \ * MERGEFORMAT
a |
a |
-1 |
0 |
4 |
Рис. 38.
Таким чином,
Відповідь:
Завдання 82. Знайдіть всі дійсні a такі, що система рівнянь
Рішення
1. Якщо
2. При
3. Якщо
Кожне з даних рівнянь задає на комплексній площині коло. Нехай О1 і О2 - центри цих кіл, r1 і r2 - відповідні радіуси.
Якщо відстань між їх центрами
Тому при
Відповідь:
3. Висновок
У представленій випускний кваліфікаційної роботі отримані наступні результати.
1) Наведено систематичний виклад питання вирішення завдань з комплексними числами.
2) Наведено розв'язання задач з комплексними числами в алгебраїчній формі, обчислення операцій додавання, віднімання, множення, ділення, операції сполучення для комплексних чисел у алгебраїчній формі, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладено правило добування квадратного кореня з комплексного числа.
3) Вирішені завдання, присвячені геометричної інтерпретації комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексній площині;
4) Розглянуті дії над комплексними числами в тригонометричній формі.
5) Наведено рішення деяких рівнянь 3-й і 4-го ступенів;
6) Вирішено деякі завдання містять комплексні числа і параметри.
Матеріал, викладений у випускній кваліфікаційної роботи може бути використаний у навчальному процесі в курсі алгебри у вищому навчальному закладі, а також у класах з поглибленим вивченням математики або на елективних курсах у школі.
4. Список літератури
1. Абрамов А.М., Віленкін Н.Я., Дорофєєв Г.В., Єгоров О.О., Земляков О.М., Морковіч А.Г. Вибрані питання математики. 10 клас. Факультативний курс. - М.: Просвещение, 1980.
2. Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін - 7-е вид. - М.: Просвещение, 2000.
3. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунін М.Ш. Алгебра і початки аналізу. Пробний підручник 9-10 класів середньої школи. - М.: Просвещение, 1975.
4. Андронов І.К. Математика дійсних і комплексних чисел. - М.: Просвещение, 1975.
5. Бєляєва Е.С., Потапов А.С. Рівняння та нерівності першого ступеня з параметром і до них зводяться. Навчальний посібник. - Воронеж: ВДПУ, 2001.
6. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунін М.І. Лекції та завдання з елементарної математики. - М.: Наука, 1971.
7. Вавилов В.В, Мельников І.І., Олехнік С.М., Пасіченко П.І. Задачник з математики. Алгебра. Довідковий посібник. - М.: Наука, 1987.
8. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра і математичний аналіз для 11 класу: Навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики .- 6-е вид. - М.: Просвещение, 1998.
9. Галицький М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення курсу алгебри і математичного аналізу. - М.: Просвещение, 1989.
10. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. - Воронеж: ВДПУ, 2004.
11. Дадаян А.А., Новік І.А. Алгебра і початки аналізу. - М.: Просвещение, 1987.
12. Звавіч Л.І. та ін Алгебра і початки аналізу. Рішення завдань письмового іспиту. / Л.І. Звавіч, Л.Я. Шляпочнік, І.І. Кулагіна. - М.: Дрофа, 2000.
13. Карпо А.П. Збірник задач з алгебри та початків аналізу. Навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики .- М.: Просвещение, 1995.
14. Математика в школі. № 3, 1990.
15. Математика в школі. № 6, 1992.
16. Окунєв Л.Я. Вища алгебра. - М.: Просвещение, 1966.
17. Петраков І.С. Математичні гуртки у 8 - 10 класах. - М.: Просвещение, 1988.
18. Фадєєв Д.К., Нікулін М.С., Соколовський І.Ф. Елементи вищої математики для школярів. - М.: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1987.
19. Ципкін О.Г., Пінський О.І. Довідник з методів вирішення завдань з математики для середньої школи. - М.: Наука, 1989.
20. Шаригін І.Ф. Факультативний курс з математики: Рішення завдань: навчальний посібник для 10 класів середньої школи. - М.: Просвещение, 1989.
21. Шклярський Д.О., Ченцов М.М., Яглом І.М. Вибрані задачі та теореми елементарної математики. Арифметика і алгебра. - М.: Фізматліт, Лабораторія Базових Знань, 2001.
22. Енциклопедичний словник юного математика. (Упорядник Савін А.П.). - М.: Педагогіка, 1989.
23. Яглом І.М. Комплексні числа та їх застосування в геометрії. Вид. 2-е, стереотипне. - М.: Едіторіал УРСС, 2004.