Комплексні числа обрані завдання

Відповідь: .
Завдання 18. Дано числа ; . Знайдіть:
а) ; Б) .
Рішення
а) , Тоді

б) , Тоді
Відповідь: а) ; Б) .
Задача 19. Знаючи, що коренем рівняння є число , Знайдіть всі корені даного рівняння.
Рішення
Оскільки всі коефіцієнти даного рівняння - дійсні числа, то на підставі теореми про зв'язаному корені, робимо висновок, що число також є коренем даного рівняння.
Нехай - Невідомий корінь рівняння , Тоді , Де
, Отримуємо .
Розділимо обидві частини останнього рівності на , Отримаємо .
Отже, .
Відповідь: ; .
Завдання 20. Знайдіть всі комплексні числа, кожне з яких пов'язане зі своїм квадратом.
Рішення
Нехай - Шукане комплексне число, де x і y - дійсні числа. Тоді число , Поєднане числа , Так само .
За умовою задачі маємо: , Тобто .
Перетворивши це рівняння, отримаємо: .
Два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні відповідно до їх дійсні та уявні частини. Отже, останнє рівняння рівносильно наступній системі рівнянь з дійсними змінними x і y:

Можливі два випадки:
1) . Тоді система рівносильна системі: , Яка
має наступні рішення: ; .
2) . Тоді система рівносильна системі , Яка має два рішення: і .
Отже, шуканих чисел чотири: ; ; , З них два числа і - Дійсні, а два інших і - Комплексно зв'язані.
Відповідь: ; ; .
Завдання 21. Відомо, що , . Знайдіть:
а) ; Б) .
Рішення
а) ,
б) .
Відповідь: а) ; Б) .
Завдання 22. За яких дійсних значеннях x та y комплексні числа і будуть сполученими?
Рішення
Комплексні числа і будуть ком-
плексного сполученими, якщо виконуються умови:

Відповідь: ; .
Завдання 23. Доведіть тотожність .
Рішення
Нехай , , . Тоді , , , , , .
Звідси легко слід доказуване тотожність.
Завдання 24. Доведіть, що якщо число є чисто уявним, то .
Рішення
За умовою , Де b - дійсне число, тоді , , .
Тотожність доведено.
Завдання 25. Нехай . Доведіть, що .
Рішення
Оскільки , То



Тотожність доведено.
Завдання 26. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
Нехай . Тоді дане рівняння запишеться у вигляді , Звідки . Комплексне число дорівнює нулю, тоді і тільки тоді, коли його дійсна і уявна частини дорівнюють нулю, тому для знаходження невідомих x і y отримаємо систему:

З другого рівняння цієї системи знаходимо: x = 0 і y = 0. При x = 0 перше рівняння системи запишеться у вигляді або . Звідси знаходимо або . Таким чином, числа , , є рішеннями даного рівняння.
При y = 0 для знаходження x отримуємо рівняння . Звідси випливає, що x = 0, і тим самим .
Відповідь: ; ; .
Завдання 27. Вирішити систему рівнянь:

Рішення
Вважаючи , Маємо


отже, і .
Після перетворень дана система приймає вигляд

Рішення отриманої системи є пари і . Таким чином, вихідна система має два рішення і .
Відповідь: ; .
Завдання 28. Доведіть, що якщо , То .
Рішення
Припустимо, що існує таке комплексне число , , Для якого виконано нерівність . Тоді , Або .
Оскільки





то і - Дійсні числа. Тому з останнього нерівності отримаємо нерівність: .
Отже, .
Отримане протиріччя доводить твердження.
Завдання 29. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
За формулами коренів квадратного рівняння маємо: .
Вилучаючи корінь квадратний з числа , Отримуємо .
Отже, ;
.
Відповідь: ; .
Завдання 30. Вийміть квадратний корінь із комплексного числа .
Рішення
Нехай , Де .
За формулою


Таким чином .
Відповідь: .
Завдання 31. Розв'яжіть рівняння: .
Рішення
Маємо , ,
.
Отримуємо
Винесемо квадратний корінь із комплексного числа за формулами:
; ;
Так як , Тоді

Отже, , Тоді
Де і
Можна зробити перевірку по теоремі Вієта:
і .
Відповідь: ; .
Завдання 32.
Нехай , . За яких дійсних значеннях a і b виконується умова ?
Рішення
Знаходимо

.
Використовуючи умову рівності двох комплексних чисел, отримуємо систему

Відповідь: .

2. 2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел
Введемо на площині прямокутну систему координат xOy і поставимо відповідно кожному комплексному числу точку площини з координатами (a; b). Отримане відповідність між усіма комплексними числами і всіма точками площини взаємно однозначно: кожному комплексному числу відповідає одна точка площини з координатами (a; b), і назад, кожній точці площини з координатами (a; b) відповідає єдине комплексне число (Див. рис. 1).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

y

z

a

b

0

Рис. 1
Таким чином, z одночасно позначають і комплексне число, і точку, яка зображує це комплексне число.
Комплексне число називається комплексної координатою точки (a; b).
Оскільки при зазначену відповідність дійсні числа зображуються точками осі абсцис, то вісь Ox називається дійсною віссю. Вісь Oy, на якій лежать суто уявні числа , Називається уявною віссю. Площина, точки якої зображають комплексні числа, називається комплексної площиною.
Комплексне число може також зображуватися вектором з координатами a і b, що йде з початку координат у точку (a; b) (див. рис. 1). За визначенням модуля комплексного числа
,
модуль комплексного числа дорівнює довжині вектора .
Завдання 33. Зобразіть на комплексній площині (рис.2), такі комплексні числа:

Рішення
Даним комплексним числах відповідають точки комплексній площині.


Покажемо їх.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

D

3

0

4

1

-3

-3

-1

A

C

B

Рис.2
Завдання 34. Знайдіть комплексну координату середини відрізка AB, якщо комплексні координати його кінців рівні і відповідно.
Рішення
Позначимо середину відрізка AB через O1. Тоді
.
Враховуючи, що комплексна координата вектора дорівнює , Отримаємо .
Відповідь: .
Завдання 35. Зобразіть графічно безліч усіх точок комплексної площині, для яких виконуються дані умови:
а) , Б) , В) , Г) , Д) ,
е) , Ж) , З) , І) , К) .
Рішення
а) . З рівностей і , Отримуємо: .
Безліч точок - пряма (Рис. 3).

y

SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

3

0

y = 3

Рис. 3.
б) . , . Отже, .
Безліч точок - верхня щодо осі OX полуплоскость, включаючи пряму (Рис. 4).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

0

Рис. 4.
в) . З рівностей і , Отримуємо: .
Безліч точок - пряма (Рис. 5).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

0

-1

x =- 1

y

Рис. 5.
г) , , І . Отже, .
Безліч точок - ліва відносно прямої полуплоскость, включаючи пряму (Рис. 6).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

0

3

x = 3

y

Рис. 6.
д) . , Тому .
Безліч точок - пряма . (Рис. 7).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

y

0

y = 0

Рис. 7.
е) Якщо , То умови і означають, що і . Безліч точок - частина площини, обмежена знизу прямий , Праворуч , Виключаючи зазначені прямі (рис. 8).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

0

2

3

x

y

Рис. 8.
ж) Якщо , То , І умова означає, що , Тобто . Безліч точок - пряма (Рис. 9).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

-1

y

0

y =- 1

Рис. 9.
з) Якщо , То при умова, що сума відмінна від нуля, маємо , Тому . Отже, , Звідки отримуємо рівняння:
, Або .
Перетворимо його
.
Таким чином, безліч точок - це коло з центром у точці O радіуса , У якої «виколоти» точка (Рис. 10).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

y

0

Рис. 10.
і) ; За умовою , Отже, .
Безліч точок - коло з центром у початку координат радіуса 1.
к) За умовою , Тому , Тобто , , , . Остання умова означає, що або , Або . У першому випадки отримуємо рівняння осі Ox, у в другому випадки точку . Враховуючи, що , Тобто що дійсна частина комплексного числа неотрицательна.
Приходимо до висновку: шукане безліч точок - позитивна піввісь Ox з початком у точці .
Завдання 36. Зобразіть на площині XOY безліч, усіх точок , Що задовольняють умові:
а) ; Б) , В) ; Г) ; Д)
Рішення
а) . Для кожного число дорівнює відстані між точкою і точкою . Тому заданій умові задовольняють ті і тільки ті точки, які лежать на колі радіуса 1 з центром у точці (Рис. 11).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

0

y

1

(0; 1)

z = i

Рис. 11.
б) . Для кожного число дорівнює відстані між точкою і початком координат. Тому умові задовольняють ті і тільки ті точки, які лежать всередині кільця, обмеженого двома концентричними колами з центром у початку координат і радіусами і відповідно (рис. 12).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

2

1

0

-1

-2

Рис. 12.
в) . З визначення головного аргументу комплексного числа випливає, що безліч точок z, що задовольняють даному співвідношенню, є відкритим променем Oz (рис 13), утворює кут з позитивним напрямом осі Ох.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

0

x

Рис. 13.
г) . Нехай . Тоді дане співвідношення перепишеться у вигляді або .
Звідси знаходимо: , Тобто .
Таким чином, , І, отже, вихідному співвідношенню задовольняють тільки ті комплексні числа, для яких . Такі точки заповнюють всю верхню полуплоскость (рис. 14). Ця відповідь можна отримати з геометричних міркувань, враховуючи, що вісь OX є перпендикуляр до відрізка, що з'єднує точки і , Відновлений із його середини.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

(0; -1)

z =- i

y

(0; 1)

0

z = i

x

Рис. 14.
д) Шукане безліч точок є перетин кільця, обмеженого колами радіусів 1 і 2 з центром в точці , І другого квадранта (рис. 15).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

(-1; 0)

(-2; 0)

(-3; 0)

x

0

Рис. 15.
Завдання 37. Доведіть, що відстань між точками і одно .
Рішення
Так як , А це і
Тобто, як відомо з геометрії, формула відстані між двома точками і .
Завдання 38. Доведіть, що якщо точка не збігається з точкою , То рівність задає рівняння прямої, перпендикулярної відрізку, що з'єднує точки і , І проходить через його середину.
Рішення
Всі крапки , Що задовольняють рівності , Рівновіддалені від точок і і тому, як це відомо з геометрії, лежать на прямій, перпендикулярній відрізку, що з'єднує точки і , І проходить через його середину. Зворотно, всі крапки цієї прямої, очевидно, задовольняють рівності , Отже, це рівність є рівнянням зазначеної вище прямій.
Завдання 39. Вкажіть, де на площині розташовані точки, відповідні комплексним числах , Для яких .
Рішення
Уявімо вираз у вигляді різниці двох комплексних чисел: . Тоді стає ясно, що рівність є рівнянням кола з центром у точці і радіусом 2.
Нерівності задовольняють внутрішні точки зазначеного кола разом з точками, що лежать на колі , Тоді нерівності відповідає зовнішність кола радіуса 1 концентричному першому.
Так як нас цікавлять точки, що задовольняють одночасно двом умовам: , Тому шукана область є перетином двох знайдених областей і являє собою кільце, що містить точки зовнішньої обмежує кола. Так як ліва нерівність є строгим, точки внутрішньої обмежує кола не входить в отриману область (рис. 16).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

-4

x

-2

2

0

Рис. 16.
Завдання 40. Вкажіть, де на площині розташовані точки, відповідні комплексним числам, що задовольняє умові: .
Рішення
Рівність є рівняння прямої l, перпендикулярної відрізку AB (A (0; 0) і B (0; 2)) і проходить через середину, тобто пряма l паралельна осі Ox і проходить через точку (0; 1). Так як з рівностей , , Слід рівність , А значить, , Тобто .
Тому цього рівності задовольняють точки півплощини, що лежать нижче прямої l не входить у вказану область, тому що дана нерівність суворе (рис. 17).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

0

l

1

y

Рис. 17.
Завдання 41. Зобразіть на площині комплексні числа , Що задовольняють умові: .
Рішення
. Отже, . Таким чином, , , То
, , .
Цим числах відповідають три точки: A ( ), B ( ) І C ( ). Вони розташовані на одиничному колі і ділять її на три рівні частини (рис. 18).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

y

0

1

A

B

C

Рис. 18.
Завдання 42. Зобразіть на площині комплексні числа , Що задовольняють умові: .
Рішення
, Значить, і .
Отримали дві точки: B ( ) І C ( ) (Рис. 19).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

y

0

1

B

C

Рис. 19.
Завдання 43. Зобразіть безліч точок комплексної площині, що задовольняють умові: .
Рішення
Дане нерівність рівносильно виконання двох умов: і . Якщо , Де x і y - дійсні числа, то отримуємо наступні нерівності: , , , , . Шукана область лежить поза колом з центром у точці (-2; 0) радіуса 2, включаючи кордон кола і виключаючи точку (2; 0) (рис. 20).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

y

0

2

-2

Рис. 20.
Завдання 44. Зобразіть безліч точок комплексної площині, що задовольняють умові: .
Рішення
Дане нерівність рівносильно виконання двох умов:
і . Якщо покласти , То отримуємо наступні нерівності:
.
Перетворимо його
,
, ,
Отримуємо .
Шукана область - коло з центром у точці (0; 2) радіуса 2, включаючи кордон кола і виключаючи точку (0; 1) (рис. 21).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

0

1

2

Рис. 21.
Завдання 45. Зобразіть безліч точок комплексної площині, що задовольняють умові: .
Рішення
Покладемо .
Тоді , .
Нерівність при рівносильно нерівності або . Остання нерівність задає коло з центром у точці (0; 0,5) та радіусом 0,5 включаючи кордон кола. Внаслідок обмеження точка (0; 0) не належить заданій множині (рис. 22).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

0

1

1

y

Рис. 22
Завдання 46. Зобразіть на комплексній площині безліч точок, що задовольняють нерівностям: .
Рішення
Уявімо число як . Тоді
;
.
За умовою, , Звідки
; ;
.
Ліва частина подвійного нерівності задає область, що лежить поза колом з центром в точці K (-0,5; 0,5) і радіусом 1. права частина задає коло з центром в точці K і радіусом 2. У кожному випадку кордон не включається в заданий безліч. Шукане безліч точок зображено на рис. 23.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

0

1

1

K

Рис.23.
Завдання 47. З усіх чисел , Що задовольняють умові , Знайдіть такі, що приймає найменше значення.
Рішення
I спосіб.
Нехай . Тоді .
Рівняння задає на комплексній площині коло з центром у точці O (0; 0) і радіусом 5. З геометричної точки зору величина являє собою суму відстаней від точки, що відповідає комплексному числу , До точок A (7; 0) B (0, 7), відповідних числами 7 і 7i. З рис. 24 видно, що коло з центром у O і радіусом 5 перетинає відрізок AB в двох точках P і Q. Ці точки і будуть відповідати тим комплексним числам, для яких величина приймає найменше значення.
Дійсно, для точок P і Q значення дорівнює довжині відрізка AB, а для будь-якої точки N окружності, відмінною від P і Q, в силу нерівності трикутника справедливе співвідношення AN + BN> AB.

y

SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

O

B

P

Q

A

Рис. 24.
Знайдемо координати точок P та Q. Ці точки лежать на прямій AB, яка задається рівнянням . Вирішимо систему

Так як , То перейдемо до системи

Рівняння має коріння 3 та 4, тому рішеннями системи є пари (3, 4) і (4, 3). Таким чином, точкам P і Q відповідають числа і .
II спосіб. Нехай . Тоді (Див. I спосіб);
.
Знайдемо пари (x; y), для яких досягається мінімум функції за умови . Оскільки функція приймає не негативне значення при всіх допустимих x і y, замість мінімуму функції φ можна розглядати мінімум функції
.
Перетворимо останній вираз до виду
,
так як , То ,
звідки .
Зробимо заміну і знайдемо значення t, для яких досягається мінімум функції або , Або після заміни - Ті значення p, при яких мінімально вираз .
Досліджуємо функцію за допомогою похідної. Маємо ; , Якщо , Тобто якщо , А . Остання рівність виконується при .
Неважко переконатися в тому, що якщо , То , Тобто убуває, а якщо , То , Тобто зростає. При функція приймає найменше значення.
Значенням відповідає , При . Звідси, з огляду на співвідношення , Знаходимо , або , і отримуємо остаточну відповідь.
Відповідь: і .
Зауваження. Звичайно, II спосіб більш трудомісткий, але разом з тим і більш універсальний. Зокрема, якщо б на відрізку AB не знайшлося жодної точки, що задовольняє заданому в умові рівності, то рішення I способом було б взагалі неможливо.
Завдання 48. Зобразіть безліч точок комплексної площини, що задовольняють умові: .
Рішення
Уявімо у вигляді і перетворимо задану дріб:
.
Уявна частина дробу дорівнює .
Нерівність рівносильно системі

Нерівність перепишемо у вигляді . Це співвідношення задає коло з центром в точці (1; 1) і радіусом 1. Точка (1; 0) належить колі, однак її координати не задовольняють другій умові системи. Отримане безліч зображено на рис. 25.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

y

0

1

1

Рис. 25.
Завдання 49. Серед комплексних чисел , Що задовольняють умові: , Знайдіть число з найменшим модулем.
Рішення
Скористаємося геометричним змістом модуля комплексного числа. Як відомо, для комплексних чисел і w величина дорівнює відстані між точками комплексної площини, відповідними числами і w. Точки, що відповідають числах , Для яких виконується рівність , Рівновіддалені від точок (0; 0) і (0; 2) комплексної площини, а, отже, утворюють пряму . Серед точок прямої найменш віддаленою від початку координат є точка (0; 1). Вона відповідає числу - Числу з найменшим модулем, який відповідає заданим рівнянням.
Відповідь: .
Завдання 50. Нехай M - множина точок комплексної площини таких, що ; K - множина точок комплексної площини виду , Де . Знайдіть відстань між фігурами M і K.
Рішення
I спосіб.
Нехай ; Тоді , Звідки
. Безліч точок M комплексної площини, що задовольняють цій умові, є коло з центром у точці O1 (0; ) І радіусом 0,5.
За умовою, , Тобто . Вважаючи , Маємо і .
Безліч K точок комплексної площині, що задовольняють цій умові, є коло з центром у точці O2 (- ; 0) і радіусом 0,5. Так як окружності M і K не мають спільних точок, то відстанню між ними (рис. 26) є довжина відрізка PN лінії центрів, тобто .
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

O

O 1

O 2

N

P

Рис. 26.
Відповідь: 1.
Зауваження. Геометричне обгрунтування того, що довжина відрізка PN є відстань між даними фігурами, дуже просто. Дійсно, візьмемо на колах K і M такі точки N1 і P1 відповідно (рис. 27), що , . Для ламаної O1P1N1O2 і прямої O1O2 виконується нерівність O1P1 + P1N1 + N1O2> O1P + PN + NO2. Віднімаючи з обох частин нерівності суму радіусів, отримуємо P1N1> PN.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

O

O 1

O 2

N

P

N 1

P 1

Рис. 27.
II спосіб.
Запишемо нерівності . Таким чином, . Це означає, що відстань від точок фігури M до точки O1 (0; ) Постійно і дорівнює 0,5. фігура M - коло з центром у точці O1 і радіусом 0,5. Умова означає, що безліч K отримано поворотом точок множини M на кут навколо початку координат, тобто являє собою коло з центром у точці O2 (- ; 0) і радіусом 0,5. Подальші міркування такі ж, як при вирішенні I способом.
Завдання 51. Знайдіть найбільший модуль комплексного числа , Що задовольняє умові .
Рішення
Так як , А . Це коло з центром в точці A (3, 4) і радіусом .
Оскільки OA = 5, , Маємо . Серед точок кола існує точка , Для якої . Це точка перетину кордону кола і продовження відрізка OA.
Відповідь: 6.
Завдання 52. Вирішіть систему рівнянь

Рішення
Так як , То . Це безліч - серединний перпендикуляр до відрізка AB, де A (0, 2), B (0, 4) - точки, відповідні числах і . Рівняння цього перпендикуляра є . З другого рівняння системи маємо . Нехай , Тоді . Так як для кожної з шуканих точок, то ; . корінням цього рівняння є числа 2 і - 4. системі рівнянь задовольняють 2 числа: і .
Відповідь: ; .
Завдання 53. Зобразіть на комплексній площині безліч точок, які відповідають умові .
Рішення
Нехай , Тоді і, значить,
, . Початкове нерівність перепишеться так: . Остання нерівність можна замінити системою двох умов: і , Або і .
Шукане безліч зображено на рис. 28. Відзначимо, що кордон безлічі (пряма ) Належить йому за винятком точки (0; 0).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

y

0

1

1

Рис. 28.
Завдання 53. Безліч точок комплексної площини визначається умова . У яких межах змінюється .
Рішення
Безліч точок, заданий умовою , Визначається на комплексній площині коло з центром у точці і радіусом 1. таке коло в системі координат xOy задається нерівністю .
Нехай , Тоді , , . Завдання зводитися до визначення меж, у яких може змінюватися співвідношення за умови . Питання може бути сформульований так: при яких значеннях система

має хоча б одне рішення?
Остання система рівносильна наступною:
або
Ця система має рішення тоді, коли має рішення квадратне нерівність . Так як коефіцієнт при позитивний, то воно має рішення, якщо дискримінант квадратного тричлена у його лівій частині неотрицатель. Маємо
.
при .
Відповідь: .

2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел
Нехай вектор задається на комплексній площині числом .
Позначимо через φ кут між позитивною полуосью Ox і вектором (Кут φ вважається позитивним, якщо він відраховується проти годинникової стрілки, і негативним у протилежному випадку).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

y

A

a

b

0

φ

Рис. 29
Позначимо довжину вектора через r. Тоді . Позначимо також
.
Тоді
.
Запис відмінного від нуля комплексного числа z у вигляді
(2)
називається тригонометричної формою комплексного числа z. Число r називається модулем комплексного числа z, а число φ називається аргументом цього комплексного числа і позначається Arg z.
Тригонометрична форма запису комплексного числа - (формула Ейлера) - показова форма запису комплексного числа:
.
У комплексного числа z є нескінченно багато аргументів: якщо φ0 - який-небудь аргумент числа z, то всі інші можна знайти за формулою
.
Для комплексного числа аргумент і тригонометрична форма не визначаються.
Таким чином, аргументом відмінного від нуля комплексного числа є будь-яке рішення системи рівнянь:
(3)
Значення φ аргументу комплексного числа z, задовольняє нерівностям , Називається головним і позначається arg z.
Аргументи Arg z і arg z пов'язані рівністю
, (4)
де
Формула (5), є наслідком системи (3), тому всі аргументи комплексного числа задовольняють рівності (5), але не всі рішення φ рівняння (5) є аргументами числа z.
Головне значення аргументу відмінного від нуля комплексного числа знаходитися за формулами:

Формули множення і ділення комплексних чисел в тригонометричній формі мають такий вигляд:
. (6)
. (7)
При зведенні в натуральну ступінь комплексного числа використовується формула Муавра:
. (8)
Під час вилучення кореня з комплексного числа використовується формула:
, (9)
де k = 0, 1, 2, ..., n-1.
Завдання 54. Обчисліть , Де .
Рішення
Уявімо рішення цього виразу в показовій формі запису комплексного числа: .
Якщо , То .
Тоді , . Тому , Тоді і , Де .
Відповідь: , При .
Завдання 55. Запишіть комплексні числа у тригонометричній формі:
а) ; Б) , В) ; Г) ; Д) ; Е) ; Ж) .
Рішення
Так як тригонометрична форма комплексного числа має вигляд , Тоді:
а) У комплексному числі : .
Тоді
,
Тому
б) , Де ,
в) , Де ,
г) , Де ,
д) , Де ,
е) .
ж) , А , То .
Тому
Відповідь: ; 4; ; ; ; ; .
Завдання 56. Знайдіть тригонометричну форму комплексного числа
.
Рішення
Нехай , .
Тоді , , .
Оскільки і , , То , А
.
Отже, , Тому
, Де .
Відповідь: , Де .
Завдання 57. Використовуючи тригонометричну форму комплексного числа, зробіть зазначені дії: .
Рішення.
Уявімо числа і в тригонометричній формі.
1) , Де тоді
Знаходимо значення головного аргументу :

Підставимо значення і у вираз , Отримаємо
2) , Де тоді
Тоді
3) Знайдемо приватне


Далі, застосовуючи формулу (9) отримаємо:

Вважаючи k = 0, 1, 2, отримаємо три різних значення шуканого кореня:
Якщо , То
якщо , То
якщо , То .
Відповідь: :
:
: .
Завдання 58. Нехай , , , - Різні комплексні числа і . Доведіть, що
а) число є дійсним позитивним числом;
б) має місце рівність:
.
Рішення
а) Уявімо дані комплексні числа у тригонометричній формі:
, , , , Так як .
Припустимо, що . Тоді




.
Останній вираз є позитивним числом, тому що під знаками синусів стоять числа з інтервалу .
б) Маємо
,
так як число речовинно і позитивно. Дійсно, якщо a і b - комплексні числа і речовинно і більше нуля, то .
Крім того,

отже, потрібне рівність доведено.
Завдання 59. Запишіть в алгебраїчній формі число .
Рішення
Уявімо число в тригонометричній формі, а потім знайдемо його алгебраїчну форму. Маємо . Для отримуємо систему:

Звідси випливає рівність: .
Застосовуючи формулу Муавра: ,
отримуємо


Знайдена тригонометрична форма заданого числа.
Запишемо тепер це число в алгебраїчній формі:
.
Відповідь: .
Завдання 60. Знайдіть суму , ,
.
Рішення
Розглянемо суму
.
Застосовуючи формулу Муавра, знайдемо
.
Ця сума являє собою суму n членів геометричної прогресії зі знаменником і першим членом .
Застосовуючи формулу для суми членів такої прогресії, маємо







Виділяючи уявну частину в останньому виразі, знаходимо

Отже, .
Виділяючи дійсну частину, отримуємо також наступну формулу: , , .
Відповідь: .
Завдання 61. Знайдіть суму:
а) ; Б) .
Рішення
За формулою Ньютона для зведення в ступінь маємо


За формулою Муавра знаходимо:
.
Прирівнюючи речові та уявні частини отриманих виразів для , Маємо:
і .
Ці формули в компактному вигляді можна записати так:
,
, Де - Ціла частина числа a.
Відповідь: ; .
Завдання 62. Знайдіть всі , Для яких .
Рішення
Оскільки , То, застосовуючи формулу
, Для вилучення коренів, отримуємо ,
Отже, , ,
, .
Точки, що відповідають числах , Розташовані в вершинах квадрата, вписаного в коло радіуса 2 з центром у точці (0; 0) (рис. 30).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

2

2

(0; 0)

Рис. 30.
Відповідь: , ,
, .
Завдання 63. Розв'яжіть рівняння , .
Рішення
За умовою ; Тому дане рівняння не має кореня , І, значить, воно рівносильне рівнянню .
Для того щоб число z було коренем даного рівняння, потрібно, щоб число було коренем п-го ступеня з числа 1.
Звідси укладаємо, що вихідне рівняння має коренів , Визначених з рівностей
,
Таким чином,
,
т. е. ,
Відповідь: .
Завдання 64. Вирішіть в безлічі комплексних чисел рівняння .
Рішення
Так як число не є коренем даного рівняння, то при дане рівняння рівносильне рівнянню
, Тобто рівняння .
Всі корені цього рівняння виходять з формули (див. завдання 62):

,
,
,
,
.
Відповідь:
; ; ; ; .
Завдання 65. Зобразіть на комплексній площині безліч точок, що задовольняють нерівностям: . (2-й спосіб вирішення завдання 45)
Рішення
Нехай .
Тоді .
Комплексним числах, які мають однакові модулі, відповідають точки площини, що лежать на колі з центром на початку координат, тому нерівності задовольняють всі крапки відкритого кільця, обмеженого колами з загальним центром на початку координат і радіусами і (Рис. 31). Нехай деяка точка комплексної площини відповідає числу w0. Число , Має модуль, в разів менший модуля w0, аргумент, на більший аргументу w0. З геометричної точки зору точку, відповідну w1, можна отримати, використовуючи гомотетія з центром у початку координат і коефіцієнтом , А також поворот відносно початку координат на кут проти годинникової стрілки. В результаті застосування цих двох перетворень до точок кільця (рис. 31) останнє перейде в кільце, обмежене колами з тим же центром і радіусами 1 і 2 (рис. 32).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

1

0

-1

Рис. 31.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

2

1

0

-1

-2

Рис. 32.
Перетворення реалізується за допомогою паралельного перенесення на вектор . Переносячи кільце з центром в точці на вказаний вектор, отримаємо кільце такого ж розміру з центром у точці (Рис. 22).
Запропонований спосіб, що використовує ідею геометричних перетворень площини, напевно, менш зручний в описі, але вельми витончений і ефективний.
Завдання 66. Знайдіть , Якщо .
Рішення
Нехай , Тоді і . Початкове рівність прийме вигляд . З умови рівності двох комплексних чисел одержимо , , Звідки , . Таким чином, .
Запишемо число z в тригонометричній формі:
, Де , . Відповідно до формули Муавра, знаходимо .
Відповідь: - 64.
Завдання 67. Для комплексного числа знайдіть всі комплексні числа , Такі, що , А .
Рішення
Уявімо число в тригонометричній формі:
. Звідси , . Для числа отримаємо , може бути рівний або .
У першому випадку , У другому
.
Відповідь: , .
Завдання 68. Знайдіть суму таких чисел , Що . Вкажіть одне з таких чисел.
Рішення
Зауважимо, що вже з самої формулювання завдання можна зрозуміти, що сума коренів рівняння можна знайти без обчислення самих коренів. Дійсно, сума коренів рівняння є коефіцієнт при , Взятий з протилежним знаком (узагальнена теорема Вієта), тобто .
Наведемо й інше можливе обгрунтування. Нехай - Корінь рівняння. Тоді також є його коренем, оскільки , А сума всіх коренів дорівнює нулю.
Припустимо і таке рішення. Представивши праву частину вихідного рівняння в тригонометричній формі, одержимо
. Звідси
, Де .
Далі обчислюємо суму чотирьох коренів, яка дорівнює нулю.
Відповідь: ; - Одне з таких чисел.
2.4. Додаток теорії комплексних чисел до розв'язання рівнянь
3 - і 4-го ступеня
Розглянемо рішення кубічного рівняння
(1)
на конкретному прикладі.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння
.
Рішення. Наведемо спочатку наше рівняння до рівняння, що не містить квадрат невідомої (таке рівняння називається наведеним), тобто до рівняння виду:
,
для чого зробимо підстановку:

Отримаємо рівняння:
.
Розкривши дужки і привівши подібні члени, приходимо до рівняння:
,
де , і
(Замечаніе.
Перехід до наведеного кубічному рівняння можна здійснити за допомогою схеми Горнера, розклавши многочлен за ступенями двочлена )
Для коренів кубічного рівняння
(2)
є так звана формула Кардано, хоча правильніше було б її називати формулою дель Ферро - Тартальї - Кардано.
Вперше наведене кубічне рівняння

вирішив професор Болонського університету Сципіон дель Ферро в кінці XV століття. Потім в 1535 році ті ж формули були виведені Ніколо Тарталей. Нарешті, в 1545 році рішення рівняння (1) було викладено у книзі Джироламо Кардано "Ars Magna" ("Велике мистецтво").
Формули Кардано мають вигляд:
,
де - Значення радикала


Практично коріння знаходяться простіше.
Нехай - Одне (будь-яке) значення радикала u. Тоді два інших значення можна знайти наступним чином:
;
де e1 і e2 - значення кореня кубічного з 1, тобто

Якщо обчислити то отримаємо:
; .
Дійсно,

Аналогічно доводиться рівність .
Підставляючи отримані значення і у формулу
,
знаходимо практичні формули:
;
;
.
У нашому випадку:

Таким чином, покладемо . Тоді

отже,
, , .
З останніх рівностей, враховуючи, що отримуємо:
, , .
Відповідь: ; ; .
Для наведеного кубічного рівняння
(3)
дискримінант обчислюється за формулою:
.
При цьому:
а) якщо , То рівняння (3) має один дійсний і два комплексно спряжених кореня;
б) якщо , То рівняння (3) має три дійсний кореня, два з яких рівні;
в) якщо , То рівняння (3) має три різних дійсний кореня.
Таким чином, в будь-якому випадку рівняння (3) з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь.
Розглянемо рішення рівняння 4-го ступеня методом Феррарі на конкретному прикладі.
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння

Рішення.
Залишимо в лівій частині рівняння члени, що містять і :
.
Доповнимо ліву частину отриманого рівняння до квадрата:
,
або
(1)
Введемо в повний квадрат лівій частині рівності (1) параметр r:

Звідки з урахуванням рівності (1) отримаємо:
(2)
Підберемо значення параметра r таким чином, щоб дискримінант правій частині рівності (2) звернувся в нуль (тобто щоб у правій частині рівності (2) також вийшов повний квадрат).

Дискримінант D дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли число r є коренем рівняння:
;
.
Зокрема, , Якщо .
Підставивши значення в рівність (2), отримаємо:
,
або
.
Звідки,
,
,
або .
Отже,
; ;
;
Відповідь: ; ; ;
Завдання 69. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
Дане рівняння - приведений. Тут , . Отже,
.
Для вилучення кубічного кореня з комплексного числа
подамо його у тригонометричній формі:
,
тому , Де
При отримуємо:
.
Значить,
,
тому .
Отже,
, , .
Відповідь: 2; ; .
Завдання 70. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
Поклавши , Отримуємо приведене рівняння відносно невідомої змінної y:
.
За формулами Кардано:
.
Легко бачити, що .
Отже, число є одним зі значень кубічного
кореня з комплексного числа (Той же результат виходить, якщо застосувати формулу добування кореня n-го ступеня з комплексного числа).
Таким чином, , , Тоді
, .
Отже, ,
,
.
Звідси знаходимо корені квадратного рівняння:
,
,
.
Відповідь: ; ;
.
Завдання 71. Не вирішуючи такі рівняння, визначте характер коренів кожного з них:
а) ;
б) ;
в) .
Рішення.
а) .
Дискримінант , Тобто , То рівняння має один дійсний і два комплексно спряжених кореня.
б) .
Переходячи до наведеного кубічному рівнянню, отримуємо:
(Б *). Звідки дискримінант , Тобто , То рівняння (б *), а, значить, і (б) має три різних дійсний кореня.
в) .
Переходячи до наведеного кубічному рівнянню, отримуємо: (У *). Звідси , , То рівняння (в *), а, значить, і рівняння (в) має один дійсний і два комплексно спряжених кореня.
Відповідь: а) один дійсний і два комплексно спряжених кореня, б) три різних дійсний кореня; в) один дійсний і два комплексно спряжених кореня.
Завдання 72. Вирішіть рівняння: а) ;
б) .
Рішення.
а) . Переходячи до наведеного кубічному рівняння з допомогою підстановки , Отримаємо рівняння:
, Де , .
Знаючи, що:
;
;
.
За формулами Кардано:

Таким чином, отримуємо , Значить , , , .
Отже, ; ; .
Звідки, , , .
б) .
Переходити до наведеного кубічному рівнянню не потрібно, так як вихідне рівняння саме є наведеним, причому , .
Таким чином, отримуємо: , .
Тоді , , , .
Отже, , .
Відповідь: а) , , ;
б) , .
Завдання 73. Вирішіть рівняння: а) ;
б) .
Рішення.
а) Перетворимо рівняння (А) за методом Феррарі: ,
,
. (А *)
Введемо в повний квадрат лівій частині рівності параметр r:

Звідки з урахуванням рівності (а *) знаходимо:
,
(А **).
Тепер підберемо таке значення параметра r, щоб дискримінант
правій частині рівності (а **) звернувся в нуль.

Дискримінант D дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли число r є коренем рівняння:
;
;
.
Зокрема, , Якщо .
Підставивши знайдене значення в рівність (а *), отримаємо:
, Або .
Звідки, ,
,
або .
Отже, ; ; ; .
б) .
Перетворимо це рівняння за методом Феррарі:
,
,
. (Б *)
Введемо в повний квадрат лівій частині рівності параметр r:

Звідки з урахуванням рівності (б *) знаходимо:
(А **).
Підберемо таке значення параметра r, щоб дискримінант квадратного тричлена у правій частині рівності (а **) звернувся в нуль.

Легко бачити, що дискримінант D дорівнює нулю, якщо . отже, підставивши значення в рівність (б **), отримаємо:
;
.
Звідки, ,
або .
Отже,
; ; ; .
Відповідь: а) ; .
б) ; 3; 1.
2.5. Комплексні числа і параметри
«Параметр (від грец. - Відмірюють) величина, значення якої служать для розрізнення елементів деякої множини між собою.
Наприклад, рівняння , Де а> 0, х R, y R, задає безліч всіх концентричних кіл, з центром (2; 1) радіуса а (рис. 33).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

x

2

0

y

1

1)

2)

3)

Рис. 33.
Якщо а = 1, то отримаємо коло 1), якщо а = 2, то - окружність 2) і т.д.
Цікаво й таке визначення параметра «Невідомі величини, значення яких задаємо ми самі, називаються параметрами».
Нехай, наприклад, потрібно розв'язати рівняння
. Навряд чи легко ми впораємося з цим рівнянням, якщо будемо вирішувати щодо x, вважаючи a параметром.
Краще спочатку вважати х параметром і вирішувати квадратне щодо а рівняння , А потім поміняти x і a ролями.
Отримаємо Залишається вирішити два рівняння що праці вже не складе.
Перш, ніж перейти до вирішення завдань, що містять комплексні числа і параметр, сформулюємо визначення основних понять, пов'язаних з рівняннями (нерівностями) з параметром.
Визначення 1. Нехай дано рівність з змінними x і a: . Якщо ставиться завдання для кожного дійсного значення, а вирішити це рівняння відносно x, то рівняння називається рівнянням з змінної x і параметром a.
Параметр зазвичай позначається першими літерами латинського алфавіту: а, b, с, d ...
Змінна, щодо якої вирішується рівняння останніми літерами латинського алфавіту: x, у, z, t, і, v.
Визначення 2. Під областю визначення рівняння з параметром а будемо розуміти всі такі системи значень х і а, при яких має сенс.
Іноді область визначення рівняння встановлюється досить легко, а іноді в явному вигляді це зробити важко. Тоді обмежуємося лише системою нерівностей, безліч рішень якої і є областю визначення рівняння.
Визначення З. Під рішенням рівняння c параметром a будемо розуміти систему значень x і a області визначення рівняння, звертає його в правильне числове рівність.
Визначення 4. Розв'язати рівняння з параметром a - це значить, для кожного дійсного значення a знайти всі рішення даного рівняння або встановити, що їх немає.
Визначення 5. Рівняння і рівносильні при фіксованому значенні а = а0, якщо рівняння без параметра і рівносильні.

Визначення 6. Рівняння є наслідком рівняння за певного значення a = а0, якщо безліч рішень рівняння міститься серед безлічі рішень рівняння .
Завдання 74. Визначте сімейство ліній в комплексній площині, заданих рівняннями:
а) ; Б) .
Рішення
а) . О.О.У.:
,
Вирішуємо рівняння (1).
1) Нехай : отримаємо рівняння осі абсцис, виключаючи початок координат.
2) : , . Це сімейство концентричних кіл з центром у точці радіуса .
б) .
Нехай , Тоді . І .
1) Якщо , То підлозі чаєм сімейство з двох прямих з рівняннями і .
2) Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями , З вершинами у точках , і асимптотами і .
3) Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями
, З вершинами у точках , і асимптотами і .
Відповідь: а) 1. Якщо , То - рівняння осі абсцис, виключаючи точку .
2. Якщо , То - сімейство концентричних кіл з центром у точці радіуса .
б) 1. Якщо , То - сімейство з двох прямих з рівняннями і .
2. Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями , З вершинами у точках , і асимптотами і .
3. Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями , З вершинами у точках , і асимптотами і .
Завдання 75. При яких значеннях n вірно рівність .
Рішення
Тригонометричними формами запису комплексних чисел і , Є і .
Зведемо до степеня n, отримаємо і .
Тоді:


Відповідь:
Завдання 76. При якому значенні d рівнянням задана вісь ординат в комплексній площині, виключаючи початок координат?
Рішення
О.О.У.:
Нехай . Тоді .
.
, .
Якщо , То отримаємо рівняння .
Відповідь: .
Завдання 77. Серед всіх комплексних чисел z таких, що , Де , Тобто рівно одне число, аргумент якого дорівнює . Знайдіть це число.
Рішення
Запишемо дані число в тригонометричній формі:
. Тоді і .
Перейдемо до рівняння , Де . Отримуємо квадратне рівняння , Де , .
.
Розглянемо 2 випадки:
1. : ,
. Тоді і .
2. :
.
Введемо функцію . Цікавить випадок, коли один з коренів квадратного тричлена більше 0, а інший - менше 0 (Мал. 34).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

r

0

Рис. 34.
Досить вирішити систему нерівностей: Ця система несумісна, тому такий випадок неможливий.
Відповідь: .
Завдання 78. За яких дійсних значеннях a серед комплексних чисел таких, що , Немає ні одного числа, модуль якого дорівнює 2.
Рішення
Комплексне число з модулем запишеться так: .
Тоді .
Отримаємо рівняння .
1.Якщо , То рівняння дійсних рішень не має.
2.Пусть :

Вирішуючи систему методом «пелюсток» (Мал. 35), бачимо, що вона несумісна.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

0

Рис. 35.
3. : ,

.
Останнє рівняння не має коренів, якщо a задовольняє системі:


Зобразимо графічно рішення в даних випадках (мал. 36).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

0

є вирішене.

є вирішене.

є вирішене.

Рис. 36.
Відповідь: .
Завдання 79. Для кожного дійсного числа a знайдіть всі комплексні числа , Що задовольняють рівності: а) ;
б) .
Рішення
а) Нехай , Тоді з вихідного рівняння маємо .
Звідси отримуємо систему для знаходження x і y:

з якої випливає, що . Підставляючи це значення x в перше рівняння, маємо . Коріння цього рівняння дійсні тоді і тільки тоді, коли його дискримінант є дійсним числом, тобто . Для цих значень a знайдемо причому , То . Нерівність виконується для всіх a з проміжку . Таким чином, вихідне рівняння при має два кореня: , при рішень не є.
б) Перепишемо дане рівняння у вигляді . Так як і a - дійсні числа, то звідси висновок, що число z є чисто уявним числом.
Нехай , Тоді з вихідного рівняння знаходимо, що , Т. е. .
Останнє рівняння рівносильно сукупності двох систем:

Рівняння має два кореня: при будь-якому значенні a. Нерівності задовольняє (при будь-якому значенні a) тільки число .
Рівняння другої системи сукупності має дійсні рішення тільки за умови , Тобто при . Корінням цього рівняння при кожному є числа .
Ясно, що при обидва кореня і менше нуля, а при - Більше нуля.
Таким чином, вихідне рівняння:
при має один корінь ;
при має три корені , , .
Відповідь: а) при , То ,
б) при , То ;
при , То , , .
Завдання 80. Для яких дійсних чисел a не існує комплексних чисел z, для яких виконуються рівності , ?
Рішення
Зауважимо, що дорівнюють відстані між точками і на комплексній площині. При фіксованому a точки , Для яких , Лежать на колі з центром у і радіусом 2. (Взагалі, безліч , Для яких , Є коло з центром у і радіусом ). Аналогічно рівність . Дві окружності не мають спільних точок, якщо відстань між їхніми центрами більше суми або менше різниці радіусів. Таким чином, повинно виконуватися одне з двох нерівностей: або , Тобто або .
Відповідь: або .
Завдання 81. За яких дійсних чисел a будь-яке комплексне число, яке задовольняє рівнянню , Задовольняє одночасно і нерівності ?
Рішення
Нехай . Тоді і отримаємо рівняння

Якщо , То маємо рівняння кола з центром у точці і
. Від нерівності перейдемо до нерівності

Розглянемо ряд випадків в залежності від значень a.
1. , Тобто . Нерівність (2) виконується при будь-яких парах дійсних значень x і y, в тому числі і при рішеннях рівняння (1).
2. Нехай :

Система рішень не має.
3.Якщо , То отримаємо систему

Нерівності системи задовольняють усі пари значень x і y ( ), Крім - Не є рішенням рівняння системи.
4.Аналогічно переконуємося, що умовою завдання задовольняє і .
5.Остается розглянути наступне безліч значень a: .
У цьому випадку і нерівність (2) задає безліч точок комплексної площині, розташованих поза кола, заданої рівнянням . (3) (Мал. 37).
Позначимо радіус цієї окружності через r ( ). І досить знайти такі значення a з розглянутого множини, при яких окружність, задана рівнянням (1), розташована поза кола з рівнянням (3).
Розглянемо прямокутний трикутник : ; ; ; .
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

x

O

A

B

R

r

Рис. 37.
Отримаємо нерівність .
, , Таким чином .
Врахуємо безліч значень a, на якому ми вирішуємо систему (рис. 38):
SHAPE \ * MERGEFORMAT

a

a

-1

0

4

Рис. 38.
Таким чином, .
Відповідь: .
Завдання 82. Знайдіть всі дійсні a такі, що система рівнянь не має рішень.
Рішення
1. Якщо , То рішень немає.
2. При , .
3. Якщо :
Кожне з даних рівнянь задає на комплексній площині коло. Нехай О1 і О2 - центри цих кіл, r1 і r2 - відповідні радіуси.
Якщо відстань між їх центрами задовольняють умовам , То кола мають хоча б одну спільну точку. тоді отримаємо систему нерівностей

Тому при система рішень не має.
Відповідь: .

3. Висновок
У представленій випускний кваліфікаційної роботі отримані наступні результати.
1) Наведено систематичний виклад питання вирішення завдань з комплексними числами.
2) Наведено розв'язання задач з комплексними числами в алгебраїчній формі, обчислення операцій додавання, віднімання, множення, ділення, операції сполучення для комплексних чисел у алгебраїчній формі, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладено правило добування квадратного кореня з комплексного числа.
3) Вирішені завдання, присвячені геометричної інтерпретації комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексній площині;
4) Розглянуті дії над комплексними числами в тригонометричній формі.
5) Наведено рішення деяких рівнянь 3-й і 4-го ступенів;
6) Вирішено деякі завдання містять комплексні числа і параметри.
Матеріал, викладений у випускній кваліфікаційної роботи може бути використаний у навчальному процесі в курсі алгебри у вищому навчальному закладі, а також у класах з поглибленим вивченням математики або на елективних курсах у школі.

4. Список літератури
1. Абрамов А.М., Віленкін Н.Я., Дорофєєв Г.В., Єгоров О.О., Земляков О.М., Морковіч А.Г. Вибрані питання математики. 10 клас. Факультативний курс. - М.: Просвещение, 1980.
2. Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін - 7-е вид. - М.: Просвещение, 2000.
3. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунін М.Ш. Алгебра і початки аналізу. Пробний підручник 9-10 класів середньої школи. - М.: Просвещение, 1975.
4. Андронов І.К. Математика дійсних і комплексних чисел. - М.: Просвещение, 1975.
5. Бєляєва Е.С., Потапов А.С. Рівняння та нерівності першого ступеня з параметром і до них зводяться. Навчальний посібник. - Воронеж: ВДПУ, 2001.
6. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунін М.І. Лекції та завдання з елементарної математики. - М.: Наука, 1971.
7. Вавилов В.В, Мельников І.І., Олехнік С.М., Пасіченко П.І. Задачник з математики. Алгебра. Довідковий посібник. - М.: Наука, 1987.
8. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра і математичний аналіз для 11 класу: Навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики .- 6-е вид. - М.: Просвещение, 1998.
9. Галицький М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення курсу алгебри і математичного аналізу. - М.: Просвещение, 1989.
10. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. - Воронеж: ВДПУ, 2004.
11. Дадаян А.А., Новік І.А. Алгебра і початки аналізу. - М.: Просвещение, 1987.
12. Звавіч Л.І. та ін Алгебра і початки аналізу. Рішення завдань письмового іспиту. / Л.І. Звавіч, Л.Я. Шляпочнік, І.І. Кулагіна. - М.: Дрофа, 2000.
13. Карпо А.П. Збірник задач з алгебри та початків аналізу. Навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики .- М.: Просвещение, 1995.
14. Математика в школі. № 3, 1990.
15. Математика в школі. № 6, 1992.
16. Окунєв Л.Я. Вища алгебра. - М.: Просвещение, 1966.
17. Петраков І.С. Математичні гуртки у 8 - 10 класах. - М.: Просвещение, 1988.
18. Фадєєв Д.К., Нікулін М.С., Соколовський І.Ф. Елементи вищої математики для школярів. - М.: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1987.
19. Ципкін О.Г., Пінський О.І. Довідник з методів вирішення завдань з математики для середньої школи. - М.: Наука, 1989.
20. Шаригін І.Ф. Факультативний курс з математики: Рішення завдань: навчальний посібник для 10 класів середньої школи. - М.: Просвещение, 1989.
21. Шклярський Д.О., Ченцов М.М., Яглом І.М. Вибрані задачі та теореми елементарної математики. Арифметика і алгебра. - М.: Фізматліт, Лабораторія Базових Знань, 2001.
22. Енциклопедичний словник юного математика. (Упорядник Савін А.П.). - М.: Педагогіка, 1989.
23. Яглом І.М. Комплексні числа та їх застосування в геометрії. Вид. 2-е, стереотипне. - М.: Едіторіал УРСС, 2004.