Комплексні числа обрані завдання

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Державні освітні установи
ВИЩОЇ ОСВІТИ
«Воронезького державного ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА АГЛЕБРИ І ГЕОМЕТРІЇ
Комплексні числа
(Вибрані завдання)
ВИПУСКНА КВАЛІФІКАЦІЙНА РОБОТА
за фахом 050201.65 математика
(З додатковою спеціальністю 050202.65 інформатика)
Виконала: студентка 5 курсу
фізико-математичного
факультету
Науковий керівник:
ВОРОНІЖ - 2008

Зміст
1. Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в алгебраїчній формі .... ... ... ... ... ... .... ....
2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел ... ... ... ... .. ...
2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел
2.4. Додаток теорії комплексних чисел до розв'язання рівнянь 3-й і 4-го ступеня ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.5. Комплексні числа і параметри ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
3. Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .................
4. Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ...............

1. Введення
У програмі математики шкільного курсу теорія чисел вводиться на прикладах множин натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто на множині дійсних чисел, зображення яких заповнюють всю числову вісь. Але вже у 8 класі запасу дійсних чисел не вистачає, вирішуючи квадратні рівняння при негативному дискримінант. Тому було необхідно поповнити запас дійсних чисел за допомогою комплексних чисел, для яких квадратний корінь з від'ємного числа має сенс.
Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, полягає в тому, що поняття комплексного числа розширює знання учнів про числові системах, про рішення широкого класу задач як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про рішення алгебраїчних рівнянь будь-якого ступеня і про рішення задач з параметрами.
У даній дипломній роботі розглянуто рішення 82-х завдань.
У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведено вирішення завдань з комплексними числами в алгебраїчній формі, визначаються операції додавання, віднімання, множення, ділення, операція сполучення для комплексних чисел у алгебраїчній формі, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило добування квадратного кореня з комплексного числа.
У другій частині вирішуються завдання на геометричну інтерпретацію комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексній площині.
У третій частині розглянуті дії над комплексними числами в тригонометричній формі. Використовуються формули: Муавра і добування кореня з комплексного числа.
Четверта частина присвячена вирішенню рівнянь 3-й і 4-го ступенів.
При вирішенні завдань останньої частини «Комплексні числа і параметри» використовуються і закріплюються відомості, наведені в попередніх частинах. Серія завдань глави присвячена визначенню сімейств ліній в комплексній площині, заданих рівняннями (нерівностями) з параметром. У частині вправ потрібно вирішити рівняння з параметром (над полем С). Є завдання, де комплексна змінна задовольняє одночасно ряду умов. Особливістю вирішення завдань цього розділу є зведення багатьох з них до вирішення рівнянь (нерівностей, систем) другого ступеня, ірраціональних, тригонометричних з параметром.
Особливістю викладу матеріалу з кожної частини є первинний введення теоретичних основ, а надалі практичне їх застосування при вирішенні завдань.
В кінці дипломної роботи наведено список використаної літератури. У більшості з них досить докладно і доступно викладено теоретичний матеріал, розглянуті рішення деяких завдань і дані практичні завдання для самостійного рішення. Особливу увагу хочеться звернути на такі джерела, як:
1. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. [10]. Матеріал навчального посібника викладено у вигляді лекційних та практичних занять.
2. Шклярський Д.О., Ченцов М.М., Яглом І.М. Вибрані задачі та теореми елементарної математики. Арифметика і алгебра. [21] Книга містить 320 завдань, що належать до алгебри, арифметики і теорії чисел. За своїм характером ці завдання значно відрізняються від стандартних шкільних завдань.

2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в алгебраїчній формі
Рішення багатьох задач математики, фізики зводиться до вирішення алгебраїчних рівнянь, тобто рівнянь виду
,
де a0, a1, ..., an дійсні числа. Тому дослідження алгебраїчних рівнянь є одним з найважливіших питань у математиці. Наприклад, дійсних коренів не має квадратне рівняння з негативним дискримінант. Найпростішим таким рівнянням є рівняння
.
Для того щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити безліч дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння
.
Позначимо цей корінь через . Таким чином, за визначенням
, Або ,
отже, .
Символ називається уявною одиницею. З його допомогою і з допомогою пари дійсних чисел і складається вираз виду
.
Отриманий вираз назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, так і уявну частини.
Отже, комплексними числами називаються вирази виду
,
де і - Дійсні числа, а - Деякий символ, що задовольняє умові . Число називається дійсною частиною комплексного числа , А число - Його уявною частиною. Для їх позначення використовуються символи
, .
Комплексні числа виду є дійсними числами і, отже, безліч комплексних чисел містить в собі безліч дійсних чисел.
Комплексні числа виду називаються чисто уявними. Два комплексних числа виду і називаються рівними, якщо рівні їх дійсні та уявні частини, тобто якщо виконуються рівності
, .
Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє здійснювати операції з ними за звичайними правилами алгебри.
Сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число виду
.
Твором двох комплексних чисел і називається комплексне число виду
.
1. Комутативними (переместительное) закон додавання:
.
2. Асоціативний (сочетательність) закон додавання:
.
3. Комутативними закон множення:
.
4. Асоціативний закон множення:
.
5. Дистрибутивний (розподільний) закон множення відносно додавання:
.
6. .
7. .
8. .
9. Будь-якому комплексному числу відповідає протилежне комплексне число таке, що .
10. Всякому комплексному числу відмінному від нуля, відповідає зворотне комплексне число таке, що .
Ступені уявної одиниці.

Якщо натуральний показник ступеня m при діленні на 4 дає в залишку r, тобто якщо , Де n - натуральне число, то
;
при цьому
Комплексне число називається зв'язаним комплексному числу , Якщо
.
Властивості операції сполучення.
1.
2. Для будь-якого дійсного числа a справедливо рівність
3. Для будь-якого дійсного числа b справедливо рівність
4.
5.
Слідство з 5.
6.
7. Сума та добуток двох комплексно спряжених чисел є дійсними числами.


Слідство з 7.
Модулем комплексного числа називається дійсне число вигляду
.
8. Теорема про зв'язаному корені.
Якщо число є коренем рівняння
(1)
з дійсним коефіцієнтами a0, a1, ..., an, то число також є коренем рівняння (1).
Витяг квадратного кореня з комплексного числа . Нехай
,
де x і y - дійсні числа. Зводячи обидві частини цієї рівності в квадрат, отримуємо
.
Що рівносильно системі

Вирішуючи цю систему, отримуємо:
; .
Таким чином, добування кореня квадратного з комплексного числа здійснюється за формулою
.
У дужках перед уявною одиницею береться знак плюс, якщо , І знак мінус, якщо .
Завдання 1. Знайдіть комплексні корені рівняння , Якщо:
а) ; Б) , В) .
Рішення
а) .
Так як , То це рівняння можна записати у вигляді або . Звідси, розкладаючи ліву частину на множники, отримуємо , Звідки , .
б) .
Враховуючи, що , Перетворимо це рівняння: , , , , Звідки , .
в) .
Перетворимо , , , Звідки , .
Відповідь: а) ; Б) , В) .
Завдання 2. Знайдіть x і y, для яких .
Рішення
Отримаємо і вирішимо систему двох рівнянь:


Відповідь: .
Завдання 3. Розв'яжіть рівняння щодо дійсних змінних x і y.
Рішення
Ліву частину рівняння можна розглядати, як деяке невідоме комплексне число. Привівши його до виду , Отримуємо рівняння рівносильне даному: . Оскільки два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні та уявні частини, приходимо до системи:

Відповідь: .
Завдання 4. За яких дійсних значеннях x та y комплексні числа і будуть протилежними?
Рішення
Комплексні числа і будуть протилежними, якщо виконуються умови:

Відповідь: ; .
Завдання 5. За яких дійсних значеннях x та y комплексні числа і будуть рівними?
Рішення
Комплексні числа і будуть рівними, якщо виконуються умови:

Відповідь: ; .
Завдання 6. Розв'яжіть рівняння щодо дійсних змінних x і y.
Рішення
Ліву частину рівняння можна розглядати, як деяке невідоме комплексне число. Привівши його до виду , Отримуємо рівняння рівносильне даному: . Оскільки два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні та уявні частини, приходимо до системи:

Відповідь: .
Завдання 7. Вирішіть в безлічі комплексних чисел рівняння .
Рішення
Так як , Тоді корені знаходяться за формулою
( ).
Звідси, , .
Відповідь: .
Завдання 8. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
Перепишемо рівняння у вигляді .
Вважаючи , Отримаємо рівняння , Яке має корінь . Тому ліву частину цього рівняння можна представити у вигляді добутку двочлена і квадратного тричлена.
Для знаходження коефіцієнтів квадратного тричлена застосуємо схему Горнера:
1
1
2
- 4
1
1
2
4
0
Отже, отримуємо рівняння .
Квадратний тричлен має коріння і .
Отже, вихідне рівняння має корені: , , .
Відповідь: ; .
Завдання 9. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
Коріння цього рівняння знаходяться за формулами
, ,
де і - Числа, що задовольняють умові . Звідси . Нехай , Тоді , Т. е. . Два комплексних числа рівні, отже, рівні їх дійсні та уявні частини:

Знаходимо два рішення цієї системи: , . Таким чином,
рішеннями вихідного рівняння є числа , І
, Т. е. , .
Відповідь: ; .
Завдання 10. Проведіть дії з комплексними числами в алгебраїчній формі:
а) ; Б) , В) .
Рішення
а)
б)
в)

Відповідь: а) ; Б) , В) .
Задача 11. Проведіть такі дії над комплексними числами:
а) ; Б) , В) ; Г) .
Рішення
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Відповідь: а) ; Б) , В) ; Г) .
Задача 12. Запишіть комплексне число у вигляді .
Рішення
Маємо

Відповідь: .
Задача 13. Знайдіть значення функції при .
Рішення
Підставимо значення x у функцію:
.
Обчислимо другий доданок:
.
Обчислимо перший доданок:
.
Таким чином, .
Відповідь: .
Завдання 14. Обчисліть ; ; ; .
Рішення
За допомогою формули:
Легко отримуємо:
;
;
;
.
Відповідь: ; ; ; .
Задача 15. Виконайте зазначені дії: .
Рішення
Обчислимо значення дробу .
Отже,
Відповідь: .
Завдання 16. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
За формулою , Знаходимо:
.
Зауважимо, що знайдені в цьому завданні коріння є сполученими: і . Знайдемо суму і добуток цих коренів: , . Число 4 - це другий коефіцієнт рівняння , Взятий з протилежним знаком, а число 13 - вільний член, тобто в цьому випадку справедлива теорема Вієта. Вона справедлива для будь-якого квадратного рівняння: якщо і - Корені рівняння , Де , .
Відповідь: .
Завдання 17. Складіть наведене квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, що має корінь .
Рішення
Другий корінь рівняння є числом, зв'язаних з даним коренем , Тобто . По теоремі Вієта знаходимо
; ,
де число 2 - це другий коефіцієнт рівняння, взятий з протилежним знаком, а число 5 - вільний член. Таким чином, отримуємо рівняння
.
Відповідь: .
Завдання 18. Дано числа ; . Знайдіть:
а) ; Б) .
Рішення
а) , Тоді

б) , Тоді
Відповідь: а) ; Б) .
Задача 19. Знаючи, що коренем рівняння є число , Знайдіть всі корені даного рівняння.
Рішення
Оскільки всі коефіцієнти даного рівняння - дійсні числа, то на підставі теореми про зв'язаному корені, робимо висновок, що число також є коренем даного рівняння.
Нехай - Невідомий корінь рівняння , Тоді , Де
, Отримуємо .
Розділимо обидві частини останнього рівності на , Отримаємо .
Отже, .
Відповідь: ; .
Завдання 20. Знайдіть всі комплексні числа, кожне з яких пов'язане зі своїм квадратом.
Рішення
Нехай - Шукане комплексне число, де x і y - дійсні числа. Тоді число , Поєднане числа , Так само .
За умовою задачі маємо: , Тобто .
Перетворивши це рівняння, отримаємо: .
Два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні відповідно до їх дійсні та уявні частини. Отже, останнє рівняння рівносильно наступній системі рівнянь з дійсними змінними x і y:

Можливі два випадки:
1) . Тоді система рівносильна системі: , Яка
має наступні рішення: ; .
2) . Тоді система рівносильна системі , Яка має два рішення: і .
Отже, шуканих чисел чотири: ; ; , З них два числа і - Дійсні, а два інших і - Комплексно зв'язані.
Відповідь: ; ; .
Завдання 21. Відомо, що , . Знайдіть:
а) ; Б) .
Рішення
а) ,
б) .
Відповідь: а) ; Б) .
Завдання 22. За яких дійсних значеннях x та y комплексні числа і будуть сполученими?
Рішення
Комплексні числа і будуть ком-
плексного сполученими, якщо виконуються умови:

Відповідь: ; .
Завдання 23. Доведіть тотожність .
Рішення
Нехай , , . Тоді , , , , , .
Звідси легко слід доказуване тотожність.
Завдання 24. Доведіть, що якщо число є чисто уявним, то .
Рішення
За умовою , Де b - дійсне число, тоді , , .
Тотожність доведено.
Завдання 25. Нехай . Доведіть, що .
Рішення
Оскільки , То



Тотожність доведено.
Завдання 26. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
Нехай . Тоді дане рівняння запишеться у вигляді , Звідки . Комплексне число дорівнює нулю, тоді і тільки тоді, коли його дійсна і уявна частини дорівнюють нулю, тому для знаходження невідомих x і y отримаємо систему:

З другого рівняння цієї системи знаходимо: x = 0 і y = 0. При x = 0 перше рівняння системи запишеться у вигляді або . Звідси знаходимо або . Таким чином, числа , , є рішеннями даного рівняння.
При y = 0 для знаходження x отримуємо рівняння . Звідси випливає, що x = 0, і тим самим .
Відповідь: ; ; .
Завдання 27. Вирішити систему рівнянь:

Рішення
Вважаючи , Маємо


отже, і .
Після перетворень дана система приймає вигляд

Рішення отриманої системи є пари і . Таким чином, вихідна система має два рішення і .
Відповідь: ; .
Завдання 28. Доведіть, що якщо , То .
Рішення
Припустимо, що існує таке комплексне число , , Для якого виконано нерівність . Тоді , Або .
Оскільки





то і - Дійсні числа. Тому з останнього нерівності отримаємо нерівність: .
Отже, .
Отримане протиріччя доводить твердження.
Завдання 29. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
За формулами коренів квадратного рівняння маємо: .
Вилучаючи корінь квадратний з числа , Отримуємо .
Отже, ;
.
Відповідь: ; .
Завдання 30. Вийміть квадратний корінь із комплексного числа .
Рішення
Нехай , Де .
За формулою


Таким чином .
Відповідь: .
Завдання 31. Розв'яжіть рівняння: .
Рішення
Маємо , ,
.
Отримуємо
Винесемо квадратний корінь із комплексного числа за формулами:
; ;
Так як , Тоді

Отже, , Тоді
Де і
Можна зробити перевірку по теоремі Вієта:
і .
Відповідь: ; .
Завдання 32.
Нехай , . За яких дійсних значеннях a і b виконується умова ?
Рішення
Знаходимо

.
Використовуючи умову рівності двох комплексних чисел, отримуємо систему

Відповідь: .

2. 2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел
Введемо на площині прямокутну систему координат xOy і поставимо відповідно кожному комплексному числу точку площини з координатами (a; b). Отримане відповідність між усіма комплексними числами і всіма точками площини взаємно однозначно: кожному комплексному числу відповідає одна точка площини з координатами (a; b), і назад, кожній точці площини з координатами (a; b) відповідає єдине комплексне число (Див. рис. 1).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
y
z
a
b
0

Рис. 1
Таким чином, z одночасно позначають і комплексне число, і точку, яка зображує це комплексне число.
Комплексне число називається комплексної координатою точки (a; b).
Оскільки при зазначену відповідність дійсні числа зображуються точками осі абсцис, то вісь Ox називається дійсною віссю. Вісь Oy, на якій лежать суто уявні числа , Називається уявною віссю. Площина, точки якої зображають комплексні числа, називається комплексної площиною.
Комплексне число може також зображуватися вектором з координатами a і b, що йде з початку координат у точку (a; b) (див. рис. 1). За визначенням модуля комплексного числа
,
модуль комплексного числа дорівнює довжині вектора .
Завдання 33. Зобразіть на комплексній площині (рис.2), такі комплексні числа:

Рішення
Даним комплексним числах відповідають точки комплексній площині.


Покажемо їх.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x
D
3
0
4
1
-3
-3
-1
A
C
B

Рис.2
Завдання 34. Знайдіть комплексну координату середини відрізка AB, якщо комплексні координати його кінців рівні і відповідно.
Рішення
Позначимо середину відрізка AB через O1. Тоді
.
Враховуючи, що комплексна координата вектора дорівнює , Отримаємо .
Відповідь: .
Завдання 35. Зобразіть графічно безліч усіх точок комплексної площині, для яких виконуються дані умови:
а) , Б) , В) , Г) , Д) ,
е) , Ж) , З) , І) , К) .
Рішення
а) . З рівностей і , Отримуємо: .
Безліч точок - пряма (Рис. 3).
y
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
3
0
y = 3

Рис. 3.
б) . , . Отже, .
Безліч точок - верхня щодо осі OX полуплоскость, включаючи пряму (Рис. 4).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x
0

Рис. 4.
в) . З рівностей і , Отримуємо: .
Безліч точок - пряма (Рис. 5).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
0
-1
x =- 1
y

Рис. 5.
г) , , І . Отже, .
Безліч точок - ліва відносно прямої полуплоскость, включаючи пряму (Рис. 6).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
0
3
x = 3
y

Рис. 6.
д) . , Тому .
Безліч точок - пряма . (Рис. 7).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
y
0
y = 0

Рис. 7.
е) Якщо , То умови і означають, що і . Безліч точок - частина площини, обмежена знизу прямий , Праворуч , Виключаючи зазначені прямі (рис. 8).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
0
2
3
x
y

Рис. 8.
ж) Якщо , То , І умова означає, що , Тобто . Безліч точок - пряма (Рис. 9).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
-1
y
0
y =- 1

Рис. 9.
з) Якщо , То при умова, що сума відмінна від нуля, маємо , Тому . Отже, , Звідки отримуємо рівняння:
, Або .
Перетворимо його
.
Таким чином, безліч точок - це коло з центром у точці O радіуса , У якої «виколоти» точка (Рис. 10).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
y
0


Рис. 10.
і) ; За умовою , Отже, .
Безліч точок - коло з центром у початку координат радіуса 1.
к) За умовою , Тому , Тобто , , , . Остання умова означає, що або , Або . У першому випадки отримуємо рівняння осі Ox, у в другому випадки точку . Враховуючи, що , Тобто що дійсна частина комплексного числа неотрицательна.
Приходимо до висновку: шукане безліч точок - позитивна піввісь Ox з початком у точці .
Завдання 36. Зобразіть на площині XOY безліч, усіх точок , Що задовольняють умові:
а) ; Б) , В) ; Г) ; Д)
Рішення
а) . Для кожного число дорівнює відстані між точкою і точкою . Тому заданій умові задовольняють ті і тільки ті точки, які лежать на колі радіуса 1 з центром у точці (Рис. 11).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
0
y
1
(0; 1)

z = i

Рис. 11.
б) . Для кожного число дорівнює відстані між точкою і початком координат. Тому умові задовольняють ті і тільки ті точки, які лежать всередині кільця, обмеженого двома концентричними колами з центром у початку координат і радіусами і відповідно (рис. 12).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x

2
1
0
-1
-2

Рис. 12.
в) . З визначення головного аргументу комплексного числа випливає, що безліч точок z, що задовольняють даному співвідношенню, є відкритим променем Oz (рис 13), утворює кут з позитивним напрямом осі Ох.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
0
x



Рис. 13.
г) . Нехай . Тоді дане співвідношення перепишеться у вигляді або .
Звідси знаходимо: , Тобто .
Таким чином, , І, отже, вихідному співвідношенню задовольняють тільки ті комплексні числа, для яких . Такі точки заповнюють всю верхню полуплоскость (рис. 14). Ця відповідь можна отримати з геометричних міркувань, враховуючи, що вісь OX є перпендикуляр до відрізка, що з'єднує точки і , Відновлений із його середини.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
(0; -1)
z =- i
y


(0; 1)
0
z = i
x

Рис. 14.
д) Шукане безліч точок є перетин кільця, обмеженого колами радіусів 1 і 2 з центром в точці , І другого квадранта (рис. 15).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

(-1; 0)
(-2; 0)
(-3; 0)
x
0

Рис. 15.
Завдання 37. Доведіть, що відстань між точками і одно .
Рішення
Так як , А це і
Тобто, як відомо з геометрії, формула відстані між двома точками і .
Завдання 38. Доведіть, що якщо точка не збігається з точкою , То рівність задає рівняння прямої, перпендикулярної відрізку, що з'єднує точки і , І проходить через його середину.
Рішення
Всі крапки , Що задовольняють рівності , Рівновіддалені від точок і і тому, як це відомо з геометрії, лежать на прямій, перпендикулярній відрізку, що з'єднує точки і , І проходить через його середину. Зворотно, всі крапки цієї прямої, очевидно, задовольняють рівності , Отже, це рівність є рівнянням зазначеної вище прямій.
Завдання 39. Вкажіть, де на площині розташовані точки, відповідні комплексним числах , Для яких .
Рішення
Уявімо вираз у вигляді різниці двох комплексних чисел: . Тоді стає ясно, що рівність є рівнянням кола з центром у точці і радіусом 2.
Нерівності задовольняють внутрішні точки зазначеного кола разом з точками, що лежать на колі , Тоді нерівності відповідає зовнішність кола радіуса 1 концентричному першому.
Так як нас цікавлять точки, що задовольняють одночасно двом умовам: , Тому шукана область є перетином двох знайдених областей і являє собою кільце, що містить точки зовнішньої обмежує кола. Так як ліва нерівність є строгим, точки внутрішньої обмежує кола не входить в отриману область (рис. 16).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
-4
x
-2
2
0

Рис. 16.
Завдання 40. Вкажіть, де на площині розташовані точки, відповідні комплексним числам, що задовольняє умові: .
Рішення
Рівність є рівняння прямої l, перпендикулярної відрізку AB (A (0; 0) і B (0; 2)) і проходить через середину, тобто пряма l паралельна осі Ox і проходить через точку (0; 1). Так як з рівностей , , Слід рівність , А значить, , Тобто .
Тому цього рівності задовольняють точки півплощини, що лежать нижче прямої l не входить у вказану область, тому що дана нерівність суворе (рис. 17).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
0
l
1
y

Рис. 17.
Завдання 41. Зобразіть на площині комплексні числа , Що задовольняють умові: .
Рішення
. Отже, . Таким чином, , , То
, , .
Цим числах відповідають три точки: A ( ), B ( ) І C ( ). Вони розташовані на одиничному колі і ділять її на три рівні частини (рис. 18).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
y
0
1
A
B
C

Рис. 18.
Завдання 42. Зобразіть на площині комплексні числа , Що задовольняють умові: .
Рішення
, Значить, і .
Отримали дві точки: B ( ) І C ( ) (Рис. 19).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
y
0
1
B
C

Рис. 19.
Завдання 43. Зобразіть безліч точок комплексної площині, що задовольняють умові: .
Рішення
Дане нерівність рівносильно виконання двох умов: і . Якщо , Де x і y - дійсні числа, то отримуємо наступні нерівності: , , , , . Шукана область лежить поза колом з центром у точці (-2; 0) радіуса 2, включаючи кордон кола і виключаючи точку (2; 0) (рис. 20).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
y
0
2
-2

Рис. 20.
Завдання 44. Зобразіть безліч точок комплексної площині, що задовольняють умові: .
Рішення
Дане нерівність рівносильно виконання двох умов:
і . Якщо покласти , То отримуємо наступні нерівності:
.
Перетворимо його
,
, ,
Отримуємо .
Шукана область - коло з центром у точці (0; 2) радіуса 2, включаючи кордон кола і виключаючи точку (0; 1) (рис. 21).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x
0
1
2

Рис. 21.
Завдання 45. Зобразіть безліч точок комплексної площині, що задовольняють умові: .
Рішення
Покладемо .
Тоді , .
Нерівність при рівносильно нерівності або . Остання нерівність задає коло з центром у точці (0; 0,5) та радіусом 0,5 включаючи кордон кола. Внаслідок обмеження точка (0; 0) не належить заданій множині (рис. 22).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
0
1
1
y

Рис. 22
Завдання 46. Зобразіть на комплексній площині безліч точок, що задовольняють нерівностям: .
Рішення
Уявімо число як . Тоді
;
.
За умовою, , Звідки
; ;
.
Ліва частина подвійного нерівності задає область, що лежить поза колом з центром в точці K (-0,5; 0,5) і радіусом 1. права частина задає коло з центром в точці K і радіусом 2. У кожному випадку кордон не включається в заданий безліч. Шукане безліч точок зображено на рис. 23.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x
0
1
1
K

Рис.23.
Завдання 47. З усіх чисел , Що задовольняють умові , Знайдіть такі, що приймає найменше значення.
Рішення
I спосіб.
Нехай . Тоді .
Рівняння задає на комплексній площині коло з центром у точці O (0; 0) і радіусом 5. З геометричної точки зору величина являє собою суму відстаней від точки, що відповідає комплексному числу , До точок A (7; 0) B (0, 7), відповідних числами 7 і 7i. З рис. 24 видно, що коло з центром у O і радіусом 5 перетинає відрізок AB в двох точках P і Q. Ці точки і будуть відповідати тим комплексним числам, для яких величина приймає найменше значення.
Дійсно, для точок P і Q значення дорівнює довжині відрізка AB, а для будь-якої точки N окружності, відмінною від P і Q, в силу нерівності трикутника справедливе співвідношення AN + BN> AB.
y
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
O
B
P
Q
A

Рис. 24.
Знайдемо координати точок P та Q. Ці точки лежать на прямій AB, яка задається рівнянням . Вирішимо систему

Так як , То перейдемо до системи

Рівняння має коріння 3 та 4, тому рішеннями системи є пари (3, 4) і (4, 3). Таким чином, точкам P і Q відповідають числа і .
II спосіб. Нехай . Тоді (Див. I спосіб);
.
Знайдемо пари (x; y), для яких досягається мінімум функції за умови . Оскільки функція приймає не негативне значення при всіх допустимих x і y, замість мінімуму функції φ можна розглядати мінімум функції
.
Перетворимо останній вираз до виду
,
так як , То ,
звідки .
Зробимо заміну і знайдемо значення t, для яких досягається мінімум функції або , Або після заміни - Ті значення p, при яких мінімально вираз .
Досліджуємо функцію за допомогою похідної. Маємо ; , Якщо , Тобто якщо , А . Остання рівність виконується при .
Неважко переконатися в тому, що якщо , То , Тобто убуває, а якщо , То , Тобто зростає. При функція приймає найменше значення.
Значенням відповідає , При . Звідси, з огляду на співвідношення , Знаходимо , або , і отримуємо остаточну відповідь.
Відповідь: і .
Зауваження. Звичайно, II спосіб більш трудомісткий, але разом з тим і більш універсальний. Зокрема, якщо б на відрізку AB не знайшлося жодної точки, що задовольняє заданому в умові рівності, то рішення I способом було б взагалі неможливо.
Завдання 48. Зобразіть безліч точок комплексної площини, що задовольняють умові: .
Рішення
Уявімо у вигляді і перетворимо задану дріб:
.
Уявна частина дробу дорівнює .
Нерівність рівносильно системі

Нерівність перепишемо у вигляді . Це співвідношення задає коло з центром в точці (1; 1) і радіусом 1. Точка (1; 0) належить колі, однак її координати не задовольняють другій умові системи. Отримане безліч зображено на рис. 25.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
y
0
1
1

Рис. 25.
Завдання 49. Серед комплексних чисел , Що задовольняють умові: , Знайдіть число з найменшим модулем.
Рішення
Скористаємося геометричним змістом модуля комплексного числа. Як відомо, для комплексних чисел і w величина дорівнює відстані між точками комплексної площини, відповідними числами і w. Точки, що відповідають числах , Для яких виконується рівність , Рівновіддалені від точок (0; 0) і (0; 2) комплексної площини, а, отже, утворюють пряму . Серед точок прямої найменш віддаленою від початку координат є точка (0; 1). Вона відповідає числу - Числу з найменшим модулем, який відповідає заданим рівнянням.
Відповідь: .
Завдання 50. Нехай M - множина точок комплексної площини таких, що ; K - множина точок комплексної площини виду , Де . Знайдіть відстань між фігурами M і K.
Рішення
I спосіб.
Нехай ; Тоді , Звідки
. Безліч точок M комплексної площини, що задовольняють цій умові, є коло з центром у точці O1 (0; ) І радіусом 0,5.
За умовою, , Тобто . Вважаючи , Маємо і .
Безліч K точок комплексної площині, що задовольняють цій умові, є коло з центром у точці O2 (- ; 0) і радіусом 0,5. Так як окружності M і K не мають спільних точок, то відстанню між ними (рис. 26) є довжина відрізка PN лінії центрів, тобто .
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x
O
O 1
O 2


N
P

Рис. 26.
Відповідь: 1.
Зауваження. Геометричне обгрунтування того, що довжина відрізка PN є відстань між даними фігурами, дуже просто. Дійсно, візьмемо на колах K і M такі точки N1 і P1 відповідно (рис. 27), що , . Для ламаної O1P1N1O2 і прямої O1O2 виконується нерівність O1P1 + P1N1 + N1O2> O1P + PN + NO2. Віднімаючи з обох частин нерівності суму радіусів, отримуємо P1N1> PN.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x
O
O 1
O 2


N
P
N 1
P 1

Рис. 27.
II спосіб.
Запишемо нерівності . Таким чином, . Це означає, що відстань від точок фігури M до точки O1 (0; ) Постійно і дорівнює 0,5. фігура M - коло з центром у точці O1 і радіусом 0,5. Умова означає, що безліч K отримано поворотом точок множини M на кут навколо початку координат, тобто являє собою коло з центром у точці O2 (- ; 0) і радіусом 0,5. Подальші міркування такі ж, як при вирішенні I способом.
Завдання 51. Знайдіть найбільший модуль комплексного числа , Що задовольняє умові .
Рішення
Так як , А . Це коло з центром в точці A (3, 4) і радіусом .
Оскільки OA = 5, , Маємо . Серед точок кола існує точка , Для якої . Це точка перетину кордону кола і продовження відрізка OA.
Відповідь: 6.
Завдання 52. Вирішіть систему рівнянь

Рішення
Так як , То . Це безліч - серединний перпендикуляр до відрізка AB, де A (0, 2), B (0, 4) - точки, відповідні числах і . Рівняння цього перпендикуляра є . З другого рівняння системи маємо . Нехай , Тоді . Так як для кожної з шуканих точок, то ; . корінням цього рівняння є числа 2 і - 4. системі рівнянь задовольняють 2 числа: і .
Відповідь: ; .
Завдання 53. Зобразіть на комплексній площині безліч точок, які відповідають умові .
Рішення
Нехай , Тоді і, значить,
, . Початкове нерівність перепишеться так: . Остання нерівність можна замінити системою двох умов: і , Або і .
Шукане безліч зображено на рис. 28. Відзначимо, що кордон безлічі (пряма ) Належить йому за винятком точки (0; 0).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
y
0
1
1

Рис. 28.
Завдання 53. Безліч точок комплексної площини визначається умова . У яких межах змінюється .
Рішення
Безліч точок, заданий умовою , Визначається на комплексній площині коло з центром у точці і радіусом 1. таке коло в системі координат xOy задається нерівністю .
Нехай , Тоді , , . Завдання зводитися до визначення меж, у яких може змінюватися співвідношення за умови . Питання може бути сформульований так: при яких значеннях система

має хоча б одне рішення?
Остання система рівносильна наступною:
або
Ця система має рішення тоді, коли має рішення квадратне нерівність . Так як коефіцієнт при позитивний, то воно має рішення, якщо дискримінант квадратного тричлена у його лівій частині неотрицатель. Маємо
.
при .
Відповідь: .

2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел
Нехай вектор задається на комплексній площині числом .
Позначимо через φ кут між позитивною полуосью Ox і вектором (Кут φ вважається позитивним, якщо він відраховується проти годинникової стрілки, і негативним у протилежному випадку).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
y
A
a
b
0
φ

Рис. 29
Позначимо довжину вектора через r. Тоді . Позначимо також
.
Тоді
.
Запис відмінного від нуля комплексного числа z у вигляді
(2)
називається тригонометричної формою комплексного числа z. Число r називається модулем комплексного числа z, а число φ називається аргументом цього комплексного числа і позначається Arg z.
Тригонометрична форма запису комплексного числа - (формула Ейлера) - показова форма запису комплексного числа:
.
У комплексного числа z є нескінченно багато аргументів: якщо φ0 - який-небудь аргумент числа z, то всі інші можна знайти за формулою
.
Для комплексного числа аргумент і тригонометрична форма не визначаються.
Таким чином, аргументом відмінного від нуля комплексного числа є будь-яке рішення системи рівнянь:
(3)
Значення φ аргументу комплексного числа z, задовольняє нерівностям , Називається головним і позначається arg z.
Аргументи Arg z і arg z пов'язані рівністю
, (4)
де
Формула (5), є наслідком системи (3), тому всі аргументи комплексного числа задовольняють рівності (5), але не всі рішення φ рівняння (5) є аргументами числа z.
Головне значення аргументу відмінного від нуля комплексного числа знаходитися за формулами:

Формули множення і ділення комплексних чисел в тригонометричній формі мають такий вигляд:
. (6)
. (7)
При зведенні в натуральну ступінь комплексного числа використовується формула Муавра:
. (8)
Під час вилучення кореня з комплексного числа використовується формула:
, (9)
де k = 0, 1, 2, ..., n-1.
Завдання 54. Обчисліть , Де .
Рішення
Уявімо рішення цього виразу в показовій формі запису комплексного числа: .
Якщо , То .
Тоді , . Тому , Тоді і , Де .
Відповідь: , При .
Завдання 55. Запишіть комплексні числа у тригонометричній формі:
а) ; Б) , В) ; Г) ; Д) ; Е) ; Ж) .
Рішення
Так як тригонометрична форма комплексного числа має вигляд , Тоді:
а) У комплексному числі : .
Тоді
,
Тому
б) , Де ,
в) , Де ,
г) , Де ,
д) , Де ,
е) .
ж) , А , То .
Тому
Відповідь: ; 4; ; ; ; ; .
Завдання 56. Знайдіть тригонометричну форму комплексного числа
.
Рішення
Нехай , .
Тоді , , .
Оскільки і , , То , А
.
Отже, , Тому
, Де .
Відповідь: , Де .
Завдання 57. Використовуючи тригонометричну форму комплексного числа, зробіть зазначені дії: .
Рішення.
Уявімо числа і в тригонометричній формі.
1) , Де тоді
Знаходимо значення головного аргументу :

Підставимо значення і у вираз , Отримаємо
2) , Де тоді
Тоді
3) Знайдемо приватне


Далі, застосовуючи формулу (9) отримаємо:

Вважаючи k = 0, 1, 2, отримаємо три різних значення шуканого кореня:
Якщо , То
якщо , То
якщо , То .
Відповідь: :
:
: .
Завдання 58. Нехай , , , - Різні комплексні числа і . Доведіть, що
а) число є дійсним позитивним числом;
б) має місце рівність:
.
Рішення
а) Уявімо дані комплексні числа у тригонометричній формі:
, , , , Так як .
Припустимо, що . Тоді




.
Останній вираз є позитивним числом, тому що під знаками синусів стоять числа з інтервалу .
б) Маємо
,
так як число речовинно і позитивно. Дійсно, якщо a і b - комплексні числа і речовинно і більше нуля, то .
Крім того,

отже, потрібне рівність доведено.
Завдання 59. Запишіть в алгебраїчній формі число .
Рішення
Уявімо число в тригонометричній формі, а потім знайдемо його алгебраїчну форму. Маємо . Для отримуємо систему:

Звідси випливає рівність: .
Застосовуючи формулу Муавра: ,
отримуємо


Знайдена тригонометрична форма заданого числа.
Запишемо тепер це число в алгебраїчній формі:
.
Відповідь: .
Завдання 60. Знайдіть суму , ,
.
Рішення
Розглянемо суму
.
Застосовуючи формулу Муавра, знайдемо
.
Ця сума являє собою суму n членів геометричної прогресії зі знаменником і першим членом .
Застосовуючи формулу для суми членів такої прогресії, маємо







Виділяючи уявну частину в останньому виразі, знаходимо

Отже, .
Виділяючи дійсну частину, отримуємо також наступну формулу: , , .
Відповідь: .
Завдання 61. Знайдіть суму:
а) ; Б) .
Рішення
За формулою Ньютона для зведення в ступінь маємо


За формулою Муавра знаходимо:
.
Прирівнюючи речові та уявні частини отриманих виразів для , Маємо:
і .
Ці формули в компактному вигляді можна записати так:
,
, Де - Ціла частина числа a.
Відповідь: ; .
Завдання 62. Знайдіть всі , Для яких .
Рішення
Оскільки , То, застосовуючи формулу
, Для вилучення коренів, отримуємо ,
Отже, , ,
, .
Точки, що відповідають числах , Розташовані в вершинах квадрата, вписаного в коло радіуса 2 з центром у точці (0; 0) (рис. 30).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x
2
2








(0; 0)

Рис. 30.
Відповідь: , ,
, .
Завдання 63. Розв'яжіть рівняння , .
Рішення
За умовою ; Тому дане рівняння не має кореня , І, значить, воно рівносильне рівнянню .
Для того щоб число z було коренем даного рівняння, потрібно, щоб число було коренем п-го ступеня з числа 1.
Звідси укладаємо, що вихідне рівняння має коренів , Визначених з рівностей
,
Таким чином,
,
т. е. ,
Відповідь: .
Завдання 64. Вирішіть в безлічі комплексних чисел рівняння .
Рішення
Так як число не є коренем даного рівняння, то при дане рівняння рівносильне рівнянню
, Тобто рівняння .
Всі корені цього рівняння виходять з формули (див. завдання 62):

,
,
,
,
.
Відповідь:
; ; ; ; .
Завдання 65. Зобразіть на комплексній площині безліч точок, що задовольняють нерівностям: . (2-й спосіб вирішення завдання 45)
Рішення
Нехай .
Тоді .
Комплексним числах, які мають однакові модулі, відповідають точки площини, що лежать на колі з центром на початку координат, тому нерівності задовольняють всі крапки відкритого кільця, обмеженого колами з загальним центром на початку координат і радіусами і (Рис. 31). Нехай деяка точка комплексної площини відповідає числу w0. Число , Має модуль, в разів менший модуля w0, аргумент, на більший аргументу w0. З геометричної точки зору точку, відповідну w1, можна отримати, використовуючи гомотетія з центром у початку координат і коефіцієнтом , А також поворот відносно початку координат на кут проти годинникової стрілки. В результаті застосування цих двох перетворень до точок кільця (рис. 31) останнє перейде в кільце, обмежене колами з тим же центром і радіусами 1 і 2 (рис. 32).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x

1
0
-1

Рис. 31.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x
2
1
0
-1
-2

Рис. 32.
Перетворення реалізується за допомогою паралельного перенесення на вектор . Переносячи кільце з центром в точці на вказаний вектор, отримаємо кільце такого ж розміру з центром у точці (Рис. 22).
Запропонований спосіб, що використовує ідею геометричних перетворень площини, напевно, менш зручний в описі, але вельми витончений і ефективний.
Завдання 66. Знайдіть , Якщо .
Рішення
Нехай , Тоді і . Початкове рівність прийме вигляд . З умови рівності двох комплексних чисел одержимо , , Звідки , . Таким чином, .
Запишемо число z в тригонометричній формі:
, Де , . Відповідно до формули Муавра, знаходимо .
Відповідь: - 64.
Завдання 67. Для комплексного числа знайдіть всі комплексні числа , Такі, що , А .
Рішення
Уявімо число в тригонометричній формі:
. Звідси , . Для числа отримаємо , може бути рівний або .
У першому випадку , У другому
.
Відповідь: , .
Завдання 68. Знайдіть суму таких чисел , Що . Вкажіть одне з таких чисел.
Рішення
Зауважимо, що вже з самої формулювання завдання можна зрозуміти, що сума коренів рівняння можна знайти без обчислення самих коренів. Дійсно, сума коренів рівняння є коефіцієнт при , Взятий з протилежним знаком (узагальнена теорема Вієта), тобто .
Наведемо й інше можливе обгрунтування. Нехай - Корінь рівняння. Тоді також є його коренем, оскільки , А сума всіх коренів дорівнює нулю.
Припустимо і таке рішення. Представивши праву частину вихідного рівняння в тригонометричній формі, одержимо
. Звідси
, Де .
Далі обчислюємо суму чотирьох коренів, яка дорівнює нулю.
Відповідь: ; - Одне з таких чисел.
2.4. Додаток теорії комплексних чисел до розв'язання рівнянь
3 - і 4-го ступеня
Розглянемо рішення кубічного рівняння
(1)
на конкретному прикладі.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння
.
Рішення. Наведемо спочатку наше рівняння до рівняння, що не містить квадрат невідомої (таке рівняння називається наведеним), тобто до рівняння виду:
,
для чого зробимо підстановку:

Отримаємо рівняння:
.
Розкривши дужки і привівши подібні члени, приходимо до рівняння:
,
де , і
(Замечаніе.
Перехід до наведеного кубічному рівняння можна здійснити за допомогою схеми Горнера, розклавши многочлен за ступенями двочлена )
Для коренів кубічного рівняння
(2)
є так звана формула Кардано, хоча правильніше було б її називати формулою дель Ферро - Тартальї - Кардано.
Вперше наведене кубічне рівняння

вирішив професор Болонського університету Сципіон дель Ферро в кінці XV століття. Потім в 1535 році ті ж формули були виведені Ніколо Тарталей. Нарешті, в 1545 році рішення рівняння (1) було викладено у книзі Джироламо Кардано "Ars Magna" ("Велике мистецтво").
Формули Кардано мають вигляд:
,
де - Значення радикала


Практично коріння знаходяться простіше.
Нехай - Одне (будь-яке) значення радикала u. Тоді два інших значення можна знайти наступним чином:
;
де e1 і e2 - значення кореня кубічного з 1, тобто

Якщо обчислити то отримаємо:
; .
Дійсно,

Аналогічно доводиться рівність .
Підставляючи отримані значення і у формулу
,
знаходимо практичні формули:
;
;
.
У нашому випадку:

Таким чином, покладемо . Тоді

отже,
, , .
З останніх рівностей, враховуючи, що отримуємо:
, , .
Відповідь: ; ; .
Для наведеного кубічного рівняння
(3)
дискримінант обчислюється за формулою:
.
При цьому:
а) якщо , То рівняння (3) має один дійсний і два комплексно спряжених кореня;
б) якщо , То рівняння (3) має три дійсний кореня, два з яких рівні;
в) якщо , То рівняння (3) має три різних дійсний кореня.
Таким чином, в будь-якому випадку рівняння (3) з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь.
Розглянемо рішення рівняння 4-го ступеня методом Феррарі на конкретному прикладі.
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння

Рішення.
Залишимо в лівій частині рівняння члени, що містять і :
.
Доповнимо ліву частину отриманого рівняння до квадрата:
,
або
(1)
Введемо в повний квадрат лівій частині рівності (1) параметр r:

Звідки з урахуванням рівності (1) отримаємо:
(2)
Підберемо значення параметра r таким чином, щоб дискримінант правій частині рівності (2) звернувся в нуль (тобто щоб у правій частині рівності (2) також вийшов повний квадрат).

Дискримінант D дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли число r є коренем рівняння:
;
.
Зокрема, , Якщо .
Підставивши значення в рівність (2), отримаємо:
,
або
.
Звідки,
,
,
або .
Отже,
; ;
;
Відповідь: ; ; ;
Завдання 69. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
Дане рівняння - приведений. Тут , . Отже,
.
Для вилучення кубічного кореня з комплексного числа
подамо його у тригонометричній формі:
,
тому , Де
При отримуємо:
.
Значить,
,
тому .
Отже,
, , .
Відповідь: 2; ; .
Завдання 70. Розв'яжіть рівняння .
Рішення
Поклавши , Отримуємо приведене рівняння відносно невідомої змінної y:
.
За формулами Кардано:
.
Легко бачити, що .
Отже, число є одним зі значень кубічного
кореня з комплексного числа (Той же результат виходить, якщо застосувати формулу добування кореня n-го ступеня з комплексного числа).
Таким чином, , , Тоді
, .
Отже, ,
,
.
Звідси знаходимо корені квадратного рівняння:
,
,
.
Відповідь: ; ;
.
Завдання 71. Не вирішуючи такі рівняння, визначте характер коренів кожного з них:
а) ;
б) ;
в) .
Рішення.
а) .
Дискримінант , Тобто , То рівняння має один дійсний і два комплексно спряжених кореня.
б) .
Переходячи до наведеного кубічному рівнянню, отримуємо:
(Б *). Звідки дискримінант , Тобто , То рівняння (б *), а, значить, і (б) має три різних дійсний кореня.
в) .
Переходячи до наведеного кубічному рівнянню, отримуємо: (У *). Звідси , , То рівняння (в *), а, значить, і рівняння (в) має один дійсний і два комплексно спряжених кореня.
Відповідь: а) один дійсний і два комплексно спряжених кореня, б) три різних дійсний кореня; в) один дійсний і два комплексно спряжених кореня.
Завдання 72. Вирішіть рівняння: а) ;
б) .
Рішення.
а) . Переходячи до наведеного кубічному рівняння з допомогою підстановки , Отримаємо рівняння:
, Де , .
Знаючи, що:
;
;
.
За формулами Кардано:

Таким чином, отримуємо , Значить , , , .
Отже, ; ; .
Звідки, , , .
б) .
Переходити до наведеного кубічному рівнянню не потрібно, так як вихідне рівняння саме є наведеним, причому , .
Таким чином, отримуємо: , .
Тоді , , , .
Отже, , .
Відповідь: а) , , ;
б) , .
Завдання 73. Вирішіть рівняння: а) ;
б) .
Рішення.
а) Перетворимо рівняння (А) за методом Феррарі: ,
,
. (А *)
Введемо в повний квадрат лівій частині рівності параметр r:

Звідки з урахуванням рівності (а *) знаходимо:
,
(А **).
Тепер підберемо таке значення параметра r, щоб дискримінант
правій частині рівності (а **) звернувся в нуль.

Дискримінант D дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли число r є коренем рівняння:
;
;
.
Зокрема, , Якщо .
Підставивши знайдене значення в рівність (а *), отримаємо:
, Або .
Звідки, ,
,
або .
Отже, ; ; ; .
б) .
Перетворимо це рівняння за методом Феррарі:
,
,
. (Б *)
Введемо в повний квадрат лівій частині рівності параметр r:

Звідки з урахуванням рівності (б *) знаходимо:
(А **).
Підберемо таке значення параметра r, щоб дискримінант квадратного тричлена у правій частині рівності (а **) звернувся в нуль.

Легко бачити, що дискримінант D дорівнює нулю, якщо . отже, підставивши значення в рівність (б **), отримаємо:
;
.
Звідки, ,
або .
Отже,
; ; ; .
Відповідь: а) ; .
б) ; 3; 1.
2.5. Комплексні числа і параметри
«Параметр (від грец. - Відмірюють) величина, значення якої служать для розрізнення елементів деякої множини між собою.
Наприклад, рівняння , Де а> 0, х R, y R, задає безліч всіх концентричних кіл, з центром (2; 1) радіуса а (рис. 33).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x
2
0
y
1
1)
2)
3)

Рис. 33.
Якщо а = 1, то отримаємо коло 1), якщо а = 2, то - окружність 2) і т.д.
Цікаво й таке визначення параметра «Невідомі величини, значення яких задаємо ми самі, називаються параметрами».
Нехай, наприклад, потрібно розв'язати рівняння
. Навряд чи легко ми впораємося з цим рівнянням, якщо будемо вирішувати щодо x, вважаючи a параметром.
Краще спочатку вважати х параметром і вирішувати квадратне щодо а рівняння , А потім поміняти x і a ролями.
Отримаємо Залишається вирішити два рівняння що праці вже не складе.
Перш, ніж перейти до вирішення завдань, що містять комплексні числа і параметр, сформулюємо визначення основних понять, пов'язаних з рівняннями (нерівностями) з параметром.
Визначення 1. Нехай дано рівність з змінними x і a: . Якщо ставиться завдання для кожного дійсного значення, а вирішити це рівняння відносно x, то рівняння називається рівнянням з змінної x і параметром a.
Параметр зазвичай позначається першими літерами латинського алфавіту: а, b, с, d ...
Змінна, щодо якої вирішується рівняння останніми літерами латинського алфавіту: x, у, z, t, і, v.
Визначення 2. Під областю визначення рівняння з параметром а будемо розуміти всі такі системи значень х і а, при яких має сенс.
Іноді область визначення рівняння встановлюється досить легко, а іноді в явному вигляді це зробити важко. Тоді обмежуємося лише системою нерівностей, безліч рішень якої і є областю визначення рівняння.
Визначення З. Під рішенням рівняння c параметром a будемо розуміти систему значень x і a області визначення рівняння, звертає його в правильне числове рівність.
Визначення 4. Розв'язати рівняння з параметром a - це значить, для кожного дійсного значення a знайти всі рішення даного рівняння або встановити, що їх немає.
Визначення 5. Рівняння і рівносильні при фіксованому значенні а = а0, якщо рівняння без параметра і рівносильні.
Визначення 6. Рівняння є наслідком рівняння за певного значення a = а0, якщо безліч рішень рівняння міститься серед безлічі рішень рівняння .
Завдання 74. Визначте сімейство ліній в комплексній площині, заданих рівняннями:
а) ; Б) .
Рішення
а) . О.О.У.:
,
Вирішуємо рівняння (1).
1) Нехай : отримаємо рівняння осі абсцис, виключаючи початок координат.
2) : , . Це сімейство концентричних кіл з центром у точці радіуса .
б) .
Нехай , Тоді . І .
1) Якщо , То підлозі чаєм сімейство з двох прямих з рівняннями і .
2) Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями , З вершинами у точках , і асимптотами і .
3) Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями
, З вершинами у точках , і асимптотами і .
Відповідь: а) 1. Якщо , То - рівняння осі абсцис, виключаючи точку .
2. Якщо , То - сімейство концентричних кіл з центром у точці радіуса .
б) 1. Якщо , То - сімейство з двох прямих з рівняннями і .
2. Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями , З вершинами у точках , і асимптотами і .
3. Якщо , То - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями , З вершинами у точках , і асимптотами і .
Завдання 75. При яких значеннях n вірно рівність .
Рішення
Тригонометричними формами запису комплексних чисел і , Є і .
Зведемо до степеня n, отримаємо і .
Тоді:


Відповідь:
Завдання 76. При якому значенні d рівнянням задана вісь ординат в комплексній площині, виключаючи початок координат?
Рішення
О.О.У.:
Нехай . Тоді .
.
, .
Якщо , То отримаємо рівняння .
Відповідь: .
Завдання 77. Серед всіх комплексних чисел z таких, що , Де , Тобто рівно одне число, аргумент якого дорівнює . Знайдіть це число.
Рішення
Запишемо дані число в тригонометричній формі:
. Тоді і .
Перейдемо до рівняння , Де . Отримуємо квадратне рівняння , Де , .
.
Розглянемо 2 випадки:
1. : ,
. Тоді і .
2. :
.
Введемо функцію . Цікавить випадок, коли один з коренів квадратного тричлена більше 0, а інший - менше 0 (Мал. 34).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
r
0


Рис. 34.
Досить вирішити систему нерівностей: Ця система несумісна, тому такий випадок неможливий.
Відповідь: .
Завдання 78. За яких дійсних значеннях a серед комплексних чисел таких, що , Немає ні одного числа, модуль якого дорівнює 2.
Рішення
Комплексне число з модулем запишеться так: .
Тоді .
Отримаємо рівняння .
1.Якщо , То рівняння дійсних рішень не має.
2.Пусть :

Вирішуючи систему методом «пелюсток» (Мал. 35), бачимо, що вона несумісна.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x


0

Рис. 35.
3. : ,

.
Останнє рівняння не має коренів, якщо a задовольняє системі:


Зобразимо графічно рішення в даних випадках (мал. 36).
SHAPE \ * MERGEFORMAT




0


є вирішене.
є вирішене.
є вирішене.

Рис. 36.
Відповідь: .
Завдання 79. Для кожного дійсного числа a знайдіть всі комплексні числа , Що задовольняють рівності: а) ;
б) .
Рішення
а) Нехай , Тоді з вихідного рівняння маємо .
Звідси отримуємо систему для знаходження x і y:

з якої випливає, що . Підставляючи це значення x в перше рівняння, маємо . Коріння цього рівняння дійсні тоді і тільки тоді, коли його дискримінант є дійсним числом, тобто . Для цих значень a знайдемо причому , То . Нерівність виконується для всіх a з проміжку . Таким чином, вихідне рівняння при має два кореня: , при рішень не є.
б) Перепишемо дане рівняння у вигляді . Так як і a - дійсні числа, то звідси висновок, що число z є чисто уявним числом.
Нехай , Тоді з вихідного рівняння знаходимо, що , Т. е. .
Останнє рівняння рівносильно сукупності двох систем:

Рівняння має два кореня: при будь-якому значенні a. Нерівності задовольняє (при будь-якому значенні a) тільки число .
Рівняння другої системи сукупності має дійсні рішення тільки за умови , Тобто при . Корінням цього рівняння при кожному є числа .
Ясно, що при обидва кореня і менше нуля, а при - Більше нуля.
Таким чином, вихідне рівняння:
при має один корінь ;
при має три корені , , .
Відповідь: а) при , То ,
б) при , То ;
при , То , , .
Завдання 80. Для яких дійсних чисел a не існує комплексних чисел z, для яких виконуються рівності , ?
Рішення
Зауважимо, що дорівнюють відстані між точками і на комплексній площині. При фіксованому a точки , Для яких , Лежать на колі з центром у і радіусом 2. (Взагалі, безліч , Для яких , Є коло з центром у і радіусом ). Аналогічно рівність . Дві окружності не мають спільних точок, якщо відстань між їхніми центрами більше суми або менше різниці радіусів. Таким чином, повинно виконуватися одне з двох нерівностей: або , Тобто або .
Відповідь: або .
Завдання 81. За яких дійсних чисел a будь-яке комплексне число, яке задовольняє рівнянню , Задовольняє одночасно і нерівності ?
Рішення
Нехай . Тоді і отримаємо рівняння

Якщо , То маємо рівняння кола з центром у точці і
. Від нерівності перейдемо до нерівності

Розглянемо ряд випадків в залежності від значень a.
1. , Тобто . Нерівність (2) виконується при будь-яких парах дійсних значень x і y, в тому числі і при рішеннях рівняння (1).
2. Нехай :

Система рішень не має.
3.Якщо , То отримаємо систему

Нерівності системи задовольняють усі пари значень x і y ( ), Крім - Не є рішенням рівняння системи.
4.Аналогічно переконуємося, що умовою завдання задовольняє і .
5.Остается розглянути наступне безліч значень a: .
У цьому випадку і нерівність (2) задає безліч точок комплексної площині, розташованих поза кола, заданої рівнянням . (3) (Мал. 37).
Позначимо радіус цієї окружності через r ( ). І досить знайти такі значення a з розглянутого множини, при яких окружність, задана рівнянням (1), розташована поза кола з рівнянням (3).
Розглянемо прямокутний трикутник : ; ; ; .
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y
x
O
A


B
R
r

Рис. 37.
Отримаємо нерівність .
, , Таким чином .
Врахуємо безліч значень a, на якому ми вирішуємо систему (рис. 38):
SHAPE \ * MERGEFORMAT
a
a
-1
0
4



Рис. 38.
Таким чином, .
Відповідь: .
Завдання 82. Знайдіть всі дійсні a такі, що система рівнянь не має рішень.
Рішення
1. Якщо , То рішень немає.
2. При , .
3. Якщо :
Кожне з даних рівнянь задає на комплексній площині коло. Нехай О1 і О2 - центри цих кіл, r1 і r2 - відповідні радіуси.
Якщо відстань між їх центрами задовольняють умовам , То кола мають хоча б одну спільну точку. тоді отримаємо систему нерівностей

Тому при система рішень не має.
Відповідь: .

3. Висновок
У представленій випускний кваліфікаційної роботі отримані наступні результати.
1) Наведено систематичний виклад питання вирішення завдань з комплексними числами.
2) Наведено розв'язання задач з комплексними числами в алгебраїчній формі, обчислення операцій додавання, віднімання, множення, ділення, операції сполучення для комплексних чисел у алгебраїчній формі, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладено правило добування квадратного кореня з комплексного числа.
3) Вирішені завдання, присвячені геометричної інтерпретації комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексній площині;
4) Розглянуті дії над комплексними числами в тригонометричній формі.
5) Наведено рішення деяких рівнянь 3-й і 4-го ступенів;
6) Вирішено деякі завдання містять комплексні числа і параметри.
Матеріал, викладений у випускній кваліфікаційної роботи може бути використаний у навчальному процесі в курсі алгебри у вищому навчальному закладі, а також у класах з поглибленим вивченням математики або на елективних курсах у школі.

4. Список літератури
1. Абрамов А.М., Віленкін Н.Я., Дорофєєв Г.В., Єгоров О.О., Земляков О.М., Морковіч А.Г. Вибрані питання математики. 10 клас. Факультативний курс. - М.: Просвещение, 1980.
2. Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін - 7-е вид. - М.: Просвещение, 2000.
3. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунін М.Ш. Алгебра і початки аналізу. Пробний підручник 9-10 класів середньої школи. - М.: Просвещение, 1975.
4. Андронов І.К. Математика дійсних і комплексних чисел. - М.: Просвещение, 1975.
5. Бєляєва Е.С., Потапов А.С. Рівняння та нерівності першого ступеня з параметром і до них зводяться. Навчальний посібник. - Воронеж: ВДПУ, 2001.
6. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунін М.І. Лекції та завдання з елементарної математики. - М.: Наука, 1971.
7. Вавилов В.В, Мельников І.І., Олехнік С.М., Пасіченко П.І. Задачник з математики. Алгебра. Довідковий посібник. - М.: Наука, 1987.
8. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра і математичний аналіз для 11 класу: Навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики .- 6-е вид. - М.: Просвещение, 1998.
9. Галицький М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення курсу алгебри і математичного аналізу. - М.: Просвещение, 1989.
10. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. - Воронеж: ВДПУ, 2004.
11. Дадаян А.А., Новік І.А. Алгебра і початки аналізу. - М.: Просвещение, 1987.
12. Звавіч Л.І. та ін Алгебра і початки аналізу. Рішення завдань письмового іспиту. / Л.І. Звавіч, Л.Я. Шляпочнік, І.І. Кулагіна. - М.: Дрофа, 2000.
13. Карпо А.П. Збірник задач з алгебри та початків аналізу. Навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики .- М.: Просвещение, 1995.
14. Математика в школі. № 3, 1990.
15. Математика в школі. № 6, 1992.
16. Окунєв Л.Я. Вища алгебра. - М.: Просвещение, 1966.
17. Петраков І.С. Математичні гуртки у 8 - 10 класах. - М.: Просвещение, 1988.
18. Фадєєв Д.К., Нікулін М.С., Соколовський І.Ф. Елементи вищої математики для школярів. - М.: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1987.
19. Ципкін О.Г., Пінський О.І. Довідник з методів вирішення завдань з математики для середньої школи. - М.: Наука, 1989.
20. Шаригін І.Ф. Факультативний курс з математики: Рішення завдань: навчальний посібник для 10 класів середньої школи. - М.: Просвещение, 1989.
21. Шклярський Д.О., Ченцов М.М., Яглом І.М. Вибрані задачі та теореми елементарної математики. Арифметика і алгебра. - М.: Фізматліт, Лабораторія Базових Знань, 2001.
22. Енциклопедичний словник юного математика. (Упорядник Савін А.П.). - М.: Педагогіка, 1989.
23. Яглом І.М. Комплексні числа та їх застосування в геометрії. Вид. 2-е, стереотипне. - М.: Едіторіал УРСС, 2004.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Диплом
465.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Комплексні Числа 4
Комплексні числа
Комплексні числа
Комплексні числа їх минуле і сьогодення
Комплексні числа Поняття про комплексне число
Комплексні числа їх зображення на площині Алгебраїчна тригонометрична і показникова форми ком
Комплексні сполуки
Комплексні напрямки діяльності PR
Комплексні системи КНАУФ
© Усі права захищені
написати до нас