Комплекс вправ спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

ЗМІСТ
Введення
Глава 1. Теоретичні основи формування уявлення про функціональну залежності у молодших школярів
1.1 Поняття «функціональна залежність» у психолого-педагогічній літературі
1.2 Педагогічні ідеї викладання функціональної залежності в початковій школі
1.3 Види вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів
Глава 2. Дослідно-експериментальна робота з формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів із застосуванням комплексу вправ
2.1. Діагностика рівнів сформованості уявлень молодших школярів про функціональної залежності
2.2. Реалізація комплексу вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів
Висновок
Бібліографія
Програми

Введення
Поняття функціональної залежності є одним з провідних в математичній науці, тому сформованість уявлень поняття у молодших школярів представляє важливу задачу в цілеспрямованій діяльності вчителя з розвитку математичного мислення і творчої активності дітей. Розвиток функціонального мислення передбачає, перш за все, розвиток здатності до виявлення нових зв'язків, оволодіння загальними навчальними прийомами й уміннями.
Формування уявлення про функціональну залежність сприяє формуванню розумових операцій і вихованню інтелектуальних якостей особистості. Напрями подібної роботи виражаються в характері завдань, запропонованих учням. Матеріал початкового математичного курсу містить достатню кількість прикладів, на яких можна роз'яснити залежність однієї величини від іншої. До них, зокрема, відносяться: задачі на складання і рішення рівнянь, оптимізаційні та комбінаторні задачі, задачі з величинами, які в прямій і зворотній залежності, завдання з використанням таблиць, числової осі і координатної площини.
Все це і зумовило актуальність теми дослідження.
При вивченні психолого-педагогічної літератури нами було виявлено протиріччя між необхідністю формування уявлень молодших школярів про функціональної залежності і малою кількістю розробок за технологією педагогічної організації цього процесу в початковій школі.
Виявлене протиріччя дозволило визначити проблему дослідження: вивчення можливостей комплексу вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
Дана проблема дозволила сформулювати тему дослідження: «Комплекс вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів».
Об'єкт дослідження: процес формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
Предмет дослідження: комплекс вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
Мета дослідження: теоретично виявити і шляхом дослідно-експериментальної роботи перевірити ефективність комплексу вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
Вивчення психолого-педагогічної літератури з теми дослідження дозволило висунути таку гіпотезу: передбачається, що формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів буде успішніше при використанні спеціально підібраного комплексу вправ.
У відповідності з метою та гіпотезою дослідження були визначені наступні завдання:
1. Проаналізувати методичну літературу з проблеми дослідження.
2. Розглянути поняття «функціональна залежність» у психолого-педагогічній літературі.
3. Дослідити педагогічні ідеї викладання функціональної залежності в початковій школі.
4. Експериментальним шляхом перевірити ефективність комплексу вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
Теоретико-методологічна основа дослідження: методичні та наукові дослідження формування функціональної залежності в працях М.А. Бантова, Л.Г. Петерсон, Є.Д. Цидиповой, системний підхід, принцип провідної ролі навчання у розвитку, теорія поетапного формування розумових дій П.Я. Гальперінп, Н. Ф. Тализіної, теорія про структуру навчальної діяльності Д. Б. Ельконіна, В.В. Давидова, методична концепція розвивального навчання математики в 1-4 класах Н. Б. Істоміної та інших.
- Для вирішення поставлених завдань і перевірки гіпотези були використані такі методи дослідження:
- Теоретичні: аналіз психолого-педагогічної, дидактичної, методичної, науково-методичної літератури та документів з проблем формування уявлення функціональної залежності; аналіз вивчення функціонального матеріалу в теорії та практиці навчання математики в початковій школі.
- Експериментальні: анкетування, тестування, спостереження, бесіди з вчителями та учнями, констатуючий, формуючий та порівняльний експерименти, експериментальне викладання (організація навчальної діяльності учнів 3 класів, спрямованої на підготовку до формування уявлень функціональної залежності за допомогою комплексу вправи), статистичні методи інтерпретації даних експерименту .
Дослідно-експериментальна база дослідження: МОУ СЗШ № 31 міста Ішима. В експерименті брали участь учні 3 «А» та 3 «Б» класів.
Дослідження проводилося в три етапи.
Перший етап - постановочний (01.02.10 - 01.03.10) - вибір і осмислення теми. Вивчення психолого-педагогічної літератури, постановка проблеми, формулювання мети, предмета, об'єкта, завдань дослідження, постановка гіпотези.
Другий етап - власне-дослідний (02.03.10 - 02.04.10) - розробка комплексу заходів та їх систематичне проведення, обробка отриманих результатів, перевірка гіпотези.
Третій етап - інтерпретаційної-оформлювальний (03.04.10 - 03.05.10) - обробка та систематизація матеріалу.
Наукова новизна дослідження: дослідження полягає в тому, що уявлення про функціональну залежність молодших школярів вперше розглядається як самостійна дослідницька проблема; експериментально перевірено ефективність комплексу вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
Практична значимість полягає в тому, що висновки та результати курсової роботи можуть бути використані в навчально-виховному процесі загальноосвітніх установ.
Структура та обсяг роботи: робота складається зі вступу, двох розділів, висновків, бібліографічного списку, що включає 37 найменувань, додатки. Робота включає таблиці (6), ілюстрована малюнками (3). Загальний обсяг роботи 50 сторінок комп'ютерного тексту.

Глава 1. Теоретичні основи формування уявлення про функціональну залежності у молодших школярів
1.1 Поняття «функціональна залежність» у психолого-педагогічній літературі
Починаючи з XVII ст. одним з найважливіших понять є поняття функції. Воно відіграло і понині грає велику роль у пізнанні реального світу.
Ідея функціональної залежності сходить до старовини, вона міститься вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами, в перших формулах для знаходження площі і обсягу тих або інших фігур.
Ті вавілонські вчені, які 4-5 тисяч років тому знайшли для площі S кола радіусом r формулу S = 3r2 (грубо наближену), тим самим встановили, хай і не свідомо, що площа кола є функцією від його радіуса. Таблиці квадратів і кубів чисел, також застосовувалися вавилонянами, представляють собою завдання функції [13, с.117].
Однак явне і цілком свідоме застосування поняття функції і систематичне вивчення функціональної залежності беруть свій початок у XVII ст. у зв'язку з проникненням в математику ідеї змінних. У "Геометрії" Декарта і в роботах Ферма, Ньютона і Лейбніца поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було пов'язане або з геометричними, або з механічними уявленнями: ординати точок кривих - функції від абсцис (х); шлях і швидкість - функції від часу (t) тощо [13, с.117].
Чіткого уявлення поняття функції в XVII ст. ще не було, шлях до першого таким визначенням проклав Декарт, який систематично розглядав у своїй "Геометрії" лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притому переважно алгебраїчних. Поступово поняття функції стало ототожнюватися таким чином з поняттям аналітичного виразу - формули.
Слово "функція" (від латинського functio - здійснення, виконання) Лейбніц вживав з 1673 р. в сенсі ролі (величина, що виконує ту чи іншу функцію). Як термін у нашому сенсі вираз "функція від х" стало вживатися Лейбніцем та І. Бернуллі; починаючи з 1698 р. Ляйбніц ввів також терміни "змінна" і "константа" (постійна). Для позначення довільній функції від х Йоганн Бернуллі застосовував знак j х, називаючи j характеристикою функції, а також букви х або e; Лейбніц вживав х1, х2 замість сучасних f1 (x), f2 (x). Ейлер позначав через f: х, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f (x), f (x + y). Поряд з j Ейлер пропонує користуватися і літерами F, Y та іншими. Даламбер робить крок вперед на шляху до сучасних позначенням, відкидаючи ейлерова двокрапка, він пише, наприклад, jt, j (t + s) [2, с.109].
Явна визначення функції було вперше дано в 1718 р. одним з учнів і співробітників Лейбніца, видатним швейцарським математиком Йоганом Бернуллі: "Функцією змінної величини називають кількість, утворене яким завгодно способом з цієї змінної величини і постійних" [21, с.44].
Леонард Ейлер у "Запровадження в аналіз нескінченних" (1748) примикає до визначення свого вчителя І. Бернуллі, кілька уточнюючи його. Визначення Л. Ейлера говорить: "Функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений будь-яким чином з цієї кількості і чисел або постійних кількостей". Так розуміли функцію протягом майже всього XVIII ст. Даламбер, Лагранж та інші видатні математики. Що стосується Ейлера, то він не завжди дотримувався цього визначення, в його роботах поняття функції зазнавало подальшому розвитку відповідно до запитів математичної науки. У деяких своїх творах Л. Ейлер надає більш широкий зміст функції, розуміючи її як криву, накреслену "вільним потягом руки". У зв'язку з таким поглядом Л. Ейлера на функцію між ним і його сучасниками, в першу чергу його постійним суперником, великим французьким математиком Даламбером, виникла велика полеміка навколо питання про можливість аналітичного виразу довільної кривої і про те, яке з двох понять (крива або формула) слід вважати більш широким. Так виник знаменитий спір, пов'язаний з дослідженням коливань струни [19, с.123].
У "диференційному численні", що вийшов у світ в 1755 р, Л. Ейлер дає загальне визначення функції: "Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, то перші називаються функціями других". "Це найменування, - продовжує далі Ейлер, - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших". На основі цього визначення Ейлера французький математик С. Ф. Лакруа у своєму "Трактаті по диференціальному і інтегрального числення", опублікованому в 1797 р., зміг записати наступне: "Будь-яке кількість, значення якого залежить від одного або багатьох інших кількостей, називається функцією цих останніх незалежно від того, відомо чи ні, які операції потрібно застосувати, щоб перейти від них до першого "[2, с.112].
Як видно з цих визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним виразом. Нові кроки у розвитку природознавства і математики в XIX ст. викликали і подальше узагальнення поняття функції.
Великий внесок у вирішення спору Ейлера, Даламбера, Д. Бернуллі та інших вчених XVIII ст. з приводу того, що слід розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), займався в основному математичною фізикою. У поданих ним в Паризьку Академію наук у 1807 і 1811 рр.., Працях з теорії розповсюдження тепла в твердому тілі Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними виразами.
З праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складена, може бути представлена ​​у вигляді єдиного аналітичного вираження і що є також перериваним криві, зображувані аналітичним виразом. У своєму "Курсі алгебраїчного аналізу", опублікованому в 1821 р., французький математик О. Коші обгрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на певному етапі розвитку фізики і математики стало ясно, що доводиться користуватися і такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідну математикою і природознавством розширення поняття функції [21, с.47].
У 1834 р. в роботі "Про ісчезанія тригонометричних рядків" Н. І. Лобачевський, розвиваючи вищезазначене ейлеровское визначення функції в 1755 р., писав: "Загальне поняття вимагає, щоб функцією від х називати число, яке дається для кожного х і разом з х поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб відчувати всі числа і обирати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою ... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому сенсі, щоб числа, одні з іншими в зв'язку, приймати як би даними разом "[20, с.110].
Ще до Лобачевського аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена ​​чеським математиком Б. Больцано. У 1837 р. німецький математик П. Лежен-Діріхле так сформулював загальне визначення поняття функції: "у є функція змінної х (на відрізку a £ х £ b), якщо кожному значенню х (на цьому відрізку) відповідає цілком певне значення у, причому байдуже, яким чином встановлено це відповідність - аналітичної формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами "[14, с.332].
Таким чином, приблизно в середині XIX ст. після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від пут аналітичного виразу, від єдиновладдя математичної формули. Головний наголос в новому загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.
У другій половині XIX ст. після створення теорії множин в поняття функції, крім ідеї відповідності, була включена і ідея безлічі. Таким чином, в повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється наступним чином: якщо кожному елементу х множини А поставлений у відповідність певний певний елемент у безлічі В, то говорять, що на багатьох А задана функція у = f (х), або що безліч А відображує на безліч В. У першому випадку елементи х множини А називають значеннями аргументу, а елементи у безлічі В - значеннями функції, у другому випадку х - прообрази, у - образи. У сучасному розумінні розглядають функції, визначені для безлічі значень х, які, можливо, і не заповнюють відрізка a £ x £ b, про який йдеться у визначенні Діріхле. Досить вказати, наприклад, на функцію-факторіал y = n, задану на множині натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовано, звичайно, не тільки до величин і числах, а й до інших математичних об'єктів, наприклад до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні (відображенні) ми маємо справу з функцією.
Спільне визначення функцій з Діріхле сформувалося після тривали ціле століття дискусій в результаті значних відкриттів у фізиці і математиці в XVIII і першій половині XIX ст. Подальший розвиток математичної науки в XIX ст. грунтувалося на цьому визначенні, що став класичним. Але вже з самого початку XX ст. це визначення стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливішою була критика фізиків, натрапивши на явища, що зажадали більш широкого погляду на функцію. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострою після виходу в світ у 1930 р. книги "Основи квантової механіки" Поля Дірака, найбільшого англійського фізика, одного з засновника квантової механіки. Дірак увів так звану дельта-функцію, яка виходить далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку з цим радянський математик М. М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40-х роках нашого століття роботи, в яких невідомими є не функції точки, а "функції області", що краще відповідає фізичної сутності явищ [16, с .113].
У загальному вигляді поняття узагальненої функції було введено французом Лораном Шварцем. У 1936 р. 28-річний радянський математик і механік Сергій Львович Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає і дельта-функцію, і застосував створену теорію до розв'язання ряду задач математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальнених функцій внесли учні та послідовники Л. Шварца - І.М. Гельфанд, Г.Є. Шилов та інші.
Простежуючи історичний шлях розвитку поняття функції, мимоволі приходиш до думки про те, що еволюція ще далеко не закінчена і, ймовірно, ніколи не закінчиться, як ніколи не закінчиться і еволюція математики в цілому. Нові відкриття та запити природознавства та інших наук приведуть до нових розширень поняття функції і інших математичних понять. Математика - незавершена наука, вона розвивалася протягом тисячоліть, розвивається в нашу епоху і буде розвиватися надалі.
Обгрунтування функціональної лінії як провідною для шкільного курсу математики - одне з найбільших досягнень сучасної методики. Однак реалізація цього положення може бути проведена багатьма різними шляхами; різноманіття шляхів викликано фундаментальністю самого поняття функції.
Для того щоб скласти уявлення про це різноманітті, порівняємо дві найбільш різко розрізняються методичні трактування цього поняття; першу ми назвемо генетичної, а другу - логічною.
Генетична трактування поняття функції заснована на розробці і методичному освоєнні основних рис, що увійшли в поняття функції до середини XIX ст. Найбільш суттєвими поняттями, які при цьому трактуванні входять в систему функціональних уявлень, служать змінна величина, функціональна залежність змінних величин, формула (виражає одну змінну через деяку комбінацію інших змінних), декартова система координат на площині.
Генетичне розгортання поняття функції має ряд переваг. У ньому підкреслюється «динамічний» характер поняття функціональної залежності, легко виявляється модельний аспект поняття функції щодо вивчення явищ природи. Таке трактування природно пов'язується з іншим змістом курсу алгебри, оскільки більшість функцій, які у ньому, виражаються аналітично або таблично.
Генетична трактування поняття функції містить також риси, які слід розглядати як обмежувальні. Одним із дуже істотних обмежень є те, що змінна при такому підході завжди неявно (або навіть явно) передбачається пробігають безперервний ряд числових значень. Тому в значній мірі поняття зв'язується тільки з числовими функціями одного числового аргументу (визначеними на числових проміжках). У навчанні доводиться, використовуючи і розвиваючи функціональні подання, постійно виходити за межі його початкового опису [18, с.234].
Логічна трактування поняття функції виходить з положення про те, що будувати навчання функціональним уявленням слід на основі методичного аналізу поняття функції в рамках поняття алгебраїчної системи. Функція при такому підході виступає у вигляді відношення спеціального виду між двома множинами, що задовольняє умові функціональності. Початковим етапом вивчення поняття функції стає виведення його з поняття відносини.
Реалізація логічного підходу викликає необхідність ілюструвати поняття функції за допомогою різноманітних засобів; мова шкільної математики при цьому збагачується. Крім формул і таблиць, тут знаходять своє місце завдання функції стрілками, перерахуванням пар, використання не тільки числового, але і геометричного матеріалу; геометричне перетворення при такому підході виявляється можливим розглядати як функцію. Узагальненість виникає поняття і що випливають звідси можливості встановлення різноманітних зв'язків у навчанні математики - основні переваги такого трактування.
Однак вироблене на цьому шляху загальне поняття виявляється надалі пов'язаним головним чином з числовими функціями одного числового аргументу, тобто з тією областю, в якій воно набагато простіше формується на генетичній основі.
Таким чином, якщо генетичний підхід виявляється недостатнім для формування функції як узагальненого поняття, то логічний виявляє певну надмірність. Відзначимо, що відмінності в трактуваннях функції виявляються з найбільшою різкістю при введенні цього поняття. У подальшому вивченні функціональної лінії відмінності поступово стираються, оскільки вивчається в курсах алгебри і початків аналізу не саме поняття функції, а в основному конкретно задані функції і класи функцій, їх різноманітні додатки в задачах природознавства та суспільного виробництва.
У сучасному шкільному курсі математики в результаті тривалих методичних пошуків в якості ведучого був прийнятий генетичний підхід до поняття функції. Одночасно враховується все цінне, що можна взяти з логічного підходу. Виходячи з цього при формуванні понять і уявлень, методів і прийомів у складі функціональної лінії система навчання будується так, щоб увага учнів зосереджувалася, по-перше, на виділених і досить чітко розмежованих уявленнях, пов'язаних з функцією, і, по-друге, на встановленні їх взаємодії при розгортанні навчального матеріалу. Іншими словами, в навчанні повинна бути виділена система компонентів поняття функції і встановлено зв'язок між ними. У цю систему входять такі компоненти:
- Уявлення про функціональну залежність змінних величин в реальних процесах і в математиці;
- Уявлення про функції як про відповідність;
- Побудова і використання графіків функцій, дослідження функцій;
- Обчислення значень функцій, визначених різними способами.
У процесі навчання математики всі зазначені компоненти присутні при будь-якому підході до поняття функції, але акцент може бути зроблений на одному з них. Як щойно ми відзначили, функціональний компонент є основою введення та вивчення поняття функції. На цій основі при організації роботи над визначенням вводяться і інші компоненти, які у різні способи завдання функціональної залежності та її графічного подання [1, с.215].
Функціональна залежність - форма стійкого взаємозв'язку між об'єктивними явищами або відображають їх величинами, за якої зміна одних явищ викликає певне кількісне зміна ін Об'єктивно функціональна залежність проявляється у вигляді законів і відносин, які мають точної кількісної визначеністю. Вони можуть бути в принципі виражені у вигляді рівнянь, які об'єднують дані величини або явища як функцію і аргумент. Функціональна залежність може характеризувати зв'язок:
1) між властивостями і станами матеріальних об'єктів і явищ;
2) між самими об'єктами, явищами або ж матеріальними системами в рамках цілісної системи більш високого порядку;
3) між об'єктивними кількісними законами, які перебувають у відношенні субординації, в залежності від їхньої спільності та сфери дії;
4) між абстрактними математичними величинами множинами, функціями або структурами, безвідносно до того, що вони виражають. Функціональна залежність припускає, що явища, підкоряються їй, характеризуються через певні параметри, константи, конкретні умови, кількісні закони. Функціональна залежність не тотожна причинного зв'язку. Поряд з явищами, в яких причинний зв'язок виражається через об'єктивні функціональні відносини, існують і функціональна залежність між властивостями тіл або математичними величинами, які не є причинними зв'язками [2, с.113].
Таким чином, поняття функції виступає в курсі математики як певна математична модель, що і є мотивуванням для його поглибленого вивчення. Функціональна залежність - це залежності однієї змінної від іншої. Функціональна залежність двох кількісних ознак або змінних полягає в тому, що кожному значенню однієї змінної завжди відповідає одне певне значення іншої змінної.
У наступному параграфі ми розглянемо особливості уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
1.2 Педагогічні ідеї викладання функціональної залежності в початковій школі
Протягом декількох сторіч поняття функції змінювалося і удосконалювалося. Необхідність вивчення функціональної залежності в шкільному курсі математики початкової школи була в центрі уваги педагогічної друку вже з другої половини XIX століття. Велику увагу цьому питанню приділили у своїх роботах такі відомі методисти, як М. В. Остроградський, В. М. Шкларевіч, С. І. Шохор-Троцький, В. Є. Сердобінскій, В. П. Шереметьєвський.
Перший етап - етап введення поняття функції (в основному, через аналітичний вираз) у шкільний курс математики. Наприклад, у підручнику М. Ш Фусса "Початкові підстави чистої математики" в розділі "Підстави диференціального й інтегрального числень" наводилося наступне визначення: "Функцією змінної величини називається вираз, що складається із хлібної змінної, з'єднаної з постійними величинами" [7, с.220 ].
На зборах комісії викладання математики відділу навчання Московського Товариства поширення технічних знань В.П. Шереметьєвський і В.Я. Сердобінскій представили радикальне рішення проблеми введення функціональної залежності в шкільну математику у вигляді рекомендації "побудови курсу шкільної математики на основі ідеї функціональної залежності". Математична комісія, що функціонувала у 1900 р. у Міністерстві Народної Освіти, передбачила ідею включення в програму функціональної залежності у зв'язку з вивченням елементів аналітичної геометрії. Ці пропозиції почали здійснюватися з 1903 р. при навчанні математики в Кадетському корпусі, а з 1907 р. - у випускних класах реальної школи.
Другий етап введення поняття функції в курс початкової школи характеризується в основному переходом до графічного зображення функціональної залежності і розширенням кола досліджуваних функцій.
На Міжнародному конгресі в Римі в 1908 р. Ф. Клейн виклав основні принципи у вирішенні питання про місце і роль поняття функції у шкільній математиці: "Ми ..., прагнемо покласти в основу викладання поняття функції, бо це є те поняття, яке в Протягом останніх двохсот років зайняло центральне місце всюди, де тільки ми зустрічаємо математичну думку. Це поняття ми бажаємо виробити при викладанні так рано, як це тільки можливо, постійно застосовуючи графічний метод зображення кожного закону в системі координат (хОу), яка тепер вживається при всякому практичному застосуванні математики ». Істинне значення має пропозиція Ф. Клейна про введення загального поняття функції не в формі абстрактного поняття, а на конкретних прикладах, які« ... зробили б це поняття живим надбанням учня, але неодмінно це поняття, як фермент, повинно проникнути в усі викладання математики в середній школі "[19, с.124].
Активну участь у боротьбі за реформу математичної освіти взяли передові російські викладачі математики. Функціональна залежність знайшла своє відображення у нових програмах з математики. Велика увага питанням, пов'язаним з ідеєю функціональної залежності, приділили два Всеросійських з'їзду викладачів математики, скликаних у 1911 р. (м. Санкт-Петербург) і 1913 р. (м. Москва).
Після з'їздів у 1911-1916 рр.. вийшла велика кількість навчальних посібників, які відображали змішання питань про трактування поняття функції і способів її завдання, тобто містили розгляд способів завдання функції (аналітичного, графічного, табличного) в контексті поняття функції.
Третій етап розвитку російської школи розпочався у 20-і рр.. двадцятого сторіччя. Аналіз методичної літератури радянського періоду показав, що введення поняття функції в шкільний курс математики супроводжувалося бурхливими дискусіями, і дозволив нам виділити чотири основні проблеми, навколо яких існували розбіжності в думках методистів, а саме: 1) мету і значення вивчення поняття функції учнями; 2) підходи до визначення функції; 3) питання функціональної пропедевтики; 4) місце і обсяг функціонального матеріалу в курсі шкільної математики початкової школи.
Перші післяреволюційні програми, складені в 1918-1921рр., Відбивали прагнення їх авторів до корінного перетворення шкільного курсу математики початкової школи. При їх розробці були враховані основні досягнення передової педагогічної думки того часу: курс математики будувався на основі поняття функції. Автори програм вважали, що все включене в програму "має бути опрацьовано грунтовно, головним чином, у напрямку розвитку функціонального мислення, при цьому ідейної та практичній стороні має віддати перевагу перед формальної" [11, с.380].
Аналіз програм дозволив виділити їх позитивні і негативні сторони. Головне достоїнство, на наш погляд, - це поділ питань про трактування поняття функціональної залежності і способи завдання функції. Загальним недоліком була перевантаженість їх у тій 'або іншому ступені навчальним матеріалом, який, до того ж, був розподілений за роками навчання без урахування вікових особливостей учнів. Як наслідок, на практиці не вдалося в повному обсязі виконати пред'явлені даними програмами вимоги.
Не виправили становище програми на основі "комплексного" методу, суть якого полягала в тому, що замість систематичного викладу шкільного курсу математики початкової школи, що спирається на внутрішню логіку предмету, викладання будувалося у відповідності з послідовністю, змістом і основними ідеями комплексних схем. Відомий радянський методист М.М. Нікітін вказував на утилітарність комплексних програм і методичних вказівок до них, що призвела до зниження рівня математичної підготовки учнів. "Учні отримували поверхневе, випадкове знайомство з багатьма питаннями з математики, але по-справжньому міцно і свідомо знати нічого не могли" [37, с.115].
Отже, даний етап, повністю обумовлений політичної та економічної нестабільною ситуацією в Росії 20-х рр.., Характеризується розбіжністю в діях методистів, їх прагненням до відмови від досягнень в галузі вітчизняної методики викладання математики. Розбіжності методистів у вирішенні проблем, пов'язаних з визначенням мети та значення вивчення функції учнями, місця та обсягу функціонального матеріалу в курсі шкільної математики, а також відсутність єдиної думки з питання функціональної пропедевтики призвели до погіршення якості знань учнів.
Кризова ситуація в галузі викладання математики викликала необхідність перегляду і перевірки методів шкільної роботи.
Четвертий етап обумовлений переведенням економіки РРФСР на планову основу.
У 1931-34 роки була зроблена спроба переходу шкільної освіти на позиції систематичного і міцного засвоєння наук. У даний період термін навчання в школі був збільшений до десяти років, основною формою роботи в школі був затверджений урок, була відновлена ​​роль підручника як основного керівництва для учня, з систематичним викладом основ наук і повним охопленням змісту програми з предмета.
Формування уявлення про функції, перш за все як про аналітичному вираженні, вчені розцінюють як прояв формалізму у викладанні, для якого "характерно неправомірне домінування у свідомості та пам'яті учнів звичного зовнішнього (словесного, символічного або образного) висловлювання математичного факту над змістом цього факту" [21 , с.46].
Вони вважали, що в початковій школі поняття функції необхідно вивчати на основі поняття відповідності. Для нашого дослідження важливим є підхід А.Я. Хинчина до розробки системи вправ, що сприяють засвоєнню поняття функції. Він вказував, що традиційні приклади, що розглядаються безпосередньо після введення поняття функції, здатні зруйнувати позитивний ефект визначення і прищепити учням думку, що формальне визначення саме по собі, а в дійсності функція є просто формула. На його думку, вже серед перших прикладів функціональної залежності поряд з традиційними алгебраїчними і геометричними співвідношеннями необхідно розглядати і функції, задані без використання формули.
Даний період характеризується недостатністю часу на вивчення функцій, непродуманістю систем вправ, нерозумінням учнями істинної сутності поняття функції, низьким рівнем функціональних і графічних навичок випускників шкіл.
Таким чином, знову виникла потреба у реформуванні викладання математики в початковій школі. Перебудова всієї шкільної математики на основі теоретико-множинного підходу ознаменувала п'ятий етап розвитку ідеї функціональної залежності. Ідея, теоретико-множинного підходу була зроблена групою французьких вчених, що об'єдналися під псевдонімом Ніколя Бурбакі. У м. Роймоне (Франція, 1959 р.) відбулася міжнародна нарада, на якому було проголошено повалення всіх звичайних курсів. У центрі уваги опинилися структури і об'єднання всієї шкільної математики на базі теорії множин [25, с.174].
Важливу роль у розвитку ідей реформи відіграли статті В.Л. Гончарова, в яких автор вказував на важливість ранньої і тривалої функціональної пропедевтики, пропонував використовувати вправи, які полягають у виконанні ряду заздалегідь зазначених числових підстановок в одному і тому ж заданому буквеному вираженні. Ці вправи, поряд з удосконаленням обчислювальних навичок, могли б служити і ідеям функціональної пропедевтики. Вчений особливу увагу відводив побудови графіка функції, заданої використаним для обчислень буквеним виразом. Особливу доцільність він бачив у тому, "щоб дві капітальної важливості і високої трудомісткості проблеми - повідомлення учням міцних навичок арифметичних обчислень і пропедевтичне ознайомлення їх з ідеєю функції могли бути разрешаемо спільно" [22, с.153].
Таким чином, стабілізація програм і підручників створила грунт для виникнення позитивних зрушень у якості функціональних знань учнів. У кінці шістдесятих - початку сімдесятих, поряд з негативними відгуками, у пресі стали з'являтися і такі, в яких зазначалося певне поліпшення знань школярів про функції та графіках. Однак загальний рівень математичного розвитку учнів у цілому залишався недостатнім. У шкільному курсі математики як і раніше невиправдано багато часу відводиться формальної підготовки і не приділяється належної уваги формуванню уявлень молодших школярів про функціональної залежності.
Види вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів ми розглянемо в наступному параграфі.
1.3 Види вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів
Для організації навчальної діяльності учнів початкових класів, спрямованої на ефективну підготовку до формування уявлень про функціональну залежності повинні виконуватися такі дидактичні умови: наявність в курсі математики ідей, безпосередньо пов'язаних з функціональними уявленнями, таких як ідея зміни, відповідності, закономірності і залежності; наявність у змісті курсу математики понять, необхідних для усвідомленого засвоєння поняття функції; створення проблемних ситуацій в процесі засвоєння програмного змісту; систематичне використання різних моделей (предметної, вербальної, символічної, схематичне і графічної); використання навчальних завдань, в основу яких покладено прийоми вибору, порівняння, перетворення і конструювання; організація цілеспрямованого спостереження, порівняння, аналізу та узагальнення в процесі виконання навчальних завдань [4, с.110].
Для організації діяльності учнів, спрямованої на формування функціональних уявлень і понять, необхідних для сприйняття і засвоєння поняття "функція", доцільно використовувати навчальні завдання наступних видів: завдання на тотожні перетворення числових виразів (рівностей) на основі сенсу арифметичної дії; на співвіднесення предметної моделі з числовим виразом (рівністю); на співвіднесення предметної, графічної і символічної моделей; на виявлення закономірності; на встановлення відповідності між символічними моделями; на конструювання графічної моделі за заданою графічної моделі; на конструювання символічної моделі за заданою вербальної моделі; на вибір символічної моделі, відповідної вербальної моделі; на конструювання числових рівностей за заданими умовами; на встановлення відповідності між символічною і графічною моделлю; на вибір графічної моделі відповідної символічної моделі; на перетворення на площині; на конструювання графічної моделі, відповідної символічної моделі і т.д. [5, с.23].
Навчальні завдання, що сприяють формуванню функціональних уявлень і понять, необхідних для усвідомленого засвоєння поняття функції, повинні характеризуватися:
1) варіативністю;
2) неоднозначністю рішень;
3) націленістю на формування прийомів розумової діяльності (таких, як аналіз і синтез, порівняння, аналогія, класифікація та узагальнення);
4) відображенням різноманітних закономірностей і залежностей;
5) включеністю їх в змістовну лінію курсу математики початкових класів [17, с.81].
На основі функціональних уявлень розроблені навчальні завдання, спрямовані на їх формування:
1. Завдання на формування уявлень про зміну і залежності: на зміну результату арифметичної дії в залежності від зміни його компонентів; на використання основної властивості дробу; на класифікацію числових виразів (рівностей) на основі їх результату арифметичної дії; тотожні перетворення числових виразів (рівностей) на основі сенсу арифметичної дії; на перетворення числових виразів; на перетворення дробових виразів; на конструювання символічної моделі за заданою вербальної моделі та ін.)
Наприклад, "Чим схожі всі пари виразів? Знайди їх значення:
а) 89 + 47 б) 57 +29 у) 76 +57
90 + 47 57 +30 76 +60
Порівняй рівності в кожній парі і зроби висновок ».
2. Завдання на формування уявлення про закономірності, як правила, за яким записані ряди чисел: на виявлення закономірності.
Наприклад, «Знайди правила, за якими складені ряди чисел:
а) 0,5; 0,05; 0,005; 0,0005; ...;
б) 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...;
в) 0,12; 2,14; 4,16; 6,18; ....
Запиши в кожному ряду ще три числа за тим же правилом ».
3. Завдання на формування уявлення про відповідність: на співвіднесення предметної, графічної і символічної моделей; на встановлення відповідності між символічними моделями.
Наприклад, «З'єднай з числом 5 ті вирази, значення яких діляться на 5, якщо а ділиться на 5».

5
а × 7
15 × а + 10
а + (9 + 6)
а + 20
а × 20
а + 44
17 +7 × а
45 + а × 5
а + а + 25 + а × (8 +5)
а + 20


Ці навчальні завдання формулюються в основному на числовому матеріалі, причому вони ускладнюються і варіюються як за формою, так і за змістом.
Рішення задач на пряму і зворотну пропорційні залежності присвячений вирішенню текстових задач на пряму і зворотну пропорційні залежності арифметичним способом. Серед таких завдань виділяються завдання, в яких числові дані знаходяться в деякому відношенні, що передбачає ще один спосіб вирішення, що представляє інтерес з точки зору функціональної пропедевтики [36, с.105].
Крім того, надати функціональний характер текстовим завданням можна за допомогою додаткових питань, спрямованих на зміну даних завдання, умови, питання, на співвіднесення умови з різними виразами і равенствами. Ці прийоми допомагають учням уявити величини, що розглядаються в задачі в русі, зміні, що дозволяє формувати в учнів функціональний стиль мислення.
На програмному змісті курсу математики початкових класів використовуються також навчальні завдання наступних видів:
1) завдання на співвіднесення предметної моделі з числовим виразом (рівністю);
2) завдання на встановлення відповідності між символічними моделями;
3) завдання на конструювання графічної моделі за заданою графічної моделі;
4) завдання на конструювання символічної моделі за заданою вербальної моделі;
5) завдання на вибір символічної моделі, відповідної вербальної моделі;
6) завдання на конструювання числових рівностей за заданими умовами;
7) завдання на встановлення відповідності між символічною і графічною моделлю;
8) завдання на вибір графічної моделі, відповідної символічної моделі;
9) завдання на перетворення на площині;
10) завдання на конструювання графічної моделі, відповідної символічної моделі і т.д. [20, с.110].
Наведемо приклади завдань:
1. Завдання на конструювання числових рівностей за заданими умовами:
Вибери два відносини, з яких можна скласти вірне рівність. Запиши це рівність:
1,5: 2; 3: 6; 4,5: 8; 6: 8; 15: 10.
2. Завдання на конструювання графічної моделі, відповідної символічної моделі:
Перевір, чи будуть величини х та у прямо пропорційними при даних значеннях:
х
1
4
16
64
256
у
0,6
2,4
9,6
38,4
153,6
Якщо виникнуть труднощі при виконанні завдання, то:
уяви дану таблицю в такому вигляді:


і знайди відносини відповідних значень величин х та у.
3. Завдання на перетворення на площині:
Впиши пропущені слова і числа, щоб вийшли вірні висловлювання:
1) точка А (3, 4) при переміщенні вправо на 2 одиничних відрізка перейшла в точку В (...; ...);
2) точка L (5; -2) при перемещении______________на___единичных відрізків перейшла в точку M (5, 2);
3) точка Х (1; 1) при переміщенні вгору на 3 та вправо на 6 одиничних відрізків перейшла в точку В (...; ...);
4) точка V (2, 3) при перемещении__________на___и___________ на___ одиничних відрізків перейшла в точку W (7; -2).
4. Завдання на конструювання графічної моделі, відповідної символічної моделі:
а) Вибери одиничний відрізок і побудуй точки в координатній площині:
А (0,6; 0), В (0; ), С (0,1; 0,7), D , E , До .
б) Вибери одиничний відрізок і побудуй точки в координатній площині:
А (600; 0), B (0; -300), C (100; 700), E (-500; -600), K (900; -400).
Всі навчальні завдання, володіють наступними характеристиками: варіативністю; неоднозначністю рішень; націленістю на формування прийомів розумової діяльності (таких, як аналіз і синтез, порівняння, аналогія, класифікація та узагальнення); відображенням різноманітних закономірностей і залежностей; включеністю їх в змістовну лінію курсу математики початкових класів [10, с.95].
Таким чином, розглянувши теоретичні основи формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів, ми прийшли до висновку, що функціональна залежність є однією з тих математичних ідей, які здатні об'єднати в єдине ціле всі розділи математики, включені в шкільний курс. Функціональна залежність відбиває практичну спрямованість курсу математики, взаємозв'язок величин в природничо дисциплінах, а також формує функціональне мислення школярів. Виходячи з досвіду навчання, відомо, що поняття функції є абстрактним і досить складним для сприйняття учнями. Тому в процесі реалізації даної лінії необхідно посилити наочність досліджуваних об'єктів і понять у рамках відведеного часу, надати учням можливість побачити залежність не тільки у вигляді статичної моделі, а й у динаміці, дати можливість учням безпосередньо задавати, змінювати і вивчати функції за допомогою інтерактивних моделей, розширити систему завдань за допомогою вправ, що містять анімацію та елементи управління і т.д. Такому «живому» вивченню функціональної залежності може сприяти застосування комплексу вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності.
Наступна глава буде присвячена експериментальної роботи з формування уявлень молодших школярів про функціональної залежності.

Глава 2. Дослідно-експериментальна робота з формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів із застосуванням комплексу вправ
2.1 Діагностика рівнів сформованості уявлень молодших школярів про функціональної залежності
Для формування уявлень у молодших школярів про функціональної залежності на базі МОУ СЗШ № 31 міста Ішиму був проведений експеримент.
В експерименті взяли участь учні 3 «А» (експериментальна група) і 3 «Б» (контрольна група) класів в кількості по 20 чоловік у кожному класі. Список дітей, які беруть участь у дослідженні наведено у додатку 1.
Експеримент складався з трьох етапів:
1 етап - констатуючий етап - діагностика рівня сформованості уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
2 етап - формуючий етап - розроблений і реалізований комплекс вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
3 етап - контрольний етап - проведено аналіз ефективності занять з застосуванням комплексу вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
Для виявлення рівня сформованості уявлень про функціональну залежності у молодших школярів були виділені наступні функціональні вміння:
1) будувати графік функції;
2) записувати координати точок;
3) знаходити найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку;
4) оперувати функціональної символікою.
На основі виділених умінь, а також для аналітичної обробки результатів дослідження та отримання кількісних показників було виділено три рівня сформованості уявлень про функціональну залежності у молодших школярів: низький, середній і високий.
З метою визначення рівня сформованості уявлень про функціональну залежності у молодших школярів у ході констатуючого експерименту організовувалися бесіди з учнями 3-х класів, проводилися контрольні роботи, за результатами виконання яких виявлялися труднощі, що виникають в учнів при засвоєнні поняття функції, функціональної залежності.
Щоб оцінити здатність учнів застосовувати функціональні вміння для вирішення практичних завдань їм були запропоновані ситуаційні задачі. В силу своєї міжпредметні, інтегративності ситуаційні завдання сприяють систематизації предметних знань на діяльнісної практико-орієнтованої основі, коли учні, освоюючи універсальні способи діяльності, вирішують особистісно-значимі проблеми з використанням предметних знань. Слід зазначити, що в процесі навчання математики учні ні експериментального, ні контрольного класів з такими завданнями не зустрічалися.
Наведемо приклад однієї з ситуаційних завдань, які пропонувалися учням:
Завдання. «Ці прості - непрості залежності»
Кожен чув приказку: «Як гукнеш, так і відгукнеться». А ти помічав на собі прояв такої закономірності?
Текст 1. Маша і Міша вирішили посадити одночасно квіти, щоб подарувати їх мамі до 8 березня. Протягом 12 тижнів Маша поливала квітка регулярно, а Міша іноді забував. Висота квітки Маші у кінці кожного тижня представлена ​​в таблиці 1:

Тиждень, t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Висота
квітки, h (см)
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Текст 2. Існують різні шкали для вимірювання температури. Для перекладу температури, виміряної в градусах Цельсія, в градуси Фаренгейта користуються формулою , Де С - число градусів за шкалою Цельсія, а F - число градусів за шкалою Фаренгейта. Для кожного значення температури за Цельсієм за допомогою цієї формули можна знайти відповідне значення температури за шкалою Фаренгейта.
Завдання.
1. Користуючись таблицею зростання квітки Маші, склади таблицю зростання квітки Міші, враховуючи, що його квітка ріс у два рази повільніше (через забудькуватість Міші).
2. Знайди висоту квітки Міші через 3,5 тижні. Опиши процес знаходження відповіді на запитання.
3. Склади таблицю перекладу значень температури із градусів за Цельсієм у градуси за Фаренгейтом (для значень від 0 ° С до 30 ° С).
4. Вияви залежності, описані в тексті 1 і тексті 2. Порівняй їх.
5. Запропонуй життєві ситуації, в яких проявляються закономірності, виявлені тобою з аналізу тексту 1 і 2.
Проаналізувавши результати робіт учнів по чотирьох умінь, можна прийти до наступних висновків:
- Учні як 3 «А», так і 3 «Б» класів розуміють представлену інформацію, пропонують способи вирішення проблеми, але при обгрунтуванні способу розв'язання учні 3 «А» класу в меншій мірі оперують функціональними уявленнями;
- Учні 3 «А класу при виконанні завдання, де потрібно було навести приклади залежностей, аналогічних тим, що були запропоновані в задачі, наводять приклади таких залежностей, тобто залежностей, які є функціональними, в той час як учні 3 «Б» класу пропонують залежності, виходячи зі свого уявлення про них.
Таким чином, більша кількість учнів 3 «А» класу слабко оперує функціональними уявленнями і не здатне застосувати сформовані функціональні вміння для вирішення нових практичних завдань.
Дані констатуючого етапу експерименту наведені в таблиці 2.
Таблиця 2
Показники рівня сформованості уявлень про функціональну залежності у молодших школярів за критеріями на констатирующем етапі експерименту
Клас
Функціональні вміння молодших школярів
будувати графік функції
записувати координати точок
знаходити найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку
оперувати функціональної символікою
Низький рівень
Середній рівень
Високий рівень
Низький рівень
Середній рівень
Високий рівень
Низький рівень
Середній рівень
Високий рівень
Низький рівень
Середній рівень
Високий рівень
3 «А» клас
5
14
1
4
15
1
4
14
2
3
16
1
3 «Б» клас
1
16
3
-
13
7
1
14
5
2
15
3
У результаті проведеної роботи на констатирующем етапі експерименту було встановлено, що 30% всіх піддослідних мають низький рівень сформованості уявлень про функціональну залежність, виходячи з чотирьох критеріїв, визначених на початку експерименту, 57% випробовуваних показали середній рівень і лише 13% молодших школярів мають високий рівень сформованості уявлень про функціональну залежності.
Аналіз отриманих результатів дозволив зробити висновок про те, що більша частина молодших школярів має середній і низький рівень сформованості уявлень про функціональну залежність і потребує корекції. Отже, результати констатуючого етапу дослідження вимагають проведення формуючого етапу експерименту у відповідності із запропонованою гіпотезою.
2.2 Реалізація комплексу вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів
З метою формування у молодших школярів уявлень про функціональну залежність нами був проведений формуючий етап експерименту, в якому взяли участь тільки учні експериментального 3 «А» класу. Для цього нами застосовувався комплекс підібраних для цієї мети вправ, спрямованих на формування функціональної залежності у молодших школярів. Вивчення проводилося по темі шкільного курсу математики «Залежність між результатами і компонентами арифметичних дій». За темою проводилося пробне і основне дослідження.
Залежність між елементами арифметичних дій вивчалася кожним з випробовуваних в індивідуальному порядку під керівництвом експериментатора один раз, потім другий, третій, - так до повного оволодіння нею. В кінці дослідження-навчання давалася в індивідуальному порядку контрольна робота.
Вивчення залежності між елементами геометричних фігур проводилося протягом кількох уроків. Спочатку учні знайомилися з найпростішими випадками залежності між площею і стороною прямокутника при постійній величині суміжної сторони. Потім - з залежністю між сторонами і площею квадрата. І, нарешті, зі школярами велися заняття-дослідження з навчання їх розумінню і засвоєнню залежності між підставою, висотою і площею прямокутника, паралелограма і трикутника при постійній величині суми їх основи і висоти.
Всі заняття проводилися в індивідуальному порядку. В кінці дослідження-навчання в індивідуальному ж порядку давалася контрольна робота.
За темою «Залежність між компонентами і результатами дій» робота проводилася в такий спосіб.
Група вивчала матеріал у такому порядку зміна суми, потім - зміну твору, далі - зміна різниці і, нарешті, - зміна приватного.
Потім група вивчала матеріал в тому ж порядку, але в одночасному протиставленні зміни компонентів зміни результатів дій.
І, нарешті, група вивчала матеріал у наступному порядку: зміна суми, потім - зміна різниці, далі - зміну твору і, нарешті, - зміна приватного.
Для вивчення залежності між зміною площі і зміною вхідних і її вираження компонентів були створені групи, які працювали:
Перша група - з графіками.
Друга група - з графіками + наочне зображення образу мінливої ​​фігури в зошиті
Третя група - з діаграмами.
Четверта група - з наочним зображенням образу мінливої ​​фігури в зошиті
У вивченні залежності між елементами дії учень користується конкретним прикладом. Він поступово переходить від використання даного одиничного прикладу, як необхідної у вираженні залежності, до використання його, як можливого для вираження аналізованій залежності.
В активній діяльності з варіативним використанням прикладів учень у процесі навчання доходить до розуміння і засвоєння узагальненого характеру зміни залежних величин, від «живого споглядання» він піднімається до «абстрактного мислення» і потім конкретизує узагальнені знання в практичному застосуванні. Все це пов'язано з удосконаленням аналізу і синтезу у спільній діяльності першої та другої сигнальних систем при провідній ролі другої, словесної системи мозкової кори.
При вирішенні завдань у перший час учні не осмислювали їх на базі укладеної в них функціональної залежності, за зовнішнім оформленням не розкривали суті вивченою вже в принципі ними залежності. Узагальнююча і конкретизує діяльність реалізувалася лише стосовно до завдань - прикладів. Вона не переносилася на вирішення завдань. Розвиток уміння переосмислювати рішення прикладів на основі функціональної залежності в подальшій роботі учня, у зв'язку з удосконаленням виборчої іррадіації і розвитком рухливості мозкових процесів, переносилося і на вирішення завдань.
У дослідженні виявилося змішання школярами різницевих і кратних змін, що відбуваються в залежних величинах. Це зумовлювалося там, що на попередніх етапах навчання вивчення цих змін проводилося без належного використання порівняння, особливо порівняння у вигляді протиставлення.
При вивченні зворотній залежності зміни учні зазвичай на перших заняттях зворотну залежність підміняли прямою, а кількісне зміна встановлювали підбором. Вироблений стереотип розуміння відносини між величинами прямого зміни переносився на виконання завдання зі зворотним зміною. У процесі подальшої систематичної роботи розуміння зворотній залежності учнями відбувалося від часткового привнесення зворотного зміни в пряму залежність до повної заміни прямої залежності зворотною.
Формування розуміння залежності відбувалося тільки в безпосередній діяльності із завданням. Часто первинне сприйняття завдання призводило до помилкового його виконання. Подальша робота над завданням розкривала перед учнем істотні зв'язку, спочатку їм непомічені.
Розуміння залежності між зміною одного компонента і зміною результату дії відбувається спочатку в динаміці якісної зміни. Кількісна отдіфференцірованность зміни відбувається пізніше, причому в зміні різниці і приватного вона носить більш складний характер і вимагає для розуміння більше зусиль, ніж у зміні суми і твори. Це перша сходинка в розумінні залежності між компонентами і результатами дії.
Потім школярі піднімаються до розуміння і засвоєння залежності між зміною обох компонентів і зміною результату дії. На цій другого ступеня в розумінні залежності школярі проходять кілька етапів.
На першому етапі роботи всі завдання щодо встановлення залежності між трьома елементами виконувалося школярами зазвичай невірно. Вони не могли ще осмислити повністю одночасна зміна трьох величин.
Розуміння залежності починалося зі з'ясування якісного характеру зміни величин.
Розуміння змін до складання і множенні наставало раніше, ніж у вирахуванні і розподілі.
Зворотна залежність на цьому етапі роботи не розумілася.
На другому етапі цьому ступені на відміну від першого етапу задані зміни розумілися учнем як прояв функціональної залежності. Виконувалися всі запропоновані зміни не як арифметичні дії над заданими числами, а як результативні зміни величин, залежних від заданих змін інших величин.
Однак на цьому етапі роботи виявився ряд труднощів, специфічних для розуміння складного характеру зміни елементів віднімання і ділення, в силу чого якісне і кількісне зміни елементів цих дій нерідко визначалося невірно.
На наступному етапі наставало розуміння варіативності зміни між якісним характером поведінки залежних величин і їх кількісним виразом. Для дій додавання і віднімання розбіжностей не виявлялося.
При вивченні варіативних змін у діях множенні і діленні характер зміни іноді відривався учнем від кількісного вираження, і, звичайно зменшення виконувалося відніманням, а збільшення - складанням.
У діях віднімання і ділення виявився негативний перенос зміни останнього компонента на зміну результату дії. Старі зв'язки, відносини, які утворили стереотипну систему змін до складання і множенні, гальмували розуміння нових відносин і формування нових зв'язків.
Нарешті, на третьому щаблі школярі починали розуміти зворотний характер залежності між елементами арифметичних дій. Розуміння зворотній залежності для кожної дії йшло через використання прямого характеру зміни. Розуміння зворотній залежності для всіх арифметичних дій при вирішенні прикладів і завдань відбувалася повільніше, ніж розуміння прямої залежності.
Оволодіння залежністю між компонентами і результатами дій призвело до розвитку у школярів тісному зв'язку абстрагує і конкретизує мисленнєвої роботи. Сформовані узагальнені, понятійні знання про залежність між елементами дій школярі починали вміло застосовувати до вирішення нових прикладів і завдань, до самостійного складання прикладів та завдань на задану залежність. Школярі починали розуміти раціональне значення застосування понятійного знання залежності до вирішення конкретних арифметичних завдань.
При вивченні залежності між елементами геометричних фігур учень прагнув представити собі наочний образ змінюється фігури. Але зважаючи на обмеженість геометричних знань образ фігури виявляється у нього нерухомим, статичним, позбавленим змін.
На початкових етапах вивчення залежності між величинами геометричної фігури розуміння її відбувалося не через співвідношення елементів конкретного, разбираемого образу. Спочатку залежність в її понятійному змісті розумілася через відомий і більш простий математичний матеріал, через активізацію знань і стороннього досвіду. Потім отримане понятійне знання залежно відповідно виражалося в наочних образах.
Залучення наочного образу грає двояку роль: воно може і допомагати, полегшувати встановлення укладеної в задачі залежності, а може заважати, затуляти її. Негативна роль наочних образів виявляється тоді, коли вони говорять учневі лише про окремих приватних випадках аналізованій залежності.
Для перевірки ефективності реалізованого комплексу вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів, нами була проведена повторна діагностика рівнів сформованості уявлень про функціональну залежність школярів експериментальної та контрольної груп.
Методика контрольного обстеження збігалася з методикою констатуючого обстеження рівня сформованості уявлень про функціональну залежності. Дані контрольного етапу експерименту по проведеній діагностиці в експериментальній і контрольній групах піддослідних наведені в таблиці 3. Результати аналізувалися з залученням даних констатуючого обстеження рівня сформованості уявлень про функціональну залежності.

Таблиця 3
Показники рівня сформованості уявлень про функціональну залежність у експериментальній групі на контрольному етапі експерименту
Рівень сформованості уявлень про функціональну залежність
Кількість спостережень
%
Низький
0
0
Середній
7
70
Високий
3
30

Рис.1 Рівень сформованості уявлень про функціональну залежність у експериментальній групі на контрольному етапі

Для наочності показники рівня сформованості уявлень про функціональну залежність у експериментальній групі на контрольному етапі експерименту представлені на малюнку 1.
Таблиця 4
Показники рівня сформованості уявлень про функціональну залежність у контрольній групі на контрольному етапі експерименту
Рівень сформованості уявлень про функціональну залежність
Кількість спостережень
%
Низький
2
20
Середній
5
50
Високий
3
30
\ S Для наочності показники рівня сформованості уявлень про функціональну залежність у контрольній групі на контрольному етапі експерименту представлені на малюнку 2.
Рис.2 Рівень сформованості уявлень про функціональну залежність у контрольній групі на контрольному етапі
Оцінка динаміки зміни рівня сформованості уявлень про функціональну залежність у експериментальній групі на констатирующем і контрольному етапах експерименту представлена ​​в таблиці 5.
Таблиця 5
Показники рівня сформованості уявлень про функціональну залежність у експериментальній групі на констатирующем і контрольному етапах експерименту
Рівень сформованості уявлень про функціональну залежність
Констатуючий етап (%)
Контрольний етап (%)
Низький
20
0
Середній
60
70
Високий
20
30

Для наочності представимо порівняльний аналіз рівня сформованості уявлень про функціональну залежність у експериментальній групі на констатирующем і контрольному етапі на малюнку 3.

Рис.3 Порівняльний аналіз рівня сформованості уявлень про функціональну залежність у експериментальній групі на констатирующем і контрольному етапі
Порівняння даних констатуючого етапу з даними, отриманими на контрольному етапі показує, що кількість школярів з низьким рівнем сформованості уявлень про функціональну залежність зменшилася до 0, на 10% збільшилася кількість школярів, що мали середній рівень сформованості уявлень про функціональну залежності. За рахунок зменшення кількості низького рівня сформованості уявлень про функціональну залежність на 10% збільшилася кількість школярів, які показали високий рівень сформованості уявлень про функціональну залежності. У цілому, це доводить, що зміст і прийоми формуючого етапу експерименту були обрані правильно і виявилися ефективними для підвищення рівня сформованості уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
Незначні зміни рівня сформованості уявлень про функціональну залежність контрольної групи, виявлені на контрольному етапі: зменшення на 10% школярів з високим і збільшення на 10% з низьким рівнем сформованості уявлень про функціональну залежність, середній рівень сформованості уявлень про функціональну залежності без змін підтверджує припущення, що без застосування вправ досягнення істотного зміни сформованості уявлень про функціональну залежності у молодших школярів досить важко.
Порівняльний аналіз рівня сформованості уявлень про функціональну залежність експериментальної та контрольної груп на контрольному етапі експерименту подано в таблиці 6.
Таблиця 6
Показники рівня сформованості уявлень про функціональну залежність експериментальної та контрольної груп на контрольному етапі експерименту
Рівень сформованості уявлень про функціональну залежність
Експериментальна група (%)
Контрольна група (%)
Низький
0
20
Середній
70
50
Високий
30
30
Таким чином, контрольний етап експерименту дозволив прийти до висновку про те, що для формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів необхідно розробляти і застосовувати вправи, спрямовані на формування уявлень про функціональну залежності.

Висновок
Одним з видів об'єктивно існуючих зв'язків є математична функціональна залежність.
Поняття функціональної залежності є одним з основних понять всієї математики, в тому числі і елементарної. Якщо одна величина коштує в залежності від іншої, то при зміні останньої (незалежного змінного), перша (тобто функція) буде змінюватися за відомим законом; таким чином, кожне приватне значення незалежного змінного цілком визначає відповідне значення функції.
Шкільні програми мають бути побудовані так, щоб ідеї змінної величини та функціональної залежності, які є прямим математичним вираженням основних рис діалектичного світобачення, як можна раніше засвоювалися учнями і як можна раніше ставали основним стрижнем всього шкільного курсу математики.
У нашому дослідженні ми розглянули поняття «функціональна залежність» у методичній літературі, виявили педагогічні ідеї викладання функціональної залежності в початковій школі, вивчили види вправ, спрямованих на формування уявлень про функціональну залежності у молодших школярів.
Для дослідження та перевірки ефективності комплексу підібраних нами вправ для формування уявлень про функціональну залежність нами було проведено дослідно-експериментальна робота. Експериментальне дослідження нами було визначено рівень сформованості уявлень про функціональну залежності у молодших школярів. Було встановлено, що більшість учнів 3 класів мають низький рівень сформованості уявлень про функціональну залежності. Для формування уявлень нами був проведений формуючий етап експерименту, на якому нами були використані вправи, спрямовані на формування уявлень про функціональну залежності. Контрольний етап експериментального дослідження показав, що в результаті формуючого етапу рівень сформованості уявлень про функціональну залежності у молодших школярів експериментальної групи значно змінився.
Таким чином, завдання, поставлені на початку роботи, нами були вирішені, мета дослідження досягнута, гіпотеза підтверджена.

Бібліографія
1. Аматова, Г.І. Математика [Текст] / Г.І. Аматова, М.А. Амато. -М.: Московський психолого-соціальний інститут, 1999. - 337 с.
2. Аммосова, Н.В. Поняття функціональної залежності в початковій школі [Текст] / Аммосова Н.В. / / Початкова школа. - 2000. - № 5 .- С.109-114.
3. Байрамукова, П.У. Позакласна робота з математики [Текст] / П.У. Байрамукова. - М.: Видавництво-школа «Райл», 1997. - С.214.
4. Бантова, М.А. Методика викладання математики в початкових класах [Текст] / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. - М.: Просвещение, 1984. - 335 с.
5. Боцманова, М.Е. Психологічні питання застосування графічних схем учнями початкової школи [Текст] / М.Е. Боцманова / / Питання психології. - 1960. - № 5.
6. Віленкін, Н.Я. Задачник практикумом з математики [Текст] / Н. Я. Віленкін, Н. Н. Лаврова, В. Б. Рождественська, Л.П. Стойлова. - М.: Просвещение, 1985. - С.142.
7. Віленкін, Н.Я. Математика [Текст] / Н.Я. Віленкін, Л.М. Пишкало, В. Б. Різдвяна, Л.І. Стойлова. - М.: Просвещение, 1977. - С.220.
8. Зак, А.З. 600 гральних задач для розвитку логічного мислення дітей [Текст] / О.З. Зак. - Ярославль: Академія розвитку, 1998. - 175 с.
9. Істоміна, Н.Б. Активізація учнів на уроках математики в початкових класах: Посібник для вчителя [Текст] / Н.Б. Істоміна .- М.: Просвещение, 1985. - 64 с.
10. Істоміна, Н.Б. та ін Практикум з методики викладання математики в початкових класах [Текст] / Н.Б. Істоміна, Л.Г. Латохіна, Г.Г. Шмирьова. - М.: Просвещение, 1986. - 176 с.
11. Істоміна, Н.Б. Методика навчання математики в початкових класах [Текст] / Н.Б. Істоміна. - М.: ACADEMA, 2000. - 453 с.
12. Істоміна, Н.Б. Методика навчання математики в початкових класах [Текст] / Н.Б. Істоміна. - М.: Видавничий центр «Академія», 1998. - 288 с.
13. Котов, А.Я. Вечори цікавої математики [Текст] / А. Я. Котов. - М.: Просвещение, 1967. - С.117.
14. Крутецкий, В.А. Психологія математичних здібностей школярів [Текст] / В.А. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1968. - 432 с.
15. Кульневич, С.В. Нетрадиційні уроки в початковій школі [Текст] / С.В. Кульневич, Т.П. Лакоценіна. - Ростов н / Д: ТЦ «Вчитель», 2002. - 375 с.
16. Марушенко, Л.Ю. Арифметична завдання як засіб формування перших функціональних уявлень в учнів [Текст] / Л.Ю. Марушенко / / Нові технології в навчанні фізики, математики та інформатики: матеріали регіональної науково-практичної конференції, присвяченої пам'яті чл.-кор. РАПН, проф., Доктора педагогічних наук А.А. Пінського. - Благовєщенськ: Видавництво БДПУ, 2007. - С. 107 - 115.
17. Марушенко, Л.Ю. До питання про вивчення функцій в школі [Текст] / Л.Ю. Марушенко / / Нові технології в навчанні фізики, математики та інформатики: матеріали регіональної науково-практичної конференції, присвяченої пам'яті чл.-кор. РАПН, проф., Доктора педагогічних наук А.А. Пінського. - Благовєщенськ: Видавництво БДПУ, 2005. - С. 81-83.
18. Марушенко, Л.Ю. До проблеми вивчення поняття функції в шкільному курсі математики [Текст] / Л.Ю. Марушенко / / Актуальні питання методики викладання математики та інформатики у світлі модернізації російської освіти: збірник наукових праць Всеросійської науково-практичної конференції, 17 квітня 2006 р. - Біробіджан: Вид-во ДВГСГА, 2006. - 263 с.
19. Марушенко, Л.Ю. Про оцінку якості засвоєння поняття функції учнями старших класів [Текст] / Л.Ю. Марушенко / / Нові технології в навчанні фізики, математики та інформатики: матеріали регіональної науково-практичної конференції, присвяченої пам'яті чл.-кор. РАПН, проф., Доктора педагогічних наук А.А. Пінського. - Благовєщенськ: Видавництво БДПУ, 2008. - С. 121-125.
20. Марушенко, Л.Ю. Пропедевтика функціональної залежності в курсі математики середньої школи [Текст] / Л.Ю. Марушенко / / Нові технології в навчанні фізики, математики та інформатики: матеріали регіональної науково-практичної конференції, присвяченої пам'яті чл.-кор. РАПН, проф., Доктора педагогічних наук А.А. Пінського. - Благовєщенськ: Видавництво БДПУ, 2006. - С. 110-111.
21. Марушенко, Л.Ю. Функціональний підхід до вирішення текстових завдань на прямо пропорційну залежність [Текст] / Л.Ю. Марушенко / / Початкова школа. - 2007. - № 7. - С. 44-51.
22. Методика початкового навчання математики / під ред. Л.М. Скаткина. - М.: Просвещение, 1972. - 320 с.
23. Методика початкового навчання математики. Під загальною редакцією А.А. Столяра і В.Л. Дрозда. Мінськ: Вишейшая школа, 1988. - 234 с.
24. Методика початкового навчання математики: Учеб. посібник для пед. ін-тів / В.Л. Дрозд, О.Т. Касатонова, Л.А. Латотін та ін; За заг. ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. - Мн. Обчислюємо. шк., 1988. - 254 с.
25. Моро, М.І. Методика навчання математики I-III класах [Текст] / М.І. Моро, А.М. Пишкало. - М.: Просвещение, 1978. - 321 с.
26. Остер, Г.Б. Задачник [Текст] / Г. Б. Остер. - М.: Спарк-М, 1995. - 116с.
27. Пойа, Д. Як вирішувати проблему [Текст] / Д. Пойа. - М.: Учпедгиз, 1959. - 216 с.
28. Програми загальноосвітніх установ. Початкові класи (1-4). Частина I. - М.: Просвещение, 2001. - 432 с.
29. Сорокін, П.І. Цікаві завдання з математики [Текст] / П. І. Сорокін. - М.: Просвещение, 1967. - 229 с.
30. Стойлова, Л.П. Математика [Текст] / Л.П. Стойлова .- М.: Академія, 2000. - С.226.
31. Стойлова, Л.П. Основи початкового курсу математики [Текст] / Л.П. Стойлова, А.М. Пишкало. - М.: Просвещение, 1988 .- 320 с.
32. Важче, В.П. Позакласна робота з математики у початковій школі [Текст] / В.П. Важче. - М.: Просвещение, 1975. - 335 с.
33. Важче, В.П. Вважай, метикує, відгадувати! [Текст] / В.П. Важче. - М.: Просвещение, 2004. - С.128.
34. Навчальний посібник з математики для педагогічних факультетів. Під редакцією Мерзона-М.: Московський псих.-соц. інститут, 1999. - С.28.
35. Формування елементарних математичних уявлень у дошкільників / під редакцією А.А. Столяра. - М.: Просвещение, 1988. - 303 с.
36. Фрідман, Л.М. Як навчитися вирішувати задачі [Текст] / Л.М. Фрідман, Є.М. Турецький. - М.: Просвещение, 1989. - 192 с.
37. Ерднієв, П.М., Ерднієв Б.П. Теорія і методика навчання математики в початковій школі [Текст] / П.М. Ерднієв, Б.П. Ерднієв. - М.: Педагогіка, 1988. - 208 с.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Диплом
183.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Розробка і класифікація вправ спрямованих на формування граматичних навичок
Формування уявлень у молодших школярів про види і жанри образотворчого мистецтва методика і практика
Роль дидактичних ігор і вправ у розвитку уявлень про геометричні фігури
Формування оптікопространственних уявлень у молодших школярів з оптичною дисграфією
Формування оптико просторових уявлень у молодших школярів з оптичною дисграфією
Методи і прийоми формування моральних уявлень у молодших школярів в освітньому процесі
Розвиток у молодших школярів уявлень про народне мистецтво на прикладі творчості Катерини Білокур 3
Розвиток у молодших школярів уявлень про народне мистецтво на прикладі творчості Катерини Білокур 2
Розвиток у молодших школярів уявлень про портретний жанр на уроках образотворчого мистецтва в початкових
© Усі права захищені
написати до нас