Класичні підстави квантової механіки

Валерій Еткін

Чимале число людей, так чи інакше пов'язаних з наукою, відчуває гостру незадоволеність існуючої тенденцією сучасної фізики «вгадувати рівняння, не звертаючи уваги на фізичні моделі або фізичне пояснення» (Р. Фейнман, 1976 р.). Повною мірою це відноситься і до основоположного рівняння квантової механіки, що явився плодом геніальної інтуїції його автора (Е. Шредінгер, 1926 р.). Між тим рівняння такого типу можна отримати і з класичної фізики, якщо допустити, що при гальмуванні електронів в їх русі по стійких некруговой (наприклад, еліптичним) орбітах їх кінетична енергія Ek переходить не тільки в потенційну енергію атома як цілого, але і частково віддається останнім в навколишнє середовище у вигляді променистої енергії *.

* Останнє випливає з нерівноважної термодинаміки (Де Гроот С., Мазур П., 1964; Еткін В.А., 1999), згідно з якою протікання будь-якого нерівноважного процесу (в тому числі процесу гальмування електрона) пов'язане з подоланням всіх діючих в системі термодинамічних сил, тобто з перетворенням енергії в інші її форми, що відповідають цим силам. З неї випливає також, що при цьому випромінюють не електрони, а атом як нерівноважна в цілому система, оскільки енергія належить, строго кажучи, всієї сукупності взаємодіючих (взаємно рухомих) тіл або частин тіла, і лише у виняткових випадках може бути приписана одному з них .

Це можливо, якщо атом на різних фазах орбітального руху електронів (гальмування - прискорення) то випромінює, то поглинає одне і те ж кількість енергії. В іншому випадку електрон переходить на нижнього або вище розташованих орбіту, параметри якої визначаються величиною втраченої або придбаної енергії. Відповідно змінюється і частота випромінювання. У цьому порядку ідей перехід на нижнього орбіту є наслідком випромінювання, а не навпаки (як в теорії Бора). Такий процес випромінювання або поглинання має кінцеву тривалість, визначену орбітальної швидкістю електрона і довжиною ділянок гальмування або прискорення. Тому-то випромінювання і здійснюється порціями (квантами).

Оскільки випромінювання відбувається на тих ділянках орбіти, де відбувається гальмування електрона в його русі щодо ядра, частота випромінювання ν дорівнює, очевидно, числу обертів електрона в одиницю часу. Остання представляє собою частку від ділення модуля орбітальної швидкості v на довжину орбіти (або еквівалентної їй кола радіусом a (ν = v/2πa). У такому випадку відповідна цій частоті довжина хвилі випромінювання λ ≡ c / ν визначається простим виразом:

де с - швидкість світла у вакуумі; me - маса спокою електрона; pe = meν - його імпульс; h = 2πmeca - постійна для даної орбіти величина.

Згідно з цим висловом, кожному виду атомів з некруговой орбітами електронів відповідають певні довжини хвиль випромінювання, що залежать від властивостей речовини (імпульсу електронів і радіусу їх орбіт). Тим самим гіпотеза де Бройля (1926 р.) про те, що хвильові властивості притаманні всім речовинам, отримує обгрунтування в рамках класичної фізики. Легко бачити, що при цьому частота випромінювання ν згідно (1) виявляється пропорційною імпульсу електрона pe:

Це положення також відповідає ідеям де Бройля.

Таким чином, при русі електронів по стійких некруговой орбітах в атомах виникає коливальний процес, обумовлений циклічним зміною кінетичної енергії електронів Ek. Цей процес описується відомим рівнянням монохроматичної просторової хвилі

де ψ - «хвильова функція», тобто параметр системи, що є функцією просторових координат і відхиляється в коливальному процесі від свого рівноважного значення.

Враховуючи, що відповідно до співвідношення (1) λ2 = h2/p2 і p2 = 2m0Ek, де Ek визначається різницею між повною енергією атома (його гамильтонианом) Е і потенційною енергією U, після підстановки в (3) і найпростіших перетворень приходимо до основоположного рівнянню квантової механіки у вигляді:

Це рівняння відрізняється від стаціонарного (яке не залежить від часу) рівняння Шредінгера тим, що в ньому універсальна стала Планка ħ замінена функцією радіуса орбіти h = h (a). Зв'язок між ħ і h неважко встановити, якщо відповідно до ОТО висловити ν через імпульс фотона Pф відомим співвідношенням ħν = pфc. Тоді з (1) випливає, що h = ħpe / Pф. Так «перекидається місток» між квантової і класичної механікою.

Запропонований висновок «класичного» аналога рівняння Шредінгера не спирається на будь-які гіпотези та постулати. Це вигідно відрізняє його від обгрунтування, даного самим Шредінгер, яке завжди уявлялося дослідникам не цілком переконливим. Особливо це зауваження стосується фізичного змісту функції ψ. У його тлумаченні серед найбільш великих фізиків-теоретиків до цих пір відсутня одностайність. У більшості своїй вони трактують функцію ψ як величину, квадрат якої, будучи помноженим на елемент обсягу dV, характеризує ймовірність ψ2dV перебування частки в заданій області простору. Це поняття передбачає індетермінізм навіть на рівні елементарних процесів, тобто втрату квантовою механікою здатності передбачати події (визначати наступні значення параметрів за попереднім). Разом з тим застосування поняття ймовірності до окремого атома або окремій молекулі у відомий момент часу досить безглуздо, тому що останні мають цілком певним значенням кінетичної енергії, знаходяться в певному місці і рухаються в певному напрямку. У викладеному ж порядку ідей хвильова функція набуває простий і ясний сенс енергії електрона як функції параметрів його орбітального руху. Так вирішується, мабуть, найбільш принциповий з фізичних питань, пов'язаних з квантовою механікою. Поряд з цим усувається одна з принципових труднощів класичної електродинаміки, яка полягає у неможливості пояснити існування стійких орбіт електронів через гадану неминучості їх «падіння» на ядро ​​при випромінюванні ними енергії. Таке випромінювання з позицій класичної електродинаміки повинно мати місце навіть тоді, коли величина швидкості електрона залишається незмінною (змінюється лише напрям вектора швидкості на орбіті). Якщо ж випромінювання породжується виключно процесом перетворення кінетичної енергії в інші форми, напрям швидкості вже не грає ролі.

Відомо, що консервативні системи (E = const), що підкоряються цьому рівнянню, можуть володіти тільки цілком визначеними значеннями енергії. Це ж випливає і з виразу (1), згідно з яким певним довжинам хвиль спектра випромінювання атомів відповідають певні радіуси електронних орбіт. Таким чином, ідея «квантування» енергії електронів і їх орбіт також природним чином випливає з класичних уявлень.

Запропонований підхід вигідно відрізняється також від атомної механіки Бора, яка хоч і дотримувалася в основному класичних принципів, зажадала ряду додаткових постулатів. Найбільш вразливим з них стало припущення про те, що електрон випромінює в момент переходу з однієї орбіти на більш низьку, так що частота випромінюваних хвиль залежить як від початкової, так і від кінцевої енергії атома. Звідси випливало, що електрон або якимось незбагненним чином «знає» про майбутню орбіті, або випромінює тільки після потрапляння на кінцеву стаціонарну орбіту. Зважаючи на неприйнятність обох наслідків це становище завжди залишалося самим незрозумілим і слабкою ланкою в теорії Бора. З викладених позицій електрон переходить на нижнього орбіту лише після того, як атом випромінює енергію. Тим самим усувається основна трудність теорії Бора.

Уявлення про те, що випромінюють не електрони, а атоми, пояснює також результати дослідів по «дифракції електронів», оскільки дозволяє допустити, що дифракційну картину створюють не електрони, а порушувані ними атоми навколо отвору, через яке вони пролітають. Тим самим проливається нове світло на дуалізм «хвиля - частинка».

Однак найбільш важливим результатом запропонованого підходу є додаткові можливості знаходження параметрів електронних орбіт за даними спектроскопічних спостережень. Зокрема, за відомим довжинах хвиль випромінювання λ або хвильовим числах νλ ≡ 1 / λ = ν / c можна знайти радіус i-й стійкою електронної орбіти ai атомів, випромінюючих на цій частоті. Виходячи з рівності на такій орбіті відцентрової сили fω = mev2/ai силі взаємодії електрона з ядром fr = e2/ai2, після підстановки в вираз νλ = p / hc нескладно знайти радіус електронної орбіти, відповідний певній частоті випромінювання:

Після цього неважко знайти середню орбітальну швидкість електронів v = 2πaiν, кінетичну енергію електрона на i-й орбіті Ek = mev2 / 2 і число оборотів електрона на орбіті n = ν. Однак питання про відповідність такого підходу результатами експериментів залишається при цьому відкритим.

Список літератури

Де Бройль Л. Ann. De Phys, V. 10, 1925, p. 22. Переклад з фр.: «Введення в хвильову механіку». - Харків - Київ, 1934.

Фейнман Р. Нобелівська лекція. Пер. з англ. М.: Наука, 1976.

Шредінгер Е. Ann. Phys., Bd. 79, 1926, p. 361, 489; Bd. 80, 1926, p. 437; Bd. 81, 1926, p. 109. Переклад з нім.: «Чотири лекції з хвильової механіки». - Харків - Київ, 1936.

Де Гроот С., Мазур П. Нерівноважна термодинаміка, М.: Світ, 1964.

Еткін В.А. Термодинаміка нерівноважних процесів переносу та перетворення енергії. Саратов: Изд-во СГУ, 1991.