Історія розвитку класичної електродинаміки є повчальним прикладом того, як математизація природничо-наукової дисципліни і перехід до витонченого (хоча і досить складного) мови опису спричинили за собою якісний стрибок у розумінні цілого ряду явищ природи, частина з яких була спочатку передбачена теоретично ("на кінчику пера "), а потім отримала блискуче експериментальне підтвердження. У цій темі буде міститися досить велику кількість математичних формул, що приводяться лише з метою ілюстрації краси і компактності мови математики.
Безперервні розподілу зарядів.
Вхідні в висловлювання для електростатичних і магнітостатичних полів (9_4) і (9_8) суми в разі макроскопічних заряджених тіл містять дуже велика кількість доданків, відповідних вкладами у поля від точкових зарядів. Їх обчислення незручно із суто "технічної" точки зору: математична операція підсумовування більш трудомістка, ніж, наприклад, інтегрування (сказане відноситься до аналітичних розрахунків, при комп'ютерному рахунку підсумовування краще взяття інтегралів, проте в 19 столітті подібної альтернативи в математиці не існувало). Перехід до інтегрування вимагав наближеною заміни дискретного розподілу елементарних зарядів на безперервне, що характеризується щільністю електричного заряду (відношення величини заряду до обсягу містить його невеликого, але макроскопічного елемента простору):
(1).
Природно, що заміна (1) призводила до "згладжування" розраховуються макроскопічних полів в порівнянні з реальними мікроскопічними, сильно змінюються на порівнянних з розміром атома відстанях. Описаний перехід до безперервного розподіл зарядів істотно спрощував розрахунки, не знижуючи їх практичну цінність (наука і техніка 19 століття ще не доросли до ефектів, що відбуваються на мікроскопічному рівні організації матерії).
Математичний формалізм. Перехід до безперервних розподілів зарядів і струмів дозволив переписати закони електро та магнітостатики відразу в декількох математичних формах, еквівалентних по фізичній змісту, але істотно різняться за технікою виконання конкретних розрахунків:
інтегральні формулювання:
;
диференціальні формулювання:
(3);
розрахунок полів через скалярний і векторний потенціали:
.
Т.ч. адекватний опис одних і тих же законів природознавства можливо на різних мовах математики.
Оператори.
На початку 20 століття в математиці були введені нові об'єкти - оператори, без використання яких сучасна фізика була б неможлива. Поняття оператора є природним узагальненням традиційного для класичної математики поняття функції. Якщо під функцією розуміється закон (правило, відображення), за яким одному числу (набору чисел) ставиться у відповідність інше число (набір чисел), то під оператором увазі закон, за яким одному об'єкту (групі об'єктів) ставиться у відповідність інший об'єкт (група ). Найбільш часто зустрічаються оператори, що діють на функції (оператори множення на число, диференціювання, інтегрування і т.д.) або вектори (оператор повороту, проектування і т.д.). Дуже корисною виявилася ідея визначення математичних операцій над операторами. Наприклад, під твором двох операторів мається на увазі оператор, що виконує послідовно дії кожного з перемножуваних операторів. Для операції множення операторів у загальному випадку не виконується властивість комутативності:
(5).
Використання мови операторів істотно скорочує запис багатьох математичних формул і робить їх більш "елегантними". Так введення лише одного диференціального оператора "набла"
за допомогою стандартним чином певних операцій скалярного (,) і векторного [,] множення дозволяє записати системи рівнянь (3) і (4) у вельми компактній формі:
(3 ');
(4 ') 
,.
В останніх равенствах використаний оператор Лапласа:
(7).
Крім стислості запису перевагу операторного методу полягає в тому, що. з самим оператором набла можна звертатися майже так само, як із звичайним вектором, що, безсумнівно, полегшує громіздкі викладення.
Закон електромагнітної індукції Фарадея.
Довгий час електричні та магнітні явища вважалися незалежними, хоча навіть на рівні магнітостатики це не зовсім вірно: магнитостатическое поле породжується постійними струмами, існування яких в речовині неможливо без наявності електричного поля. Фарадей експериментальним шляхом встановив, що змінюється в часі магнітне поле може породжувати електричне. Це електричне поле на відміну від породжуваного зарядами потенційного електростатичного є вихровим, тобто його лінії являють собою замкнуті криві (рис. 11_1). Відкритий Фарадеєм закон індукції згодом мав колосальне практичне значення, оскільки відкрив дуже зручний і дешевий спосіб перетворення механічної енергії руху джерел магнітного поля в електричну, нині лежить в основі промислового виробництва електроенергії.
З точки зору математичного запису рівнянь для поля відкрите Фарадеєм явище вимагає видозміни системи рівнянь (6):
(10).
Гіпотеза Максвелла. Розглянувши спільно систему рівнянь (7) і (10) Максвелл звернув увагу на такі її недоліки:
1. Зазначена система несумісна з законом збереження заряду.
2. Система виявилася вельми несиметричною навіть для випадку опису електромагнітного поля в порожньому просторі (= 0 і j = 0).
Невідповідність рівнянь закону збереження заряду було достатнім аргументом для того, щоб засумніватися в їх істинності, оскільки закони збереження носять досить загальний характер. Виявилося, що існує безліч способів видозміни системи рівнянь (7), (10), що приводять їх у відповідність з законом збереження. Максвеллом був обраний найпростіший з можливих шлях, що приводить систему до симетричного увазі в разі її використання для опису полів у порожньому просторі. Останнім рівняння було додано доданок, що описує можливість створення вихрового магнітного поля змінюються електричним ("струм зміщення"):
(11) 
.
Чисто математичними наслідками з видозміненою системи рівнянь Максвелла були твердження про збереження енергії в електромагнітних процесах і теоретичний висновок про можливість незалежного від зарядів і струмів існування поля у вигляді електромагнітних хвиль в порожньому просторі. Це останнє пророцтво знайшло блискуче експериментальне підтвердження в знаменитих дослідах Герца і Попова, які поклали основу сучасної радіозв'язку. Розраховується з системи (11) швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль виявилася рівною експериментально виміряної швидкості поширення світла у вакуумі, що означало об'єднання практично раніше незалежних розділів фізики електромагнетизму і оптики в одну закінчену теорію.
Проблема існування магнітного монополя. Колосальний успіх теорії Максвелла продемонстрував можливість теоретичного пошуку нових законів природи на основі аналізу математичних рівнянь, що описують раніше відомі закономірності, з обов'язковою експериментальною перевіркою таким чином "вгадується" результатів.
Симетрична для опису електромагнітних полів у порожньому просторі система рівнянь Максвелла (11) істотно "втрачає свою красу" при врахуванні електричних зарядів і струмів: створюване електричними зарядами потенційне поле Е не має аналога в магнітних взаємодіях. Ця асиметрія послужила приводом для постановки безлічі експериментів з пошуку магнітних монополів (або магнітних зарядів) - гіпотетичних частинок, які є джерелом потенційного магнітного поля і теоретичних досліджень їх передбачуваних властивостей. До теперішнього часу надійних експериментальних даних про існування магнітних монополів не отримано.
Суперечності між електродинамікою і класичної фізикою.
Сформульовані у вигляді закінченої теорії і витримали експериментальну перевірку закони електромагнетизму Максвелла опинилися в протиріччі з принципами, що лежать в основі класичного світорозуміння Галлілея - Ньютона:
1. Задовольняють принципу відносності Галілея класичні сили можуть залежати від часу, відстаней між тілами і їх відносних швидкостей, тобто величин, що не змінюються при переході з однієї інерціальної системи відліку в іншу. Магнитостатические поля та пов'язані з ними сили Лоренца є функціями швидкостей зарядів по відношенню до спостерігача і різні в різних інерційних системах відліку. Т.ч. явища природи, зумовлені електромагнітними взаємодіями, з точки зору класичної фізики в різних інерційних системах відліку повинні протікати по-різному.
2. Отримана в результаті рішення рівнянь Максвелла швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль в порожньому просторі виявилася незалежною від швидкостей руху як джерела цих хвиль, так і спостерігача. Цей висновок повністю суперечило класичному закону складання швидкостей.
Всі спроби видозмінити рівняння електромагнетизму так, щоб привести їх у відповідність з принципами класичного природознавства приводили до теоретичного передбачення ефектів, неспостережуваних на експерименті, і були визнані безпідставними.
Перетворення Лоренца. Оскільки рівняння Максвела не були інваріантними відносно перетворень Галілея, тобто всупереч вимогам принципу відносності змінювали свою форму при переході з однієї інерціальної системи відліку до іншої, за правилами, що задається співвідношеннями:
(12),
Лоренцем був поставлений природний питання про відшукання таких перетворень координат і часу, які не змінювали б рівнянь Максвелла і були при цьому максимально простими. Це завдання було їм вирішена як суто математична:
(13).
Порівнюючи перетворення Галілея (12) і Лоренца (13), легко помітити, що останні переходять в класичні у разі швидкостей, малих порівняно зі швидкістю світла с. Т.ч. запропоновані Лоренцем співвідношення задовольняли принципом відповідності, за яким нова теорія має узгоджуватися зі старою про областях, де остання була надійно перевірена на експериментах. Крім того, наступний з перетворень Лоренца релятивістський закон додавання швидкостей залишав швидкість світла інваріантної щодо переходячи в будь-яку інерційну систему відліку, що рухається зі швидкістю, меншою с.
Досліди Майкельсона. Наступне з рівнянь Максвелла твердження про сталість швидкості світла при переходах в інші системи відліку повністю суперечило класичним уявленням. Вставав природне запитання про його експериментальної перевірки. Дуже витончений експеримент був здійснений Майкельсоном за допомогою спеціально сконструйованого ним приладу - інтерферомета, що дозволяє порівнювати часи поширення світлових сигналів вздовж двох взаємно перпендикулярних відрізків прямих, обмежених на кінцях дзеркалами (мал. 11_2). Ідея досвіду полягала в спробі зареєструвати відмінність швидкостей поширення світла вздовж різних плечей інтерферометра, викликане орбітальним рухом Землі. Досліди з інтерферометром Майкельсона дали негативні результати: швидкість світла з високою точністю виявилася незалежною від співвідношення напрямів його поширення та руху Землі.
Численні спроби врятувати класичний закон додавання швидкостей шляхом введення гіпотетичної середовища - ефіру, в якому розповсюджуються світлові коливання зазнали повної невдачі властивості передбачуваної Середовища виявлялися досить екзотичними, ніяких експериментальних підтверджень її реального існування отримано не було.
Вихід із виникла на рубежі століть у природознавстві тупикової ситуації був запропонований А. Ейнштейном, який створив спеціальну теорію відносності (СТО), в якій на основі двох добре перевірених на експерименті постулатів (тверджень) будується внутрішньо несуперечлива (хоча і досить дивна з точки зору класичного природознавства і життєвого досвіду) концепція, що пояснює перетворення Лоренца і пророкує ряд нових явищ, реально зареєстрованих в природі.
Список літератури
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://study.online.ks.ua/