Значення вирішення проблеми V постулату Евкліда

Міністерство з питань науки та освіти Російської Федерації

Федеральне агентство з освіти

Державна освітня установа вищої професійної освіти

Далекосхідний державний гуманітарний університет

Інститут математики фізики та інформаційних технологій

Кафедра геометрії

Реферат

На тему:

«Значення вирішення проблеми V постулату Евкліда»

Виконала студентка ІМФіІТ

3 курсу ОЗО

О. В. Крилік

Перевірив: Доцент кафедри геометрії

Т. А. Тимошенко

ХАБАРОВСЬК 2008

Тривалі невдачі різноманітних спроб вивести п'ятий постулат Евкліда з інших аксіом і постулатів евклідової геометрії підготували грунт для принципово інший постановки питання про проблему паралельних ліній. Відбувалося поступове переростання завдання докази п'ятого постулату в протилежне завдання: встановлення його логічної недовідності. Сама природа питання наштовхувала дослідників на пошуки рішення на інших шляхах, іноді крім їхніх намірів або навіть наперекір їм.

Ідея недовідності п'ятого постулату Евкліда з початку XVIII століття проявляється у все більш виразною формою і у все більш змістовному вигляді, поки не приводить до остаточного затвердження логічної можливості нової геометрії, де п'ятий постулат Евкліда не має місця. На початок XIX століття «проблема п'ятого постулату» Евкліда настільки назріла, що була вирішена майже одночасно і незалежно один від одного кількома різними особами.

Можливо, що й сам Евклід намагався довести постулат про паралельних. На користь цього говорить та обставина, що перші 28 пропозицій «Почав» не спираються на п'ятий постулат; Евклід як би намагався відсунути застосування цього постулату до тих пір, поки використання його не стане настійно необхідним.

З часів Евкліда до кінця XIX століття проблема п'ятого постулату була однією з найпопулярніших проблем геометрії. За цей період було запропоновано безліч різних доказів п'ятого постулату. Проте всі вони були помилкові. Зазвичай автори цих доказів використовували якесь геометричне твердження, яке виявлялося настільки наочно очевидним, що проскакувало в міркуваннях непомітно для самого автора. Разом з тим спроба логічно довести таке твердження, в свою чергу не спираючись на п'ятий постулат, завжди закінчувалася невдачею.

Звичайно, подібні дослідження не досягали поставленої мети, так як сенс проблеми полягав у визволенні евклідової теорії паралельних від спеціального постулату, і, таким чином, справа тут була не в тому, щоб замінити п'ятий постулат іншим твердженням, хоча би воно й було вельми очевидним, а в тому, щоб довести цей постулат, виходячи з інших постулатів геометрії.

Потрібно зауважити, втім, що численні спроби докази п'ятого постулату, незважаючи на їх марність, привели до певних позитивних результатів.

Характерними для періоду зародження ідеї недовідності п'ятого постулату є роботи італійського вченого ченця Джероламо Саккери (1667 - 1733), випущені ним в світ в 1733 році під назвою «Евклид, очищений від усяких плям». Сама назва твору вказує на задум Саккери: довести евклидову геометрію до логічного досконалості, причому, звичайно, малося на увазі в першу чергу усунути сумніви, пов'язані з п'ятим постулатом, шляхом його докази. З цією метою Саккери застосовує метод доказу від протилежного. В основі його міркувань лежить вивчення властивостей чотирикутника ABCD,

Де = = і AB = CD. Ця фігура отримала назву «чотирикутника Саккери» (хоча О. Хайям розглядав цю фігуру ще в XII столітті). Розглядаючи пряму MN, проведену перпендикулярно до прямої AD через середину відрізка AD, шляхом згинання креслення по прямій MN легко переконатися, що ця пряма служить віссю симетрії фігури, так що

= і BN = CN.

Щодо рівних кутів ABC і DCB Саккери три логічно можливих припущення:

= > (Гіпотеза тупого кута),

= = (Гіпотеза прямого кута),

= < (Гіпотеза гострого кута).

З «гіпотези тупого кута» Саккери виводить, що сума кутів трикутника дорівнює і, отже, сума кутів чотирикутника дорівнює , Так що ця гіпотеза суперечлива (за його словами, «сама себе вбиває») і повинна бути відкинута.

Саккери встановлює далі, що гіпотеза прямого кута тягне п'ятий постулат Евкліда. Тому для доказу п'ятого постулату залишається лише спростувати гіпотезу гострого кута. З цією метою Саккери далеко розвиває систему наслідків з цієї гіпотези, прагнучи прийти до протиріччя. Незважаючи на незвичність одержуваних результатів, очікуване протиріччя не виникає ... Зрештою Саккери зраджує почуття строгості, характерне для його твори, він пускається в туманні висновку про нескінченно віддалених точках і без достатньої підстави робить висновок, що «гіпотеза гострого кута суперечить природі прямої лінії» . Об'єктивно Саккери прийшов до результату, суперечить поставленої ним мети: розвиваючи слідства з гіпотези гострого кута, він отримав, не віддаючи собі в цьому звіту, ряд пропозицій нової геометрії.

В ході подальших досліджень ідеї нової, неевклідової геометрії все більш виразно заявляють про право на існування, їх логічна правомірність виділяється все рельєфніше.

Швейцарський вчений Йоганн Генріх Ламберт (1728 - 1777) розглядав чотирикутник, три кути якого прямі. Щодо четвертого кута він, подібно Саккери, розглядає три логічно можливих припущення (гіпотези).

Ламберт зауважив, що гіпотеза тупого кута реалізується на сфері, якщо розглядати на ній дуги великих кіл як прямих.

На відміну від Саккери Ламберт чітко розумів, що гіпотезу гострого кута йому спростувати не вдалося. З цього приводу він зауважує: «Має ж існувати причина, чому вона не піддається спростуванню ... Гіпотеза гострого кута тягне за собою існування абсолютної міри довжини. У цьому є щось чудове, що викликає навіть бажання, щоб третя гіпотеза була справедлива ... Я готовий припустити, що вона має місце на якийсь уявної сфері ». Це припущення Ламберта надалі виправдалося самим чудовим чином.

Швейкарт (1780-1859, професор права в Харківському університеті з 1812 по 1817 р.) і Таурінус (1794-1874) вже прямо розглядають геометрію, де сума кутів трикутника не дорівнює . Швейкарт називає свою геометрію «астральної» (зоряної), бажаючи цим, мабуть, підкреслити, що він не вважає її реально здійсненною в земних умовах. Таурінус будує свою «логарифм-сферичну» геометрію на сфері уявного радіуса.

Були й інші автори, які досліджували ту чи іншу сторону нових геометричних припущень, але їхні роботи не складали рішучого кроку в області підстав геометрії, не знаменували скільки-небудь значного перелому в поглядах на геометрію. Щоб широко розкрити систему нової геометрії, щоб показати можливість існування будь-якої іншої геометрії, крім століттями складався і затверджувався в суспільній свідомості евклідової геометрії, треба було досягти в новій геометрії такий же стрункості та завершеності.

Серед робіт, присвячених нової геометрії, виділяється робота, відома під назвою «Апендикс», написана угорським математиком Яношем Бояи в 1832 році. Батько Яноша, Фаркаш Бояи, все життя займався доказом п'ятого постулату Евкліда, але, звичайно, не досяг мети. Будучи розчарованим в цій проблемі, він переконливо і пристрасно відмовляв сина від занять теорією паралельних. «Молю тебе, не роби і ти спробу здолати теорію паралельних. Ти затратити на це все свій час ... Я вивчив всі шляхи до кінця. Я не зустрів жодної ідеї, яка б не була розроблена мною. Я пройшов весь безпросвітний морок цієї ночі, і всякий світоч, всяку радість життя я в ній поховав. Заради бога, благаю тебе, залиш цю тему, бійся її. Цей безпросвітний морок ... ніколи не прояснитися на землі ... »- писав він синові. Але молодий Бояи пішов іншим шляхом: він будував геометрію, «викладає абсолютно правильне вчення про простір, незалежне від правильності чи хибності п'ятого постулату Евкліда». І вже в 1828 році, у віці 21 року, він писав батькові: «Я отримав ... чудові результати ... з нічого я створив цілий світ». І дійсно, невеликий твір Я. Бояи, що побачило світ лише в 1832 році, містить досить розвинене і систематичний виклад основ нової геометрії. Але цей твір залишилося свого часу непоміченим, не було зрозуміло сучасниками Бояи.

Необхідні були величезна громадянську мужність, переконаність і самовіддана наполегливість у пропаганді ідей нової геометрії, щоб подолати відсталість сучасників і вікові традиції геометрії.

Характерна в історії відкриття неевклідової геометрії роль одного з найбільших математиків того часу К. Ф. Гаусса (1777-1855). Він багато років займався теорією паралельних і ще в 1824 році писав Таурінусу: «Припущення, що сума кутів трикутника менше , Призводить до своєрідної геометрії; ця геометрія абсолютно послідовна, і я розвинув її для себе цілком задовільно ». Однак за все своє життя Гаусс серед безлічі своїх наукових робіт не зважився опублікувати жодного дослідження з неевклідової геометрії. «Я боюся крику беотийцев, який підніметься, коли я висловлю свої погляди», - писав він Бесселя, натякаючи на обмеженість сучасних математичних кіл. Обережність Гаусса у ставленні до питань неевклідової геометрії не тільки не дозволила йому виступити від свого імені, але завадила навіть підтримати своїм авторитетом інших новаторів геометрії: він замовчував про їхні відкриття і розхолоджували зверталися до нього авторів у їх наміри. «Оси, гніздо яких ви руйнуєте, встануть над Вашою головою», - писав він Герлінга, надіслав йому свою роботу про паралельних. Захоплено відгукуючись в одному з приватних листів про «апендиксі» і називаючи молодого Бояи «генієм першої величини», Гаусс проте не надав йому необхідної моральної підтримки і у відгуку, направленому його батькові, висловлювався дуже стримано і підкреслював, що відкриття Яноша для нього особисто не є новими.

Справжнім творцем неевклідової геометрії, її систематизатор і першим пропагандистом був наш великий співвітчизник Микола Іванович Лобачевський.

Н. І. Лобачевський і його геометрія. До початку XIX століття жодна зі спроб довести п'ятий постулат не призвела до бажаного результату. Незважаючи на зусилля геометрів, витрачені протягом більш ніж двадцяти століть, завдання обгрунтування теорії паралельних, по суті, залишалася все в тій же стадії, як і за часів Евкліда.

Але перші ж десятиліття XIX століття принесли, нарешті, рішення проблеми п'ятого постулату; тільки рішення це виявилося таким, якого не чекав і до якого не був підготовлений математичний світ цієї епохи.

Слава вирішення цієї знаменитої проблеми належить професору Казанського університету Миколі Івановичу Лобачевському (1793-1856). У його доповіді фізико-математичного факультету Казанського університету, що публікувалися, починаючи з 1829 року, вперше чітко виражена і підтверджена думка про те, що п'ятий постулат не може бути виведений з інших постулатів геометрії. Щоб довести це, Лобачевський, зберігаючи основні посилки Евкліда, крім постулату паралельних не здійснюється, і будує логічну систему, пропозиції якої є наслідками прийнятих посилок.

Багато з пропозицій, які отримав Лобачевський, зустрічалися у Саккери і Ламберта при розвитку гіпотези гострого кута. Це й зрозуміло, оскільки гіпотеза гострого кута Саккери і вихідні посилки Лобачевського еквівалентні. Але в той час, як Саккери ставив собі за мету показати, що гіпотеза гострого кута веде до протиріччя і повинна бути відкинута як логічно неприпустима, - Лобачевський, розвиваючи систему своїх теорем, встановлює, що ця система являє собою нову геометрію (він назвав її «уявної »), яка, як і евклідова, вільна від логічних протиріч.

Уявну геометрію Лобачевський розвинув до таких же меж, до яких була розвинена геометрія Евкліда. При цьому Лобачевський не зустрів у ній будь-яких логічних протиріч. Однак він чітко розумів, що ця обставина сама по собі не доводить, що Уявна геометрія дійсно несуперечлива, тому що якщо суперечності є, то заздалегідь не можна передбачити, на якій стадії розгортання системи вони можуть виявитися. Щоб довести несуперечність своєї геометрії, Лобачевський зробив глибокий алгебраїчний аналіз основних її рівнянь і тим самим дав вирішення цього питання в такій мірі задовільний, в якій це було можливо для того часу.

Доказ несуперечності геометрії Лобачевського на сучасному рівні строгості дано в кінці XIX століття після встановлення загальних принципів логічного обгрунтування геометрії.

Результати досліджень Лобачевського можна резюмувати наступним чином:

Постулат про паралельні не є необхідним наслідком інших постулатів геометрії (як кажуть, логічно від них не залежить).

П'ятий постулат саме не випливає з інших постулатів, що поряд з геометрією Евкліда, в якій цей постулат вірний, можлива інша, «Уявна» геометрія, в якій не має місця.

Лобачевський був ученим-матеріалістом. Матеріалістичні погляди він явно і наполегливо висловлював у своїх творах. Він беззастережно відкидав можливість апріорних знань, зокрема, кантіанський теза про те, що наші просторові уявлення є вродженими і не мають досвідченого походження. «Перші поняття, з яких починається якась наука, - пише Лобачевський, - повинні бути ясні, і приведені до самого меншого числа. Тоді вони можуть служити міцним і достатньою підставою вчення. Такі поняття купуються почуттями; природженим - не повинно вірити »(« Про основи геометрії », 1829).

Лобачевський глибоко і тонко розумів співвідношення між геометрією Евкліда і своєю неевклідової геометрією: обидві геометрії логічно несуперечливі, і тому безнадійні всякі спроби логічно довести, що єдино істинної є тільки перша з них; запитання ж про те, яка з цих геометрій більш відповідає властивостям реального простору , має бути вирішено досвідом.

«У моєму творі про початки геометрії, - пише Лобачевський, - я доводив, грунтуючись на деяких астрономічних спостереженнях, що в трикутнику, якого боки майже такі, як відстань від Землі до Сонця, сума кутів може різнитися від двох прямих не більше , 0003 в шестідесятічних секундах градуси. Припущення вживаною Геометрії треба, отже, почитати як би строго доведеним, а разом бути переконання і в тому, що незалежно від досвіду, марно було б шукати докази на таку істину, яка ще не полягає сама собою в нашому понятті про тіла »(« Уявна геометрія », 1835).

Лобачевський називав геометрію Евкліда «вживаною», а свою - «уявної». Це не означає, однак, що він вважав свою геометрію замкнутої в собі суто логічною системою. Лобачевський вбачав у ній корисний інструмент для математичного аналізу і в цьому плані написав велику роботу «Застосування уявної геометрії до деяких інтегралом» (1836). Цікаво відзначити, що в таблицях певних інтегралів Біеренс де Хаана міститься понад 200 інтегралів, які були обчислені і опубліковані Лобачевським. В даний час були відомі глибокі зв'язки геометрії Лобачевського з різноманітними розділами математики, а також теоретичною фізикою.

Ідеї ​​Лобачевського сучасним йому геометрам здавалися парадоксальними і зустріли тільки іронію. Зрозуміти та оцінити його роботи могли лише одиниці, серед них повинні бути зазначені Гаусс і Я. Больяй, які займалися теорією паралельних незалежно один від одного і незалежно від Лобачевського. Гауссу був ясний задум нової геометрії, проте він не дав цьому задуму достатнього розвитку, залишивши тільки начерки окремих, найбільш елементарних теорем. Він навіть не опублікував своїх поглядів на основи геометрії, боячись залишитися незрозумілим. Я. Больяй видав свою роботу через три роки після першої публікації Лобачевського. У своїй роботі Я. Больяй виклав ту ж теорію, що й Лобачевський, але не в настільки розвинутій формі. Як і Лобачевський, Больяй не отримав визнання і сам потребував підтримки.

Вчений світ оцінив значення досліджень Лобачевського лише після його смерті. А значення це виключно.

До Лобачевського евклідова геометрія представлялася єдино мислимим вченням про простір. Відкриття уявної або, як її зазвичай називають, неевклідової геометрії знищило цю точку зору. Тим самим було покладено початок далекосяжних узагальненням поглядів на геометрію та її предмет, які привели до сучасного поняття абстрактного простору з його численними застосуваннями усередині математики і в суміжних з нею областях.

У ланцюзі цих узагальнень неевклідова геометрія Лобачевського стала першим і визначальним ланкою.

Список літератури

1. «Вища геометрія» Н.В. Єфімов.