Державний комітет Російської Федерації з вищої
утворення
МОСКОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра електронної техніки
ЗАТВЕРДЖУЮ
проректор з навчальної роботи
"ВИВЧЕННЯ ЗАКОНІВ НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ
І РОЗПОДІЛУ Релея "
Методичні вказівки до проведення лабораторних робіт
Москва
1998р.
Мета роботи-дослідження законів розподілу різних випадкових процесів нормального шуму, гармонійного і трикутного сигналів з випадковими фазами, суми випадкових взаємно незалежних сигналів, адитивної суміші гармонійного сигналу і шумової перешкоди, перевірка нормалізації розподілу при збільшенні числа взаємно незалежних доданків у випадковому процесі.
Теоретична частина
На відміну від детермінованих процесів, перебіг яких визначений однозначно, випадковий процес - це зміна в часі фізичної величини (струму, напруги та ін), значення якої неможливо передбачити заздалегідь з ймовірністю, що дорівнює одиниці.
Статистичні властивості випадкового процесу X {t) можна визначити, аналізуючи сукупність випадкових функцій часу {Xk (t)}, звану ансамблем реалізацій. Тут k-номер реалізації.
Миттєві значення випадкового процесу у фіксований момент часу є випадковими величинами. Статистичні властивості випадкового процесу характеризуються законами розподілу, аналітичними виразами яких є функції розподілу. Одновимірна інтегральна функція розподілу ймовірностей випадкового процесу
Тут P {X (t1) <= x} - ймовірність того, що миттєве Значення випадкового процесу в момент часу t1 - прийме значення, менше або рівне x
Одновимірна диференціальна функція розподілу випадкового процесу або щільність ймовірності визначається рівністю
Аналогічно визначаються багатовимірні функції розподілу для моментів часу t1, t2, ... tn.
Одновимірна щільність ймовірності миттєвих значень суми взаємно незалежних випадкових процесів Z (t) = Y (t) + Х (t) визначається формулою
де W1x (x), W1y (y), W1z (z) - щільності ймовірності процесів X (t), Y (t), Z (t).
Найбільш поширеними функціями випадкового процесу (моментами) є:
середнє значення (перший початковий момент)
дисперсія (другий центральний момент)
Для стаціонарних випадкових процесів виконується умова
Статистичні характеристики стаціонарних випадкових процесів, що мають еродіческіе властивості, можна знайти усереднюванням не тільки по ансамблю реалізацій, але й за часом однієї реалізації Xk (t) тривалістю T:
середнє значення
дисперсія
інтегральна функція розподілу
де - Відносний час перебування реалізації Xk (t) нижче рівня x;
щільність ймовірності
де - Відносний час перебування реалізації Xk (t) в інтервалі
[X, x + D x].
Для нормального розподілу інтегральна функція і функція щільності і вірогідності мають такий вигляд:
Опис лабораторної установки
Для виконання роботи необхідно використовувати універсальний стенд для вивчення законів розподілу випадкових процесів і електронний осцилограф.
Передня панель стенду
Стенд включає в себе:
- Сім джерел незалежних випадкових сигналів (одного шумового з нормальним розподілом, одного трикутного і п'ять гармонійних). Дисперсія випадкових сигналів регулюється відповідними потенціометрами;
- Перемикач досліджуваних законів розподілу (нормальний, Релея);
- Перемикач роду робіт (для зняття статистичних характеристик mx, s x2, а також інтегрального F (x) диференціального W (х) законів розподілу);
- Регулятор рівня аналізу;
- Регулятор глибини аналізу;
- Індикатор рівня виходу;
- Індикатор рівня аналізу;
- Гнізда для підключення осцилографа;
- Гніздо для заземлення стенда.
Блок схема стенду
1 - генератор трикутних імпульсів;
2 - генератор шуму;
3-7 - генератори гармонійних сигналів:
S - суматор;
- Детектор;
ЕП - емміторний повторювач;
ГПН - генератор постійної напруги;
ВС - верхній селектор;
РУ - регулятор рівня;
НС - нижній селектор;
ВУ - віднімаючий пристрій;
> - Підсилювач;
т - інтегратор;
І - індикатор;
Е0 - осцилограф.
Принцип роботи стенду
Апаратурний аналіз законів розподілу здійснюваний в лабораторній установці заснований на вимірювань відносного часу перебування реалізації в заданому інтервалі значення.
Суматор дозволяє отримувати сигнали з різними законами розподілу.
Необхідний рівень "х" при знятті законів розподілу по точках встановлюють за допомогою потенціометра "постійна складова". Глибину аналізу "х" визначає потенціометр "рівень аналізу".
За допомогою амплітудних селекторів і формувачів виробляються прямокутні імпульси тривалість яких дорівнює часу перебування вхідного сигналу нижче порогів селекції. Величина постійної складової на виході ВС пропорційна P {X (t) <= x} на виході НС - P {X (t) <= xD x}, на виході ВУ:
Вимірювання постійної складової здійснюється інтегратором, навантаженням якого є індикатор-прилад магнітно-електричної системи.
Порядок виконання роботи
1. Заземлити стенд і осцилографи.
2. Провести включення з дозволу викладача.
3. Встановити перемикач законів розподілу в положення "нормальний".
4. Включити генератор шуму і встановити ручку рівня сигналу в середнє положення.
5. Перемикач роду робіт (ПРР) встановити в положення "mx" і зняти величину математичного очікування.
6. Встановити ПРР в положення "s 2x" і зняти величину дисперсії випадкового процесу. (Всі значення зводите в таблицю)
7. Встановити необхідний рівень "D x".
8. Встановити ПРР в положення F (х) і зняти інтегральну функцію розподілу залежно від рівня аналізу для значень -3 ... +4 З кроком 1.
9. Встановити ПРР в положення "Wx" і зняти залежність функції щільності ймовірності "Wx" від рівня аналізу для значень згідно п.8.
10. Відключити генератор шуму і включити генератор трикутного сигналу. Повторити пп. 5 ... 9.
11. Виконати п.10 для одного гармонійного сигналу.
12. Включити ще 2 гармонійних сигналу і повторити пп.5 ... 9.
13. Включити всі 5 генераторів гармонік і генератор трикутного сигналу і повторити пп. 5 ... 9.
14. Встановити перемикач законів розподілу в положення "розподіл Релея". Повторити пп. 4 ... 13.
Вказівки до звіту
Звіт повинен містити:
1) розрахунки дисперсій, законів розподілу сигналів;
2) функціональну схему аналізатора законів розподілу;
3) графіки розрахованих і виміряних функцій розподілу;
4) порівняння теоретичних і експериментальних результатів і аналіз можливих джерел похибок вимірювання;
5) висновки та оцінку отриманих результатів.
Контрольні питання
1. Які основні статистичні характеристики випадкових процесів вам відомі?
2. Дайте визначення стаціонарного випадкового процесу.
3. Визначте ергодичні властивості стаціонарного випадкового процесу.
4. Перерахуйте основні властивості інтегральної функції розподілу ймовірностей.
5. Які статистичні властивості процесу характеризує одномірна (багатовимірна) щільність ймовірності? Як вона вимірюється?
6. Які властивості має диференціальна функція розподілу?
7. Як визначають середнє значення і дисперсію випадкового ергодичної процесу усередненням по ансамблю реалізацією і розподілених на часі?
8. Знайдіть щільність ймовірності миттєвих значенні гармонійного (трикутного) сигналу з випадковою рівноймовірної фазою. Результат поясніть фізично.
9. Наведіть приклад дискретного ергодичної випадкового процесу. Накресліть для нього графіки щільності ймовірності та функції розподілу ймовірностей.
10. Дайте визначення одномірної характеристичної функції розподілу ймовірностей випадкового процесу.
11. Знайдіть диференціальний закон розподілу суми двох випадкових взаємно незалежних сигналів.
12. Знайдіть закони розподілу суми двох трикутних сигналів з випадковими взаємно незалежними початковими фазами.
13. Запишіть нормальний закон розподілу. Накресліть його графіки. Перерахуйте основні властивості нормального розподілу.
14 Сформулюйте центральну граничну теорему Ляпунова.
Література:
[1, с. 132-144; 2, с. 76-98; 3, с. 166-174; 4, с. 403-421; 5, с. 83-88; 12;, с. 63-74, 183-188; 18].
1. Гонаровскій І.С. Радіотехнічні ланцюги і сигнали-М.: Радянське радіо, 1977.
2, Зінов'єв А.Л., Філіппов Л. І. Введення в теорію сигналів і ланцюгів - М.: Вища школа, 1975.
3. Баскаков С. І. Радіотехнічні ланцюги і сігнали.-М.: Вища школа, 1983.
4. Радіотехнічні ланцюги і сигнали / Под ред. К. А. Самойло - М.: Радіо і зв'язок 1982.
5. Гонаровскій І. С. Радіотехнічні кола і сигнали. - М.: Радянське радіо 1971.
12. Харкевич А. А. Вибрані праці (у трьох томах) - М .. Наука 1973.