Варіант 3.
1. Розв'яжіть рівняння
Рішення
За визначенням
.
Тоді і рівняння набуває вигляду
або
звідки отримуємо
і
Так як m може бути тільки натуральним числом, то значення відкидаємо.
Відповідь: .
2. В урні знаходиться 12 білих і 8 чорних куль. Знайти ймовірність того, що два одночасно вилучених навмання кулі будуть чорними
Рішення
При виборі двох куль з 20 існує різних варіантів, де
, Тоді
Визначимо сприятливих результатів, тобто витягнуті два чорних кулі. Два чорних кулі з 8 можна вибрати способами отже, число сприятливих результатів
.
Шукана ймовірність, відповідно до класичного визначення ймовірності, дорівнює відношенню числа сприятливих результатів до числа всіх результатів:
.
Відповідь: .
3. Знайдіть ймовірність того, що навмання взяте двозначне число виявиться кратним або 4, або 5, або того й іншого
Рішення
Скористаємося класичним визначенням ймовірності. Двозначні числа починаються з 10 і закінчуються 99 і всього їх 90, тобто N = 90. Тепер порахуємо, скільки у нас чисел кратних або 4, або 5, або того й іншого.
Число кратне 4-м має вигляд , Кратні 5
, Кратне 4 і 5
.
В інтервалі від 10 до 99 всього числа кратних чотирьом (2 кратних до десяти),
чисел кратних п'яти (1 кратне до 10) і
числа кратних і чотирьох і п'яти.
Так як безліч чисел кратних 4 і безліч чисел кратних 5 не перетинаються, то всього виходить 22 + 18 = 40 чисел задовольняють необхідному нам умові, причому числа кратні і чотирьом і п'яти вже входять в ці 40 чисел. У підсумку отримуємо, що вірогідність того, що навмання взяте двозначне число виявиться кратним або 4, або 5, або того й іншого дорівнює .
Відповідь: .
4. У партії 10 деталей, з яких 8 стандартні. З цієї коробки навмання витягується 2 деталі. Х - число стандартних деталей. Знайти закон розподілу, функцію розподілу дискретної випадкової величини Х, а також основні числові характеристики
Рішення
Серед 2-х витягнутих деталей може бути 0, 1 або 2 стандартні.
Знайдемо ймовірність кожного результату.
0 стандартних:
1 стандартна:
2 стандартних:
Закон розподілу приймає вигляд:
Х | 0 | 1 | 2 |
р |
Запишемо функцію розподілу отриманої випадкової величини Х:
Математичне сподівання М (Х) випадкової величини знаходиться за формулою:
, І підставляючи дані, отримаємо:
Дисперсію дискретної випадкової величини можна обчислити за формулою:
, І, підставляючи дані, отримаємо:
Середньоквадратичне відхилення:
s (Х) =
Відповідь: ;
;
.
5. По даній вибірці побудуйте полігон. Знайти емпіричну функцію.
Х i | 2 | 5 | 7 | 8 |
N i | 1 | 3 | 2 | 4 |
Рішення
Побудуємо полігон частот - ламану, що сполучає точки з координатами (Х i; N i).
Обсяг вибірки дорівнює N = 1 + 3 + 2 + 4 = 10.
Знайдемо відносні частоти і складемо емпіричну функцію розподілу:
Х i | 2 | 5 | 7 | 8 |
w i | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
Відповідь: рішення вище.