Завдання синтезу оптимальних систем управління

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Предмет: Теорія Автоматичного Управління
Тема:
ЗАВДАННЯ СИНТЕЗУ ОПТИМАЛЬНИХ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ

Завдання синтезу оптимальних систем управління

Статистичний синтез полягає в знаходженні та реалізації оптимальних у певному сенсі властивостей (структури і параметрів) системи за заданими статистичними характеристиками вхідних впливів.
Існують різні методи статистичної оптимізації. Розглянемо завдання, сформульовану Вінером-Колмогоровим.
Постановка завдання Вінера-Колмогорова.
e
K і (p)
K (p)
x
z
y
x 1
e

Дано: x (t) - корисний сигнал; z (t) - завада; K і (p) - оператор перетворення.
Рис. 1
Визначити: оптимальну передавальну функцію - K 0 (p).
Передавальна функція K 0 (p) повинна бути стійкою і фізично реалізується. Якщо корисний сигнал - x (t) і перешкода - z (t) представляють собою Гаусове випадкові процеси, то рішення може бути знайдене в класі лінійних стаціонарних систем, в іншому випадку рішення знаходиться в класі нелінійних систем.
Залежно від оператора К і (р) розглядаються наступні завдання:
К і (р) = 1 - відтворення;
К і (р) = 1 / р - статистичного інтегрування;
К і (р) = р - статистичного диференціювання;
К і (р) = - Статистичного попередження, екстраполяції, прогнозування.
Таким чином, завдання Вінера-Колмогорова вирішується при наступних припущеннях:
Сигнал і перешкода представляють собою гауссовских процесів.
Шукана система повинна належати до класу лінійних систем.
Критерій оптимальності - мінімум середньої квадратичної помилки.
Рішення: Визначимо вираз для середньої квадратичної помилки

Середня квадратична помилка дорівнює

Ми одержали деякий функціонал, в якому невідомо до (t). Необхідно знайти таке до (t), при якому помилка буде мінімальною.
Це завдання мінімізації функціонала: вона вирішується з використанням варіаційного аналізу.
Нехай
;

де: - Оптимальна функція ваги;
- Приріст.
Підставимо це у вихідне рівняння для помилки і отримаємо:
;
де А - функція, яка не залежить від а; В - функція, яка залежить від а; С - функція, яка залежить від а 2.
Знайдемо екстремум за параметром а

к (t)-оптимально якщо а = 0 тобто В = 0.

Звідки можна отримати такий вираз
(1)
Це інтегральне рівняння Вінера-Хопфа, оптимальна передатна функція повинна задовольняти цього рівняння.
Рішення рівняння Вінера-Хопфа.
Суворе рішення цього рівняння складно, вирішимо це рівняння простим шляхом запропонованим Шенноном. Рівнянню Вінера-Хопфа в частотній області відповідає такий вираз:
(2)
Звідки
(3)
Але це рівняння фізично нереалізовано так як до 0 (t) = 0 при t <0 тобто K 0 (j w) містить фізично реалізовану і нездійсненних частину.
Для виділення фізично реалізованої частини скористаємося властивістю формуючого фільтра.
Використовуючи операцію факторизації сумарну спектральну щільність сигналу і перешкоди можна представити у вигляді:
(4)
Використовуючи операцію розщеплення, представимо вираз для частотної характеристики оптимальної системи у вигляді реалізованої і нездійсненною частини
(5)
де [] + - реалізована частина; [] - нереалізована частина.
Визначимо

Відкинувши нездійсненною частину, можна записати наступний вираз для частотної характеристики оптимальної системи з урахуванням фізичної реалізованості:
(6)
Це формула Вінера-Колмогорова.

Приклади рішень завдань

Приклад 1. Розглянемо завдання фільтрації з відтворенням. Визначити оптимальну передавальну функцію - K 0 (p) стійкої і фізично реалізованої системи рис.2).
Дано: Корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t), що представляють собою Гаусове випадкові процеси.
K і (p) = 1;

K і (p)
K (p)
X
Z
Y
X 1

e
Рис. 2
Рішення: Так як корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t) представляють собою Гаусове випадкові процеси, то рішення може бути знайдене в класі лінійних стаціонарних систем.
Вираз для частотної характеристики оптимальної системи з урахуванням фізичної реалізованості має вигляд:

Так як сигнал і перешкода некорельованих і K і (p) = 1, то вираз має вигляд:

Визначимо К ф (j w)


Використовуючи операцію розщеплення, представимо вираз для частотної характеристики оптимальної системи у вигляді реалізованої і нездійсненною частини

При цьому

Значення А і В знайдемо методом невизначених коефіцієнтів

З урахуванням отриманих виразів

При цьому передатна функція являє апперіодіческое ланка

Де

Приклад 2. Розглянемо завдання фільтрації з диференціюванням. Визначити оптимальну передавальну функцію - K 0 (p) стійкої і фізично реалізованої системи рис.3.
Дано: Корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t), що представляють собою Гаусове випадкові процеси.
K і (p) = р;
K і (p)
K (p)
X
Z
Y
X 1


e


e
Рис. 3
Рішення: Так як корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t) представляють собою Гаусове випадкові процеси, то рішення може бути знайдене в класі лінійних стаціонарних систем.
Вираз для частотної характеристики оптимальної системи з урахуванням фізичної реалізованості має вигляд:

Так як сигнал і перешкода некоррелірованні то вираз має вигляд:


Визначимо К ф (j w)

де
Використовуючи операцію розщеплення, представимо вираз для частотної характеристики оптимальної системи у вигляді реалізованої і нездійсненною частини

Де

Значення А і В знайдемо методом невизначених коефіцієнтів


З урахуванням отриманих виразів

При цьому передатна функція являє апериодическое ланка

де

Література

1. Гуляєв В.І., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладні задачі теорії нелінійних коливань механічних систем, 1989.
2. Меркін Д.Р. Введення в теорію стійкості руху, 1985.
3. Светлицький В.А., Стасенко І.В. Збірник завдань з теорії коливань, 1973.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Програмування, комп'ютери, інформатика і кібернетика | Реферат
23.7кб. | скачати


Схожі роботи:
Використання корпоративних інформаційних систем систем класу MRPIIERP для управління виробництвом
Цілі і завдання інформаційних систем
Предмет і завдання психології управління
Дослідження систем управління 3
Дослідження систем управління 2
Удосконалення систем управління
Дослідження систем управління
Моделювання систем управління
Три завдання управління фінансовими потоками
© Усі права захищені
написати до нас