Предмет: Теорія Автоматичного Управління
Тема:
ЗАВДАННЯ СИНТЕЗУ ОПТИМАЛЬНИХ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ
Існують різні методи статистичної оптимізації. Розглянемо завдання, сформульовану Вінером-Колмогоровим.
Постановка завдання Вінера-Колмогорова.
Дано: x (t) - корисний сигнал; z (t) - завада; K і (p) - оператор перетворення.
Рис. 1
Визначити: оптимальну передавальну функцію - K 0 (p).
Передавальна функція K 0 (p) повинна бути стійкою і фізично реалізується. Якщо корисний сигнал - x (t) і перешкода - z (t) представляють собою Гаусове випадкові процеси, то рішення може бути знайдене в класі лінійних стаціонарних систем, в іншому випадку рішення знаходиться в класі нелінійних систем.
Залежно від оператора К і (р) розглядаються наступні завдання:
К і (р) = 1 - відтворення;
К і (р) = 1 / р - статистичного інтегрування;
К і (р) = р - статистичного диференціювання;
К і (р) = - Статистичного попередження, екстраполяції, прогнозування.
Таким чином, завдання Вінера-Колмогорова вирішується при наступних припущеннях:
Сигнал і перешкода представляють собою гауссовских процесів.
Шукана система повинна належати до класу лінійних систем.
Критерій оптимальності - мінімум середньої квадратичної помилки.
Рішення: Визначимо вираз для середньої квадратичної помилки
Середня квадратична помилка дорівнює
Ми одержали деякий функціонал, в якому невідомо до (t). Необхідно знайти таке до (t), при якому помилка буде мінімальною.
Це завдання мінімізації функціонала: вона вирішується з використанням варіаційного аналізу.
Нехай
;
де: - Оптимальна функція ваги;
- Приріст.
Підставимо це у вихідне рівняння для помилки і отримаємо:
;
де А - функція, яка не залежить від а; В - функція, яка залежить від а; С - функція, яка залежить від а 2.
Знайдемо екстремум за параметром а
к (t)-оптимально якщо а = 0 тобто В = 0.
Звідки можна отримати такий вираз
(1)
Це інтегральне рівняння Вінера-Хопфа, оптимальна передатна функція повинна задовольняти цього рівняння.
Рішення рівняння Вінера-Хопфа.
Суворе рішення цього рівняння складно, вирішимо це рівняння простим шляхом запропонованим Шенноном. Рівнянню Вінера-Хопфа в частотній області відповідає такий вираз:
(2)
Звідки
(3)
Але це рівняння фізично нереалізовано так як до 0 (t) = 0 при t <0 тобто K 0 (j w) містить фізично реалізовану і нездійсненних частину.
Для виділення фізично реалізованої частини скористаємося властивістю формуючого фільтра.
Використовуючи операцію факторизації сумарну спектральну щільність сигналу і перешкоди можна представити у вигляді:
(4)
Використовуючи операцію розщеплення, представимо вираз для частотної характеристики оптимальної системи у вигляді реалізованої і нездійсненною частини
(5)
де [] + - реалізована частина; [] - нереалізована частина.
Визначимо
Відкинувши нездійсненною частину, можна записати наступний вираз для частотної характеристики оптимальної системи з урахуванням фізичної реалізованості:
(6)
Це формула Вінера-Колмогорова.
Дано: Корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t), що представляють собою Гаусове випадкові процеси.
K і (p) = 1;
Рис. 2
Рішення: Так як корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t) представляють собою Гаусове випадкові процеси, то рішення може бути знайдене в класі лінійних стаціонарних систем.
Вираз для частотної характеристики оптимальної системи з урахуванням фізичної реалізованості має вигляд:
Так як сигнал і перешкода некорельованих і K і (p) = 1, то вираз має вигляд:
Визначимо К ф (j w)
Використовуючи операцію розщеплення, представимо вираз для частотної характеристики оптимальної системи у вигляді реалізованої і нездійсненною частини
При цьому
Значення А і В знайдемо методом невизначених коефіцієнтів
З урахуванням отриманих виразів
При цьому передатна функція являє апперіодіческое ланка
Де
Приклад 2. Розглянемо завдання фільтрації з диференціюванням. Визначити оптимальну передавальну функцію - K 0 (p) стійкої і фізично реалізованої системи рис.3.
Дано: Корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t), що представляють собою Гаусове випадкові процеси.
K і (p) = р;
Рис. 3
Рішення: Так як корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t) представляють собою Гаусове випадкові процеси, то рішення може бути знайдене в класі лінійних стаціонарних систем.
Вираз для частотної характеристики оптимальної системи з урахуванням фізичної реалізованості має вигляд:
Так як сигнал і перешкода некоррелірованні то вираз має вигляд:
Визначимо К ф (j w)
де
Використовуючи операцію розщеплення, представимо вираз для частотної характеристики оптимальної системи у вигляді реалізованої і нездійсненною частини
Де
Значення А і В знайдемо методом невизначених коефіцієнтів
З урахуванням отриманих виразів
При цьому передатна функція являє апериодическое ланка
де
2. Меркін Д.Р. Введення в теорію стійкості руху, 1985.
3. Светлицький В.А., Стасенко І.В. Збірник завдань з теорії коливань, 1973.
Тема:
ЗАВДАННЯ СИНТЕЗУ ОПТИМАЛЬНИХ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ
Завдання синтезу оптимальних систем управління
Статистичний синтез полягає в знаходженні та реалізації оптимальних у певному сенсі властивостей (структури і параметрів) системи за заданими статистичними характеристиками вхідних впливів.Існують різні методи статистичної оптимізації. Розглянемо завдання, сформульовану Вінером-Колмогоровим.
Постановка завдання Вінера-Колмогорова.
e |
K і (p) |
K (p) |
x |
z |
y |
x 1 |
e |
Дано: x (t) - корисний сигнал; z (t) - завада; K і (p) - оператор перетворення.
Рис. 1
Визначити: оптимальну передавальну функцію - K 0 (p).
Передавальна функція K 0 (p) повинна бути стійкою і фізично реалізується. Якщо корисний сигнал - x (t) і перешкода - z (t) представляють собою Гаусове випадкові процеси, то рішення може бути знайдене в класі лінійних стаціонарних систем, в іншому випадку рішення знаходиться в класі нелінійних систем.
Залежно від оператора К і (р) розглядаються наступні завдання:
К і (р) = 1 - відтворення;
К і (р) = 1 / р - статистичного інтегрування;
К і (р) = р - статистичного диференціювання;
К і (р) =
Таким чином, завдання Вінера-Колмогорова вирішується при наступних припущеннях:
Сигнал і перешкода представляють собою гауссовских процесів.
Шукана система повинна належати до класу лінійних систем.
Критерій оптимальності - мінімум середньої квадратичної помилки.
Рішення: Визначимо вираз для середньої квадратичної помилки
Середня квадратична помилка дорівнює
Ми одержали деякий функціонал, в якому невідомо до (t). Необхідно знайти таке до (t), при якому помилка буде мінімальною.
Це завдання мінімізації функціонала: вона вирішується з використанням варіаційного аналізу.
Нехай
де:
Підставимо це у вихідне рівняння для помилки і отримаємо:
де А - функція, яка не залежить від а; В - функція, яка залежить від а; С - функція, яка залежить від а 2.
Знайдемо екстремум за параметром а
к (t)-оптимально якщо а = 0 тобто В = 0.
Звідки можна отримати такий вираз
Це інтегральне рівняння Вінера-Хопфа, оптимальна передатна функція повинна задовольняти цього рівняння.
Рішення рівняння Вінера-Хопфа.
Суворе рішення цього рівняння складно, вирішимо це рівняння простим шляхом запропонованим Шенноном. Рівнянню Вінера-Хопфа в частотній області відповідає такий вираз:
Звідки
Але це рівняння фізично нереалізовано так як до 0 (t) = 0 при t <0 тобто K 0 (j w) містить фізично реалізовану і нездійсненних частину.
Для виділення фізично реалізованої частини скористаємося властивістю формуючого фільтра.
Використовуючи операцію факторизації сумарну спектральну щільність сигналу і перешкоди можна представити у вигляді:
Використовуючи операцію розщеплення, представимо вираз для частотної характеристики оптимальної системи у вигляді реалізованої і нездійсненною частини
де [] + - реалізована частина; [] - нереалізована частина.
Визначимо
Відкинувши нездійсненною частину, можна записати наступний вираз для частотної характеристики оптимальної системи з урахуванням фізичної реалізованості:
Це формула Вінера-Колмогорова.
Приклади рішень завдань
Приклад 1. Розглянемо завдання фільтрації з відтворенням. Визначити оптимальну передавальну функцію - K 0 (p) стійкої і фізично реалізованої системи рис.2).Дано: Корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t), що представляють собою Гаусове випадкові процеси.
K і (p) = 1;
K і (p) |
K (p) |
X |
Z |
Y |
X 1 |
|
Рішення: Так як корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t) представляють собою Гаусове випадкові процеси, то рішення може бути знайдене в класі лінійних стаціонарних систем.
Вираз для частотної характеристики оптимальної системи з урахуванням фізичної реалізованості має вигляд:
Так як сигнал і перешкода некорельованих і K і (p) = 1, то вираз має вигляд:
Визначимо К ф (j w)
Використовуючи операцію розщеплення, представимо вираз для частотної характеристики оптимальної системи у вигляді реалізованої і нездійсненною частини
При цьому
Значення А і В знайдемо методом невизначених коефіцієнтів
З урахуванням отриманих виразів
При цьому передатна функція являє апперіодіческое ланка
Де
Приклад 2. Розглянемо завдання фільтрації з диференціюванням. Визначити оптимальну передавальну функцію - K 0 (p) стійкої і фізично реалізованої системи рис.3.
Дано: Корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t), що представляють собою Гаусове випадкові процеси.
K і (p) = р;
K і (p) |
K (p) |
X |
Z |
Y |
X 1 |
|
|
Рішення: Так як корисний сигнал - X (t) і перешкода - Z (t) представляють собою Гаусове випадкові процеси, то рішення може бути знайдене в класі лінійних стаціонарних систем.
Вираз для частотної характеристики оптимальної системи з урахуванням фізичної реалізованості має вигляд:
Так як сигнал і перешкода некоррелірованні то вираз має вигляд:
Визначимо К ф (j w)
де
Використовуючи операцію розщеплення, представимо вираз для частотної характеристики оптимальної системи у вигляді реалізованої і нездійсненною частини
Де
Значення А і В знайдемо методом невизначених коефіцієнтів
З урахуванням отриманих виразів
При цьому передатна функція являє апериодическое ланка
де
Література
1. Гуляєв В.І., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладні задачі теорії нелінійних коливань механічних систем, 1989.2. Меркін Д.Р. Введення в теорію стійкості руху, 1985.
3. Светлицький В.А., Стасенко І.В. Збірник завдань з теорії коливань, 1973.