Від загальних порад до приватних. Починати треба з загальних питань, з загальних порад, тобто саме з тих, які були наведені вище. Може виявитися, що загальні питання не нададуть допомоги одному з учнів. Тоді треба звернутися до додаткових, більш приватним питань, так щоб дійти до питань, що відповідають рівню розвитку та математичної підготовки учня. Переходити до приватних, конкретних питань треба поступово, щоб на долю учня дісталася найбільша частина роботи з вирішення завдання. Задаючи більш приватні, додаткові запитання, потрібно враховувати наступне: запитання повинні бути такими, щоб вони направляли думку учня в потрібну сторону, змушуючи його активно мислити над вирішенням завдання. Зрозуміло, пропонуючи питання учням, треба надати час на обдумування відповідей на ці питання.

Загальні вміння щодо вирішення завдань

Уміння самостійно вирішувати завдання - важливе вміння не тільки для тих, хто буде в подальшому житті займатися математикою, але і для всіх учнів. Людині в повсякденному житті доводиться постійно вирішувати задачі і навіть ставити їх, правда, вони трохи відрізняються від шкільних завдань, іноді своєю невизначеністю, іноді нерозв'язність. Уміння організувати пошук - риса активної, самостійної особистості. Уміння самостійно вирішувати задачі є показником високого інтелектуального розвитку. На жаль, у шкільній практиці досить часто можна спостерігати відсутність цього вміння. З яких складових, з яких окремих умінь складається загальне вміння розв'язувати задачі?
Це:
• вміння проводити аналіз умови задачі;
• вміння застосовувати вивчену теорію (визначення, теорему, правило) на практиці; це вміння передбачає впізнавання можливості застосування теорії та власне застосування, тому теорема, визначення, правило приймають свідомості вид алгоритму або розпорядження, за яким відбувається дія;
• вміння виділяти основну ідею у вирішенні окремого завдання, знаходити спільне в рішенні декількох завдань і переносити цю ідею, це загальне на нове завдання;
• уміння по самооцінці своєї діяльності, самоконтролю.
Як можна формувати вміння аналізувати умову задачі? Щоб навчитися аналізувати умову задачі, аналіз завдання повинен стати метою навчання, що вимагає виконання спеціальних завдань не за рішенням завдань, а тільки з аналізу їх умови. Щонайменше, етап аналізу умови задачі повинен бути спеціально виділений в процесі вирішення, і учні повинні мати орієнтовну основу проведення етапу аналізу. Аналізу умови задачі слід навчати у всіх розділах шкільного курсу математики: в арифметиці, алгебрі, геометрії. Як вже було зазначено, аналіз умови задачі полягає у виділенні даних і шуканих, у з'ясуванні значення кожного слова, у з'ясуванні структури завдання: яка і скільки ситуацій, об'єктів розглядаються, які величини входять у розгляд, яке співвідношення між величинами в даній задачі, яка інформація мається на умови завдання в прихованому вигляді.
Навчання короткої записи умови задачі - це і є навчання аналізу умови. Коротка запис-це модель тексту завдання, матеріалізована форма проведення дії аналізу умови. Цьому слід навчати спеціально. Найбільш поширеною формою запису умови є запис окремих ситуацій, наприклад, наступним чином:
I день - 273 стор
П день - в 7 разів менше
III день - на 45 стор більше
а також у вигляді креслень, діаграм, малюнків (див. рис.).

Рис. Коротка запис умови:
Дано: АВС, АВ = ВС, AD = DВ, BE = EC.
Довести: АЕ = CD - це теж матеріалізована форма аналізу умови задачі, у якій поняття замінені їх визначеннями.
При вирішенні кожного завдання, спосіб вирішення якої невідомий, використовуються синтетичний і аналітичний методи - відбувається зустрічний процес ot даних до вимоги (синтез) і від вимог до даних (аналіз). На якомусь кроці встановлюється зв'язок цих двох процесів - знаходиться відсутній елемент, ставлення - завдання виконане.
До якого б розділу математики завдання не відносилася, при її вирішенні відбувається отримання наслідків з умови, якісь умови заміняються еквівалентними, переформульовуються, набувають більш зручний для операцій вигляд, якісь умови зв'язуються. Встановлення зв'язків між даними відбувається не хаотично, а після з'ясування відносин між даними під впливом проміжних і остаточних цілей. Знаходження нових величин, відносин носить цілеспрямований характер. Алгоритмів навчання творчості немає, проте зустрічному руху від даних до вимоги і від вимоги до умови можна навчати. Можна спеціально навчати отриманню наслідків, переформулированию, вирішення завдань з кінця, іншим евристика, демонструючи їх, акцентуючи на них увагу, підбираючи спеціальні завдання.
Формуванню вміння аналізувати умову задачі сприяє виконання зворотних завдань: скласти завдання з короткою схемою.
Починати пошук рішення задачі можна лише тоді, коли її умову повністю зрозуміле. Самоконтролем на цьому етапі є переказ умови, підрахунок даних і вимоги, перевірка схем.
При здійсненні пошуку основної ідеї завдання триває виявлення прихованих відносин, структури завдання: розглядаються під зручним кутом зору дані і вимоги, відбувається зіставлення розв'язуваної задачі з раніше вирішеними, конструюється модель завдання відповідно до висунутою гіпотезою, здійснюється уявний експеримент, залучаються різні евристики.
У чому полягає діяльність з самоконтролю при аналізі умови задачі? При аналізі умови, як відомо, здійснюється наступна діяльність: виділення даних і вимог, з'ясування сенсу термінів; виділення об'єктів, ситуацій і величин, їх характеризують; моделювання ситуацій за допомогою таблиць, креслення, короткої записи умови завдання.
При цьому самоконтроль здійснюється при переказі тексту завдання своїми словами для з'ясування, не забуто чи будь-яке дане, кожне чи слово в тексті зрозуміле. Якщо умову задачі моделюється за допомогою креслення, таблиці, то необхідно перевірити, чи кожному даному знайшлося місце в цій моделі. Для того щоб перевірити, чи правильно зрозуміле умова, можна рекомендувати відновити текст завдання з короткої запису, моделі, креслення.
Вся ця діяльність спрямована на те, щоб з'ясувати, що завдання зрозуміла цілком і правильно, структура завдання виділена і утримується в пам'яті. Це забезпечується навчанням учнів проводити аналіз умов завдання.
При висуненні гіпотези щодо можливого рішення самоконтроль полягає в тому, що вирішального необхідно довести собі, що вибір шляху зроблено правильно: що за допомогою обраної теореми, правила, прийому, визначення можна довести рішення задачі до логічного кінця; що завдання підходить під певний тип, припис для якого є; що обрана евристика дозволяє намітити хід виконання завдання. Якщо ситуацію не можна підвести під відомий прийом, якщо використана евристика заводить у глухий кут, якщо використана теорія не дозволяє довести рішення задачі до кінця, необхідно відмовитися від наміченого плану і продовжити аналіз умови і залучення нових ідей.
Чи можна навчати учнів самоконтролю на цьому етапі?
Діяльності самоконтролю на етапі пошуку плану виконання завдання можна навчати, розкриваючи цю діяльність, показуючи, як учитель виходить зі скрутних ситуацій, які виникають при пошуку рішення завдання. На етапі реалізації отриманого рішення діяльність вирішального полягає в застосуванні виділених евристик, прийомів, правил, визначень, і при цьому самоконтроль проявляє себе як покроковий, поопераційний самоконтроль. Покроковому контролю учень навчається в рамках формування різних прийомів навчальної роботи і розумових дій, під час навчання використанню визначень, правил, теорем.
На раніше перерахованих етапах виконання завдання самоконтроль проявляє себе як природна невідривна складова пошукової діяльності, яка може і не усвідомлювати вирішальним.
Останньому етапу розв'язання задачі - перевірці і дослідженню отриманого рішення присвоєно особливий статус етапу, на якому здійснюється самоконтроль.
У методиці викладання математики виділені різні форми самоконтролю, що проводяться після завершення етапу реалізації наміченого плану. Наведемо приклади таких форм.
1.Проверка за допомогою окремого випадку. Наприклад, якщо при вирішенні нерівності отримано деякий числовий проміжок, то можна перевірити деякі конкретні значення змінної з цього проміжку.
2. Перевірка збігу розмірності відповіді з вимогою завдання. Наприклад, при знаходженні шляху значення швидкості (км / год) множиться на значення часу (ч). Множення найменувань має дати найменування довжини (км).
3. Перевірка симетричності відповіді, якщо в умові завдання якісь дані симетричні. Наприклад, якщо рівняння, що входять в систему, симетричні відносно змінних, то і знайдені значення різних змінних повинні бути рівні.
4. Перевірка відповіді по здоровому глузду. Наприклад, швидкість пішохода не може бути рівної 15 км / год , Кількість робітників не може бути дробовим і т. д.
5. Перевірка за допомогою грубої прикидки. При цьому дані грубо округлюються і з'ясовується порядок можливого результату.
6. Перевірка за допомогою оберненої задачі або за допомогою іншого способу розв'язання.
7. Перевірка текстових задач, вирішених за допомогою складання рівняння, за змістом. При цьому необхідно, щоб всі проміжні величини, що залежать від х, які з'являються в результаті виконання завдання, мали б сенс при отриманому значенні змінної.
Наведені форми перевірки, крім 6, не дають повної гарантії правильно знайденого і виконаного рішення, але, тим не менш, з ними корисно ознайомити учнів.
У роботах, присвячених самоконтролю, пропонується наступна етапність у формуванні самоконтролю: контроль за діяльністю вчителя, взаємоконтроль - контроль учнів за діяльністю товариша, контроль за власною діяльністю. При цьому мова, як правило, йде про контроль над виконавською діяльністю. Така послідовність має достатню підставу. Діяльність контролю полягає в співставленні, у порівнянні двох дій: свого і контрольованого, а не просто у виконанні дії. Ще важче подивитися під новим кутом зору на своє виконання дії.
3. Класифікація задач. Роль алгоритмів і евристик у навчанні вирішення завдань
У сучасній методичній та психологічній літературі прийнята класифікація завдань. За характером вимоги:
- Завдання на доказ;
- Задачі на побудову;
- Завдання на обчислення.
За функціональним призначенням:
- Завдання з дидактичними функціями;
- Завдання з пізнавальними функціями;
- Завдання з розвиваючими функціями.
За величиною проблемності:
- Стандартні;
- Навчальні;
- Пошукові;
- Проблемні.
За методами рішення:
- Завдання на геометричні перетворення;
- Завдання на вектори і ін
За кількістю об'єктів в умові завдання та зв'язків між ними:
- Прості;
- Складні.
За компонентам навчальної діяльності:
- Організаційно-дієві;
- Стимулюючі;
- Контрольно-оцінні.
Крім того, розрізняють завдання: стандартні і нестандартні; теоретичні та практичні; усні і письмові; однокрокові, Двокрокове та ін; усні, полуустние, письмові і т.д.
При організації процесу навчання учнів розв'язання математичних задач вчитель стикається з питаннями: завдання якої складності запропонувати учням, чи знайомі школярі з тими діями, які потрібно застосувати при вирішенні завдань і т.п.
Якщо взяти за основу наступну класифікацію завдань: на обчислення, на доказ, на побудову, на дослідження, то такий поділ не може бути інструментом у навчанні школярів рішенню завдань, тому що завдання цих видів не відрізняються один від одного рівнем складності, характером діяльності людини по їх вирішення. Наприклад, в задачах на обчислення і побудова доводиться багато доводити, а в задачах на побудову і доказ доводиться багато дослідити і т.д., тому така класифікація завдань нічого не дає. Крім того, завдання ділять на правильні, з суперечливими даними, з зайвими даними, теоретичні та практичні, стандартні і нестандартні і т.д.
У задачі виділяють основні компоненти:
1. Умова - початковий стан;
2. Базис рішення - теоретичне обгрунтування рішення;
3. Рішення - перетворення умови задачі для знаходження необхідного висновком шуканого;
4. Висновок - кінцевий стан.
Математичними вважаються всі завдання, в яких перехід від початкового стану (1) до кінцевого (4) здійснюється математичними засобами, тобто математичним характером компонентів: обгрунтування (2) і рішення (3).
Якщо всі компоненти завдання (умова, обгрунтування, рішення, висновок) - математичні об'єкти, то завдання називається чисто математичної, якщо математичними є тільки компоненти рішення і базис рішення, то завдання називається прикладної математичної завданням.
На основі розглянутої моделі загального поняття задачі та її основних компонентів будують дидактично спрямовану модель типологічних особливостей задачі, що залежать від того, на якому етапі навчання це завдання пред'явлена ​​учням, якими знаннями та досвідом мають школярі в момент її пред'явлення, в якій формі сформульовано задачу і т . д.
Проблемний характер задачний системи визначається тим, які з основних компонентів завдання невідомі.
Стандартної називається завдання, в якій чітко визначено умову, відомі спосіб рішення та його обгрунтування, а також дані вправи на відтворення відомого. Завдання називається навчальною, якщо в ній невідомий або погано визначений один з основних компонентів. Якщо невідомі два компоненти, завдання назевается пошукової, а якщо три - проблемною.
Якщо розглядати завдання як об'єкт розумової діяльності учнів, важливо враховувати характер зв'язків між елементами задачі, співвідношення між відтворюючої і творчою діяльністю учнів при вирішенні завдань, яке багато в чому визначається зазначеними зв'язками.
Класифікація завдань, що враховує характер зв'язків між елементами задачі, співвідношення між відтворюючої і творчою діяльністю учнів:
- Алгоритмічні завдання;
- Полуалгорітміческіе завдання;
- Евристичні задачі.
Алгоритмічні завдання - завдання, які вирішуються за допомогою безпосереднього застосування визначення, теореми, тобто для вирішення яких є алгоритм. Наприклад, завдання на знаходження гіпотенузи у прямокутному трикутнику за відомими катетів за формулою Піфагора. Застосування алгоритму швидко і легко призводить до бажаного результату.
Полуалгорітміческіе завдання - завдання, правила вирішення яких носять узагальнений характер і не можуть бути повністю зведені до об'єднання елементарних актів. Зв'язки між елементами цих завдань легко виявляються учнями. Полуалгорітміческіе завдання у ролі підзадач містять алгоритмічні завдання. Наприклад, відомі дві сторони трикутника і висота, опущена на третю сторону. Необхідно знайти периметр трикутника.
Вирішуючи полуалгорітміческіе завдання, учень навчається «згортати» знання, фіксуючи їх у свідомості великими блоками. При цьому він починає застосовувати засвоєні алгоритми в різних ситуаціях.
Евристичні завдання - завдання, для вирішення яких необхідно виявити деякі приховані зв'язки між елементами умови та вимоги або знайти спосіб вирішення, причому цей спосіб не є очевидною конкретизацією деякого узагальненого правила, відомого учневі, або зробити і те й інше. Наприклад, відомі сторони трикутника. Потрібно знайти відстань від середини висоти, проведеної до меншій стороні, до більшої сторони трикутника.
При вирішенні евристичних завдань учень повинен використовувати евристичні прийоми і методи.
Алгоритмічні методи вирішення завдань
Значна кількість завдань передбачає при своєму рішень не творчу діяльність, а застосування в основному певного правила, формули, визначення, теореми.
Наприклад, для вирішення будь-якого рівняння першого ступеня необхідно відомі складові перенести в праву частину, а доданки, що містять невідомі, перенести в ліву частину, привести подібні члени і обидві частини рівняння розділити на коефіцієнт при невідомому, якщо він відмінний від нуля. Якщо він дорівнює нулю, то надходять відомим чином.
Наведене правило - розпорядження алгоритмічного типу, або алгоритм розв'язання лінійного рівняння. Правила порівняння чисел, дій над числами в різних числових множинах, рішення лінійних, квадратних рівнянь, нерівностей - все це приклади алгоритмів. Під алгоритмом розуміється точне общепонятном припис про виконання в певній послідовності операцій для вирішення будь-якої із завдань, що належать деякому класу.
Алгоритм може бути заданий у вигляді таблиці, правила, формули, визначення, опису. Алгоритм може регламентувати дію з різним ступенем подробиці - згорнута, в залежності від того, кому він призначається. Якщо алгоритм пред'явлений у формі послідовності команд, то це готова програма дії. Наведемо приклад. Щоб скласти десяткові дробу, потрібно: 1) зрівняти в цих дробах кількість знаків після коми; 2) записати їх один під одним так, щоб кома була записана під коми; 3) виконати додавання, не звертаючи уваги на кому; 4) поставити у відповіді кому під комою в даних дробах (Віпенкін М.Я. та ін Математика 5 - М., 2000).
Якщо алгоритм заданий у вигляді формули, правила, таблиці, визначення, то програми немає. Її потрібно створити вирішального завдання. Розглянемо як приклад визначення рішення системи нерівностей зі змінною як значення змінної, при якому кожне з нерівностей системи звертається в правильне числове нерівність. Визначення передбачає такі кроки рішення системи нерівностей: 1) вирішити кожне нерівність, 2) знайти перетин отриманих множин.
Алгоритми можна розділити на алгоритми розпізнавання і перетворення. Ознаки подільності, розглянуті раніше алгоритми підведення під визначення і під поняття є прикладами алгоритмів розпізнавання. Алгоритми із застосування формул є алгоритмом »перетворення. Однак при застосуванні конкретної формули, наприклад, квадрата суми двох чисел, спочатку відбувається впізнавання формули, доказ того, що вибір формули зроблений правильно, а потім проводиться власне перетворення: актуалізація формули і використання її по кроках. Описана діяльність складається з наступних кроків: 1) знайти перший член двочлена, 2) знайти другий член двочлена, 3) підняти перший член двочлена в квадрат, 4) скласти твір першого і другого членів двочлена; 5) подвоїти результат попереднього кроку; 6) підняти другий член двочлена в квадрат; 7) результати третього, п'ятого і шостого кроків скласти.
Значна кількість різних правил у шкільних підручниках математики останнім часом повідомляється учням у формі алгоритму з виділеної послідовністю кроків. Використання правила в цьому випадку представляє собою меншу складність для учнів, ніж використання правила при відсутності виділених кроків або якщо якісь операції - кроки дії в приписі пропущені, лише маються на увазі і повинні бути заповнені учнями самостійно.
Розглянемо правило додавання чисел з різними знаками в такій формі: щоб скласти два числа з різними знаками, треба: 1) з більшого модуля відняти менший; 2) поставити перед одержаним числом знак того доданка, модуль якого більше.
Цей алгоритм вимагає від школяра доопрацювання, тому що в ньому не позначені кроки: знайти модуль кожного числа; порівняти модулі і виділити число з великим модулем; визначити знак числа, що має більший модуль. Ці кроки окремими учнями легко виконуються, а для інших їх виділення представляє істотні труднощі.
В окремих випадках операції, що входять до складу дій, наведені в підручниках в описовій формі або показані на прикладах, і для здійснення дій учням потрібно виділити операції - окремі кроки дії самостійно, як, наприклад, при складанні пропорцій при використанні подібності трикутників.
Проблема складання алгоритмів з вивченого матеріалу пов'язана з низкою найважливіших проблем навчання математики: застосування теоретичних знань на практиці та розвиток алгоритмічного мислення. Під алгоритмічним мисленням розуміється особливий аспект культури мислення, що характеризується вмінням складати і використовувати різні алгоритми.
Складанню, виділенню алгоритмів необхідно спеціально навчати.
Це може відбуватися за допомогою проведення узагальнень при вирішенні кількох аналогічних завдань. Необхідно навчати читання формул словами, необхідно навчати переходу від мовної, форми в аналітичну і назад, необхідно навчати будувати програми дій у тих випадках, коли матеріал в книзі або в оповіданні пред'явлений в описовій формі. Це і буде означати навчання застосуванню теоретичних знань на практиці та розвиток алгоритмічного мислення. Необхідно також навчати розгортати, доповнювати алгоритми, пред'явлені в готовій формі.
При використанні готових алгоритмів доцільно користуватися компактним методом. Метод полягає в тому, що (алгоритм) правило вимовляється по частинах, на які воно розбите за змістом, і кожна операція виконується слідом за проголошенням відповідного тексту (приклад приведіть самостійно). Тим самим забезпечується свідоме засвоєння відповідного правила. Компактний метод протиставляється роздільного, коли проголошення правила цілком і його застосування слідують один за одним.
Друга рекомендація щодо використання алгоритмів випливає з положень теорії діяльності. Вона полягає у вимозі проведення всіх операцій, які у алгоритмі (правилі) в зовнішньому плані в розгорнутій формі, тобто в написанні та вимові всіх операцій без пропусків.
Типові (полуалгорітміческіе) завдання і методи їх вирішення
Розглянемо два завдання, які можна вирішити за допомогою однієї і тієї ж теоретичної бази - за допомогою векторів.
ЗАВДАННЯ 1. Довести, що діагоналі ромба перпендикулярні.
Нехай ABCD - ромб. Для доказу введемо два неколінеарних вектора: ВА і ВС і висловимо вектори АС і В D, розташовані на діагоналях, через введені:

Щоб довести перпендикулярність векторів АС і BD, достатньо довести рівність нулю їх скалярного твору.


Рівність нулю скалярного добутку двох ненульових векторів говорить про те, що косинус кута між ними дорівнює 0 °, а значить, кут між векторами - прямий, тобто прямі, на яких розташовуються аналізовані вектори, перпендикулярні.
ЗАВДАННЯ 2. Довести за допомогою векторів властивість середньої лінії трапеції.
Нехай АВСО - трапеція, точки Е і F-середини відрізка АВ і CD відповідно.
Введемо вектори і висловимо вектор EF з двох багатокутників:
; .
Складемо почленно отримані рівності:
,
.
Остання рівність можна інтерпретувати в такий спосіб: оскільки вектори ВС і AD колінеарні за визначенням трапеції, то й вектор EF також коллінеарен їм, тому що є лінійною комбінацією цих векторів, а значить, відрізок EF паралельний підставах трапеції. Т. до вектори ВС і AD сонаправлени, то довжина вектора дорівнює сумі довжин векторів ВС і AD і, отже, довжина вектора EF дорівнює напівсумі довжин векторів НД я AD. А значить, довжина відрізка EF відповідно дорівнює напівсумі довжин відрізків ВС і AD.
Що можна помітити на прикладі рішення наведених двох завдань? При їх вирішенні можна виділити однакову схему - однакові кроки рішення, а саме:
введення зручним чином векторів;
переформулювання умови і вимоги задачі на мову векторів;
рішення знову сформульованої задачі за допомогою векторного апарату (визначень, законів дій і т. д.);
інтерпретування результатів, отриманих на мові векторів, на звичайний геометричний мову.
За виділеної схемою вирішується як перша, так і друге завдання. За цією ж схемою за допомогою векторного апарата можна вирішити багато геометричні задачі. Перераховані кроки утворюють прийом рішення задач векторним методом.
Цей прийом вчитель може представити учням у готовому вигляді. Але більшу пізнавальну цінність має робота по самостійному виділенню учнями під керівництвом вчителя кроків наведеного прийому. Деякі методисти негативно ставляться до рішення типових завдань як до натаскування. Проте учні, знайомі з прийомом, вміють вирішити не одну конкретну задачу, а цілий клас задач, до яких вони підходять з більш високих позицій узагальнення навчального матеріалу. Матеріал краще структурується, підвищуються його рівень системності, можливості учнів при вирішенні завдань. Учень, який не володіє найбільш поширеними типами завдань, не зможе вирішити жодної нестандартної задачі або буде робити це зі значно більшим зусиллям, ніж той, у кого в запасі володіння багатьма типами задач.
Чотири виділених кроку утворюють прийом за рішенням задач даного типу. Цей прийом можна віднести до полуалгорітміческім прийомам, оскільки знання його не обов'язково призведе вирішального до отримання вірного результату, але може істотно полегшити пошук. Алгоритмічні приписи є тією базою, володіння якої полегшує вирішення завдань.
В даний час вчителями та методистами розроблено багато готових прийомів вирішення завдань, але залишилося місце і для творчості.
Як організувати роботу з виділення прийому вирішення завдань і його застосування? Підготовка до прийому може бути організована задовго до явного введення самого прийому. Учні розв'язують задачі, а вчитель намагається акцентувати їх увагу на засобах рішення, на послідовності одних і тих же кроків. Цей період можна назвати пропедевтичної, підготовчим у формуванні прийому. Наступний етап - етап явного введення прийому (приписи) з допомогою учнів на основі порівняння процесів вирішення виділених задач. Далі організовується робота по закріпленню кроків приписи та застосування всього прийому.
Самостійно складене вчителем припис вимагає попередньої перевірки на вирішенні кількох завдань та внесення в нього при необхідності коригування.
В якості ще одного прикладу наведемо припис щодо вирішення завдань за допомогою складання рівнянь.
1. Визнач, скільки і які об'єкти, процеси, ситуації розглядаються в задачі.
2. Вкажи величини, які характеризують кожний об'єкт, кожен процес, ситуацію.
3. Встанови залежності, що існують між виділеними величинами.
4. Вкажи, які з виділених величин відомі.
5. Вкажи невідомі величини,
6. Визнач залежності між невідомими величинами.
7. Вибери одну з невідомих за x раціональним чином.
8. Вирази інші невідомі через х.
9. Виділи умова, що залишився для складання рівняння.
10. Склади рівняння і якби його.
11. Зроби перевірку і запиши відповідь.
Розглянемо застосування приписи на конкретному прикладі.
ЗАВДАННЯ. З пункту А виїхав велосипедист. Одночасно слідом за ним з пункту В, віддаленого від А на відстані 20 км , Виїхав мотоцикліст. Швидкість велосипедиста 12 км / год , Мотоцикліста 16 км / год . На якій відстані від пункту А мотоцикліст наздожене велосипедиста?
Відповідь на перше питання приписи передбачає появу двох рядків таблиці:

Учасники

Велосипедист

Мотоцикліст

Відповідь на друге запитання приписи обгрунтовує поява трьох стовпців таблиці:

Учасники	Швидкість, км / год	Час, год	Відстань, км
Велосипедист
Мотоцикліст

При відповіді на третє питання учні можуть в усній формі вказати залежності між виділеними величинами. В окремих випадках можлива їх письмова запис. При відповіді на четверте запитання в таблицю вносяться два числових значення швидкості - 12 і 16 км / год . Відповідь на п'яте питання припускає розстановку знаків питання у таблиці замість всіх інших величин. Відповідь на шосте питання доповнює таблицю двома відносинами:

Учасники	Швидкість, км / год	Час, год	Відстань, км
Велосипедист	12	?	? на 20 менше
Мотоцикліст	16	?	? =

Шостим кроком приписи закінчується аналіз умови задачі, заповнивши таблицю, учень сприйняв структуру задачі і виділив її умови.
Відповіді на питання 7-9 допомагають учневі в побудові другої таблиці, яка приводить його до складання рівняння:

Учасники.	Швидкість, км / год	Час, год	Відстань, км
Велосипедист	12	X	12х на 20 менше
Мотоцикліст	16	X	16х

Без пропедевтики наведеного прийому, без спеціального навчання учнів виділенню процесів, величин, їх характеризують, встановлення взаємозв'язків між ними, складання і зрівнювання виразів введення прийому недоцільно.
На закінчення можна додати, що підготовка учнів до введення наведеного приписи, саме введення і навчання користуватися їм можуть здійснюватися вчителем на будь-якому відповідному матеріалі.
Спробуйте самостійно побудувати стратегію навчання учнів цього прийому на різних етапах його формування: на підготовчому етапі, на етапі введення в явному вигляді і на етапі закріплення.
Навчання відповідним прийомам - найбільш ефективний шлях навчання вирішення завдань різних типів.

Евристичні методи розв'язання задач

Завдання можна розділити на стандартні і нестандартні. Нестандартна завдання - це завдання, вирішення якої не є для вирішального відомої ланцюгом відомих дій. Для її вирішення учень сам повинен винайти (скласти, придумати) спосіб рішення.
Як здійснюється пошук рішення нової, нестандартної задачі? Універсальної відповіді на це питання немає. Однак у кожному завданню, як у клубку ниток, можна виявити ту ниточку, потягнувши за яку, можна розплутати весь клубок. Такий ниточкою є основна ідея рішення, один із загальних методів рішення, які прийнято називати евристиками. Евристиками називаються і окремі методи вирішення завдань, і вчення про загальні методи пошуку розв'язання задач. Евристичний метод-прийом рішення задачі не є прийомом в повному сенсі цього слова - системою певних операцій. Це, як вже сказано, основна ідея рішення задачі. Знання евристик не дає гарантії того, що буде вирішена будь-яке завдання. Евристики лише допомагають кваліфіковано робити спроби пошуку рішення. При вирішенні деяких завдань може бути використано кілька евристик. Вчителю необхідно знання евристик для того, щоб допомогти учням виявити їх у власній (учнів) діяльності, розібратися в сутності методів і навчитися ними користуватися. Наведемо приклади найбільш часто використовуваних евристик і відповідно завдань, які вирішуються з їх допомогою.
Найбільш часто використовується евристикою є метод висхідного аналізу - вирішення задачі з кінця, від вимоги - до умови. Ця евристика усвідомлено або неусвідомлено, більшою чи меншою мірою використовується при вирішенні будь-якої задачі.
ЗАВДАННЯ. Довести, що в прямокутному трикутнику бісектриса кута ділить навпіл кут між медіаною і висотою, проведеними до гіпотенузі (див. рис.).
При використанні методу аналізу постійно відшукується відповідь на питання, що досить знайти, довести, щоб відповісти на запитання. Щоб довести рівність кутів ОВК і КВМ, достатньо довести рівність кутів АВМ і СВО. А так як кути МВА і ВАМ рівні, то для доказу рівності кутів СВО та МВА достатньо довести рівність кутів СВО і CAB. А довести рівність цих кутів вже не важко .
Досить універсальною є й інша евристика - переформулювання. Суть цього евристичного прийому полягає в тому, що умови або вимоги, а можливо, те й інше одночасно, замінюються на нові, еквівалентні наявними, але дозволяють спростити пошук рішення. У найпростіших випадках переформулировка - це заміна терміну його змістом. Розглянемо на прикладі цю евристику.
ЗАВДАННЯ. Довести, що середини підстав трапеції, точка перетину діагоналей і продовжень бічних сторін лежать на одній прямій.
Виявляється, що пошук рішення задачі полегшується, якщо завдання сформулювати інакше: довести, що пряма, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції і точку перетину продовжень бічних сторін, ділить підстави трапеції навпіл. Завдання при цьому залишається тією ж, але нове формулювання підказує певний метод рішення.
Іноді при пошуку рішення складного завдання допомагає аналогія з використанням методів рішення вже вирішеною завдання. Наприклад, належить вирішити таку задачу.
ЗАВДАННЯ. Через деяку точку, розташовану поза кола, проведена до цієї окружності січна. Довести, що твір відрізків АВ і АС (див. рис.) Є незмінною для даної окружності і даної точки.
Якщо до цього моменту виявляється вже вирішеною завдання: «Довести, що твір відрізків хорд, що проходять через дану точку всередині даної окружності, є незмінною», то можна перенести метод її вирішення на нове завдання. А саме, спочатку доцільно переформулювати вимога: провівши через точку А ще одну січну, доведемо, що АС · АВ = AE · AD. Щоб довести це рівність, перетворимо його в пропорцію , Яка наштовхує на пошук подібних трикутників з названими сторонами.
При вирішенні ряду задач може допомогти метод суперпозиції - вирішення завдань в окремих випадках. Причому розглядаються окремі випадки повинні повністю вичерпувати всі можливі випадки. Наприклад, потрібно довести нерівність: .
Знайти спільне рішення даної задачі можна, але досить важко, а вирішити її в трьох випадках, коли а <0, і а> 1, не становить труднощів. Наприклад, якщо а <0, то вираз зліва можна представити як , Яке приймає лише позитивні значення. Якщо , То його ж можна представити як , І тоді очевидно, що воно приймає позитивні значення в розглянутому проміжку. Якщо а> 1, то вираз можна представити як . Розглянуті три випадки повністю вичерпують всі можливі значення параметра а.
Метод суперпозиції не слід змішувати ще з однією евристикою - розглядом окремих випадків, які не вичерпують всіх можливих випадків. Тоді висновок, отриманий по індукції, потребує доведення.
Іноді для пошуку ідеї рішення завдання корисно розглянути який-небудь крайній, граничний випадок. Ця евристика так і називається «граничний випадок». Розглянемо завдання: довести, що сума відстаней від будь-якої точки всередині правильного тетраедра до його граней є величина постійна.
Щоб довести вимога, бажано заздалегідь з'ясувати, що це за величина. Для цього і використовується граничний випадок. Візьмемо як довільної точки одну з вершин тетраедра. Тоді легко виявити шукану величину. Сума відстаней від будь-якої точки всередині тетраедра до всіх його граней дорівнює висоті тетраедра. За допомогою граничного випадку проводиться уточнення вимоги, його переформулировка, а для пошуку шляху докази можуть бути залучені інші евристики.
Досить часто при пошуку вирішення завдань може допомогти ще одна евристика - прийом узагальнення, коли замість наявної завдання вирішується інша, більш загальна по відношенню до даної.
Наприклад, потрібно визначити, яке число більше: 19971998 або 19981997.
Перетворення різниці цих виразів до успіху не приводить. Але якщо вираження прологаріфміровать: 1998 lg 1997 і 1997 lg 1998, то замість вихідних можна порівнювати вираження і , Тоді виявляється, що порівнювати треба два значення функції , Тобто потрібно вирішити питання, який характер монотонності має функція, а це стандартна завдання.
Дуже важливою евристикою, використовуваної при вирішенні великого числа завдань, є виділення підзадач, вирішення яких не складає труднощів, всередині основного завдання. Тим самим спрощується структура основного завдання.
ЗАВДАННЯ. З двох пунктів, відстань між якими 100 км , Виїхали одночасно назустріч один одному два велосипедисти. Швидкість одного з них була 15 км / год , А іншого- 10 км / год . Разом з першим велосипедистом вибігла собака зі швидкістю 20 км / год . Зустрівши друга велосипедиста, собака повернула назад і побігла назустріч першому велосипедисту. Зустрівши перший велосипедиста, вона знову повернула. Собака бігала між велосипедистами до тих пір, поки велосипедисти зустрілися. Скільки кілометрів пробігла собака?
Якщо рішення завдання починати з розгляду руху собаки і другого велосипедиста, то перед вирішальним постає необхідність розглядати послідовність зустрічних рухів, що може виявитися дуже непростою справою. А якщо всередині основного завдання виділити як елементарної підзадачі рух велосипедистів назустріч один одному, в якій потрібно визначити час до їх зустрічі, то відразу вимальовується і друга елементарна підзадача - рух собаки, швидкість і час якої відомі, а маршрут руху - байдужий.
Прийом виділення підзадач всередині основного завдання застосовується при вирішенні переважної більшості завдань. Цей прийом використовується, зокрема, коли вирішується будь-яке завдання на описані і вписані у сферу багатогранники, коли потрібно, наприклад, довести, що центр сфери, вписаної в правильну піраміду, лежить на висоті піраміди; що підстава перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки висоти піраміди на бічну грань, потрапляє на апофему бічній грані. Не знаючи, як розв'язати задачу, вирішальний часто проводить міркування за схемою: «За даними завдання я можу знайти те-то і те-то, а що це мені дає для вирішення основного завдання?»
При вирішенні ряду задач може виявитися корисним метод безперервних величин. При цьому використовується таке положення: якщо деяка величина змінюється безперервно в залежності від деякої іншої величини і при цьому при різних значеннях другої величини значення першої виявляться більше і менше деякого числа С, то це означає, що існує значення другої величини, при якому значення першої одно С. Розглянемо задачу.
ЗАВДАННЯ. На площині накреслений квадрат і не перекривається з ним трикутник (див. рис.). Чи існує пряма, яка розділила б одночасно кожну з цих фігур на дві рівновеликі частини.
Зауважимо, по-перше, що будь-яка пряма, що проходить через центр квадрата, розбиває його на дві рівновеликі частини. При цьому справедливо і зворотне пропозицію. Отже, завдання можна переформулювати наступним чином: провести через точку Про пряму так, щоб вона розбивала трикутник на дві рівновеликі частини. Спочатку розглянемо деяку пряму l, не що перетинає трикутник.
Потім почнемо обертати цю пряму навколо точки О. Тоді виявляється, що при деякому положенні прямий площа «заметеній» частини трикутника менше , А в якийсь момент, при достатньому вугіллі повороту прямий, ця пряма замете площу, більшу . Так як величина заметеній площі змінюється безперервно (малому зміни значення кута повороту відповідає мале зміна значення заметеній площі), то знайдеться таке значення кута повороту прямий, при якому величина «заметеній» частини стане рівною .
Метод допоміжних невідомих - евристика, використовувана як при вирішенні алгебраїчних задач, так і при рішенні геометричних задач. Розглянутий метод має три модифікації: коли при заміні число змінних або зменшується, або збільшується, або залишається незмінним. Ланцюги введення допоміжних невідомих при цьому різні. Розглянемо три завдання.
ЗАВДАННЯ 1. Довести, що при будь-яких дійсних, відмінних від нуля х і у, справедливо нерівність:
, .
, .
І замість вихідного нерівності отримуємо: або .
Нерівність (*) виконується для всіх U, крім .
Однак , Тобто . Значить, вихідне нерівність виконується при всіх допустимих значеннях х і у.
ЗАВДАННЯ 2. Як другий приклад, коли при заміні число змінних зберігається, розглянемо рішення рівняння: .
Заміна зводить вихідне рівняння до досить добре відомій формі: .
У якості третього прикладу розглянемо стереометрическую завдання.
ЗАВДАННЯ 3. Близько правильної трикутної піраміди з плоским кутом при вершині описана сфера. Знайти відношення об'єму піраміди до обсягу кулі, обмеженого сферою.
У цій задачі потрібно знайти відношення величин. Обсяг виражається через значення якихось лінійних елементів, які в задачі не задані. Проте завдання має рішення, тому що даний кут визначає всю задачную ситуацію з точністю до подібності.
Виявляється, що якщо який-небудь лінійний елемент, наприклад, сторону основи піраміди, взяти за невідоме х, то всі інші лінійні величини можна виразити через х і . При знаходженні шуканого відносини завдання знову введена змінна х скоротиться.
Обмежимося розглянутими прикладами евристик як найбільш часто зустрічаються при вирішенні математичних завдань. Але не тільки математичних. Методи аналізу, переформулювання, розгляд приватних і граничних випадків використовуються при вирішенні фізичних, технічних і завдань інших областей знань.
Чи треба знайомити учнів з евристиками спеціально? Вирішальні знаходять, винаходять евристики і самі. Але для цього потрібні значні зусилля і час. Вчителю корисно звернути увагу учнів на метод, за допомогою якого вдалося здійснити пошук рішення складного завдання. Це можна зробити після виконання завдання з допомогою питань типу: «Як вдалося переформулювати вимога (умова) завдання?»; «Які підзадачі вдалося виділити, полегшивши рішення основною?», «Як під час вирішення задачі була використана аналогія?» Так поступово разом з учителем учні усвідомлюють багато з використовуваних ними прийомів, що дозволить в подальшому свідомо залучати їх до вирішення інших завдань. При цьому пошук рішення стає більш ефективним. Володіння евристиками розширює творчі можливості учнів.
І ще одне зауваження щодо евристик. Як правило, в чистому вигляді поодинокі евристики при рішень завдань не застосовуються. Має місце використання деякої сукупності евристик. Жодне завдання не обходиться без методів аналізу, переформулювання, виділення відомих підзадач.
У методиці Р.Г. Хазанкіна, відомого вчителя з Бєлорєцька, навчання евристика можна угледіти в його методикою вирішення «ключових» завдань. Ключовими він називає завдання розділу, при вирішенні яких розкриваються основні математичні ідеї, що використовуються для вирішення великого класу задач. Уроки рішення «ключових» завдань проводяться у формі лекції, після чого учні намагаються використовувати розглянуті ідеї при вирішенні інших завдань розділу.
4. Організація навчання розв'язання математичних задач
Фронтальне рішення завдань. Під фронтальним рішенням завдань зазвичай розуміють вирішення однієї і тієї ж задачі всіма учнями класу в один і той же час. Організація фронтального вирішення завдань може бути різною.
1) Усне фронтальне рішення завдань найбільш поширене в IV-VII класах, дещо рідше, хоча і знаходить застосування, у старших класах середньої школи. Це перш за все виконуються усно вправи в обчисленнях або тотожних перетвореннях і завдання-питання, істинність відповідей на які підтверджується усними доказами. В даний час вчителі математики IV-VII класів майже на кожному уроці проводять "п'ятихвилинки" усних вправ. На жаль, часто цим і обмежується виконання усних вправ. А треба відзначити, що одним із завдань навчання математиці є навчання швидким усним обчислень. Рішення цього завдання треба домагатися на всіх етапах навчання, тому там, де це можливо (а не тільки на "п'ятихвилинках" усного рахунку), обчислення слід виконувати усно. Якщо учні навчаться усно виконувати обчислення та нескладні перетворення, то на уроках математики, фізики, хімії звільниться значна частина часу, який зараз витрачається на нераціональне виконання обчислень і викладень.
При організації усних фронтальних вправ слід врахувати, що використання табличок, таблиць, кодоскопа та інших засобів подання учням усній завдання значно економить час усних вправ і оживляє уроки математики.
Таблички виготовляє зазвичай вчитель чи окремі учні за його завданням. Наприклад, таблички із завданнями для усних обчислень при вивченні множення дробових і цілих чисел (зручні розміри табличок 300 х 150мм).
Таблиці для усних вправ можуть мати різну форм і застосовуються неодноразово з різними завданнями.
Як таблички, так і таблиці можуть бути зображені на плівці і спроектовані на екран або дошку через кодоскоп. Виготовлення табличок і таблиць - більш трудомістка справа, ніж кодопозітівов, а результати використання практично рівноцінні.
2) Письмове рішення завдань із записом на класній дошці. У практиці навчання чимало таких ситуацій, в яких зручніше, щоб одну і ту ж задачу вирішували всі учні класу одночасно з рішенням цієї ж задачі на дошці. При цьому завдання на дошці може вирішувати або вчитель, або учень за вказівкою вчителя.
Найбільш часто таку організацію вирішення завдань на уроках математики застосовують: а) при вирішенні перших після показу учителем завдань по ознайомленню з новими поняттями і методами, б) при вирішенні завдань, самостійно з якими можуть впоратися не всі учні класу, в) при розгляді різних варіантів вирішення однієї і тієї ж задачі - для порівняння і вибору кращого варіанту; г) при розборі помилок, допущених кількома учнями класу при самостійному вирішенні завдання і т.д. У всіх цих випадках буває корисно і колективне рішення (чи колективний розбір вирішення завдань).
Розглянемо докладніше, як можна провести порівняння різних варіантів рішення задачі. Учитель може при фронтальному усному аналізі умови завдання намітити разом з учнями кілька варіантів рішення задачі. Деякі з них як нераціональні можуть бути відразу відкинуті. Інші ж не відкинуті варіанти для кращого розгляду, оцінки та порівняння варто записати на дошці. У цих цілях можна відразу викликати двох-трьох учнів до дошки для одночасного вирішення задачі різними способами (якщо дозволяють розміри дошки). Треба тільки врахувати, що керівництво рішенням завдання в цьому випадку вимагає деякого майстерності від вчителя: необхідно правильно розподілити свою увагу між учнями, вирішальними завдання біля дошки, і іншими учнями класу. Потрібно також передбачити, щоб увагу учнів класу, що вирішують завдання, не розсіювалася діями учнів біля дошки. Можна варіанти вирішення відтворювати на дошці по черзі, але це займе більше часу. Для прискорення роботи вчитель може сам швидко виконати на дошці необхідні записи деяких варіантів рішення. Можливо також використовувати кодоскоп, за допомогою якого можна відтворювати заготовлені заздалегідь записи інших рішень задачі.
3) Письмове самостійне рішення завдань. Найбільш ефективною є така організація рішення математичних задач, при якій учні навчаються творчо думати, самостійно розбиратися в різних питаннях теорії і додатків математики. Самостійне рішення учнями завдань на уроках математики має багато переваг.
По-перше, воно значно підвищує навчальну активність учнів, збуджує їх інтерес до вирішення завдань, стимулює творчу ініціативу. Таким чином, підвищується ефективність уроку. Самостійне рішення завдань розвиває розумову діяльність учнів, а в цьому полягає одна з основних призначень завдань та вправ на уроках математики.
По-друге, не маючи можливості копіювати рішення задачі з дошки, учень змушений сам розбиратися у вирішенні завдання, а тому й краще готуватися до уроків математики.
По-третє, самостійне рішення математичних задач часто скорочує час, необхідний для опитування учнів на уроках математики, так як оцінювати успіхи учнів у деяких випадках можна і за підсумками самостійного вирішення завдань.
По-четверте, вчитель отримує можливість спрямовувати індивідуальну роботу учнів за рішенням завдання, запобігати помилкам, вказувати шляхи їх виправлення.
Допустимі різні форми організації самостійного вирішення завдань учнями.
Деякі вчителі так організовують самостійні роботи з вирішення завдань на уроках математики: вчитель підбирає завдання; в процесі роботи вчитель допомагає деяким учням порадою, як краще їх вирішити, іншим він радить звернутися до підручника, треті справляються з роботою без допомоги вчителя. Вчитель увесь час спостерігає за роботою учнів, відзначаючи, кому з учнів і в чому він допоміг. Потім самостійна робота перевіряється і оцінюється з урахуванням ступеня самостійності учня. При такій організації самостійної роботи здійснюється і навчання, і контроль знань по досліджуваному розділу математики. Найчастіше учитель заздалегідь визначає цілі самостійних робіт з вирішення завдань. Такі роботи можуть бути навчальними нових знань, умінь і навичок, можуть бути призначені для закріплення вивченого і тренування в застосуванні теоретичних відомостей, можуть бути запропоновані з метою перевірки підготовленості учнів по вивчених питань. На навчальних самостійних роботах за рішенням математичних завдань вчитель може надавати допомогу окремим учням, а може запропонувати самостійне рішення завдання після попереднього її аналізу та складання плану рішення.
Існують і такі форми самостійних навчальних робіт з математики, при виконанні яких учні самостійно вивчають невеликий теоретичний матеріал, розбирають зразки вирішення завдань, запропоновані вчителем, самостійно вирішують аналогічні завдання.
Для кращого проведення самостійних робіт учнів з розв'язання математичних задач корисно перед початком такої роботи проводити інструктаж, в якому чітко вказати, що повинні виконати учні в такій роботі, який порядок її виконання, строки та ін Бажано після перевірки правильності самостійних рішень проаналізувати з учнями результати такої роботи. Це можливо на наступних уроках або на консультаціях.
4) Коментування розв'язування математичних задач. Коментування вирішення завдань полягає в наступному: усі учні самостійно вирішують одну і ту ж задачу, а один з них послідовно пояснює (коментує) рішення. Деякі вчителі перетворюють коментування до запису під диктовку: один учень відтворює голосом все, що він записує в зошит (без будь-яких пояснень), а всі інші поспішно записують сказане ним. Ясно, що таке застосування коментування не приносить належної користі.
Коментування позначає пояснення, тлумачення чого-небудь. Саме так і слід розуміти коментування при вирішенні математичних завдань. Учень-коментатор пояснює, на якій підставі він виконує те чи інше перетворення, проводить ту чи іншу міркування, побудова. При цьому кожен крок у вирішенні завдання повинен бути виправданий посиланням на відомі математичні пропозиції. Ось приклад коментування: "Довести, що сума трьох послідовних натуральних чисел не може бути простим числом.
Позначимо перше з цих чисел буквою n. Тоді два наступних за ним числа запишуться n +1, n +2, так як друге на 1, а третє на 2 більше першого числа. Запишемо суму цих трьох чисел і перетворимо її. Спочатку розкриваємо дужки, застосовуючи сочетательних закон додавання. Потім наводимо подібні члени. Виносячи загальний множник (за розподільчим закону), отримуємо результат. Отриманий вираз є твір двох множників 3 та n +1, а тому воно не може бути простим числом ні при яких натуральних значеннях n. "
Таке коментування приносить явну користь при вирішенні завдань. Учні, навіть недостатньо підготовлені з математики, почувши пояснення наступного етапу в задачі, намагатимуться виконати його самостійно. Щоправда, таке пояснення вимагає від учнів не тільки формального рішення задачі, але, що дуже важливо, і розуміння суті виконуваного перетворення, активної роботи думки. Але ж цього і слід домагатися при вирішенні завдань.
Індивідуальне рішення завдань.
Необхідність індивідуального підходу при організації навчання рішенню завдань. Фронтальне рішення навчальних математичних завдань не завжди приводить до бажаних результатів у навчанні математики. При фронтальній роботі всі учні класу вирішують одну і ту ж задачу. Для одних учнів це завдання може виявитися дуже легкою, і вони при вирішенні такого завдання практично не почерпнуть нічого нового. У інших, навпаки, завдання може викликати серйозне утруднення. Тому необхідний облік індивідуальних особливостей учнів і у зв'язку з цим індивідуальний підбір завдань. Завдання слід підбирати і систематизувати так, щоб, з одного боку, враховувалися можливості і здібності учня, з іншого боку, його здатності розвивалися б.
Завдання вчителя полягає, отже, в тому, щоб з'ясувати підготовку, можливості і здібності до вивчення математики кожного учня класу і відповідно до цього організувати рішення математичних задач. Важлива індивідуалізація навчальних математичних завдань під силу і можливостям учнів. Це дозволяє опанувати необхідними уміннями і навичками слабким учням і значною мірою вдосконалюватися більш сильним.
Індивідуалізація самостійних робіт учнів за рішенням завдань. В умовах, коли всі учні самостійно вирішують одну і ту ж задачу, вчитель може враховувати індивідуальні особливості учнів лише при наданні їм допомоги у вирішенні завдання, при перевірці виконаної роботи. При цьому не повністю враховуються можливості учнів. Для більш повного врахування здібностей та математичної підготовки учнів, використання їх можливостей необхідно пропонувати для самостійного рішення учнів не однакові, а різні завдання з урахуванням індивідуальних особливостей учня. Але оскільки в класі є приблизно рівні за успіхами в математиці учні, то можна підбирати завдання не для кожного учня окремо (це було б важко для вчителя), а для окремих груп школярів класу. У цих цілях корисно використовувати видаються тепер "Дидактичні матеріали з алгебри", "Дидактичні матеріали з геометрії" для різних класів. При такій постановці навчання слабкі учні, впоравшись самостійно або за допомогою вчителя з найпростішими завданнями, знаходять віру в свої сили. Сильні ж учні мають можливість удосконалювати свої здібності та знання в математиці. Зрозуміло, підбір індивідуальних завдань має на меті для кожної обраної вчителем групи учнів скласти систему завдань. Ці групи не повинні мати постійного складу: у міру оволодіння необхідними знаннями учні "переводяться" з групи для менш підготовлених в іншу - для більш підготовлених.
Індивідуалізація самостійних робіт учнів з усунення прогалин у знаннях математики. Виключне значення набувають самостійні роботи учнів з усунення прогалин у знаннях математики. Такі прогалини можуть бути виявлені за допомогою перевірочних та контрольних робіт, а також при вирішенні завдань на уроці або вдома. Учням, які працюють над усуненням прогалин у своїх знаннях з математики, треба вказати в зошиті допущені помилки. При цьому сильним учням досить підкреслити невірний результат, а помилку такий учень знайде сам. Одним учням корисно підкреслити допущені помилки, а деяким, найбільш слабко підготовленим, виправити. У зошитах вказуються розділи підручника, які учень зобов'язаний відновити в своїй пам'яті, і виписуються. Задачі (можна вказати номери завдань з задачників або підручників), які належить учневі вирішити, щоб заповнити наявний пробіл у знаннях і уміннях. Звичайно, завдання підбираються з урахуванням причин, що викликали помилку. Справа в тому, що одна і та ж помилка може бути допущена з різних причин та усувати треба не помилку, а причину, її породила. Така організація рішення завдань з ліквідації прогалин у знаннях школярів приносить велику користь, ніж фронтальні роботи над помилками. При цьому враховуються як індивідуальні особливості учнів, так і характер досліджуваного матеріалу.
Домашнє вирішення завдань учнями. Зміст завдань і вправ, запропонованих для домашньої роботи учнів, повинно бути підготовлено попередньої роботою на уроці. Це не означає, що для домашнього рішення повинні пропонуватися лише завдання, аналогічні вирішеним у класі. Такі домашні завдання мало допомагають засвоєнню математики. Вирішуючи домашні завдання "як у класі", учні в кращому випадку вдаються до аналогії, а однією аналогії для навчання рішенню завдань недостатньо. При такій роботі учні, як правило, спочатку вирішують завдання (виконують письмове завдання), а потім читають підручник з математики. Порядок же повинен бути іншою: спочатку повторення за підручником теоретичних відомостей, потім рішення завдань.
Домашнє завдання має на меті не тільки повторення вивченого на уроці, а й подальше вдосконалення математичних знань, умінь і навичок. З урахуванням цього воно і повинно бути складено. Учитель дає необхідні вказівки за рішенням домашніх завдань, проте не усуває всіх труднощів, які повинні подолати учні у процесі розв'язання домашніх завдань. Учні, вирішуючи завдання самостійно вдома, зобов'язані виявляти свою ініціативу, кмітливість і наполегливість, мобілізувати для вирішення завдань свої знання. Домашні завдання з вирішення завдань доцільно пов'язувати з поглибленням і уточненням вивченого, з відкриттям якихось нових його сторін.
Оскільки учні зазвичай мають індивідуальні особливості, різну підготовку з математики, слід індивідуалізувати домашні завдання з розв'язання математичних задач. При цьому треба враховувати багато факторів: учні при вирішенні домашніх завдань повинні усунути прогалини в знаннях (у кого вони є), закріпити набуті на уроці знання, удосконалювати їх. Через індивідуальні домашні завдання (паралельно з роботою на уроці) можна виявити нахили окремих учнів, виховувати в них захоплення математикою. Посильні ж завдання для слабких і відстаючих учнів допоможуть їм подолати багато труднощів у навчанні рішенню завдань. Треба зауважити, що учні з особливим бажанням вирішують завдання, запропоновані ним у індивідуальному порядку. Такі завдання можна заготовити на спеціальних картках.

5. Системи вправ і вимоги до них
У методиці викладання математики існують дві різні точки зору на вправи. Одна з них поняття вправи розглядає як синонім поняття завдання, і виходячи з цього вправи наділяються різними функціями: мотиваційної, організації підготовки до вивчення нового матеріалу, засвоєння, закріплення і повторення вивченого.
Щоб спеціально виділити етапи закріплення та застосування знань, з'ясувати особливості організації діяльності учнів на цих етапах, розглянемо вправи в їх традиційному сенсі - як багаторазове виконання подібних дій з метою оволодіння вміннями та навичками. З точки зору теорії діяльності вправа - це те завдання, для вирішення якої є орієнтовна основа. Вправа призначено для засвоєння способу дії, окремих операцій дії, доведення дій до згорнутої форми - до операції. При такому розумінні вправа - окремий випадок задачі, використовуваний при закріпленні і застосуванні.
У шкільному курсі математики закріпленню підлягають визначення понять, теореми, правила, приписи щодо виконання певних дій.
При закріпленні визначень необхідно передбачити вправи на виділення істотних властивостей понять, на їх запам'ятовування, на встановлення взаємозв'язків між суттєвими властивостями, на засвоєння термінології, на встановлення обсягу поняття, на впізнавання поняття, на виділення «зони пошуку» поняття, на отримання наслідків з наявних властивостей понять, розкриття взаємозв'язків з іншими поняттями.
При закріпленні теорем вправи сприяють аналізу формулювання і її засвоєнню, запам'ятовування, впізнавання, з'ясуванню області застосування теореми, отриманню слідстві з теорем, встановлення взаємозв'язків з різними теоремами.
При закріпленні правил, приписів відпрацьовуються окремі кроки і дія цілком, з'ясовується область їх застосування, особливі випадки їх використання.
Уміння та навички створюються в процесі виконання вправ, але не всяка їхня система призводить до формування відповідних умінь і навичок.
Питання про системи вправ є об'єктом уваги методистів, психологів, вчителів. Однак він ще не став традиційним питанням методики викладання математики, таким, наприклад, як методика вирішення завдань, вивчення понять. Є необхідність спеціального розгляду питання в силу наступного важливого обставини.
У ряді шкільних навчальних посібників системи вправ страждають різними вадами, дуже часто вчителю самому доводиться відбирати вправи з наявної системи. Вчитель є головною особою, що пред'являє систему вправ. «Там, де починається ледь-ледь, - зауважив І.Є. Рєпін, - починається мистецтво ». Щоб володіти цим «трохи», необхідно знати певні закономірності. Зазначимо окремі закономірності, яких корисно дотримуватися при відборі і складанні системи вправ і при їх виконанні.

Принципи відбору та складання систем вправ

Розглянемо спочатку реалізацію при відборі і складанні системи вправ одного з основних педагогічних принципів - принципу систематичності. Аналізуючи процес пізнання, виходячи з цього принципу, можна виділити наступні етапи при вивченні нового матеріалу (понять, теорем, правил): вивчення поняття, теореми, правила як окремо взятого факту, ізольованого від раніше вивченого матеріалу, як факту самого по собі, встановлення зв'язків між знову вивченим фактом і раніше вивченим матеріалом, включення нового в різні системи вивченого; систематизація накопиченого матеріалу з урахуванням знову вивченого факту.
Відповідно до цих етапів всі вправи можна розділити на три види: вправи на вивчення окремих фактів ізольовано від раніше вивченого; вправи, що зв'язує новий факт з раніше вивченим, що дозволяють розглядати новий факт як елемент інших систем і, нарешті, вправи на систематизацію вивченого матеріалу. Зупинимося коротко на кожному виді вправ.
Коли можна вважати поняття, теорему, правило засвоєними учнем? Це можливо, якщо учень розуміє кожне слово у формулюванні, запам'ятовує формулювання, дізнається і застосовує їх у стандартних і нестандартних ситуаціях, коли факт вбудований в наявну систему знань і умінь.
Перший вид вправ забезпечує розуміння і запам'ятовування, а також впізнавання і застосування поняття, теореми, правила в найпростіших випадках. Перший вид вправ сприяє розгляду об'єкту поза містить його системи. При цьому об'єкт піддається всебічному аналізу. Ці вправи не несуть навантаження в плані створення системи знань. Вправи цього виду, як правило, не вимагають залучення додаткових відомостей, крім вивченого факту. При відборі і складанні вправ на цьому етапі необхідний детальний аналіз формулювання визначень, теорем, правил. Кожна складова частина їх, кожне істотне властивість і відносини між ними знаходять своє відображення у вправах цього виду. Вправи першого виду включають в себе відпрацювання всіх істотних сторін понять, теорем, правил.
Наприклад, при вивченні поняття гомотетии вправи першого виду можуть виглядати наступним чином:
1. Вкажіть, що означає той факт, що гомотетія є перетворенням фігури.
2. Обгрунтуйте, чому в рівності .
3. Вкажіть порядок дій при побудові точки, гомотетічной даної, з центром гомотетии 0 і коефіцієнтом к.
4. Побудуйте точки, в які переходить дана точка при гомотетии з центром 0 і коефіцієнтом: а) 2; 6) 5; в) ; Г) 1.
5. Вкажіть розташування точки А, якщо відомий центр і коефіцієнт гомотетии і крапка , В яку перейшла точка А.
6. Знайдіть коефіцієнт гомотетии, якщо відомо положення трьох точок О, X, , Де О - центр гомотетии, X - дана точка, - Їй гомотетічная.
Другий вид вправ передбачає зв'язування знову вивченого матеріалу з раніше вивченим. Відбувається багаторазове взаємодія різних систем знань, розвиток старих знань під впливом нових.
Одночасно цей вид вправ є перешкодою на шляху забування старого, що відбувається досить інтенсивно, це підтверджує графік забування інформації
Окремі автори вважають, що виходом з такого становища є включення вправ на повторення, схожих за деякими несуттєвим ознаками з вправами на закріплення нового матеріалу, але в істотній частині відмінних від них.
Наприклад, при вирішенні вправ на множення змішаних чисел одночасно виконуються вправи на складання змішаних чисел. Такі вправи одночасно виконують функцію контрприкладів при вивченні нового, що дозволяє концентрувати увагу вирішальних на істотному і формувати стійкі вміння.
Такий підхід важливий, але не менш важливо цілеспрямоване безперервне повторення, безпосередньо пов'язується з вивченням нового. Воно актуальне також внаслідок дефіциту часу на організацію спеціального повторення. Безперервне повторення дозволить організувати розосереджене повторення матеріалу, яке, є більш ефективним, ніж концентроване. При необхідності будь-який зміст з вивченого раніше може бути повторене при вирішенні завдань на застосування знову вивченого матеріалу.
Наприклад, у діючих посібниках з планіметрії вивчається багата по своєму застосуванню теорему про вписаному вугіллі. Застосування цієї теореми може бути значно розширено за рахунок встановлення взаємозв'язків названої теореми з такими розділами, як, наприклад, координати, вектори і т. д. Наведемо приклади таких завдань.