Електрон у шарі

Міністерство Освіти, Молоді та Спорту

Республіки Молдова

Державний університет Молдови

Курсова Робота

Тема: Електрон у шарі.

Кишинів 1997
Мікрочастинка (електрон) в шарі.

Власне кажучи, одномірна задача, яка зараз буде розглянута, у багатьох навчальних посібниках досить докладно розібрана шляхом введення деяких спрощень.

Вона полягає в наступному:

Мікрочастинка (електрон) рухається вздовж осі x, і її рух повністю визначається наступним гамильтонианом:

ì-ћ2 / (2m) × ¶ 2 / ¶ x2 + U0, x <-a

Ù ï

H = í-ћ2 / (2m0) × ¶ 2 / ¶ x2,-a <x

ï

î-ћ2 / (2m) × ¶ 2 / ¶ x2 + U0, x> a

Де m - ефективна маса електрона в областях I, III;

m0 - ефективна маса електрона в області II.

Запишемо рівняння Шредінгера для кожної області:

ì ¶ 2YI / ¶ x2 + 2m/ћ2 × (E - U0) YI = 0, x £-a

ï

í ¶ 2YII / ¶ x2 + 2m0/ћ2 × E × YI = 0,-a £ x £ a

ï

î ¶ 2YIII ​​/ ¶ x2 + 2m/ћ2 × (E - U0) × YI = 0, x ³ a

Область I:

Загальний вигляд розв'язку рівняння Шредінгера для перших області записується відразу:

YI (x) = A × exp (n × x) + B × exp (-n × x).

Використовуючи властивість обмеженості хвильової функції, ми прийдемо до того що B = 0. Значить,

YI (x) = A × exp (n × x).

Хвильова функція для другої області теж елементарно визначається:

YII (x) = C × exp (i × k × x) + D × exp (- i × k × x).

Функція стану для третьої області виглядає так:

YIII (x) = F × exp (-n × x).

Де

k = (2m0 × E/ћ2) 1 / 2

n = (2m × (U0-E) / ћ2) 1 / 2.

Стратегія наших подальших дій буде полягати в наступному:

Напишемо систему з 4 рівнянь, задоволення яких еквівалентно задоволенню функціями граничним умовам.

У цій системі з 4 рівнянь будуть фігурувати невідомі коефіцієнти A, C, D і F. Ми складемо лінійну однорідну систему відносно них.

Ясно, що існування нетривіальних рішень допускається тільки у випадку коли детермінант системи дорівнює нулю. Як з'ясується трохи пізніше, з цього вельми корисного факту ми витягнемо рівняння, коренями якого будуть можливі рівні енергії.

Приступимо до здійснення першого пункту, тобто запишемо умови зшивання хвильових функцій:

YI (x =- a) = YII (x =- a)

YII (x = a) = YIII (x = a)

YI ¢ (x =- a) / m = YII ¢ (x =- a) / m0

YII ¢ (x = a) / m0 = YIII ¢ (x = a) / m

А в наших визначеннях цих функцій це виглядає так:

A × exp (-n × a) = C × exp (- i × k × a) + D × exp (i × k × a)

m-1 × A × n × exp (-n × a) = i × k × / m0 × (C × exp (- i × k × a) - D × exp (i × k × a))

C × exp (i × k × a) + D × exp (- i × k × a) = F × exp (-n × a)

i × k × / m0 × (C × exp (i × k × a) - D × exp (- i × k × a)) = - n / m × F × exp (-n × a).

Тепер складемо визначник:

| Exp (-n × a)-exp (- i × k × a)-exp (i × k × a) 0 |

| M-1 × n × exp (-n × a) -1/m0 × i × k × exp (- i × k × a) 1/m0 × i × k × exp (i × k × a) 0 |

| 0 exp (i × k × a) exp (- i × k × a)-exp (-n × a) |

| 0 1/m0 × i × k × exp (i × k × a) -1/m0 × i × k × exp (- i × k × a) 1 / m × n × exp (-n × a) |

Якщо тепер розкрити цей визначник за звичайними правилами і прирівняти його до нуля, то ми отримаємо наступне рівняння для рівнів енергії:

((N / m) 2 - (k/m0) 2) × Sin (2 × k × a) + 2 × k × n / (m × m0) × Cos (2 × k × a) = 0.

Це рівняння вирішується чисельним методом, а саме, методом Ньютона.

Знайдемо невідомі коефіцієнти A, C, D, F для більш повного опису хвильової функції. Для цього скористаємося деякими співвідношеннями, які безпосередньо випливають з умов зшивання і умови нормування.

C = F × exp (-n × a) × {exp (i × k × a) + exp (-3 × i × k × a) × (i × k/m0 - n / m) / (n / m + i × k/m0)}

D = C × exp (-2 × i × k × a) × (i × k/m0 - n / m) / (n / m + i × k/m0)

A = exp (n × a) × (C × exp (- i × k × a) + D × exp (i × k × a)).

Оскільки A, C і D лінійно залежать від F, то доцільно ввести позначення:

A = RA × F

C = RC × F

D = RD × F.

RA, RC, RD - відомі постійні.

Таким чином, якщо ми якимось чином дізнаємося константу F, то ми визначимо інші константи A, C, D. А зробимо ми це з допомогою умови нормування.

Дійсно:

YI (x) = F × RA × exp (n × x)

YII (x) = F × (RC × exp (i × k × x) + RD × exp (- i × k × x)).

YIII (x) = F × exp (-n × x).

I1 + I2 + I3 = 1

Де

I1 = | F | 2 × | RA | 2 × òQexp (2 × n × x) × dx = | F | 2 × | RA | 2 × (2 × n) -1 × exp (2 × n × x) =

= | F | 2 × | RA | 2 × (2 × n) -1 × exp (-2 × n × a)

I2 = | F | 2 × {òL | RC | 2 × dx + òL | RD | 2 × dx + RC × RD * × òLexp (2 × i × k × x) × dx +

+ RC * × RD × òLexp (-2 × i × k × x) × dx} = | F | 2 × {2 × a × (| RC | 2 + | RD | 2) +

((Exp (2 × i × k × a) - exp (-2 × i × k × a)) × RC × RD * / (2 × i × k) +

+ I × ((exp (-2 × i × k × a) - exp (2 × i × k × a)) × RC * × RD / (2 × k)}

I3 = | F | 2 × òWexp (-2 × n × x) × dx = | F | 2 × (2 × n) -1 × exp (-2 × n × a)

| F | 2 = {| RA | 2 × (2 × n) -1 × exp (-2 × n × a) + 2 × a × (| RC | 2 + | RD | 2) +

((Exp (2 × i × k × a) - exp (-2 × i × k × a)) × RC × RD * / (2 × i × k) +

+ I × ((exp (-2 × i × k × a) - exp (2 × i × k × a)) × RC * × RD / (2 × k) + (2 × n) -1 × exp ( -2 × n × a)} -1.

Тепер, коли ми знаємо F, неважко визначити коефіцієнти A, C, D, а значить і хвильову функцію, що характеризує стан електрона.

Електрон в шарах

Завдання, яке зараз буде описана, характеризується тим, що потенціал має просторової періодичністю. Схематично це зображується так.

Тобто, це ні що інше як одномірне рух електрона в періодичному полі. Графічно це можна зобразити серією потенційних бар'єрів або, як кажуть, серією потенційних сходинок.

Аналітично умова періодичності потенціалу записується дуже просто:

U (x) = U (x +2 a) (1)

Співвідношення (1) записано у припущенні, що ширина кожної потенційної ями дорівнює ширині всякого потенційного бар'єру.

Ясно, що хвильові функції, відповідні областям I, III, задовольняють одного й того ж рівняння Шредінгера:

¶ 2Y / ¶ x2 + 2m/ћ2 × (E - U0) Y = 0

отже ці функції відрізняються тільки постійним множником, який називається фазовим множником.

Цей фазовий множник ми будемо позначати наступним чином:

r = exp (i 2ak)

Тоді Y (x +2 ma) = Y (x) × rm, де m = 0, ± 1, ± 2, ... (2)

Виявляється, що достатньою для визначення дискретного енергетичного спектру (розглядається лише випадок коли E x>-a

його рішення виглядає просто:

YI (x) = A × exp (n × x) + B × exp (-n × x).

Де n = (2m2 (U0-E) / ћ2) 1 / 2

Розглянемо область II:

Рівняння Шредінгера для неї записується у вигляді:

¶ 2YII / ¶ x2 + 2m1/ћ2 × E YII = 0, a ³ x ³ 0

його рішення виглядає просто:

YII (x) = C × exp (i × p × x) + D × exp (- i × p × x).

Де p = (2m1E/ћ2) 1 / 2

Розглянемо область III:

¶ 2YIII ​​/ ¶ x2 + 2m2/ћ2 × (E - U0) YIII = 0, 2a> x> a

його рішення виглядає просто:

YIII (x) = r (A × exp (n × x) + B × exp (-n × x)).

Запишемо граничні умови:

YI (x = 0) = YII (x = 0)

YII (x = a) = YIII (x = a)

YI ¢ (x = 0) / m = YII ¢ (x = 0) / m0

YII ¢ (x = a) / m0 = YIII ¢ (x = a) / m

Підставляючи хвильові функції в цю систему рівнянь, ми отримаємо деякі зв'язки між коефіцієнтами A, B, C, D:

A + B = C + D

C exp (i pa) + D exp (- i pa) = exp (i 2 ak) (A exp (na) + B exp (-na))

(AB) n/m2 = (CD) i p / m1

(C exp (i pa)-D exp (- i pa)) i p / m1 = exp (i 2 ak) n/m2 (A exp (na)-B exp (-na))

Дотримуючись наведених вище міркувань, ми складемо визначник:

| 1 1 -1 -1 |

| Exp (i × k × 2a + n × a) exp (i × k × 2a-n × a)-exp (i × p × a)-exp (- i × p × a) |

| N/m2 -n/m2 - i × p/m1 i × p/m1 |

| N/m2exp (i × k × 2a + n × a) -n/m2 × exp (i × k × 2a-n × a) - i × p/m1 × exp (i × p × a) i × p / m1 × exp (- i × p × a) |

і прирівняємо його до нуля.

Результатом розкриття визначника буде дуже громіздке рівняння містить як невідомого енергію електрона.

Розраховані рівні енергії для різних ефективних мас наведені нижче.

a = 10; U = 10; m1 = 4; m2 = 1

a = 10 U = 10 m1 = 2 m2 = 1

a = 10 U = 10 m1 = 1 m2 = 1

a = 10 U = 10 m1 = 0.5 m2 = 1

a = 10 U = 10 m1 =. 25 m2 = 1