Елективний курс з алгебри для 9-го класу на тему Квадратні рівняння та нерівності з параметром

Перш за все, згадаємо факти, вивчені в курсі алгебри, про квадратному тричленні Ax х+ C (при А + B х + C (при А 0) (1).

1. Кількість коренів квадратного тричлена.

= B ² -4 AC : Для визначення кількості коренів квадратного тричлена досить знати знак дискриминанта D = B ² -4 AC: >0 ; один корень, если D =0 ; нет корней, если D <0 . два корені, якщо D> 0; один корінь, якщо D = 0; немає коріння, якщо D <0.

2. Знаходження коренів квадратного тричлена при D 0 за формулою

. =0 корни совпадают Причому, при D = 0 коріння збігаються .

3. Теорема Вієта: Якщо дискримінант (При А 0), то тричлен Ax х+ C + B х + C має коріння і , Що задовольняють співвідношенням: (*)

І навпаки, якщо числа і задовольняють співвідношенням (*), То вони є корінням квадратного тричлена Ax х+ C . + B х + C.

4. Квадратне рівняння - це рівняння, відповідне квадратному тричленну (1), Ax х+ C =0 , где х – переменная, А, В, С - некоторые числа, А + B х + C = 0, де х - змінна, А, В, С - деякі числа, А 0.

5. Поняття про рівняння з параметром.

( x , a )=0 . Нехай задано рівняння f (x, a) = 0. Його називають рівнянням з невідомим х і параметром а, якщо, зокрема, ставиться завдання знайти х для кожного значення а.

Рівняння з параметром - це, по суті, стислий запис безлічі рівнянь, одержуваних при різних значеннях а.

Приклад. Розглядається серія рівнянь: , , . У загальному вигляді ці рівняння можна записати: , Де а - деяке число, яке називається параметром.

3. Рішення задач

3.1. Розгляд прикладу вирішення задачі:

При яких значеннях m рівно один з коренів рівняння 3х ² + х +2 m-3 = 0 дорівнює 0?

Учитель записує рішення на дошці і пояснює кожен крок.

3.2. Рішення задач.

- Завдання 1, 2: кожне завдання один з учнів вирішує на дошці, інші - у зошиті. Після рішення завдання 2 учень з допомогою вчителя записує на дошці умови, що визначають кількість коренів квадратного рівняння в залежності від значення А (а).

- Завдання 3: учням дається час на самостійне виконання завдання. Після того, як із завданням впоралася третину класу, один з учнів, його виконали, записує рішення на дошці.

Додаткові завдання:

- Учні, які вирішують «вперед», самостійно виконують завдання 4-7. В кінці заняття проводиться усна перевірка вирішення цих завдань: розповідається ідея і кроки рішення.

Завдання.

Основна частина:

1. ровно один из корней уравнения равен 0: При яких значеннях m рівно один з коренів рівняння дорівнює 0:

² +( m +3) x + m -3=0 x ² + (m +3) x + m -3 = 0

2. При яких значеннях параметра р рівняння рх - Х +3 = 0 має єдине рішення?

При вирішенні даного рівняння необхідно врахувати, що може бути р = 0. У цьому випадку рівняння також має єдине рішення.

У загальному випадку умови існування єдиного рішення запишуться таким чином:

або

Якщо то рівняння не має коренів.

Якщо то рівняння має нескінченно багато рішень.

3. При яких значеннях параметра а рівняння ах -4х + а +3 = 0 має не більше одного кореня?

Додаткові завдання:

4. При яких значеннях а корені рівняння 4х ² + (5а-1) х +3 а =- а рівні за модулем, але протилежні за знаком?

5. , при которых уравнение ( k -2) x Знайдіть всі значення параметра k, при яких рівняння (k -2) x +2 k -3=0 имеет хотя бы один корень? -2 Kx +2 k -3 = 0 має хоча б один корінь?

6. Довести, що при будь-якому значенні а рівняння х ² + (а-2) х + (а-3) = 0 має два корені.

7. При яких значеннях параметра а рівняння має єдине рішення?

4. Підведення підсумків заняття:

- Цікавими чи з'явилися завдання?

- Чи не є вони складними або, навпаки, простими?

Виставлення учнями самим собі балів за кожне вірно вирішена завдання (1 завдання - 1 бал).

5. Постановка домашнього завдання:

Завдання, аналогічні завданням, що вирішуються на занятті:

№ 1. оба корня уравнения х ² +(16- k )х+ k +8=0 равны 0? а) За яких значеннях k обидва кореня рівняння х ² + (16 - k) х + k +8 = 0 рівні 0?

-1=0 б) При яких значеннях а корені рівняння х ^2-2х + m -1 = 0

рівні за модулем, але протилежні за знаком?

№ 2. За яких а рівняння

а) (а -4) Х + (2а-4) х-(а-2) = 0 має не менше одного рішення;

б) (а +1) х +2 (А +1) х-2 = 0 не має коренів.

Завдання на самостійний пошук рішення:

№ 3. х+с=0 , если а– b +с=0 . а) Знайти коріння квадратного рівняння ах ² + b х + с = 0, якщо а-b + с = 0.

б) При яких значеннях параметра а рівняння рівносильні? (Пригадати, які рівняння називаються рівносильними)

Література: [3], [8], [12], [13], [18].

. Заняття II. Теорема Вієта. Знаки коренів квадратного тричлена

Мета: формування вміння визначати знаки коренів квадратного тричлена, застосовуючи теорему Вієта.

Хід заняття:

1. Організаційний момент. Повідомлення теми і цілей заняття.

2. Перевірка домашнього завдання: рішення № 1, № 2 записано вчителем на дошці, учні перевіряють; № 3: один з учнів, який виконав завдання № 3а), записує до початку заняття рішення на дошці, другий - № 3б); потім завдання розбираються. Якщо завдання ніким не виконані, то рішення пояснює вчитель.

3. Оглядова лекція по темі «Теорема Вієта. Знаки коренів квадратного рівняння ».

Теорема Вієта: Якщо дискримінант (При А 0), то тричлен Ax х+ C + B х + C має коріння і , Що задовольняють співвідношенням: (*)

І навпаки, якщо числа і задовольняють співвідношенням (*), То вони є корінням квадратного тричлена Ax х+ C . + B х + C.

Виходячи з теореми Вієта, виходять умови, що визначають знак коренів тричлена (Таблиця 3).

Таблиця 3.

4. Рішення завдань. Завдання 1 вирішує один з учнів на дошці. Потім учні виконують завдання самостійно з подальшою перевіркою на дошці.

Завдання:

1. При якому значенні параметра а рівняння х ² + (3а-5) х-2 = 0 має різних знаків?

2. При якому значенні параметра а коріння тричлена (а -4) Х ² + (а +2) х +2 позитивні?

3. Знайти всі а, для яких рівняння (а-1) х ² + (2а +3) х +2 + а = 0 має одного знака.

4. Знайти всі а, при яких нерівність справедливо для всіх невід'ємних х.

5. Не вирішуючи рівняння визначити знаки його коренів: ах +2 (А +1) х +2 а = 0;

Додаткові завдання:

6. При яких значеннях р нерівність 5х -4 (Р +3) х +4 <р справедливо для всіх негативних х?

7. Визначити знак коренів рівняння:

а) 3ах + (4-6-а) +3 (а-1) = 0; б) (а-3) х ² -2 (3а-4) х +7 а-6 = 0.

8. Розв'язати рівняння, використовуючи теорему Вієта: х ² - (2а +1) х + а + а ² = 0.

5. Підведення підсумків.

- Яка була тема заняття? Що нового дізналися на занятті?

- Чи досягли мети, поставленої на початку заняття?

Учитель ставить бали (від 1 до 8) учням, найбільш активно працювали на занятті.

6. Постановка домашнього завдання.

1. При якому значенні параметра а обидва кореня рівняння

(А-2) х ^2-2ах + а +3 = 0 позитивні?

2. Визначити знак коренів рівняння: (а-2) х ^2-2ах +2 а-3 = 0.

3. Знайти всі а, при яких нерівність справедливо для всіх негативних х.

4. Завдання по темі наступного заняття «Співвідношення на корені квадратного тричлена»:

А) При якому значенні параметра а рівняння х ² + (а ² + а-2) х + а = 0 має, сума яких дорівнює 0?

Б) При якому значенні параметра а один з коренів рівняння

х ² - (3а +2) х + а ² = 0 в дев'ять разів більше іншого?

Література: [4], [8], [9], [13], [18], [27].

. Заняття III. Співвідношення на корені квадратного тричлена

Мета: відпрацювання навику застосування теореми Вієта при вирішенні завдань; формування вміння записувати на математичній мові умову задачі, уміння аналізувати, узагальнювати, знаходити раціональний спосіб розв'язання задачі.

Хід заняття:

1. Організаційний момент.

2. Розбір домашнього завдання.

У № 1-3 усно перевіряється ідея рішення і називаються відповіді. Ті, хто не впорався з рішенням якогось завдання, повинні звернутися по допомогу до тих, у кого рішення виконано вірно, і виправити свої помилки.

Учням пропонується показати знайдене рішення № 4. Завдання докладно розбирається, що аналізується.

3. Рішення задач.

3.1. При розборі № 4 з домашнього завдання робиться висновок, як виконувати завдання на співвідношення між коренями квадратного рівняння, а саме: щоб знайти всі значення параметра а, при яких корені рівняння Ax х+ C = 0 удовлетворяют некоторому соотношению G ( + B х + C = 0 задовольняють деякому співвідношенню G ( , )=0 (соответственно, G ( , A) = 0 (відповідно, G ( , ) , A) ( 0 або G ( , ) , A) 0), досить знайти всі значення а, задовольняють умовам:

( (Для G ( , ) , A) ( 0 або G ( , ) , A) 0 отримуємо відповідні нерівності замість третього рівняння системи).

3.2. Спільне виконання завдання:

При яких значеннях сума квадратів коренів рівняння дорівнює 4?

При виконанні завдання необхідно виразити через коефіцієнти рівняння суму квадратів коренів рівняння; знайти а; перевірити існування коренів, підставивши отримані а в дане рівняння.

3.3. Виконання завдань у парах.

Кожне запропоноване завдання спочатку обговорюється в парах. Потім відбувається загальне обговорення рішення. Знайдене рішення одним з учнів записується на дошці.

1. Знайти всі значення , При яких корені рівняння задовольняють умові .

2. При яких значеннях сума квадратів коренів рівняння є найменшою? Чому дорівнює ця сума?

У наступних задачах використовується таке співвідношення між корінням, яке безпосередньо не виражається через коефіцієнти. У цьому випадку складаємо систему, де два рівняння - формули Вієта, а третє - задане співвідношення. При вирішенні такої системи корені рівняння зазвичай знаходяться, тому спеціально перевіряти їх існування не треба.

3. За яких а різниця коренів рівняння дорівнює 14?

4. произведение корней уравнения х ² +3х+( k ² -7 k +12)=0 равно 0? При яких значеннях параметра k твір коренів рівняння х ² +3 х + (k ² -7 k +12) = 0 дорівнює 0?

5. За яких а різниця коренів рівняння 2х ² - (а + 1) х + (а - 1) = 0 дорівнює їх добутку?

Додаткові завдання:

6. У рівнянні х ^2-2х + а = 0 квадрат різниці коренів дорівнює 16. Знайти а.

7. Відомо, що корені рівняння х ^2-5х +4 = 0 на 1 менше коренів рівняння х ^2-7х +3 а-6 = 0. Знайти а й коріння кожного з рівнянь.

8. Нехай х ₁ і х ₂ - корені рівняння 2х ^2-7х-3 = 0. Скласти квадратне рівняння, коренями якого є числа х ₁ -2 і х ₂ -2.

4. Підведення підсумків заняття.

- Що потрібно зробити, щоб вирішити завдання на співвідношення на корені квадратного рівняння?

Учні в парі оцінюють роботу один одного за п'ятибальною шкалою. Також вчитель ставить по одному балу найбільш активним учням.

5. Постановка домашнього завдання

Завдання, обов'язкові для виконання:

1. У рівнянні х ^2-4х + а = 0 сума квадратів коренів дорівнює 16. Знайти а.

2. При якому значенні а сума квадратів коренів рівняння х ² + (2-р) х-р-3 = 0 дорівнює квадрату різниці коренів цього рівняння?

3. Визначити а таким чином, щоб коріння рівняння 2х ² + (2а-1) х + а-1 = 0 задовольняли співвідношенню 3х -4х = 11.

Додаткові завдання:

4. Нехай х ₁ і х ₂ - корені рівняння 2х ^2-7х-3 = 0. Скласти квадратне рівняння, коренями якого є числа 2х ₁ +3 і 2х _{2 +3.}

5. Не вважаючи коренів рівняння 3х ² +8 х-1 = 0 знайти х ₁ х ₂ ³ + х ₂ х ₁ ^3.

6. корни уравнения х ² +рх+ q =0 равны 2р и При яких значеннях р і q корені рівняння х ² + рх + q = 0 рівні 2р і ?

Література: [5], [16], [25], [29], [33].

. Заняття IV. Квадратний тричлен: теорема Вієта; знаки коренів квадратного тричлена; співвідношення на корені квадратного рівняння

Мета: закріплення вміння використовувати теорему Вієта для визначення знаків коренів квадратного тричлена і рішення задач на співвідношення між коренями квадратного рівняння; застосування наявних знань при вирішенні завдань; формування вміння працювати в групі.

Хід заняття:

1. Організаційний момент.

2. Перевірка домашнього завдання: 3 учні до початку заняття записують рішення задач № 1-3 на дошці. На занятті учні перевіряють рішення, виправляють помилки. Завдання № 4-6 вчитель перевіряє індивідуально у кожного учня.

3. Рішення задач. Клас ділиться на групи по 4-5 чоловік. Кожна група отримує по 2 блоки завдань (у всіх завдання однакові), які необхідно вирішити за певний час (20 хв).

За кожне вірно вирішена завдання першого блоку буде ставитися 2 бали, другого блоку - 3 бали.

За 17 хвилин до закінчення заняття групи припиняють свою роботу, починається перевірка і обговорення рішень, знайдених групами. За результатами перевірки підводяться підсумки, і виявляється група-переможець.

Завдання:

Блок 1.

1. При яких значеннях параметра а рівняння (а-2) х + (4-2а) х +3 = 0 має єдине рішення?

2. При яких значеннях а рівняння

(А -6а +8) + (а -4) Х + (10-3а-а ) = 0 має більше 2-х коренів?

3. При якому значенні параметра а рівняння х ² -2 (а-1) х + а +5 = 0 має позитивні коріння?

4. При якому значенні параметра а рівняння х ² + (3а-5) х-2 = 0 має різних знаків?

5. При якому значенні параметра а обидва кореня рівняння

х ² - (3а-2) х-6а = 0 ненегативні?

6. сумма корней уравнения При яких значеннях параметра k сума коренів рівняння

(х-1)-1=0 равна сумме квадратов корней? х ² -2 k (х-1) -1 = 0 дорівнює сумі квадратів коренів?

7. Нехай х ₁ і х ₂ - корені рівняння 2х ^2-7х-3 = 0. ₁ и 1/ x _{2 .} Скласти квадратне рівняння, коренями якого є числа 1 / x ₁ і 1 / x _2.

8. Не вважаючи коренів рівняння 3х ² +8 х-1 = 0, знайти х ₁ / х ₂ + х ₂ / х _1.

Блок 2.

1. При якому значенні параметра а рівняння х ² + (а +3 А +2) х = 0 і х ² -2 (а +2) х +5 а +6 = 0 рівносильні?

2. При якому значенні параметра а коріння тричлена

3х ² + (а -4а) х + а-1 рівні по модулю і протилежні за знаком?

3. Знайти всі значення а, при яких має коріння рівняння

(2а +1) х -3 (А +1) х + (а +1) = 0.

4. При якому значенні а рівняння х ² + ах +1 = 0 і х ² + х + а = 0 мають спільний корінь?

5. При яких значеннях параметра р сума квадратів коренів рівняння х ² + (р-1) х + р -1,5 = 0 найбільша?

6. Знайти найменше значення виразу х ₁ ² + х _{² 2,} якщо х ₁ і х ₂ - корені рівняння х ² - 2ах + а + 6 = 0.

7. Коріння х ₁ і х ₂ рівняння х ² + рх +12 = 0 мають властивість х _{2-х 1} = _1. Знайти р.

8. При якому значенні а рівняння (а +4 х-х -1) (А +1- ) = 0 має 3 кореня?

4. Підведення підсумків заняття:

- Підрахунок кількості вірно вирішених завдань у кожної команди, нарахування командам балів.

- Визначення рівня досягнення цілей уроку і міру участі кожного учня в занятті, оцінка роботи школярів. У кожній групі заповнюється таблиця (Таблиця 4), відбувається розподіл загальної кількості балів між членами кожної команди.

5. Постановка домашнього завдання:

Кожен учень повинен виконати будь-які п'ять завдань з блоків 1 і 2, які не вирішував на занятті.

Література: [3], [4], [5], [8], [9], [12], [13], [16], [18], [25], [29], [32], [33].

. Заняття V. Розташування параболи відносно осі абсцис

Цілі: розгляд можливих випадків розміщення параболи відносно осі абсцис; використання графічних уявлень при вирішенні завдань; застосування наявних знань за рішенням квадратного рівняння.

Хід заняття:

1. Організаційний момент.

2. Актуалізація наявних знань і мотивація вивчення нового матеріалу.

Графік квадратичної функції /(2 A ); - D /(4 A )) . - Парабола, вершина якої знаходиться в точці з координатами (- B / (2 A); - D / (4 A)).

Учням дається завдання самостійно зобразити всі можливі випадки розташування параболи відносно осі Ох. Потім один з учнів зображує ці варіанти на дошці.

Виникають питання: Як задати потрібне розташування параболи? Яким умовам повинні задовольняти коефіцієнти параболи, щоб вона була певним чином розташована відносно осі Ох?

3. Вивчення нового матеріалу.

Відбувається розмова по зображеним малюнків, в результаті якої складається таблиця (Таблиця 5).

Таблиця 5

4. Закріплення отриманих знань.

Спільне рішення завдань: вирішення завдання 1 вчитель пояснює і записує на дошці, далі - учні з підказками вчителя.

1. При яких значеннях параметра нерівність виконується для будь-яких

2. За яких нерівність виконується для всіх ?

2. При яких значеннях нерівність виконується для одного значення

3. За яких нерівності і рівносильні?

4. При яких значеннях параметра з всі значення функції належать інтервалу

5. За яких функція визначена для всіх ?

5. Підведення підсумків заняття.

- Чи складно було знайти ідею для вирішення того чи іншого завдання?

- Найцікавіше вирішувати завдання за певним алгоритмом (іноді приводить до довгого рішенням і громіздким обчисленням) або у кожному завданню шукати свій, більш раціональний, шлях вирішення?

Учитель оцінює роботу учнів на занятті за п'ятибальною шкалою і повідомляє результати. Учні можуть підвищити або знизити оцінку один одного, аргументувавши свою відповідь.

5. Постановка домашнього завдання.

Домашнє завдання дається за варіантами. Його учні виконують за день до наступного заняття і віддають на перевірку однокласникам: ті, у кого був перший варіант, перевіряють завдання у тих, у кого був другий варіант.

Варіант 1.

1. При яких значеннях графік функції

2. цілком розташований нижче осі абсцис? Відповідь: .

2. За яких нерівність виконується тільки для одного значення Відповідь:

3. При яких значеннях пряма не перетинає параболи і ? Відповідь:

Варіант 2.

1. При яких значеннях нерівність виконується для будь-яких Відповідь:

2. При яких значеннях функція приймає тільки негативні значення? Відповідь: .

3. При яких значеннях і пряма має з кожної параболою і єдину спільну точку? Відповідь: і .

Література: [20], [25].

. Заняття VI. Розташування коренів квадратного рівняння

Мета: розгляд умов, що визначають розташування коренів квадратного рівняння; закріплення наявних знань.

Хід заняття:

1. Організаційний момент. Повідомлення плану і мети заняття.

2. Перевірка домашнього завдання. Завдання, що викликали найбільші труднощі, розбираються. Їх рішення пояснюють учні, які впоралися із завданням.

3. Лекція за темою «Розташування коренів квадратного рівняння» (Додаток 1).

4. Підведення підсумків заняття.

- З чим сьогодні познайомилися на уроці? Які нові факти дізналися?

5. Постановка домашнього завдання.

1. При яких значеннях параметра а корені рівняння менше 1?

2. , при котором уравнение Знайти безліч значень параметра m, при якому рівняння має два кореня, укладені між -1 і 1.

3. При яких значеннях параметра а рівняння має хоча б один спільний корінь з рівнянням ?

Література: [2], [7], [9], [13], [17], [25], [32], [33].

. Заняття VII. Розташування коренів квадратного тричлена

Мета: закріплення знань по темі «Розташування коренів квадратного рівняння».

Хід заняття:

1. Організаційний момент.

Повідомлення плану уроку і способу роботи.

Клас ділиться на дві групи. Учні самостійно вирішують запропоновані ним на картках завдання. Потім дається деякий час, щоб у групах обговорили рішення і вибрали відповідає за кожним завданням. Представник першої групи відповідає, а представник другої групи слухає відповідь, задає питання, виправляє рішення, якщо потрібно. За кожну відповідь групам нараховуються бали: якщо відповідь повний, не вимагає доповнень і пояснень, то група отримує 5 балів; якщо у представника другої групи є доповнення і питання, але рішення в цілому вірне і на всі виниклі питання отримано правильну відповідь, то перша група заробляє 3 бали, а друга група 2; якщо ідея рішення вірна, але до відповіді є суттєві доповнення та що хтось не може відповісти на питання супротивника, то команди отримують відповідно по 1 балу і 4 бали. Учитель контролює виконання завдань, виставляє бали командам.

2. Перевірка домашнього завдання. Представник однієї групи пояснює рішення завдання 1, представник другої - завдання 2. Рішення завдання 3 записано вчителем на дошці, учні перевіряють своє рішення.

3. Рішення задач.

1. При яких значеннях а рівняння має 2 корені, один з яких менше 2, а другий більше 3.

2. При яких значеннях параметра а обидва кореня рівняння лежать у проміжку (-1; 2)?

3. Знайти всі значення а, при яких рівно один корінь рівняння задовольняє умові х <-1.

4. Знайти, при яких а нерівність справедливо для всіх .

5. За яких а всі рішення нерівності є рішеннями нерівності ?

6. Знайти всі позитивні значення параметра а, при яких кожне число з відрізка [1, 2] є рішенням нерівності .

4. Підведення підсумків заняття.

- Що було складніше: знайти рішення задачі або шукати помилку в запропонованих міркуваннях?

Вчитель виділяє найбільш поширені помилки, вказує, на які моменти при вирішенні задач потрібно звернути особливу увагу.

Підраховується кількість набраних командами балів. Бали діляться між членами команд порівну, кожному виступав дається додатково 2 бали.

5. Постановка домашнього завдання:

. I. 1. При якому значенні параметра а один корінь рівняння (а + А +1) х ² + (а-1) х + а = 0 більше 3, а інший менше 3?

2. При якому значенні параметра а коріння рівняння задовольняють нерівності ?

3. Знайти всі значення а, при яких квадратний тричлен <2. від'ємний при всіх значеннях х, які відповідають умові 1 <x <2.

. II. З класу обираються дві групи по 3 людини, які будуть готувати виступ на наступному занятті по темі «Графічні прийоми розв'язання квадратних рівнянь і нерівностей з параметрами». Частину літератури для підготовки надає вчитель, частина учні шукають самі.

Література: [2], [7], [9], [13], [17], [25], [32], [33].

. Заняття VIII. Графічні прийоми розв'язання квадратних рівнянь і нерівностей з параметрами

Мета: формування вміння вирішувати квадратні рівняння і нерівності графічними методами.

Хід заняття:

1. Організаційний момент.

2. Перевірка домашнього завдання. До початку заняття вчитель запитує, хто виконав домашнє завдання, і просить записати рішення завдань декількох учнів. На занятті рішення перевіряється.

3. Вивчення нового матеріалу.

На попередньому занятті були обрані дві групи учнів для того, щоб вони пояснили всьому класу тему «Графічні прийоми розв'язання рівнянь і нерівностей з параметром».

Виступ 1. Графічні прийоми розв'язування задач з параметрами в системі «змінна - параметр».

. У системі «змінна - параметр» на координатній площині (х; а) (або (а; х)) зазначаються всі точки, координати яких задовольняють заданому рівнянню (нерівності, системи рівнянь або нерівностей), які утворюють деяку фігуру G. . При кожному фіксованому значенні параметра а проводиться пряма, паралельна осі Ох через точку (0; а). При даному значенні параметра а рішенням завдання буде безліч абсцис х усіх точок перетину прямої з фігурою G.

Приклад. Розв'яжіть рівняння в залежності від параметра а.

Виступ 2. Графічні прийоми розв'язування задач з параметрами в системі (х; у).

У системі (х; у) будуються графіки функцій, що стоять в лівій і правій частинах рівняння або нерівності (або безліч точок у площині (х; у), координати яких задовольняють заданим рівнянням або нерівностей системи). При цьому залежно від значення параметра, один з графіків (або деякі з графіків) відчуває рух або перетворення. При фіксованому значенні параметра положення всіх графіків визначені конкретно. При цьому значенні параметра рішенням рівняння (нерівності, системи) буде безліч абсцис точок перетину отриманих графіків (областей).

Приклад. Залежно від значень параметра а визначити число коренів рівняння .

4. Закріплення отриманих знань.

1. Для всіх значень параметра а розв'язати систему нерівностей графічним методом у системі (х; а).

2. У залежності від значень параметра а визначити число коренів рівняння .

3. Знайти всі значення параметра р, при яких система має рішення, використовуючи графічний метод в системі (х; у).

4. Для всіх значень а вирішити нерівність .

5. Підведення підсумків заняття.

З якими новими методами розв'язання квадратних рівнянь і нерівностей ми познайомилися сьогодні на занятті?

Чи доступно був викладений новий матеріал?

Змогли б ви пояснити дану тему однокласникам?

Яким способом - аналітичним або графічним - простіше вирішувати квадратні рівняння і нерівності з параметром?

Учні оцінюють виступи однокласників з викладу нового матеріалу за п'ятибальною шкалою. Оцінка ставиться, виходячи з думки більшості.

Роботу решти учнів оцінює вчитель за трибальною шкалою.

6. Постановка домашнього завдання.

1. Вирішимо вправи, які не встигли на занятті.

2. Вирішити завдання 1 графічним методом у системі (х; у).

3. Вирішити завдання 3 графічним методом у системі (х; а).

Література: [12], [13], [17], [25].

. Графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами Заняття IX. Графічні прийоми розв'язання квадратних рівнянь і нерівностей з параметрами

Мета: закріплення знань по темі «Графічні прийоми розв'язання квадратних рівнянь і нерівностей з параметрами»; розвиток вміння аналізувати, логічно мислити; вдосконалення вміння будувати графіки функцій.

Хід заняття:

1. Організаційний момент.

2. Перевірка домашнього завдання.

Розбираються завдання 2 і 3 з домашнього завдання. Рішення записується і пояснюється одним з учнів на дошці.

3. Рішення задач.

Кожен учень отримує картку з завданнями, щоб вирішити її самостійно за певний час. Після закінчення часу учні з однаковими номерами на картках змінюються роботами. Завдання кожного учня - перевірити і оцінити роботу однокласника.

Варіанти карток - додаток 2.

4. Підведення підсумків заняття.

Учні виставляють один одному оцінки. Роботи здаються на перевірку вчителю, який буде перевіряти рішення і правильність оцінювання. У результаті кожен учень отримає дві оцінки: за вирішення завдань на картці і перевірку роботи однокласника. Бали за роботу виставляються на наступному занятті, після перевірки завдань вчителем.

Складно було перевіряти і оцінювати роботу товариша?

Перевіряючи роботу однокласника, чи знайшли «мінуси» у своїй роботі?

Як ви вважаєте, чи корисний спосіб роботи, застосований на уроці?

5.Постановка домашнього завдання:

Кожен учень отримує картку із завданнями, аналогічну тій, яку вирішували на занятті, але з іншим номером.

За виконане домашнє завдання учні отримають оцінку.

Література: [12], [13], [17], [25], [29].

. Заняття X. Рішення квадратних рівнянь і нерівностей з параметром

Мета: формування вміння вирішувати квадратні рівняння з параметром; розвиток вміння аналізувати, узагальнювати, систематизувати.

Хід заняття:

1. Організаційний момент. Повідомлення плану заняття, результатів роботи на минулому занятті, виставлення балів. Здача учнями домашнього завдання.

2. Рішення задач. Рішення першого рівняння записується на дошці вчителем, потім учням дається час на самостійне вирішення кожного завдання, яке перевіряється (один з учнів записує рішення на дошці).

Вирішити рівняння і нерівності:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

3. Підведення підсумків заняття.

Найбільш активним учням вчитель ставить бали за роботу на уроці.

Учні оцінюють роботу на занятті класу в цілому. Ця оцінка ставиться кожному учневі.

4. Постановка домашнього завдання:

№ 1. Вирішіть рівняння: а) ; Б) .

№ 2. Вирішіть нерівності: а) ; Б) .

№ 3. Скласти (знайти) по одному квадратному рівнянню і нерівності з параметром і вирішити їх.

Література: [1], [3], [6], [8], [12], [13], [17], [21], [25], [29], [32], [33].

. Заняття XI. Рішення квадратних рівнянь і нерівностей з параметром

Мета: формування вміння вирішувати квадратні рівняння з параметром; розвиток вміння аналізувати, узагальнювати, систематизувати.

Хід заняття:

1. Організаційний момент.

2. Перевірка домашнього завдання. На дошці записані відповіді до домашнього завдання № 1, № 2. Учні перевіряють свої отримані відповіді. Якщо у більшості відповідь не вірний, то завдання розбирається докладно, інакше, ті, хто не впорався, звертаються після заняття за допомогою до однокласників.

3. Рішення задач.

3.1. Самостійне виконання учнями завдання.

Вирішіть рівняння: а) ; Б) .

Поки учні виконують завдання, вчитель перевіряє домашнє завдання № 3 і відбирає з нього завдання.

3.2. Рішення відібраних учителем завдань з № 2 домашнього завдання.

Учні виконують запропоноване їм завдання: один учень вирішує біля дошки, решта - у зошиті; автор завдання виступає в ролі вчителя: контролює виконання завдання, пояснює при ускладненнях. Якщо завдань відібрано мало (або не відібрано), то виконуються завдання, запропоновані вчителем: самостійно, з подальшою перевіркою.

Вирішіть рівняння:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

4. Підведення підсумків заняття.

- Чи сподобалося бути в ролі вчителя?

- Яке із запропонованих завдань (складений одним з вас) здалося вам найбільш складним?

Оцінювання своєї роботи на занятті: піднімають руку ті, хто вважає, що попрацював на оцінку «5»; «4», «3». Вчитель підтверджує або змінює оцінки. Бали ставляться в табель.

5. Постановка домашнього завдання:

. I. № 1. Вирішіть: а) ; Б) .

№ 2. При яких значеннях параметра а рівняння має два різних позитивних кореня?

№ 3. При яких значеннях а нерівність не має рішень?

. II. Клас розбивається на групи по 7-9 чоловік. Кожен учень отримує завдання підготувати квиток з питань теоретичного і практичного характеру по заданій темі, по якій буде проводити опитування однокласників зі своєї групи на наступному занятті.

Завдання за темами:

1. Число коренів квадратного тричлена.

2. Знаки коренів квадратного тричлена.

3. Співвідношення на корені квадратного рівняння.

4. Розташування параболи відносно осі абсцис.

5. Розташування коренів квадратного тричлена.

6. Графічні прийоми розв'язання квадратних рівнянь і нерівностей.

7. Рішення квадратних рівнянь і нерівностей з параметром.

Література: [1], [3], [6], [8], [12], [13], [17], [21], [25], [28], [32], [33].

. Заняття XII. Різні завдання

Цілі: сприяти формуванню вмінь зі складання завдань з теми; перевірити знання, вміння, навички учнів з вивченого матеріалу.

Хід уроку:

1. Організаційний момент.

Учням пояснюється хід заняття: робота проходить всередині групи в парах змінного складу, кожен учень знає рішення і теоретичне питання свого квитка та опитує по ньому кожного учня своєї групи, при цьому виконуючи завдання свого партнера; якщо виникає необхідність, то хлопці пояснюють рішення своїх вправ.

Схема зміни партнера представлена ​​в таблиці 6.

Таблиця 6

2. Перевірка рівня знань, умінь та рівня пізнавальної самостійності учнів.

Приклади квитків - додаток 3.

У кожній групі є таблиця обліку (Таблиця 7), в якій зазначається результат роботи школярів: ставиться оцінка за відповідь на кожен квиток.

Таблиця 7

Критерії оцінювання:

«3» - повністю виконано одне завдання з картки.

«4» - повністю виконано одне завдання і приводиться ідея рішення другого завдання з картки.

«5» - виконані обидва номери.

3. Підведення підсумків уроку.

Виставляються оцінки по аркушу контролю за наступними критеріями:

«3» - якщо 5 карток і більше виконані на оцінку «3».

«4» - якщо 5 карток і більше виконані на 4, або однакову кількість оцінок «3» і «5», решта підсумки «4».

«5» - якщо 4 і більше карток виконано на «5», решта - на оцінку «4».

Даються рекомендації кожному учневі, на що йому звернути увагу при виконанні домашнього завдання.

4. Домашнє завдання.

Групи змінюються завданнями і розподіляють кожному учневі по 2-3 квитка, з урахуванням труднощів, що виникли під час роботи на уроці, а також за вільним вибором.

Оголошується, що на наступному занятті буде залік по матеріалу всього курсу.

Література: [1], [3], [4], [9], [17], [18], [21], [25], [28].

. Заняття XIII. Залік

Мета: виявити рівень оволодіння учнями знаннями і вміннями на елективної курсі «Квадратні рівняння та нерівності з параметром».

Хід заняття:

1. Організаційний момент.

Робота складена за типом контрольно-вимірювальних матеріалів єдиного державного іспиту, який належить пройти після закінчення школи.

Учням пропонується пройти комп'ютерне тестування за темою «Квадратні рівняння та нерівності з параметром». У роботі представлено чотири завдання рівня А, з вибором відповіді, п'ять завдань рівня Б, де потрібно написати свою відповідь. Виконання даних вправ здійснюється за допомогою комп'ютера. Підводиться попередній підсумок. Далі учні на окремому аркуші виконують два завдання рівня С, де потрібно привести докладний рішення. Після їх перевірки вчителем виставляється підсумкова оцінка.

2. Перевірка рівня знань і вмінь, рівня пізнавальної самостійності учнів. Підсумкова контрольна робота (Додаток 4).

3. Підведення підсумків уроку.

Учням повідомляється, що остаточні результати роботи будуть оголошені на наступному занятті.

З'ясовується думку учнів про проведену залікової роботи.

4. Постановка домашнього завдання.

На наступному занятті - конференція по підведенню підсумків вивчення курсу. Клас ділиться на групи по 5-6 чоловік. Завдання кожної групи підготувати виступ, в якому вкажуть, що було цікавим при вивченні, що складним; що сподобалося, що ні; які пропозиції можуть внести по удосконаленню курсу. Кожен учень повинен представити папку із завданнями.

Література: [16], [22], [25].

. Заняття XIV. Конференція по підведенню підсумків вивчення курсу.

Мета: підведення підсумків вивчення елективного курсу;

Хід заняття:

1. Організаційний момент: повідомлення цілей і плану заняття.

2. Виступ учнів.

2.1. Представники від кожної групи розповідають про складеної в ході вивчення курсу папки з завданнями, виділяють найбільш цікаві теми і завдання, найбільш важкі і легкі для засвоєння.

2.2. Кожна група відзначає «плюси» і «мінуси» даного курсу, вносить свої пропозиції щодо його вивчення.

3. Виступ учителя.

Учитель узагальнює все сказане учнями.

Підводить підсумки по табелям балів: повідомляє рівень, на якому учні освоїли даний курс: 1 рівень - більше 71 бали; 2 рівень - 41-70 балів; 3 рівень - менш ніж 40 балів.

4. Підведення підсумків. Вручення учням сертифікатів, що підтверджують проходження курсу, з зазначеним у ньому рівнем освоєння курсу.

1. 3. Дослідне викладання

Дослідне викладання здійснювалось у ході педагогічної практики в середній загальноосвітній школі № 1 п. Оріч Кіровської області. В якості основної експериментальної бази був вибраний 9 ^б клас.

Були проведені два заняття з елективного курсу «Дослідження квадратних рівнянь і нерівностей з параметром» за темами:

1. Співвідношення між країнами квадратного рівняння.

2. Розташування параболи відносно осі абсцис.

, V ). Детальний опис цих занять міститься в розділі 2 (заняття III, V). от проведенного на практике в том, что задача, предлагаемая для решения дома, выполнялась учениками самостоятельно на занятии. Відмінність представленого в роботі заняття III від проведеного на практиці в тому, що завдання, запропонована на вирішення будинку, виконувалась учнями самостійно на занятті.

Мета проведення занять - розширити і поглибити знання учнів з теми «Квадратний тричлен і його властивості»; підготовка учнів до конкурсних іспитів з математики; підвищення рівня математичної культури.

Незважаючи на те, що елективний курс - це курс за вибором, пов'язаний, перш за все, із задоволенням індивідуальних освітніх інтересів, потреб і схильностей кожного школяра, на заняттях був присутній весь клас, тому що заняття проводилися в рамках часу, відведеного на факультативи, які в даній школі проводяться в обов'язковому порядку.

Деякі школярі вже вибрали математику в якості основи продовження своєї освіти. Вони були зацікавлені у розгляді запропонованих тем, виконанні завдань. Так як на заняттях був присутній весь клас в обов'язковому порядку, то серед учнів були ті, у яких немає потреб і здібностей до вивчення математики, внаслідок чого запропоновані завдання виявилися непосильними й не викликали інтересу.

Під час проведення занять було виявлено, що учні засвоїли тему з шкільного курсу алгебри «Квадратний тричлен і його властивості» і мають уявлення про те, що таке параметр. Але при виконанні запропонованих завдань у школярів виникли труднощі, оскільки завдання вимагали дослідницьких навичок, логічного мислення, що, як виявилося, у них розвинене слабко. Це говорить про те, що шкільний курс обмежений і не дозволяє розглядати задачі, що вимагають не тільки дій за алгоритмом.

Самостійний пошук рішення задачі перед розглядом теми «Співвідношення на корені квадратного тричлена» виявився для учнів складним, але все ж дозволив школярам проявити свої здібності, змусив задуматися над завданням.

Складання узагальнюючої таблиці по виділених самими ж учнями умов розташування графіка квадратичної функції залежно від коефіцієнтів відповідного квадратного рівняння виявилося ефективним.

У деяких учнів є схильність до вивчення математики, але базовий курс математики не створює умов для підтвердження вибраної траєкторії навчання відповідно до схильностями, здібностями і потребами школяра і розвитку цих здібностей.

Таким чином, виходячи з проведеного досвідченого викладання, можна зробити висновок, що розроблена методика проведення елективного курсу «Квадратні рівняння та нерівності з параметром» ефективна.

Висновок

Курси за вибором - це новітній механізм актуалізації та індивідуалізації процесу навчання. З добре розробленою системою елективних курсів кожен учень може отримати освіту з певним бажаним ухилом в ту чи іншу галузь знань.

Цілями даної роботи ставилися розгляд положень щодо створення елективних курсів і розробка елективного курсу для 9 класу «Квадратні рівняння та нерівності з параметром».

У першому розділі розглядалися основні положення щодо створення елективних курсів. Зокрема, розібрані такі питання, як типи курсів, мотиви вибору, вимоги до змісту, навчально-методичний комплекс.

У другому розділі розроблена методика викладання елективного курсу «Квадратні рівняння та нерівності з параметром»: представлено докладний опис кожного заняття з застосовуваними методами і формами навчання, з прикладами завдань, можливими формами контролю засвоєння матеріалу школярами.

У процесі досвідченого викладання, згідно з розробленою методикою, були проведені два заняття з цього курсу в 9 класі.

Даний елективний курс може мати своє продовження у старшій школі при вивченні такого курсу, як «Рівняння і нерівності з параметром, що зводяться до квадратних».

Таким чином, мета даної роботи досягнута, сформульована гіпотеза доведена.

На наш погляд, елективні курси незамінні для досягнення основних цілей освіти на старшій ступені школи.

Бібліографічний список

1. Алгебра: Навчальний посібник для учнів 9 класу з поглибленим вивченням математики [Текст] / Н.Я. Віленкін, Т.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.І. Кудрявцев; Під редакцією Н.Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 2001. . - 384 c.

2. Болтянский, В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунін М.І. Лекції та завдання з елементарної математики [Текст] / В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.І. Шабунін - М.: Наука, 1974. - 576 с.

3. Галицький, М.Л. Збірник задач з алгебри для 8-9 класів [Текст]: Уч.пособие для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики / М.Л. Галицький, А.М. Гольдман, Л.І. Звавіч. - М.: Просвещение, 1994. - 271 с.

4. Горнштейн, П.І. Завдання з параметрами [Текст] / П.І. Горнштейн. - Київ: РІА «Текст»; МП «Око», 1992. - 290 с.

5. Горшеніна, Т. Завдання з параметром 8 клас [Текст] / Т. Горшеніна / / Математика. - 2004. - № 16. - С.12-17.

6. Громов, А.І. Посібник-репетитор з математики. Підготовка до письмового іспиту [Текст]: Учеб.пособие / А.І. Громов, В.М. Савчин. - Ростов н / Д: Фенікс, 2001. - 480с.

7. Дорофєєв, Г. В. Про завдання з параметрами, пропонованих на вступних іспитах до вузів [Текст] / Г.В. Дорофєєв / / Математика в школі. - 1983. - № 4. - С. 23-27.

8. Дорофєєв, Г.В. Квадратний тричлен у задачах [Текст] / Г.В. Дорофєєв. - Львів: Журнал Квантор. Вип. 2. - 1986. - 103 с.

9. Дорофєєв, Г.В. Збірник завдань для підготовки і проведення письмового іспиту з математики (курс А) і алгебри та початків аналізу (курс В) за курс ср.школа 11 кл. [Текст]: експертне посібник / Г.В. Дорофєєв, Г.К. Муравин, Е.А. Сєдова. - М.: Дрофа, 2000. - 120 с.

10. Єрмаков, Д. Течії і «підводні камені» у море елективних курсів [Текст] / Д. Єрмаков / / Народна освіта. - 2007. - № 1. - 155-162.

11. Єрмаков, Д.С. Створення елективних навчальних курсів для профільного навчання [Текст] / Д.С. Єрмаков, Г.Д. Петрова / / Шкільні технології. - 2003. - № 6. - С. 22-29.

12. Здоровенко, М.Ю. Збірник завдань з елементарної математики [Текст] / М.Ю. Здоровенко, Л.В. Караулова. - Кіров, 1998. - 80 с.

13. Здоровенко, М.Ю. Вчимося вирішувати завдання з параметрами: квадратний тричлен [Текст]: Уч.пособие / М.Ю. Здоровенко, В.М. Караулов. - Кіров, 2001. - 140 с.

14. Концепція модернізації російської освіти на період до 2010 р. [Текст] / / Вісник освіти. - 2002. - № 6. - С.3-13.

15. Концепція профільного навчання на старшій ступені загальної освіти [Текст] / / Стандарти і моніторинг в освіті. - 2002. - № 3. - С.3-11.

16. Королева Т.М. Посібник з математики на допомогу учасникам централізованого тестування з математики [Текст] / Т.М. Корольова, Є.Г. Маркарян, Ю.М. Нейман. - М.: Прометей, 2000. - 280 с.

17. Крамор, В.С. Приклади з параметрами та їх вирішення [Текст]: Посібник для вступників до вузів / В.С. Крамор. - М.: аркто, 2000. - 342 с.

18. Креславского, О. Завдання з параметром в підсумковому повторенні 11 клас [Текст] / О. Креславского / / Математика. - 2004. - № 18. - С. 17-21.

19. Кудрявцев, Л.Д. Про тенденції та перспективи математичної освіти [Ел. ресурс] / Л.Д. Кудрявцев, А.І. Кирилов, М.А. Бурковська, О.В. . Зіміна - www.AkademiaXXI.ru.

20. Кузовлєв, А. Розташування коренів квадратного тричлена при вирішенні завдань з параметрами [Текст] / А. Кузовлев / / Математика .- 2004. - № 34. - С. 19-27.

21. Математика. 9 кл: Алгебра. Опції. Аналіз даних: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів [Текст] / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова, Е.А. Бунімович та ін; Під редакцією Г.В. Дорофєєва. - М.: Дрофа, 2000. - 352 с.

22. Математика. Тести 11 клас. Варіанти і відповіді державного тестування [Текст]. - М.: Прометей, 1998. - 40 с.

23. Про елективних курсах у системі профільного навчання на старшій ступені загальної освіти [Ел. ресурс]: Інформаційний лист Департаменту загальної та дошкільної освіти Міносвіти України № 14-51-277/13 від 13.11.2003-www.profile-edu.ru

24. Петунін, О.В. Курси за вибором на етапі передпрофільне підготовки [Текст] / О.В. Петунін, Л.В. Трифонова / / Шкільні технології. - 2006. - № 1. - С.88-90.

25. Підгірна, І.І. Завдання з параметрами [Текст] / І.І. Підгірна. - К.: Вид-во ВятГГУ, 2006.

26. Федяєва Л.В. Курси за вибором з математики в системі профільного навчання [Ел. ресурс] / Л.В. Федяєва / / Електронний науковий журнал «Вісник Омського державного педагогічного університету». - 2007. . - Www.omsk.edu.

27. Чернікова, Т.В. Методичні рекомендації з розробки та оформлення програм елективних курсів [Текст] / Т.В. Чернікова / / Профільна школа. - 2005. - № 5. - С.11-16.

28. Шаригін, І.Ф. Факультативний курс з математики: Рішення задач [Текст]: Навчальний посібник для 10 кл. середньої школи / І.Ф. Шаригін. - М.: Просвещение, 1989. - 252 с.

29. Шпендлер, О. Закат Європи [Текст] / О. Шпендлер. - М.: Просвещение, 1993. - 438 с.

30. Курси за вибором у профільному навчанні [Текст] / Міністерство освіти РФ - Національний фонд підготовки кадрів. - М.: Віта-Пресс, 2004. . - 144 c.

31. Курси за вибором у профільному навчанні: Освітня галузь "Математика" [Текст] / Міністерство освіти РФ - Національний фонд підготовки кадрів. - М.: Віта-Пресс, 2004. - 96 с.

32. Ястребінецкій, Г.А. Завдання з параметрами [Текст]: Кн.для вчителя / Г.А. Ястребінецкій. - М.: Просвещение, 1986. - 126 с.

33. Ястребінецкій, Г.А. Рівняння і нерівності, що містять параметри [Текст]: Посібник для вчителів / Г.А. Ястребінецкій - М.: Просвещение, 1977. - 128 с.