МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Севастопольський національний технічний університет
Кафедра технічної кібернетики
Курсова робота З ДИСЦИПЛІНИ
«Обчислювальні методи» на тему:
«Експериментальне дослідження властивостей методів Рунге-Кутта»
Виконала: студентка гр. А-31Д
Воротілова Я.М.
Перевірив: миряни В.І.
Севастополь
2004
ЗМІСТ
ВСТУП
1 ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ
1.1 Приведення до нормальної форми Коші
1.2 Метод Рунге-Кутта другого порядку
2 ОПИС ПРОГРАМНИХ МОДУЛІВ
2.1 Основна програма
2.2 Функція обчислення точного рішення
2.3 Процедура обчислення правих частин системи рівнянь в нормальній формі Коші
2.4 Процедура RK 2
2.5 Процедура RK 4
3 ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ методом Рунге-Кутта
3.1 Аналіз впливу величини кроку на точність інтегрування методами Рунге-Кутта другого і четвертого порядку
3.2 Перевірка гіпотези Рунге
3.3 Дослідження поведінку помилки інтегрування як функції незалежної змінної для обох методів Рунге-Кутта при різних значеннях кроку
3.4 Порівняльний аналіз ефективності методів Рунге-Кутта при різних вимогах до точності обчислення
ВИСНОВОК
БІБЛІОГРАФІЯ
ДОДАТОК А
ДОДАТОК Б
ДОДАТОК В
ВСТУП
Ця курсова робота присвячена досвідченого дослідження властивостей методів Рунге-Кутта і реалізації на персональних комп'ютерах чисельних методів наближеного інтегрування ОДУ, що найбільш часто застосовуються на практиці моделювання та проектування СА і У. Експериментальні дослідження проводяться за допомогою складених і налагоджених програм інтегрування звичайних диференціальних рівнянь на ЕОМ.
Завдання передбачає:
закріплення теоретичних навичок і знань у питанні про проблематику інтегрування ОДУ і чисельного розв'язання задачі Коші методом Рунге-Кутта, вивчення їх основних властивостей (точність, ефективність, стійкість) та основних характеристик даних властивостей (локальна та глобальна алгоритмічні помилки, порядок методу, помилка обчислення і тощо);
придбання основних навичок складання та налагодження процедур і функцій інтегрування на основі методів Рунге-Кутта і програм інтегрування систем диференціальних рівнянь з використанням все тих же процедур і функцій;
проведення дослідних досліджень залежності точності, ефективності та стійкості алгоритмів інтегрування від величини кроку інтегрування і порядку методу Рунге-Кутта на ЕОМ.
У різних сферах технічних і навіть економічних галузей доводиться досить часто стикатися з математичними завданнями, для яких не представляється можливим описати точне рішення класичними методами або це рішення виражено вкрай неудобочітаемимі співвідношеннями, які являють собою неприйнятну для мозку їжу, не кажучи вже про використання або реалізації на практиці.
Розробляються обчислювальної математикою чисельні методи носять в основному орієнтовний характер, однак вони дозволяють отримати підсумковий числовий результат з непоганою для практичних потреб точністю. Чисельні методи являють собою алгоритми обчислення приблизних значень шуканого рішення на певній сітці значень аргументу. За певних умов значення аргументу можуть бути точними.
Чисельні методи не дозволяють знайти спільне рішення: отримане рішення є приватним. Але одним з численних плюсів даних методів можна назвати високу ступінь застосовності до великих класів рівнянь і всіма типами питань і завдань до них. Тому з появою електронних обчислювальних машин чисельні методи стали одними з основних технологій вирішення певних практичних завдань рішення ОДУ.
Велику значимість має питання про вірність обчислень на ЕОМ, оскільки при практичній реалізації має місце великий обсяг оброблюваної підраховуваний інформації та похибки можуть досить сильно зіпсувати кінцевий результат, який приймається нами за дійсний з «поправками на вітер». Крім сказаного оцінка точності чисельного методу важлива і тому, що збільшити точність у деяких межах можна за рахунок збільшення обсягів обчислень, а зменшити тимчасові витрати при вирішенні завдання - за рахунок зниження точності одержуваного результату.
Для зниження похибки методів інтегрування ОДУ, що використовує розкладання шуканого розв'язку в ряд Тейлора, необхідно приймати до уваги більшу кількість членів ряду. При всьому при цьому з'являється потреба апроксимації похідних правих частин ОДУ. Ключова ідея методів Рунге-Кутта полягає в тому, що похідні апроксимуються через значення функції у точках на інтервалі
, Які вибираються з умови найбільшої близькості алгоритму до ряду Тейлора. У залежності від старшого ступеня
, З якою враховуються члени ряду, побудовані всілякі обчислювальні схеми Рунге-Кутта різних порядків точності.
Серед достоїнств схем Рунге-Кутта не слід обходити в увазі:
легкотравну точність;
одноступінчастої, тобто щоб знайти
, Необхідна інформація лише про попередню точці
;
координування з рядом Тейлора аж до членів порядку
, Де ступінь
неоднакова для різних методів і іменується порядком методу;
відсутність необхідності обчислення похідних від
, Причому накладається вимога обчислення всього-на-всього самої функції.
Власне завдяки вищезазначеному властивості c) методи Рунге-Кутта краще рядів Тейлора для реалізації на практиці. Тим не менше приводів для веселощів мало, бо перед нами стоїть нелегке завдання неодноразового обчислення функції при неоднакових значеннях
і
для обчислення наступної точки рішення. Це Богом дароване покарання за котрі створили чисельним методом поблажку, яка полягає у відсутності якої б то не було потреби обчислення інший раз досить громіздких похідних, але труднощів бояться хто завгодно, тільки не ми.
1 ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ
1.1 Приведення до нормальної форми Коші
Нормальною формою Коші прийнято називати загальну форму запису ОДУ, тобто подання у вигляді системи диференціальних рівнянь першого порядку:
(1)
ДУ другого порядку, заданий відповідно до варіанту № 3 має вигляд:
(2)
Завдання передбачає знаходження рішення на інтервалі
при наступних початкових умовах:
(3)
Для вирішення ДУ його просто необхідно представити згідно нормальної форми Коші. Для цього керуємося такими позначками:
(4)
У підсумку існує система ДК першого порядку виду:
(5)
Зробивши всі вищеописані маніпуляції над заданим у варіанті рівнянням, отримаємо наступну систему:
(6)
Система (6) є рішення рівняння (2).
1.2 Метод Рунге-Кутта другого порядку
У методах Рунге-Кутта інтеграл замінюється лінійною комбінацією значень підінтегральної функції, обчислених при різних значеннях аргументу:
(7)
Метод Рунге-Кутта представимо у вигляді:
(8)
З вищевказаних загальних формул (8) отримують формули методу Рунге-Кутта другого порядку m = 2;
(9)
Для визначення методу необхідно знайти значення речових коефіцієнтів: . Для цього інтеграл, що замінюється лінійною комбінацією значень підінтегральної функції, обчислених при різних значеннях аргументу, можна представити як:
(10)
А його, у свою чергу, можна уявити поруч Тейлора:
(11)
де - Сума елементів ряду Тейлора, ступінь яких не нижче 3.
Залишилося знайти невідомі значення
(12)
У результаті таких нехитрих маніпуляцій отримуємо шуканий ряд Тейлора:
(13)
Прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях у виразах
(11) і (13). У результаті отримаємо систему рівнянь виду:
(14)
З властивостей системи (14) слід зазначити, що вона не володіє єдиним рішенням. При значення
, Значення
, А
(15)
Підставивши отримані коефіцієнти у співвідношення (8), отримуємо такі формули методу Рунге-Кутта другого порядку:
(16)
2 ОПИС ПРОГРАМНИХ МОДУЛІВ
Складена в ході курсової роботи програма обчислює рішення диференціального рівняння, за попередньо заданими початковими умовами. Інтегрування відбувається відповідно до двох методів: Рунге-Кутта другого і четвертого порядків.
Програма складається з наступних модулів:
Основна програма;
Процедура обчислення точного рішення ДУ;
Процедура обчислення правих частин;
Процедура виконує крок інтегрування методом Рунге-Кутта другого порядку;
Процедура виконує крок інтегрування методом Рунге-Кутта 4-ого порядку.
2.1 Основна програма
Блок програми здійснює наступні операції:
запитує у недбайливого користувача величину кроку інтегрування і крок виведення на екран;
обчислює кількість кроків;
із заданим кроком викликає процедури інтегрування методом Рунге-Кутта другого і 4-ого порядку на відрізку інтегрування;
обчислює похибка і оцінку похибки інтегрування;
виводить чудові результати роботи програми з заданим кроком виведення на екран.
Для простоти розуміння вкажемо такі змінні, що містяться в програмі:
h - крок інтегрування. Вводиться недбайливим користувачем з клавіатури;
n - число кроків інтегрування;
h _ screen - крок виведення результатів на екран. Вводиться недбайливим користувачем з клавіатури;
i _ screen - лічильник виведення результатів на екран. Коли i _ screen> h _ screen, то відбувається виведення результатів і обнулення i _ screen;
i, j - змінні, використовувані циклом;
e 2, e 4 - помилки інтегрування для методів Рунге-Кутта другого і 4-ого порядку відповідно. Підраховуються зі співвідношення (1):
(1)
e 2 max, e 4 max - оцінки похибок інтегрування для методів Рунге-Кутта другий і 4-ого порядку відповідно. Підраховуються із співвідношення (2):
(2)
t - значення незалежної змінної;
t 0, tf - межі інтегрування
y 2, y 4 - вектора рішення для методів Рунге-Кутта другого і 4-ого порядку відповідно у вузлі t k ;
outfile - мінлива файлового типу. Визначено для виведення результатів у текстовий файл;
name - мінлива строкового типу. Використовується для передачі імені файлу.
Текст основної програми наведено в додатку А, схема в додатку Б.
2.2 Функція обчислення точного рішення
function clearsolve (t: real): real
Функція призначена для обчислення точного рішення для диференціального рівняння за формулою (3):
(3)
Текст функції наведено в додатку 2, схема в додаток 7.
2.3 Процедура обчислення правих частин системи рівнянь в нормальній формі Коші
procedure right (t: real; var x, f: vector_n);
Процедура обчислює праві частини системи однорідних диференціальних рівнянь в нормальній формі Коші за формулою (4):
(4)
Текст процедури наведено в додатку А, а схема в додаток Б.
2.4 Процедура RK 2
procedure RK2 (t: real; h: real; var x: vector_n);
Зазначимо формальні параметри:
t - незалежна змінна;
h - крок інтегрування;
x - масив рішень. При вході в процедуру вирішення в поточному вузлі інтегрування, при виході в наступному.
Процедура RK 2 виконує крок інтегрування системи ОДУ методом Рунге-Кутта другого порядку зі співвідношення (5):
(5)
де
(6)
Процедура звертається до процедури обчислення правих частин right з різними параметрами для обчислення і
(6). Потім з Божою допомогою (5) вважає значення
.
Текст процедури наведено в додатку А, схема в додаток Б.
2.5 Процедура RK4
procedure RK4 (t: real; h: real; var x_4: vector_n);
Формальні параметри:
t - незалежна змінна;
h - крок інтегрування;
x - масив рішень. При вході в процедуру вирішення в поточному вузлі інтегрування, при виході в наступному.
Процедура RK 4 виконує крок інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь (1.1.2) методом Рунге-Кутта 4-ого порядку (7).
(7)
де
(8)
Процедура чотири рази звертається до процедури обчислення правих частин right з різними параметрами для обчислення ,
,
,
(8). Потім з Божою допомогою (7) вважає значення
.
Текст процедури наведено в додатку А, схема в додаток Б.
3 ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ методом Рунге-Кутта
3.1 Аналіз впливу величини кроку на точність інтегрування методами Рунге-Кутта другого і четвертого порядків
Плоди діяльності на ПЕОМ наводяться у додатку В. Результат наполегливої праці програми представлені у графічному вигляді (рисунок 1).
Малюнок 1 - Залежність оцінки e 2 від кроку інтегрування
Рисунок 2 - Залежність оцінки e 4 від кроку інтегрування
На малюнках зображено залежність оцінки похибки інтегрування від величини кроку інтегрування для обох методів. З нього видно, що практичні результати відповідають теоретичним положенням, але не зовсім.
При кроці від 0.1 до 1 безперечно вплив похибки інтегрування як у методі другого, так і в методі четвертого порядків. Помилка на даному інтервалі починає лавиноподібно зростати, що пов'язано з порушенням стійкості алгоритму.
З подальшим зменшенням кроку до 0.1 - 0.001 величина похибки зменшується за компанію, і спостерігається досить велика точність обчислень.
Подальше зменшення кроку (менше 0.001) викликає збільшення повної помилки, а також погане її поведінку. Це пов'язано із зростанням впливу помилки обчислень через збільшення кількості обчислень, необхідних для отримання рішення. На тлі зменшення алгоритмічної похибки вирішальну роль грає похибка обчислень, яка представляє собою суму всіх помилок округлення при реалізації даного методу на конкретній ПЕОМ.
З двох методів 2-го і 4-го порядків при однакових значеннях кроку точніше метод четвертого порядку, але при зменшенні кроку, точність методів поступово вирівнюється.
3.2 Перевірка гіпотези Рунге
Відповідно до гіпотези, сумарна похибка алгоритму при інтегруванні ДУ з постійним кроком пропорційна величині кроку в ступені, що дорівнює порядку методу.
(1)
Результати обчислень на ПЕОМ наводяться у додатку В. Результат роботи програми наочно представлені в графічному вигляді (рис. 2).
Рисунок 3 - Залежність відносини оцінки похибки до величини кроку інтегрування в ступені, що дорівнює порядку методу від кроку інтегрування
Гіпотеза Рунге експериментально підтверджується лише за таких значеннях кроку (1-0.01), де похибка обчислення ПЕОМ впливає на результат у розсудливих межах. При подальшому зменшенні кроку пропорційність ховається з уваги. Це можна витлумачити тим, що припущення Рунге не враховує впливу помилки обчислення ПЕОМ на отриманий результат.
3.3 Дослідження поведінку помилки інтегрування як функції незалежної змінної для обох методів Рунге-Кутта при різних значеннях кроку
Для проведення своїх досліджень нам необхідно вибрати 3 значення кроку на початку, середині і наприкінці діапазону зміни кроку і побудувати графічні залежності рішень від незалежної змінної і похибок інтегрування від незалежної змінної.
Результати обчислень на ЕОМ наводяться у додатку В. Результат роботи програми наочно представлені в графічному вигляді (рисунок 3 і 4).
Рисунок 4 - Графік точного і наближених рішень (h = 0.001, 0.1, 0.5) диференціального рівняння
На малюнку 3 злегка, але все-таки помітні відхилення наближених рішень при різній величині кроку від точного, що підтверджує високу точність одержуваного наближеного рішення щодо точного.
Рисунок 5 - Графік залежності величини помилки інтегрування від незалежної змінної при h = 0.001, 0.1, 0.5
При кроці, чисельно рівному 0.5 з малюнка 5 очевидно, що відмінності між похибками методом 2-ого (E 5) і 4-ого (E 6) порядків досить значні, що пояснюється більш високою точністю методу 4-ого порядку.
Різниця помилок інтегрування для обох методів при кроці інтегрування 0.1 залишається досить високою, але слід зазначити, що точність методу Рунге-Кутта 4-ого порядку при даному значенні кроку вище, ніж при меншій h = 0.001 (це обумовлено тим, що алгоритмічна помилка прагне до нулю, а обчислювальна ще не показує свій огидний характер).
При величині кроку інтегрування h = 0.001 помилки інтегрування (E 1 і E 2), так само як і при великих h зростають із зростанням незалежної змінної, що слава Богу не суперечить теорії, однак простежується стрибкоподібний характер графіків, що пов'язано зі значною лептою обчислювальної помилки в загальну похибку.
3.4 Порівняльний аналіз ефективності методів Рунге-Кутта при різних вимогах до точності обчислення
Для аналізу слід оцінити витрати машинного часу на інтегрування ДУ в залежності від величини похибки інтегрування.
Так як для досить непростих рівнянь левова частка часу йде на обчислення правих частин рівнянь, то в якості оцінки витрат машинного часу можна прийняти кількість обчислень правих частин при знаходженні рішення на всьому відрізку інтегрування, що є твір кількості кроків інтегрування на порядок методу. Залежність оцінки помилки інтегрування від кількості кроків інтегрування визначена.
Чудові результати обчислень на ПЕОМ наведені все в тому ж додатку В. Результат роботи програми представлені графічно (рисунок 5).
Малюнок 6 - Графік залежності величини помилки інтегрування від кількості обчислень правої частини
З довколишнього графіка практично визначається метод для різних вимогах до точності і часу роботи нашої чудової програми.
Графік наочно демонструє, що є в наявності така межа кроку, нижче якого програма ганяє свої байти даремно, тому що оцінка похибки росте через помилки обчислення ПЕОМ. Стало бути, на практиці слід вибирати певний проміжок кроку, бажано в якому алгоритм стійкий.
ВИСНОВОК
При реалізації на практиці завдання для курсової роботи, що полягає в інтегрування ОДУ, була складена і налагоджена програма, наведена у додатку А. За допомогою даної програми проведено серію досвідчених досліджень властивостей методів Рунге-Кутта другого і четвертого порядків.
При завданні певного інтервалу значень кроку інтегрування помилка інтегрування зменшується зі зменшенням кроку. Підтвердження цього факту можна без труднощів знайти в теорії. Однак не можна оминути увагою той труднооспорімий аргумент, що для досить незначних значень зі зменшенням кроку інтегрування помилку властиво збільшується. Це пов'язано з обвальним зростанням числа необхідних для отримання рішення обчислень і c збільшенням помилки обчислень.
На заданому інтервалі значень (За умови, що на інтервалі помилка обчислень велика не до неподобства), при однакових значеннях кроку інтегрування метод Рунге-Кутта четвертого порядку має досить малу помилку обчислення щодо помилки методу Рунге-Кутта другого порядку.
Слід зазначити, що коефіцієнт (Формула (1) розділу 3) для таких значень кроку інтегрування, при яких можна скриплячи серцем вважати його незмінним, має менше значення для методу Рунге-Кутта четвертого, ніж другого порядку. Звідси мораль: помилка інтегрування за допомогою методу Рунге-Кутта четвертого порядку менше помилки інтегрування при використанні методу Рунге-Кутта другого порядку і зумовлено це не тільки тим, що вона обернено пропорційна величині кроку у четвертій, а не в другому ступені, але і від того, що коефіцієнт пропорційності при цьому істотно менше.
Метод Рунге-Кутта четвертого порядку має значно меншу помилку обчислення, ніж метод Рунге-Кутта другого порядку (за умови ідентичних машинних витрат). При незмінній необхідної точності для методу Рунге-Кутта четвертого порядку необхідні менші витрати машинного часу щодо методу Рунге-Кутта другого порядку, чому при коректному виборі кроку інтегрування метод Рунге-Кутта четвертого порядку значно результативніше, ніж метод Рунге-Кутта другого порядку.
БІБЛІОГРАФІЯ
Самарський О.А., Гулін А.В. Чисельні методи. М.: Наука, ГРФМЛ, 1989 .- 432с.
Бахвалов Н.С. Чисельні методи. М.: Наука, ГРФМЛ, 1987.-600 с.
Ляшко І.І., Макаров В.Л. Інтегральні методи обчислень. Київ, 1977, 408с.
Мантуров О.В. Курс вищої математики М.: В.Ш.-1991.-448с.
Маліков В.Т. Обчислювальні методи та застосування Київ: В.Ш.-1989.-213 с.
ДОДАТОК А
(Довідковий)
Основна програма
program DU (input, output);
uses crt;
type vector_n = array [1 .. 2] of real;
var t0, tf, k, j, n: integer;
t, yt, h, h_screen, e2, e4, e2max, e4max, i_screen: real;
y2, y4: vector_n;
name: string;
outfile: text;
begin
clrscr;
writeln ('Please enter file name');
readln (name);
writeln ('Please enter h, h_screen');
readln (h, h_screen);
clrscr;
writeln;
assign (outfile, name);
rewrite (outfile);
t0: = 0;
tf: = 10;
n: = round ((tf-t0) / h);
y2 [1]: = 1;
y2 [2]: = 0;
y4: = y2;
e2: = 0;
e4: = 0;
e2max: = 0;
e4max: = 0;
t: = t0;
i_screen: = h_screen;
for k: = 0 to n do
begin
yt: = clearsolve (t);
e2: = abs (yt-y2 [1]);
e4: = abs (yt-y4 [1]);
if e2> e2max then e2max: = e2;
if e4> e4max then e4max: = e4;
if i_screen> h_screen-0.00001 then
begin
yt: = clearsolve (t);
e 2: = abs (yt - y 2 [1]);
e4: = abs (yt-y4 [1]);
if e2> e2max then e2max: = e2;
if e4> e4max then e4max: = e4;
if i_screen> h_screen-0.00001 then
begin
writeln ('t =', t: 6:3, '; yt =', yt: 9:3, '; y2 =', y2 [1]: 9:3, '; y4 =', y4 [1] : 9:3, '; e2 =', e2: 6:3, '; e4 =', e4: 8:6);
writeln (outfile, 't =', t: 10:6, '; yt =', yt: 10:6, '; y2 =', y2 [1]: 10:6, '; y4 =', y4 [ 1]: 10:6, '; e2 =', e2: 12:9, '; e4 =', e4: 12:9 ,'.');
i_screen: = 0;
end;
if t + h> tf-0.000001 then
begin
h: = tf-t;
t: = tf-h;
i_screen: = h_screen;
end;
RK2 (t, h, y2);
RK4 (t, h, y4);
t: = t + h;
i_screen: = i_screen + h;
end;
writeln;
writeln ('h =', (h): 8:5, '; e2max =', e2max: 16:8, '; e4max =', e4max: 16:8, '', n: 8);
writeln (outfile);
writeln (outfile, 'h =', h: 6:5, '; e2max =', e2max: 10:8, '; e4max =', e4max: 10:8 ,'.');
close (outfile);
readkey;
end.
Функція обчислення точного рішення
function clearsolve (t: real): real;
begin
clearsolve: = exp (-t) * (cos (t) + sin (t) + t * sin (t));
end;
Процедура обчислення правих частин системи рівнянь в нормальній формі Коші
procedure right (t: real; var x, f: vector_n);
begin
f [1]: = x [2];
f [2]: = 2 * exp (-t) * cos (t) -2 * x [1] -2 * x [2];
end;
Процедура RK2
procedure RK2 (t: real; h: real; var x: vector_n);
var h4, h23: real;
f1, f2, xr: vector_n;
begin
h4: = 0.25 * h;
h23: = 0.66666667 * h;
right (t, x, f1);
for j: = 1 to 2 do xr [j]: = x [j] + h23 * f1 [j];
right (t + h23, xr, f2);
for j: = 1 to 2 do x [j]: = x [j] + h4 * (f1 [j] +3 * f2 [j]);
end;
Процедура RK4
procedure RK4 (t: real; h: real; var x: vector_n);
var h2, h6: real;
f, fs, xr: vector_n;
begin
h2: = 0.5 * h;
h6: = 0.166666667 * h;
right (t, x, fs);
for j: = 1 to 2 do xr [j]: = x [j] + h2 * fs [j];
right (t + h2, xr, f);
for j: = 1 to 2 do
begin
xr [j]: = x [j] + h2 * f [j];
fs [j]: = fs [j] +2 * f [j];
end;
right (t + h2, xr, f);
for j: = 1 to 2 do
begin
xr [j]: = x [j] + h * f [j];
fs [j]: = fs [j] +2 * f [j];
end;
right (t + h, xr, f);
for j: = 1 to 2 do
x [j]: = x [j] + h6 * (f [j] + fs [j]);
end;
ДОДАТОК Б
(Довідковий)
Схема основної програми
Схема функції обчислення точного рішення
Схема процедури обчислення правих частин системи рівнянь в нормальній формі Коші
Схема процедури RK2
Схема процедури RK 4
ДОДАТОК В
(Довідковий)
Результати експериментів
t = 0.000000; yt = 1.000000; y2 = 1.000000; y4 = 1.000000; e2 = 0.000000; e4 = 0.000000
t = 0.400000; yt = 0.982855; y2 = 0.983425; y4 = 0.982856; e2 = 0.000570; e4 = 0.000001
t = 0.800000; yt = 0.893242; y2 = 0.893209; y4 = 0.893244; e2 = 0.000033; e4 = 0.000001
t = 1.200000; yt = 0.726735; y2 = 0.725954; y4 = 0.726735; e2 = 0.000781; e4 = 0.000001
t = 1.600000; yt = 0.518812; y2 = 0.517695; y4 = 0.518812; e2 = 0.001117; e4 = 0.000000
t = 2.000000; yt = 0.312861; y2 = 0.311906; y4 = 0.312860; e2 = 0.000955; e4 = 0.000001
t = 2.400000; yt = 0.141446; y2 = 0.140967; y4 = 0.141444; e2 = 0.000479; e4 = 0.000001
t = 2.800000; yt = 0.020112; y2 = 0.020173; y4 = 0.020111; e2 = 0.000062; e4 = 0.000001
t = 3.200000; yt = 0.050686; y2 =- 0.050207; y4 =- 0.050687; e2 = 0.000480; e4 = 0.000001
t = 3.600000; yt =- 0.080123; y2 =- 0.079431; y4 =- 0.080123; e2 = 0.000692; e4 = 0.000001
t = 4.000000; yt =- 0.081279; y2 =- 0.080573; y4 =- 0.081279; e2 = 0.000705; e4 = 0.000000
t = 4.400000; yt =- 0.066862; y2 =- 0.066283; y4 =- 0.066862; e2 = 0.000579; e4 = 0.000000
t = 4.800000; yt =- 0.046829; y2 =- 0.046441; y4 =- 0.046829; e2 = 0.000388; e4 = 0.000000
t = 5.200000; yt =- 0.027632; y2 =- 0.027436; y4 =- 0.027632; e2 = 0.000196; e4 = 0.000000
t = 5.600000; yt =- 0.012539; y2 =- 0.012497; y4 =- 0.012538; e2 = 0.000042; e4 = 0.000000
t = 6.000000; yt =- 0.002468; y2 =- 0.002527; y4 =- 0.002468; e2 = 0.000058; e4 = 0.000000
t = 6.400000; yt = 0.003083; y2 = 0.002977; y4 = 0.003083; e2 = 0.000106; e4 = 0.000000
t = 6.800000; yt = 0.005261; y2 = 0.005147; y4 = 0.005261; e2 = 0.000113; e4 = 0.000000
t = 7.200000; yt = 0.005313; y2 = 0.005217; y4 = 0.005313; e2 = 0.000096; e4 = 0.000000
t = 7.600000; yt = 0.004292; y2 = 0.004223; y4 = 0.004292; e2 = 0.000068; e4 = 0.000000
t = 8.000000; yt = 0.002938; y2 = 0.002898; y4 = 0.002938; e2 = 0.000040; e4 = 0.000000
t = 8.400000; yt = 0.001690; y2 = 0.001673; y4 = 0.001690; e2 = 0.000017; e4 = 0.000000
t = 8.800000; yt = 0.000742; y2 = 0.000741; y4 = 0.000742; e2 = 0.000001; e4 = 0.000000
t = 9.200000; yt = 0.000131; y2 = 0.000139; y4 = 0.000131; e2 = 0.000008; e4 = 0.000000
t = 9.600000; yt =- 0.000192; y2 =- 0.000181; y4 =- 0.000192; e2 = 0.000011; e4 = 0.000000
t = 10.000000; yt =- 0.000310; y2 =- 0.000299; y4 =- 0.000310; e2 = 0.000010; e4 = 0.000000
h = 0.00000; e2max = 0.00111851; e4max = 0.00000132.