· Y ₂₂ - валовий дохід від інвестицій
· Y _T - сумарний податок з валового прибутку
· Y ₁₂ - плата за позиковий капітал
· Y ₁₁ - прибуток
Для моделей продукту і продуцента виконуються рівняння повної вартості

z = x + y,
Z = X + Y.

1.3. Універсальна продукційна модель економічного об'єкта

Продукційні моделі економічних об'єктів мають вид дерев, що розрізняються кількістю рівнів, ступенем розгалуження, функціональним змістом вузлів та гілок. Вузли відображають структурні елементи моделі, а гілки - їхні відносини. Кожен структурний елемент може бути представлений своєю продукційної моделлю.
Структура універсальної продукційної моделі підприємства має вигляд дерева, яке містить такі структурні продукційні елементи (ПЕ):
· ПЕ підприємство (П);
· ПЕ з фіксованим капіталом (ФК);
· ПЕ з поточним капіталом (ТК);
· ПЕ з робочим капіталом (РК);
· ПЕ із заборгованістю (Зд).
Універсальна продукційна модель орієнтована на виділення продукційних елементів, для відображення яких доцільно використовувати модель продукційної системи.
Продукційні елементи представляються моделями продуцента і продукту. Для опису продуцента і продукту використовуються моделі бізнес-компонентів.
Для опису універсальної продукційної модель використовують матричну форму.
Матрична форма полягає в тому, що універсальна продукційна модель бути подана в вигляді матриці (таблиці), для якої:
· В осередки стовпців записують продукційні елементи;
· В осередки рядків записують елементи бізнес-компонентів, що описують моделі продуцента і продукту.
Сукупності осередків утворюють шари описів матричної продукційної моделі. Виділяють вертикальні і горизонтальні шари:
1. Горизонтальні шари (продукційні елементи):
- Підприємство (П);
- Фіксований капітал (ФК);
- Поточний капітал (ТК);
- Робочий капітал (РК);
- Заборгованість (Зд).
2. Вертикальні шари (елементи бізнес-компонентів):
· X ₂₂ - інвестований капітал
· X ₂₁ - резервний капітал
· X ₁₂ - позиковий капітал
· X ₁₁ - власний капітал

	Інвестиції (X 22)	Резерви (X 21)	Собств. кап. (X 11)	Позика. кап. (X 12)
Підприємство (П)
Фиксир. капітал (ФК)
Поточний капітал (ТК)
Робочий капітал (РК)
Заборгованість (Зд)

При цьому для елементів повинні виконуватися такі рівняння:
1. П = ФК + ТК, ТК = РК + Зд для елементів вертикальних шарів.
2. X ₁₁ + X ₁₂ = X ₂₁ + X ₂₂ для елементів горизонтальних шарів;
За допомогою продукційної матриці можна описувати стану і переходи економічного об'єкта для різних моментів часу. Зіставляючи між собою різні стани можна визначити матрицю змін, що містить зміни показників.

1.4. Рентабельність власного капіталу

Рівняння рентабельності власного капіталу продукційної системи з урахуванням оподаткування має вигляд

g 11 = k g 22 + n g 22 - k g T - n g T - n g 12

(7)

У формулі повної рентабельності власного капіталу () використані наступні елементи:
а) елементні рентабельності капіталу
· G ₂₂ = Y ₂₂ / X ₂₂ - рентабельність інвестицій
· G _T = Y _T / X ₂₂ - рентабельність оподаткування (ставка сумарного податку)
· G ₁₂ = Y ₁₂ / X ₁₂ - рентабельність позикового капіталу (ставка кредиту)
· G _P = g ₂₂ - g _T - G ₁₂ - рентабельність захисних елементів
б) фінансові коефіцієнти:
· K = 1 - k ₂₁ - фінансовий коефіцієнт активів
_· K ₂₁ = X ₂₁ / X ₁₁ - фінансовий коефіцієнт резервного капіталу
· N = X ₁₂ / X ₁₁ - фінансовий коефіцієнт позикового капіталу
Залежно від характеру впорядкованості елементної рівняння рентабельності власного капіталу записують в наступних формах.
1. Упорядкованість по елементній рентабельності

g 11 = (k + n) g 22 - (k + n) g T - n g 12

(8)

2. Упорядкованість по фінансових коефіцієнтах

g 11 = k (g 22 - g T) + n (g 22 - g T - g 12)

(9)

Рентабельність власного капіталу, впорядкована за фінансових коефіцієнтах, визначається сумою складових

g 11 = k g 2 - T + n g P

(10)

де g _{2 - T} = g ₂₂ - g _T - Рентабельність власного капіталу за відсутності позикового капіталу; g _P = g ₂₂ - g _T - g ₁₂ - додаткова рентабельність, утворена за рахунок використання позикового капіталу
Правило «Золотий перетин податків»
В умовах оподаткування рентабельність власного капіталу зменшується на величину (k + n) g _T. Виникає питання про ставлення рентабельності інвестицій та власного капіталу до ставок податку і кредиту. Правило «Золотий перетин податків» встановлює норму відносини рентабельності до ставок сумарного податку і кредиту.
Норма відносини за правилом «Золотий перетин податків» полягає в наступному:
1. рентабельність власного капіталу в умовах оподаткування повинна бути нормальною, тобто рівної рентабельності інвестицій

g 11 = k g 22

(11)

Нормальна (внутрішня) рентабельність власного капіталу еквівалентний такій режиму бізнесу, при якому відсутні оподаткування і використання позикового капіталу.
2. податки повинна бути нормальними тобто допускати компенсацію за рахунок додаткової рентабельності

- K g T + n g P = 0

(12)

Додаткова рентабельність, утворена за рахунок використання позикового капіталу, розглядається як захист від податків.
Правило «Золотий перетин податків» полягає в тому, що значення рентабельності власного капіталу і сумарного податку повинна бути нормальними і допускати компенсацію податку за рахунок додаткової рентабельності
Правило «Золотий перетин податків» висуває вимоги до ставок сумарного податку і кредиту.
Ставка нормального сумарного податку повинна задовольняти вимогу

k g T = n (g 22 - g T - g 12)

(13)

або

g T = (g 22 - g 12) n / (k + n)

При номінальних значеннях фінансових коефіцієнтів k = n = 1 ставка нормального сумарного податку

g T = (g 22 - g 12) / 2

Ставка нормального сумарного податку повинна бути менше половини рентабельності інвестицій на величину - g ₁₂ / 2

g T = g 22 / 2 - g 12 / 2

Рівняння нормальної рентабельності показує, що бізнес досягає рентабельності власного капіталу, що дорівнює рентабельності інвестицій, при виплаті нормальних податків.
В якості захисту від податку розглядаються позикові кошти (банківський кредит), які використовуються з таким високим професійним майстерністю, яке забезпечує додатковий дохід, компенсуючий витрати на виплату податків.
Рентабельність захисних елементів - це залишкова рентабельність, що залишається від рентабельності інвестицій за вирахуванням ставок податків і банківського кредиту
g _P = g ₂₂ - g _T - g ₁₂
Рівняння нормальної компенсації податків - це рівняння захисту рентабельності власного капіталу від податку
k g _T = n g _P
де n - відносний обсяг кредиту
g _P - рентабельність захисту від податків
Рівняння балансу рентабельності
g ₁₁ + k g _T = k g ₂₂ + n g _P.
Для випадків неповної компенсації (недокомпенсації, перекомпенсації) введемо величину, яка відображатиме відхилення (невязку) компенсації податків
D s = k g _T - n g _P.
Тоді рівняння балансу рентабельності з урахуванням відхилення
g ₁₁ = k g ₂₂ ± D s.
Вводячи межі допустимих відхилень, можна сказати, що реальна рентабельність власного капіталу повинна бути нормальним з точністю до відхилення.

2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ Живучість ПІДПРИЄМНИЦТВА

2.1. Основні положення теорії живучості підприємництва.

Теорія живучості підприємництва розглядається як економічна інтерпретація теорії живучості систем з «м'яким» конфліктом. У теорії систем одержала розвиток теорія потенційної ефективності, результати якої формулюються у вигляді граничних законів, що відбивають інтегральні властивості систем. Одним з найважливіших інтегральних властивостей є "живучість", яка визначається як "здатність системи зберігати властивості, необхідні для виконання необхідних функцій, за наявності шкідливих впливів». У теорії живучості систем розглядаються «жорсткі» конфліктні ситуації, в яких системи в боротьбі за виживання прагнуть до повного розорення, ототожнюється із загибеллю (знищенням) протидіючих систем. У даному підході живучість розглядається з позиції «м'якого» конфлікту, в якому системи в боротьбі за виживання не прагнуть до повного розорення протидіючих систем. Детерміністичних конструкція закону живучості визначає умови виживання як умови сталого компромісу протидіючих цілей.
Нехай у середовищі задана сукупність відкритих активних продукційних систем, які отримують додаткову вартість (прибуток) на основі ресурсно-продукційного обміну з середовищем. У середовищі виділимо оточення, яке містить активні системи:
* Шкідливі агенти, які отримують додаткову вартість за рахунок відбору в інших систем частини вартісних ресурсів;
* Кредитні агенти, які отримують додаткову вартість як деяку плату за надання вільних ресурсів у тимчасове користування.
Всі системи мають запаси власної вартості, які розглядаються як життєво важливі ресурси. Системи прагнуть збільшити запаси власної вартості за рахунок отримання додаткової енергії від інших систем. Ефективність системи, яка визначається швидкістю росту запасів власної вартості, розглядається як головна мета. Функціонування будемо вважати нормальним, якщо швидкість росту запасів власної вартості має позитивне значення, що відповідає стану життя системи. Від'ємних показників ефективності відповідає стан загибелі системи. Системи вважаються вразливими, якщо зовнішні впливи можуть призвести до їх загибелі.
Системи різняться способом отримання додаткової вартості. Якщо продукційні системи отримують додаткову вартість з середовища, то джерелом додаткової вартості для агентів оточення є продукційні системи. Обмеженість запасів додаткової вартості продукційних систем і механізм відбору її агентами обумовлюють «м'якого» конфлікт ситуації. «М'якість» конфлікту полягає в тому, що агенти оточення в прагненні збільшити життєво важливі ресурси прагнуть до максимального відбору додаткової вартості від продукційних систем і цим справляють на них шкідливі впливи. З іншого боку агенти не зацікавлені в повному руйнуванні (загибелі) продукційних систем, які є для них джерелом додаткової вартості. Узгодження протидіючих цілей, визначення умов компромісу в теорії живучості систем з «м'яким» конфліктом забезпечується на основі принципів захисту від шкідливих впливів. "Живучість продукційних систем" визначається як здатність систем зберігати позитивну ефективність функціонування на основі захисту від шкідливих впливів агентів, які відбирають у продукційних систем частина їх власної вартості.
Основним об'єктом теорії є відкриті активні бізнес-системи S _B, які отримують додаткову вартість на основі ресурсно-продукційного обміну з середовищем W. У середовищі W виділено оточення систем S _B, яке містить активні системи:
* Фіскальні агенти S _F, які отримують додаткову вартість за рахунок відбору в інших систем частини додаткової вартості у вигляді податків;
* Кредитні агенти S _C, які отримують додаткову вартість як деяку плату за надання вільних ресурсів у тимчасове користування.
Теорія живучості підприємництва розглядає поведінку бізнес-систем в умовах шкідливих впливів агентів оточення, які відбирають у бізнес-систем частину власної вартості. "Живучість бізнес-систем" визначається як здатність систем зберігати позитивну ефективність функціонування на основі захисту від шкідливих впливів агентів, які відбирають у бізнес-систем частина їх власної вартості.

2.2. Характеристики бізнес-систем.

Під бізнес-системою S _B будемо розуміти продукционную систему, яка функціонує з метою отримання додаткової вартості з середи на основі ресурсно-продукційного (X, Z)-обміну з середовищем. (X, Z)-обмін полягає в тому, що бізнес-системи виробляють і реалізують продукцію Z зі споживаних ресурсів X на основі власних коштів. Додаткова вартість Y, джерелом якої є середовище, розглядається як основний результат (X, Z)-обміну. Баланс (X, Z)-обміну відображається рівнянням руху вартості в бізнес-системі

Z = X + Y.

(1)

де: X - вартість споживаних ресурсів (основна вартість обміну); Z - Вартість продукції (повна вартість обміну); Y - Додаткова вартість обміну.
Нехай оточення бізнес-системи містить фіскальні агенти, які відбирають у системи частину додаткової вартості. причому агенти мають пріоритет у призначенні ефективності відбору додаткової вартості. Ефективність систем визначається з одного боку ефективністю (X, Z)-обміну, а з іншого - ефективністю відбору додаткової вартості фіскальними агентами. Ефективність (X, Z)-обміну системи з середовищем визначається додатковою вартістю і швидкістю її зростання. Додаткова вартість є також джерелом життєво важливих ресурсів для фіскальних агентів, які мають пріоритет у відборі вартості. Тому ефективність бізнес-системи розраховується за залишковим принципом, відповідно до якого, додаткова вартість системи визначається після того, як з неї агенти відберуть власні частини. Враховуючи обмеженість додаткової вартості, великі значення відбору можуть призвести до загибелі бізнес-системи.
Нехай фіскальні агенти S _F відбирають у бізнес-системи S _B частину додаткової вартості y _F. Тоді залишок додаткової вартості, що залишився у S _B

y B = Y - y F = Y (1 - E F).

(2)

де: E _F = y _F / Y - ефективність фіскальних агентів з відбору вартості.

2.3. Постулати живучості бізнес-систем

Теорія живучості бізнес-систем базується на таких постулатах живучості.
Постулат обмеженою ефективності бізнес-систем. Нехай задана ефективність (X, Z)-обміну бізнес-системи. Тоді ефективність бізнес-систем обмежена ефективністю (X, Z)-обміну. ​​Ефективність бізнес-системи прагне до ефективності (X, Z)-обміну lim E _B = E (X, Z).
Постулат уразливості бізнес-систем. Нехай фіскальні агенти відбирають у бізнес-системи частину додаткової вартості у вигляді податків, причому агенти мають пріоритет у призначенні ефективності відбору додаткової вартості. Тоді обмежена ефективність бізнес-систем вразлива по відношенню до фіскальних агентам. Нехай наведена ефективність (X, Z)-обміну обмежена E (X, Z) = m. Тоді рівняння уразливості бізнес-системи

E B = m - E F,

(3)

де: m »1 - значення обмеженою наведеної ефективності бізнес-системи; E _F - Ефективність оподаткування.
Рівняння (3) показує, що великі значення податків можуть призвести до негативних значень ефективності E _B <0, тобто до знищення бізнес-системи.
Постулат захисту від податків. Нехай вразливі бізнес-системи привертають з оточення активні засоби захисту для нейтралізації шкідливих впливів податків. Тоді шкідливі впливу податків на вразливі бізнес-системи можуть компенсуватися за рахунок активного захисту. Підвищення ефективності (живучості) вразливі бізнес-системи забезпечується за рахунок ефективності активного захисту, що компенсує податки. Рівняння ефективності захищеної бізнес-системи має вигляд

E B = m - E F + E R.

(4)

де: E _R - показник ефективності захисту;
Принцип симетрії полягає в тому, що показники ефективності бізнес-системи і фіскальних агентів симетричні щодо ефективності захисту. З принципу симетрії випливає важливий висновок про те, що системи S _B і S _F в рівній мірі залежні від показника ефективності та кількості захисних елементів, а ефективність захисту можна розглядати в якості загальної, узгодженої мети. При нульовій ефективності захисту ефективність бізнес-системи не залежить від кількості захисних елементів і бізнес-система вироджується у вразливу (3).
Постулат ефективності захисних елементів. Нехай активний захист бізнес-системи складається з певної кількості k захисних елементів, які мають ефективністю r. Тоді ефективність захисту пропорційна ефективності захисних елементів та їх кількості

E R = kr.

(5)

Постулат уразливості захисних елементів. Нехай ефективність захисних елементів r обмежена (E _r = 1) і вразлива по відношенню до агентів оточення, які відбирають у елементів частина ресурсів. Тоді обмежена ефективність захисних елементів вразлива по відношенню до фіскальних і кредитним агентам. Рівняння ефективності уразливих захисних елементів має вигляд

r = 1 - E F - E З ,

(6)

де: E _r = 1 - обмежене, рівне одиниці, значення ефективності захисних елементів; E _F - Ефективність фіскальних агентів, які відбирають у захисних елементів частину ресурсів у вигляді податків; E _З - Ефективність кредитних агентів, які відбирають у захисних елементів частину ресурсів у вигляді плати за надання ресурсів у тимчасове користування.
Теорема живучості бізнес-систем. Нехай вразлива бізнес-система має деякою кількістю уразливих захисних елементів. Тоді ефективність уразливих бізнес-систем та ефективність шкідливих впливів податків пропорційні кількості та ефективності уразливих захисних елементів. Необхідною умовою живучості бізнес-система є вимога, щоб ефективність захисту була більше нуля, r> 0, k> 0, тому позитивну ефективність будемо називати показниками живучості. Система рівнянь живучості має вигляд

E B = m - E F + E R,	(7а)
E R = kr,	(7б)
r = 1 - E F - E C .	(7в)

У системі рівнянь живучості (7) використані наступні показники живучості (робастності):
* E _B - показник живучості (робастності) бізнес-систем,
* E _R - показник живучості (робастності) захисту бізнес-систем,
* R - показник живучості (робастності) уразливих захисних елементів
Закон живучості уразливих бізнес-систем на основі системи рівнянь (7) можна сформулювати наступним чином: - «живучість бізнес-систем та ефективність шкідливих впливів податків пропорційні кількості та живучості елементів захисту».
Теорема компенсації податків. Нехай вразлива бізнес-система має деякою кількістю уразливих захисних елементів. Тоді нормальна ефективність бізнес-систем досягається при нормальній компенсації податків, яка полягає в тому, що податки можуть бути нейтралізовані за рахунок живучості захисних елементів.
Виконанню принципу компенсації відповідає розкладання рівняння ефективності (7а) на два - рівняння нормальної компенсації податків і рівняння нормальної ефективності бізнес-системи

E F - k E R = 0,	(8а)
E B = 1.	(8б)

При нормальних значеннях кількості захисних елементів k »1 та ефективності бізнес-системи m» 1, ефективність податків компенсується ефективністю захисту, тобто E _F - E _R = 0. Одинична ефективність бізнес-систем є обгрунтованим компромісом цілей між системами.
Принципи підвищення живучості. Ефективність бізнес-систем можна збільшити за рахунок підвищення кількості та живучості захисних елементів. Живучість захисних елементів можна збільшити шляхом зменшення ефективності фіскальних і кредитних агентів, тобто шляхом зниження зменшення ставок податків і кредитів. Ці принципи досягаються на основі угод між системами за призначенням ефективності. В основі угод лежить визнання всіма системами принципів живучості та узгодження цілей поведінки, зокрема, на основі принципу нормальної компенсації. Якщо угоди не досягнуто і бізнес-системі загрожує знищення, то для виживання залишаються крайні заходи:
а) закритість бізнес-системи від податків, тобто відхід в «тінь оподаткування»;
б) перехід бізнес-системи в середу з нормальними умовами функціонування.

2.4. Економічний зміст показників живучості.

Для визначення економічного змісту показників живучості використовуються елементи теорії еквівалентного бізнес-компонента, яка визначає уявлення бізнес-систем за допомогою універсального агрегату, складеного з 4-х функціональних бізнес-елементів. Цей універсальний агрегат названий еквівалентним бізнес-компонентом.
Постулат еквівалентного бізнес-компонента [4,5]. Нехай задана повна сукупність з 4-х функціональних бізнес-елементів, що розрізняються за ознаками: внутрішній або зовнішній джерело або споживач вартості. Тоді бізнес-система представима еквівалентним універсальним бізнес-компонентом, що містить 4 функціональних елементи, помітних за ознаками: внутрішній або зовнішній джерело або споживач вартості. Вартісний баланс для елементів різних типів описується відповідними рівняннями руху вартості:
* Для внутрішнього джерела власної вартості -

z 11 = x 11 + y 11;

(9а)

* Для зовнішнього джерела залученої вартості -

z 12 = x 12 + y 12;

(9б)

* Для внутрішнього споживача вартості -

z 21 = x 21 + y 21;

(9в)

* Для зовнішнього споживача вартості -

z 22 = x 22 + y 22.

(9г)

де: x - основна вартість; y - додаткова вартість; z - повна вартість.
У бізнес-компоненті мають місце рівняння балансу для окремих видів вартості функціональних елементів (9)

z 11 + z 12 = z 21 + z 22,	(10а)
x 11 + x 12 = x 21 + x 22,	(10б)
y 11 + y 12 = y 21 + y 22.	(10а)

Рентабельності бізнес-компонента. Рентабельності бізнес-компонента визначаються відношенням додаткової вартості, отриманої за деякий період часу, до основної. Для бізнес-компонента баланс рентабельності має вигляд рівняння

g 11 x 11 + g 12 x 12 = g 21 x 21 + g 22 x 22,

(11)

де: g = y / x - рентабельності відповідних функціональних елементів:
Перетворюючи (11) отримаємо, що в явному вигляді рентабельність власної вартості описується рівнянням

g 11 = g 22 - (g 22 - g 21) k 21 + (g 22 - g 12) k 12.

(12)

де: k ₂₁ = x ₂₁ / x _11; k ₁₂ = x ₁₂ / x ₁₁ - коефіцієнти взаємодій, що описують відносини основної вартості між функціональними елементами.
Рентабельність (X, Z)-обміну бізнес-компонента з середовищем, описується рівнянням

g 22 = g 2 (1 - E F).

(13)

g ₂ = Y / x ₂₂ - рентабельність (X, Z)-обміну.
Підставляючи (13) в (12), отримаємо рентабельність власної вартості з урахуванням оподаткування

g 11 = g 2 (1 - E F) - k 21 [ g 2 (1 - E F) - g 21] + k 12 [g 2 (1 - E F) - g 12] 2.

(14)

Відносні рентабельності бізнес-компонента. Нормуємо (14) до рентабельності (X, Z)-обміну отримаємо рівняння щодо рентабельності, які відображають швидкість відносного зростання вартості

G 11 = (1 - E F) - k 21 [1 - E F - G 21] + k 12 [1 - E F - G 12].

(15)

Перепишемо рівняння щодо рентабельності (15) у вигляді системи рівнянь

G 11 = 1 - E F - k 21 G 2 + k 12 G 1,	(16а)
G 1 = 1 - E F - G 12   ,	(16б)
G 2 = 1 - E F - G 21   .	(16в)

де: G _1, G ₂ - показники еквівалентних щодо рентабельності.

При допущенні, що G 12 »0, система спрощених рівнянь (16) набуде вигляду G 11 = k - k E F + k 12 G 1,	(17а)
G 1 = 1 - E F - G 12   ,	(17б)

де k = 1 - k ₂₁ - мультиплікатор ефективності.
Структура системи рівнянь щодо рентабельності (17) збігається зі структурою системи рівнянь живучості (7). Зіставлення цих рівнянь дозволяє визначити економічний зміст показників живучості.

3. Варіаційне МОДЕЛІ продукційних систем

3.1.Варіаціоннон простір моделювання

Представлення продукційної системи як взаємодіє сукупності продуцента і продукту є перспективним методом динамічного моделювання економічних об'єктів типу «виробник». Продукційна система розглядається як системно-орієнтована модель виробника і дозволяє на основі спільності принципів функціонування підсистем отримати універсальні топологічні рівняння.
У задачах управління для опису динамічних економічних об'єктів використовується варіаційні моделі.
Основу варіаційних моделей становить опис у просторі варіацій (змін, збільшень). Варіаційні моделі мають ряд переваг:
· В явному вигляді задають зміна властивості і залежність цієї зміни від зухвалих його змін вихідних величин;
· У неявному вигляді містять залежність від часу.
Такий опис доцільно для вирішення завдань управління, оскільки, за визначенням, управління - це зміна станів.
В основі варіаційного методу моделювання лежить переклад опису моделей у простір варіацій. Суть методу полягає в тому, що вирішення завдань управління (синтез та аналіз) виконують у просторі варіацій. Результат вирішення завдань управління, отриманий у просторі варіацій, переводять у початковий простір.
Простір варіацій - це простір, в якому в якості вихідних величин використовують їх зміни, що відбуваються за певний інтервал часу. При цьому відносини вихідних величин замінюють на відносини їх змін. Відносини змін вихідних величин називають параметричної чутливістю. Чутливість визначається як відношення змін вихідних величин. Величини, зворотні до чутливості, називають коефіцієнтами впливу.
Нехай M = <x,f> - вихідна динамічна модель економічного об'єкта, де x - безліч вихідних величин; f - безліч відносин вихідних величин.
Тоді M _v = < v (x), v (f)> - варіаційна модель економічного об'єкта, де
v (x) - безліч варіацій вихідних величин; f - безліч відносин варіацій вихідних величин.
Вихідна і варіаційна моделі пов'язані двостороннім (оборотним) перетворенням j F
j: MÛM _v
Перетворення j застосовують до вихідних величинам і їхнім стосункам. Розрізняють два основних види варіаційного перетворення - просте і відносне.
1. Просте варіаційне перетворення
j _D: M = <x,f> ÛM _D = <Dx,s>
включає перетворення вихідних величин і перетворення їх відносин.
а) перетворення вихідних величин полягає в переході від вихідних величин до їх простим варіацій і включає
j _D: x ÛD x, де
D x (D t) = x (t) - x ₀ (t ₀₎ - рівняння простий варіації;
x (t) - стан вихідної величини в поточний момент часу t;
x ₀ (t ₀₎ - стан вихідної величини в вихідний момент часу t;
D x (D t) - проста варіація, обумовлена ​​як зміна вихідної величини за інтервал часу D t = t - t _0.
б) перетворення відносин полягає в переході від відносин вихідних величин до їх простого чутливого
j _D: f Ûs., де s (j, i) - проста чутливість, яка визначається як відношення приросту D x _j j - ой вихідної величини до викликає його приросту D x _i i - ої вихідної величини;
s (x _j, x _i) = D x _j / D x _i - Рівняння простий чутливості у формі змін.
s (x _j, x _i) = - Диференціальна форма простий чутливості.
2. Відносне варіаційне перетворення
j _D: M = <x,f> Û M _d = <dx,S>
включає перетворення вихідних величин і перетворення їх відносин.
а) перетворення вихідних величин полягає в переході від вихідних величин до їх відносним варіаціям
j _D: x Ûd x, де
d x (D t) = D x (D t) / x ₀ (t ₀₎ - рівняння відносної варіації;
x ₀ (t ₀₎ - стан вихідної величини в вихідний момент часу t;
D x (D t) - проста варіація,
d x (D t) - відносна варіація, що визначається як відношення простий варіації за інтервал часу D t = t - t ₀ x ₀ (t ₀₎ до стану вихідної величини в вихідний момент часу t;
б) перетворення відносин полягає в переході від відносин вихідних величин до їх стосовно чутливості
j _D: fÛ S., де S (j, i) - відносна чутливість, яка визначається як відношення відносного приросту d x _j j - ой вихідної величини до викликає його відносному збільшенню d x _i i - ої вихідної величини;
S (x _j, x _i) = d x _j / d x _i - Рівняння відносної чутливості у формі змін.
S (x _j, x _i) = - Диференціальна форма відносної чутливості
Відносні чутливості також називають логарифмічними, оскільки

3.2.Чувствітельность продукційних систем

Для опису та аналізу продукційної системи застосуємо апарат теорії чутливості. Важливе місце в теорії чутливості займають інваріанти, за допомогою яких встановлюють функціонально повний набір величин для опису динамічних моделей. Рівність нулю повних сум чутливості дозволяє визначити мінімально необхідний і функціонально достатній для аналізу набір рентабельності і фінансових коефіцієнтів. Такий обмежений, але повний набір величин обгрунтовує істотне скорочення розмірності адекватних описів економічних об'єктів.
Параметричними відносної чутливості називають вагові коефіцієнти, які визначають оператором виду = D x _j / d x _i, де Індесі j приймає значення j = 1,2, ..., I. Диференціальна форма відносних чутливостей задається виразом

.

Твердження 1. Продукційна система представима рівняннями збереження вартості продукту і продуцента:

z = x + y,	(1а)
Z = X + Y.	(1б)

Твердження 2. Нехай продукт і продуцент описуються рівняннями збереження вартості (1). Тоді повні алгебраїчні суми значень пошарових елементів продукту і продуцента тотожно дорівнюють нулю і описуються топологічними рівняннями:

			(2а)
			(2б)

Затвердження 3. Нехай продукційна система описується топологічними рівняннями (1). Тоді для i-го елемента продукту і продуцента справедливі рівняння зв'язку між шарами, які описуються рівняннями збереження та акселерації вартості для всіх i = 1,2, ..., I

z i = x i + y i.	Z i = X i + Y i	(3а)
y i = a i z i D t	Y i = b i Z i D t	(3б)

де a, b - Показники акселерації вартості продукту і продуцента в процесі циркуляції.
Рівняння збереження та акселерації вартості (3) утворюють функції продукування продукційної системи, які є аналогом виробничої функції виробника.
Затвердження 4. Поведінка продукційної системи описується рівняннями пошаровими переходів (змін станів за час D t) елементів продукту і продуцента з початкового стану в кінцеве.
Нехай пошарові рівняння переходів елементів продукту описують поведінку продукту

x i (t 0 + D t) = x i (t 0) + D x i (D t)	(4а)
y i (t 0 + D t) = y i (t 0) + D y i (D t)	(4б)
z i (t 0 + D t) = z i (t 0) + D z i (D t)	(4в)

Нехай пошарові рівняння переходів елементів продуцента описують поведінку продуцента

X i (t 0 + D t) = X i (t 0) + D X i (D t)	(5а)
Y i (t 0 + D t) = Y i (t 0) + D Y i (D t)	(5б)
Z i (t 0 + D t) = Z i (t 0) + D Z i (D t)	(5а)

Тоді пошарові рівняння переходів елементів продукту і продуцента (4), (5) пов'язані відносинами:
присвоювання додаткової вартості

y i (t 0) = Y i (t 0)

(6а)

капіталізації присвоєної додаткової вартості

X m = Y m,

(6б)

де m - індекс власного капіталу, m Î I.
Затвердження 5. Нехай продукційна система описується пошаровими топологічними рівняннями (3) і рівняннями (4) і (5) переходів за час D t. Тоді повні суми простих змін пошарових елементів продукту і продуцента тотожно дорівнюють нулю

			(7а)
			(7б)

Затвердження 6. Розглянемо повні суми відносних змін, що описуються оператором d виду d x = D x / x _0.
Нехай продукційна система описується пошаровими рівняннями (7) нульових сум простих змін.
Тоді повні суми відносних змін елементів продукту і продуцента тотожно дорівнюють нулю

			(8а)
			(8б)

Затвердження 7. До стосовно чутливості можна застосувати принцип інваріантності, який полягає в тому, що повна сума відносних чутливостей тотожно дорівнює нулю.
Нехай продукційна система описується пошаровими рівняннями (8) нульових сум відносних змін.
Тоді повні суми відносних чутливості елементів продукту і продуцента тотожно дорівнюють нулю

			(9а)
			(9б)

Затвердження 8. Принцип інваріантності відносних чутливостей встановлює також тотожне рівність нулю подвійних повних сум відносних чутливості.
Нехай продукційна система описується пошаровими рівняннями (9) нульових сум відносних чутливості.
Тоді подвійні повні суми відносних чутливостей пошарових елементів продукту і продуцента тотожно дорівнюють нулю

			(10а)
			(10б)

Подвійні повні суми відносних чутливості (10) описуються матрицею чутливості , Для компонентів якої справедливі твердження:
· Діагональні компоненти тотожно рівні одиниці, ;
· Кососімметрічние компоненти взаімнообратни, .
Значимість відносних чутливості полягає в тому, що вони описують величини, звані в економічному аналізі «фінансовими коефіцієнтами». Враховуючи, що основне балансове рівняння і топологічні рівняння (3) мають адитивний характер, то і значення відносних чутливостей зводяться до відносин виду

.

(11а)

Таким чином, матриці чутливості задають повні матриці фінансових коефіцієнтів.
Для основної вартості елементи матриці фінансових коефіцієнтів мають вигляд

,

.

(11б)

Запишемо повну матрицю фінансових коефіцієнтів для продукційної системи представленої пошаровими рівняннями вартості продуцента і продукту у формі бізнес-компонента.

	Модель продуцента	Модель продукту
Рівняння основної вартості	X 11 + X 12 = X 21 + X 22	x 11 + x 12 = x 22
Рівняння додаткової вартості	Y 11 + Y 12 = Y 22	y 11 + y 12 = y 22
Рівняння повної вартості	Z 11 + Z 12 = Z 21 + Z 22	z 11 + z 12 = z 22

У формулах продуцента і продукту використані наступні елементи:
а) елементи балансу капіталу (форма1)
· X ₂₂ - інвестований капітал
· X ₂₁ - резервний капітал
· X ₁₂ - позиковий капітал
· X ₁₁ - власний капітал
б) елементи балансу прибутки / збитки (форма2)
· Y ₂₂ - валовий дохід від інвестицій
· Y ₁₂ - плата за позиковий капітал
· Y ₁₁ - прибуток
Повні матриці фінансових коефіцієнтів для продукту і продуцента мають вигляд

,

.

(11в)

Враховуючи, що , Матриці коефіцієнтів можна вважати кососімметрічнимі.
Множачи матриці коефіцієнтів на одиничний вектор, отримаємо повні системи рівнянь фінансових коефіцієнтів для продукту і продуцента:
в матричній формі

,

;

(11г)

в алгебраїчній формі

,

.

(11д)

Аналогічний вигляд мають матриці фінансових коефіцієнтів для шарів додаткової вартості.
Затвердження 9. Визначимо основні співвідношення чутливості, що входять до опису продукту і продуцента. Ставлення додаткової вартості, отриманої за деякий період часу D t, до основної або повної, називають "рентабельністю".
Нехай визначені наступні види рентабельності:
· M _i (x _i) = y _i / x _i , m _i (z _i) = y _i / z _i - основна і повна рентабельність продукту;
· G _i (X _i) = Y _i / X _i , g _i (Z _i) = Y _i / Z _i - основна і повна рентабельність капіталу продуцента.
Тоді рентабельності продуцента і продукту зв'язані співвідношеннями типу формул Дюпона

g i (X i) = m i (x i) N (x i),

g i (Z i) = m i (z i) N (z i),

(12)

де N (x _i) = x _i / X _i , N (z _i) = z _i / Z _i - Оборотність капіталу продуцента у вартості продукції.
Затвердження 10. Нехай продукційна система описується рівняннями (9) нульових сум відносних чутливості.
Тоді повні суми рентабельності продукту і продуцента, зважених по чутливості, тотожний рівні нулю

,	.	(13а)
,		(13б)

Переходячи до фінансових коефіцієнтах (11) запишемо рівняння зважених рентабельності

,

.

(13в)

Повні системи рівнянь основний рентабельності в матричній формі

,

.

(13г)

Повні системи рівнянь основний рентабельності в алгебраїчній формі

,

.

(13д)

Приклад. Розглянемо рівняння для рентабельності власного капіталу (13д), в якому покладемо g ₂₁ = 0
.
З рівняння для фінансових коефіцієнтів (11д) визначимо коефіцієнт інвестицій
.
Перепишемо рівняння для рентабельності власного капіталу
.
Групуючи члени щодо фінансових коефіцієнтів, отримаємо відому формулу «фінансовий важіль»
.
Приклад.
Повні суми відносних змін елементів продукту і продуцента тотожно дорівнюють нулю (8).

Повні системи рівнянь відносних змін в матричній формі

,

.

(13г)

Повні системи рівнянь відносних змін в алгебраїчній формі

,	(13д)
.	(13д)

Перше рівняння відносних змін перепишемо у вигляді

.

(13д)

З рівняння для фінансових коефіцієнтів (11д) визначимо коефіцієнт інвестицій
.
Підставляючи коефіцієнт інвестицій перепишемо рівняння відносних змін у вигляді

.

(13д)

Упорядковуючи складові по фінансових коефіцієнтах отримаємо

.

(13д)

4. РОЗРАХУНКОВА ЧАСТИНА

Компонентна модель продукційної системи

Компонентна модель продукційної системи визначена для інтервалу часу Dt = t ₂ - t ₁

Момент часу t 1	Інтервал часу Dt = t 2 - t 1	Момент часу t 2
Стан продукту	Перехід за час Dt t 2 - t 1	Стан продукту
x 22 = x 11 + x 12	D x i (D t)	x 22 = x 11 + x 12
y 22 = y 11 + y 12	D y i (D t)	y 22 = y 11 + y 12
z 22 = x 22 + y 22		z 22 = x 22 + y 22
Присвоєння		Присвоєння
Y 11 (t 1) = y 11 (t 1)		Y 11 (t 2) = y 11 (t 2)
Стан продуцента	Перехід за час Dt t 2 - t 1	Стан продуцента
X 21 + X 22 = X 11 + X 12	D X i (D t)	X 21 + X 22 = X 11 + X 12
Y 11 + Y 12 = Y 22 - Y Т	D Y i (D t)	Y 11 + Y 12 = Y 22 - Y Т
Капіталізація		Капіталізація
X 11 (t 1) = X 11 (t 0) + Y 11 (t 1)		X 11 (t 2) = X 11 (t 1) + Y 11 (t 2)

Технологічна розрахункова таблиця (Приклад розрахунку)

1. Момент часу t ₁

	Стан продуцента				Стан продукту
	X 22	X 21	X 11	X 12	z 22	- X 22	y 22 = Y 22	- Y Т	- Y 12	Y 11
	200	0	100	100	190	- 150	50	- 30	- 10	10

2. Момент часу t ₂

	Стан продуцента				Стан продукту
	X 22	X 21	X 11	X 12	z 22	- X 22	y 22 = Y 22	- Y Т	- Y 12	Y 11
	210	10	110	100	200	- 160	40	- 25	- 10	5

Рентабельність власного капіталу

а) елементні рентабельності капіталу
· G ₂₂ = Y ₂₂ / X ₂₂ - рентабельність інвестицій
· G _T = Y _T / X ₂₂ - рентабельність оподаткування (ставка сумарного податку)
· G ₁₂ = Y ₁₂ / X ₁₂ - рентабельність позикового капіталу (ставка кредиту)
· G _P = g ₂₂ - g _T - G ₁₂ - рентабельність захисних елементів
б) фінансові коефіцієнти:
· K = 1 - k ₂₁ - фінансовий коефіцієнт активів
_· K ₂₁ = X ₂₁ / X ₁₁ - фінансовий коефіцієнт резервного капіталу
· N = X ₁₂ / X ₁₁ - фінансовий коефіцієнт позикового капіталу
Рентабельність власного капіталу

g 11 = k (g 22 - g T) + n (g 22 - g T - g 12)

«Золотий перетин податків».

Рентабельність захисних елементів
g _P = g ₂₂ - g _T - g ₁₂
Відхилення рентабельності від компенсації податків
D g = n g _P - k g _T.
Рентабельність власного капіталу
g ₁₁ = k g ₂₂ ± D s.

Метод живучості.

Рівняння "живучості" бізнесу
G ₁₁ = k - k G _T + n G _P
Рівняння "живучості" елементів захисту від податків
G _P = 1 - G _T - G ₁₂
Відхилення ефективність від компенсації податків
D G = N G _P - K G _T.
У рівняннях "живучості" використані елементи:
G ₁₁ = g ₁₁ / g ₂₂ - ефективність оподаткування;
G _T = g _T / g ₂₂ - ефективністю захисних елементів;
G ₁₂ = g ₁₂ / g ₂₂ - ефективністю кредитних ресурсів (позикового капіталу).
· K = 1 - X ₂₁ / X ₁₁ - фінансовий коефіцієнт активів
· N = X ₁₂ / X ₁₁ - фінансовий коефіцієнт позикового капіталу
Нормальним для економічного об'єкта є стан, при якому G _P> 0 (режим нормальної живучості). Станом G _P £ 0 відповідає режим нульової (негативної) живучості, при якому недоступний ефект компенсації податків і недоцільно використання кредитів.

Література
1. Економічна кібернетика: Навчальний посібник; Донецький гос.ун-т.-Донецьк ДонДУ, 1999.-397с.
2. Лисенко Ю.Г., Петренко В.Л., Тимохін В.М., Філіппов А.В. Економічна динаміка: Навчальний посібник; Донецький гос.ун-т.-Донецьк ДонДУ, 2000.-176с.
3. Лисенко Ю.Г., Макаров К.Г., Петренко В.Л., Філіппов А.В. Леверидж. Економічні програми .- Донецьк ДонДУ Південно-Схід, 1999.-104с.
4. Алдохін І.П., Куліш С.А. Економічна кібернетика. Харків "Вища школа", 1983 р.
5. Колеман В.А. Математична економіка. Підручник для вузів. -М.: ЮНИТИ, 1998 .- 240с.
6. Чутливість систем управління. Розенвассер Є.. Н., Юсупов Р.М. -М.: Наука. Главнвя редаккція фіз.-мат. літератури.1981.-464с.
7. Лапа В.Г. Математичні основи кібернетики. Київ, "Вища школа", 1974 р.
8. Оскар Ланге, Оптимальні рішення. Москва, "Прогрес", 1967 р.
9. Т. Г. Лі, Г. Е. Адамс, У. М. Гейнза. Управління процесами з допомогою обчислювальних машин. Моделювання та оптимізація. (Пер.с англ.), Москва "Сов.радіо", 1972 р.
10. Математична економіка на персональних комп'ютерах, (пер.с япон.). Під ред.М.Кубоніва;-Москва, "Фінанси і статистика", 1991 р.
11. Кобринський Н.Є., Маймінас Є.З., Смирнов А.Д. Економічкская кібернетика. Москва, Вид-во АН СРСР, 1982 р.
12. О. Ланге Введення в економічну кібернетику Москва, «Прогрес», 1968 р.
13. Бір С.Т. Кібернетика і управління виробництвом (пер.с англ.), Москва, Г.І. ФМЛ, 1963 р.
14. Маслаков Г.М., Тімонiн Ю.О., Тімонiн О.Ю. Інваріанті Бiзнес-процесiв. Вісник ЖIТI. - 1997. - N5. - С. 203-207.