ВСТУП.
Одним з напрямків вдосконалення аналізу господарської діяльності є впровадження економіко-математичних методів і сучасних ЕОМ. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, обгрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіанту використання господарських ресурсів, виявлення і мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва.
Математичні методи спираються на методологію економіко-математичного моделювання та науково обгрунтовану класифікацію завдань аналізу господарської діяльності. У залежності від цілей економічного аналізу розрізняють такі економіко-математичні моделі: у детермінованих моделях - логарифмування, пайова участь, диференціювання; в стохастичних моделях - кореляційно-регресивний метод, лінійне програмування, теорію масового обслуговування, теорію графів.
Стохастичного моделювання й аналіз факторних систем ГОСПОДАРСЬКОЇ ДІЯЛЬНОСТІ.
Стохастичний аналіз - це метод вирішення широкого класу задач статистичного оцінювання. Він передбачає вивчення масових емпіричних даних шляхом побудови моделей зміни показників за рахунок факторів, які не перебувають у прямих зв'язках, у прямій взаємозалежності і взаємозумовленості. Стохастична зв'язок існує між випадковими величинами і проявляється в тому, що при зміні однієї з них змінюється закон розподілу інший. Так якщо випадкова величина Х-функція двох груп випадкових величин Z і v, X = f (Z1, Z2, ..., Zn; v1, v2, ..., vn), а випадкова величина Y - функція двох груп випадкових величин Y = Y (Z1, Z2, ..., Zn; v1, v2, ..., vn), то між X і Y є стохастична зв'язок.
В основі побудови стохастичних моделей лежить узагальнення закономірностей варіювання значень досліджуваних економічних показників. Передумовою для застосування стохастичного підходу моделювання зв'язків служить якісна однорідність сукупності (щодо досліджуваних зв'язків) та варіювання ознак по господарським об'єктам та періодами.
Стохастичне моделювання можна застосовувати в аналізі господарської діяльності, якщо є можливість скласти сукупність спостережень. Моделювання ведеться методами математичної статистики, які дозволяють досліджувати опосередковані причинно-наслідкові зв'язки показників виробничо-господарської діяльності з факторами і умовами виробництва. Детерминированное моделювання в даному випадку не завжди можливо. За допомогою математико-статистичних прийомів можна обійтися без спеціальних експериментів.
В економічному аналізі виділяються такі найбільш типові завдання стохастичного аналізу:
· Вивчення наявності і тісноти зв'язків між функцією і чинниками, а також між факторами;
· Ранжування та класифікацію факторів економічних явищ;
· Виявлення аналітичної форми зв'язку між досліджуваними явищами;
· Згладжування динаміки зміни рівня показників;
· Вивчення розмірності (складності, багатогранності) економічних явищ;
· Кількісне зміна інформативних показників;
· Кількісне зміна впливу факторів на зміну аналізованих показників (економічна інтерпретація отриманих управлінь).
Стохастичне моделювання та аналіз зв'язків між вивченими показниками починаються з кореляційного аналізу.
Кореляція полягає в тому, що середня величина одного з ознак змінюється в залежності від значення іншої. Ознака, від якого залежить інша ознака, прийнято називати факторингу. Залежний ознака іменують результативним. У кожному конкретному випадку для встановлення факторного та результативного ознак в неоднакових сукупностях необхідний аналіз природи зв'язку. Так, при аналізі різних ознак в одній сукупності заробітна плата робітників у зв'язку з їх виробничим стажем виступає як результативний ознака, а у зв'язку з показниками життєвого рівня або культурними потребами - як факторний. Часто залежності розглядають не від одного факторного ознаки, а від кількох. Для цього застосовується сукупність методів і прийомів виявлення і кількісної оцінки взаємозв'язків і взаємності між ознаками.
При дослідженні масових суспільно-економічних явищ між факторними ознаками проявляється кореляційний зв'язок, при якій на величину результативної ознаки впливає, крім факторного, безліч інших ознак, які у різних напрямах одночасно або послідовно. Часто кореляційний зв'язок називають неповної статистичної або часткової на відміну від функціональної, яка виражається в тому, що при певному значенні змінної (незалежна змінна - аргумент) інша (залежна змінна - функція) приймає суворе значення.
Кореляційний зв'язок можна виявити тільки у вигляді загальної тенденції при масовому зіставленні фактів. Кожному значенню факторної ознаки буде відповідати не одне значення результативної ознаки, а їх сукупність. У цьому випадку для розкриття зв'язку необхідно знайти середнє значення результативної ознаки, а їх сукупність. У цьому випадку для розкриття зв'язку необхідно знайти середнє значення результативної ознаки для кожного значення факторного.
Проблема вимірювання зв'язку має дві сторони: з'ясування форми і тісноти. При визначення форми зв'язку виявляється зміна середньої величини результативної ознаки в залежності від зміни факторного. Вибір тих чи інших показників тісноти кореляційного зв'язку залежить від її форми. Під формою зв'язку розуміють тип аналітичної формули, що виражає залежність між розглянутими ознаками. Розрізняють зв'язок пряму, при якій з ростом (зниженням) факторного ознаки у результативного виявляється тенденції до збільшення (зменшення), і зворотний, коли зі збільшенням (зменшенням) факторного ознаки результативний знижується (збільшується).
Форма кореляційної залежності характеризує тенденцію, що виявляється у змінах розглянутого ознаки зі зміною ознаки-фактора. Якщо спостерігається тенденція рівномірного зростання або зменшення значень ознаки, то залежність називається прямолінійною, в іншому випадку - криволінійної.
Врівноваження кореляційного зв'язку (рівняння регресії) - аналітичне. З його допомогою виражається зв'язок між ознаками (іноді форма зв'язку). Розрізняють прямолінійний (пряма лінія) і криволінійне (парабола, гіпербола) рівняння.
Лінії на графіках, що зображують тенденції в зміни ознаки, що корелюється з ознакою-фактором, називаються лініями регресії. У них знаходить графічне вираження форма зв'язку.
При використанні кореляційно-регресивного прийому аналізу модель зображується у вигляді рівняння регресії типу y = f (x), де у - залежна змінна (результативна ознака або функція від ряду факторів-аргументів); х - незалежні змінні (фактори-аргументи). Парний кореляцією називається кореляційна залежність між двома ознаками.
Найпростішим рівнянням, що характеризує прямолінійну залежність між двома ознаками, служить рівняння прямої лінії: Y = a + bx, де х і у (х) - відповідно незалежний і залежний ознака; a і b - параметри рівняння.
Рівняння прямої лінії описує такий зв'язок між двома ознаками, при якій зі зміною ознаки-фактора відбувається рівномірне зростання або убування значень залежного ознаки (рис. 1.1.)
Кількість спостережень при прямолінійною
залежно має становити не менше 6.
Як приклад прямолінійною залежності
наведемо дані про зміну фондоозброєності
та продуктивності праці (табл. 1.1.)
При плануванні продуктивності праці важливо встановити темпи її зростання в залежності від збільшення фондоозброєності.
Зв'язок між продуктивністю і фондоозброєністю праці можна виразити у вигляді рівняння прямої лінії:
Для з'ясування зв'язку розрахуємо коефіцієнт кореляції за формулою:
Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює 1, значить, результативний ознака повністю залежить від ознаки-фактора, тобто по суті кореляційна залежність збігається з функціональною. Отже, чим ближче коефіцієнт кореляції до 1, тим тісніше зв'язок між явищами і навпаки.
Для знаходження невідомих параметрів a і b вирішимо систему так званих нормальних рівнянь:
Для обчислення величини
Числові значення ху, х, у,
У результаті підстановки даних в систему рівнянь отримуємо:
80,9 = 10 а + 22,6 b; 188,4 = 22,6 а + 52,6 b.
Звідси а = +6,7; B = 0,912.
Значить, рівняння, що представляє зв'язок між фондоозброєністю і продуктивністю праці працюючих, має вигляд у (х) = 6,7 + 0,912 х. Отже підвищення фондоозброєності праці на 1000 руб. призводить до зростання його продуктивності на 912 руб. Ці дані враховуються при перспективному і поточному плануванні зростання продуктивності праці.
Використання множинної кореляції в економічному аналізі. Залежно від кількості відібраних факторів розрізняють парні та багатофакторні моделі. З багатофакторних використовується: лінійні
В економічних розрахунках перевага віддається лінійним моделям, що обумовлено наступними причинами:
1.Относітельная простота і менший обсяг обчислень;
2.Массовие економічні процеси, як правило, підпорядковуються закону нормального розподілу, якому властиві лінійні форми зв'язку.
Фактори, що включаються в кореляційно-регресивну модель, відбираються в кілька прийомів: логічний відбір згідно з економічним змістом; відбір суттєвих факторів за оцінки їх значимості з t-критерієм Стьюдента або F-критерієм Фішера; послідовний відсів незначущих факторів. При розрахунках множинної кореляції застосовується ступінь точності 5%, що відповідає ймовірності Р = 0,05.
Кореляція рядів динаміки має деякі особливості. Крім короткочасних коливань (річних, квартальних, місячних), в ряду є ще один компонент - загальна тенденція у зміни показників ряду (тренд). При цьому має місце автокорреляция - залежність між послідовними (тобто сусідніми) значеннями рівнів динамічного ряду.
Для перевірки наявності автокореляції в динамічних рядах обчислюється критерій Дарбіна - Уотсона
Для визначення вирівняного ряду (тренду) з метою його подальшого виключення найчастіше вдаються до механічного згладжування та аналітичного вирівнювання методом найменших квадратів.
Механічне згладжування ведеться за допомогою ковзаючої, або рухомий середньої. Цей спосіб полягає в обчисленні кожної нової середньої одного члена ряду зліва і приєднанні одного члена ряду ліворуч і одного праворуч.
Крім статистичних характеристик (Табл.1.2) розраховуються також їхні помилки. Величина помилки відображає діапазон, в якому знаходиться та чи інша статистична характеристика.
Матриця коефіцієнтів парної кореляції. Для вимірювання тісноти зв'язку між факторами і результативним показником обчислюють парні, приватні та множинні коефіцієнти кореляції. Вони володіють наступними властивостями:
-1 ≤ r ≤ 1;
якщо r = 0, лінійна кореляційний зв'язок відсутній;
якщо [r] = 1, між змінними х і у існує функціональна залежність;
зв'язок вважається сильною, якщо [r] ≥ 0,7. При [r] ≤ 0,3 - зв'язок слабка.
Парні коефіцієнти розраховуються для різноманітних пар змінних без урахування впливу інших факторів. Щоб врахувати взаємний вплив факторів, обчислюються часті коефіцієнти, які відрізняються від перших тим, що виражають тісноту кореляційної залежності між двома ознаками при усуненні змін, викликаних впливом інших факторів моделі.
Матриця критеріїв некорельованість необхідна для вибору найбільш значущих чинників, чиє спільне вплив формує його величину. При цьому виключення зазвичай підлягають фактори, які при парному корельованості один з одним дають високий лінійний коефіцієнт, що перевищує за абсолютною величиною 0,85. Наявність такого зв'язку між двома факторами називають корреліарностью, а між кількома - мультиколінеарності. На підставі даних матриці машина відкидає чи не відкидає гіпотезу про мультиколінеарності.
Коефіцієнти множинної детермінації представляють собою квадрат коефіцієнта кореляції. Він показує, на скільки відсотків варіація результативного показника залежить від впливу обраних факторів.
Вектор значень Фішера використовується для оцінки множинного коефіцієнта кореляції та рівняння регресії. Розрахункові значення вектора значень порівнюються з табличними.
Для оцінки значущості факторів необхідна матриця значень розподілу Стьюдента. Розрахункові значення тут також порівнюються з табличними. Після цього починається кроковий регресивний аналіз. Його результатом стає рівняння регресії Одним з напрямків вдосконалення аналізу господарської діяльності є впровадження економіко-математичних методів і сучасних ЕОМ. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, обгрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіанту використання господарських ресурсів, виявлення і мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва.
Математичні методи спираються на методологію економіко-математичного моделювання та науково обгрунтовану класифікацію завдань аналізу господарської діяльності. У залежності від цілей економічного аналізу розрізняють такі економіко-математичні моделі: у детермінованих моделях - логарифмування, пайова участь, диференціювання; в стохастичних моделях - кореляційно-регресивний метод, лінійне програмування, теорію масового обслуговування, теорію графів.
Стохастичного моделювання й аналіз факторних систем ГОСПОДАРСЬКОЇ ДІЯЛЬНОСТІ.
Стохастичний аналіз - це метод вирішення широкого класу задач статистичного оцінювання. Він передбачає вивчення масових емпіричних даних шляхом побудови моделей зміни показників за рахунок факторів, які не перебувають у прямих зв'язках, у прямій взаємозалежності і взаємозумовленості. Стохастична зв'язок існує між випадковими величинами і проявляється в тому, що при зміні однієї з них змінюється закон розподілу інший. Так якщо випадкова величина Х-функція двох груп випадкових величин Z і v, X = f (Z1, Z2, ..., Zn; v1, v2, ..., vn), а випадкова величина Y - функція двох груп випадкових величин Y = Y (Z1, Z2, ..., Zn; v1, v2, ..., vn), то між X і Y є стохастична зв'язок.
В основі побудови стохастичних моделей лежить узагальнення закономірностей варіювання значень досліджуваних економічних показників. Передумовою для застосування стохастичного підходу моделювання зв'язків служить якісна однорідність сукупності (щодо досліджуваних зв'язків) та варіювання ознак по господарським об'єктам та періодами.
Стохастичне моделювання можна застосовувати в аналізі господарської діяльності, якщо є можливість скласти сукупність спостережень. Моделювання ведеться методами математичної статистики, які дозволяють досліджувати опосередковані причинно-наслідкові зв'язки показників виробничо-господарської діяльності з факторами і умовами виробництва. Детерминированное моделювання в даному випадку не завжди можливо. За допомогою математико-статистичних прийомів можна обійтися без спеціальних експериментів.
В економічному аналізі виділяються такі найбільш типові завдання стохастичного аналізу:
· Вивчення наявності і тісноти зв'язків між функцією і чинниками, а також між факторами;
· Ранжування та класифікацію факторів економічних явищ;
· Виявлення аналітичної форми зв'язку між досліджуваними явищами;
· Згладжування динаміки зміни рівня показників;
· Вивчення розмірності (складності, багатогранності) економічних явищ;
· Кількісне зміна інформативних показників;
· Кількісне зміна впливу факторів на зміну аналізованих показників (економічна інтерпретація отриманих управлінь).
Стохастичне моделювання та аналіз зв'язків між вивченими показниками починаються з кореляційного аналізу.
Кореляція полягає в тому, що середня величина одного з ознак змінюється в залежності від значення іншої. Ознака, від якого залежить інша ознака, прийнято називати факторингу. Залежний ознака іменують результативним. У кожному конкретному випадку для встановлення факторного та результативного ознак в неоднакових сукупностях необхідний аналіз природи зв'язку. Так, при аналізі різних ознак в одній сукупності заробітна плата робітників у зв'язку з їх виробничим стажем виступає як результативний ознака, а у зв'язку з показниками життєвого рівня або культурними потребами - як факторний. Часто залежності розглядають не від одного факторного ознаки, а від кількох. Для цього застосовується сукупність методів і прийомів виявлення і кількісної оцінки взаємозв'язків і взаємності між ознаками.
При дослідженні масових суспільно-економічних явищ між факторними ознаками проявляється кореляційний зв'язок, при якій на величину результативної ознаки впливає, крім факторного, безліч інших ознак, які у різних напрямах одночасно або послідовно. Часто кореляційний зв'язок називають неповної статистичної або часткової на відміну від функціональної, яка виражається в тому, що при певному значенні змінної (незалежна змінна - аргумент) інша (залежна змінна - функція) приймає суворе значення.
Кореляційний зв'язок можна виявити тільки у вигляді загальної тенденції при масовому зіставленні фактів. Кожному значенню факторної ознаки буде відповідати не одне значення результативної ознаки, а їх сукупність. У цьому випадку для розкриття зв'язку необхідно знайти середнє значення результативної ознаки, а їх сукупність. У цьому випадку для розкриття зв'язку необхідно знайти середнє значення результативної ознаки для кожного значення факторного.
Проблема вимірювання зв'язку має дві сторони: з'ясування форми і тісноти. При визначення форми зв'язку виявляється зміна середньої величини результативної ознаки в залежності від зміни факторного. Вибір тих чи інших показників тісноти кореляційного зв'язку залежить від її форми. Під формою зв'язку розуміють тип аналітичної формули, що виражає залежність між розглянутими ознаками. Розрізняють зв'язок пряму, при якій з ростом (зниженням) факторного ознаки у результативного виявляється тенденції до збільшення (зменшення), і зворотний, коли зі збільшенням (зменшенням) факторного ознаки результативний знижується (збільшується).
Форма кореляційної залежності характеризує тенденцію, що виявляється у змінах розглянутого ознаки зі зміною ознаки-фактора. Якщо спостерігається тенденція рівномірного зростання або зменшення значень ознаки, то залежність називається прямолінійною, в іншому випадку - криволінійної.
Врівноваження кореляційного зв'язку (рівняння регресії) - аналітичне. З його допомогою виражається зв'язок між ознаками (іноді форма зв'язку). Розрізняють прямолінійний (пряма лінія) і криволінійне (парабола, гіпербола) рівняння.
Лінії на графіках, що зображують тенденції в зміни ознаки, що корелюється з ознакою-фактором, називаються лініями регресії. У них знаходить графічне вираження форма зв'язку.
При використанні кореляційно-регресивного прийому аналізу модель зображується у вигляді рівняння регресії типу y = f (x), де у - залежна змінна (результативна ознака або функція від ряду факторів-аргументів); х - незалежні змінні (фактори-аргументи). Парний кореляцією називається кореляційна залежність між двома ознаками.
Найпростішим рівнянням, що характеризує прямолінійну залежність між двома ознаками, служить рівняння прямої лінії: Y = a + bx, де х і у (х) - відповідно незалежний і залежний ознака; a і b - параметри рівняння.
Кількість спостережень при прямолінійною
|
Як приклад прямолінійною залежності
|
та продуктивності праці (табл. 1.1.)
| Рік (Період) | Продуктивність праці (у), тис. руб. | Фондоозброєність праці працюючих (х), тис. руб. | | | |
| 1-й 2-й Третя 4-й 5-й 6-й 7-й 8-й 9-й 10-й | 6,2 6,6 6,9 6,8 7,3 7,6 8,6 9,1 10,6 11,2 | 1,6 1,8 2,0 2,0 2,3 2,4 2,5 2,6 2,6 2,8 | 9,9 11,9 13,8 13,6 16,8 18,2 21,5 23,7 27,6 31,4 | 2,6 3,2 4,0 4,0 5,3 5,8 6,3 6,8 6,8 7,8 | 38,4 43,6 47,6 46,2 53,3 57,8 74,0 82,8 112,4 125,4 |
| Разом | 80,9 | 22,6 | 188,4 | 52,6 | 681,5 |
|
При плануванні продуктивності праці важливо встановити темпи її зростання в залежності від збільшення фондоозброєності.
Зв'язок між продуктивністю і фондоозброєністю праці можна виразити у вигляді рівняння прямої лінії:
Для з'ясування зв'язку розрахуємо коефіцієнт кореляції за формулою:
Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює 1, значить, результативний ознака повністю залежить від ознаки-фактора, тобто по суті кореляційна залежність збігається з функціональною. Отже, чим ближче коефіцієнт кореляції до 1, тим тісніше зв'язок між явищами і навпаки.
Для знаходження невідомих параметрів a і b вирішимо систему так званих нормальних рівнянь:
Для обчислення величини
Числові значення ху, х, у,
У результаті підстановки даних в систему рівнянь отримуємо:
80,9 = 10 а + 22,6 b; 188,4 = 22,6 а + 52,6 b.
Звідси а = +6,7; B = 0,912.
Значить, рівняння, що представляє зв'язок між фондоозброєністю і продуктивністю праці працюючих, має вигляд у (х) = 6,7 + 0,912 х. Отже підвищення фондоозброєності праці на 1000 руб. призводить до зростання його продуктивності на 912 руб. Ці дані враховуються при перспективному і поточному плануванні зростання продуктивності праці.
Використання множинної кореляції в економічному аналізі. Залежно від кількості відібраних факторів розрізняють парні та багатофакторні моделі. З багатофакторних використовується: лінійні
В економічних розрахунках перевага віддається лінійним моделям, що обумовлено наступними причинами:
1.Относітельная простота і менший обсяг обчислень;
2.Массовие економічні процеси, як правило, підпорядковуються закону нормального розподілу, якому властиві лінійні форми зв'язку.
Фактори, що включаються в кореляційно-регресивну модель, відбираються в кілька прийомів: логічний відбір згідно з економічним змістом; відбір суттєвих факторів за оцінки їх значимості з t-критерієм Стьюдента або F-критерієм Фішера; послідовний відсів незначущих факторів. При розрахунках множинної кореляції застосовується ступінь точності 5%, що відповідає ймовірності Р = 0,05.
Кореляція рядів динаміки має деякі особливості. Крім короткочасних коливань (річних, квартальних, місячних), в ряду є ще один компонент - загальна тенденція у зміни показників ряду (тренд). При цьому має місце автокорреляция - залежність між послідовними (тобто сусідніми) значеннями рівнів динамічного ряду.
Для перевірки наявності автокореляції в динамічних рядах обчислюється критерій Дарбіна - Уотсона
Для визначення вирівняного ряду (тренду) з метою його подальшого виключення найчастіше вдаються до механічного згладжування та аналітичного вирівнювання методом найменших квадратів.
Механічне згладжування ведеться за допомогою ковзаючої, або рухомий середньої. Цей спосіб полягає в обчисленні кожної нової середньої одного члена ряду зліва і приєднанні одного члена ряду ліворуч і одного праворуч.
Крім статистичних характеристик (Табл.1.2) розраховуються також їхні помилки. Величина помилки відображає діапазон, в якому знаходиться та чи інша статистична характеристика.
| Показники | Їх зміст і позначення |
| Може бути арифметичне Дисперсія Стандартне відхилення (середньо-квадратичне) Асиметрія Екцесс Варіація | Показує середнє арифметичне значення y і наступних х в порядку їх введення Середній квадрат відхилень варіантів (х) від середньої арифметичної ( Обчислюється як середня з відхилень варіантів від їх середньої арифметичної. Представляє собою міру коливання. Коефіцієнт асиметрії Ка коливається від -3 до +3. Якщо Ка> 0, то асиметрія правостороння, якщо Ка <0, то лівостороння, якщо Ка = 0, то варіаційний ряд вважається симетричним. Крутість розподілу, тобто островершинним або плосковершинні кривої на графіку. Якщо Е> 3, то розподіл островершинним, при Е <3 - нізковершінное. Коефіцієнт варіації V - відносна величина (%), що характеризує коливання ознаки від середнього арифметичного. Якщо V <10%, мінливість варіаційного ряду незначна; мінливість середня якщо 10% ≤ V ≤ 20%; якщо 20% ≤ V ≤ 33% - значна; якщо V ≥ 33%, інформація неоднорідна і її слід виключити з подальших розрахунків або відкинути аномальні (нетипові) спостереження. |
|
Матриця коефіцієнтів парної кореляції. Для вимірювання тісноти зв'язку між факторами і результативним показником обчислюють парні, приватні та множинні коефіцієнти кореляції. Вони володіють наступними властивостями:
-1 ≤ r ≤ 1;
якщо r = 0, лінійна кореляційний зв'язок відсутній;
якщо [r] = 1, між змінними х і у існує функціональна залежність;
зв'язок вважається сильною, якщо [r] ≥ 0,7. При [r] ≤ 0,3 - зв'язок слабка.
Парні коефіцієнти розраховуються для різноманітних пар змінних без урахування впливу інших факторів. Щоб врахувати взаємний вплив факторів, обчислюються часті коефіцієнти, які відрізняються від перших тим, що виражають тісноту кореляційної залежності між двома ознаками при усуненні змін, викликаних впливом інших факторів моделі.
Матриця критеріїв некорельованість необхідна для вибору найбільш значущих чинників, чиє спільне вплив формує його величину. При цьому виключення зазвичай підлягають фактори, які при парному корельованості один з одним дають високий лінійний коефіцієнт, що перевищує за абсолютною величиною 0,85. Наявність такого зв'язку між двома факторами називають корреліарностью, а між кількома - мультиколінеарності. На підставі даних матриці машина відкидає чи не відкидає гіпотезу про мультиколінеарності.
Коефіцієнти множинної детермінації представляють собою квадрат коефіцієнта кореляції. Він показує, на скільки відсотків варіація результативного показника залежить від впливу обраних факторів.
Вектор значень Фішера використовується для оцінки множинного коефіцієнта кореляції та рівняння регресії. Розрахункові значення вектора значень порівнюються з табличними.
де а 0 - вільний член рівняння; х 1, х 2, ..., х n - фактори, що визначають результатних показників в його одиницях виміру.
Далі йде група оціночних показників рівняння регресії в цілому:
F - відношення Фішера для оцінки множинного коефіцієнта кореляції та рівняння регресії в цілому; d е-ставлення Дарбіна - Уотсона для визначення наявності автокореляції в рядах динаміки; е - коефіцієнт еластичності - відношення зміни (у відсотках) однієї ознаки при зміні на 1% іншої. Для f (x) коефіцієнт еластичності звертається в е =
Інтерпретацію вихідної інформації можна постежити на прикладі кореляційного аналізу фондовіддачі. Для побудови на першому етапі відібрані наступні фактори:
Х1 - питома вага машин і устаткування в загальній вартості основних виробничих фондів,%;
Х2 - електрооворуженность робітників, тис. кВт ∙ год;
Х3 - рівень використання виробничої потужності,%.
Числові характеристики аналізованих показників представлені у таблиці 1.3.
| Число коливань | Y | X1 | X2 | X3 |
| 1 2 3 4 5 | 1.47 1.25 1.82 1.45 1.75 | 32.00 30.58 34.12 32.17 33.78 | 34.08 35.89 36.93 32.31 34.91 | 88.98 87.27 95.00 88.17 90.89 |
| 40 | 1.79 | 33.96 | 40.25 | 92.40 |
|
Для оцінки колеблемости показників необхідні їх статистичні характеристики (Табл. 1.4.).
Дані таблиці показують, що незначним коливанням схильні фактори Х3 і Х1; середня коливання притаманна функції Y, значна - фактору Х2. Однак коефіцієнти варіації показників не перевищують 33%, що свідчить про однорідність вихідної інформації.
| Шифр показу-теля | Середнє Ариф-чеський | Дисперсія | Стандартне відхилення | Асимм-трия | Ексцес | Варіано- ції |
| У1 Х1 Х2 Х3 | 1,641 33,178 36,164 92,061 | 0,06456 3,614 2,626 17,095 | 0,25409 1,9187 9,0899 4,1347 | -0,43878 0,48522 -0,96513 0,53833 | -0,72032 0,63515 0,96761 -1,2665 | 15,484 5,7831 25,135 4,4912 |
|
Коефіцієнти асиметрії говорять про правобічну асиметрії розподілу рядів Х1 і Х3 і про лівосторонньому розподілі рядів Х2 і У.
Величина ексцесу для всіх показників не перевищує 3, що підтверджує нізковершінное розподіл варіаційних рядів. Зазначені коефіцієнти інтерпретуються геометрично.
Далі аналізується матриця коефіцієнтів парної кореляції (табл. 1.5.).
| Шифр показника | У | Х1 | Х2 | Х3 |
| У Х1 Х2 Х3 | 1,0000 0,93778 0,0933618 0,92272 | 1,0000 0,093838 0,92602 | 1,0000 0,0786 | 1,0000 |
|
У даному прикладі найбільш тісний зв'язок спостерігається між показниками фондовіддачі (У), ідеального ваги активної частини фондів (Х1) і рівня завантаження виробничої потужності (Х3). Парні коефіцієнти кореляції відповідно склали 0,937778 і 0,92272.
Розрахунок парних коефіцієнтів кореляції виявив слабкий зв'язок фондовіддачі з електроозброєність праці Х2 - 0,09361.
Гіпотеза про наявність мультиколінеарності відкидається, тобто всі показники відносно незалежні.
Для розглянутого прикладу вектор коефіцієнтів множинної детермінації дорівнює: У = 0,9002; Х1 = 0,9043; Х2 = 0,0100; Х3 = 0,8820. Вектор інтерпретується наступним чином: зміна (варіація) функції (У) на 90,02% залежить від зміни обраних факторів-аргументів; фактора Х1 - на 90,43% від зміни функції (У) і інших факторів і т. д.
У таблиці 1.6. наведені приватні коефіцієнти кореляції. Вони показують зв'язок кожної пари факторів в чистому вигляді при незмінному значенні інших параметрів.
| Шифр показника | У | Х1 | Х2 | Х3 |
| У Х1 Х2 Х3 | 1,0000 0,5713 0,02791 0,4148 | 1,0000 0,02994 0,4541 | 1,0000 0,03164 | 1,0000 |
|
Частинні коефіцієнти кореляції нижче парних. Це говорить про те, що чисте вплив факторів слабше, ніж вплив чиниться окремими факторами у взаємодії з іншими.
Статистична значимість, надійність зв'язку, виражена приватними коефіцієнтами кореляції, перевіряється за t-критерієм Стьюдента шляхом порівняння розрахункового значення з табличними при заданій ступеня точності (Табл. 1.7.).
| Шифр показника | У | Х1 | Х2 | Х3 |
| А | 1 | 2 | 3 | 4 |
| У Х1 Х2 Х3 | 1,0000 4,1769 0,1675 2,7359 | 1,0000 0,1797 3,0583 | 1,0000 0,1899 | 1,0000 |
У нашому прикладі при числі ступенів свободи 40 - 1 = 39 табличне значення t табл. = 2,021. Розрахункові значення t-критерію (перша графа таблиці) для факторів Х1 і Х3 виявилися вищими табличних, що свідчить про значущість цих факторів для аналізованої функції. Фактор Х2 як незначний для функції повинен бути виключений з подальших розрахунків.
Далі на ЕОМ проводиться кроковий аналіз з поступовим включенням в модель обраних факторів за критерієм значимості. На кожному кроці розглядаються рівняння регресії, коефіцієнти кореляції і детермінації, F-критерій, стандартна помилка оцінки та інші показники. Після кожного кроку перераховані оціночні показники порівнюються з розрахованими на попередньому кроці. Рівняння регресії буде тим точніше, чим нижче величина стандартної помилки (табл. 1.8.).
| № кроку | Введення змінної | Рівняння регресії | Множинні коефіцієнти | Ставлення | Стандартна помилка оцінки | |
| Кореляції | Детерм- нації | |||||
| I | X1 | У = -2,481 +0,1242 Х1 | 0.9378 | 0.8797 | 277.2 | 0.0893 |
| II | X3 | У = -3,085 +0,077 Х1 + + 0,0234 Х3 +0,0002 Х2 | 0.9488 | 0.9001 | 166.7 | 0.0824 |
| III | X2 | У = -3,091 +0,0773 Х1 + + 0,0234 Х3 +0,0002 Х2 | 0.9488 | 0.9002 | 108.3 | 0.0835 |
|
Якщо додавання наступних факторів не покращує оціночні показники, а іноді і погіршує їх, необхідно зупинитися на тому кроці, де показники найбільш оптимальні.
Результати крокового аналізу представлені в Табл. 1.8. свідчать про те, що сформовані взаємозв'язку найбільш повно описує двофакторна модель, отримана на другому кроці: у = У = -3,085 = 0,0774 Х1 + 0,0234 Х3.
Статистичний аналіз даного рівняння регресії підтверджує, що воно значимо: фактичне значення F-критерію Фішера одно 166,7, що значно перевищує Fтабл. = 3,25. Табличне значення F-критерію знаходиться за заданої ймовірності (р = 0,95) і числі ступенів свободи для стовпця таблиці (m - 1), де m - число параметрів рівняння регресії, включаючи вільний член, і для рядка таблиці (n - m), де n - число спостережень. Наприклад F-табличне знаходиться на перетині стовпця 2 (3 - 1) і рядки 37 (40 - 3) і одно 3,25 (Табл. 1.9.).
Коефіцієнт множинної кореляції, рівний 0,9488, свідчить про тісний взаємозв'язок між фондовіддачею та питомою вагою активної частини основних фондів, а також рівнем використання виробничої потужності. Величина коефіцієнта множинної детермінації 0,9001 свідчить про те, що зміна детермінації на 90,01% залежить від зміни врахованих факторів.
Параметри рівняння регресії інтерпретується наступним чином: коефіцієнт регресії при Х1 (0,0774) показує, що збільшення питомої ваги машин і устаткування в загальній вартості основних виробничих фондів на 1% веде до зростання фондовіддачі на 7,74 копійки. Підвищення рівня завантаження потужностей на 1% піднімає фондовіддачу на 2,34 копійки.
| Число ступенів свободи (n - 1) | p = 0.05 | р = 0.01 | Число ступенів Воля (n - 1) | р = 0,05 | р = 0,01 |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | 12,69 4,302 3,183 2,777 2,571 2,447 2,368 2,307 2,263 2,227 2,200 2,179 2,161 2,145 2,131 2,119 2,110 2,100 2,093 2,086 | 63,655 9,924 5,841 4,604 4,032 3,707 3,500 3,356 3,250 3,169 3,138 3,055 3,012 2,997 2,946 2,921 2,898 2,877 2,860 2,846 | 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 34 36 38 39 40 42 44 46 60 | 2,078 2,074 2,069 2,064 2,059 2,054 2,052 2,049 2,045 2,042 2,037 2,032 2,027 2,025 2,021 2,020 2,017 2,015 2,012 2,000 | 2,832 2,818 2,807 2,796 2,787 2,778 2,771 2,464 2,757 2,750 2,739 2,728 2,718 2,711 2,704 2,704 2,696 2,691 2,685 2,661 |
|
У разі зворотного зв'язку, тобто при зменшенні досліджуваної функції у зв'язку із зростанням фактора-аргументу, коефіцієнт регресії має знак «мінус».
Вільний член рівняння а о = -3,085 економічно не інтерпретується. Він визначає положення початкової точки лінії регресії в системі координат. Чисельне значення коефіцієнтів еластичності відбиває, на скільки відсотків зміниться функція при зміні даного фактора на 1% (мається на в йду відносний приріст, а не абсолютний) призведе до зростання фондовіддачі на 1,65%; поліпшення рівня використання потужності на 1% підвищить фондовіддачу на 1,3%.
За абсолютною величиною бета-коефіцієнтів можна судити про те, в якій послідовності знаходяться фактори по реальної можливості поліпшення функції. Для нашого прикладу послідовність змінних виглядає наступним чином:
| Номер змінної | 1 | 2 | 3 |
| Бета-коефіцієнти | 0,584 | 0,382 | 0,009 |
Заключну матрицю даних повністю характеризують відповідні заготовки (по стовпцях):
1. У - фактичне.
2. У - розрахункове.
3. Відхилення (Уфакт - Урасч).
4. Довірчі інтервали (межі, вихід за межі яких має незначну ймовірність).
Для усунення автокореляції модель перерахована за приростні величинам. У результаті отримано таке рівняння регресії: У = -0,0079 + 0,0345; Х3 + 0,0475 Х1. Воно значуще: величина F-критерію дорівнює 178,3. Коефіцієнт Дарбина становить 2,48, тобто близький до 2, що говорить про відсутність автокореляції. Коефіцієнт множинної кореляції (+0,9518) вище, ніж розрахований в першому випадку. Величина коефіцієнта множинної детермінації також вище (+0,9060). У остаточному вигляді рівняння регресії інтерпретується таким чином: підвищення рівня завантаження (виробничої потужності) на 1% приведуть до зростання фондовіддачі на 3,45 копійки, а питомої ваги машин і устаткування в загальній вартості основних виробничих фондів - на 4,75 копійки.
Довідковий матеріал. Обробка даних при постановленні множинних моделей кореляційно-регресивної залежності виготовляють ЕОМ за типовою програмою.
Вихідні дані повинні бути достовірні, економічно інтерпретуються, кількісно порівнянними. Розрахунки оформляються у вигляді таблиці, в якій перша графа відображає число спостережень n, друга (у) - результативний показник, кожна наступна (х) - фактори в будь-якому порядку, оскільки чинники машина вводить в процесі крокового аналізу по значимості критерію.
При заповненні таблиці вихідних даних слід вказувати однакову кількість знаків після коми в межах однієї графи. Для запобігання помилок необхідно використовувати дані з можливо великим числом значущих цифр (не менше 5). Процентні відносини потрібно давати з точністю до 0,001.
У таблиці 1.10. наведені значення F-критерію для р = 0,95 у залежності від числа ступенів свободи: (m -1) - для стовпця і (n - m) - для рядка, де m - число параметрів рівняння регресії, включаючи вільний член; n - число спостережень.
| m -1 n - m | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 10 15 16 17 18 19 20 21 22 32 33 34 35 36 38 | 4,96 4,54 4,49 4,45 4,41 4,38 4,35 4,32 4,30 4,15 4,14 4,13 4,12 4,11 4,10 | 4,10 3,68 3,36 3,59 3,55 3,52 3,49 3,47 3,44 3,30 3,29 3,28 3,26 3,26 3,25 | 3,71 3,29 3,24 3,20 3,16 3,13 3,10 3,07 3,05 2,90 2,89 3,28 2,87 2,86 2,85 | 3,48 3,06 3,01 2,96 2,93 2,90 2,87 2,84 2,82 2,67 2,66 2,88 2,64 2,63 2,62 | 3,33 2,90 2,85 2,81 2,77 2,74 2,71 2,68 2,66 2,51 2,50 2,65 2,48 2,48 2,46 | 3,22 2,79 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,40 2,39 2,49 2,37 2,36 2,35 | 3,14 2,70 2,66 2,62 2,58 2,55 2,52 2,49 2,47 2,32 2,31 2,38 - 2,28 2,26 | 3,07 2,64 2,59 2,55 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,25 2,24 2,23 2,22 2,21 2,14 | 3,02 2,59 2,54 2,50 2,46 2,43 2,40 2,37 2,35 2,19 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 | 2,97 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,32 2,30 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 |
|
Метод дисконтування.
Дисконтування - це процес перерахунку майбутньої вартості капіталу, грошових потоків або чистого доходу в справжню. Ставка по якій проводиться дисконтування, називається ставкою дисконтування (ставкою дисконту).
Основна посилка, що лежить в основі поняття дисконтованого потоку реальних грошей, полягає в тому, що гроші мають тимчасову ціну, тобто сума грошей, яка є в наявності в даний час, володіє великою цінністю, ніж така ж сума в майбутньому. Ця різниця може бути виражена як процентна ставка (р), яка характеризує відносні зміни за певний період (зазвичай рівний році).
Припустимо, що Ф (t) - номінальна ціна майбутнього потоку реальних грошей у році t і Ф (0) - ціна цього очікуваного припливу або відтоку в даний час (поточна ціна). Тоді (припускаючи, що р - постійна величина)
Сенс проведення розрахунків методом дисконтування полягає в тому, щоб визначити суму, яку слід заплатити сьогодні з тим, щоб отримати плановану віддачу від інвестицій у майбутньому.
Для застосування методу дисконтування про об'єкт інвестування необхідно знати наступні вихідні дані: величиною інвестиції, плановані величини грошових потоків або чистого доходу, норма дисконтування, термін проекту.
При розрахунку грошових притоків і відтоків (кеш-фло) враховується не тільки надходження грошових коштів від операційної та інвестиційної діяльності, але і потоки від фінансових результатів.
Чистий потік готівки (ЧПН) визначається як різниця між притоками і відтоками готівки від операційної (виробничої) та інвестиційної діяльності мінус витрати з фінансування проекту.
Чиста поточна вартість (ЧДД) визначається як сума ЧПН за розрахунковий період.
Приклад розрахунку кумулятивного ЧДД наведений у додатку 1. Тут куммулятівная чистий потік реальних грошей (рядок 9) розраховується складанням кумулятивного чистого потоку реальних грошей за попередній період і чистого потоку реальних грошей за звітний рік. Наприклад, куммулятівная чистий потік реальних грошей в 2002 (5-м) році дорівнює - 8300 млн. руб. (-10000 + 1700). ЧДД (рядок 10) розраховується за формулою ЧД = рядок 8 /
Коефіцієнт дисконтування для приведення чистих грошових потоків до початкового періоду визначається за формулою
де Д - ставка дисконтування (норма дисконту); t - рік, за який дисконтується чистий дохід, починаючи з моменту інвестування.
Значення коефіцієнтів дисконтування
Норма дисконту відображати прибуток інвестора, яку він міг би отримати при інвестиціях в інший проект. Вона є мінімальною нормою прибутку, нижче за яку інвестор вважав би свої вкладення не вигідними.
ЧДД характеризує інтегральний ефект від реалізації проекту і визначається як величина, отримана дисконтуванням різниці між усіма готовими відтоками і притоками реальних грошей, накопичуваних на протязі горизонту розрахунку проекту Т (при постійній ставці відсотка окремо для кожного року):
де
Формулу для розрахунку ЧДД можна представити в наступному вигляді:
ЧДД = П (0) + П (1) ∙ К1 + П (2) ∙ К2 + ... + П (Т) ∙ К t.
Чиста поточна вартість як критерій для оцінки ефективності інвестицій досить коректний і економічно обгрунтований. По-перше, ЧДД враховує зміну вартості грошей у часі. По-друге, ЧДД залежить тільки від прогнозованого чистого грошового потоку та альтернативної вартості капіталу. По-третє, ЧДД має властивість адитивності, тобто ЧДД декількох інвестиційних проектів можна складати, так як всі вони виражені в сьогоднішніх грошах.
Оптимізаційні методи АНАЛІЗУ І ПРИЙНЯТТЯ РІШЕННЯ В ЕКОНОМІЦІ.
Багато задач, з якими доводиться стикається економістові в повсякденній практиці при аналізі господарської діяльності підприємств, багатоваріантних. Так як не всі варіанти однаково хороші, серед безлічі можливих доводиться відшукувати оптимальний. Значна частина подібних завдань протягом довгого часу вирішувалася виходячи зі здорового глузду і досвіду. При цьому не було ніякої впевненості, що знайдений варіант є найкращим.
У сучасних умовах навіть не значні помилки можуть привести до величезних втрат. У зв'язку з цим виникла необхідність залучення до аналізу і синтезу економічних систем оптимізаційних економіко-математичних методів і ЕОМ, що створює основу для прийняття науково обгрунтованих рішень. Такі методи об'єднують в одну групу під загальною назвою «оптимізаційні методи аналізу і прийняття рішення в економіці».
Щоб вирішити економічну завдання математичними методами, перш за все необхідно побудувати адекватну їй математичну модель, тобто формалізувати мета і умови задачі у вигляді математичних функцій, рівнянь і (або) нерівностей.
У загальному випадку математична модель оптимізаційної задачі має вигляд:
max (min): Z = Z (x) (1.1.)
при обмеженнях
де R - Відносини рівності, менше або більше.
Якщо цільова функція (1.1) і функції, що входять в систему обмежень (1.2.), Лінійні щодо входять у завдання невідомих, така задача називається задачею лінійного програмування. Якщо ж цільова функція (1.1.) Або система обмежень (1.2.) Не лінійна, така задача називається задачею лінійного програмування.
В основному, на практиці, задачі нелінійного програмування шляхом лінеаризації зводяться до задачі лінійного програмування. Особливий практичний інтерес серед завдань лінійного програмування представляють задачі динамічного програмування, які через свою багатоетапність не можна лінеаризована. Тому ми розглянемо тільки ці два види оптимізаційних моделей, для яких в даний час є гарне математичне та програмне забезпечення.
Моделі і методи розв'язання задачі лінійного програмування. Серед оптимізаційних моделей і методів, використовуваних у теорії економічного аналізу, найбільш широке розповсюдження отримали моделі лінійного програмування, які вирішуються за допомогою універсального прийому -Симплексного методу. Для сучасних ПЕОМ є ряд пакетів прикладних програм, які дозволяють вирішувати будь-які завдання лінійного програмування досить великої розмірності. Одночасно з рішенням вихідної задачі зазначені пакети прикладних програм можуть вирішувати подвійну задачу, рішення якої дозволяє проводити повний економічний аналіз результатів рішення вихідної задачі.
Рішення задачі лінійного програмування на ПЕОМ розглянемо на прикладі задачі про оптимальний розкрої матеріалів. За результатами рішення проведемо повний економіко-математичний аналіз з використанням теорії подвійності.
Нехай є 200 кг полотна шириною 86 см і 300 кг - шириною 89 см. З нього необхідно розкроїти і зшити чоловічі куртки 44, 46, 52 і 54 розмірів. Вони повинні бути виготовлені
в наступному співвідношенні до розмірів: 44 - 25,38%, 46 а 27,88%; 52 - 24,54%; 54 - 25,54%. Разом - 100%.
Загальний витрата полотна, а також відходи, одержувані при рас
крої полотна, наведені в табл. 1.12 і 1.13.
Кількість курток, які випускало підприємство протягом місяця, показано в табл. 1.14.
Необхідно визначити наскільки раціональним виявився розкрій, а також які розміри виробів доцільніше розкроювати з полотна зазначеної ширини, щоб скоротити відходи.
| Ширина полотна, див. | Розмір курток | |||||
| 44 | 46 | 52 | 54 | |||
86
| 520,27 576,42 | 553,5 593,49 | 597,4 627,2 | 605,6 647,77 | ||
| Ширина полотна, див. | Розмір курток | |||||
| 44 | 46 | 52 | 54 | |||
86
| 66,27 94,45 | 75,5 97,49 | 78,4 105,7 | 85,6 109,7 | ||
| Розмір курток | Ширина полотна, див. | |
| 86 | 89 | |
| 44 46 52 | 80 110 96 | 134 125 108 |
| Розмір курток | Ширина полотна, див. | |
| 86 | 89 | |
| 44 46 52 | 80 110 96 | 134 125 108 |
|
|
Вирішимо цю задачу на ПЕОМ з використанням, наприклад, інструментальних засобів МВ Excel і зробимо економічний аналіз отриманого рішення. Як правило, рішення конкретної задачі на ПЕОМ включає в себе наступні етапи:
· Складання математичної моделі;
· Присвоєння елементам моделі певних «імен»;
· Складання матричної моделі з пойменованими елементами;
· Введення і коригування вихідних даних;
· Рішення задачі на ПЕОМ;
· Економічний аналіз отриманого рішення.
Стосовно до нашого прикладу на першому етапі вводимо умовні позначення, необхідні для вирішення задачі (Табл. 1.15.).
Тут х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6, х 7, х 8, позначають відповідно кількість виробів (штук) певного розміру, розкроєних з полотна шириною 86 і 89 см. Помноживши кількість виробів на норми відходу , одержимо загальну величину відходів виробництва. Вони повинні бути мінімальні. Тоді цільова функція має вигляд:
min: F (x) = 66,27 х 1 + 75.5х 2 + 78.4 х 3 + 95.6х 4 +
+ 94.2х 5 + 97.49х 6 + 105.7х 7 + 108.77 х 8.
Завдання полягає в знаходженні таких х j (J =
520,27 х 1 + 553,5 х 2 + 597,4 х 3 + 605,4 х 4 = 200000;
526,42 х 5 + 553,49 х 6 + 627,7 х 7 + 647,77 х 8 = 300000;
х 1 + х 2 + х 3 + х 4 + х 5 + х 6 + х 7 + х 8 - х 9 = 0;
х 1 + х 5 - 0,2538 х 9 = 0;
х 2 + х 6 - 0,2788 х 9 = 0;
х 3 + х 7 - 0,2420 х 9 = 0
х 4 + х 8 - 0,2254 х 9 = 0;
Тут х9 - сумарний випуск курток. Тоді умови (1.4) і (1.5) означають, що полотна шириною 86 см має бути витрачено 200 кг, а полотна шириною 89 см - 300 кг; (1.6) - умова сумарного випуску виробів; умови (1.7) - (1.10) означають збалансованість розкрою виробів за відповідними розмірами; (1.11) - умова позитивності обсягів виробництва.
На другому етапі кожної змінної, обмеженням, цільової функції й вектору обмежень (коефіцієнти вільних членів) присвоюються «імена», які повинні включати не більше восьми символів. Зручно, щоб імена були інформативними, так як при цьому полегшується використання вихідних звітів.
Елементи моделі і привласнюються їм імена:
| Мінлива х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 х9 Цільова функція (1.3) Обмеження по ресурсах: полотна шириною 86 см. (1.4) полотна шириною 89 см. (1.5) Загальний обсяг виробництва (1.6) Обмеження з випуску: курток розміру 44 (1.7) курток розміру 46 (4.8) курток розміру 52 (1.9) курток розміру 54 (4.10) Вектор обмежень (200000, 300000, 0, 0, 0, 0, 0) | «Ім'я» ПР1 ПР2 ПР3 Пр4 ПР5 ПР6 ПР7 ПР8 ПР9 Відходи Полотно 1 Полотно 2 Випуск Розмір 44 Розмір 46 Розмір 52 Розмір 54 Ресурси |
На четвертому етапі введемо вихідні дані в ПЕОМ. При цьому введення здійснюється відповідно до інструкції до наявного пакету прикладних програм.
При завершенні введення вихідної інформації можлива її роздруківка для візуального контролю. За результатами контролю здійснюється коректування вихідної інформації і перехід на режим розрахунку.
П'ятий етап. Рішення завдання Можливо в двох режимах: рішення прямої задачі; рішення прямої і двоїстої задач. При цьому рішення можна робити поетапно, з видачею проміжних результатів алгоритму симплекс-методу, за якими можна судити про якісний процесі пошуку оптимального рішення. По завершенні результатів розрахунку встановлюється режим роздруківки (як прямої задачі, так і двоїстої).
Так, в режимі розрахунку прямої задачі отримаємо наступне рішення, попередньо округливши результати до цілих:
ПР 1 = 150; ПР 2 = о; ПР 3 = 204; ПР 4 = о; ПР 5 = 64; ПР 6 = 235; ПР 7 = о; ПР 8 = 190; ПР 9 = 843.
Відходи = 75 743; Полотно 1 = 200 000; Полотно 2300 = 000.
Отже, необхідно розкроїти з полотна шириною 86 см 150 курток 44 розміру та 204 куртки 52 розміру, а з полотна шириною 89 см - 64 куртки 44 розміру, 235 курток 46 розміру та 190 курток 54 розміру. Загальний обсяг виробництва складе 843 куртки. Сумарні відходи при такому варіанті розкрою складуть 75743 м, а ресурси будуть використані повністю.
У режимі рішення двоїстої задачі отримаємо значення двоїстих оцінок ресурсів:
Полотно 1 = 0,12996 Полотно 2 = 0,16616
Як бачимо, двоїсті оцінки обсягів ресурсів відмінні від нуля, отже, вони «дефіцитні». Їх абсолютна величина говорить про те, що збільшення обсягу ресурсу на одиницю призводить до якісної зміни цільової функції (1.1) на величину цієї оцінки. Отже, оцінки можна вважати кількісною мірою дефіциту ресурсів: чим більше оцінка, тим до більшого ефекту призводить збільшення обсягу використання даного ресурсу.
Одночасно з цим отримаємо двоїсті оцінки виробленої продукції:
ПР 1 = о; ПР 2 = 4,70818; ПР 3 = о; ПР 4 = 4; ПР 5 = о; ПР 6 = о; ПР 7 = 0,73815; ПР 8 = о.
Тут двоїсті оцінки ПР 2, ПР 4, ПР 7 приймають нульові значення. Абсолютні значення цих оцінок говорять про те, що якщо ми все ж будемо розкроювати відповідні вироби, втрати від відходів будуть тільки збільшуватися на величину оцінки від розкрою однієї одиниці виробу. Отже, розкроювати куртки 46 і 54 розмірів з полотна 86 см недоцільно, точно так само як і куртки 52 розміру - з полотна шириною 89 см.
Тепер зіставимо нормативні відходи при традиційному варіанті розкрою з відходами при оптимальному варіанті (табл. 1.16).
| Розміри | Відходи на од. за нормою, м. | Фактичний вихід виробів, шт. | Відходи при фактич. випуску, (Гр.2 * гр.3), р. | Оптимальний вихід виробів, шт. | Відходи при оптим. випуску (Гр.2 * гр.3), р. | Відхилення | |
| кількість, шт. | відходи, м. | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Ширина полотна 86 см | |||||||
| 44 46 52 54 44 | 66,27 75,5 78,4 85,6 94,45 | 80 110 96 66 134 | 5301,6 8305,0 7526,4 5649,6 12649,6 | 150 0 204 0 64 | 9940,5 0 15993,6 0 604288 | +70 +110 +108 -66 -70 | +4638,9 8305,0 +8467,2 5649,6 -66,0672 |
| Ширина полотна 89 см | |||||||
| 46 52 54 | 97,49 105,7 109,77 | 134 108 124 | 12186,25 11415,6 13611,48 | 235 0 190 | 22910,15 0 20856,42 | +110 -108 +66 | +10723,9 -11415,6 +7244,82 |
| Всього | 843 | 76645,53 | 843 | 75743,42 | - | -902,1 | |
Відзначимо, що в сучасних пакетах прикладних програм для вирішення завдань лінійного програмування симплекс-методом передбачені режими розрахунку так званих інтервалів стійкості, як для обмежених ресурсів, так і для
змінних величин, які приймають нульові значення. Економічний сенс цих інтервалів полягає в тому, що зміна обсягів ресурсів і значень змінних у межах цих інтервалів не змінює структуру оптимального плану. Це дозволяє підприємству проводити раціональну політику придбання додаткових ресурсів.
Балансовий метод І МОДЕЛІ В АНАЛІЗІ ЗВ'ЯЗКІВ Внутрішньозаводське ПІДРОЗДІЛІВ І В РОЗРАХУНКАХ ВИТРАТ І ЦІН.
Балансова модель - це система рівнянь, що характеризують наявність ресурсів (продуктів) в натуральному або грошовому вираженні та напрями їх використання. При цьому наявність ресурсів (продуктів) і потреба в них кількісно збігаються. В основу вирішення таких моделей покладено методи лінійної векторно-матричної алгебри. Тому балансові методи і моделі називають матричними методами аналізу. Наочність зображень різних економічних процесів в матричних моделях і елементарні способи вирішення систем рівнянь дозволяють застосовувати їх у різних виробничо-господарських ситуаціях.
Нехай, наприклад, відомо, що кожне підприємство поряд з основним виробництвом має допоміжне, що включає в себе ряд цехів. Допоміжні цехи надають послуги один одному і основному виробництву. Розмір собівартості робіт і послуг кожного допоміжного цеху складається з робіт (послуг) інших допоміжних цехів. Щоб визначити витрати, пов'язані з використанням даними цехом робіт (послуг) інших цехів, треба поряд з обсягом наданих робіт (послуг) знати їх собівартості. Але, у свою чергу, визначення цих собівартостей неможливо без попереднього обчислення собівартості робіт (послуг), які цехи отримали один від одного.
Механізм використання балансового методу покажемо на наступному прикладі. Нехай на підприємстві поряд з основним виробництвом є чотири допоміжних цеху - цех мереж і підстанцій, цех водопостачання, автопарк, ремонтно-механічний цех. Всі вони надають послуги одна одній (табл. 1.17).
Потрібно визначити собівартість робіт (послуг), які надають основному виробництву усіма допоміжними цехами.
З таблиці. 1.17 видно, що для визначення собівартості послуг необхідно знати сукупні витрати кожного допоміжного цеху. А їх не можна підрахувати без розрахунку собівартості одиниці отримуваних послуг - однієї кіловат-години електроенергії, кубометри води, тонно-кілометра перевезення вантажів, нормо-години ремонтних робіт. Це завдання успішно вирішувати, використовуючи балансові моделі та методи.
Позначимо через q ij кількість продукції, робіт, послуг j-гo цеху, що надійшли до i-й цех; у i - Загальні витрати підрозділів - споживачів (які в свою чергу є постачальниками послуг); Q j - Загальний обсяг продукції, робіт, послуг у натуральних одиницях, відпущених підрозділом-постачальником; p j - Власні витрати (умовно-постійні та змінні) без вартості послуг внутрішньозаводського характеру; x i - Собівартість одиниці продукції, робіт, послуг.
Взаємне надання продукції і послуг відобразимо в табл. 1.18.
На основі таблиці можна отримати наступну систему рівнянь:
Наведені співвідношення являють собою систему двох груп невідомих: собівартості одиниці продукції, робіт, послуг та загального розміру витрат по кожному структурному підрозділу підприємства.
Щоб вирішити таку систему, приведемо її до стандартного вигляду, для чого вираз змінних y i підставимо у вираз змінних x i. У результаті отримаємо:
Після відповідних перетворень отриману систему рівнянь можна записати в матричній формі, для чого введемо деякі види матриць:
... ... ... ... ... ... ... ... ..
0 0 ... 0 ... Q m
Звідси
Звернемося до задачі і представимо вихідну інформацію у вигляді матриць:
В результаті рішення задачі отримано такі значення собівартості одиниці робіт, послуг (х i,):
х 1 = 0,019964 руб., х2 = 0,099536 руб., Х3 = 0,099837 руб., Х 4 = 1,999716 руб.
Тоді загальна сума витрат по кожному допоміжному цеху може бути обчислена за формулою:
Підставивши в це рівняння відповідні значення, отримаємо:
у 1 = 59295 + 5 000 х 0,099837 + 50 х 1,999716 = 59894 руб.
у 2 = 4 118 + 30 000 х 0,019964 + 600 х 0,099937 + 100 х 1,999716 = 4977 руб.
у 3 = 24 020 + 4500 х 0,019964 + 5 000 х 0,99536 + 400 х 1,999716 = 24 960 руб.
у 4 = 36 785 + 100 000 х 0,019964 + 1 500 х 0,99536 + 1200 х 0,099837 = 39994 руб.
Отже, сумарна собівартість робіт (послуг) допоміжних цехів, які надають основному виробництву, складе:
Слід зазначити, що існуючі пакети прикладних програм для вирішення матричних моделей на сучасних ПЕОМ дозволяють виконувати розрахунки балансу виробництва і розподілу робіт (послуг) як в цілому по підприємству, так і для кожного структурного підрозділу окремо і надавати користувачеві вихідну інформацію у необхідній формі.
ВИСНОВОК
З даної курсової роботи ми дізналися, що впровадження економіко-математичних методів допомагає вдосконалювати аналіз фінансового-господарської діяльності. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, обгрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіанту використання господарських ресурсів, виявлення і мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва.
Так само в цій курсової були розглянуті деякі економіко-математичні методи та наведено приклади їх використання.
Список використовуваної літератури:
1. Басовский Л.Є. Теорія аналізу господарської діяльності. М.: ИНФРА-М, 2001р.
2. Кравченко Леонід Іванович, Осмоловський Валентин Васильович, Русак Ніна Олександрівна та ін Теорія аналізу господарської діяльності. Підручник. Мінськ 2005р.
3. Муравйов А. І. Теорія економічного аналізу. М.: Фінанси і статистика, 1988р.
4. Савицька Г. В. Економічний аналіз. М.: Нове видання, 2004р.
5. Шеремет А. Д. Теорія економічного аналізу. М.: ИНФРА-М, 2002р.
Нехай, наприклад, відомо, що кожне підприємство поряд з основним виробництвом має допоміжне, що включає в себе ряд цехів. Допоміжні цехи надають послуги один одному і основному виробництву. Розмір собівартості робіт і послуг кожного допоміжного цеху складається з робіт (послуг) інших допоміжних цехів. Щоб визначити витрати, пов'язані з використанням даними цехом робіт (послуг) інших цехів, треба поряд з обсягом наданих робіт (послуг) знати їх собівартості. Але, у свою чергу, визначення цих собівартостей неможливо без попереднього обчислення собівартості робіт (послуг), які цехи отримали один від одного.
Механізм використання балансового методу покажемо на наступному прикладі. Нехай на підприємстві поряд з основним виробництвом є чотири допоміжних цеху - цех мереж і підстанцій, цех водопостачання, автопарк, ремонтно-механічний цех. Всі вони надають послуги одна одній (табл. 1.17).
| Постачальники | Одиниця вимірювання | Споживачі | |||||||
| Цех мереж і підстанцій | Цех водопостачання | Автопарк | Ремонтно- механічний цех | Основне виробництво | Всього | ||||
| Цех мереж і підстанцій Цех водопостачання Автопарк Ремонтно-механічний цех
| кВт ∙ год куб.м тис.км нормо-год руб. | х - 5000 50 59295 | 30000 х 600 100 4118 | 4500 5000 х 400 24020 | 100000 1500 12000 х 36785 | 2865500 493500 232400 19450 1875782 | 3 000 000 500 000 250 000 20 000 2 000 000 | ||
З таблиці. 1.17 видно, що для визначення собівартості послуг необхідно знати сукупні витрати кожного допоміжного цеху. А їх не можна підрахувати без розрахунку собівартості одиниці отримуваних послуг - однієї кіловат-години електроенергії, кубометри води, тонно-кілометра перевезення вантажів, нормо-години ремонтних робіт. Це завдання успішно вирішувати, використовуючи балансові моделі та методи.
Позначимо через q ij кількість продукції, робіт, послуг j-гo цеху, що надійшли до i-й цех; у i - Загальні витрати підрозділів - споживачів (які в свою чергу є постачальниками послуг); Q j - Загальний обсяг продукції, робіт, послуг у натуральних одиницях, відпущених підрозділом-постачальником; p j - Власні витрати (умовно-постійні та змінні) без вартості послуг внутрішньозаводського характеру; x i - Собівартість одиниці продукції, робіт, послуг.
Взаємне надання продукції і послуг відобразимо в табл. 1.18.
| Цех-споживач | Власні витрати | Постачальник | Всього витрат (Собств. + послуги) | Собівартість од. послуг | |||||
| 1 | 3 | ... | j | ... | m | ||||
| 1 2 ... i ... m Об'єкт послуг | p1 p2 ... pi ... pm | q 11 q21 ... qi1 ... qm1 Q1 | q12 q22 ... qi2 ... qm2 Q2 | ... ... ... ... ... ... ... | q1j q2j ... qij ... qmj Qj | ... ... ... ... ... ... ... | q1m q2m ... qim ... qmm Qm | y1 y2 ... yi ... ym | x1 x2 ... xi ... xm |
Наведені співвідношення являють собою систему двох груп невідомих: собівартості одиниці продукції, робіт, послуг та загального розміру витрат по кожному структурному підрозділу підприємства.
Щоб вирішити таку систему, приведемо її до стандартного вигляду, для чого вираз змінних y i підставимо у вираз змінних x i. У результаті отримаємо:
Після відповідних перетворень отриману систему рівнянь можна записати в матричній формі, для чого введемо деякі види матриць:
... ... ... ... ... ... ... ... ..
0 0 ... 0 ... Q m
Звідси
Звернемося до задачі і представимо вихідну інформацію у вигляді матриць:
В результаті рішення задачі отримано такі значення собівартості одиниці робіт, послуг (х i,):
х 1 = 0,019964 руб., х2 = 0,099536 руб., Х3 = 0,099837 руб., Х 4 = 1,999716 руб.
Тоді загальна сума витрат по кожному допоміжному цеху може бути обчислена за формулою:
Підставивши в це рівняння відповідні значення, отримаємо:
у 1 = 59295 + 5 000 х 0,099837 + 50 х 1,999716 = 59894 руб.
у 2 = 4 118 + 30 000 х 0,019964 + 600 х 0,099937 + 100 х 1,999716 = 4977 руб.
у 3 = 24 020 + 4500 х 0,019964 + 5 000 х 0,99536 + 400 х 1,999716 = 24 960 руб.
у 4 = 36 785 + 100 000 х 0,019964 + 1 500 х 0,99536 + 1200 х 0,099837 = 39994 руб.
Отже, сумарна собівартість робіт (послуг) допоміжних цехів, які надають основному виробництву, складе:
Слід зазначити, що існуючі пакети прикладних програм для вирішення матричних моделей на сучасних ПЕОМ дозволяють виконувати розрахунки балансу виробництва і розподілу робіт (послуг) як в цілому по підприємству, так і для кожного структурного підрозділу окремо і надавати користувачеві вихідну інформацію у необхідній формі.
ВИСНОВОК
З даної курсової роботи ми дізналися, що впровадження економіко-математичних методів допомагає вдосконалювати аналіз фінансового-господарської діяльності. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, обгрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіанту використання господарських ресурсів, виявлення і мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва.
Так само в цій курсової були розглянуті деякі економіко-математичні методи та наведено приклади їх використання.
Список використовуваної літератури:
1. Басовский Л.Є. Теорія аналізу господарської діяльності. М.: ИНФРА-М, 2001р.
2. Кравченко Леонід Іванович, Осмоловський Валентин Васильович, Русак Ніна Олександрівна та ін Теорія аналізу господарської діяльності. Підручник. Мінськ 2005р.
3. Муравйов А. І. Теорія економічного аналізу. М.: Фінанси і статистика, 1988р.
4. Савицька Г. В. Економічний аналіз. М.: Нове видання, 2004р.
5. Шеремет А. Д. Теорія економічного аналізу. М.: ИНФРА-М, 2002р.