Економіко-математична модель
Економіко-математична модель - це виражена у формально-математичних термінах економічна абстракція, логічна структура якої визначається як об'єктивними властивостями предметами опису, так і суб'єктивним цільовим чинником дослідження, для якого це опис робиться.
Між моделлю та її прототипом не може існувати взаємооднозначної відповідності, тому що модель - це абстракція, пов'язана з узагальненнями й втратою. Адекватність реальної дійсності - основна вимога, що пред'являється до моделі.
Конструктивно кожна математична модель представляє собою сукупність взаємопов'язаних математичних залежностей, що відображають певні групи реальних економічних залежностей.
Класифікуються економіко-математичні моделі за різними ознаками, в тому числі і з математичного інструменту, що застосовується при моделюванні.
Найбільш поширеними і ефективними математичними методами, які знайшли як теоретичне, так і практичне застосування в економічних дослідженнях, є: диференціальне числення, математична статистика, лінійна алгебра, математичне програмування та інші.
Порядок побудови економіко-математичної моделі
Для побудови економіко-математичної моделі визначається об'єкт дослідження: економіка держави в цілому, галузь, підприємство, цех і т.п.
Формулюється мета дослідження.
У розглянутому економічному об'єкті виділяються структурні та функціональні елементи і виділяються найбільш суттєві якісні характеристики цих елементів, що впливають на досягнення поставленої мети.
Вводяться символічні позначення для враховуються характеристик економічного об'єкта. Визначається, які з них будуть розглядатися як залежні величини, а які як незалежні.
Формалізуються взаємозв'язку між певними параметрами моделі, тобто будується власне економіко-математична модель.
Проводяться розрахунки по моделі і аналізуються результати отриманих розрахунків.
Якщо результати виявляються незадовільними з точки зору неадекватності відображення модельованого процесу чи явища, то відбувається повернення до одного з попередніх пунктів і процес повторюється.
Приклад економіко-математичної моделі
Структуру підприємства зручно описувати організаційною моделлю, яка демонструє склад функціональних підрозділів підприємства та зв'язку їх підпорядкування та взаємодії.
При функціональній організаційній структурі підприємство підрозділяється на елементи, кожен з яких має свої завдання і обов'язки. Характеристики та особливості того чи іншого підрозділу відповідають найбільш важливих напрямків діяльності підприємства.
Функціональна організаційна модель підприємства на прикладі ВАТ швейна фабрика «Берізка»:
Такий вид організаційної моделі, як правило, зустрічається у великих організаціях, коли необхідно забезпечити злагоджену спільну роботу великої кількості функціональних підрозділів.
Об'єктом дослідження буде швейна фабрика «Берізка», метою дослідження - оцінка ефективності роботи випуску продукції. Більш докладно для дозволу поставленої мети будемо розглядати функціональний і структурний елемент об'єкта - виробництво.
Найбільш суттєві і якісні характеристики цього елемента представлені нижче у таблиці 1 за часовий період з травня 2005 по травень 2006.
Для побудови економіко-математичної моделі застосовано метод математичної статистики.
Розрахунки по моделі і аналіз отриманих результатів при використанні даного методу включає в себе етапи:
1.Графіческое подання характеристик.
2.Предварітельний статистичний аналіз (аналіз даних по вибірках).
3.Корреляціонний аналіз даних.
4.Регрессіонний аналіз даних.
Вихідні дані ВАТ швейна фабрика «Берізка»
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 1
З вихідних характеристик економічного об'єкта є незалежними (Х1, Х2, Х3, Х4) або факторними ознаками: сировина, витрати на оплату праці, матеріальні витрати, амортизація, а залежною або результативним ознакою (У) - повна собівартість.
1. Графічний аналіз
Малюнок SEQ Малюнок \ * ARABIC 1
2. Аналіз даних за вибірками.
Попередній статистичний аналіз представлений в таблиці 2., В ході якого по кожному параметру розраховувалися такі статистичні показники: середнє значення показника, стандартна помилка, медіана, мода, стандартне відхилення, дисперсія вибірки, ексцес, асиметричність, мінімум, максимум, інтервал, сума, коефіцієнт варіації. Брався рівень надійності 95%.
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 2 Результати розрахунків по етапу Статистичний аналіз:
Розрахунок проводився в оболонці «Excel», Сервіс → Аналіз даних → Описова статистика.
Висновки: стандартні відхилення вибірок вихідних даних у порівнянні зі значеннями самих даних великі, тобто розкид точок у вибірках великий.
Відхилення максимальних і мінімальних значень вибірок від відповідних медіан і середнього також великі. Це означає, що точки вибірок розташовані розсіяно.
Значення коефіцієнта варіації вибірок дозволяє судити про їх неоднорідності.
3. Кореляційний аналіз даних.
На цьому етапі здійснювала в ляется парне порівняння вибірки результуючого показника з вибірками показників, які згідно теоретичної моделі розглядаються як факторні, а також перевіряється ступінь корелюється факторних показників. Для цих цілей будують і аналізують матриці парних лінійних коефіцієнтів кореляції r, які змінюються від -1 до 1. Аналіз можна застосовувати лише в разі лінійної залежності між ознаками. Чим ближче значення коефіцієнта кореляції до -1, або до 1, тим вище ступінь корелюється відповідних випадкових величин. Однак, при r, близьких до 1 або -1, регресійні зв'язки між відповідними величинами встановлюватися не можуть, так як ця ситуація означає фактично функціональний взаємозв'язок показників.
Значимість (суттєвість) лінійного коефіцієнта кореляції перевіряють на основі t-критерію Стьюдента. При цьому висувається та перевіряється нульова гіпотеза про рівність коефіцієнта нулю, тобто про відсутність зв'язку між х і у. Для цього визначається розрахункове значення критерію:
де r - коефіцієнт кореляції,
n - число наблюденеій,
σ r - середнє квадратичне відхилення кеффіціента кореляції.
і зіставляється з t табличне із заданими параметрами (рівнем значущості α, приймається звичайно за 0,05, і числом ступенів свободи υ = n - 2, де n - число спостережень).
Якщо t розрахункове> t табличне, то нульова гіпотеза відкидається і лінійний коефіцієнт вважається значимим, а зв'язок між х і у - істотною, якщо ж нерівність зворотне, то зв'язок між х і у відсутня.
Взагалі, відсутність кореляційного зв'язку між факторною ознаками та наявність тісного зв'язку (значення парних коефіцієнтів кореляції
Крім того, при побудові моделі регресії необхідно враховувати проблему мультіколленіарності (тісній залежності між факторними ознаками), яка суттєво спотворює результати дослідження.
Одним з індикаторів визначення наявності мультиколінеарності між факторними ознаками є перевищення величини парного коефіцієнта кореляції 0,8 (r ≤ 0,8).
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 3
Для визначення наявності мультіколленіарності та усунення мультіколленіарних ознак була побудована і проаналізована матриця парних коефіцієнтів кореляції, див. таблиця 3.
Матриця парних коефіцієнтів кореляції
Розрахунок проводився в оболонці «Excel», Сервіс → Аналіз даних → Кореляція.
З таблиці 3 видно, що між факторними ознаками Сировина і Матеріальні витрати коефіцієнт кореляції більше 0,8. Для усунення мультиколінеарності необхідно виключити з кореляційної моделі один з цих ознак, розрахунки наведені в таблицях 4 і 5.
Матриця парних коефіцієнтів кореляції для моделі без «Матеріальних витрат»
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 4
Матриця парних коефіцієнтів кореляції для моделі без «Сировини»
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 5
В обох моделях тепер відсутня проблема мультіколленіарності, тому що всі парні коефіцієнти між факторними ознаками <0,8.
Так як коефіцієнт кореляції r між результативним і факторними ознаками більше> 0,3, то всі ознаки далі беруть участь в аналізі.
Яку з цих двох модель необхідно вибрати покаже подальший аналіз.
Економіко-математична модель - це виражена у формально-математичних термінах економічна абстракція, логічна структура якої визначається як об'єктивними властивостями предметами опису, так і суб'єктивним цільовим чинником дослідження, для якого це опис робиться.
Між моделлю та її прототипом не може існувати взаємооднозначної відповідності, тому що модель - це абстракція, пов'язана з узагальненнями й втратою. Адекватність реальної дійсності - основна вимога, що пред'являється до моделі.
Конструктивно кожна математична модель представляє собою сукупність взаємопов'язаних математичних залежностей, що відображають певні групи реальних економічних залежностей.
Класифікуються економіко-математичні моделі за різними ознаками, в тому числі і з математичного інструменту, що застосовується при моделюванні.
Найбільш поширеними і ефективними математичними методами, які знайшли як теоретичне, так і практичне застосування в економічних дослідженнях, є: диференціальне числення, математична статистика, лінійна алгебра, математичне програмування та інші.
Порядок побудови економіко-математичної моделі
Для побудови економіко-математичної моделі визначається об'єкт дослідження: економіка держави в цілому, галузь, підприємство, цех і т.п.
Формулюється мета дослідження.
У розглянутому економічному об'єкті виділяються структурні та функціональні елементи і виділяються найбільш суттєві якісні характеристики цих елементів, що впливають на досягнення поставленої мети.
Вводяться символічні позначення для враховуються характеристик економічного об'єкта. Визначається, які з них будуть розглядатися як залежні величини, а які як незалежні.
Формалізуються взаємозв'язку між певними параметрами моделі, тобто будується власне економіко-математична модель.
Проводяться розрахунки по моделі і аналізуються результати отриманих розрахунків.
Якщо результати виявляються незадовільними з точки зору неадекватності відображення модельованого процесу чи явища, то відбувається повернення до одного з попередніх пунктів і процес повторюється.
Приклад економіко-математичної моделі
Структуру підприємства зручно описувати організаційною моделлю, яка демонструє склад функціональних підрозділів підприємства та зв'язку їх підпорядкування та взаємодії.
При функціональній організаційній структурі підприємство підрозділяється на елементи, кожен з яких має свої завдання і обов'язки. Характеристики та особливості того чи іншого підрозділу відповідають найбільш важливих напрямків діяльності підприємства.
Функціональна організаційна модель підприємства на прикладі ВАТ швейна фабрика «Берізка»:
|
|
|
|
|
|
|
Такий вид організаційної моделі, як правило, зустрічається у великих організаціях, коли необхідно забезпечити злагоджену спільну роботу великої кількості функціональних підрозділів.
Об'єктом дослідження буде швейна фабрика «Берізка», метою дослідження - оцінка ефективності роботи випуску продукції. Більш докладно для дозволу поставленої мети будемо розглядати функціональний і структурний елемент об'єкта - виробництво.
Найбільш суттєві і якісні характеристики цього елемента представлені нижче у таблиці 1 за часовий період з травня 2005 по травень 2006.
Для побудови економіко-математичної моделі застосовано метод математичної статистики.
Розрахунки по моделі і аналіз отриманих результатів при використанні даного методу включає в себе етапи:
1.Графіческое подання характеристик.
2.Предварітельний статистичний аналіз (аналіз даних по вибірках).
3.Корреляціонний аналіз даних.
4.Регрессіонний аналіз даних.
| сировину, м погонний | витрати на оплату праці, тис.руб. | матеріальні витрати, тис.руб | амортизація, тис.руб. | повна собівартість, тис. грн | |
| Травень | 230 | 18729 | 21516 | 4642 | 78164 |
| Червень | 303 | 7415 | 36225 | 1951 | 61068 |
| Липень | 102 | 7340 | 12064 | 1697 | 30564 |
| Серпень | 175 | 3156 | 18770 | 120 | 31750 |
| Вересень | 155 | 31854 | 32548 | 5364 | 93611 |
| Жовтень | 195 | 28224 | 23190 | 1693 | 77059 |
| Листопад | 112 | 19939 | 17061 | 2018 | 53794 |
| Грудень | 185 | 26850 | 25530 | 2811 | 81330 |
| Січень | 98 | 18589 | 21042 | 4061 | 57179 |
| Лютий | 248 | 25728 | 35358 | 3718 | 89639 |
| Березень | 111 | 14607 | 22426 | 2537 | 51239 |
| Квітень | 68 | 3920 | 13190 | 118 | 21689 |
| Травень | 28 | 2347 | 5094 | 104 | 10510 |
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 1
З вихідних характеристик економічного об'єкта є незалежними (Х1, Х2, Х3, Х4) або факторними ознаками: сировина, витрати на оплату праці, матеріальні витрати, амортизація, а залежною або результативним ознакою (У) - повна собівартість.
1. Графічний аналіз
Малюнок SEQ Малюнок \ * ARABIC 1
2. Аналіз даних за вибірками.
Попередній статистичний аналіз представлений в таблиці 2., В ході якого по кожному параметру розраховувалися такі статистичні показники: середнє значення показника, стандартна помилка, медіана, мода, стандартне відхилення, дисперсія вибірки, ексцес, асиметричність, мінімум, максимум, інтервал, сума, коефіцієнт варіації. Брався рівень надійності 95%.
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 2 Результати розрахунків по етапу Статистичний аналіз:
| СИРОВИНА, м погонних | ВИТРАТИ НА ОПЛАТУ ПРАЦІ, Т. РУБ. | |||||||
| Середнє | 154,6153846 | Середнє | 16053,69231 | |||||
| Стандартна помилка | 21,57531188 | Стандартна помилка | 2876,404897 | |||||
| Медіана | 155 | Медіана | 18589 | |||||
| Мода | # Н / Д | Мода | # Н / Д | |||||
| Стандартне відхилення | 77,79089328 | Стандартне відхилення | 10371,02535 | |||||
| Дисперсія вибірки | 6051,423077 | Дисперсія вибірки | 107558166,7 | |||||
| Ексцес | -0,406977947 | Ексцес | -1,508916139 | |||||
| Асиметричність | 0,302343811 | Асиметричність | 0,016663109 | |||||
| Інтервал | 275 | Інтервал | 29507 | |||||
| Мінімум | 28 | Мінімум | 2347 | |||||
| Максимум | 303 | Максимум | 31854 | |||||
| Сума | 2010 | Сума | 208698 | |||||
| Рівень надійності 95,0% | 47,00856628 | Рівень надійності 95,0% | 6267,147886 | |||||
| Коефіцієнт варіації V,% | 50,31251804 | Коефіцієнт варіації V,% | 64,60211861 | |||||
| МАТЕРІАЛЬНІ ВИТРАТИ, Т. РУБ. | АМОРТИЗАЦІЯ, Т. РУБ. | ПОВНА СОБІВАРТІСТЬ, Т. РУБ. | ||||||
| Середнє | 21847,23077 | Середнє | 2371,846154 | Середнє | 56738,15385 | |||
| Стандартна помилка | 2536,823476 | Стандартна помилка | 477,0664476 | Стандартна помилка | 7447,106319 | |||
| Медіана | 21516 | Медіана | 2018 | Медіана | 57179 | |||
| Мода | # Н / Д | Мода | # Н / Д | Мода | # Н / Д | |||
| Стандартне відхилення | 9146,647119 | Стандартне відхилення | 1720,087539 | Стандартне відхилення | 26850,92369 | |||
| Дисперсія вибірки | 83661153,53 | Дисперсія вибірки | 2958701,141 | Дисперсія вибірки | 720972102,8 | |||
| Ексцес | -0,31202086 | Ексцес | -0,830489026 | Ексцес | -1,088043769 | |||
| Асиметричність | 0,037275084 | Асиметричність | 0,204463241 | Асиметричність | -0,288180418 | |||
| Інтервал | 31131 | Інтервал | 5260 | Інтервал | 83101 | |||
| Мінімум | 5094 | Мінімум | 104 | Мінімум | 10510 | |||
| Максимум | 36225 | Максимум | 5364 | Максимум | 93611 | |||
| Сума | 284014 | Сума | 30834 | Сума | 737596 | |||
| Рівень надійності 95,0% | 5527,26353 | Рівень надійності 95,0% | 1039,438496 | Рівень надійності 95,0% | 16225,85077 | |||
| Коефіцієнт варіації V,% | 41,86639129 | Коефіцієнт варіації V,% | 72,52104172 | Коефіцієнт варіації V,% | 47,32428157 | |||
Висновки: стандартні відхилення вибірок вихідних даних у порівнянні зі значеннями самих даних великі, тобто розкид точок у вибірках великий.
Відхилення максимальних і мінімальних значень вибірок від відповідних медіан і середнього також великі. Це означає, що точки вибірок розташовані розсіяно.
Значення коефіцієнта варіації вибірок дозволяє судити про їх неоднорідності.
3. Кореляційний аналіз даних.
На цьому етапі здійснювала в ляется парне порівняння вибірки результуючого показника з вибірками показників, які згідно теоретичної моделі розглядаються як факторні, а також перевіряється ступінь корелюється факторних показників. Для цих цілей будують і аналізують матриці парних лінійних коефіцієнтів кореляції r, які змінюються від -1 до 1. Аналіз можна застосовувати лише в разі лінійної залежності між ознаками. Чим ближче значення коефіцієнта кореляції до -1, або до 1, тим вище ступінь корелюється відповідних випадкових величин. Однак, при r, близьких до 1 або -1, регресійні зв'язки між відповідними величинами встановлюватися не можуть, так як ця ситуація означає фактично функціональний взаємозв'язок показників.
Значимість (суттєвість) лінійного коефіцієнта кореляції перевіряють на основі t-критерію Стьюдента. При цьому висувається та перевіряється нульова гіпотеза про рівність коефіцієнта нулю, тобто про відсутність зв'язку між х і у. Для цього визначається розрахункове значення критерію:
де r - коефіцієнт кореляції,
n - число наблюденеій,
σ r - середнє квадратичне відхилення кеффіціента кореляції.
і зіставляється з t табличне із заданими параметрами (рівнем значущості α, приймається звичайно за 0,05, і числом ступенів свободи υ = n - 2, де n - число спостережень).
Якщо t розрахункове> t табличне, то нульова гіпотеза відкидається і лінійний коефіцієнт вважається значимим, а зв'язок між х і у - істотною, якщо ж нерівність зворотне, то зв'язок між х і у відсутня.
Взагалі, відсутність кореляційного зв'язку між факторною ознаками та наявність тісного зв'язку (значення парних коефіцієнтів кореляції
Крім того, при побудові моделі регресії необхідно враховувати проблему мультіколленіарності (тісній залежності між факторними ознаками), яка суттєво спотворює результати дослідження.
Одним з індикаторів визначення наявності мультиколінеарності між факторними ознаками є перевищення величини парного коефіцієнта кореляції 0,8 (r ≤ 0,8).
| сировину, м погонний | витрати на заробітну плату, т.руб. | матеріальні витрати, тис.руб | амортизація, тис.руб. | повна собівартість- імость, тис.руб | |
| сировину, м погонний | 1 | ||||
| витрати на заробітну плату, т.руб. | 0,349630305 | 1 | |||
| матеріальні витрати, тис.руб | 0,830118488 | 0,587647564 | 1 | ||
| амортизація, тис.руб. | 0,377214053 | 0,759164207 | 0,612169366 | 1 | |
| повна собівартість, тис.руб | 0,678604269 | 0,909886866 | 0,825715323 | 0,8247215 | 1 |
Для визначення наявності мультіколленіарності та усунення мультіколленіарних ознак була побудована і проаналізована матриця парних коефіцієнтів кореляції, див. таблиця 3.
Матриця парних коефіцієнтів кореляції
Розрахунок проводився в оболонці «Excel», Сервіс → Аналіз даних → Кореляція.
З таблиці 3 видно, що між факторними ознаками Сировина і Матеріальні витрати коефіцієнт кореляції більше 0,8. Для усунення мультиколінеарності необхідно виключити з кореляційної моделі один з цих ознак, розрахунки наведені в таблицях 4 і 5.
Матриця парних коефіцієнтів кореляції для моделі без «Матеріальних витрат»
| сировину, м погонний | витрати на оплату праці, тис.руб. | амортизація, тис.руб. | повна собівартість, тис.руб | |
| сировину, м погонний | 1 | |||
| витрати на оплату праці, тис. грн. | 0,349630305 | 1 | ||
| амортизація, тис.руб. | 0,377214053 | 0,759164207 | 1 | |
| повна собівартість, тис. грн | 0,678604269 | 0,909886866 | 0,824721504 | 1 |
Матриця парних коефіцієнтів кореляції для моделі без «Сировини»
| витрати на оплату праці, тис.руб. | матеріальні витрати, тис.руб | амортизація, тис.руб. | повна собівартість, тис.руб | |
| витрати на оплату праці, тис. грн. | 1 | |||
| матеріальні витрати, тис.руб | 0,587647564 | 1 | ||
| амортизація, тис.руб. | 0,759164207 | 0,612169366 | 1 | |
| повна собівартість, тис.руб | 0,909886866 | 0,825715323 | 0,824721504 | 1 |
В обох моделях тепер відсутня проблема мультіколленіарності, тому що всі парні коефіцієнти між факторними ознаками <0,8.
Так як коефіцієнт кореляції r між результативним і факторними ознаками більше> 0,3, то всі ознаки далі беруть участь в аналізі.
Яку з цих двох модель необхідно вибрати покаже подальший аналіз.
Для визначення ознак розрахували t розрахункове і взяли t табличне, див. таблиці 6 і 7.
Матриця розрахункових значень t - критерію Стьюдента
для моделі без «Матеріальних витрат»
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 6
Матриця розрахункових значень t - критерію Стьюдента
для моделі без «Сировини»
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 7
Розрахунок проводився в оболонці «Excel» вручну за формулою (1), t табличне розраховувалося за допомогою функції СТЬЮДРАСПОБР виходячи з тієї ж формули.
Висновки: в результаті порівняння t розрахункове і t табличне з'ясувалося, що з імовірністю 0,95 можна стверджувати, що зв'язок між результативним і факторними ознаками є суттєвою (t розрахункове> t табличне), невипадковою. Яку з цих двох модель краще вибрати покаже подальший аналіз.
4. Регресійний аналіз даних.
На цьому етапі, використовуючи метод найменших квадратів, будується багатофакторна регресійна залежність (рівняння регресії) результуючого показника від залишилася після попередніх кроків аналізу факторних показників.
Лінійна модель, яка містить незалежні змінні тільки в першому ступені, має вигляд:
де а 0 - вільний член,
а 1 ... а n - параметри рівняння (коефіцієнти регресії),
х 1 .... х n - значення факторних ознак.
Параметри рівняння регресії розраховуються методом найменших квадратів, при цьому вирішується система нормальних рівнянь з к +1 невідомими.
Для вимірювання ступеня сукупності впливу відібраних факторів на результативну ознаку розраховують сукупний коефіцієнт детермінації R 2 і сукупний коефіцієнт множинної кореляції R - загальні показники тісноти зв'язку ознак. Межі зміни: 0 ≤ R ≥ 1. Чим ближче R до 1, тим точніше рівняння множинної лінійної регресії відображає реальний зв'язок.
Перевірка значущості моделей, побудованих на основі рівнянь регресії, починається з перевірки значимості кожного коефіцієнта регресії. Значимість коефіцієнта регресії здійснюється за допомогою t - критерію Стьюдента (відношення коефіцієнта регресії до його середньої помилку):
Коефіцієнт регресії вважається статистично значимим, якщо t розрахункове> t табличне із заданими параметрами (рівнем значущості α, = 0,05, і числом ступенів свободи υ = n - до -1, де n - число спостережень, до - число факторних ознак).
Перевірка адекватності моделі здійснюється за допомогою F - критерію Фішера і величини середньої помилки апроксимації, яка не повинна перевищувати 12 - 15%. Якщо величина F розрахункове> F табличне, то зв'язок визнається істотною. F табличне знаходитися при заданому рівні значимості α = 0,05 і числі ступенів свободи v 1 = k і v 2 = nk-1. (4)
Модель без урахування «Матеріальних витрат»
У таблиці 8 згенеровані результати по регресійної статистиці.
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 8
Ці результати відповідають наступним статистичними показниками:
Множинний R - коефіцієнт кореляції R,
R-квадрат - коефіцієнт детермінації R 2;
У таблиці 9 згенеровані результати дисперсійного аналізу, які використовуються для перевірки значущості коефіцієнта детермінації R 2.
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 9
Df - число ступенів свободи, SS - сума квадратів відхилень,
MS - дисперсія MS, F - розрахункове значення F-критерію Фішера,
Значимість F - значення рівня значимості, відповідне обчисленому F;
У таблиці 10 згенеровані значення коефіцієнтів регресії і їх
статистичні оцінки.
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 10
Коефіцієнти - значення коефіцієнтів регресії,
Стандартна помилка - стандартні помилки коефіцієнтів регресії,
t - статистика - розрахункові значення t - критерію Стьюдента, які обчислюють за формулою 2,
Р-значення - значення рівнів значимості, відповідні обчисленими значеннями t,
Нижні 95% і Верхні 95% - відповідні кордони довірчих інтервалів для коефіцієнтів регресії.
У таблиці 11 згенеровані передбачені значення результуючого фактора Y і значення залишків. Останні обчислюються як різниця між передбаченим і вихідних значень Y.
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 11
Розрахунок проводився в оболонці «Excel», Сервіс → Аналіз даних → Регресія.
t табличне розраховувалося за допомогою функції СТЬЮДРАСПОБР виходячи з формули (3).
F табличне розраховувалося за допомогою функції FРАСПОБР виходячи з формули (4).
Модель без урахування «Сировини»
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 12
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 13
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 14
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 15
Всі пояснення до таблиць, а також спосіб розрахунку, вказані в моделі без урахування «Матеріальних витрат».
Перейдемо до аналізу згенерованих таблиць обох моделей.
Значення множинного коефіцієнта регресії R в моделі без урахування «Матеріальних витрат» дорівнює 0, 997, а в моделі без урахування «Сировини» дорівнює 0,983. Це дозволяє зробити висновок, що перша модель точніше відображає реальний зв'язок.
При оцінці значущості коефіцієнтів регресії за допомогою порівняння розрахункового та табличного значень t - критерію Стьюдента стало очевидно, що слід вибрати модель «Матеріальних витрат». У даній моделі t розрахункове знайдених коефіцієнтів перевищує t табличне (див. таблицю 10) t - критерію Стьюдента, що дозволяє зробити висновок, що коефіцієнти регресії в рівнянні є значимими.
Тоді як в моделі без урахування «Сировини» два коефіцієнти регресії нижче t табличне (див. таблицю 14), що говорить про відсутність їх значимості.
Перевірку адекватності моделі здійснюємо вже тільки з моделлю без урахування «Матеріальних витрат».
Значення середньої помилки апроксимації не перевищує 12-15%, що добре видно на малюнку 2, так як різниця між передбаченим і вихідним результуючим фактором Y дуже невелика.
Розрахований рівень значимості (див. таблицю 9) дорівнює 1,2734 E-10 <0,05, це підтверджує значимість R 2. Значення F розрахункове - критерію Фішера більше F табличне, отже зв'язок між ознаками визнається істотною.
Малюнок SEQ Малюнок \ * ARABIC 2
Таким чином, отримуємо шукане рівняння регресії:
Висновки: Виконавши цю роботу по етапах, була побудована економіко-математична модель методом математичної статистики на прикладі ВАТ швейної фабрики «Берізка». Модель має вигляд:
Вибрані фактори Х 1, Х 2 і Х 3 істотно впливають на У, що підтверджує правильність їх включення в побудовану модель.
Так як коефіцієнт детермінації R 2 значущий, то це свідчить про істотність зв'язку між розглянутими ознаками.
Звідси випливає, що побудована модель ефективна.
Матриця розрахункових значень t - критерію Стьюдента
для моделі без «Матеріальних витрат»
| сировину, м погонний | витрати на оплату праці, тис. грн. | амортизація, тис.руб. | повна собівартість, тис. грн | |
| сировину, м погонний | ||||
| Витрати на оплату праці, тис.руб. | 1,237707018 | |||
| амортизація, тис.руб. | 1,350871631 | 3,868284073 | ||
| повна собівартість, тис. грн | 3,064211348 | 7,274210595 | 4,836609752 | |
| tтаблічное | 2,200985159 |
Матриця розрахункових значень t - критерію Стьюдента
для моделі без «Сировини»
| витрати на оплату праці, тис. грн. | матеріальні витрати, тис.руб | амортизація, тис.руб. | повна собівартість , Тис.руб | |
| витрати на оплату праці тис.руб. | ||||
| матеріальні витрати, тис.руб | 2,408806699 | |||
| амортизація, тис.руб. | 3,868284073 | 2,567683844 | ||
| повна собівартість, тис.руб | 7,274210595 | 4,854902951 | 4,836609752 | |
| tтаблічное | 2,200985159 |
Розрахунок проводився в оболонці «Excel» вручну за формулою (1), t табличне розраховувалося за допомогою функції СТЬЮДРАСПОБР виходячи з тієї ж формули.
Висновки: в результаті порівняння t розрахункове і t табличне з'ясувалося, що з імовірністю 0,95 можна стверджувати, що зв'язок між результативним і факторними ознаками є суттєвою (t розрахункове> t табличне), невипадковою. Яку з цих двох модель краще вибрати покаже подальший аналіз.
4. Регресійний аналіз даних.
На цьому етапі, використовуючи метод найменших квадратів, будується багатофакторна регресійна залежність (рівняння регресії) результуючого показника від залишилася після попередніх кроків аналізу факторних показників.
Лінійна модель, яка містить незалежні змінні тільки в першому ступені, має вигляд:
де а 0 - вільний член,
а 1 ... а n - параметри рівняння (коефіцієнти регресії),
х 1 .... х n - значення факторних ознак.
Параметри рівняння регресії розраховуються методом найменших квадратів, при цьому вирішується система нормальних рівнянь з к +1 невідомими.
Для вимірювання ступеня сукупності впливу відібраних факторів на результативну ознаку розраховують сукупний коефіцієнт детермінації R 2 і сукупний коефіцієнт множинної кореляції R - загальні показники тісноти зв'язку ознак. Межі зміни: 0 ≤ R ≥ 1. Чим ближче R до 1, тим точніше рівняння множинної лінійної регресії відображає реальний зв'язок.
Перевірка значущості моделей, побудованих на основі рівнянь регресії, починається з перевірки значимості кожного коефіцієнта регресії. Значимість коефіцієнта регресії здійснюється за допомогою t - критерію Стьюдента (відношення коефіцієнта регресії до його середньої помилку):
Коефіцієнт регресії вважається статистично значимим, якщо t розрахункове> t табличне із заданими параметрами (рівнем значущості α, = 0,05, і числом ступенів свободи υ = n - до -1, де n - число спостережень, до - число факторних ознак).
Перевірка адекватності моделі здійснюється за допомогою F - критерію Фішера і величини середньої помилки апроксимації, яка не повинна перевищувати 12 - 15%. Якщо величина F розрахункове> F табличне, то зв'язок визнається істотною. F табличне знаходитися при заданому рівні значимості α = 0,05 і числі ступенів свободи v 1 = k і v 2 = nk-1. (4)
Модель без урахування «Матеріальних витрат»
У таблиці 8 згенеровані результати по регресійної статистиці.
| Регресійна статистика | |
| Множинний R | 0,997434896 |
| R-квадрат | 0,994876372 |
| Нормований R-квадрат | 0,993168496 |
| Стандартна помилка | 2219,306976 |
| Спостереження | 13 |
Ці результати відповідають наступним статистичними показниками:
Множинний R - коефіцієнт кореляції R,
R-квадрат - коефіцієнт детермінації R 2;
| F табличне |
| 3,862548358 |
Таблиця SEQ Таблиця \ * ARABIC 9
| df | SS | MS | F | Значимість F | |
| Регресія | 3 | 8607337323 | 2869112441 | 582,5226438 | 1,2734 E-10 |
| Залишок | 9 | 44327911,1 | 4925323,455 | ||
| Разом | 12 | 8651665234 |
MS - дисперсія MS, F - розрахункове значення F-критерію Фішера,
Значимість F - значення рівня значимості, відповідне обчисленому F;
| Коефіцієнт цієнта | Стандарт ва помилка | t-статистика | P-Значення | Нижні 95% | Верхні 95% | |
| повна собівартість- імость, тис.руб | 2857,593011 | 1130,014906 | 2,528810014 | 0,094646561 | 603,5411613 | 6318,727183 |
| сировину, м погонний | 132,3000047 | 8,941959918 | 14,79541464 | 1,27093 E-07 | 112,071886 | 152,5281233 |
| витрати на оплату праці, тис.руб. | 1,586039072 | 0,095432478 | 16,61948958 | 4,61669 E-08 | 1,370155809 | 1,801922334 |
| амортизація, тис.руб. | 3,357368468 | 0,582082818 | 5,76785358 | 0,000270158 | 2,040605653 | 4,674131282 |
статистичні оцінки.
| t табличне | 2,306004133 |
Коефіцієнти - значення коефіцієнтів регресії,
Стандартна помилка - стандартні помилки коефіцієнтів регресії,
t - статистика - розрахункові значення t - критерію Стьюдента, які обчислюють за формулою 2,
Р-значення - значення рівнів значимості, відповідні обчисленими значеннями t,
Нижні 95% і Верхні 95% - відповідні кордони довірчих інтервалів для коефіцієнтів регресії.
У таблиці 11 згенеровані передбачені значення результуючого фактора Y і значення залишків. Останні обчислюються як різниця між передбаченим і вихідних значень Y.
| Спостереження | Передбачене Y | Залишки |
| 1 | 78576,42428 | -412,4242814 |
| 2 | 61255,20002 | -187,2000206 |
| 3 | 33691,17456 | -3127,174561 |
| 4 | 31418,51735 | 331,4826465 |
| 5 | 91894,70678 | 1716,293221 |
| 6 | 79104,48549 | -2045,485491 |
| 7 | 56074,39615 | -2280,396148 |
| 8 | 79355,80571 | 1974,194293 |
| 9 | 58940,14712 | -1761,147116 |
| 10 | 88956,30336 | 682,6966372 |
| 11 | 49227,81005 | 2011,189951 |
| 12 | 18467,43597 | 3221,564032 |
| 13 | 10633,59316 | -123,5931632 |
Розрахунок проводився в оболонці «Excel», Сервіс → Аналіз даних → Регресія.
t табличне розраховувалося за допомогою функції СТЬЮДРАСПОБР виходячи з формули (3).
F табличне розраховувалося за допомогою функції FРАСПОБР виходячи з формули (4).
Модель без урахування «Сировини»
| Регресійна статистика | |
| Множинний R | 0,983232832 |
| R-квадрат | 0,966746802 |
| Нормований R-квадрат | 0,955662403 |
| Стандартна помилка | 5653,863353 |
| Спостереження | 13 |
| df | SS | MS | F | Значимість F | |
| Регресія | 3 | 8363969696 | 2787989899 | 87,21688674 | 5,68904 E-07 |
| Залишок | 9 | 287695537,3 | 31966170,81 | ||
| Разом | 12 | 8651665234 |
| Коефіцієнт цієнта | Стандар ртная помилка | t-статистика | P-Значення | Нижні 95% | Верхні 95% | |
| повна себест імость, тис.руб | 1992,888488 | 4236,311712 | 0,470430087 | 0,649239402 | -7590,314376 | 11576,09135 |
| витрати на оплату праці, тис.руб. | 1,430363491 | 0,248983274 | 5,744817576 | 0,000278107 | 0,867124195 | 1,993602788 |
| матері ціальні витрати, тис.руб | 1,187585684 | 0,232389908 | 5,11031521 | 0,000636233 | 0,661883189 | 1,713288179 |
| аморті зація, тис.руб. | 2,461032929 | 1,536123969 | 1,602105675 | 0,143596048 | -1,013920904 | 5,935986761 |
| t табличне | 2,306004133 |
| Спостереження | Передбачене Y | Залишки |
| 1 | 65758,37475 | 12405,62525 |
| 2 | 60420,80042 | 647,1995839 |
| 3 | 30995,16308 | -431,1630845 |
| 4 | 29093,4229 | 2656,577097 |
| 5 | 99410,20661 | -5799,206609 |
| 6 | 74070,10843 | 2988,891574 |
| 7 | 55740,66995 | -1946,669945 |
| 8 | 77635,1743 | 3694,825697 |
| 9 | 63565,34811 | -6386,348112 |
| 10 | 89934,05543 | -295,0554319 |
| 11 | 55762,64509 | -4523,645092 |
| 12 | 23554,57043 | -1865,57043 |
| 13 | 11655,4605 | -1145,460501 |
Всі пояснення до таблиць, а також спосіб розрахунку, вказані в моделі без урахування «Матеріальних витрат».
Перейдемо до аналізу згенерованих таблиць обох моделей.
Значення множинного коефіцієнта регресії R в моделі без урахування «Матеріальних витрат» дорівнює 0, 997, а в моделі без урахування «Сировини» дорівнює 0,983. Це дозволяє зробити висновок, що перша модель точніше відображає реальний зв'язок.
При оцінці значущості коефіцієнтів регресії за допомогою порівняння розрахункового та табличного значень t - критерію Стьюдента стало очевидно, що слід вибрати модель «Матеріальних витрат». У даній моделі t розрахункове знайдених коефіцієнтів перевищує t табличне (див. таблицю 10) t - критерію Стьюдента, що дозволяє зробити висновок, що коефіцієнти регресії в рівнянні є значимими.
Тоді як в моделі без урахування «Сировини» два коефіцієнти регресії нижче t табличне (див. таблицю 14), що говорить про відсутність їх значимості.
Перевірку адекватності моделі здійснюємо вже тільки з моделлю без урахування «Матеріальних витрат».
Значення середньої помилки апроксимації не перевищує 12-15%, що добре видно на малюнку 2, так як різниця між передбаченим і вихідним результуючим фактором Y дуже невелика.
Розрахований рівень значимості (див. таблицю 9) дорівнює 1,2734 E-10 <0,05, це підтверджує значимість R 2. Значення F розрахункове - критерію Фішера більше F табличне, отже зв'язок між ознаками визнається істотною.
Малюнок SEQ Малюнок \ * ARABIC 2
Таким чином, отримуємо шукане рівняння регресії:
Висновки: Виконавши цю роботу по етапах, була побудована економіко-математична модель методом математичної статистики на прикладі ВАТ швейної фабрики «Берізка». Модель має вигляд:
Вибрані фактори Х 1, Х 2 і Х 3 істотно впливають на У, що підтверджує правильність їх включення в побудовану модель.
Так як коефіцієнт детермінації R 2 значущий, то це свідчить про істотність зв'язку між розглянутими ознаками.
Звідси випливає, що побудована модель ефективна.