ВСТУП.
Одним з напрямків вдосконалення аналізу господарської діяльності є впровадження економіко-математичних методів і сучасних ЕОМ. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, обгрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіанту використання господарських ресурсів, виявлення і мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва.
Математичні методи спираються на методологію економіко-математичного моделювання та науково обгрунтовану класифікацію завдань аналізу господарської діяльності. У залежності від цілей економічного аналізу розрізняють такі економіко-математичні моделі: у детермінованих моделях - логарифмування, пайова участь, диференціювання; в стохастичних моделях - кореляційно-регресивний метод, лінійне програмування, теорію масового обслуговування, теорію графів.
Стохастичного моделювання й аналіз факторних систем ГОСПОДАРСЬКОЇ ДІЯЛЬНОСТІ.
Стохастичний аналіз - це метод вирішення широкого класу задач статистичного оцінювання. Він передбачає вивчення масових емпіричних даних шляхом побудови моделей зміни показників за рахунок факторів, які не перебувають у прямих зв'язках, у прямій взаємозалежності і взаємозумовленості. Стохастична зв'язок існує між випадковими величинами і проявляється в тому, що при зміні однієї з них змінюється закон розподілу інший. Так якщо випадкова величина Х-функція двох груп випадкових величин Z і v, X = f (Z 1, Z 2, ..., Z n; v 1, v 2, ..., v n), а випадкова величина Y - функція двох груп випадкових величин Y = Y (Z 1, Z 2, ..., Z n; v 1, v 2, ..., v n), то між X і Y є стохастична зв'язок.
В основі побудови стохастичних моделей лежить узагальнення закономірностей варіювання значень досліджуваних економічних показників. Передумовою для застосування стохастичного підходу моделювання зв'язків служить якісна однорідність сукупності (щодо досліджуваних зв'язків) та варіювання ознак по господарським об'єктам та періодами.
Стохастичне моделювання можна застосовувати в аналізі господарської діяльності, якщо є можливість скласти сукупність спостережень. Моделювання ведеться методами математичної статистики, які дозволяють досліджувати опосередковані причинно-наслідкові зв'язки показників виробничо-господарської діяльності з факторами і умовами виробництва. Детерминированное моделювання в даному випадку не завжди можливо. За допомогою математико-статистичних прийомів можна обійтися без спеціальних експериментів.
В економічному аналізі виділяються такі найбільш типові завдання стохастичного аналізу:
вивчення наявності і тісноти зв'язків між функцією і чинниками, а також між факторами;
ранжування та класифікацію факторів економічних явищ;
виявлення аналітичної форми зв'язку між досліджуваними явищами;
згладжування динаміки зміни рівня показників;
вивчення розмірності (складності, багатогранності) економічних явищ;
кількісне зміна інформативних показників;
кількісне зміна впливу факторів на зміну аналізованих показників (економічна інтерпретація отриманих управлінь).
Стохастичне моделювання та аналіз зв'язків між вивченими показниками починаються з кореляційного аналізу.
Кореляція полягає в тому, що середня величина одного з ознак змінюється в залежності від значення іншої. Ознака, від якого залежить інша ознака, прийнято називати факторингу. Залежний ознака іменують результативним. У кожному конкретному випадку для встановлення факторного та результативного ознак в неоднакових сукупностях необхідний аналіз природи зв'язку. Так, при аналізі різних ознак в одній сукупності заробітна плата робітників у зв'язку з їх виробничим стажем виступає як результативний ознака, а у зв'язку з показниками життєвого рівня або культурними потребами - як факторний. Часто залежності розглядають не від одного факторного ознаки, а від кількох. Для цього застосовується сукупність методів і прийомів виявлення і кількісної оцінки взаємозв'язків і взаємності між ознаками.
При дослідженні масових суспільно-економічних явищ між факторними ознаками проявляється кореляційний зв'язок, при якій на величину результативної ознаки впливає, крім факторного, безліч інших ознак, які у різних напрямах одночасно або послідовно. Часто кореляційний зв'язок називають неповної статистичної або часткової на відміну від функціональної, яка виражається в тому, що при певному значенні змінної (незалежна змінна - аргумент) інша (залежна змінна - функція) приймає суворе значення.
Кореляційний зв'язок можна виявити тільки у вигляді загальної тенденції при масовому зіставленні фактів. Кожному значенню факторної ознаки буде відповідати не одне значення результативної ознаки, а їх сукупність. У цьому випадку для розкриття зв'язку необхідно знайти середнє значення результативної ознаки, а їх сукупність. У цьому випадку для розкриття зв'язку необхідно знайти середнє значення результативної ознаки для кожного значення факторного.
Проблема вимірювання зв'язку має дві сторони: з'ясування форми і тісноти. При визначення форми зв'язку виявляється зміна середньої величини результативної ознаки в залежності від зміни факторного. Вибір тих чи інших показників тісноти кореляційного зв'язку залежить від її форми. Під формою зв'язку розуміють тип аналітичної формули, що виражає залежність між розглянутими ознаками. Розрізняють зв'язок пряму, при якій з ростом (зниженням) факторного ознаки у результативного виявляється тенденції до збільшення (зменшення), і зворотний, коли зі збільшенням (зменшенням) факторного ознаки результативний знижується (збільшується).
Форма кореляційної залежності характеризує тенденцію, що виявляється у змінах розглянутого ознаки зі зміною ознаки-фактора. Якщо спостерігається тенденція рівномірного зростання або зменшення значень ознаки, то залежність називається прямолінійною, в іншому випадку - криволінійної.
Врівноваження кореляційного зв'язку (рівняння регресії) - аналітичне. З його допомогою виражається зв'язок між ознаками (іноді форма зв'язку). Розрізняють прямолінійний (пряма лінія) і криволінійне (парабола, гіпербола) рівняння.
Лінії на графіках, що зображують тенденції в зміни ознаки, що корелюється з ознакою-фактором, називаються лініями регресії. У них знаходить графічне вираження форма зв'язку.
При використанні кореляційно-регресивного прийому аналізу модель зображується у вигляді рівняння регресії типу y = f (x), де у - залежна змінна (результативна ознака або функція від ряду факторів-аргументів); х - незалежні змінні (фактори-аргументи). Парний кореляцією називається кореляційна залежність між двома ознаками.
Найпростішим рівнянням, що характеризує прямолінійну залежність між двома ознаками, служить рівняння прямої лінії: Y = a + bx, де х і у (х) - відповідно незалежний і залежний ознака; a і b - параметри рівняння.
Рівняння прямої лінії описує такий зв'язок між двома ознаками, при якій зі зміною ознаки-фактора відбувається рівномірне зростання або убування значень залежного ознаки (рис. 1.1.)
Кількість спостережень при прямолінійною
залежно має становити не менше 6.
Як приклад прямолінійною залежності
наведемо дані про зміну фондоозброєності
та продуктивності праці (табл. 1.1.)
Рік (Період) | Продуктивність праці (у), тис. руб. | Фондоозброєність праці працюючих (х), тис. руб. |
|
|
|
1-й 2-й Третя 4-й 5-й 6-й 7-й 8-й |
9-й 10-й | 6,2 6,6 6,9 6,8 7,3 7,6 8,6 9,1 10,6 11,2 | 1,6 1,8 2,0 2,0 2,3 2,4 2,5 2,6 2,6 2,8 | 9,9 11,9 13,8 13,6 16,8 18,2 21,5 23,7 27,6 31,4 | 2,6 3,2 4,0 4,0 5,3 5,8 6,3 6,8 6,8 7,8 | 38,4 43,6 47,6 46,2 53,3 57,8 74,0 82,8 112,4 125,4 |
Разом | 80,9 | 22,6 | 188,4 | 52,6 | 681,5 |
При плануванні продуктивності праці важливо встановити темпи її зростання в залежності від збільшення фондоозброєності.
Зв'язок між продуктивністю і фондоозброєністю праці можна виразити у вигляді рівняння прямої лінії: , Де - Число спостережень; - Постійна величина, незалежна від зміни даного фактора.
Для з'ясування зв'язку розрахуємо коефіцієнт кореляції за формулою: Коефіцієнт кореляції за абсолютною величиною може приймати значення в межах від 0 до 1. Якщо між двома показниками не існує зв'язку, коефіцієнт дорівнює 0, якщо зв'язок тісний, - він близький до 1.
Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює 1, значить, результативний ознака повністю залежить від ознаки-фактора, тобто по суті кореляційна залежність збігається з функціональною. Отже, чим ближче коефіцієнт кореляції до 1, тим тісніше зв'язок між явищами і навпаки.
Для знаходження невідомих параметрів a і b вирішимо систему так званих нормальних рівнянь: ; . Величина xy знаходиться множенням значень х на y і подальшим підсумовуванням творів.
Для обчислення величини слід значення х звести в квадрат і отримані результати підсумувати.
Числові значення ху, х, у, розраховуються на підставі фактичних даних з табл.1.1.
У результаті підстановки даних в систему рівнянь отримуємо:
80,9 = 10 а + 22,6 b; 188,4 = 22,6 а + 52,6 b.
Звідси а = +6,7; B = 0,912.
Значить, рівняння, що представляє зв'язок між фондоозброєністю і продуктивністю праці працюючих, має вигляд у (х) = 6,7 + 0,912 х. Отже підвищення фондоозброєності праці на 1000 руб. призводить до зростання його продуктивності на 912 руб. Ці дані враховуються при перспективному і поточному плануванні зростання продуктивності праці.
Використання множинної кореляції в економічному аналізі. Залежно від кількості відібраних факторів розрізняють парні та багатофакторні моделі. З багатофакторних використовується: лінійні ; Статечні ; Логарифмічні моделі. Вони зручні тим, що їхні параметри економічно інтерпретується.
В економічних розрахунках перевага віддається лінійним моделям, що обумовлено наступними причинами:
1.Относітельная простота і менший обсяг обчислень;
2.Массовие економічні процеси, як правило, підпорядковуються закону нормального розподілу, якому властиві лінійні форми зв'язку.
Фактори, що включаються в кореляційно-регресивну модель, відбираються в кілька прийомів: логічний відбір згідно з економічним змістом; відбір суттєвих факторів за оцінки їх значимості з t-критерієм Стьюдента або F-критерієм Фішера; послідовний відсів незначущих факторів. При розрахунках множинної кореляції застосовується ступінь точності 5%, що відповідає ймовірності Р = 0,05.
Кореляція рядів динаміки має деякі особливості. Крім короткочасних коливань (річних, квартальних, місячних), в ряду є ще один компонент - загальна тенденція у зміни показників ряду (тренд). При цьому має місце автокорреляция - залежність між послідовними (тобто сусідніми) значеннями рівнів динамічного ряду.
Для перевірки наявності автокореляції в динамічних рядах обчислюється критерій Дарбіна - Уотсона , Де і - Відповідні рівні динамічного ряду. Його значення перебувають у межах від 0 до 4. Якщо розрахункові значення критерію близькі до 2, значить, автокорреляция відсутня; якщо d е. <0 - динамічний ряд містить автокореляції; якщо d е = 4 - у динамічному ряду не існує автокореляції.
Для визначення вирівняного ряду (тренду) з метою його подальшого виключення найчастіше вдаються до механічного згладжування та аналітичного вирівнювання методом найменших квадратів.
Механічне згладжування ведеться за допомогою ковзаючої, або рухомий середньої. Цей спосіб полягає в обчисленні кожної нової середньої одного члена ряду зліва і приєднанні одного члена ряду ліворуч і одного праворуч.
Крім статистичних характеристик (Табл.1.2) розраховуються також їхні помилки. Величина помилки відображає діапазон, в якому знаходиться та чи інша статистична характеристика.
Показники | Їх зміст і позначення |
Може бути арифметичне Дисперсія Стандартне відхилення (середньо-квадратичне) Асиметрія Екцесс Варіація | Показує середнє арифметичне значення y і наступних х в порядку їх введення . Середній квадрат відхилень варіантів (х) від середньої арифметичної ( ). Є мірою варіації, тобто коливання ознаки . Обчислюється як середня з відхилень варіантів від їх середньої арифметичної. Представляє собою міру коливання. Коефіцієнт асиметрії К а коливається від -3 до +3. Якщо К а> 0, то асиметрія правостороння, якщо К а <0, то лівостороння, якщо К а = 0, то варіаційний ряд вважається симетричним. Крутість розподілу, тобто островершинним або плосковершинні кривої на графіку. Якщо Е> 3, то розподіл островершинним, при Е <3 - нізковершінное. Коефіцієнт варіації V - відносна величина (%), що характеризує коливання ознаки від середнього арифметичного. Якщо V <10%, мінливість варіаційного ряду незначна; мінливість середня якщо 10% ≤ V ≤ 20%; якщо 20% ≤ V ≤ 33% - значна; якщо V ≥ 33%, інформація неоднорідна і її слід виключити з подальших розрахунків або відкинути аномальні (нетипові) спостереження. |
Матриця коефіцієнтів парної кореляції. Для вимірювання тісноти зв'язку між факторами і результативним показником обчислюють парні, приватні та множинні коефіцієнти кореляції. Вони володіють наступними властивостями:
-1 ≤ r ≤ 1;
якщо r = 0, лінійна кореляційний зв'язок відсутній;
якщо [r] = 1, між змінними х і у існує функціональна залежність;
зв'язок вважається сильною, якщо [r] ≥ 0,7. При [r] ≤ 0,3 - зв'язок слабка.
Парні коефіцієнти розраховуються для різноманітних пар змінних без урахування впливу інших факторів. Щоб врахувати взаємний вплив факторів, обчислюються часті коефіцієнти, які відрізняються від перших тим, що виражають тісноту кореляційної залежності між двома ознаками при усуненні змін, викликаних впливом інших факторів моделі.
Матриця критеріїв некорельованість необхідна для вибору найбільш значущих чинників, чиє спільне вплив формує його величину. При цьому виключення зазвичай підлягають фактори, які при парному корельованості один з одним дають високий лінійний коефіцієнт, що перевищує за абсолютною величиною 0,85. Наявність такого зв'язку між двома факторами називають корреліарностью, а між кількома - мультиколінеарності. На підставі даних матриці машина відкидає чи не відкидає гіпотезу про мультиколінеарності.
Коефіцієнти множинної детермінації представляють собою квадрат коефіцієнта кореляції. Він показує, на скільки відсотків варіація результативного показника залежить від впливу обраних факторів.
Вектор значень Фішера використовується для оцінки множинного коефіцієнта кореляції та рівняння регресії. Розрахункові значення вектора значень порівнюються з табличними.
Для оцінки значущості факторів необхідна матриця значень розподілу Стьюдента. Розрахункові значення тут також порівнюються з табличними. Після цього починається кроковий регресивний аналіз. Його результатом стає рівняння регресії
де а 0 - вільний член рівняння; х 1, х 2, ..., х n - Фактори, що визначають результатних показників в його одиницях виміру.
Далі йде група оціночних показників рівняння регресії в цілому:
F - відношення Фішера для оцінки множинного коефіцієнта кореляції та рівняння регресії в цілому; d е-ставлення Дарбіна - Уотсона для визначення наявності автокореляції в рядах динаміки; е - коефіцієнт еластичності - відношення зміни (у відсотках) однієї ознаки при зміні на 1% іншої. Для f (x) коефіцієнт еластичності звертається в е = , Де - Похідна. Показники еластичності обчислюються в статиці і динаміці; бета-Коефіцієнти та інші статистичні характеристики, які не інтерпретуються з економічної точки зору.
Інтерпретацію вихідної інформації можна постежити на прикладі кореляційного аналізу фондовіддачі. Для побудови на першому етапі відібрані наступні фактори:
Х 1 - питома вага машин і устаткування в загальній вартості основних виробничих фондів,%;
Х 2 - електрооворуженность робітників, тис. кВт ∙ год;
Х 3 - рівень використання виробничої потужності,%.
Числові характеристики аналізованих показників представлені у таблиці 1.3.
Число коливань | Y | X 1 | X 2 | X 3 |
1 2 3 4 5 | 1.47 1.25 1.82 1.45 1.75 | 32.00 30.58 34.12 32.17 33.78 | 34.08 35.89 36.93 32.31 34.91 |
88.98 87.27 95.00 88.17 90.89 | ||||
40 | 1.79 | 33.96 | 40.25 | 92. 40 |
Для оцінки колеблемости показників необхідні їх статистичні характеристики (Табл. 1.4.).
Дані таблиці показують, що незначним коливанням схильні фактори Х 3 і Х 1; середня коливання притаманна функції Y, значна - фактору Х 2. Однак коефіцієнти варіації показників не перевищують 33%, що свідчить про однорідність вихідної інформації.
Шифр показу-теля | Середнє Ариф-чеський | Дисперсія | Стандартне відхилення | Асимм-трия | Ексцес | Варіано- ції |
У 1 Х 1 Х 2 Х 3 | 1,641 33,178 36,164 92,061 | 0,06456 3,614 2,626 17,095 | 0,25409 1,9187 9,0899 4,1347 | -0,43878 0,48522 -0,96513 0,53833 | -0,72032 0,63515 0,96761 -1,2665 | 15,484 5,7831 25,135 4,4912 |
Коефіцієнти асиметрії говорять про правобічну асиметрії розподілу рядів Х 1 і Х 3 і про лівосторонньому розподілі рядів Х 2 і У.
Величина ексцесу для всіх показників не перевищує 3, що підтверджує нізковершінное розподіл варіаційних рядів. Зазначені коефіцієнти інтерпретуються геометрично.
Далі аналізується матриця коефіцієнтів парної кореляції (табл. 1.5.).
Шифр показника | У | Х 1 | Х 2 | Х 3 |
У Х 1 Х 2 Х 3 | 1,0000 0,93778 0,0933618 0,92272 | 1,0000 0,093838 0,92602 | 1,0000 0,0786 | 1,0000 |
У даному прикладі найбільш тісний зв'язок спостерігається між показниками фондовіддачі (У), ідеального ваги активної частини фондів (Х 1) і рівня завантаження виробничої потужності (Х 3). Парні коефіцієнти кореляції відповідно склали 0,937778 і 0,92272.
Розрахунок парних коефіцієнтів кореляції виявив слабкий зв'язок фондовіддачі з електроозброєність праці Х 2 - 0,09361.
Гіпотеза про наявність мультиколінеарності відкидається, тобто всі показники відносно незалежні.
Для розглянутого прикладу вектор коефіцієнтів множинної детермінації дорівнює: У = 0,9002; Х 1 = 0,9043; Х 2 = 0,0100; Х 3 = 0,8820. Вектор інтерпретується наступним чином: зміна (варіація) функції (У) на 90,02% залежить від зміни обраних факторів-аргументів; фактора Х 1 - на 90,43% від зміни функції (У) і інших факторів і т. д.
У таблиці 1.6. наведені приватні коефіцієнти кореляції. Вони показують зв'язок кожної пари факторів в чистому вигляді при незмінному значенні інших параметрів.
Шифр показника | У | Х 1 | Х 2 | Х 3 |
У Х 1 Х 2 Х 3 | 1,0000 0,5713 0,02791 0,4148 | 1,0000 0,02994 0,4541 | 1,0000 0,03164 | 1,0000 |
Частинні коефіцієнти кореляції нижче парних. Це говорить про те, що чисте вплив факторів слабше, ніж вплив чиниться окремими факторами у взаємодії з іншими.
Статистична значимість, надійність зв'язку, виражена приватними коефіцієнтами кореляції, перевіряється за t-критерієм Стьюдента шляхом порівняння розрахункового значення з табличними при заданій ступеня точності (Табл. 1.7.).
Шифр показника | У | Х1 | Х2 | Х3 |
А | 1 | 2 | 3 | 4 |
У Х1 Х2 Х3 | 1,0000 4,1769 0,1675 2,7359 | 1,0000 0,1797 3,0583 | 1,0000 0,1899 | 1,0000 |
Зазвичай у практиці економічних розрахунків ступінь точності береться рівною 5%, що відповідає ймовірності р = 0,05. У таблиці наведені критичні значення t-критерію Стьюдента для ймовірності р = 0,05 і 0,01 при різній кількості ступенів свободи, які визначаються як (n -1), де n - число спостережень.
У нашому прикладі при числі ступенів свободи 40 - 1 = 39 табличне значення t табл. = 2,021. Розрахункові значення t-критерію (перша графа таблиці) для факторів Х 1 і Х 3 виявилися вищими табличних, що свідчить про значущість цих факторів для аналізованої функції. Фактор Х 2 як незначний для функції повинен бути виключений з подальших розрахунків.
Далі на ЕОМ проводиться кроковий аналіз з поступовим включенням в модель обраних факторів за критерієм значимості. На кожному кроці розглядаються рівняння регресії, коефіцієнти кореляції і детермінації, F-критерій, стандартна помилка оцінки та інші показники. Після кожного кроку перераховані оціночні показники порівнюються з розрахованими на попередньому кроці. Рівняння регресії буде тим точніше, чим нижче величина стандартної помилки (табл. 1.8.).
№ кроку | Введення змінної | Рівняння регресії | Множинні коефіцієнти | Ставлення | Стандартна помилка оцінки | |
Кореляції | Детерм- нації | |||||
I | X 1 | У = -2,481 +0,1242 Х 1 | 0.9378 | 0.8797 | 277.2 | 0.0893 |
II | X 3 | У = -3,085 +0,077 Х 1 + + 0,0234 Х 3 +0,0002 Х 2 | 0.9488 | 0.9001 | 166.7 | 0.0824 |
III | X 2 | У = -3,091 +0,0773 Х1 + + 0,0234 Х3 +0,0002 Х2 | 0.9488 | 0.9002 | 108.3 | 0.0835 |
Якщо додавання наступних факторів не покращує оціночні показники, а іноді і погіршує їх, необхідно зупинитися на тому кроці, де показники найбільш оптимальні.
Результати крокового аналізу представлені в Табл. 1.8. свідчать про те, що сформовані взаємозв'язку найбільш повно описує двофакторна модель, отримана на другому кроці: у = У = -3,085 = 0,0774 Х 1 + 0,0234 Х 3.
Статистичний аналіз даного рівняння регресії підтверджує, що воно значимо: фактичне значення F-критерію Фішера одно 166,7, що значно перевищує F табл. = 3,25. Табличне значення F-критерію знаходиться за заданої ймовірності (р = 0,95) і числі ступенів свободи для стовпця таблиці (m - 1), де m - число параметрів рівняння регресії, включаючи вільний член, і для рядка таблиці (n - m), де n - число спостережень. Наприклад F-табличне знаходиться на перетині стовпця 2 (3 - 1) і рядки 37 (40 - 3) і одно 3,25 (Табл. 1.9.).
Коефіцієнт множинної кореляції, рівний 0,9488, свідчить про тісний взаємозв'язок між фондовіддачею та питомою вагою активної частини основних фондів, а також рівнем використання виробничої потужності. Величина коефіцієнта множинної детермінації 0,9001 свідчить про те, що зміна детермінації на 90,01% залежить від зміни врахованих факторів.
Параметри рівняння регресії інтерпретується наступним чином: коефіцієнт регресії при Х 1 (0,0774) показує, що збільшення питомої ваги машин і устаткування в загальній вартості основних виробничих фондів на 1% веде до зростання фондовіддачі на 7,74 копійки. Підвищення рівня завантаження потужностей на 1% піднімає фондовіддачу на 2,34 копійки.
Число ступенів свободи (n - 1) | p = 0.05 | р = 0.01 | Число ступенів c вободи (n - 1) | р = 0,05 | р = 0,01 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | 12,69 4,302 |
3,183
2,777
2,571
2,447
2,368
2,307
2,263
2,227
2,200
2,179
2,161
2,145
2,131
2,119
2,110
2,100
2,093
2,086