Варіант № 1
Зміст:
1. Предмет економіко-математичного моделювання, мета розробки економіко-математичних методів.
2. Для умовної економіки, що складається з трьох галузей, за звітний період відомі міжгалузеві потоки Х ij отч і вектор кінцевого використання продукції Y отч. Відповідні дані наведені у таблиці 1.1.
Таблиця 1.1.
Показники першого і другого квадрантів звітного міжгалузевого балансу (МОБ) (млн.крб.)
Орієнтуючись на ці дані, а також враховуючи, що 30% валової доданої вартості припадає на заробітну плату вирішити такі завдання.
2.1. Привести числову схему звітного МОБ з додатковим виділенням показників: проміжне споживання, проміжні витрати, валовий випуск, зарплата, інші елементи доданої вартості, валова додана вартість.
2.2. Розрахувати матрицю коефіцієнтів прямих витрат.
2.3. Побудувати модель для вирішення наступної проблеми. Припускаючи незмінність технологічних процесів в економіці, визначити в прогнозному періоді валовий випуск продукції галузей, якщо кінцеве використання продукції галузей у прогнозному періоді (млн. крб.) Визначається вектором
120
(Y np) = (30)
60
2.4. Побудувати модель для вирішення наступної проблеми. Який вплив на динаміку галузевих пропорцій в умовах ринку надає збільшення ціни на продукцію другого галузі в 2 рази. При цьому врахувати, що номінальне зростання заробітної плати в усіх галузях від зростання цін на 30%, інші складові ціни в реальному вираженні незмінні.
2.5. Побудувати модель для вирішення наступної проблеми. Як зміняться індекси цін на продукцію галузей, якщо інфлятогенним фактором виступає збільшення зарплати в третій галузі на 50%, в інших галузях зарплата в номінальному вираженні залишилася незмінною.
3. Для аналізу залежності прибутку підприємства (у) від ставки податку (х) досліджуються річні дані підприємства за 12 років: (обсяг вибірки n = 12). Дані наведені в таблиці 1.2
Таблиця 1.2.
Дані підприємства про ставку податку і прибутку
Орієнтуючись на ці дані необхідно:
3.1. Побудувати діаграму розсіювання, що відображає залежність інвестицій від обсягу виробництва, визначити вид залежності.
3.2. За методом найменших квадратів (МНК) оцінити параметри рівняння регресії, що описує даний вид залежності. Побудувати регресійну пряму. Визначити розрахункові значення ŷi, залишки еi = уi - ŷi, відносну похибку апроксимації.
3.3. Перевірити якість рівняння регресії: стандартна помилка регресії, стандартна помилка параметрів регресії, статистична значимість параметрів регресії,, коефіцієнт детермінації, автокорреляция залишків.
3.4. Спрогнозувати прибуток підприємства, якщо прогнозується зниження податкового тиску до 33%.
4. На нафтопереробний завод щотижня надходить не більше 500 тис. тонн сирої нафти, у тому числі першого сорту - до 100 тис.т., другого сорту - до 100 тис.т., третього сорту - до 200 тис.т., четвертого сорту - до 100 тис.т. З цієї сировини завод виробляє продукти нафтопереробки чотирьох видів (А, В, С, Д). Потреба в цих продуктах протягом тижня обмежена і не перевищує за видами: А - 170 тис.т., У - 85 тис.т., С - 20 тис.т., Д-85 тис.т. Продукт С (мастило) може отриманий тільки з нафти третього сорту. Решту продуктів отримують при переробці будь-якого сорту сирої нафти, в т.ч. і третього. Рентабельність переробки сирої нафти становить: 1-го сорту - 1 у.о. / т, 2-го сорту - 2 у.о. / т, 3-го сорту - а) при отриманні рідкого палива 1,5 у.о. / т, б) при одержанні мастила 2,5 у.е. / т, 4-го сорту - 0,7 у.о. / т. У таблиці 1.4 представлені характеристики сирої нафти по виходах нафтопродуктів.
Таблиця 1.3.
Вихід продуктів переробки (по видах) з 1т сирої нафти
Побудувати оптимізаційну модель для визначення: яка кількість нафти кожного сорту необхідно заводу переробляти, щоб отримати потрібний асортимент продуктів переробки та максимальний прибуток. Описати характерні особливості одержуваного на основі моделі оптимального плану.
1. Предмет економіко-математичного моделювання, мета розробки економіко-математичних методів.
У будь-якому з сучасних курсів економіки в тій чи іншій мірі використовується математичний апарат: аналізуються графіки різних залежностей, проводиться математична обробка тих чи інших статистичних даних і т.д. З переходом вітчизняної економіки на ринкові відносини роль математичних методів в багато разів. Дійсно, центральна проблема економіки - це проблема раціонального вибору. У плановій економіці (принаймні на мікрорівні, тобто на рівні окремого підприємства) немає вибору, а значить, роль математичного підходу сильно принижена. У умовах ринкової економіки, коли кожної господарської одиниці треба самостійно приймати рішення, тобто робити вибір, стає необхідним математичний розрахунок. Тому роль математичних методів в економіці постійно зростає.
У чому бачаться переваги математичного підходу? Відзначимо лише два моменти.
1. Зростає необхідність в уточненні понять. Математика по суті не може оперувати з нечітко, а тим більше неконкретно певними поняттями. Отже, якщо ми хочемо використовувати математичні методи, то повинні з самого початку чітко сформулювати завдання. У тому числі чітко сформулювати всі зроблені припущення.
2. Сильна просунутість математичних теорій (лінійна алгебра, математичний аналіз, теорія ймовірностей, кореляційний та регресійний аналіз, диференціальні рівняння і т.д.) надає до наших послуг дуже потужний і розвинений математичний апарат.
Зрозуміло, у використанні математичних методів є свої слабкі сторони. При спробі формалізувати економічну ситуацію може вийти дуже складна математична задача. Для того щоб її спростити, доводиться вводити нові допущення, часто не виправдані з точки зору економіки. Тому дослідника підстерігає небезпека займатися математичної технікою замість аналізу справжньої економічної ситуації. Головне і, по суті, єдиний засіб боротьби проти цього - перевірка досвідченими даними висновків математичної теорії.
Для вивчення різних економічних явищ економісти використовують їх спрощені формальні описи, звані економічними моделями. Прикладами економічних моделей є моделі споживчого вибору, моделі фірми, моделі економічного зростання, моделі рівноваги на товарних, факторних і фінансових ринках і багато інших. Будуючи моделі, економісти виявляють істотні фактори, що визначають досліджуване явище і відкидають деталі, несуттєві для вирішення поставленої проблеми. Формалізація основних особливостей функціонування економічних об'єктів дозволяє оцінити можливі наслідки впливу на них і використовувати такі оцінки в управлінні.
Економічні моделі дозволяють виявити особливості функціонування економічного об'єкта і на основі цього пророкувати майбутнє поведінку об'єкта при зміні будь-яких параметрів. Передбачення майбутніх змін, наприклад, підвищення обмінного курсу, погіршення економічної кон'юнктури, падіння прибутку може спиратися лише на інтуїцію. Однак при цьому можуть бути втрачені, неправильно визначені або невірно оцінені важливі взаємозв'язки економічних показників, що впливають на розглянуту ситуацію. У моделі всі взаємозв'язки змінних можуть бути оцінені кількісно, що дозволяє отримати більш якісний і надійний прогноз.
Для будь-якого економічного суб'єкта можливість прогнозування ситуації означає, перш за все, отримання кращих результатів або уникнути втрат, у тому числі і в державній політиці.
Під економіко-математичної моделлю розуміється математичний опис досліджуваного економічного процесу і об'єкта. Ця модель виражає закономірності економічного процесу в абстрактному вигляді за допомогою математичних співвідношень. Використання математичного моделювання в економіці дозволяє поглибити кількісний економічний аналіз, розширити сферу економічної інформації, інтенсифікувати економічні розрахунки.
Застосування економіко-математичних методів і моделей дозволяє істотно поліпшити якість планування і отримати додатковий ефект без залучення у виробництво додаткових ресурсів.
2. Завдання № 1
1.1. При побудові числової схеми звітного МОБ орієнтуємося на два види балансових співвідношень
- Для галузей виробників: вся валова продукція галузі-виробника (х i) розподіляється на поточне проміжне
n
споживання (Σ x ij) і кінцеве використання (у i)
j = 1
n ____
x i = Σ x ij + у i, i = 1, n; (1)
j = 1
- Для галузей-споживачів: валові витрати галузі-споживача (х j)
n
визначаються проміжними витратами (Σ x ij) і валової доданої
i = 1
вартістю (7 j)
n ____
x j = Σ x ij + 7 j, j = 1, n, (2)
i = 1
Заповнення елементів таблиці 2 здійснюється за наступною схемою.
Відповідно до формули (1) обсяг валового випуску першої галузі в звітному періоді визначається сумою проміжного споживання і кінцевого використання, тобто
х 1 отч = Х 11 отч + х 12 отч + х 13 отч + у 1 отч = 30 +10 +15 +90 = 145,
аналогічно для другої і третьої галузі:
х 2 отч = 35 +50 +20 +25 = 130,
х 3 отч = 15 +25 +30 +60 = 130.
Таблиця 1.
Показники звітного МОБ (млн. руб.)
Відповідно до формули (2) обсяг валового випуску першої галузі в звітному періоді визначається сумою проміжних витрат і валової доданої вартості. Оскільки валовий випуск галузей уже знайдений (x i отч), а проміжні витрати легко визначити на основі даних про
n
міжгалузевих потоках (Σ x ij, j = 1,3), знаходимо валову додану
i = 1
вартість першої галузі:
1 липня = х 1 отч - (х 11 отч + х 21 отч + х 31 отч) = 145 - (30 +35 +15) = 65,
аналогічно для другої і третьої галузі:
7 лютого = 130 - (10 + 50 + 25) = 45,
7 березня = 130 - (15 + 20 + 30) = 65.
Враховуючи, що 30% валової доданої вартості припадає на зарплату, розраховуємо рівень зарплати галузей (z i):
z 1 = 30% * 7 1 = 0,3 * 65 = 19,5,
z 2 = 0,3 * 45 = 13,5,
z 3 = 0,3 * 65 = 19,5;
і як балансуючий елемент - інші елементи доданої вартості (d i):
d 1 = 7 1 - z 1 = 65-19,5 = 45,5,
d 2 = 45 - 13,5 = 31,5,
d 3 = 65 - 19,5 = 45,5.
1.2. Матриця коефіцієнтів прямих витрат (а ij ) N * n розраховується на основі звітного МОБ за формулою:
___ ___
а ij отч = Х ij отч, i = 1, n, j = 1, n (3)
х j отч
Для нашої задачі у відповідності із співвідношенням (3), отримуємо:
а 11 отч = Х 11 отч = 30_ = 0,2069,
х 1 отч 145
а 12 отч = Х 12 отч = 10_ = 0,0769,
х 2 отч 130
і т.д.
Обчислення оформляються у вигляді матриці прямих витрат
1.3. Для вирішення задачі використовуємо балансове рівняння моделі МОБ, що зв'язує показники I і II квадратів МОБ - прогнозні значення валового випуску галузей х i пр і кінцевого використання у i пр:
n ___ _
х i пр = Σа ij пр х j пр + у i пр, i = 1, n. (4)
j = 1
Пропозиція незмінності динаміки технологічних процесів означає, що технологічна матриця прогнозного періоду визначається технологічною матрицею звітного періоду, тобто
___ __
а ij пр = а ij отч, i = 1,3, j = 1,3
Тоді співвідношення (4) для нашого прикладу перепишуть наступним чином:
Дана система одночасних рівнянь являє собою модель для вирішення задачі 1.3.
1.4. Оскільки збільшення ціни на продукцію друге галузі в 2 рази є інфлятогенним фактором в економіці, відбудеться підвищення цін на продукцію першої та третьої галузей. Позначимо індекс зростання цін на продукцію першої галузі р 1, третьої галузі - р 3. Побудова моделі здійснюється з метою знаходження індексів р 1 і р 3 за умови, що р 2 = 2 і відповідних обмежень на зростання заробітної плати. Очевидно, що інфляційні процеси викликають зміни номінальних потоків МОБ. Виходячи з економічного сенсу показників звітного МОБ, в нових цінах I і III квадранти МОБ перепишуть як представлено в таблиці 3.
Таблиця 2.
Показники I і III квадрантів МОБ
в нових цінах (млн. руб.)
Зміст:
1. Предмет економіко-математичного моделювання, мета розробки економіко-математичних методів.
2. Для умовної економіки, що складається з трьох галузей, за звітний період відомі міжгалузеві потоки Х ij отч і вектор кінцевого використання продукції Y отч. Відповідні дані наведені у таблиці 1.1.
Таблиця 1.1.
Показники першого і другого квадрантів звітного міжгалузевого балансу (МОБ) (млн.крб.)
| галузі | Міжгалузеві потоки Х ij отч | Кінцеве використання Y отч | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 30 | 10 | 15 | 90 |
| 2 | 35 | 50 | 20 | 25 |
| 3 | 15 | 25 | 30 | 60 |
2.1. Привести числову схему звітного МОБ з додатковим виділенням показників: проміжне споживання, проміжні витрати, валовий випуск, зарплата, інші елементи доданої вартості, валова додана вартість.
2.2. Розрахувати матрицю коефіцієнтів прямих витрат.
2.3. Побудувати модель для вирішення наступної проблеми. Припускаючи незмінність технологічних процесів в економіці, визначити в прогнозному періоді валовий випуск продукції галузей, якщо кінцеве використання продукції галузей у прогнозному періоді (млн. крб.) Визначається вектором
120
(Y np) = (30)
60
2.4. Побудувати модель для вирішення наступної проблеми. Який вплив на динаміку галузевих пропорцій в умовах ринку надає збільшення ціни на продукцію другого галузі в 2 рази. При цьому врахувати, що номінальне зростання заробітної плати в усіх галузях від зростання цін на 30%, інші складові ціни в реальному вираженні незмінні.
2.5. Побудувати модель для вирішення наступної проблеми. Як зміняться індекси цін на продукцію галузей, якщо інфлятогенним фактором виступає збільшення зарплати в третій галузі на 50%, в інших галузях зарплата в номінальному вираженні залишилася незмінною.
3. Для аналізу залежності прибутку підприємства (у) від ставки податку (х) досліджуються річні дані підприємства за 12 років: (обсяг вибірки n = 12). Дані наведені в таблиці 1.2
Таблиця 1.2.
Дані підприємства про ставку податку і прибутку
| роки | Ставка податку (%) | Прибуток (тис.у.о.) |
| i | хi | уi |
| 1 | 10 | 110 |
| 2 | 20 | 75 |
| 3 | 15 | 100 |
| 4 | 25 | 80 |
| 5 | 30 | 60 |
| 6 | 35 | 55 |
| 7 | 40 | 40 |
| 8 | 35 | 80 |
| 9 | 25 | 60 |
| 10 | 40 | 30 |
| 11 | 45 | 40 |
| 12 | 40 | 30 |
3.1. Побудувати діаграму розсіювання, що відображає залежність інвестицій від обсягу виробництва, визначити вид залежності.
3.2. За методом найменших квадратів (МНК) оцінити параметри рівняння регресії, що описує даний вид залежності. Побудувати регресійну пряму. Визначити розрахункові значення ŷi, залишки еi = уi - ŷi, відносну похибку апроксимації.
3.3. Перевірити якість рівняння регресії: стандартна помилка регресії, стандартна помилка параметрів регресії, статистична значимість параметрів регресії,, коефіцієнт детермінації, автокорреляция залишків.
3.4. Спрогнозувати прибуток підприємства, якщо прогнозується зниження податкового тиску до 33%.
4. На нафтопереробний завод щотижня надходить не більше 500 тис. тонн сирої нафти, у тому числі першого сорту - до 100 тис.т., другого сорту - до 100 тис.т., третього сорту - до 200 тис.т., четвертого сорту - до 100 тис.т. З цієї сировини завод виробляє продукти нафтопереробки чотирьох видів (А, В, С, Д). Потреба в цих продуктах протягом тижня обмежена і не перевищує за видами: А - 170 тис.т., У - 85 тис.т., С - 20 тис.т., Д-85 тис.т. Продукт С (мастило) може отриманий тільки з нафти третього сорту. Решту продуктів отримують при переробці будь-якого сорту сирої нафти, в т.ч. і третього. Рентабельність переробки сирої нафти становить: 1-го сорту - 1 у.о. / т, 2-го сорту - 2 у.о. / т, 3-го сорту - а) при отриманні рідкого палива 1,5 у.о. / т, б) при одержанні мастила 2,5 у.е. / т, 4-го сорту - 0,7 у.о. / т. У таблиці 1.4 представлені характеристики сирої нафти по виходах нафтопродуктів.
Таблиця 1.3.
Вихід продуктів переробки (по видах) з 1т сирої нафти
| Сорт сирої нафти | А | У | З | Д |
| 1 | 0,6 | 0,2 | 0,1 | |
| 2 | 0,5 | 0,2 | 0,2 | |
| 3а | 0,4 | 0,3 | 0,2 | |
| 3б | 0,4 | 0,1 | 0,2 | 0,2 |
| 4 | 0,3 | 0,3 | 0,3 |
1. Предмет економіко-математичного моделювання, мета розробки економіко-математичних методів.
У будь-якому з сучасних курсів економіки в тій чи іншій мірі використовується математичний апарат: аналізуються графіки різних залежностей, проводиться математична обробка тих чи інших статистичних даних і т.д. З переходом вітчизняної економіки на ринкові відносини роль математичних методів в багато разів. Дійсно, центральна проблема економіки - це проблема раціонального вибору. У плановій економіці (принаймні на мікрорівні, тобто на рівні окремого підприємства) немає вибору, а значить, роль математичного підходу сильно принижена. У умовах ринкової економіки, коли кожної господарської одиниці треба самостійно приймати рішення, тобто робити вибір, стає необхідним математичний розрахунок. Тому роль математичних методів в економіці постійно зростає.
У чому бачаться переваги математичного підходу? Відзначимо лише два моменти.
1. Зростає необхідність в уточненні понять. Математика по суті не може оперувати з нечітко, а тим більше неконкретно певними поняттями. Отже, якщо ми хочемо використовувати математичні методи, то повинні з самого початку чітко сформулювати завдання. У тому числі чітко сформулювати всі зроблені припущення.
2. Сильна просунутість математичних теорій (лінійна алгебра, математичний аналіз, теорія ймовірностей, кореляційний та регресійний аналіз, диференціальні рівняння і т.д.) надає до наших послуг дуже потужний і розвинений математичний апарат.
Зрозуміло, у використанні математичних методів є свої слабкі сторони. При спробі формалізувати економічну ситуацію може вийти дуже складна математична задача. Для того щоб її спростити, доводиться вводити нові допущення, часто не виправдані з точки зору економіки. Тому дослідника підстерігає небезпека займатися математичної технікою замість аналізу справжньої економічної ситуації. Головне і, по суті, єдиний засіб боротьби проти цього - перевірка досвідченими даними висновків математичної теорії.
Для вивчення різних економічних явищ економісти використовують їх спрощені формальні описи, звані економічними моделями. Прикладами економічних моделей є моделі споживчого вибору, моделі фірми, моделі економічного зростання, моделі рівноваги на товарних, факторних і фінансових ринках і багато інших. Будуючи моделі, економісти виявляють істотні фактори, що визначають досліджуване явище і відкидають деталі, несуттєві для вирішення поставленої проблеми. Формалізація основних особливостей функціонування економічних об'єктів дозволяє оцінити можливі наслідки впливу на них і використовувати такі оцінки в управлінні.
Економічні моделі дозволяють виявити особливості функціонування економічного об'єкта і на основі цього пророкувати майбутнє поведінку об'єкта при зміні будь-яких параметрів. Передбачення майбутніх змін, наприклад, підвищення обмінного курсу, погіршення економічної кон'юнктури, падіння прибутку може спиратися лише на інтуїцію. Однак при цьому можуть бути втрачені, неправильно визначені або невірно оцінені важливі взаємозв'язки економічних показників, що впливають на розглянуту ситуацію. У моделі всі взаємозв'язки змінних можуть бути оцінені кількісно, що дозволяє отримати більш якісний і надійний прогноз.
Для будь-якого економічного суб'єкта можливість прогнозування ситуації означає, перш за все, отримання кращих результатів або уникнути втрат, у тому числі і в державній політиці.
Під економіко-математичної моделлю розуміється математичний опис досліджуваного економічного процесу і об'єкта. Ця модель виражає закономірності економічного процесу в абстрактному вигляді за допомогою математичних співвідношень. Використання математичного моделювання в економіці дозволяє поглибити кількісний економічний аналіз, розширити сферу економічної інформації, інтенсифікувати економічні розрахунки.
Застосування економіко-математичних методів і моделей дозволяє істотно поліпшити якість планування і отримати додатковий ефект без залучення у виробництво додаткових ресурсів.
2. Завдання № 1
1.1. При побудові числової схеми звітного МОБ орієнтуємося на два види балансових співвідношень
- Для галузей виробників: вся валова продукція галузі-виробника (х i) розподіляється на поточне проміжне
n
споживання (Σ x ij) і кінцеве використання (у i)
j = 1
n ____
x i = Σ x ij + у i, i = 1, n; (1)
j = 1
- Для галузей-споживачів: валові витрати галузі-споживача (х j)
n
визначаються проміжними витратами (Σ x ij) і валової доданої
i = 1
вартістю (7 j)
n ____
x j = Σ x ij + 7 j, j = 1, n, (2)
i = 1
Заповнення елементів таблиці 2 здійснюється за наступною схемою.
Відповідно до формули (1) обсяг валового випуску першої галузі в звітному періоді визначається сумою проміжного споживання і кінцевого використання, тобто
х 1 отч = Х 11 отч + х 12 отч + х 13 отч + у 1 отч = 30 +10 +15 +90 = 145,
аналогічно для другої і третьої галузі:
х 2 отч = 35 +50 +20 +25 = 130,
х 3 отч = 15 +25 +30 +60 = 130.
Таблиця 1.
Показники звітного МОБ (млн. руб.)
| Галузі- | Галузі- | споживачі | Проміжної точне | Кінцеве | Валовий | |
| виробники | 1 | 2 | 3 | Споживан-ня | використання | випуск |
| 1 | 30 | 10 | 15 | 55 | 90 | 145 |
| 2 | 35 | 50 | 20 | 105 | 25 | 130 |
| 3 | 15 | 25 | 30 | 70 | 60 | 130 |
| Проміжні витрати | 80 | 85 | 65 | 230 | 175 | 405 |
| Зарплата | 20 | 14 | 20 | 54 | ||
| Інші елементи доданої вартості | 45 | 31 | 45 | 121 | ||
| Валова додана вартість | 65 | 45 | 65 | 175 | ||
| Валовий випуск | 145 | 130 | 130 | 405 |
n
міжгалузевих потоках (Σ x ij, j = 1,3), знаходимо валову додану
i = 1
вартість першої галузі:
1 липня = х 1 отч - (х 11 отч + х 21 отч + х 31 отч) = 145 - (30 +35 +15) = 65,
аналогічно для другої і третьої галузі:
7 лютого = 130 - (10 + 50 + 25) = 45,
7 березня = 130 - (15 + 20 + 30) = 65.
Враховуючи, що 30% валової доданої вартості припадає на зарплату, розраховуємо рівень зарплати галузей (z i):
z 1 = 30% * 7 1 = 0,3 * 65 = 19,5,
z 2 = 0,3 * 45 = 13,5,
z 3 = 0,3 * 65 = 19,5;
і як балансуючий елемент - інші елементи доданої вартості (d i):
d 1 = 7 1 - z 1 = 65-19,5 = 45,5,
d 2 = 45 - 13,5 = 31,5,
d 3 = 65 - 19,5 = 45,5.
1.2. Матриця коефіцієнтів прямих витрат (а ij ) N * n розраховується на основі звітного МОБ за формулою:
___ ___
а ij отч = Х ij отч, i = 1, n, j = 1, n (3)
х j отч
Для нашої задачі у відповідності із співвідношенням (3), отримуємо:
а 11 отч = Х 11 отч = 30_ = 0,2069,
х 1 отч 145
а 12 отч = Х 12 отч = 10_ = 0,0769,
х 2 отч 130
і т.д.
Обчислення оформляються у вигляді матриці прямих витрат
1.3. Для вирішення задачі використовуємо балансове рівняння моделі МОБ, що зв'язує показники I і II квадратів МОБ - прогнозні значення валового випуску галузей х i пр і кінцевого використання у i пр:
n ___ _
х i пр = Σа ij пр х j пр + у i пр, i = 1, n. (4)
j = 1
Пропозиція незмінності динаміки технологічних процесів означає, що технологічна матриця прогнозного періоду визначається технологічною матрицею звітного періоду, тобто
___ __
а ij пр = а ij отч, i = 1,3, j = 1,3
Тоді співвідношення (4) для нашого прикладу перепишуть наступним чином:
Дана система одночасних рівнянь являє собою модель для вирішення задачі 1.3.
1.4. Оскільки збільшення ціни на продукцію друге галузі в 2 рази є інфлятогенним фактором в економіці, відбудеться підвищення цін на продукцію першої та третьої галузей. Позначимо індекс зростання цін на продукцію першої галузі р 1, третьої галузі - р 3. Побудова моделі здійснюється з метою знаходження індексів р 1 і р 3 за умови, що р 2 = 2 і відповідних обмежень на зростання заробітної плати. Очевидно, що інфляційні процеси викликають зміни номінальних потоків МОБ. Виходячи з економічного сенсу показників звітного МОБ, в нових цінах I і III квадранти МОБ перепишуть як представлено в таблиці 3.
Таблиця 2.
Показники I і III квадрантів МОБ
в нових цінах (млн. руб.)
| галузі-виробники | галузі-споживачі | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| 1 | 30 * р 1 | 10 * р 1 | 15 * р 1 |
| 2 | 35 * 2 | 50 * 2 | 20 * 2 |
| 3 | 15 * р 3 | 25 * р 3 | 30 * р 3 |
| зарплата | 19,5 * р 1 * 0,7 | 13,5 * 2 * 0,7 | 19,5 * р 3 * 0,7 |
| інші елементи доданої вартості | 45,5 * р 1 | 31,5 * 2 | 45,5 * р 3 |
| валовий випуск | 145 * р 1 | 130 * 2 | 130 * р 3 |
Оскільки індекс цін на продукцію другого галузі дорівнює 2 і величина витрат на продукцію другого галузі не впливає на формування ціни в цій галузі, то баланс описується для першої і третьої галузі. Модель будується з використанням балансових співвідношень (2) в нових цінах:
Дана система одночасних рівнянь являє собою балансову модель для вирішення задачі (1.4). Оскільки в подальшому система буде зважаться на ПЕОМ і використанням стандартного ППП, необхідно провести подібні і записати модель в стандартному вигляді:
1.5. Завдання вирішується аналогічно рішенню задачі 1.4. Відмінною особливістю даної задачі є те, що інфлятогенним чинником виступає зростання заробітної плати на 50% у третій галузі, хоча у інших галузях зарплата залишається незмінною. Даний фактор викличе зростання цін на продукцію галузей відповідно в р 1, р 2, р 3 разів. У нових цінах показники I і III квадрантів МОБ представлені в табл. 4.
Таблиця 3.
Показники I і III квадрантів МОБ
в нових цінах (млн. руб.)
З урахуванням зазначених умов співвідношення МОБ (2) запишуться:
Система рівнянь являє собою балансову модель для вирішення задачі (1.5). Після при
ведення подібних модель має вигляд:
3. Завдання № 2.
2.1. Для визначення виду залежності побудуємо діаграму розсіювання за наявними даними.
Рис.1. Діаграма розсіювання та регресійна пряма, що відображає залежність інвестицій від обсягу виробництва
Розташування точок на діаграмі розсіювання дозволяє припустити лінійну зв'язок між прибутком підприємства і ставкою податку. Тому має сенс шукати залежність у вигляді лінійної функції:
2.2. У нашому прикладі при використанні МНК мінімізується наступна функція
Для знаходження оцінок параметрів b 0 і b 1 в ручному режимі складемо робочу таблицю, яка містить вихідні дані і проміжні результати.
Дана система одночасних рівнянь являє собою балансову модель для вирішення задачі (1.4). Оскільки в подальшому система буде зважаться на ПЕОМ і використанням стандартного ППП, необхідно провести подібні і записати модель в стандартному вигляді:
1.5. Завдання вирішується аналогічно рішенню задачі 1.4. Відмінною особливістю даної задачі є те, що інфлятогенним чинником виступає зростання заробітної плати на 50% у третій галузі, хоча у інших галузях зарплата залишається незмінною. Даний фактор викличе зростання цін на продукцію галузей відповідно в р 1, р 2, р 3 разів. У нових цінах показники I і III квадрантів МОБ представлені в табл. 4.
Таблиця 3.
Показники I і III квадрантів МОБ
в нових цінах (млн. руб.)
| галузі-виробники | галузі-споживачі | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| 1 | 30 * р 1 | 10 * р 1 | 15 * р 1 |
| 2 | 35 * р 2 | 50 * р 2 | 20 * р 2 |
| 3 | 15 * р 3 | 25 * р 3 | 30 * р 3 |
| зарплата | 19,5 * 1 | 13,5 * 1 | 19,5 * 1,5 |
| інші елементи доданої вартості | 45,5 * р 1 | 31,5 * р 2 | 45,5 * р 3 |
| валовий випуск | 145 * р 1 | 130 * р 2 | 130 * р 3 |
Система рівнянь являє собою балансову модель для вирішення задачі (1.5). Після при
ведення подібних модель має вигляд:
3. Завдання № 2.
2.1. Для визначення виду залежності побудуємо діаграму розсіювання за наявними даними.
Рис.1. Діаграма розсіювання та регресійна пряма, що відображає залежність інвестицій від обсягу виробництва
Розташування точок на діаграмі розсіювання дозволяє припустити лінійну зв'язок між прибутком підприємства і ставкою податку. Тому має сенс шукати залежність у вигляді лінійної функції:
2.2. У нашому прикладі при використанні МНК мінімізується наступна функція
Для знаходження оцінок параметрів b 0 і b 1 в ручному режимі складемо робочу таблицю, яка містить вихідні дані і проміжні результати.
Таблиця 4.
Робоча таблиця обчислення оцінок параметрів рівняння регресії при вивченні залежності інвестицій від обсягу виробництва
Робоча таблиця обчислення оцінок параметрів рівняння регресії при вивченні залежності інвестицій від обсягу виробництва
| I | x | y | x * 2 | x * y | y2 | Yср | e | e2 | e / y * 100 | (Xx ср) 2 | (У-УСР) 2 | (Е-е1) | (Е-е) 2 |
| 1 | 10 | 110 | 100 | 1100 | 12100 | 105,92 | 4,08 | 16,65 | 3,71 | 400 | 2177,78 | - | - |
| 2 | 20 | 75 | 400 | 1500 | 5625 | 84,62 | -9,62 | 92,54 | 12,83 | 100 | 136,11 | -13,7 | 187,69 |
| 3 | 15 | 100 | 225 | 1500 | 10000 | 95,27 | 4,73 | 22,37 | 4,73 | 225 | 1344,69 | 14,35 | 205,92 |
| 4 | 25 | 80 | 625 | 2000 | 6400 | 73,97 | 6,03 | 36,36 | 7,54 | 25 | 277,89 | 1,3 | 1,69 |
| 5 | 30 | 60 | 900 | 1800 | 3600 | 63,32 | -3,32 | 11,02 | 5,53 | 0 | 11,089 | -9,35 | 87,42 |
| 6 | 35 | 55 | 1225 | 1925 | 3025 | 52,67 | 2,33 | 5,43 | 4,24 | 25 | 69,39 | 5,65 | 31,92 |
| 7 | 40 | 40 | 1600 | 1600 | 1600 | 42,02 | -2,02 | 4,08 | 5,05 | 100 | 544,29 | -4,35 | 18,92 |
| 8 | 35 | 80 | 1225 | 2800 | 6400 | 52,67 | 27,33 | 746,93 | 34,16 | 25 | 277,89 | 29,35 | 861,42 |
| 9 | 25 | 60 | 625 | 1500 | 3600 | 73,97 | -13,97 | 195,16 | 23,28 | 25 | 11,09 | -41,3 | 1705,69 |
| 10 | 40 | 30 | 1600 | 1200 | 900 | 42,02 | -12,02 | 144,48 | 40,07 | 100 | 1110,89 | 1,95 | 3,80 |
| 11 | 45 | 40 | 2025 | 1800 | 1600 | 31,37 | 8,63 | 74,48 | 21,58 | 225 | 544,29 | 20,65 | 426,42 |
| 12 | 40 | 30 | 1600 | 1200 | 900 | 42,02 | -12,02 | 144,48 | 40,07 | 100 | 1110,89 | -20,65 | 426,42 |
| Сума | 360 | 760 | 12150 | 19925 | 55750 | 759,84 | 1493,98 | 202,78 | 1350 | 7616,29 | -16,1 | 259,21 | |
| середнє | 30,00 | 63,33 | 1012,50 | 1660,42 | 4645,83 | 63,32 | 0,00 | 124,50 | 16,90 | 112,50 | 634,69 | -1,34 | 21,60 |
Відповідно до формул маємо:
Таким чином, регресійна модель має вигляд: ŷ = 127,22 + (-2,13) х.
у 1 = 127,22 + (-2,13) * 10 = 105,92
Для аналізу сили лінійної залежності прибутку від ставки податку знайдемо коефіцієнт кореляції за формулою:
Дане значення коефіцієнта кореляції дозволяє зробити висновок про те, що зв'язки між прибутком і ставкою податку не чуществует.
Середня відносна помилка апроксимації для нашого прикладу розраховується як середньоарифметична відносних відхилень по кожному спостереженню:
2.3. Стандартна помилка регресії характеризує рівень непоясненної дисперсії і для однофакторний лінійної регресії (m = 1) розраховується за формулою:
Стандартна помилка параметра b 1 рівняння регресії знаходиться за формулою:
Стандартна помилка параметра b 0 визначається:
На основі стандартних помилок параметрів регресії перевіримо значущість кожного коефіцієнта регресії шляхом розрахунку t-статистик та їх порівнянні з критичним значенням при рівні значимості α = 0,05 і числом ступенів свободи (12-m-1) = 10: t кр =
Оскільки t b 1 = -6,396 <2,228, не підтверджується статистична значимість коефіцієнта регресії b 1.
Оскільки t b 0 = 12,75> 2,228, гіпотеза про статистичну незначущість коефіцієнта b 0 відхиляється. Це означає, що в даному разі не можна знехтувати вільним членом рівняння регресії, розглядаючи рівняння:
у = 127,22-2,13 * х
Коефіцієнт детермінації в нашому випадку розраховується за формулою:
Оскільки R 2 = 0,804 <12,75, то можна зробити висновок, що введений у регресію фактор - ставка податку-не пояснює поведінку показника - прибуток.
Для оцінки автокореляції залишків розраховуємо значення критерію Дарбіна-Уотсона за формулою:
Оскільки значення d менше 2, то це дозволяє зробити припущення про позитивну автокореляції залишків.
Запис отриманих характеристик рівняння в стандартній формі має вигляд:
У = 127,22-2,13 х; r ху =- 0,9; R 2 = 0,804; DW = 0,17; А = 16,9%
Стандарт помилка (0,333) (9,98)
t-стат. (-6,396) (12,75)
2.4. При прогнозуванні зниження податкового тиску до 33% прибуток підприємства становитиме:
у = 127,22-2,13 * 33 = 56,93 (тис. грн.)
4. Завдання № 3
4.1. Визначимо змінні моделі, орієнтуючись на показники, які необхідно знайти. У задачі потрібно визначити яку кількість нафти з вступників сортів необхідно переробити, щоб отримати необхідний асортимент продуктів переробки та максимальний прибуток.
Тому введемо змінні:
Побудуємо систему обмежень на ліміти по виходу продуктів переробки (по видах) з 1 тонни сирої нафти.
4.2. Враховуючи, що протягом тижня потреба в продуктах нафтопереробки групи А не перевищує 170 тис. тонн, то обмеження по даному виду виглядає:
0,6
Обмеження по продуктах нафтопереробки групи В:
0,2
Обмеження по продуктах нафтопереробки групи С:
... + ... + ... +0,1
Обмеження по продуктах нафтопереробки групи Д:
0,1
Побудуємо обмеження по кількість сирої нафти кожного виду, яка може надійти за тиждень на завод:
За кількістю нафти сорту А: За кількістю нафти сорту В:
За кількістю нафти сорту З: За кількістю нафти сорту Д:
Враховуючи, що рентабельність переробки сирої нафти становить: 1-го сорту - 1 у.о. / т., 2-го сорту - 2 у.о. / т., 3 - го сорту - а). при отриманні рідкого палива 1,5 у.о. / т, б). при отриманні мастила 2,5 у.е. / т., 4-го сорту - 0,7 у.о. / т., величина прибутку від переробки нафтопродуктів складе: 1
4.3. Вимога максимізації цього функціоналу записується у вигляді: 1
Таким чином, оптимальна модель для вирішення задачі має вигляд:
1
0,6
0,2
... + ... + ... +0,1
0,1
2. Бородич С.А. Економетрика - Мн.: Нове знання, 2001
Таким чином, регресійна модель має вигляд: ŷ = 127,22 + (-2,13) х.
у 1 = 127,22 + (-2,13) * 10 = 105,92
Для аналізу сили лінійної залежності прибутку від ставки податку знайдемо коефіцієнт кореляції за формулою:
Дане значення коефіцієнта кореляції дозволяє зробити висновок про те, що зв'язки між прибутком і ставкою податку не чуществует.
Середня відносна помилка апроксимації для нашого прикладу розраховується як середньоарифметична відносних відхилень по кожному спостереженню:
2.3. Стандартна помилка регресії характеризує рівень непоясненної дисперсії і для однофакторний лінійної регресії (m = 1) розраховується за формулою:
Стандартна помилка параметра b 1 рівняння регресії знаходиться за формулою:
Стандартна помилка параметра b 0 визначається:
На основі стандартних помилок параметрів регресії перевіримо значущість кожного коефіцієнта регресії шляхом розрахунку t-статистик та їх порівнянні з критичним значенням при рівні значимості α = 0,05 і числом ступенів свободи (12-m-1) = 10: t кр =
Оскільки t b 1 = -6,396 <2,228, не підтверджується статистична значимість коефіцієнта регресії b 1.
Оскільки t b 0 = 12,75> 2,228, гіпотеза про статистичну незначущість коефіцієнта b 0 відхиляється. Це означає, що в даному разі не можна знехтувати вільним членом рівняння регресії, розглядаючи рівняння:
у = 127,22-2,13 * х
Коефіцієнт детермінації в нашому випадку розраховується за формулою:
Оскільки R 2 = 0,804 <12,75, то можна зробити висновок, що введений у регресію фактор - ставка податку-не пояснює поведінку показника - прибуток.
Для оцінки автокореляції залишків розраховуємо значення критерію Дарбіна-Уотсона за формулою:
Оскільки значення d менше 2, то це дозволяє зробити припущення про позитивну автокореляції залишків.
Запис отриманих характеристик рівняння в стандартній формі має вигляд:
У = 127,22-2,13 х; r ху =- 0,9; R 2 = 0,804; DW = 0,17; А = 16,9%
Стандарт помилка (0,333) (9,98)
t-стат. (-6,396) (12,75)
2.4. При прогнозуванні зниження податкового тиску до 33% прибуток підприємства становитиме:
у = 127,22-2,13 * 33 = 56,93 (тис. грн.)
4. Завдання № 3
4.1. Визначимо змінні моделі, орієнтуючись на показники, які необхідно знайти. У задачі потрібно визначити яку кількість нафти з вступників сортів необхідно переробити, щоб отримати необхідний асортимент продуктів переробки та максимальний прибуток.
Тому введемо змінні:
Побудуємо систему обмежень на ліміти по виходу продуктів переробки (по видах) з 1 тонни сирої нафти.
4.2. Враховуючи, що протягом тижня потреба в продуктах нафтопереробки групи А не перевищує 170 тис. тонн, то обмеження по даному виду виглядає:
0,6
Обмеження по продуктах нафтопереробки групи В:
0,2
Обмеження по продуктах нафтопереробки групи С:
... + ... + ... +0,1
Обмеження по продуктах нафтопереробки групи Д:
0,1
Побудуємо обмеження по кількість сирої нафти кожного виду, яка може надійти за тиждень на завод:
За кількістю нафти сорту А: За кількістю нафти сорту В:
За кількістю нафти сорту З: За кількістю нафти сорту Д:
Враховуючи, що рентабельність переробки сирої нафти становить: 1-го сорту - 1 у.о. / т., 2-го сорту - 2 у.о. / т., 3 - го сорту - а). при отриманні рідкого палива 1,5 у.о. / т, б). при отриманні мастила 2,5 у.е. / т., 4-го сорту - 0,7 у.о. / т., величина прибутку від переробки нафтопродуктів складе: 1
4.3. Вимога максимізації цього функціоналу записується у вигляді: 1
Таким чином, оптимальна модель для вирішення задачі має вигляд:
1
0,6
0,2
... + ... + ... +0,1
0,1
Список використаних джерел
1. Міксюк С.Ф., Комкова В.М. Економіко-математичні методи і моделі - Мн.: БГЕУ, 20062. Бородич С.А. Економетрика - Мн.: Нове знання, 2001