Тема 1. Межа функції
Число А називається границею функції при , Що прагнуть до , Якщо для будь-якого позитивного числа ( > 0) знайдеться таке позитивне число > 0 (залежне в загальному випадку від ), Що для всіх , Не рівних і задовольняють умові x x < , Виконується нерівність x А x < .
Для границі функції вводиться позначення = А.
Межі функцій володіють наступними основними властивостями:
Функція не може мати більше одного межі.
Якщо = С (постійна), то С.
Якщо існує А, то для будь-якого числа вірно:
Якщо існують А і В, то = АВ, а якщо В 0, то
.
Операція граничного переходу перестановки з операцією обчислення безперервної функції, тобто справедлива формула
Якщо функція неперервна в точці , То шуканий межа дорівнює значенню функції в цій точці, тобто він знаходиться безпосередній підстановкою граничного значення змінної замість аргументу :
Функція ( називається нескінченно малою величиною при , Якщо її межа дорівнює нулю: Функція називається нескінченно великою величиною при , Якщо
Приклад 1. 9.
Приклад 2. .
У розглянутих прикладах межа знаходився відразу: у вигляді числа або символу (Нескінченність). Але частіше при обчисленні меж ми зустрічаємося з невизначеностями, коли результат знаходження межі не ясний, наприклад, у випадку відносини двох нескінченно малих функцій (умовне позначення ) Або нескінченно великих ( ). Крім названих зустрічаються невизначеності виду
Для розкриття невизначеностей використовуються спеціальні прийоми і два наступні межі, які відіграють особливу роль в математиці і тому називаються чудовими:
- Перший чудовий межа
-Другий чудовий межа (Число Ейлера).
Приклад 3. .
Рішення. Безпосередньою підстановкою переконуємось, що маємо справу з невизначеністю виду :
.
Для розкриття невизначеності розкладемо чисельник і знаменник на множники. Знайдемо коріння многочлена, що стоїть у чисельнику. Для цього складемо рівняння другого ступеня і знайдемо його рішення:
Тоді для квадратного тричлена справедливо розкладання на множники
.
Аналогічні дії виконаємо для многочлена, що стоїть в знаменнику.
Рівняння має рішення
і знаменник представляється у вигляді:
Скоротимо дріб на множник і обчислимо її при
Приклад 4.
Рішення. Безпосередньою підстановкою переконуємось, що виникає невизначеність виду . Для розкриття невизначеності помножимо чисельник і знаменник на вираз , Що є зв'язаним до знаменника
= .
Приклад 5. .
Рішення. Маємо невизначеність виду . Розділимо чисельник і знаменник на (У більш загальному випадку, коли чисельник і знаменник представляють многочлени різних ступенів, ділять на з найбільшим показником ступеня чисельника і знаменника). Використовуючи властивості меж, отримаємо:
.
Приклад 6. .
Рішення. При маємо невизначеність виду . Уявімо , Розділимо і помножимо чисельник і знаменник на числа 2, 5 і , Тоді межа перетвориться до виду:
.
Користуючись властивостями меж і першим чудовим межею, далі маємо:
.
Приклад 7. .
Рішення. Маємо невизначеність виду [ ], Так як
, А .
Виділимо у дробу цілу частину
.
Введемо нову змінну і висловимо звідси через : . Тоді
Зауважимо, що при змінна . Тепер, переходячи до нової змінної і використовуючи другий чудовий межа, отримаємо:
= .
Невизначеності виду шляхом алгебраїчних перетворень приводяться до виду . Невизначеності виду , можна розкрити, попередньо прологаріфміровав відповідну функцію. Невизначеності виду можна виключити, використовуючи правило Лопіталя, що викладено в кінці теми 2.
Приклад 8. Початковий внесок у банк склав грошових одиниць. Банк виплачує щорічно % Річних. Необхідно знайти розмір вкладу через років при безперервному нарахуванні відсотків. Вирішити завдання при = 10, = 5%, = 20 років.
Рішення. При % Річних розмір вкладу щорічно буде збільшуватися в
разів, тобто .
Якщо нараховувати відсотки за вкладами не один раз на рік, а раз, то розмір вкладу за років при нарахування складе
.
Тоді розмір вкладу за років при безперервному нарахуванні відсотків ( ) Зводиться до знаходження межі
.
Тут при вирішенні використовувався другий чудовий межа.
Підставляючи вихідні числові дані задачі, отримуємо
(Ден. одиниць).
Питання для самоперевірки
Дайте визначення границі функції в точці.
Назвіть основні властивості меж функцій.
Які види невизначеностей зустрічаються при знаходженні меж?
Які межі називаються чудовими?
Які функції називають нескінченно малими?
Завдання для самостійної роботи
Знайти межі наступного:
Номер варіанта | А) | Б) |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
Таблиця 1.
Тема 2. Похідна функції
Приростом функції в точці , Відповідним приросту аргументу , Називається число .
Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при , Якщо ця межа існує, і позначається:
.
Знаходження похідної функції називається диференціюванням цієї функції. Якщо функція має в точці кінцеву похідну, то функція називається дифференцируемой в цій точці.
Найважливішими правилами диференціювання є наступні.
Похідна постійної дорівнює нулю: .
Постійний множник виноситься за знак похідної
.
Похідна суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій
.
Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку похідної першого співмножники на другий плюс твір першого співмножники на похідну другого
.
Похідна частки двох диференційовних функцій знаходиться за формулою
.
Нехай змінна є функція від змінної (Наприклад, ), А змінна , В свою чергу, є функція від незалежної змінної ( ), Інакше задана складна функція .
Якщо і - Диференціюються функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює похідній даної функції з проміжного аргументу , Помноженої на похідну самого проміжного аргументу з незалежної змінної :
Якщо функція, похідну якої потрібно знайти, представляє з себе комбінацію елементарних функцій, то для обчислення похідної застосовуються правила диференціювання і таблиця похідних елементарних функцій, що наводиться нижче.
Таблиця 2.
№ | функція | похідна | № | функція | похідна |
1 |
|
| 7 |
| 1 / |
2 |
|
| 8 |
| -1 / |
3 |
| 1 / | 9 |
| 1 / ( ) |
4 |
|
| 10 |
| -1 / ( ) |
5 |
|
| 11 |
| 1 / (1 + ) |
6 |
| - | 12 |
| -1 / (1 + ) |
Приклад 1. Знайти похідну функції
.
Рішення. Уявімо її як складну функцію. Нехай , Тоді і . Знайдемо похідну по проміжному аргументу як статечної функції
.
У свою чергу, проміжний аргумент представляється у вигляді суми двох статечних функцій мінус стала, тому, використовуючи правила 1-3, по-лучім
= .
Звідси похідна шуканої функції
.
Приклад 2. Знайти похідну функції
.
Рішення. Позначимо , . Тоді і шукана похідна знаходиться з формули .
Похідну знаходимо з таблиці похідних елементарних функцій
.
Другий співмножник представляє похідну від степеневої функції
Нарешті, остання похідна знаходиться за правилами диференціювання приватного
= = .
У підсумку отримуємо шукану похідну
.
Приклад 3. Наити похідну
.
Рішення. Похідна суми двох функцій є сума їх похідних
.
Для знаходження похідної першого доданка позначимо , .
Тоді ,
=
Похідну другого доданка знайдемо за правилом диференціювання статечно-показової функції. Прологарифмируем функцію : Диференціюємо ліву і праву частину отриманого рівності
Звідси
Нарешті, знаходимо похідну шуканої функції
Приклад 4. На основі дослідних даних побудована математична модель попиту населення на деякий товар залежно від ціни :
.
Визначити еластичність попиту при (В умовних грошових один.).
Рішення. Еластичністю попиту називають межу відношення відносного приросту попиту до відносного приросту ціни при :
.
Якщо > 1, то попит називають еластичним, при <1 - нееластичним, а при нейтральним.
Знайдемо похідну
.
Тоді
.
Визначимо еластичність попиту при : . Таким чином, при такій ціні маємо нееластичний попит.
Правило Лопіталя. При знаходженні меж функцій (тема 1) невизначеності виду можна виключити, застосовуючи правило Лопіталя: межа відносини двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює межі відносини їх похідних, якщо останній існує, т. е.
Якщо (Або ), То правило Лопіталя можна використовувати повторно, тобто
У загальному випадку правило Лопіталя можна застосовувати неодноразово.
Приклад 5. Знайти
Рішення. Для розкриття невизначеності застосуємо правило Лопіталя.
Невизначеність виду як і раніше зберігається. Застосуємо правило Лопіталя ще раз:
Питання для самоперевірки
Дайте визначення похідної функції в точці.
Яка функція називається дифференцируемой в точці?
Назвіть найважливіші правила диференціювання.
Як знаходиться похідна складної функції?
Сформулюйте правило Лопіталя.
Завдання для самостійної роботи
Знайти похідні наступного:
Таблиця 3.
Номер варіанта | А) | Б) | В) |
1 | y = (3x4-4x (-1 / 4) +2) 5 | y = arccos2x + (1-4x2) 1 / 2 |