Дослідження лінійних систем

Кафедра: ІТ

Лабораторна робота

"ДОСЛІДЖЕННЯ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ"

Мета роботи

У даній лабораторній роботі засобами пакету Matlab (c використанням його розширення - пакета моделювання динамічних систем Simulink) повинно бути виконано моделювання лінійної системи, зафіксовані процеси, відповідні елементам матричної ваговій та перехідною функцій і проведено їх порівняння з аналітично отриманими залежностями. Структурна схема системи представлена ​​на рис. 1.1, коефіцієнти структурної схеми - у табл. 1.1. Номер варіанта для бригади вказується викладачем.

1. Розрахунок матричних вагових і перехідних функцій

Рис. 1.1. Структурна схема системи

Таблиця 1.1 Значення параметрів структурної схеми

Підготовча частина роботи

Скласти векторно-матричне опис системи.

Обчислити передавальну функцію (Матрицю ) З використанням резольвенти матриці динаміки А:

де В-матриця входів; С - матриця виходів; I (p) - приєднана матриця для матриці А; - Характеристичний поліном матриці А (I (p) і можуть бути визначені за методом Фаддеева-Левер'є).

Знайти елементи матричної вагової функції за формулою

,

де - Елемент i го рядка і j го стовпця матричної вагової функції, що інтерпретується як реакція i ї координати вектора виходу на дельта-функцію в j й координаті вектора входу .

Обчислити матричну вагову функцію за формулою

,

де і - Відповідно k ї правий і k ї лівий власні вектори матриці А. Переконатися в ідентичності результатів, отриманих у пп. 1.2.2 - 1.2.3.

Обчислити елементи матричної перехідної функції за формулою

,

де - Елемент i го рядка і j го стовпця матричної перехідної функції, що інтерпретується як реакція i ї координати вектора виходу на одиничну функцію в j й координаті вектора входу .

Програма роботи

У ході проведення лабораторної роботи потрібно в середовищі Matlab підготувати схему моделювання досліджуваної системи, провести модельний експеримент і зафіксувати його результати.

Досліджувана в даній роботі система описана двома способами: за допомогою структурної схеми (див. рис. 1.1) і у вигляді векторно-матричних рівнянь, отриманих в ході підготовки до роботи. Тому пропонується провести моделювання для двох варіантів опису системи і порівняти його результати (процеси, відповідні елементам матричної ваговій та перехідною функцій) з аналітично отриманими залежностями.

Рекомендується створити дві окремі моделі: одну - для отримання та фіксації 4 процесів, що відповідають елементам матричної вагової функції, другу - для 4 процесів, що відповідають елементам матричної перехідної функції.

Таким чином, повинно бути зафіксовано 8 процесів, причому кожен з них буде представлений у трьох варіантах, суміщених на одному графіку (оскільки моделюється система, описана, по-перше, у вигляді структурної схеми і, по-друге, - у векторно -матричній формі, а також, по-третє, отримані аналітичні залежності для і ).

Для проведення моделювання повинні бути створені 5 файлів.

1) Файл-сценарій w _ h _ init. M, що містить визначення всіх необхідних змінних у моделях:

% Файл визначення змінних

%

% Параметри моделированиЯ длЯ mdl файлу

t_end = 1;% максимальний крок моделированиЯ

h_max = 0.01;% час завершення моделированиЯ

% Параметри досліджуваної системи

a1 = 2;

a2 = 3;

k1 = 1;

k2 = 6;

Час моделювання t _ end і максимальний крок моделювання h_max повинні бути обрані такими, щоб усі процеси змогли досягти своїх сталих значень, а графіки не мали зламів і спотворень.

2), 3) Файли з моделями Simulink w. Mdl і h. Mdl, призначені для розрахунку і візуалізації елементів відповідно ваговій та перехідною функцій (рис. 1.2 та 1.3).

Параметри моделювання слід задати у вікні Simulation Paramet ers, доступних через меню Simulation \ Simulation parameters вікна, в якому відкритий mdl файл (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Налаштування параметрів моделювання

Промоделювати систему, описану у векторно-матричній формі, дозволяє блок State-Space розділу Continuous основний бібліотеки блоків Simulink. Структурна схема системи також може бути створена на основі блоків цієї ж бібліотеки. Початкові умови слід прийняти нульовими. Отримані структури рекомендується об'єднати в підсистеми, виділивши всі їх елементи та виконавши команду Create Subsystem меню Edit або натиснувши на клавіші Ctrl + G.

Рис. 1.5. Підсистема «Система у вигляді структурної схеми»

Рис. 1.6. Підсистема «Система з описом
у векторно-матричній формі »

При організації джерела вхідного впливу (одиничної або дельта-функції) слід використовувати блоки Step і Pulse Generator розділу Sources. Зверніть увагу на те, що необхідно підібрати тривалість вхідного імпульсу, який би сприймався системою як дельта-функція (площа імпульсу повинна бути дорівнює 1), тобто значення тривалості повинно бути таким, щоб його зменшення вже не приводило до зміни відгуку системи.

а б

Рис. 1.7. Установки блоків:
а - Pulse Generator; б - Step

Графіки знайдених аналітично тимчасових залежностей можна отримати за допомогою блоку MATLAB Fcn розділу Function & Tables і джерела часу моделювання Clock.

Рис. 1.8. Установки блоку Matlab Fcn, що містить аналітичний опис елементів матричної вагової функції

Для візуалізації процесів, що відповідають елементам матричної ваговій та перехідною функцій, рекомендується виводити їх, а також поточний час моделювання в робочу область пам'яті Mаtlab за допомогою блоків To Workspace розділу Sinks, а потім будувати їх графіки, використовуючи команди побудови графіків функцій однієї змінної. У цьому випадку не виникає проблем з перенесенням отриманих результатів в електронну версію звіту з лабораторної роботи і є можливість дотриматися всі необхідні правила оформлення графіків.

Рис. 1.9. Установки блоку To Workspace

Висновок графіків може бути продубльований з використанням осцилографів (блоків Scope розділу Sinks).

4), 5) Файли-сценарії w _ stop. M і h _ stop. M, призначені для побудови графіків процесів, що відповідають елементам матричної ваговій та перехідною функцій, в стандартних графічних вікнах Figure.

% Побудова графіків елементів матричної вагової функції (файл w_stop.m)

%

close all

figure

plot (t_, w11_s, 'r-', t_, w11_vm, 'b-', t_, w11_a, 'm -.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel ('w11')

title ('Графіки елемента w11 матричної ваговій функції')

legend ('w11 struct', 'w11 VM', 'w11 analit', 0)

figure

plot (t_, w21_s, 'r-', t_, w21_vm, 'b-', t_, w21_a, 'm -.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel ('w21')

title ('Графіки елемента w21 матричної ваговій функції')

legend ('w21 struct', 'w21 VM', 'w21 analit', 0)

figure

plot (t_, w12_s, 'r-', t_, w12_vm, 'b-', t_, w12_a, 'm -.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel ('w12')

title ('Графіки елемента w12 матричної ваговій функції')

legend ('w12 struct', 'w12 VM', 'w12 analit', 0)

figure

plot (t_, w22_s, 'r-', t_, w22_vm, 'b-', t_, w22_a, 'm -.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel ('w22')

title ('Графіки елемента w22 матричної ваговій функції')

legend ('w22 struct', 'w22 VM', 'w22 analit', 0)

% Побудова графіків елементів матричної перехідної функції (файл h _stop.m)

%

close all

figure

plot (t_, h11_s, 'r-', t_, h11_vm, 'b-', t_, h11_a, 'm -.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel ('h11')

title ('Графіки елемента h11 матричної перехідної функції')

legend ('h11 struct', 'h11 VM', 'h11 analit', 0)

figure

plot (t_, h21_s, 'r-', t_, h21_vm, 'b-', t_, h21_a, 'm -.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel ('h21')

title ('Графіки елемента h21 матричної перехідної функції')

legend ('h21 struct', 'h21 VM', 'h21 analit', 0)

figure

plot (t_, h12_s, 'r-', t_, h12_vm, 'b-', t_, h12_a, 'm -.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel ('h12')

title ('Графіки елемента h12 матричної перехідної функції')

legend ('h12 struct', 'h12 VM', 'h12 analit', 0)

figure

plot (t_, h22_s, 'r-', t_, h22_vm, 'b-', t_, h22_a, 'm -.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel ('h22')

title ('Графіки елемента h22 матричної перехідної функції')

legend ('h22 struct', 'h22 VM', 'h22 analit', 0)

Призначення всіх функцій пакету Matlab, використаних при створенні програм (m файлів), наводиться у додатку.

Організувати всі зазначені файли слід самостійно (файли-приклади видаватися не будуть) з метою отримання навичок роботи з редактором-відладчиком m файлів і редактором схем Simulink.

Відкрити і запустити файл w _ h _ init. M для завдання значень всім необхідним змінним в робочій області пам'яті Matlab (Workspace).

Відкрити і запустити модель з файлу w. Mdl і перевірити відповідність результатів домашнього розрахунку елементів матричної вагової функції результатами комп'ютерного моделювання. У разі невідповідності знайти і усунути помилки.

По завершенні моделювання в Simulink відкрити і запустити файл w _ stop. M. Копіювати інформацію, виведену в графічні вікно шляхом виконання команди меню «Edit \ Copy Figure», після чого зберегти її за допомогою будь-якої програми, наприклад текстового редактора MS Word.

Виконати пп. 1.3.3 і 1.3.4, використовуючи файли h. Mdl і h _ stop. M.

Зауваження. Запуск файлів w _ h _ init. M і w _ stop. M (h _ stop. M) до і після проведення моделювання можна автоматизувати, зв'язавши mdl файл з відповідними m файлами. Для цього необхідно:

переконатися в тому, що mdl-і m - файли знаходяться в одній директорії і вона є поточною;

відкрити mdl файли;

в командному вікні виконати наступні команди:

set_param ('w', 'InitFcn', 'w_h_init')

set_param ('w', 'StopFcn', 'w_stop')

set_param ('h', 'InitFcn', 'w_h_init')

set_param ('h', 'StopFcn', 'h_stop')

в Simulink для кожного mdl файлу виконати команду меню Edit \ Update Diagram і зберегти файли.

Зміст звіту

Вихідні дані лабораторної роботи: назва роботи, мета роботи, структурна схема досліджуваної системи, номер варіанта і відповідні йому значення параметрів схеми.

Результати попередньої підготовки.

Використані схеми моделювання з необхідними поясненнями (наприклад, щодо вибору параметрів того чи іншого блоку).

Графіки елементів w (t) і h (t), кількість - 8 графіків.

Висновки про взаємне відповідності результатів попередньої підготовки і комп'ютерного моделювання.

Звіт оформлюється на аркушах формату А4, допускається рукописне, друковане чи комбіноване оформлення.

Вивчення типових ланок

Мета роботи

Метою роботи є розрахунок вагових і перехідних функцій, логарифмічних амплітудно-частотних і фазочастотних характеристик (ЛАЧХ і ЛФЧХ), амплітудно-фазових характеристик (АФХ) типових динамічних ланок систем автоматичного управління, а також аналіз впливу їх параметрів на перераховані вище характеристики. У роботі передбачається дослідження ланок, перелік яких наведено в табл. 2.1.

Таблиця 2.1 Перелік типових ланок

Обов'язковими для вивчення є перші п'ять ланок, зазначені в табл. 2.1, а також будь-які дві ланки з ланок № 6-9.

Підготовча частина роботи

Для кожного типового ланки необхідно виконати наступне.

Вивести і записати диференціальні рівняння.

Вивести і записати вирази для модуля і фази комплексних передавальних коефіцієнтів.

Вивести і записати вирази для вагових і перехідних функцій і привести їх зразкову графічне зображення.

Побудувати (ескізно) логарифмічні асимптотичні амплітудно-частотні характеристики і фазові частотні характеристики. Звернути увагу на масштабування по осі абсцис.

Привести зразкову зображення амплітудно-фазових характеристик.

Спланувати проведення експериментів.

Всі розглянуті ланки, за винятком інтегратора, мають 2 або 3 настроюваних параметра. В окремих випадках при вивченні впливу параметра на характеристики ланки достатньо варіювати його незалежно від інших, а в інших ситуаціях має сенс враховувати співвідношення декількох параметрів і варіювати їх спільно. Тому для кожного досліджуваного ланки слід провести попередній аналіз необхідної кількості та змісту експериментів.

При проведенні підготовки рекомендується використовувати навчальну та довідкову літературу з курсу «Лінійні безперервні системи регулювання» (ТАУ).

Особливу увагу слід приділити інформаційному супроводу приводяться у підготовчій частині роботи ескізних малюнків: для кожного процесу необхідно відзначити його характерні особливості, які залежать від будь-яких параметрів досліджуваного ланки. Так, для тимчасових процесів - це початкова й усталене значення, стала часу, період коливань, перерегулювання; для ЛАЧХ - сполучають частоти, нахил в децибелах на декаду (дб / дек) для похилих ділянок та значення модуля комплексного передавального коефіцієнта для горизонтальних ділянок; для ЛЧХ - сполучають частоти, асимптоти, точки екстремуму (якщо є); для АФХ - точки на комплексній площині ( , Відповідні , , Перетинанню з уявною чи дійсною осями, точка максимального значення модуля комплексного передавального коефіцієнта.

Виконання роботи

Описати передавальні функції досліджуваних ланок у файлі-функції Matlab. Наприклад, створити файл TF_zv.m наступного змісту:

% Функції опису ланки у вигляді передавальної функції

%

function W = TF_zv (N_zv, inp_param)

p = tf ('p');

switch N_zv

case 1,% інтегруюче ланка, N_zv = 1, inp_param = [k]

k = inp_param (1);

W = k / p;

case 2,% інерційне ланка, N_zv = 2, inp_param = [k, T]

k = inp_param (1);

T = inp_param (2);

W = k / (T * p +1);

case 3,% реальне дифференцирующее ланка, N_zv = 3, inp_param = [k, T]

k = inp_param (1);

T = inp_param (2);

W = (k * p) / (T * p +1);

case 4,% інтегро - дифференцирующее ланка, N_zv = 4, inp_param = [T1, T2]

T1 = inp_param (1);

T2 = inp_param (2);

W = (T1 * p +1) / (T2 * p +1);

case 5,% коливальний ланка, N_zv = 5, inp_param = [k, T, ksi]

k = inp_param (1);

T = inp_param (2);

ksi = inp_param (3);

W = k / (T ^ 2 * p ^ 2 +2 * ksi * T * p +1);

case 6,% немінімально-фазовий ланка 1 го пір., N_zv = 6, inp_param = [T1, T2]

T1 = inp_param (1);

T2 = inp_param (2);

W = (1 T1 * p) / (1 ​​+ T2 * p);

case 7,% нестійке ланка 1 го пір., N_zv = 7, inp_param = [k, T]

k = inp_param (1);

T = inp_param (2);

W = k / (T * p 1);

case 8,% нестійке ланка 2 го пір., N_zv = 8, inp_param = [k, T, ksi]

k = inp_param (1);

T = inp_param (2);

ksi = inp_param (3);

W = k / (T ^ 2 * p ^ 2-2 * ksi * T * p +1);

case 9,% режекторний фільтр, N_zv = 9, inp_param = [T, ksi1, ksi2]

T = inp_param (1);

ksi1 = inp_param (2);

ksi2 = inp_param (3);

W = (T ^ 2 * p ^ 2 +2 * ksi1 * T * p +1) / (T ^ 2 * p ^ 2 +2 * ksi2 * T * p +1);

end

% End of function TF_zv

Призначення всіх використаних при створенні цього файлу функцій Matlab наводиться у додатку.

У програмі ланки пронумеровані відповідно до табл. 2.1, вказівка ​​на номер модельованого ланки виконується за допомогою параметра N_zv аналізованої функції TF_zv. Другий параметр inp_param є векторним і призначений для передачі значень параметрів ланки: залежно від виду ланки він може містити від одного до трьох елементів. Для організації вибору опису ланки служить оператор switch ... case, за допомогою якого проводиться аналіз значення змінної N_zv і перехід на обчислення відповідної передавальної функції.

Для кожної ланки написати файл-сценарій з метою отримання графіків необхідних тимчасових і частотних характеристик. Наприклад, для вивчення коливального ланки слід створити файл kol_zv.m наступного змісту:

% Вивчення типових динамічних ланок: коливальний ланка

% Очищення всіх змінних в пам'яті

clear all

% Очищення командного вікна

clc

% Закриття всіх попередніх малюнків

set (0, 'ShowHiddenHandles', 'on')

delete (get (0, 'Children'))

% Опис коливального ланки (N_zv = 5) через його передавальну функцію

% При різних значеннях параметрів. Параметри коливального ланки

% Задаються вектором inp_param = [k, T, ksi] (див. текст файлу TF_zv.m)

% Змінюється k

W_11 = TF_zv (5, [1,1,0.707]);

W_12 = TF_zv (5, [2,1,0.707]);

W_13 = TF_zv (5, [3,1,0.707]);

% Змінюється Т

W_21 = TF_zv (5, [1,0. 354,0.707]);

W_22 = TF_zv (5, [1,0. 707,0.707]);

W_23 = TF_zv (5, [1,1. 414,0.707]);

% Змінюється ksi

W_31 = TF_zv (5, [1,0. 5,0.3]);

W_32 = TF_zv (5, [1,0. 5,0.5]);

W_33 = TF_zv (5, [1,0. 5,0.7]);

% Змінюється T і ksi

W_41 = TF_zv (5, [1,0. 3,0.3]);

W_42 = TF_zv (5, [1,0. 5,0.5]);

W_43 = TF_zv (5, [1,0. 7,0.7]);

% Побудова необхідних характеристик при різних k

% ЛАЧХ і ЛФЧХ

ltiview ({'bode'}, W_11, 'b-', W_12, 'r-', W_13, 'k-')

% АФХ

ltiview ({'nyquist'}, W_11, 'b-', W_12, 'r-', W_13, 'k-')

% Вагова функція w (t)

ltiview ({'impulse'}, W_11, 'b-', W_12, 'r-', W_13, 'k-')

% Перехідна функція h (t)

ltiview ({'step'}, W_11, 'b-', W_12, 'r-', W_13, 'k-')

% Побудова необхідних характеристик при різних T

% ЛАЧХ і ЛФЧХ

ltiview ({'bode'}, W_21, 'b-', W_22, 'r-', W_23, 'k-')

% АФХ

ltiview ({'nyquist'}, W_21, 'b-', W_22, 'r-', W_23, 'k-')

% Вагова функція w (t)

ltiview ({'impulse'}, W_21, 'b-', W_22, 'r-', W_23, 'k-')

% Перехідна функція h (t)

ltiview ({'step'}, W_21, 'b-', W_22, 'r-', W_23, 'k-')

% Побудова необхідних характеристик при різних ksi

% ЛАЧХ і ЛФЧХ

ltiview ({'bode'}, W_31, 'b-', W_32, 'r-', W_33, 'k-')

% АФХ

ltiview ({'nyquist'}, W_31, 'b-', W_32, 'r-', W_33, 'k-')

% Вагова функція w (t)

ltiview ({'impulse'}, W_31, 'b-', W_32, 'r-', W_33, 'k-')

% Перехідна функція h (t)

ltiview ({'step'}, W_31, 'b-', W_32, 'r-', W_33, 'k-')

% Побудова необхідних характеристик при різних T і ksi

% ЛАЧХ і ЛФЧХ

ltiview ({'bode'}, W_41, 'b-', W_42, 'r-', W_43, 'k-')

% АФХ

ltiview ({'nyquist'}, W_41, 'b-', W_42, 'r-', W_43, 'k-')

% Вагова функція w (t)

ltiview ({'impulse'}, W_41, 'b-', W_42, 'r-', W_43, 'k-')

% Перехідна функція h (t)

ltiview ({'step'}, W_41, 'b-', W_42, 'r-', W_43, 'k-')

Призначення всіх використаних при створенні цієї програми функцій Matlab наводиться у додатку.

Зверніть увагу: у цьому m файлі використовується зовнішня функція TF_zv, описана в п. 2.3.1, у зв'язку з цим файли kol_zv.m і TF_zv.m повинні знаходитися в одній директорії.

Для побудови тимчасових і частотних характеристик динамічної ланки використовується команда ltiview, перший параметр якої - строкова змінна, укладена у фігурні дужки, - служить для вказівки типу відображається характеристики, а наступні за ним пари параметрів - для зазначення імені системи та властивостей виведеної лінії (кольори, типу лінії і т.д. аналогічно оформленню двовимірних графіків при використанні команди plot).

Для кожного досліджуваного ланки провести запуск програми і зафіксувати результати моделювання.

При виконанні команди ltiview є графічне вікно, в якому відображається графік зазначеної характеристики. Додаткові налаштування доступні при натисканні правої клавіші миші і через команди меню. Необхідною налаштуванням є включення сітки grid.

Щоб зберегти вміст графічного вікна LTI Viewer необхідно скористатися командою меню File \ Print to Figure, після чого відкривається нове вікно Figure, що містить той же самий малюнок, скопіювати який можна шляхом виконання команди меню Edit \ Copy Figure.

При вивченні впливу будь-якого параметра на характеристики аналізованого ланки він (окремо або у поєднанні з іншими параметрами) повинен змінюватись не менше трьох разів. Це дозволяє згодом досить легко виявити основну тенденцію в зміні виду характеристик. Таким чином, результатом експерименту з варіюванням будь-якого параметра ланки є чотири малюнки (ЛАЧХ і ЛФЧХ, АФХ, вагові функції, перехідні функції), що містять не менше трьох графіків.

Зауваження

1. При оформленні результатів комп'ютерного моделювання необхідно, як і у підготовчій частині, звернути увагу на інформаційний супровід малюнків: осі повинні бути забезпечені позначеннями, малюнки мати підрисунковому написи, кожному графіком повинен бути поставлений у відповідність той набір параметрів, при якому проводилось моделювання ланки. Крім того, на графіках повинні бути відзначені характерні точки (із зазначенням числових значень по осях) і показано їх відповідність теоретично розрахованим характерним точкам.

2. На АФХ проставити оцифровку (не менше 8 значень ).

Зміст звіту

Вихідні дані лабораторної роботи: назва роботи, мета роботи, список обраних для вивчення ланок з їх передавальними функціями.

Підготовча частина, оформлена відповідно до вимог п. 2.2.

Результати комп'ютерного моделювання, оформлені відповідно до вимог п. 2.3.3.

Якісний аналіз впливу параметрів кожного з розглянутих ланок на вигляд частотних і тимчасових характеристик.

Висновки.

Додаток: текст файлу-функції і одного з файлів-сценаріїв з вказівкою в коментарях номера групи, складу бригади та дати проведення роботи.

Звіт оформлюється на аркушах формату А4, допускається рукописне, друковане чи комбіноване оформлення.

Частотні характеристики систем і критерій стійкості Найквіста

Мета роботи

Метою роботи є аналіз частотних характеристик розімкнених та замкнених систем, отримання навичок по використанню критерію стійкості Найквіста.

У роботі передбачається дослідження трьох систем, що розрізняються видом передавальної функції (ПФ) розімкнутого контуру. Варіанти значень параметрів ПФ наведено в табл. 3.1. Замкнута система побудована за типом класичної стежить системи, її структурна схема представлена ​​на рис. 3.1.

Таблиця 3.1 Значення параметрів передавальної функції

Підготовча частина

Для кожної з трьох систем відповідно до заданого варіантом зробити наступне:

Записати рівняння для модуля і фази комплексного передавального коефіцієнта.

Побудувати (ескізно) логарифмічну асимптотичну амплітудну і фазову частотні характеристики розімкнутої системи.

Побудувати (ескізно) амплітудно-фазову характеристику розімкнутої системи, провести її розширення, якщо це необхідно.

Проаналізувати стійкість замкнутої системи, застосовуючи критерій стійкості Найквіста або його формулювання з використанням поняття переходів. За критерієм Гурвіца знайти критичне значення передавального коефіцієнта k розімкнутого контуру системи, а також його значення (у вигляді нерівностей), що призводять замкнуту систему у стійкий або нестійкий стан.

Виконання роботи

Створити файл-сценарій, що містить опис досліджуваних систем і забезпечує побудова частотних характеристик та перехідних процесів. Також необхідно передбачити розрахунок значень полюсів для кожної із систем у замкнутому стані. Рекомендується організувати файл наступним чином:

% Дослідження стійкості систем (частотні характеристики систем

% І критерій стійкості Найквіста), файл prog.m

% Очищення всіх змінних в пам'яті

clear all

% Очищення командного вікна

clc

% Закриття всіх попередніх малюнків

set (0, 'ShowHiddenHandles', 'on')

delete (get (0, 'Children'))

% Параметри систем длЯ варіанту # 20

T1_s1 = 4;

T2_s1 = 1;

T3_s1 = 48;

K_s1 = 1;

T1_s2 = 80;

T2_s2 = 8;

K_s2 = 1;

T1_s3 = 10;

T2_s3 = 56.71;

K_s3 = 1;

% Опис розімкнутої та замкнутої систем через передавальні функції

p = tf ('p');

R_s1 = K_s1 * (T1_s1 * p +1);

Q_s1 = (T2_s1 * p +1) * (T3_s1 * p 1) * p;

W_s1_r = R_s1/Q_s1;

W_s1_z = R_s1 / (Q_s1 + R_s1);

R_s2 = K_s2 * (T1_s2 * p +1) ^ 2;

Q_s2 = (T2_s2 * p +1) ^ 2 * p ^ 3;

W_s2_r = R_s2/Q_s2;

W_s2_z = R_s2 / (Q_s2 + R_s2);

R_s3 = K_s3;

Q_s3 = (T1_s3 ^ 2 * p ^ 2 +1) * (T2_s3 * p +1) ^ 3;

W_s3_r = R_s3/Q_s3;

W_s3_z = R_s3 / (Q_s3 + R_s3);

% Вибір номера досліджуваної системи

sys_num = 1;

% Побудова необхідних характеристик

switch sys_num

case 1,

% ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої системи

ltiview ({'bode'}, W_s1_r);

% АФХ розімкнутої системи

ltiview ({'nyquist'}, W_s1_r);

% Перехідний процес в замкнутій системі

ltiview ({'step'}, W_s1_z);

% Власні числа замкнутої системи - полюси її ПФ

[Zeros_s1_z, poles_s1_z, koef_s1_z] = zpkdata (zpk (W_s1_z), 'v');

poles_s1_z

case 2,

% ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої системи

ltiview ({'bode'}, W_s2_r);

% АФХ розімкнутої системи

ltiview ({'nyquist'}, W_s2_r);

% Перехідний процес в замкнутій системі

ltiview ({'step'}, W_s2_z);

% Власні числа замкнутої системи - полюси її ПФ

[Zeros_s2_z, poles_s2_z, koef_s2_z] = zpkdata (zpk (W_s2_z), 'v');

poles_s2_z

case 3,

% ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої системи

ltiview ({'bode'}, W_s3_r);

% АФХ розімкнутої системи

ltiview ({'nyquist'}, W_s3_r);

% Перехідний процес в замкнутій системі

ltiview ({'step'}, W_s3_z);

% Власні числа замкнутої системи - полюси її ПФ

[Zeros_s3_z, poles_s3_z, koef_s3_z] = zpkdata (zpk (W_s3_z), 'v');

poles_s3_z

end

Призначення всіх використаних функцій Matlab наводиться у додатку.

Змінній sys_num необхідно присвоїти значення номера тієї системи, вивчення якої виробляється в даний момент. У результаті для цієї системи при вибраних значеннях її параметрів будуть побудовані всі необхідні характеристики з використанням LTI Viewer, а в командне вікно будуть виведені значення полюсів ПФ замкнутої системи.

Запустити створений файл-сценарій, попередньо обравши систему № 1 і задавши значення її параметрів у відповідності зі своїм варіантом (значення коефіцієнта посилення k розімкнутої системи прийняти рівним 1). Порівняти отримані ЛАЧХ, ЛФЧХ і АФХ розімкнутої системи з результатами домашньої підготовки. По сумісним ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої системи обчислити значення k, при якому

- Замкнута система буде знаходитися на межі стійкості (k = k _кр);

- Замкнута система буде нестійка (k = k _ну);

- Замкнута система буде стійка (k = k _у) з запасом по модулю не менше 10 дБ.

Перевірити відповідність значень коефіцієнта, розрахованих при підготовці і за результатами комп'ютерного моделювання.

Для кожного з трьох знайдених значень k провести повторний запуск програми і переконатися в тому, що замкнута система знаходиться у відповідному значенню k стані. Для цього:

- Перевірити значення запасів стійкості по модулю, використовуючи ЛЧХ розімкнутої системи, оцінити стан замкнутої системи;

- Проаналізувати взаємне розташування АФХ розімкнутої системи і точки (-1, j0) на комплексній площині, визначити кількість переходів розширеної АФХ розімкнутої системи, зробити висновок про стійкість системи в замкнутому стані;

- Проаналізувати розташування полюсів замкнутої системи на комплексній площині, зробити висновок про її стійкості;

- Перевірити стан замкнутої системи по її перехідною характеристиці.

Експеримент з вивчення стійкості розглянутої системи вважається завершеним тільки у разі несуперечності всіх отриманих результатів.

Зберегти у файл суміщені ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої системи при k = 1, також зберегти всі частотні характеристики розімкнутої системи, перехідний процес в замкнутій системі і її власні значення при k = k _кр, k _ну, k _у (тобто всього 1 + малюнка + 3 текстових блоку для даної системи). Наявність сітки на графіках обов'язково. На ЛАЧХ повинні бути відзначені сполучають частоти та її нахил на кожній з ділянок. На АФХ має бути присутня оцифровка.

Повторити пп. 3.3.2 - 3.3.4 для систем № 2 і 3.

Зміст звіту

Вихідні дані лабораторної роботи: назва роботи, мета роботи, перелік ПФ досліджуваних систем із зазначенням значень параметрів, відповідних номером варіанту.

Підготовча частина, оформлена відповідно до вимог п. 3.2.

Результати комп'ютерного моделювання, оформлені відповідно до вимог п. 3.3.4.

Аналіз отриманих результатів - на підставі висновків, зроблених у пп. 3.3.2 і 3.3.3.

Текст файлу-сценарію з вказівкою в коментарях номера групи, складу бригади та дати проведення роботи.

Звіт оформлюється на аркушах формату А4, допускається рукописне, друковане чи комбіноване оформлення.

Модальний синтез управління в лінійних безперервних системах

Мета роботи

Дана лабораторна робота призначена для першого практичного ознайомлення з застосуванням модального методу для синтезу управління. Її метою є дослідження взаємозв'язку між розташуванням власних чисел і якістю процесів і вироблення обгрунтованого підходу до вибору бажаних полюсів системи при здійсненні модального синтезу.

В якості незмінної частини системи слід прийняти одну із систем, задану передавальної функцією в роботі № 3, з тими ж значеннями параметрів (номер системи вибирається з табл. 4.1 відповідно до варіанту).

Таблиця 4.1 Вибір досліджуваної системи (див. також табл. 3.1)

Підготовча частина

За передавальної функції розімкнутої системи (об'єкта) записати відповідні векторно-матричні рівняння.

Записати в загальному вигляді рівняння зворотного зв'язку, тобто вираз для синтезованого керуючого сигналу (вхідного сигналу об'єкта) у векторно-матричній формі. Дати визначення і обчислити розмірності всіх вхідних у рівняння змінних.

Записати векторно-матричні рівняння замкнутої системи.

За результатами виконання пп. 4.2.1 та 4.2.2 скласти докладну структурну схему замкнутої системи (тобто системи «регулятор + об'єкт управління») з показом структури об'єкта і зворотних зв'язків по кожному елементу вектора стану.

Дати опис алгоритму обчислення матриці зворотного зв'язку.

Привести опис алгоритму обчислення коефіцієнта посилення по командному сигналу.

Вивчити матеріали лекцій з тем «Основні показники якості», «Зворотній зв'язок станом, що забезпечує заданий (бажане) розташування власних чисел в замкнутій системі з одним (скалярним) входом», а також проаналізувати дані, отримані в процесі виконання лабораторних робіт № 2 і 3, де було потрібно проводити аналіз впливу власних чисел систем на їх динамічні властивості.

Виконання роботи

Підготувати файл-сценарій, який реалізує процедуру модального синтезу керування для системи, що вивчається. Реалізувати в Simulink структурну схему замкнутої системи, передбачивши можливість спостереження сигналу на вході і виході об'єкта. Приклад моделі для системи № 1 (sys 1_ mod. Mdl) представлений на рис. 4.1 та 4.2, а зміст
m файлу (sys1.m) буде наступним:

% Модальний синтез керуваннЯ в лінійних безперервних системах

% Система # 1

% Висновок інформації - в командне і графічні вікна

% Очищення всіх змінних в пам'яті

clear all

% Очищення командного вікна

clc

% Закриття всіх попередніх малюнків

set (0, 'ShowHiddenHandles', 'on')

delete (get (0, 'Children'))

% Установка параметрів моделированиЯ для mdl файлу

h_max = 0.01;% максимальний крок моделированиЯ

t_end = 20;% час завершення моделированиЯ

% Завдання змінної перетворення Лапласа для подальшого опис

% Системи у вигляді передавальної функції

p = tf ('p');

% Параметри системи # 1 длЯ варіанту # 20

T1_s1 = 4;

T2_s1 = 1;

T3_s1 = 48;

% Опис розімкнутої системи через передавальну функцію

disp ('Передавальна функція системи # 1 в розімкнутому стані');

disp (['' num2str (T1_s1) '* p +1'])

disp ('-');

disp (['(' num2str (T2_s1) '* p +1) * (' num2str (T3_s1) '* p 1) * p']);

R_s1 = T1_s1 * p +1;

Q_s1 = (T2_s1 * p +1) * (T3_s1 * p 1) * p;

W_s1_r = R_s1/Q_s1

% Перетворенні опису в ss форму (одержання описів через матриці% A, B, C, D)

sys1_r = ss (W_s1_r);

[A_s1_r, B_s1_r, C_s1_r, D_s1_r] = ssdata (sys1_r);

disp ('Матриці A, B, C, D розімкнутої системи');

A_s1_r

B_s1_r

C_s1_r

D_s1_r

% Обчислення нулів і полюсів ПФ розімкнутої системи

[Zeros_s1_r, poles_s1_r, koef_s1_r] = zpkdata (zpk (W_s1_r), 'v');

disp ('Нулі і полюси ПФ розімкнутої системи');

zeros_s1_r

poles_s1_r

% Перевірка правильності обчислення матриці динаміки при домашній підготовці

% Шляхом обчислення її власних чисел і порівняння їх c poles_s1_r

disp ('Cобств. числа матриці динаміки разомк. сис-ми (з домашньої підготовки)');

poles_s1_r_dp = eig ([-47/48 1 / 48 0; 1 0 0; 0 1 0])

% Бажані полюси замкнутої системи (задаєте після аналізу расположениЯ

% Полюсів розімкнутої системи)

disp ('Бажані полюси замкнутої системи');

poles_s1_z_g = [-2 +2 * j; -2-2 * j; -0.25]

% Розрахунок матриці зворотних зв'язків L, що реалізує бажане розташування

% Полюсів замк. сис.

[L_s1, PREC_s1, MESSAGE_s1] = PLACE (A_s1_r, B_s1_r, poles_s1_z_g);

disp ('Матриця зворотних зв'язків');

L_s1

% Матриця динаміки замкнутої системи

A_s1_z = A_s1_r-B_s1_r * L_s1;

% Матриці B, C, D замкнутої системи

B_s1_z = B_s1_r;

C_s1_z = C_s1_r;

D_s1_z = D_s1_r;

% Опис замкнутої системи в ss формі

sys1_z = ss (A_s1_z, B_s1_z, C_s1_z, D_s1_z);

% Розрахунок коефіцієнта посилення по командному сигналу (повинен забезпечувати

% Одиничну статику)

W_s1_z = tf (sys1_z);

[Num_s1, den_s1] = tfdata (W_s1_z, 'v');

disp ('Коефіцієнт посилення по командному сигналом');

% Обчислення коефіцієнта посилення по командному сигналу

% Як відношення вільних членів полінома знаменника і чисельник,

% Передавальної функції замкнутої системи, тобто останніх елементів

% У векторах коефіцієнтів знаменника і чисельнику

Kv_s1 = den_s1 (length (den_s1)) / num_s1 (length (num_s1))

% Опис підсумкової замкнутої системи в ss формі

B_s1_z = Kv_s1 * B_s1_r;

sys1_z = ss (A_s1_z, B_s1_z, C_s1_z, D_s1_z);

% Фактичні власні числа підсумкової замкнутої системи

% (Порівняти із замовленими)

[Zeros_s1_z_f, poles_s1_z_f, koef_s1_z_f] = zpkdata (zpk (sys1_z), 'v');

disp ('Нулі і полюси замкнутої системи з синтезованим управлінням');

zeros_s1_z_f

poles_s1_z_f

% Малюнок, що відображає розташування нулів і полюсів до і після

% Замикання зворотних зв'язків

figure

plot (real (poles_s1_r), imag (poles_s1_r), 'rs', real (zeros_s1_r), imag (zeros_s1_r), 'ro')

hold on

plot (real (poles_s1_z_f), imag (poles_s1_z_f), 'bs', real (zeros_s1_z_f), ...

imag (zeros_s1_z_f), 'bo', 'MarkerSize', 14)

grid on

title ('Розташування нулів і полюсів до і після замикання зворотних зв'язків')

xlabel ('real (z)');

ylabel ('imag (z)');

legend ('poles of sys1 (razomk)', 'zeros of sys1 (razomk)', ...

'Poles of sys1 (zamkn)', 'zeros of sys1 (zamkn)', 0);

% Перехідний процес в замкнутій системі c синтезованим управлінням

ltiview ({'step'}, sys1_z, t_end);

grid on

% Виклик моделі

open_system ('sys1_mod.mdl');

% Запуск моделированиЯ

sim ('sys 1_ mod');

Призначення всіх використаних при створенні даної програми функцій Matlab наводиться у додатку.

Як випливає з тексту вищенаведеного файлу, процедура модального синтезу управління передбачає виконання наступних кроків:

опис об'єкта (введення вихідних даних);

перетворення опису об'єкта до ss формі і знаходження матриць A, B, C, D;

обчислення нулів і полюсів ПФ розімкнутої системи;

аналіз розташування нулів і полюсів розімкнутої системи і призначення бажаних полюсів замкнутої системи;

розрахунок матриці зворотних зв'язків, що реалізує бажане розташування полюсів замкнутої системи;

обчислення передавальної функції отриманої замкнутої системи і коефіцієнта посилення по командному сигналу (Тобто як відносини вільних членів поліномів знаменника і чисельника передавальної функції замкнутої системи).

Результати обчислень на кожному з етапів виводяться в командне вікно.

Також у програмі передбачено проведення ряду перевірок (з використанням даних з командного вікна): порівняння власних чисел матриці динаміки розімкнутої системи, отриманої в ході попередньої підготовки, з власними числами розімкнутої системи, розрахованими в Matlab; перевірка правильності роботи процедури розрахунку матриці зворотних зв'язків - обчислення фактичних значень полюсів отриманої замкнутої системи і порівняння їх зі значеннями бажаних полюсів.

Крім того, після завершення процедури модального синтезу буде виведено графічне вікно з розташуванням нулів і полюсів системи на комплексній площині до і після замикання зворотних зв'язків, побудований графік перехідного процесу для замкнутої системи і запущена модель Simulink, що містить структурну схему замкнутої системи.

Рис. 4.1. Структурна схема замкнутої системи в Simulink

а б

Рис. 4.2. Налаштування параметрів: а - моделювання; б - в блоці State - Space

У тексті описаного вище файлу-сценарію скорегувати вихідні дані відповідно з номером варіанту, задати матрицю динаміки, розраховану при домашній підготовці, і задати деякий бажане розташування полюсів замкнутої системи. Скорегувати опис об'єкта в блоці State-Space моделі, якщо це необхідно. Запустити програму на виконання, після чого перевірити правильність попередніх розрахунків і коректність роботи вбудованого в Matlab процедури розрахунку матриці зворотних зв'язків place. Переконатися в правильності опису замкнутої системи за допомогою структурної схеми в Simulink, порівнявши перехідний процес в графічному вікні й на екрані осцилографа. У разі відсутності помилок зберегти отримані файл-сценарій і структурну схему в файл.

Виявити взаємозв'язок між розташуванням нулів і полюсів замкнутої системи на комплексній площині і якістю процесів управління, варіюючи бажані власні значення і фіксуючи за допомогою вбудованих засобів LTI Viewer (опис LTI Viewer див. у додатку) значення часу регулювання tp і перерегулювання s (основних показників якості перехідного процесу). Величину допуску («трубки») прийняти рівною ± 5%. Також необхідно фіксувати максимальні значення управляючого впливу umax по осцилографу в моделі замкненої системи в Simulink. Результати необхідно оформити, заповнивши табл. 4.2, 4.3 та 4.4.

Виконання цього пункту лабораторної роботи може істотно полегшити наступний підхід: прагнути розташовувати полюси замкнутої системи таким чином, щоб наблизити її до системи 2 го порядку, оскільки забезпечити необхідну якість управління в такій системі значно простіше; брати до уваги той факт, що значення показників якості залежать від розташування на комплексній площині полюсів, найближчих до уявної осі.

Тоді, по-перше, необхідно забезпечити розташування всіх полюсів зліва від уявної осі (система повинна бути стійка в замкнутому стані), по-друге, найближчої до уявної осі повинна бути пара комплексно спряжених полюсів, не рахуючи полюсів, компенсуючих нулі системи, по- третє, всі інші полюси повинні перебувати значно лівіше, щоб не впливати на характер перехідної функції (відповідні їм моди будуть володіти меншим часом перехідного процесу і вносити менший внесок у вихідний сигнал). Однак слід пам'ятати, що надмірний зсув полюсів вліво може призвести до значного збільшення коефіцієнтів зворотних зв'язків, зростання пікових значень керуючого впливу і появи нелінійних ефектів в реальних системах, оскільки для них завжди проводиться обмеження керуючого сигналу.

Вивчення поведінки систем другого порядку на прикладі коливального ланки показує, що час перехідного процесу визначається відстанню пари комплексно спряжених полюсів p _1,2 = a ± j b до уявної осі (цей час дорівнює приблизно потроєною зворотного величиною їх дійсної частини, t _p »3 / | a |), а від співвідношення | b | / | a | уявної та дійсної частин залежить коливальність процесу.

Таблиця 4.2. Залежність максимального значення керуючого впливу від відстані до уявної осі найбільш віддаленого від неї полюса замкнутої системи

Таблиця 4.3. Залежність часу регулювання від відстані до уявної осі найближчих до неї власних значень замкнутої системи

Таблиця 4.4 Залежність перерегулювання від співвідношення уявної та дійсної частин найближчих до уявної осі власних значень замкнутої системи

Дані таблиць представити у вигляді відповідних графіків, використовуючи засоби Matlab. Зберегти графіки у файл.

Забезпечити потрібну якість процесів управління в замкнутій системі: час регулювання t _р = 6 с, перерегулювання s »15-20%. Зберегти протокол роботи, виведений в командне вікно, розташування нулів і полюсів на комплексній площині, перехідний процес і керуючий сигнал в замкнутій системі.

Критерієм успішного завершення лабораторної роботи вважається істотне скорочення часу на вибір розташування полюсів, що забезпечують необхідну якість управління в замкнутій системі. В кінці заняття викладач проводить перевірку і просить забезпечити довільне значення часу регулювання та перерегулювання перехідного процесу в замкнутій системі.

Зміст звіту

Вихідні дані лабораторної роботи: назва роботи, мета роботи, ПФ досліджуваної системи з вказівкою значень параметрів, відповідних номером варіанту.

Підготовча частина, оформлена відповідно до вимог п. 4.2.

Текст файлу-сценарію і структурна схема моделі в Simulink.

Результати комп'ютерного моделювання, оформлені відповідно до вимог пп. 4.3.3 та 4.3.4.

Аргументовані висновки про вплив власних значень на характер перехідних процесів.

Звіт оформлюється на аркушах формату А4, допускається рукописне, друковане чи комбіноване оформлення.

Список літератури

Бесекерскій В.А. Теорія систем автоматичного регулювання / В.А. Бесекерскій, Є.П. Попов. М.: Наука, 1975. 768 з.

Теорія автоматичного управління / під ред. А.А. Воронова. М.: Вища школа, 1986. Ч. 1. 367 с.

Теорія автоматичного управління / під ред. А.В. Нетушил. М.: Вища школа, 1968. Ч. 1. 424 с.

Попов О.П. Теорія лінійних систем автоматичного регулювання та управління / Є.П. Попов. М.: Наука, 1989. 304 с.

Ципкин Я.З. Основи теорії автоматичних систем / Я.З. Ципкин. М.: Наука, 1977. 560 с.

Ту Ю.Т. Сучасна теорія управління / Ю.Т. Ту. М.: Машинобудування, 1971. 472 с.

Деруссо П. Простір станів в теорії управління / П. Деруссо, Р. Рой, С. Клоуз. М.: Наука, 1970. 620 з.

Збірник завдань з теорії автоматичного регулювання та керування. 5-е вид., Перераб. і доп. / Під ред. В.А. Бесекерскій. М.: Наука, 1978. 512 с.

Задачник по теорії автоматичного управління. 2-е вид., Перераб. і доп. / Під ред. А.С. Шаталова. М.: Енергія, 1979. 545 с.

Дьяконов В. Simulink 4. Спеціальний довідник / В. Дьяконов. СПб.: Пітер, 2002. 528 з.

Дьяконов В. Matlab: навчальний курс / В. Дьяконов. СПб.: Питер, 2001. 560 с.

Ануфрієв І.Є. Самовчитель Matlab 5.3/6.x / І.Є. Ануфрієв. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. 736 с.

Медведєв   В. С. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентів / В.С. Медведєв, В.Г. Потьомкін; під заг. ред. В.Г. Потьомкіна. М.: ДІАЛОГ-МІФІ, 1999. 287 с.