Доказ великої теореми Ферма для показника ступеня n = 4
Велика теорема Ферма формулюється так: диофантово рівняння:
А n + В n = С n (1)
де n - ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах.
Суть Великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння (1) запишемо так:
А n = С n - В n (2)
Нехай показник ступеня n = 4. Тоді рівняння (2) запишеться наступним чином:
А 4 = С 4-В 4 (3)
Рівняння (3) запишемо в наступному вигляді:
А 4 = (З 2) 2 - (У 2) 2 = (С 2-В 2) ∙ (С 2 + В 2) (4)
Нехай: (С 2-В 2) = N 4 (5)
Рівняння (5) розглядаємо як параметричне рівняння 4 - го ступеня з параметром N і змінними B і С. Перетворимо рівняння (5):
N 4 = (С-В) · (С + В) (6)
Для доказу використовуємо метод заміни змінних. Позначимо:
C - B = M (7)
З рівняння (7) маємо:
C = B + M (8)
З рівнянь (6), (7) і (8) маємо:
N 4 = M ∙ (B + M + B) = M ∙ (2 B + M) = 2 B ∙ M + M 2 (9)
З рівняння (9) маємо:
N 4 - M 2 = 2 B ∙ M (10)
Звідси:
B = (11)
З рівнянь (8) і (11) маємо:
C = (12)
З рівнянь (11) і (12) випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є подільність числа N 4 на число M, тобто число M має бути одним із співмножників, що входять до складу співмножників числа N 4.
З рівнянь (11) і (12) також випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є також однакова парність чисел N та M: обидва числа повинні бути парними або обидва непарними.
З рівнянь (11) і (12) також слід:
З 2 + В 2 = (13)
Позначимо:
З 2 + В 2 = K (14)
Нехай:
N = P ∙ S; M = S 2
Тоді:
K = С 2 + С 2 = (15)
З рівнянь (4), (5) і (15) випливає:
A 4 = N 4 ∙ K = N 4 · S 4 ∙ (16)
Звідси випливає:
A = N · S ∙ (17)
Очевидно, що:
- Дробове число.
Тобто:
З 2 + В 2 ≠ R 4; A 4 ≠ N 4 ∙ R 4
Отже, відповідно до формули (17) число А - дробове число.
Іншими словами, визначені за формулами (11) і (12) значення чисел B і С задовольняють тільки рівнянню (5) і не задовольняють передбачуваному рівності:
З 2 + В 2 = R 4
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах для показника ступеня n = 4.