Файл: FERMA-FIN © Н. М. Козій, 2008
Свідоцтва України № 27312 і 28607
про реєстрацію авторського права
Доказ Великої теореми Ферма
Доказ Великої теореми Ферма для непарних ПОКАЗНИКІВ СТУПЕНЯ
Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: діофантових рівняння (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
А n + В n = С n * / 1 /
де n-ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах A, B, С.
ДОКАЗ
Доказ будуємо, виходячи з основної теореми арифметики, яка називається «теоремою про одиничність факторизації» або «теоремою про єдиності розкладу на прості множники цілих складених чисел». Можливі непарні і парні показники ступеня n. Розглянемо випадок, коли показник ступеня n-непарне число. У цьому випадку вираз / 1 / перетвориться по відомим формулам наступним чином:
А n + В n = С n = (A + B) [A n-1-A n-2 · B + A n-3 · B 2 - ...-A · B n-2 + B n-1] / 2 /
Вважаємо, що A і B - цілі позитивні числа.
З рівняння / 2 / випливає, що при заданих значеннях чисел A і B множник (A + B) має одне й теж значення за будь-яких значеннях показника ступеня n.
* Числа А, В і С повинні бути взаємно простими числами.
Рівняння / 2 / дійсно при будь-якій непарній значенні показника ступеня n. Отже, з рівняння / 1 / при n = 1 маємо:
А 1 + В 1 = З 1
А + В = С / 3 /
Отже, число (А + В) є дільником числа С .
Припустимо, що число С - ціле позитивне число. Тоді з урахуванням прийнятих умов і основний теореми арифметики повинна виконуватися умова:
З n = A n + B n = (A + B) n ∙ D n, / 4 /
де число D також має бути цілим числом.
З рівняння / 4 / слід:
З рівняння / 4 / також випливає, що кількість [C n = A n + B n] за умови, що число С - ціле число, має ділитися на число (A + B) n . Однак відомо, що:
A n + B n <(A + B) n / 6 /
Отже:
Звідси випливає, що при непарному значенні показника ступеня n рівняння / 1 / великої теореми Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах при непарному показнику степеня n> 2.
Доказ Великої теореми Ферма для парних ПОКАЗНИКІВ СТУПЕНЯ
Доказ будуємо аналогічно вищевикладеному доказу для непарних показників ступеня. Будь-яке парне число, за винятком числа p = 2 q, є твором числа p на непарні, прості або складові, числа. Отже, парний показник ступеня можна записати наступним чином:
n = pkm = 2 q ∙ km, / 8 /
де: p = 2 q;
q = 1, 2, 3, ...;
k = 1,3,5,7,9, ...;
m = 3,5,7,9,11, ...
Тоді рівняння / 1 / можна записати наступним чином:
З n = A n + B n = A pkm + B pkm = (A pk) m + (B pk) m / 9 /
Оскільки показник ступеня m - непарне число, то вираження алгебри / 9 / перетвориться аналогічно рівнянню / 2 / наступним чином:
C n = C pkm = (A pk + B pk) ∙ [(A pk ) M -1 - (A pk ) M -2 ∙ B pk +
+ (A pk ) M -3 ∙ (B pk ) 2 - ... - A pk ∙ (B pk ) M -2 + (B pk ) M -1] / 10 /
При цьому рівняння / 4 / і / 5 / перетворюються наступним чином:
C n = C pkm = (A pk + B pk) m ∙ D pkm / 11 /
D pkm = (A pkm + B pkm) / (A pk + B pk) m / 12 /
У відповідності з рівнянням / 6 /:
(A pkm + B pkm) <(A pk + B pk) m / 13 /
Отже, число D pkm - дробове число, менше одиниці.
Звідси випливає, що і при парному показнику степеня n = 2 q ∙ km рівняння / 1 / не має рішення в цілих позитивних числах.
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних чисел як при непарному, так і при парному показнику степеня n> 2 і не рівному n ≠ 2 q.
Для показника ступеня n = 2 q існує інший доказ великої теореми Ферма.
Автор: Микола Михайлович Козій,
інженер-механік
Свідоцтва України № 27312 і 28607
про реєстрацію авторського права
Доказ Великої теореми Ферма
Доказ Великої теореми Ферма для непарних ПОКАЗНИКІВ СТУПЕНЯ
Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: діофантових рівняння (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
А n + В n = С n * / 1 /
де n-ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах A, B, С.
ДОКАЗ
Доказ будуємо, виходячи з основної теореми арифметики, яка називається «теоремою про одиничність факторизації» або «теоремою про єдиності розкладу на прості множники цілих складених чисел». Можливі непарні і парні показники ступеня n. Розглянемо випадок, коли показник ступеня n-непарне число. У цьому випадку вираз / 1 / перетвориться по відомим формулам наступним чином:
А n + В n = С n = (A + B) [A n-1-A n-2 · B + A n-3 · B 2 - ...-A · B n-2 + B n-1] / 2 /
Вважаємо, що A і B - цілі позитивні числа.
З рівняння / 2 / випливає, що при заданих значеннях чисел A і B множник (A + B) має одне й теж значення за будь-яких значеннях показника ступеня n.
* Числа А, В і С повинні бути взаємно простими числами.
Рівняння / 2 / дійсно при будь-якій непарній значенні показника ступеня n. Отже, з рівняння / 1 / при n = 1 маємо:
А 1 + В 1 = З 1
А + В = С / 3 /
Отже, число (А + В) є дільником числа С .
Припустимо, що число С - ціле позитивне число. Тоді з урахуванням прийнятих умов і основний теореми арифметики повинна виконуватися умова:
З n = A n + B n = (A + B) n ∙ D n, / 4 /
де число D також має бути цілим числом.
З рівняння / 4 / слід:
З рівняння / 4 / також випливає, що кількість [C n = A n + B n] за умови, що число С - ціле число, має ділитися на число (A + B) n . Однак відомо, що:
A n + B n <(A + B) n / 6 /
Отже:
Звідси випливає, що при непарному значенні показника ступеня n рівняння / 1 / великої теореми Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах при непарному показнику степеня n> 2.
Доказ Великої теореми Ферма для парних ПОКАЗНИКІВ СТУПЕНЯ
Доказ будуємо аналогічно вищевикладеному доказу для непарних показників ступеня. Будь-яке парне число, за винятком числа p = 2 q, є твором числа p на непарні, прості або складові, числа. Отже, парний показник ступеня можна записати наступним чином:
n = pkm = 2 q ∙ km, / 8 /
де: p = 2 q;
q = 1, 2, 3, ...;
k = 1,3,5,7,9, ...;
m = 3,5,7,9,11, ...
Тоді рівняння / 1 / можна записати наступним чином:
З n = A n + B n = A pkm + B pkm = (A pk) m + (B pk) m / 9 /
Оскільки показник ступеня m - непарне число, то вираження алгебри / 9 / перетвориться аналогічно рівнянню / 2 / наступним чином:
C n = C pkm = (A pk + B pk) ∙ [(A pk ) M -1 - (A pk ) M -2 ∙ B pk +
+ (A pk ) M -3 ∙ (B pk ) 2 - ... - A pk ∙ (B pk ) M -2 + (B pk ) M -1] / 10 /
При цьому рівняння / 4 / і / 5 / перетворюються наступним чином:
C n = C pkm = (A pk + B pk) m ∙ D pkm / 11 /
D pkm = (A pkm + B pkm) / (A pk + B pk) m / 12 /
У відповідності з рівнянням / 6 /:
(A pkm + B pkm) <(A pk + B pk) m / 13 /
Отже, число D pkm - дробове число, менше одиниці.
Звідси випливає, що і при парному показнику степеня n = 2 q ∙ km рівняння / 1 / не має рішення в цілих позитивних числах.
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних чисел як при непарному, так і при парному показнику степеня n> 2 і не рівному n ≠ 2 q.
Для показника ступеня n = 2 q існує інший доказ великої теореми Ферма.
Автор: Микола Михайлович Козій,
інженер-механік