Доказ Великої теореми Ферма
за допомогою методу нескінченних (невизначених) спусків
§ 1.
Рішення задач в науці визначається верифікованим методом докази. Як ми бачимо з різноманітної літератури з проблеми рішення Великої теореми Ферма нерозрізнення історичних щасливих випадкових, і від того різноманітних, знахідок і логічних тобто теоретичних нормальних закономірних винаходів зробило з числового рівняння завдання «ікс» для багатьох поколінь математиків.
Аналіз монографій і підручників з найрізноманітніших наук і, в тому числі, т.зв. математичним показує, що подання наук «про їх предметі» є найслабшою ланкою. Потім іде «уявлення про метод», про «науковий закон» і «мовою науки».
Як співвідноситься рішення конкретної задачі з поданням наук про предмет, метод, науковий закон і мовою конкретної науки? Зазвичай цим питанням ніхто і не задається. Але перше ж дію з вирішення задачі привело автора до необхідності визначитися, дізнатися, за допомогою якої науки або сукупності наук треба підійти до вирішення задачі, який інструмент необхідний? При нинішньому плюралізмі в науках вже одне це заняття ставить дослідника в незручне становище. Що говорити, якщо навіть з предмета т.зв. точних, математичних наук явно не побачити явно те, чим займається наука (предмет науки).
Умови завдання вказують на необхідність залучення до дослідження науки про числа і науки про дії з числами (і в загальному вигляді з величинами). З наукою про числа великих проблем не виникло, це область теорії чисел, але ось те, що дію з числами це предмет алгебри - може здогадатися лише дуже досвідчений в т.зв. математичних працях дослідник. І те неявно. Здивування викликав і той факт, що поняття меж величини автор так і не знайшов. Тобто як математики відрізняють величину від не-велич в явному вигляді автор так і не зміг визначити (для себе прийняв умову, що кордони величини повинні бути непорівнянні з величиною і виражаються нульовим числом тобто вони можуть порівнюватися з величиною, але повинні бути менше самої малої дискретної заходи величини).
Сама математика при вивченні її фактичного матеріалу видається авторові, скоріше, у вигляді наукової дисципліни зі створення моделей з певними (описаними) величинами, яка використовує закономірності всього кола т.зв. математичних наук.
Разом з тим, гіпотеза Ферма, довести яку ми беремося в даній роботі, сформульована таким чином, що вказує нам на необхідність залучення ще і науки про геометричні форми і уявленнях числа.
У цій статті пропонується використовувати теоретико-числовий і алгебраїчний метод докази, з наочною геометричній верифікацією, який був винайдений П. Ферма, автором Великої гіпотези (і як ми побачимо далі - теореми), названої на його честь. Винайдений ним метод доведення, називається методом нескінченних (невизначених) спусків заснований на інтелектуальній можливості виробляти певні (що мають властивості) дії з існуючими числами і дійсними числовими виразами.
Цей математичний метод П. Ферма описував у своєму листі до Каркаві (серпень 1659 року) наступним чином:
«Якби існував деякий прямокутний трикутник в цілих числах, який мав би площу, рівну квадрату, то існував би інший трикутник, менший цього, який володів би тим же властивістю. Якби існував другий, менший першого, який мав би те ж властивість, то існував би, в силу подібного міркування, третій, менший другого, який мав би те ж властивість, і, нарешті, четвертий, п'ятий, спускаючись до нескінченності. Але якщо задано число, то не існує нескінченності по спуску менших його (я весь час маю на увазі цілі числа). Звідки укладають, що не існує ніякого прямокутного трикутника з квадратною площею ».
Дано твердження (в лексиці П. Ферма [1]):
«Не можна розкласти куб на два куби, ні квадрат-квадрат (тобто четверту ступінь числа) на два квадрат-квадрата, ні взагалі ніяку ступінь вище квадрата і до безкінечності не можна розкласти на два ступені з тим же показником». Далі автор затвердження - П. Ферма робить замітку: «Я відкрив цьому воістину чудове доказ, але ці поля (мається на увазі книги яку він читав книги - авт.) Для нього занадто вузькі».
«Навпаки, неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрата і взагалі ні в яку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником».
На сучасному математичному мовою.
Дано: рівняння a n + b n = c n при натуральному n ⊂ N, n> 2, не має рішення в ненульових цілих числах а ', b', c ', {a', b ', c'} ⊂ Z.
Доказ:
Розглянемо метод нескінченних (невизначених) спусків, який ми збираємося застосувати для доказу.
Дано рівняння: a 2 + b 2 = c 2;
Рішення даного рівняння виражаються в такій геометричній формі: прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c.
Припустимо, що рівняння a 2 + b 2 = c 2 має рішення в цілих числах a ', b', c '
Метод нескінченного (невизначеного) стверджує, що якщо існує прямокутний трикутник зі сторонами a ', b', c 'вираженим в натуральних числах то, буде існувати нескінченне число прямокутних трикутників мають сторони:
a пропорційно a ',
b пропорційно b ',
c пропорційно c ',
Тобто якщо є рішення рівняння (існує трикутник a ', b', c ') то ми можемо знайти нескінченне пропорційну кількість рішень рівняння
a 2 + b 2 = c 2
де
a i = k i · а ';
b i = k i · b ' ;
c i = k i · c ' ;
де к - будь-яке дійсне число, а i - довільний нумератор рішень безлічі рішень
I складається з рішень сукупності пов'язаних рішень (a i, b i, c i) визначених через будь-яке існуюче рішення (a ', b ', c ').
Таким чином, i-те рішення рівняння a 2 + b 2 = c 2 дозволяє нам знайти визначити I-те комутативне безліч рішень рівняння.
Принципова неможливість розв'язання рівняння a 2 + b 2 = c 2 дозволяє нам стверджувати неможливості отримання всього безлічі рішень рівняння.
Верифікація методу нескінченних (невизначених) спусків:
Сторони рівняння a 2 + b 2 = c 2 у силу закону асоціативності можуть бути помножені на будь-яке раціональне число К виражене через дійсне число до у вигляді К = до 2: ми можемо зробити перетворення і в цілих числах a ', b', c 'представити рівняння a 2 + b 2 = c 2 виразом у вигляді:
К · (a '2 + b' 2) = К · c '2
в силу закону дистрибутивності (або розподільчого) можна зробити наступне перетворення і отримати вираз у вигляді:
K · a '2 + K · b' 2 = K · c '2
де К - будь-яке раціональне число і К = к 2 де до - будь-яке дійсне число наступне перетворення призводить рівняння
a n + b n = c n до вигляду:
k 2 a 2 + k 2 b 2 = k 2 c 2
(Ka) 2 + (kb) 2 = (kc) 2
де К - будь-яке раціональне число K ∈ {Q}, де Q - поле раціональних чисел, утворене з дійсного числа k за формулою К = k 2, де число k ∈ {R}, де R - поле дійсних чисел
Дійсне число до множини дійсних чисел - дозволяє працювати у всьому дійсному числовому полі рішень, представлених у вигляді (k i a ', k i b', k i c ') навіть при єдиному можливе рішення де a ', b', c '- цілі числа
Безліч всіх дійсних чисел становлять натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні числа
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, J ⊂ R рішення {k i a ', k i b', k i c '} ⊂ R .
Це означає, що якщо не існує рішення a 2 + b 2 = c 2 (a ', b', c ') не існує і жодного рішення (k i a', k i b ', k i c') у всьому множині цілих чисел
(A, b, c) ⊂ Z
Верифікація методу нескінченних (невизначених) спусків в геометричному вигляді представлена [2] на рис. 1:
рис. 1
Можливість отримання нескінченної кількості I пропорційних рішень при відомому i-тому рішенні прямокутного трикутника і допоможе нам у вирішенні поставленого завдання.
Тепер, власне, перейдемо до доказу Великої теореми (затвердження) Ферма:
рівняння a n + b n = c n при натуральному n ⊂ N, n> 2, не має рішення в ненульових цілих числах а ', b', c ', {a', b ', c'} ⊂ Z,
Розглянемо рівняння:
a n + b n = c n
Рівняння a n + b n = c n можна представити у вигляді
(A n -2) · a 2 + (b n -2) · b 2 = (c n -2) · c 2
Припустимо, що рівняння a n + b n = c n має рішення в цілих числах а ', b', c '
тоді рівняння a n + b n = c n можна представити виразом у вигляді:
(A 'n -2) · a' 2 + (b 'n -2) · b' 2 = (c 'n -2) · c' 2
А, потім, у вигляді:
K a · a '2 + K b · b' 2 = K c · c '2
Де
K a = (A 'n -2), K b = (B 'n -2), K c = (c' n -2), де n> 2, n ⊂ N, {a ', b', c '} ⊂ Z.
Значить, {K a, K b, K c } ⊂ Z належить безлічі натуральних чисел
Цей вираз K a · a '2 + K b · b' 2 = K c · c '2, що має рішення в цілих числах геометрично є також прямокутним трикутником зі сторонами:
a1 = k a · a 'і K a = k a 2
b1 = k b · b 'і K a = k b 2
c1 = k c · c 'і K a = k c 2
де {k a, k b, k c} ⊂ R
але {K a, K b, K c } ⊂ Z тому що утворюються з творів цілих чисел K a = (A 'n -2), K b = (B 'n -2), K c = (c' n -2) при натуральному n> 2
Рівняння a n + b n = c n цілих числах а ', b', c 'можна представити в дійсних числах:
a1 2 + b1 2 = c1 2 де {A1, b1, c1} ⊂ R
Застосовуємо метод нескінченних (невизначених) спусків
Якщо існує рішення рівняння a n + b n = c n у цілих числах {a ', b', c '} ⊂ Z (а, значить і рішення (a n -2) · a 2 + (b n -2) · b 2 = (c n -2) · c 2 у цілих числах {a ', b', c '} ⊂ Z) і якщо існує рішення рівняння a 2 + b 2 = c 2 в цілих числах підмножини дійсних чисел {a 1, b 1, c 1} ⊂ Z ⊂ R
То це рішення цих рівнянь пропорційні:
K · a '2 = а1 2
К · b '2 = b 1 лютому
К · c '2 = c 2 Січень
{K } ⊂ R належить безлічі дійсних цілих чисел.
Разом з тим, рішення рівняння a n + b n = c n у цілих числах {a ', b', c '} ⊂ Z має вигляд
a1 = K a · a '
b1 = K b · b '
c 1 = K c · c '
звідси випливає, що
K a = K b = K c = K де {K a, K b, K c } ⊂ Z
і
К = a n -2 = b n -2 = c n -2 де також {K } ⊂ Z належить безлічі цілих чисел
Отримуємо систему взаємно ув'язаних рішень:
a 'n + b' n = c 'n
К · a '2 + К · b' 2 = К · c '2
К = a n -2 = b n -2 = c n -2 де {A ', b', c '} ⊂ Z і {K } ⊂ Z
Неможливість отримання рішення системи рівнянь (1):
К · a 2 + К · b 2 = К · c 2 (1)
К = a n -2 = b n -2 = c n -2 де {A ', b', c '} ⊂ Z і {K } ⊂ Z
є доказом неможливості отримання рішення рівняння a n + b n = c n у цілих числах {A ', b', c '} ⊂ Z,
якщо існує хоча б одне рішення a 2 + b 2 = c 2 в цілих числах {P, q, r} ⊂ Z.
І, навпаки, рішення системи рівнянь (1) при існуючому хоча б одне рішення a 2 + b 2 = c 2 в цілих числах {P, q, r} ⊂ Z дасть можливість знайти рішення рівняння a n + b n = c n у цілих числах {A ', b', c '} ⊂ Z.
Система рівнянь (1) може бути перетворена в суму систем рівнянь (2) та (3)
при n ≠ 2 і К ≠ 0 де {a ', b', c '} ⊂ Z і {K } ⊂ Z
a 2 + b 2 = c 2
K = a = b = c (2)
при n = 2 і К ≠ 0 де {A ', b', c '} ⊂ Z і {K } ⊂ Z
a 2 + b 2 = c 2
K = a 0 = b 0 = c 0 (3)
Розглянемо систему рівнянь (2) отримуємо:
2 c 2 = c 2,
2 b 2 = b 2,
2 a 2 = a 2,
Звідси випливають висновки:
1) Система рівнянь (2) не має рішення в цілих числах {a ', b', c '} ⊂ Z, значить система рівнянь (2) нерозв'язна в цілих числах {a', b ', c'} ⊂ Z.
2) Система рівнянь (2) має рішення тільки в при а = 0, у = 0, с = 0 тобто {a, b, c} ⊂ N, це рішення що не входить в умову розгляд завдання.
Інших рішень система рівнянь (2) не має (геометрично - трикутник не може бути одночасно рівностороннім і прямокутним).
Розглянемо систему рівнянь (3)
При n = 2 рівність значень a 0 = b 0 = c 0 зберігається при будь-яких співвідношеннях a, b, c. Пошук хоча б одного рішення рівняння a 2 + b 2 = c 2 входить в умову доведення теореми Ферма.
Відомо, що всі рішення в цілих числах рівняння a 2 + b 2 = c 2 знайдені і мають такий вигляд:
a = p 2 - q 2
b = 2pq
c = p 2 + q 2
де p і q - цілі числа.
Для нашого докази достатньо одного рішення. Наприклад - (3,4,5).
Звідси робимо висновок, якщо існує рішення рівняння a 2 + b 2 = c 2 де {a ', b', c '} ⊂ Z то рівняння a n + b n = c n при n ≠ 2 (де n - будь-яке натуральне число) не буде мати рішення за будь-яких {a, b, c} ⊂ Z чинності нерозв'язності системи рівнянь (2).
Оскільки рівняння a n + b n = c n не має рішень у ненульових цілих числах а ', b', c '({a', b ', c'} ⊂ Z) при n ≠ 2, де n - Будь-яке натуральне число (n ⊂ N) , Значить, воно не має рішення і в разі, коли n> 2.
Доказ Великої теореми Ферма логічно побудовано на доказ відсутності необхідної умови рішення на цілих ненульових числах рівняння a n + b n = c n при натуральному n> 2 і геометрично може бути сформульовано таким чином: неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрата і взагалі ні в яку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником в силу того, що необхідною умовою такого розкладу є можливість прямокутного трикутника бути рівностороннім (в рівносторонньому трикутнику всі кути рівні 60 °).
Вищевказані міркування прості, наочні, вони не засновані на пошуку конкретних рішень рівняння a n + B n = c n, а засновані на пошуку докази, що виключає рішення рівняння a n + b n = c n у цілих числах.
Метод нескінченних (невизначених) спусків був винайдений самим П. Ферма і, очевидно, що він ним користувався для умовиводи про неможливість розкладання куба на два куби, біквадрата на два біквадрата Стає абсолютно очевидним факт того, що сам П. Ферма мав «чудесне» доказ свого великого відкриття.
§ 2. Невелике пояснення до другої виносці (стор. 3).
У силу закону дистрибутивності рівняння a 2 + b 2 = c 2 можна перетворити до виду до виду:
К · a 2 + К · b 2 = К · c 2
де К - будь-яке раціональне число
Візьмемо рівняння
1 2 + 2 січня = c 2
перетворимо його у вигляд
К1 2 + К1 2 = До c 2
2 · К = К · c 2 або К · 2 = К · c 2
Ми отримали приватне рішення рівняння
якщо К = 2 то c 2 = К,
Рівняння c 2 = До має рішення тоді, коли є таке раціональне число до яке утворює число К за формулою:
до 2 = К
звідси випливає, що якщо є таке раціональне число, яке може бути утворене від числа до за допомогою множення на саме себе і дорівнюватиме двом
(К = 2), то буде і рішення рівняння рівне цього числа (c = k) в раціональних числах.
Ми отримали приватне рішення рівняння 1 2 + 1 2 = k 2 яке, завдяки методу нескінченних (невизначених) спусків буде джерелом для утворення нескінченної кількості рішень рівняння:
1 2 + 2 січня = c 2
І навпаки, рівняння 1 2 + 1 2 = c 2 не буде мати рішення в раціональних числах, якщо відсутня така раціональне число, яке може бути утворене від раціонального числа до за допомогою множення на саме себе і дорівнюватиме двом (К = 2)
К = до 2, а не навпаки, коли до = √ До
Якщо число до не визначено на числовій прямій раціональних чисел, то його множення в раціональному вираженні можливе лише з певними умовностями (наприклад - округленням).
Це міркування, що грунтується на методі П. Ферма - нескінченних (невизначених) спусків є джерелом пояснення того, що
1 2 + 2 січня = c 2
не буде мати рішень в раціональних числах, якщо немає такого раціонального числа, яке помножене на саме себе буде дорівнює двом.
І буде мати рішення в дійсних числах, тому що величина до яке утворює число до 2 = 2 має існуючу залежність від існуючої величини, а отже існує.
Величина 1 2 + 1 2 - існує, існує дію множення 1 · 1, значить існує і величина k · k.
Тобто про число до, яке утворює число до 2 = 2 ми можемо говорити лише про те, що ця величина до існує, це дійсне число, але ми так даному етапі не маємо особливої заходи гіпотенуз (числової осі гіпотенуз), і тому не можемо уявити її в полі мірних величин - особливих раціональних числах мірного числового простору.
____________________________
© А.В. Тарасов
07. 01. 2008 р .
за допомогою методу нескінченних (невизначених) спусків
§ 1.
Рішення задач в науці визначається верифікованим методом докази. Як ми бачимо з різноманітної літератури з проблеми рішення Великої теореми Ферма нерозрізнення історичних щасливих випадкових, і від того різноманітних, знахідок і логічних тобто теоретичних нормальних закономірних винаходів зробило з числового рівняння завдання «ікс» для багатьох поколінь математиків.
Аналіз монографій і підручників з найрізноманітніших наук і, в тому числі, т.зв. математичним показує, що подання наук «про їх предметі» є найслабшою ланкою. Потім іде «уявлення про метод», про «науковий закон» і «мовою науки».
Як співвідноситься рішення конкретної задачі з поданням наук про предмет, метод, науковий закон і мовою конкретної науки? Зазвичай цим питанням ніхто і не задається. Але перше ж дію з вирішення задачі привело автора до необхідності визначитися, дізнатися, за допомогою якої науки або сукупності наук треба підійти до вирішення задачі, який інструмент необхідний? При нинішньому плюралізмі в науках вже одне це заняття ставить дослідника в незручне становище. Що говорити, якщо навіть з предмета т.зв. точних, математичних наук явно не побачити явно те, чим займається наука (предмет науки).
Умови завдання вказують на необхідність залучення до дослідження науки про числа і науки про дії з числами (і в загальному вигляді з величинами). З наукою про числа великих проблем не виникло, це область теорії чисел, але ось те, що дію з числами це предмет алгебри - може здогадатися лише дуже досвідчений в т.зв. математичних працях дослідник. І те неявно. Здивування викликав і той факт, що поняття меж величини автор так і не знайшов. Тобто як математики відрізняють величину від не-велич в явному вигляді автор так і не зміг визначити (для себе прийняв умову, що кордони величини повинні бути непорівнянні з величиною і виражаються нульовим числом тобто вони можуть порівнюватися з величиною, але повинні бути менше самої малої дискретної заходи величини).
Сама математика при вивченні її фактичного матеріалу видається авторові, скоріше, у вигляді наукової дисципліни зі створення моделей з певними (описаними) величинами, яка використовує закономірності всього кола т.зв. математичних наук.
Разом з тим, гіпотеза Ферма, довести яку ми беремося в даній роботі, сформульована таким чином, що вказує нам на необхідність залучення ще і науки про геометричні форми і уявленнях числа.
У цій статті пропонується використовувати теоретико-числовий і алгебраїчний метод докази, з наочною геометричній верифікацією, який був винайдений П. Ферма, автором Великої гіпотези (і як ми побачимо далі - теореми), названої на його честь. Винайдений ним метод доведення, називається методом нескінченних (невизначених) спусків заснований на інтелектуальній можливості виробляти певні (що мають властивості) дії з існуючими числами і дійсними числовими виразами.
Цей математичний метод П. Ферма описував у своєму листі до Каркаві (серпень 1659 року) наступним чином:
«Якби існував деякий прямокутний трикутник в цілих числах, який мав би площу, рівну квадрату, то існував би інший трикутник, менший цього, який володів би тим же властивістю. Якби існував другий, менший першого, який мав би те ж властивість, то існував би, в силу подібного міркування, третій, менший другого, який мав би те ж властивість, і, нарешті, четвертий, п'ятий, спускаючись до нескінченності. Але якщо задано число, то не існує нескінченності по спуску менших його (я весь час маю на увазі цілі числа). Звідки укладають, що не існує ніякого прямокутного трикутника з квадратною площею ».
Дано твердження (в лексиці П. Ферма [1]):
«Не можна розкласти куб на два куби, ні квадрат-квадрат (тобто четверту ступінь числа) на два квадрат-квадрата, ні взагалі ніяку ступінь вище квадрата і до безкінечності не можна розкласти на два ступені з тим же показником». Далі автор затвердження - П. Ферма робить замітку: «Я відкрив цьому воістину чудове доказ, але ці поля (мається на увазі книги яку він читав книги - авт.) Для нього занадто вузькі».
«Навпаки, неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрата і взагалі ні в яку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником».
На сучасному математичному мовою.
Дано: рівняння a n + b n = c n при натуральному n ⊂ N, n> 2, не має рішення в ненульових цілих числах а ', b', c ', {a', b ', c'} ⊂ Z.
Доказ:
Розглянемо метод нескінченних (невизначених) спусків, який ми збираємося застосувати для доказу.
Дано рівняння: a 2 + b 2 = c 2;
Рішення даного рівняння виражаються в такій геометричній формі: прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c.
Припустимо, що рівняння a 2 + b 2 = c 2 має рішення в цілих числах a ', b', c '
Метод нескінченного (невизначеного) стверджує, що якщо існує прямокутний трикутник зі сторонами a ', b', c 'вираженим в натуральних числах то, буде існувати нескінченне число прямокутних трикутників мають сторони:
a пропорційно a ',
b пропорційно b ',
c пропорційно c ',
Тобто якщо є рішення рівняння (існує трикутник a ', b', c ') то ми можемо знайти нескінченне пропорційну кількість рішень рівняння
a 2 + b 2 = c 2
де
a i = k i · а ';
b i = k i · b ' ;
c i = k i · c ' ;
де к - будь-яке дійсне число, а i - довільний нумератор рішень безлічі рішень
I складається з рішень сукупності пов'язаних рішень (a i, b i, c i) визначених через будь-яке існуюче рішення (a ', b ', c ').
Таким чином, i-те рішення рівняння a 2 + b 2 = c 2 дозволяє нам знайти визначити I-те комутативне безліч рішень рівняння.
Принципова неможливість розв'язання рівняння a 2 + b 2 = c 2 дозволяє нам стверджувати неможливості отримання всього безлічі рішень рівняння.
Верифікація методу нескінченних (невизначених) спусків:
Сторони рівняння a 2 + b 2 = c 2 у силу закону асоціативності можуть бути помножені на будь-яке раціональне число К виражене через дійсне число до у вигляді К = до 2: ми можемо зробити перетворення і в цілих числах a ', b', c 'представити рівняння a 2 + b 2 = c 2 виразом у вигляді:
К · (a '2 + b' 2) = К · c '2
в силу закону дистрибутивності (або розподільчого) можна зробити наступне перетворення і отримати вираз у вигляді:
K · a '2 + K · b' 2 = K · c '2
де К - будь-яке раціональне число і К = к 2 де до - будь-яке дійсне число наступне перетворення призводить рівняння
a n + b n = c n до вигляду:
k 2 a 2 + k 2 b 2 = k 2 c 2
(Ka) 2 + (kb) 2 = (kc) 2
де К - будь-яке раціональне число K ∈ {Q}, де Q - поле раціональних чисел, утворене з дійсного числа k за формулою К = k 2, де число k ∈ {R}, де R - поле дійсних чисел
Дійсне число до множини дійсних чисел - дозволяє працювати у всьому дійсному числовому полі рішень, представлених у вигляді (k i a ', k i b', k i c ') навіть при єдиному можливе рішення де a ', b', c '- цілі числа
Безліч всіх дійсних чисел становлять натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні числа
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, J ⊂ R рішення {k i a ', k i b', k i c '} ⊂ R .
Це означає, що якщо не існує рішення a 2 + b 2 = c 2 (a ', b', c ') не існує і жодного рішення (k i a', k i b ', k i c') у всьому множині цілих чисел
(A, b, c) ⊂ Z
Верифікація методу нескінченних (невизначених) спусків в геометричному вигляді представлена [2] на рис. 1:
рис. 1
Можливість отримання нескінченної кількості I пропорційних рішень при відомому i-тому рішенні прямокутного трикутника і допоможе нам у вирішенні поставленого завдання.
Тепер, власне, перейдемо до доказу Великої теореми (затвердження) Ферма:
рівняння a n + b n = c n при натуральному n ⊂ N, n> 2, не має рішення в ненульових цілих числах а ', b', c ', {a', b ', c'} ⊂ Z,
Розглянемо рівняння:
a n + b n = c n
Рівняння a n + b n = c n можна представити у вигляді
(A n -2) · a 2 + (b n -2) · b 2 = (c n -2) · c 2
Припустимо, що рівняння a n + b n = c n має рішення в цілих числах а ', b', c '
тоді рівняння a n + b n = c n можна представити виразом у вигляді:
(A 'n -2) · a' 2 + (b 'n -2) · b' 2 = (c 'n -2) · c' 2
А, потім, у вигляді:
K a · a '2 + K b · b' 2 = K c · c '2
Де
K a = (A 'n -2), K b = (B 'n -2), K c = (c' n -2), де n> 2, n ⊂ N, {a ', b', c '} ⊂ Z.
Значить, {K a, K b, K c } ⊂ Z належить безлічі натуральних чисел
Цей вираз K a · a '2 + K b · b' 2 = K c · c '2, що має рішення в цілих числах геометрично є також прямокутним трикутником зі сторонами:
a1 = k a · a 'і K a = k a 2
b1 = k b · b 'і K a = k b 2
c1 = k c · c 'і K a = k c 2
де {k a, k b, k c} ⊂ R
але {K a, K b, K c } ⊂ Z тому що утворюються з творів цілих чисел K a = (A 'n -2), K b = (B 'n -2), K c = (c' n -2) при натуральному n> 2
Рівняння a n + b n = c n цілих числах а ', b', c 'можна представити в дійсних числах:
a1 2 + b1 2 = c1 2 де {A1, b1, c1} ⊂ R
Застосовуємо метод нескінченних (невизначених) спусків
Якщо існує рішення рівняння a n + b n = c n у цілих числах {a ', b', c '} ⊂ Z (а, значить і рішення (a n -2) · a 2 + (b n -2) · b 2 = (c n -2) · c 2 у цілих числах {a ', b', c '} ⊂ Z) і якщо існує рішення рівняння a 2 + b 2 = c 2 в цілих числах підмножини дійсних чисел {a 1, b 1, c 1} ⊂ Z ⊂ R
То це рішення цих рівнянь пропорційні:
K · a '2 = а1 2
К · b '2 = b 1 лютому
К · c '2 = c 2 Січень
{K } ⊂ R належить безлічі дійсних цілих чисел.
Разом з тим, рішення рівняння a n + b n = c n у цілих числах {a ', b', c '} ⊂ Z має вигляд
a1 = K a · a '
b1 = K b · b '
c 1 = K c · c '
звідси випливає, що
K a = K b = K c = K де {K a, K b, K c } ⊂ Z
і
К = a n -2 = b n -2 = c n -2 де також {K } ⊂ Z належить безлічі цілих чисел
Отримуємо систему взаємно ув'язаних рішень:
{ |
К · a '2 + К · b' 2 = К · c '2
К = a n -2 = b n -2 = c n -2 де {A ', b', c '} ⊂ Z і {K } ⊂ Z
Неможливість отримання рішення системи рівнянь (1):
{ |
К · a 2 + К · b 2 = К · c 2 (1)
К = a n -2 = b n -2 = c n -2 де {A ', b', c '} ⊂ Z і {K } ⊂ Z
є доказом неможливості отримання рішення рівняння a n + b n = c n у цілих числах {A ', b', c '} ⊂ Z,
якщо існує хоча б одне рішення a 2 + b 2 = c 2 в цілих числах {P, q, r} ⊂ Z.
І, навпаки, рішення системи рівнянь (1) при існуючому хоча б одне рішення a 2 + b 2 = c 2 в цілих числах {P, q, r} ⊂ Z дасть можливість знайти рішення рівняння a n + b n = c n у цілих числах {A ', b', c '} ⊂ Z.
Система рівнянь (1) може бути перетворена в суму систем рівнянь (2) та (3)
при n ≠ 2 і К ≠ 0 де {a ', b', c '} ⊂ Z і {K } ⊂ Z
{ |
{ |
a 2 + b 2 = c 2
K = a = b = c (2)
при n = 2 і К ≠ 0 де {A ', b', c '} ⊂ Z і {K } ⊂ Z
{ |
{ |
a 2 + b 2 = c 2
K = a 0 = b 0 = c 0 (3)
Розглянемо систему рівнянь (2) отримуємо:
{ |
2 c 2 = c 2,
2 b 2 = b 2,
2 a 2 = a 2,
Звідси випливають висновки:
1) Система рівнянь (2) не має рішення в цілих числах {a ', b', c '} ⊂ Z, значить система рівнянь (2) нерозв'язна в цілих числах {a', b ', c'} ⊂ Z.
2) Система рівнянь (2) має рішення тільки в при а = 0, у = 0, с = 0 тобто {a, b, c} ⊂ N, це рішення що не входить в умову розгляд завдання.
Інших рішень система рівнянь (2) не має (геометрично - трикутник не може бути одночасно рівностороннім і прямокутним).
Розглянемо систему рівнянь (3)
При n = 2 рівність значень a 0 = b 0 = c 0 зберігається при будь-яких співвідношеннях a, b, c. Пошук хоча б одного рішення рівняння a 2 + b 2 = c 2 входить в умову доведення теореми Ферма.
Відомо, що всі рішення в цілих числах рівняння a 2 + b 2 = c 2 знайдені і мають такий вигляд:
a = p 2 - q 2
b = 2pq
c = p 2 + q 2
де p і q - цілі числа.
Для нашого докази достатньо одного рішення. Наприклад - (3,4,5).
Звідси робимо висновок, якщо існує рішення рівняння a 2 + b 2 = c 2 де {a ', b', c '} ⊂ Z то рівняння a n + b n = c n при n ≠ 2 (де n - будь-яке натуральне число) не буде мати рішення за будь-яких {a, b, c} ⊂ Z чинності нерозв'язності системи рівнянь (2).
Оскільки рівняння a n + b n = c n не має рішень у ненульових цілих числах а ', b', c '({a', b ', c'} ⊂ Z) при n ≠ 2, де n - Будь-яке натуральне число (n ⊂ N) , Значить, воно не має рішення і в разі, коли n> 2.
Доказ Великої теореми Ферма логічно побудовано на доказ відсутності необхідної умови рішення на цілих ненульових числах рівняння a n + b n = c n при натуральному n> 2 і геометрично може бути сформульовано таким чином: неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрата і взагалі ні в яку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником в силу того, що необхідною умовою такого розкладу є можливість прямокутного трикутника бути рівностороннім (в рівносторонньому трикутнику всі кути рівні 60 °).
Вищевказані міркування прості, наочні, вони не засновані на пошуку конкретних рішень рівняння a n + B n = c n, а засновані на пошуку докази, що виключає рішення рівняння a n + b n = c n у цілих числах.
Метод нескінченних (невизначених) спусків був винайдений самим П. Ферма і, очевидно, що він ним користувався для умовиводи про неможливість розкладання куба на два куби, біквадрата на два біквадрата Стає абсолютно очевидним факт того, що сам П. Ферма мав «чудесне» доказ свого великого відкриття.
§ 2. Невелике пояснення до другої виносці (стор. 3).
У силу закону дистрибутивності рівняння a 2 + b 2 = c 2 можна перетворити до виду до виду:
К · a 2 + К · b 2 = К · c 2
де К - будь-яке раціональне число
Візьмемо рівняння
1 2 + 2 січня = c 2
перетворимо його у вигляд
К1 2 + К1 2 = До c 2
2 · К = К · c 2 або К · 2 = К · c 2
Ми отримали приватне рішення рівняння
якщо К = 2 то c 2 = К,
Рівняння c 2 = До має рішення тоді, коли є таке раціональне число до яке утворює число К за формулою:
до 2 = К
звідси випливає, що якщо є таке раціональне число, яке може бути утворене від числа до за допомогою множення на саме себе і дорівнюватиме двом
(К = 2), то буде і рішення рівняння рівне цього числа (c = k) в раціональних числах.
Ми отримали приватне рішення рівняння 1 2 + 1 2 = k 2 яке, завдяки методу нескінченних (невизначених) спусків буде джерелом для утворення нескінченної кількості рішень рівняння:
1 2 + 2 січня = c 2
І навпаки, рівняння 1 2 + 1 2 = c 2 не буде мати рішення в раціональних числах, якщо відсутня така раціональне число, яке може бути утворене від раціонального числа до за допомогою множення на саме себе і дорівнюватиме двом (К = 2)
К = до 2, а не навпаки, коли до = √ До
Якщо число до не визначено на числовій прямій раціональних чисел, то його множення в раціональному вираженні можливе лише з певними умовностями (наприклад - округленням).
Це міркування, що грунтується на методі П. Ферма - нескінченних (невизначених) спусків є джерелом пояснення того, що
1 2 + 2 січня = c 2
не буде мати рішень в раціональних числах, якщо немає такого раціонального числа, яке помножене на саме себе буде дорівнює двом.
І буде мати рішення в дійсних числах, тому що величина до яке утворює число до 2 = 2 має існуючу залежність від існуючої величини, а отже існує.
Величина 1 2 + 1 2 - існує, існує дію множення 1 · 1, значить існує і величина k · k.
Тобто про число до, яке утворює число до 2 = 2 ми можемо говорити лише про те, що ця величина до існує, це дійсне число, але ми так даному етапі не маємо особливої заходи гіпотенуз (числової осі гіпотенуз), і тому не можемо уявити її в полі мірних величин - особливих раціональних числах мірного числового простору.
____________________________
© А.В. Тарасов
07. 01.
[1] З різних джерел
[2] Можливо, ця формула може служити джерелом пояснення ірраціональності кореня з 2, тобто неможливості рішень рівнянь для до = з в раціональних числах.