Диференціальні рівняння лінійних систем автоматичного регулювання

Диференціальні рівняння лінійних систем автоматичного регулювання

Визначення динамічних властивостей об'єктів за допомогою диференціальних рівнянь може бути поки успішно виконана тільки для порівняно простих об'єктів. Як правило, в окремих випадках можна при невеликій витраті часу скласти досить точне диференціальне рівняння об'єкта.

У теперішній час при складанні диференціальних рівнянь елементів і систем регулювання прийнято користуватися безрозмірними змінними величинами. Для цього відхилення величин відносять до яких-небудь постійним (базовим) значень величин, наприклад до максимальних або середнім (номінальним). Висловлюючи вхідну і вихідну величини елемента (або системи) в частках від цих базових величин, вводять безрозмірні координати.

Наприклад, рівняння

(С * d (D Q) / С _C * dt) + D Q = 2 * I ₀ * R * D I / С _C * F (1)

D I / I = X _ВХ характеризує відносне відхилення вхідної величини від базового значення, а D Q / Q ₀ = Х _вих відносне відхилення вихідної величини. Для переходу від розмірної форми запису диференціального рівняння до безрозмірною проводять заміну абсолютних координат відносними. Так, наприклад, рівняння (1) можна записати в безрозмірною формі, замінивши:

D Q = Q ₀ * Х _вих і D I = I * X _ВХ

Тоді

З * Q ₀ * d Х _вих / С _C * F * dt + Q ₀ Х _вих = 2 * I ₀ ² * R * X _ВХ / С _C * F

Розділивши обидві частини рівняння на Q _{0, п} олучім:

С * d Х _вих / С _C * F * dt + Х _вих = 2 * I ₀ ² * R * X _ВХ / С _C * F * Q ₀

Позначимо:

З / С _C * F = Т 2 * I ₀ ² * R / С _C * F * Q ₀ = R

Коефіцієнти при похідних від вихідної величини називаються постійними часу і мають розмірність часу

Справді,

С [дж / град] / С _C [Вт / см ² * град] * F [см] = С / С _C * F [дж * см ² * град / град * вт * см ^2]

Коефіцієнт К при X _ВХ називається коефіцієнтом посилення, і природно повинен бути безрозмірним:

2 * I ₀ ² [А ^2] * R [Ом] / С _C [Вт / см ² * град] * F [см] * Q ₀ [град] =

= 2 * I ₀ ² * R / С _C * F * Q ₀ [А ² * Ом * см ² * град / Вт * см ² * град] =

= 2 * I ₀ ² * R / С _C * F * Q ₀ [0] = К

Рівняння (1) з урахуванням введених позначень матиме в безрозмірною формі наступний вигляд:

Т * Х ^/ вих + Х вих = К * Х вх (2)

Визначимо для прикладу рівняння кривої розгону термічної печі, диференціальне рівняння якої було введено раніше:

Т * Х ^/ вих + Х вих = К * Х вх

Будемо шукати рішення цього рівняння у вигляді

Х вих = С * е ^rt + K * Х вх ₀

Де r і С підлягають визначенню

Підставляючи значення Х вих і Х ^/ вих в рівняння (2). Отримаємо

Т * С * r * е ^rt + С * е ^rt = 0

Скорочуючи на С * е ^rt будемо мати:

Т * r + 1 = 0

Звідки r = - 1 / Т і рішення набуде вигляду

Х вих = К * Х вх ₀ (1-е ^{- t / T)}

При t = 0 Х вих = 0 отже С = К * Х вх _0. Тоді рівняння кривої розгону буде:

Х вих = К * Х вх _{0 (1-е} ^{- t / T)}

Графік кривої розгону:

При t = ¥ вихідна величина Х вих досягає граничного значення

Х вих. вуст = К * Х вх ₀

Коефіцієнт посилення До визначає ставлення сталих значень вихідної величини до вхідної:

К = Х вих. уст / Х вх ₀

Коефіцієнт посилення може бути безпосередньо знайдений з графіка перехідної функції; постійна часу Т характеризує інерційність процесу.

Таким чином, криві розгону дають наочне уявлення про характер протікання перехідних процесів в системі або об'єкті.