Зміст
1. Введення в аналіз і диференціальне числення функції одного змінного
2. Диференціальне числення функцій та його застосування
3. Інтегральне числення функції одного змінного
1. Введення в аналіз і диференціальне числення функції одного змінного
1. Обчислити межа: .
Рішення.
При маємо
Отже,
2. Знайти асимптоти функції: .
Рішення.
Очевидно, що функція не визначена при .
Звідси отримуємо, що
Отже, - Вертикальна асимптота.
Тепер знайдемо похилі асимптоти.
Отже, - Похила асимптота при
.
3. Визначити глобальні екстремуми: при
.
Рішення.
Відомо, що глобальні екстремуми функції на відрізку досягаються або в критичних точках, що належать відрізку, або на кінцях відрізка. Тому спочатку знаходимо .
.
А потім знаходимо критичні точки.
Тепер знайдемо значення функції на кінцях відрізка.
.
Порівнюємо значення і отримуємо:
4. Дослідити на монотонність, знайти локальні екстремуми і побудувати ескіз графіка функції: .
Рішення.
Спочатку знаходимо .
.
Потім знаходимо критичні точки.
x | - 3 | 0 | |||
- | 0 | + | 0 | + | |
убуває | min | зростає | зростає | зростає |
Звідси випливає, що функція
зростає при ,
убуває при .
Точка - Локальний мінімум.
5. Знайти проміжки опуклості і точки перегину функції: .
Рішення
Щоб знайти проміжки опуклості і точки перегину, знайдемо другу похідну функції.
.
.
.
x | | - 2 | | 1 | |
|
- | 0 | - | 0 | + | |
| увігнута | перегин | опукла | перегин | увігнута |
Звідси випливає, що функція
опукла при ,
увігнута при .
Точки ,
- Точки перегину.
2. Диференціальне числення функцій та його застосування »
1. Провести повне дослідження властивостей і побудувати ескіз графіка функції .
Рішення.
1) Область визначення функції
.
2) Функція не є парній або непарній, так як
.
3) Тепер знайдемо точки перетину з осями:
а) з о x: , Б) з oy
.
4) Тепер знайдемо асимптоти.
а)
А значить, є вертикальною асимптотой.
б) Тепер знайдемо похилі асимптоти
Звідси випливає, що
є похилій асимптотой при
.
5) Тепер знайдемо критичні точки
не існує при
.
6)
не існує при
x | 0 | 2 | 4 | ||||
+ | 0 | - | Не сущ. | - | 0 | + | |
- | - | - | Не сущ. | + | + | + | |
y | зростає опукла | max | убуває опукла | не ім. | убуває увігнута | min | зростає увігнута |
Побудуємо ескіз графіка функції
2. Знайти локальні екстремуми функції .
Рішення.
Спочатку знайдемо приватні похідні
Відомо, що необхідною умовою існування екстремуму є рівність нулю приватних похідних.
Тобто ми отримали одну критичну точку: . Досліджуємо її.
Далі проведемо дослідження цієї точки.
Для чого знайдемо попередньо приватні похідні другого порядку
Для точки :
.
Отже, точка не є точкою екстремуму.
Це означає, що точок екстремуму у функції
немає.
3. Визначити екстремуми функції , Якщо
.
Рішення.
Спочатку запишемо функцію Лагранжа
.
І досліджуємо її
(Враховуємо, що за умовою )
Тобто ми отримали чотири критичні точки.
В силу умови нам підходить тільки перша
.
Досліджуємо цю точку.
Обчислимо приватні похідні другого порядку:
Звідси отримуємо, що
Тепер продифференцируем рівняння зв'язку
.
Для точки
Далі отримуємо
Тобто ми отримали негативно певну квадратичну форму.
Отже, - Точка умовного локального максимуму.
.
3. Інтегральне числення функції одного змінного
1-3. Знайти невизначений інтеграл
1. .
Рішення.
.
2. .
Рішення.
.
3.
Рішення.
.
4. Обчислити .
Рішення.
.
5. Визначити площу плоскої фігури, обмеженої кривими
.
Рішення.
.