Міністерство освіти і науки України
Севастопольський національний технічний
університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання лабораторної роботи № 3 і 4
"Дисперсійний аналіз за допомогою системи
MINITAB для WINDOWS "

з навчальної дисципліни "Прикладна статистика"

для студентів економічних спеціальностей
всіх форм навчання
Севастополь
2008

Методичні вказівки розглянуті і затверджені на засіданні кафедри менеджменту і економіко-математичних методів протокол № "_____" від "______________" 2008р.
Рецензент: доцент департаменту обліку та аудиту Т. А. Мараховська

1. Мета роботи
Вивчення можливостей дисперсійного аналізу, для виявлення залежностей між економічними показниками та отримання практичних навичок роботи в системі MINITAB.

Теоретичні відомості
2.1. Дисперсійний аналіз
2.1.1. Однофакторний дисперсійний аналіз
При проведенні економічного аналізу часто необхідно оцінити вплив на цільову функцію y якісного фактора _x. Таким фактором можуть бути, наприклад, партії сировини, галузі промисловості, регіони і т.д.
Нехай дані про вплив деякого якісного фактора на кількісний у формі таблиці.
Таблиця 1.1. - Вплив якісного фактора на досліджуваний показник

		...
		....
		...
...	...	...	...

Модель залежності значень від фактора стовпців можна представити в наступному вигляді [1-4]:

де - Загальна середня, -Відхилення від загальної середньої для j-го рівня фактора, - Випадкова складова.
За вибірковими даними можна обчислити:
1) середнє для кожного рівня фактора (середнє по стовпцях)   x _j (j = 1,2, ... u), за m _j паралельним дослідам, де m _j - Число даних у стовпці j:
;
2) загальну середню по всіх N дослідам, тобто по всіх m _j паралельним дослідів на всіх рівнях фактора x _j ( ):
;
3) загальну суму квадратів відхилень Q _0:

4) суму квадратів, що характеризує вплив фактора x (відхилення між групами)
;
5) залишкову суму квадратів, що залежить від помилки e (відхилення всередині груп)
.
Тотожність дисперсійного аналізу має вигляд:

На підставі обчислених сум квадратів обчислюються:
1) оцінка дисперсії щодо загальної середньої :
,
де - Число ступенів свободи;
2) оцінка дисперсії «між групами», обумовленими рівнями x _j:

де число ступенів свободи .
3) вибіркова оцінка дисперсії «всередині груп», що обчислюється як середня оцінка за всі u групами:

з числом ступенів свободи
Числа ступенів свободи повинні задовольняти співвідношенню

Для того, щоб зробити висновок про те, чи впливає на досліджувані показники якісний фактор, зіставляють дисперсію між групами із загальною дисперсією. При цьому висувають наступні гіпотези:
H _0: , Тобто середні значення по всіх стовпцях рівні і рівні загальної середньої, звідки випливає, що середньоквадратичне відхилення за факторами одно середньоквадратичного відхилення за всіма даними і дорівнює нулю. Тобто якісний фактор не впливає на досліджуваний показник.
H _1: ,, Тобто середні значення по всіх стовпцях не рівні між собою і не рівні загальної середньої, звідки випливає, що середньоквадратичне відхилення по чинникам не збігається зі среднеквадратическим відхиленням за всіма даними. Тобто якісний фактор істотно впливає на досліджуваний показник.
Оцінювання значущості впливу фактора x виконується за F-критерієм Фішера, для чого формується наступне F-відношення:
.
Фактор x визнається незначний, якщо відповідне F-відношення виявляється менше критичного, обраного з таблиць для прийнятого рівня значущості і числа ступенів свободи порівнюваних дисперсій і _.
Табличне значення критерію Фішера визначається дл числа ступенів свободи u-1 і N-1 та ймовірності помилки .
Тобто якщо , То приймається нульова гіпотеза при відповідному рівні значущості про те, що досліджуваний фактор не робить істотного впливу на кількісні дані.
Якщо , То нульова гіпотеза відхиляється і приймається альтернативна при відповідному рівні значущості. Виходячи з цього, можна зробити висновок про те, що досліджуваний фактор істотно впливає на кількісні дані.
Результати дисперсійного аналізу зводяться в таблицю 2.

 

Таблиця 2 Однофакторний дисперсійний аналіз

Джерело мінливості	Сума квадратів відхилень	Число ступенів свободи	Оцінка дисперсії	F - відношення
Між групами
Всередині груп (Помилка e)
Загальна сума

- Число даних у стовпці, u-число стовпців, m - число рядків.
2.1.2. Двофакторний дисперсійний аналіз при перехресній
класифікації чинників
Часто необхідно якісно оцінити значимість чи незначимість впливу на цільову функцію u двох одночасно діючих факторів x ₁ і x _2. Такими факторами можуть бути, наприклад, форма власності підприємства x ₁ і вид економічної діяльності x _2.
Модель двофакторного дисперсійного аналізу має вигляд [1-4]:

де - Загальна середня, -Відхилення від загальної середньої для фактора x1, - Відхилення від загальної середньої для фактора x2, - Відхилення від загальної середньої для взаємодії двох факторів, - Випадкова складова.
У цьому випадку загальну суму квадратів відхилень Q ₀ можна розбити на чотири суми:
1) Q _x1-за фактором x _1,
2) Q _x2-за фактором x _2,
3) Q _{e-залишкову} суму квадратів, що залежить від помилки e,
4) Q _{x1x2-залежну} від взаємодії (твору) x ₁ x ₂ двох факторів.
У цьому випадку за вибірковими значеннями обчислюються:
1) середнє для кожного рівня фактора   x _1:
;
2) середнє   для кожного рівня фактора x _2:
;
3) загальну середню по всіх N дослідам, тобто по всіх m паралельним дослідів на всіх поєднаннях рівнів факторів x ₁ і x ₂ ( ):
;
4) середнє за m паралельним дослідам для кожного поєднання рівнів факторів x ₁ і x _2:
.
У табл.2 показані дані повного факторного експерименту з однаковим числом спостережень в осередках.
Таблиця 3. - Дані експерименту і розрахунки середніх при двофакторний дисперсійний аналіз

j =		1	2	...
i =	k			...
1	1
	2
	...		...
	m
. . .	1
	2
	...
	m
	1
	2
	...
	m

У табл.2 обчислюється по виділеній частині стовпця, що містить m паралельних дослідів.
Загальна сума квадратів відхилень Q ₀ розраховується за формулою:

Цю суму можна розкласти на 4 складові:
1) суму, що характеризує вплив фактора x _1:
;
2) суму, що характеризує вплив фактора x _2:
;
3) суму, що характеризує результат впливу взаємодії x ₁ x _2:

4) суму, що характеризує вплив помилки e:

Вказані п'ять сум, поділені на відповідне число ступенів свободи, дають п'ять різних оцінок дисперсії, якщо вплив факторів x ₁ і x ₂ незначимо. Для проведення дисперсійного аналізу обчислюються наступні дисперсії:
1) оцінка дисперсії щодо загальної середньої :
,
де -Загальна кількість спостережень, а число ступенів свободи
;
2) оцінка дисперсії «між рядками», обумовленими рівнями x _1j:
,
де - Число ступенів свободи.
3) оцінка дисперсії «між стовпцями», відповідними рівнями фактора x _2:
,
де - Число ступенів свободи;
4) оцінка дисперсії «між серіями» по m паралельним дослідам кожна

з числом ступенів свободи ;
5) оцінка дисперсії «всередині серій» по m паралельним дослідам, що обчислюється як середня оцінка за всі u ₁ u ₂ серіями:

з числом ступенів свободи .
Числа ступенів свободи повинні задовольняти співвідношенню

Статистичне оцінювання значущості впливу факторів x _1, x ₂ і взаємодії x ₁ x ₂ виконуються за F-критерієм Фішера, для чого формуються такі F-відношення:
, , .
Фактор x ₁ або x _2, або взаємодія x ₁ x ₂ визнаються незначний, якщо відповідне F-відношення виявляється менше критичного, обраного з таблиць для прийнятого рівня значущості і числа ступенів свободи порівнюваних дисперсій.
Для того, щоб зробити висновок про те, чи впливають на досліджувані показники якісні фактори, висувають наступні гіпотези:
H _0: , Тобто середні значення за всіма стовпцями дорівнюють фактор стовпця не робить впливу на досліджуваний показник.
H _1: ,, Тобто середні значення по всіх стовпцях не рівні фактор стовпця робить істотний вплив на досліджуваний показник.
H _0: , Тобто середні значення по всіх рядках дорівнюють фактор рядки не робить впливу на досліджуваний показник.
H _1: ,, Тобто середні значення по всіх рядках не рівні фактор рядка робить істотний вплив на досліджуваний показник.
H _0: , Тобто відхилення взаємодії факторів дорівнює нулю і взаємодія не значимо..
H _1: , Фактор взаємодії значущий ..
Якщо , То приймається нульова гіпотеза при відповідному рівні значущості про те, що досліджуваний фактор не робить істотного впливу на кількісні дані.
Якщо , То нульова гіпотеза відхиляється і приймається альтернативна при відповідному рівні значущості. Виходячи з цього, можна зробити висновок про те, що досліджуваний фактор істотно впливає на кількісні дані.
Результати двофакторного дисперсійного аналізу представляються у вигляді табл.3.
Таблиця 3. - Двофакторний дисперсійний аналіз при рівному числі спостережень в осередках

Вид мінливості	Сума квадратів відхилень	Число ступенів свободи	Оцінка дисперсії	F - відношення
Від фактора x1
Від фактора x2
Від взаємо-дії x1x2
Залишкова (Від e)
Загальна

m - число даних в рядку (число повторів у клітинці), - Число стовпців, - Число рядків.

3. Дисперсійний аналіз в системі MINITAB
Для проведення дисперсійного аналізу в системі MINITAB необхідно вибрати з меню Stat> ANOVA.
Різні можливості проведення дисперсійного аналізу представлені такими командами.
Команда Oneway дозволяє провести однофакторний дисперсійний аналіз, якщо значення вихідного і впливає параметра записані в двох стовпчиках.
Команда Oneway (Unstacked) дозволяє провести однофакторний дисперсійний аналіз, якщо значення вихідного параметра розбито на групи і значення для кожної групи записані в різних стовпцях.
Команда Twoway дозволяє провести двухфакторной аналіз для збалансованих даних (з однаковою кількістю значень у кожній клітинці).
Команда Balanced ANOVA дозволяє провести багатофакторний дисперсійний аналіз для збалансованих моделей з перехресної та ієрархічної класифікації.
Команда General Linear Model дозволяє провести багатофакторний незбалансований дисперсійний аналіз для моделей з перехресної та ієрархічної класифікації.

3.2.1. Однофакторний дисперсійний аналіз

Для проведення однофакторного дисперсійного аналізу необхідно підготувати дані у двох стовпцях (у першому - вхідна змінна, якісна, у другому - вихідна змінна), вибрати з меню Stat> ANOVA> Oneway і заповнити відкрилося діалогове вікно.
Діалогове вікно.
1. Відгук (Response) - виберіть стовпець, що містить вихідну (залежну) змінну. Стовпець повинен містити лише числові значення.
2. Фактор (Factor) - виберіть стовпець, що містить якісну зміну, вплив якої досліджується. Фактор може мати як числові, так і символьні значення.
3. Зберегти залишки (Store Residuals), вибирається, якщо необхідно зберегти залишки для подальшого аналізу. Залишки зберігаються у вільному стовпці.
4. Зберегти оцінки (Store fits) Для однофакторного аналізу оцінки це середні значення для кожного рівня фактора.
5. Графіки <Graphs> представляють дані у вигляді точкових і блокових діаграм для кожної групи з зазначеним середнім значенням.

Приклад 1

Нехай дані про відсоток зносу обладнання для 12 підприємств різних галузей промисловості та форм власності представлені наступною таблицею.
Таблиця 4.

Вихідні дані

One-Way Analysis of Variance
Analysis of Variance for d
Source DF SS MS F P
field 1 102.1 102.1 1.55 0.241
Error 10 656.8 65.7
Total 11 758.9
Individual 95% CIs For Mean
Based on Pooled StDev
Level N Mean StDev -------+---------+---------+---------
Харчова 6 45.667 9.852 (-----------*-----------)
Машин 6 51.500 5.857 (-----------*-----------)
-------+---------+---------+---------
Pooled StDev = 8.105 42.0 48.0 54.0

One-Way Analysis of Variance
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Factor 1 182.7 182.7 3.17 0.105
Error 10 576.2 57.6
Total 11 758.9
Individual 95% CIs For Mean
Based on Pooled StDev
Level N Mean StDev ------+---------+---------+---------+
field1 липня 45.286 9.050 (---------*----------)
field2 травня 53.200 4.604 (------------*-----------)
------+---------+---------+---------+
Pooled StDev = 7.591 42.0 48.0 54.0 60.0

Analysis of Variance (Balanced Designs)
Factor Type Levels Values
field fixed 2 Харчова машиностр
owner fixed 2 приват госуд
Analysis of Variance for d
Source DF SS MS F P
field 1 102.08 102.08 2.14 0.182
owner 1 184.08 184.08 3.86 0.085
field * owner 1 90.75 90.75 1.90 0.205
Error серпня 382.00 47.75
Total 11 758.92