Дискретизація звичайних і двовимірних сигналів

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати


Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки

кафедра РЕЗ

реферат на тему:

"Дискретизація звичайних і двовимірних сигналів"

МІНСЬК, 2009

Дискретизація

Виключно важливим положенням теорії зв'язку, на якому заснована вся сучасна радіотехніка, є так звана теорема відліків, або теорема Котельникова. Ця теорема дозволяє встановити співвідношення між безперервними сигналами, якими є більшість реальних інформаційних сигналів - мова, музика, електричні сигнали, відповідні телевізійним зображенням, сигнали в ланцюгах різних радіотехнічних систем тощо, і значеннями цих сигналів лише в окремі моменти часу - так званими відліками. На використанні цієї зв'язку будується вся сучасна цифрова радіотехніка - цифрові методи передачі й зберігання звукових і телевізійних сигналів, цифрові системи телефонного і стільникового зв'язку, системи цифрового супутникового телебачення і т.д. Можна сказати більше: майбутнє всієї техніки обробки сигналів - у її цифровою реалізації. Пройде ще 10 - 20 років - і ми будемо згадувати про традиційних аналогових методах формування та прийому сигналів, їх обробки і зберігання лише в теоретичному плані. Вся практична радіотехніка, пов'язана з обробкою інформаційних сигналів, перейде на цифрову реалізацію.

Теорема дискретизації, або, як її ще називають, теорема Котельникова, теорема Вітакера, формулюється наступним чином: безперервна функція Х (t) з обмеженим спектром, тобто не має у своєму спектрі

(1)

складових з частотами, що лежать за межами смуги f Î (-Fm, Fm), повністю визначається послідовністю своїх відліків в дискретні моменти часу X (ti), що прямують з кроком D t <1/Fm.

Доказ сформульованої теореми грунтується на однозначним дотриманням між сигналами і відповідними їм спектрами. Іншими словами, якщо сигнали однакові, то й відповідні їм спектри також однакові. І, навпаки, якщо спектри двох сигналів однакові, то і відповідні сигнали також однакові.

Наведемо найпростіше доказ теореми Котельникова, для чого спочатку покажемо, яким чином спектр дискретної послідовності відліків {Х (ti)} пов'язаний зі спектром безперервної функції Х (t).

Послідовність відліків безперервної функції Х (t) можна представити у вигляді добутку Х (t) на періодичну послідовність d-імпульсів (гратчасту функцію) з періодом t:

(2)

Тоді спектр (перетворення Фур'є) дискретизованного функції Х (ti) можна записати в наступному вигляді:

(3)

або, з урахуванням "фільтруючого" властивості d-функції, вираз (3) придбає свою остаточну форму:

(4)

Неважко помітити, що спектр періодично діскрeтізованной функції Х (i t) також стає періодичним, з періодом 1 / t.

Дійсно,

(5)

Такий же результат, але трохи іншим способом можна отримати, якщо згадати, що твору функцій в тимчасовій області відповідає згортка їх спектрів, і тоді

(6)

Спектр "гратчастої функції" також має вигляд періодичної послідовності d-імпульсів, але вже за частотою і з періодом f = 1 / t, тобто

(7)

Провівши згортку і з урахуванням "фільтруючого властивості" d-функції отримаємо

(8)

Таким чином, спектр діскрeтізованной функції Х (i D t) виходить шляхом періодичного, з періодом 1 / t, повторення спектру вихідної функції Х (t).

З останнього виразу видно також, що для k = 0

(9)

іншими словами, складова спектру діскрeтізованной функції для k = = 0 з точністю до постійного множника 1 / t збігається зі спектром вихідної неперервної функції Х (t). Отже, якщо будь-яким чином можна виділити з повного (періодичного) спектру послідовності Х (ti) лише складову з k = 0, то тим самим з дискретної послідовності Х (ti) відновиться безперервна функція Х (t).

З виразу (9) випливає, що пристроєм, що дозволяє виділити із спектру дискретизованного сигналу Х (ti) складову, повністю збігається зі спектром вихідного сигналу Х (t), є ідеальний фільтр нижніх частот (ФНЧ) з частотною характеристикою виду

(10)

При цьому спектри, відповідні різним значенням k, можуть бути розділені тільки за умови їх неперекриваемості. Неперекриваемость ж спектрів забезпечується при виконанні умови

Fm ≥ 1 / Δ t - Fm або Δ t ≤ 1 / 2 Fm, (11)

звідки й випливає значення інтервалу дискретизації Δ t, що забезпечує відновлення вихідного сигналу Х (t) за послідовністю його відліків.

Імпульсна перехідна характеристика фільтра, відновлюючого безперервний сигнал з дискретної послідовності його відліків, може бути отримана як перетворення Фур'є від частотної характеристики (11) і має вигляд

h (t) = F-1 {H (f)} = sinc (2 p Fm t). (12)

Пропускаючи дискретну послідовність Х (ti) через фільтр з імпульсною характеристикою h (t), отримаємо вихідний безперервний сигнал:

(13)

Процес дискретизації безперервної функції X (t) і її відновлення з дискретної послідовності відліків X (ti) ілюструється рис.1:


Рис. 1.

Таким чином, з дискретної послідовності відліків функції Х (i D t) завжди можна відновити вихідну безперервну функцію Х (t), якщо відліки бралися з інтервалом D t £ 1/2Fm. Це говорить про те, що не існує принципових відмінностей між безперервними і дискретними сигналами. Будь-який безперервний сигнал з обмеженим спектром (а всі реальні сигнали мають обмежений спектр) може бути перетворений в дискретну послідовність, а потім з абсолютною точністю відновлений по послідовності своїх дискретних значень. Останнє дозволяє також розглядати джерела безперервних повідомлень як джерела дискретних послідовностей, переходити, де це необхідно і зручно, до аналізу дискретних повідомлень, здійснювати передачу безперервних повідомлень у дискретній формі і так далі.

Практичні питання дискретизації реальних сигналів

Повідомлення, що передаються по каналах зв'язку (мова, музика, телевізійний сигнал, телеметричні дані і т.д.), на практиці є функціями з обмеженим спектром. Наприклад, верхня частота спектра F m приблизно дорівнює: для мови - 3,5 кГц, для музики - 10 - 12 кГц (задовільний відтворення), для телевізійних сигналів - 6 МГц.

Деяка некоректність полягає в тому, що теорема відліків доведена для функцій Х (t), заданих на необмеженій інтервалі t Î (- ¥, ¥). Відповідно відліки (i D t), i = 0, ± 1, ± 2,. . } Являють собою нескінченну послідовність. Однак у реальних умовах повідомлення Х (t) мають початок і кінець, а отже, кінцеву тривалість T <¥. Умови фінітного спектру і кінцевої тривалості повідомлення, строго кажучи, несумісні. Спектр функції з кінцевою тривалістю теоретично має значення, відмінні від нуля, при будь-яких значеннях частоти F Î (- ¥, ¥). Тоді при будь-якому виборі кроку дискретизації D t сусідні бічні смуги спектру (див. рис.1) перекриваються, і на виході ідеального фільтра нижніх частот з частотою зрізу F = 1 / 2 D t буде відновлений сигнал Х * (t), не повністю збігається з вихідним сигналом Х (t). По-перше, відсікаються частотні складові спектра з | f |> F. По-друге, в смугу пропускання фільтра потрапляють "хвости" періодичного продовження спектру.

Разом з тим завжди можна задати крок дискретизації D t (або верхню частоту спектра F m = 1 / 2 D t) так, щоб енергія Е D, зосереджена в відсікаються "хвостах" спектру (на частотах f> 1 / 2 D t), була пренебрежимо мала в порівнянні з енергією всього сигналу Е x. Помилка відновлення сигналу Х * (t) на виході фільтра залежить від ставлення Е D / Е x і може бути вибором D t (або F = 1 / 2 D t) зроблена менше будь-якої заданої величини. Цілком очевидно, що якщо спотворення повідомлень, зумовлені тимчасової дискретизацією, будуть значно менше спотворень, викликаних перешкодами в каналі зв'язку і допустимих технічними умовами для даної системи передачі інформації, то такі спотворення істотного значення не мають і можуть не враховуватися.

Таким чином, приблизно можна прийняти, що реальні повідомлення мають кінцеву тривалість T і одночасно їх спектри обмежені за частотою величиною F m. При цьому нескінченний ряд Котельникова (13) перетвориться в кінцевий з числом ненульових відліків n, приблизно рівним відношенню тривалості повідомлення до інтервалу дискретності:

(14)

Основні формули теореми відліків для сигналів, відмінних від нуля на кінцевому інтервалі t Î (0, T), приймають вигляд:

(15)

(16)

(17)

Нарешті, коли сигнал {X (t), t Î (0, T)} задано кінцевим числом відліків X (0), X (D t),. ., X (k D t), у формулах (15) - (17) на відміну від відповідних точних формул слід було б писати знак наближеної рівності (@). Проте зазвичай цього не роблять.

Ще одним наближенням, яке не може бути виконано в дійсності, є припущення про "ідеальності" амплітудно-частотної характеристики відновлюючого фільтра H (f). Справа в тому, що фільтр з ідеально прямокутної АЧХ має ІПХ нескінченної тривалості і не може бути реалізований на практиці. Фільтри ж з кінцевою ІПХ мають теоретично нескінченну смугу. Неважко показати, що вплив кінцевої тривалості ІПХ відновлюючого фільтра на сигнал Х * (t) має той же характер, що і обмеженість інтервалу спостереження функції Х (t).

Отже, для фільтра НЧ із заданою АЧХ завжди можна вибрати крок дискретизації D t таким, щоб енергія Е D, що просочується через "хвости" його амплітудно-частотної характеристики (на частотах f> 1 / 2 D t), була пренебрежимо мала в порівнянні з енергією всього сигналу Е x. У зв'язку з цим на практиці крок дискретизації реальних повідомлень Х (t) роблять трохи меншим, а частоту дискретизації, відповідно, - дещо більшою (принаймні, на 30 - 50%), ніж наказує теорема Котельникова.

Дискретизація двовимірних сигналів (зображень)

Все більшу частину переданих з використанням РТС ПІ повідомлень, особливо останнім часом, складають сигнали, які є функціями не тільки часу - λ (t) (мова, музика і т.п.), але і ряду інших змінних, наприклад, λ (x , y), λ (x, y, t) (статичні і динамічні зображення, карти фізичних полів і т.п.). У зв'язку з цим природним є питання: чи можна так, як це робиться для тимчасових сигналів (або інших функцій однієї змінної), виробляти дискретизацію багатовимірних сигналів (функцій кількох змінних)?

Відповідь на це питання дає теорема дискретизації для двовимірних (або в загальному випадку - для багатовимірних) сигналів, яка стверджує: функція двох змінних λ (x, y), двовимірне перетворення Фур'є якої

(18)

дорівнює нулю при fx ≥ fx max і fy ≥ fy max, однозначно визначається своїми значеннями в рівновіддалених точках площини змінних x і y, якщо інтервал дискретизації задовольняє умові Δ x ≤ 1 / 2 fx max, Δ y ≤ 1 / 2 fy. Процедура дискретизації двовимірної функції ілюструється прикладом, наведеним на рис.2 - 4.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Доказ двовимірної теореми дискретизації засноване, так само як і для одновимірного випадку, на однозначним дотриманням між сигналами спектрами: однаковим зображенням (двовимірним функцій) відповідають однакові спектри, і навпаки, якщо спектри двох функцій однакові, то й самі ці функції рівні один одному .

Перетворення Фур'є (спектр) дискретизованного двовимірної функції FF (i D x, j D y)} виходить періодичним продовженням спектру вихідної неперервної функції λ (x, y) в точки частотної площини (k D fx, l D fy) (рис. 5), де fx і fy - так звані "просторові частоти", які є аналогами звичайної "тимчасової" частоти і відображають швидкість зміни двовимірної функції λ (x, y) за відповідними координатами (великі фрагменти зображення - низькі частоти, дрібні деталі - високі частоти ).



Рис. 5.

Аналітично це можна записати наступним чином:

(18)

З рис.1.8. видно, що якщо дотримується умова неперекриваемості періодичних продовжень спектру FF (i D x, j D y)}, а це справедливо при Δ x ≤ 1 / 2 fx max, Δ y ≤ 1 / 2 fy max, то за допомогою ідеального двовимірного ФНЧ з частотною характеристикою виду

(19)

із спектру дискретизованного функції FF (i D x, j D y)} можна абсолютно точно виділити спектр вихідної неперервної функції FF (x, y)} і, отже, відновити саму функцію.

Таким чином, видно, що не існує принципових відмінностей у дискретизації між одновимірними і двовимірними (багатовимірними) функціями. Результатом дискретизації в обох випадках є сукупність відліків функції, відмінності можуть бути лише у величині кроку дискретизації, числі відліків і порядку їх слідування.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Лідовскій В.І. Теорія інформації. - М., "Вища школа", 2002р. - 120с.

  2. Метрологія та радіовимірювань в телекомунікаційних системах. Підручник для ВУЗів. / В.І. Нефедов, В.І. Халкин, Є.В. Федоров та ін - М.: Вища школа, 2001 р. - 383с.

  3. Цапенко М.П. Вимірювальні інформаційні системи. -. - М.: Енергоатом издат, 2005. - 440С.

  4. Зюко А.Г., Кловський Д.Д., Назаров М.В., Фінк Л.М. Теорія передачі сигналів. М: Радіо і зв'язок, 2001 р. -368 с.

  5. Б. Скляр. Цифрова зв'язок. Теоретичні основи та практичне застосування. Ізд.2-е, испр.: Пер. з англ. - М.: Видавничий будинок "Вільямс", 2003 р. - 1104 с.


Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Комунікації, зв'язок, цифрові прилади і радіоелектроніка | Реферат
35кб. | скачати


Схожі роботи:
Дискретизація сигналу
Теорія збурень лінійних двовимірних систем
Рішення звичайних диференціальних рівнянь
Аудит витрат по звичайних видах діяльності
Облік витрат від звичайних видів діяльності
Облік доходів від звичайних видів діяльності
Дослідження однокрокових методів розв язання звичайних диференційн 2
Дослідження однокрокових методів розвязання звичайних диференційних рівнянь 2
Дослідження однокрокових методів розв язання звичайних диференційн
© Усі права захищені
написати до нас