Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
кафедра РЕЗ
реферат на тему:
"Дискретизація звичайних і двовимірних сигналів"
МІНСЬК, 2009
Дискретизація
Виключно важливим положенням теорії зв'язку, на якому заснована вся сучасна радіотехніка, є так звана теорема відліків, або теорема Котельникова. Ця теорема дозволяє встановити співвідношення між безперервними сигналами, якими є більшість реальних інформаційних сигналів - мова, музика, електричні сигнали, відповідні телевізійним зображенням, сигнали в ланцюгах різних радіотехнічних систем тощо, і значеннями цих сигналів лише в окремі моменти часу - так званими відліками. На використанні цієї зв'язку будується вся сучасна цифрова радіотехніка - цифрові методи передачі й зберігання звукових і телевізійних сигналів, цифрові системи телефонного і стільникового зв'язку, системи цифрового супутникового телебачення і т.д. Можна сказати більше: майбутнє всієї техніки обробки сигналів - у її цифровою реалізації. Пройде ще 10 - 20 років - і ми будемо згадувати про традиційних аналогових методах формування та прийому сигналів, їх обробки і зберігання лише в теоретичному плані. Вся практична радіотехніка, пов'язана з обробкою інформаційних сигналів, перейде на цифрову реалізацію.
Теорема дискретизації, або, як її ще називають, теорема Котельникова, теорема Вітакера, формулюється наступним чином: безперервна функція Х (t) з обмеженим спектром, тобто не має у своєму спектрі
(1)
складових з частотами, що лежать за межами смуги f Î (-Fm, Fm), повністю визначається послідовністю своїх відліків в дискретні моменти часу X (ti), що прямують з кроком D t <1/Fm.
Доказ сформульованої теореми грунтується на однозначним дотриманням між сигналами і відповідними їм спектрами. Іншими словами, якщо сигнали однакові, то й відповідні їм спектри також однакові. І, навпаки, якщо спектри двох сигналів однакові, то і відповідні сигнали також однакові.
Наведемо найпростіше доказ теореми Котельникова, для чого спочатку покажемо, яким чином спектр дискретної послідовності відліків {Х (ti)} пов'язаний зі спектром безперервної функції Х (t).
Послідовність відліків безперервної функції Х (t) можна представити у вигляді добутку Х (t) на періодичну послідовність d-імпульсів (гратчасту функцію) з періодом t:
(2)
Тоді спектр (перетворення Фур'є) дискретизованного функції Х (ti) можна записати в наступному вигляді:
(3)
або, з урахуванням "фільтруючого" властивості d-функції, вираз (3) придбає свою остаточну форму:
(4)
Неважко помітити, що спектр періодично діскрeтізованной функції Х (i t) також стає періодичним, з періодом 1 / t.
Дійсно,
(5)
Такий же результат, але трохи іншим способом можна отримати, якщо згадати, що твору функцій в тимчасовій області відповідає згортка їх спектрів, і тоді
(6)
Спектр "гратчастої функції" також має вигляд періодичної послідовності d-імпульсів, але вже за частотою і з періодом f = 1 / t, тобто
(7)
Провівши згортку і з урахуванням "фільтруючого властивості" d-функції отримаємо
(8)
Таким чином, спектр діскрeтізованной функції Х (i D t) виходить шляхом періодичного, з періодом 1 / t, повторення спектру вихідної функції Х (t).
З останнього виразу видно також, що для k = 0
(9)
іншими словами, складова спектру діскрeтізованной функції для k = = 0 з точністю до постійного множника 1 / t збігається зі спектром вихідної неперервної функції Х (t). Отже, якщо будь-яким чином можна виділити з повного (періодичного) спектру послідовності Х (ti) лише складову з k = 0, то тим самим з дискретної послідовності Х (ti) відновиться безперервна функція Х (t).
З виразу (9) випливає, що пристроєм, що дозволяє виділити із спектру дискретизованного сигналу Х (ti) складову, повністю збігається зі спектром вихідного сигналу Х (t), є ідеальний фільтр нижніх частот (ФНЧ) з частотною характеристикою виду
(10)
При цьому спектри, відповідні різним значенням k, можуть бути розділені тільки за умови їх неперекриваемості. Неперекриваемость ж спектрів забезпечується при виконанні умови
Fm ≥ 1 / Δ t - Fm або Δ t ≤ 1 / 2 Fm, (11)
звідки й випливає значення інтервалу дискретизації Δ t, що забезпечує відновлення вихідного сигналу Х (t) за послідовністю його відліків.
Імпульсна перехідна характеристика фільтра, відновлюючого безперервний сигнал з дискретної послідовності його відліків, може бути отримана як перетворення Фур'є від частотної характеристики (11) і має вигляд
h (t) = F-1 {H (f)} = sinc (2 p Fm t). (12)
Пропускаючи дискретну послідовність Х (ti) через фільтр з імпульсною характеристикою h (t), отримаємо вихідний безперервний сигнал:
(13)
Процес дискретизації безперервної функції X (t) і її відновлення з дискретної послідовності відліків X (ti) ілюструється рис.1:
Рис. 1.
Таким чином, з дискретної послідовності відліків функції Х (i D t) завжди можна відновити вихідну безперервну функцію Х (t), якщо відліки бралися з інтервалом D t £ 1/2Fm. Це говорить про те, що не існує принципових відмінностей між безперервними і дискретними сигналами. Будь-який безперервний сигнал з обмеженим спектром (а всі реальні сигнали мають обмежений спектр) може бути перетворений в дискретну послідовність, а потім з абсолютною точністю відновлений по послідовності своїх дискретних значень. Останнє дозволяє також розглядати джерела безперервних повідомлень як джерела дискретних послідовностей, переходити, де це необхідно і зручно, до аналізу дискретних повідомлень, здійснювати передачу безперервних повідомлень у дискретній формі і так далі.
Практичні питання дискретизації реальних сигналів
Повідомлення, що передаються по каналах зв'язку (мова, музика, телевізійний сигнал, телеметричні дані і т.д.), на практиці є функціями з обмеженим спектром. Наприклад, верхня частота спектра F m приблизно дорівнює: для мови - 3,5 кГц, для музики - 10 - 12 кГц (задовільний відтворення), для телевізійних сигналів - 6 МГц.
Деяка некоректність полягає в тому, що теорема відліків доведена для функцій Х (t), заданих на необмеженій інтервалі t Î (- ¥, ¥). Відповідно відліки {Х (i D t), i = 0, ± 1, ± 2,. . } Являють собою нескінченну послідовність. Однак у реальних умовах повідомлення Х (t) мають початок і кінець, а отже, кінцеву тривалість T <¥. Умови фінітного спектру і кінцевої тривалості повідомлення, строго кажучи, несумісні. Спектр функції з кінцевою тривалістю теоретично має значення, відмінні від нуля, при будь-яких значеннях частоти F Î (- ¥, ¥). Тоді при будь-якому виборі кроку дискретизації D t сусідні бічні смуги спектру (див. рис.1) перекриваються, і на виході ідеального фільтра нижніх частот з частотою зрізу F = 1 / 2 D t буде відновлений сигнал Х * (t), не повністю збігається з вихідним сигналом Х (t). По-перше, відсікаються частотні складові спектра з | f |> F. По-друге, в смугу пропускання фільтра потрапляють "хвости" періодичного продовження спектру.
Разом з тим завжди можна задати крок дискретизації D t (або верхню частоту спектра F m = 1 / 2 D t) так, щоб енергія Е D, зосереджена в відсікаються "хвостах" спектру (на частотах f> 1 / 2 D t), була пренебрежимо мала в порівнянні з енергією всього сигналу Е x. Помилка відновлення сигналу Х * (t) на виході фільтра залежить від ставлення Е D / Е x і може бути вибором D t (або F = 1 / 2 D t) зроблена менше будь-якої заданої величини. Цілком очевидно, що якщо спотворення повідомлень, зумовлені тимчасової дискретизацією, будуть значно менше спотворень, викликаних перешкодами в каналі зв'язку і допустимих технічними умовами для даної системи передачі інформації, то такі спотворення істотного значення не мають і можуть не враховуватися.
Таким чином, приблизно можна прийняти, що реальні повідомлення мають кінцеву тривалість T і одночасно їх спектри обмежені за частотою величиною F m. При цьому нескінченний ряд Котельникова (13) перетвориться в кінцевий з числом ненульових відліків n, приблизно рівним відношенню тривалості повідомлення до інтервалу дискретності:
(14)
Основні формули теореми відліків для сигналів, відмінних від нуля на кінцевому інтервалі t Î (0, T), приймають вигляд:
(15)
(16)
(17)
Нарешті, коли сигнал {X (t), t Î (0, T)} задано кінцевим числом відліків X (0), X (D t),. ., X (k D t), у формулах (15) - (17) на відміну від відповідних точних формул слід було б писати знак наближеної рівності (@). Проте зазвичай цього не роблять.
Ще одним наближенням, яке не може бути виконано в дійсності, є припущення про "ідеальності" амплітудно-частотної характеристики відновлюючого фільтра H (f). Справа в тому, що фільтр з ідеально прямокутної АЧХ має ІПХ нескінченної тривалості і не може бути реалізований на практиці. Фільтри ж з кінцевою ІПХ мають теоретично нескінченну смугу. Неважко показати, що вплив кінцевої тривалості ІПХ відновлюючого фільтра на сигнал Х * (t) має той же характер, що і обмеженість інтервалу спостереження функції Х (t).
Отже, для фільтра НЧ із заданою АЧХ завжди можна вибрати крок дискретизації D t таким, щоб енергія Е D, що просочується через "хвости" його амплітудно-частотної характеристики (на частотах f> 1 / 2 D t), була пренебрежимо мала в порівнянні з енергією всього сигналу Е x. У зв'язку з цим на практиці крок дискретизації реальних повідомлень Х (t) роблять трохи меншим, а частоту дискретизації, відповідно, - дещо більшою (принаймні, на 30 - 50%), ніж наказує теорема Котельникова.
Дискретизація двовимірних сигналів (зображень)
Все більшу частину переданих з використанням РТС ПІ повідомлень, особливо останнім часом, складають сигнали, які є функціями не тільки часу - λ (t) (мова, музика і т.п.), але і ряду інших змінних, наприклад, λ (x , y), λ (x, y, t) (статичні і динамічні зображення, карти фізичних полів і т.п.). У зв'язку з цим природним є питання: чи можна так, як це робиться для тимчасових сигналів (або інших функцій однієї змінної), виробляти дискретизацію багатовимірних сигналів (функцій кількох змінних)?
Відповідь на це питання дає теорема дискретизації для двовимірних (або в загальному випадку - для багатовимірних) сигналів, яка стверджує: функція двох змінних λ (x, y), двовимірне перетворення Фур'є якої
(18)
дорівнює нулю при fx ≥ fx max і fy ≥ fy max, однозначно визначається своїми значеннями в рівновіддалених точках площини змінних x і y, якщо інтервал дискретизації задовольняє умові Δ x ≤ 1 / 2 fx max, Δ y ≤ 1 / 2 fy. Процедура дискретизації двовимірної функції ілюструється прикладом, наведеним на рис.2 - 4.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Доказ двовимірної теореми дискретизації засноване, так само як і для одновимірного випадку, на однозначним дотриманням між сигналами спектрами: однаковим зображенням (двовимірним функцій) відповідають однакові спектри, і навпаки, якщо спектри двох функцій однакові, то й самі ці функції рівні один одному .
Перетворення Фур'є (спектр) дискретизованного двовимірної функції FF {λ (i D x, j D y)} виходить періодичним продовженням спектру вихідної неперервної функції λ (x, y) в точки частотної площини (k D fx, l D fy) (рис. 5), де fx і fy - так звані "просторові частоти", які є аналогами звичайної "тимчасової" частоти і відображають швидкість зміни двовимірної функції λ (x, y) за відповідними координатами (великі фрагменти зображення - низькі частоти, дрібні деталі - високі частоти ).
Рис. 5.
Аналітично це можна записати наступним чином:
(18)
З рис.1.8. видно, що якщо дотримується умова неперекриваемості періодичних продовжень спектру FF {λ (i D x, j D y)}, а це справедливо при Δ x ≤ 1 / 2 fx max, Δ y ≤ 1 / 2 fy max, то за допомогою ідеального двовимірного ФНЧ з частотною характеристикою виду
(19)
із спектру дискретизованного функції FF {λ (i D x, j D y)} можна абсолютно точно виділити спектр вихідної неперервної функції FF {λ (x, y)} і, отже, відновити саму функцію.
Таким чином, видно, що не існує принципових відмінностей у дискретизації між одновимірними і двовимірними (багатовимірними) функціями. Результатом дискретизації в обох випадках є сукупність відліків функції, відмінності можуть бути лише у величині кроку дискретизації, числі відліків і порядку їх слідування.
ЛІТЕРАТУРА
Лідовскій В.І. Теорія інформації. - М., "Вища школа", 2002р. - 120с.
Метрологія та радіовимірювань в телекомунікаційних системах. Підручник для ВУЗів. / В.І. Нефедов, В.І. Халкин, Є.В. Федоров та ін - М.: Вища школа, 2001 р. - 383с.
Цапенко М.П. Вимірювальні інформаційні системи. -. - М.: Енергоатом издат, 2005. - 440С.
Зюко А.Г., Кловський Д.Д., Назаров М.В., Фінк Л.М. Теорія передачі сигналів. М: Радіо і зв'язок, 2001 р. -368 с.
Б. Скляр. Цифрова зв'язок. Теоретичні основи та практичне застосування. Ізд.2-е, испр.: Пер. з англ. - М.: Видавничий будинок "Вільямс", 2003 р. - 1104 с.