Для прикладу візьмемо дані та результати обчислень з п.1. і п.2., де визначено, що перший і другий ресурс використовуються повністю, і, відповідно, саме їх потрібно замовляти додатково. Але в таких обсягах, щоб зберегти структуру раніше знайденої програми виробництва, і з умовою, що від постачальника можна отримати додатково не більше однієї третини спочатку виділеного обсягу ресурсу будь-якого виду. Отже, завдання зводитися до знаходження обсягів придбання додаткових ресурсів, що задовольняють вказаним умовам, і обчисленню додаткової можливого прибутку.
Тоді, нехай - Вектор додаткових обсягів ресурсів:

при цьому, для збереження структури виробничої програми, повинне виконуватися умова стійкості двоїстих оцінок:

Оскільки , То завдання полягає в тому, щоб знайти вектор:

максимізує сумарний приріст прибутку:

(3.1)

за умови збереження структури виробничої програми:

(3.2)

припускаючи, що можна сподіватися отримати додатково не більше однієї третини початкового об'єму ресурсу кожного виду, тобто:

(3.3)

причому додаткові обсяги ресурсів, за змістом задачі, не можуть бути негативними, тобто:

,

(3.4)

Оскільки нерівності (3.2) і (3.3) повинні виконуватися одночасно, то їх можна переписати у вигляді однієї системи нерівностей:

, ƒ " ...

(3.5)

Таким чином, отримана завдання лінійного програмування: максимізувати функцію (3.1) за умов (3.4) і (3.5).
Це завдання з двома змінними можна вирішити графічно:

...

50

110

70

0

ƒ

,

Графік 1.
На графіку видно, що система лінійних нерівностей (3.4), (3.5), утворює область допустимих рішень, обмежену прямими:
, , ,
при цьому лінії рівня функції (3.1) перпендикулярні вектору-градієнту і утворюють сімейство паралельних прямих (градієнт вказує напрям зростання функції). Найбільшого значення функція (3.1) досягає в точці перетину прямих:
і
Координати цієї точки і визначають шукані обсяги додаткових ресурсів. Отже, програма «розшивки вузьких місць виробництва має вигляд:
, ,
і приріст прибутку складе:

Зведення результатів за пунктами 1-3 наведена в таблиці 2.

4. Транспортна задача

Транспортна завдання - це завдання про мінімізацію транспортних витрат, пов'язаних із забезпеченням пунктів споживання певною кількістю однорідної продукції, виробленої (збереженої) в декількох пунктах виробництва (зберігання). У загальному вигляді завдання може бути сформульована таким чином:
Однорідний продукт, зосереджений у пунктах виробництва (зберігання), необхідно розподілити між пунктами споживання. Вартість перевезення одиниці продукції відома для всіх маршрутів. Необхідно скласти такий план перевезень, при якому запити всіх пунктів споживання були б задоволені за рахунок наявних продуктів у пунктах виробництва і загальні транспортні витрати з доставки продуктів були б мінімальними.
Приймемо наступні позначення:

	Номер пункту виробництва (зберігання) (i = 1,2, ..., m)
	Номер пункту споживання (j = 1,2, ..., n)
	Кількість продукту, наявні в i-му пункті виробництва
	Кількість продукту, необхідне для j-го пункту споживання
	Вартість перевезення одиниці продукту з i-го пункту відправлення в j-ий пункт призначення
	Кількість вантажу, планованого до перевезення від i-го пункту відправлення в j-ий пункт призначення

Тоді, за наявності балансу виробництва і споживання:

математична модель транспортної задачі буде виглядати наступним чином:
знайти план перевезень
, Де ;
здатний мінімізувати загальну вартість всіх перевезень

за умови, що з будь-якого пункту виробництва вивозитися весь продукт

, Де

(4.1)

і будь-якому споживачеві доставляється необхідне кількості вантажу

, Де

(4.2)

причому, за змістом завдання
, ...,
Для вирішення транспортної задачі найчастіше застосовується метод потенціалів, при якому вводять позначення вектора симплексних множників або потенціалів:


Тоді:
, Де ;
Звідки випливає:
, Де ;
При цьому один з потенціалів можна вибирати довільно, тому що в системі (4.1) і (4.2) одне рівняння лінійно залежить від інших, а інші потенціали знаходяться, що для базисних значень .
Припустимо, що однорідний продукт, що знаходиться в трьох пунктах виробництва (m = 3), необхідно доставити в чотири пункти споживання (n = 4). При цьому матриця транспортних витрат на перевезення одиниці продукту з будь-якого пункту відправлення в будь-який пункт призначення, вектор обсягів запасів продукту в пунктах виробництва і вектор обсягів продукту, необхідних пунктам споживання, мають вигляд:
Тоді виходить, що загальний обсяг продукту в пунктах виробництва
більше, ніж потрібно всім споживачам , Тобто маємо відкриту модель транспортної задачі.
Для того щоб перетворити відкриту модель транспортної задачі в закриту, необхідно ввести фіктивний пункт споживання з обсягом споживання
одиниць,
при цьому тарифи на перевезення продукту в цей пункт споживання будуть дорівнюють нулю, тому що фактичного переміщення продукту не відбувається.
Тоді, перше базисне допустиме рішення легко побудувати за правилом «північно-західного кута». А тому оцінки базисних клітин транспортної таблиці дорівнюють нулю, то, прийнявши, що , Перша транспортна таблиця і потенціали мають вигляд:

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		30	11	9	*
70				36	34
30					2	28

Оскільки найбільша позитивна оцінка всіх вільних клітин транспортної таблиці, відповідає клітині 14, то будуємо цикл перерахунку: 14-13-23-24 і виробляємо перерозподіл поставок вздовж циклу пресчета:

	9	*	®			®		0	9
	36	34						45	25

Те отримуємо другий базисне допустиме рішення і знаходимо нові потенціали, вважаючи :

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		30	11		9
70			*	45	25
30					2	28

Оскільки тепер найбільша позитивна оцінка всіх вільних клітин транспортної таблиці, відповідає клітині 22, то будуємо цикл перерахунку: 22-12-14-24 і виробляємо перерозподіл поставок вздовж циклу пресчета:

	11	9	®			®		0	20
	*	25						11	14

Звідси отримуємо третього базисне допустиме рішення і знаходимо нові потенціали, приймаючи :

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		30			20
70		*	11	45	14
30					2	28

Оскільки найбільша позитивна оцінка всіх вільних клітин транспортної таблиці, тепер відповідає клітині 21, то будуємо цикл перерахунку: 21-11-14-24 і виробляємо перерозподіл поставок вздовж циклу пресчета:

	30	20	®			®		16	34
	*	14						14	0

Отримуємо четверте базисне допустиме рішення і знаходимо нові потенціали, приймаючи :

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		16			34
70		14	11	45
30				*	2	28

Оскільки найбільша позитивна оцінка всіх вільних клітин транспортної таблиці, відповідає клітині 33, то будуємо цикл перерахунку: 33-23-21-11-14-34 і виробляємо перерозподіл поставок вздовж циклу пресчета:

	16		34	®				®	14		36
	14	45							16	43
		*	2							2	0

Отримуємо п'ятого базисне допустиме рішення і знаходимо нові потенціали, знову беручи :

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		14			36
70		16	11	43		*
30				2		28

Тепер найбільша позитивна оцінка всіх вільних клітин транспортної таблиці, відповідає клітині 25, звідси будуємо цикл перерахунку: 25-23-33 - і виробляємо перерозподіл поставок уздовж цього циклу пресчета:

	43	*	®			®		15	28
	2	28						30	0

Отримуємо п'ятого базисне допустиме рішення і знову знаходимо нові потенціали, приймаючи :

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		14			36
70		16	11	15		28
30				30

Знаходимо оцінки всіх вільних клітин таблиці:

	Всі , Де ;

Оскільки отримали таблицю для якої немає ні однієї позитивної оцінки, отже, знайдено оптимальне базисне допустиме рішення:

при якому транспортні витрати по забезпеченню продуктом усіх чотирьох пуктів споживання будуть найменшими. При цьому з другого пункту виробництва товар буде вивезений не повністю, тобто там залишиться залишок продукту 28 одиниць.

5. Розподіл капітальних вкладень

Задача про розподіл капітальних вкладень - це нелінійна задача розподілу ресурсів між підприємствами одного виробничого об'єднання або галузі.
Припустимо, що зазначено пунктів, де треба побудувати або реконструювати підприємства однієї галузі, для чого виділена певна сума. При цьому відомий приріст потужності або прибули для кожного підприємства, в залежності від суми капітальних вкладень у це підприємство. Потрібно знайти такий розподіл капітальних вкладень між підприємствами, що максимізує сумарний приріст потужності або прибутку всієї галузі.
Приймемо наступні позначення:

	Номер підприємства (j = 1,2, ..., n)
	Загальна сума капітальних вкладень
	Сума капітальних вкладень у j-ое підприємство
	Приріст потужності або прибутку j-го підприємства, якщо воно отримає x j грошових одиниць капітальних вкладень

Тоді, завдання полягає в тому, щоб знайти такі значення , , ..., , При яких значення сумарного приросту прибутку або потужності всієї галузі:

було б найбільшим, при обмеженні загальної суми: , Причому будемо вважати, що всі змінні приймають тільки цілі невід'ємні значення, тобто:
= 0 або 1, або 2, або 3, ...;
Це завдання можна вирішити методом динамічного програмування. Для цього необхідно ввести параметр стану і функцію стану :

	Деяка кількість підприємств, для яких визначається параметр і функція стану ( )
	Сума капітальних вкладень, що виділяється кільком підприємствам ( )
	Максимальний приріст прибутку або потужності на перших підприємствах, якщо вони разом отримають капітальних вкладень

Тоді, якщо з грошових одиниць k-ое підприємство отримає грошових одиниць, то залишок грошових коштів необхідно розподілити між підприємствами від першого до так, щоб був отриманий максимальний приріст прибутку або потужності . Отже, приріст прибутку або потужності k підприємств буде дорівнює і треба вибрати таке значення між 0 і , Щоб збільшення прибутку або потужності k підприємств було б максимальним, тобто:
, Де .
Якщо ж k = 1, то:


Припустимо, що виробниче об'єднання складається з чотирьох підприємств (n = 4). Загальна сума капітальних вкладень дорівнює 700 грошових одиниць (b = 700), при цьому суми виділяються підприємствам кратні 100 грошовим одиницям. Значення функцій наведені у таблиці 3:

Таблиця 3.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	58	71	80	89	95	100
	0	30	49	63	68	69	65	60
	0	22	37	49	59	68	76	82
	0	50	68	82	92	100	107	112

Для заповнення таблиці 5 необхідно в таблиці 4 скласти значення функції зі значеннями і на кожній північно-східній діагоналі вибрати найбільше число (відмічено зірочкою), вказавши відповідні значення :

Таблиця 4.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	58	71	80	89	95	100
0	0	0	42 *	58	71	80	89	95	100
100	30	30	72 *	88	101	110	119	125
200	49	49	91 *	107 *	120	129	138
300	63	63	105	121 *	134 *	143 *
400	68	68	110	126	139
500	69	69	111	127
600	65	65	107
700	60	60

Таблиця 5.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	72	91	107	121	134	143
	0	0	100	200	200	300	300	300

Для заповнення таблиці 7 необхідно в таблиці 6 скласти значення функції зі значеннями і на кожній північно-східній діагоналі вибрати найбільше число (відмічено зірочкою), вказавши відповідні значення :

Таблиця 6.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	72	91	107	121	134	143
0	0	0	42 *	72 *	91	107	121	134	143
100	22	22	64	94 *	113 *	129 *	143	156
200	37	37	79	109	128	144 *	158 *
300	49	49	91	121	140	156
400	59	59	101	131	150
500	68	68	110	140
600	76	76	118
700	82	82

Таблиця 7.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	72	94	113	129	144	158
	0	0	0	100	100	100	200	200

Тепер, у таблиці 8, необхідно скласти значення функції зі значеннями , Але тільки для значення , Тобто заповнити тільки одну діагональ:

Таблиця 8.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	72	94	113	129	144	158
0	0								158
100	50							194
200	68						197 *
300	82					195
400	92				186
500	100			172
600	107		149
700	112	112

Найбільше число цієї діагоналі показує максимально можливий сумарний приріст прибутку всіх чотирьох підприємств даного виробничого об'єднання, при загальній сумі капітальних вкладень в 700 грошових одиниць, тобто:
грошових одиниць
причому четвертому підприємству має бути виділено:
грошових одиниць

Тоді третьому підприємству повинно бути виділено (див. табл. 7.):
грошових одиниць
другий підприємству має бути виділено (див. табл. 5.):
грошових одиниць
на частку першого підприємства залишається:
грошових одиниць
Таким чином, найкращим є наступний розподіл капітальних вкладень по підприємствах:

яке забезпечує виробничому об'єднанню найбільший можливий приріст прибутку:
грошових одиниць

6. Динамічна задача управління запасами

Завдання управління запасами - це задача про підтримці балансу виробництва і збуту продукції підприємства, що мінімізує витрати підприємства на виробництво і зберігання продукції.
Припустимо, що підприємство, що виробляє партіями деяку продукцію, отримало замовлення на n місяців. Розміри замовлень значно змінюються від місяця до місяця, тому іноді краще виконувати замовлення відразу декількох місяців, а потім зберігати готову продукцію, поки вона не буде потрібно, ніж виконувати замовлення саме в той місяць, коли це замовлення повинен бути відправлений. Тому необхідно скласти план виробництва на ці n місяців з урахуванням витрат на виробництво та зберігання виробів.
Приймемо наступні позначення:

	Номер місяця (j = 1,2, ..., n)
	Число виробів, вироблених в j-му місяці
	Величина запасу до початку j-го місяця
	Число виробів, які повинні бути відвантажені в j-му місяці
	Витрати на зберігання та виробництво виробів у j-му місяці

Тоді, завдання полягає в тому, щоб знайти план виробництва компоненти якого задовольняють умовам матеріального балансу:
, Де
та мінімізують сумарні витрати за весь період, що планується:

причому за змістом завдання , , При
Оскільки обсяг виробленої продукції на етапі j може бути настільки великий, що запас може задовольнити попит всіх наступних етапів і при цьому не має сенсу мати величину запасу більше сумарного попиту на всіх наступних етапах, то змінна повинна задовольняти обмеженням:

Отриману завдання можна вирішити методом динамічного програмування, для чого необхідно визначити параметр стану   і функцію стану :

	Готівковий запас продукції в кінці k-го місяця ( )
	Мінімальні витрати за перші місяців:

Тоді, мінімальні витрати за один перший місяць ( ):

Отже, мінімальні витрати при :
, Де
Якщо при цьому функція витрат на зберігання і виробництво виробів у j-му місяці має вигляд:
, Де

, При і , При
	Витрати на оформлення замовлення (переналагодження обладнання) в j-му місяці
	Витрати на зберігання одиниці продукції, що переходить з j-го місяця в місяць j +1
	Витрати на виробництво (закупівлю) одиниць продукції в j-му місяці

то мінімальні витрати за один перший місяць ( ):

якщо ввести позначення:

то отже, мінімальні витрати при :
, Де
Припустимо, що підприємство уклало договори на постачання своєї продукції на три місяці. Вихідні дані наведені в таблиці 9. При цьому початковий запас товару на складі становить дві одиниці, тобто .
Передбачається, що витрати на придбання продукції становлять 5 руб. за кожну одиницю для перших трьох одиниць і 7 крб. за кожну додаткову одиницю, тобто

Покладемо , Тоді:

Тоді, тому що параметр стану може приймати значення на відрізку:

тобто , При цьому кожному значенню параметра стану відповідає певна область зміни змінної :

Однак на першому етапі обсяг виробництва не може бути менше однієї одиниці, тому що попит , А вихідний запас , При цьому з балансового рівняння випливає, що обсяг виробництва пов'язаний з параметром стану співвідношенням:

тобто кожному значенню відповідає єдине значення , Тому:
, Тоді:
Значення функції стану наведено в таблиці 10.:

Таблиця 10.
	0	1	2	3	4	5
	9	15	21	29	37	45
	1	2	3	4	5	6

Покладемо , Тоді:
, Де:

Тут мінімум береться по змінній , Яка може змінюватися в межах:

де верхня межа залежить від параметра стану , Який приймає значення на відрізку:

тобто , При цьому з балансового рівняння випливає, що залишок товару на початок другого місяця пов'язаний з обсягом виробництва і з параметром стану співвідношенням:

Тоді:

( )

* *

Найменші з отриманих значень , Є , Тобто:

причому мінімум досягається при і , Тобто:
і
ці значення вказуємо в результуючій таблиці 11.
Аналогічно:

( )			*
( )			*
( )			*

Таким чином:

Таблиця 11.
	0		1	2	3
	21		27	34	41
	0	2	3	3	3

Тепер покладемо, що , Тоді:
, Де:

Якщо залишати продукцію до кінця третього періоду не потрібно, тоді параметр стану приймає єдине значення , Отже, мінлива може змінюватися в межах:

а з балансового рівняння випливає, що залишок товару на початок третього місяця пов'язаний з обсягом виробництва співвідношенням:

Тоді:

( )

*

Отже, отримуємо:

причому мінімум досягається при , Тобто:

Таким чином, отримали мінімальні загальні витрати на виробництво і зберігання продукції і останню компоненту оптимального рішення:

Для знаходження інших компонент оптимального рішення, необхідно скористатися звичайними правилами динамічного програмування.
Тоді тому , То , Звідки , Отже, з таблиці 11.:
або
Аналогічно тому , То або , Звідки або , Отже, з таблиці 10.:
або
Отже, отриманий оптимальний план виробництва, який має два варіанти:
при цьому, кожен варіант оптимального плану виробництва забезпечує мінімальні загальні витрати на виробництво і зберігання продукції в розмірі 39 грошових одиниць.

7. Аналіз прибутковості і ризику фінансових операцій

Фінансової називається операція, початкове і кінцеве стан якої мають грошову оцінку і мета проведення якої полягає в максимізації доходу у вигляді різниці між кінцевою і початковою оцінками. При цьому практично всі фінансові операції проходять в умовах невизначеності і, отже, їх результат неможливо передбачити заздалегідь. Тому при проведенні фінансової операції можливе отримання як прибутку, так і збитку.