Введення.
У різних областях науки математика є безперечним робітникам і сполучною інструментом. Подальший розвиток багатьох дисциплін без неї просто неможливо. Разом з тим більшість економістів-практиків ставлять під сумнів її значимість, особливо для економіки підприємства. Вони вважають, що суху теорію потрібно скоріше забути, так як вона не придатна для грубої дійсності, і що кращий вчитель - досвід. На їхню думку, в університеті цілком достатньо знайомитися з практичними ситуаціями і проводити ділові ігри. Така оцінка математичних теорій і моделей ігнорує той факт, що навіть кращий менеджер мислить моделями, оскільки постійно може тримати в полі зору лише небагато і сильно агреговані взаємозв'язку навколишнього його реальності.
Часто можна почути заяви, що хтось створив власну теорію. Але зазвичай у таких "інтуїтивних умоглядних моделях" домінують тенденційні проблемні установки. Сумнівно, щоб подібні висновки визначалися строгими правилами логіки. Досить часто "здоровий людський глузд" призводить до крайніх помилкам. Навіть багаторічний практичний досвід і підприємницьке чуття можуть виявитися недостатніми в умовах безперервної економічної динаміки, що висуває все нові вимоги.
1 Оптимізаційні та імітаційні моделі
Сьогодні на базі критичного раціоналізму економічні науки зближуються з двох сторін економічної дійсності. З одного боку, теоретичні наукові програми намагаються розпізнати внутрішню структуру, закладену у численних формах прояву реальності, сформулювати по можливості прості і узагальнені гіпотези про причинно-наслідкові зв'язки і закономірності, перевірити їх емпірично і втілити в роз'яснювальних та прогнозних моделях. Е. Гутенберг у відомій роботі "До суперечки про методи" (1953 р.) побачив у цьому центральну завдання науки про економіку підприємства - "в елементах побачити ціле і приватне розглядати як пояснення загального". У зв'язку з цим він приходить до висновку, що наукова цінність економічного дослідження не залежить від практичної значущості об'єкта дослідження; головне, щоб воно проводилося методично чисто і логічно правильно.
З іншого боку, завданням науки про економіку підприємства є сприяння прийняттю рішень. Це означає, що моделі прийняття рішення по цілям і засобам повинні розроблятися як основа рекомендацій для дій з вирішення практичних проблем. Тут як базису незамінні роз'яснювальні моделі. Якщо ми хочемо знати, як можна формувати дійсність, то повинно бути відомо, якими властивостями вона володіє. Наприклад, предметом роз'яснювальної моделі може бути вплив реклами на збут продукції підприємства. Аналіз за допомогою моделі прийняття рішень сприяє прийняттю вигідного рекламного бюджету.
Процес пізнання в економічних науках можна представити наступним чином:
теоретичне дослідження
• висування гіпотези про закономірності типу "дія - причина",
• формулювання причинно-наслідкових зв'язків,
• емпірична перевірка
• побудова роз'яснювальної та прогнозної моделей;
технологічне дослідження
• вироблення рекомендації для подальших дій типу "цілі - засоби їх досягнення",
• створення моделі підтримки прийняття рішень.
Оптимізаційні моделі націлені на максимізацію вигоди або прибутку. Вони побудовані таким чином, щоб можна було використовувати оптимізаційний алгоритм і отримати оптимальну практичну рекомендацію. Їх недолік полягає у вимушеній спрощення дійсності, оскільки визначення параметрів моделі повинно бути орієнтоване на забезпечення можливості вироблення рішень. Тому отримані рекомендації часто втрачають практичну цінність. Цим пояснюється, чому економічна практика відноситься до них скептично. Тим не менш оптимізаційні моделі в порівнянні з інтуїтивними умоглядними моделями менеджерів мають значні переваги:
• не допускають логічних помилок, тому що можуть бути математично перевірені на наявність порушень логіки;
• є безкомпромісними і не містять нічого зайвого, зводять проблему до її суті і сприяють вираженню основоположних взаємозв'язків цілей і засобів.
Математичні моделі забезпечують систематичне осмислення проблем і дозволяють одночасно враховувати всі впливають на них фактори. Разом з тим, розкриваючи всі передумови, вони стають більш вразливими для критики в порівнянні з умоглядними моделями, де вихідні пункти міркувань формулюються їх творцями.
Що стосується імітаційної моделі, то вона вирішується не аналітично, а експериментально або евристичний, що внаслідок різкого збільшення розрахунків вимагає використання електронно-обчислювальної техніки. Завдяки комп'ютерним технологіям несподівано для багатьох відроджується і математичне модельне мислення. За допомогою імітації можуть бути знайдені задовільні рішення складних проблем, тоді як оптимізаційні моделі дозволяють отримати оптимальні рішення тільки для проблем з простою структурою.
2 Вибір рекламної стратегії за допомогою імітаційного аналізу
Наведені міркування можна проілюструвати на прикладі маркетингу. Відомому американському менеджеру мережі універмагів Дж.Вейнемейкеру приписується вислів: "Половина реклами - марна трата грошей, і ми не знаємо тільки, яка саме". Так, згідно з оцінкою, з коштів, що витрачаються на рекламу в Німеччині, щорічно 25 млрд. марок викидаються на вітер. Тому важливим є вивчення питання, в яких обсягах підприємству слід здійснювати рекламну діяльність. Це дозволило б відмовитися від проведення деяких рекламних кампаній.
Оскільки реклама звернена до споживачів, перш за все, необхідно розглянути виявлені в ході теоретичних досліджень гіпотези про їх поведінку. Основну модель поведінки соціальних систем ("груп") можна знайти в теорії адаптації та дифузії. Відповідно до цієї теорії прийняття нововведення споживачами (адаптація) і поширення його на ринку (дифузія) здійснюються завдяки особистим і неособистим комунікацій.
При особистій комунікації важливу посередницьку роль грають так звані лідери думок. Вони раніше за всіх підхоплюють рекламовані нововведення і доводять до решти публіки - послідовників. Часто ж вплив на покупця не потребує особистої комунікації, оскільки вже тільки спостереження за поведінкою інших людей може привести до зміни власної поведінки. Такі неособисті комунікації типові для сучасного суспільства споживання, в якому виробники намагаються підвищити значущість своїх продуктів через утвердження нових психологічних життєвих цінностей. Тому замість термінів "лідери думок" і "послідовники" доцільно використовувати поняття "новатори" і "імітатори".
Новатори купують, тому що їх цікавлять нововведення, про які вони дізнаються постійно стежачи за рекламою. Імітатори ж зважуються на придбання нововведення насамперед завдяки особистим і неособистим комунікацій. Так, при широкому поширенні нововведення вони все сильніше підпадають під "соціальний тиск". Імітатори в порівнянні з новаторами, природно, значно менш сприйнятливі до реклами. З урахуванням того, що близько 20% покупців відносяться до новаторам і 80% є імітаторами, ясно, що реклама в цілому надає невеличке прямий вплив на поведінку покупців.
Ці поведінкові взаємозв'язку можна відносно просто математично структурувати і інтегрувати в динамічну імітаційну модель прийняття рішень. Вона показує, що з нашарування покупок новаторів і імітаторів складається типовий життєвий цикл продукту. Виходячи з цього слід так організувати рекламну стратегію, щоб при певному життєвому циклі продукту досягти найбільший прибуток.
Проблему оптимального рекламного бюджету можна висловити на точному і консистентним мовою, що дозволяє проводити операції, які не здійсненні за допомогою вербальної мови. Однак отримана дифузійна модель занадто складна, щоб вирішити її одним (наприклад, контрольно-теоретичним) оптимізаційним рівнянням. Ця обставина має особливе значення, коли мова йде не про монопольної, а про олігопольний моделі, в якій додатково повинні бути сформульовані гіпотези про поведінку конкурентів. У цьому випадку застосовується комп'ютеризоване евристичне дослідження, відоме як "мутаційний процес".
Нехай виробник-піонер викидає на ринок нововведення з тривалим життєвим циклом (наприклад, факс або стільниковий телефон). З певним запізненням за ним слід конкурент, який за рівнем рекламного бюджету перевищує піонера (наприклад, на 20%). Аналіз по моделі прийняття рішення видає піонеру наступну рекомендацію: він повинен супроводити свій вихід на ринок високим рекламним бюджетом, а з появою конкурента різко зменшити його. Таким чином, піонер може одним ударом вбити двох зайців: його широка початкова реклама швидко приведе в рух особливо сприйнятливий до реклами новаторський попит, який зі свого боку розігріє імітаторскій попит. Скорочення реклами при виникненні конкурента не відбивається на ринковій позиції піонера, так як рекламний бюджет послідовника орієнтований на нього ("зчеплена конкуренція"). Піонер пожинає плоди своєї початкової реклами. Як показують численні імітаційні аналізи, "стратегія широкої початкової реклами" дуже успішна.
Звичайно, не можна завжди виходити з того, що конкурент буде орієнтуватися на рекламний бюджет піонера. Альтернативна поведінкова гіпотеза полягає в тому, що незалежно від поведінки піонера конкурент дотримується протягом всього планового періоду певного постійного рекламного бюджету ("нерухома конкуренція"). Тому піонер змушений суттєво довше підтримувати високий рекламний бюджет і лише потім знизити його значно нижче рівня конкурента, коли ринковий потенціал буде практично вичерпано. Конкурент навпаки до кінця повинен вести по можливості велику рекламу.
Дифузійна модель пояснює також наступну теоретичну гіпотезу поведінки: піонер очікує, що його рекламна стратегія заздалегідь стане відома конкурентові і останній спробує оптимально на це реагувати, що в свою чергу враховує піонер і т.д. ("Інформована конкуренція"). З цього приводу існує незалежна від початкової конфігурації рівноважний рішення: навіть після того, як стає відома конкурентна рекламна стратегія, жодному виробникові нецікаво змінювати свою стратегію.
При цьому обидва поперемінно потрапляють в положення "поза грою". Щоб з вигодою для себе швидко порушити попит, піонер вибирає широку рекламну фазу. Конкурент відповідно до своєї оптимізації також робить це, але на значно більший термін. Нарешті, при знижується рівень оптимізації піонер переходить на ще більш агресивну стратегію і т.д. до тих пір, поки, нарешті, обидва виробники майже одночасно різко не зменшать свої рекламні бюджети, коли ринковий потенціал буде майже вичерпано. Якби обидва значно раніше скоротили свою рекламу, то кожен з них міг отримати набагато більший прибуток. Але через пов'язані із цим ризиків жоден з них не бажає зробити це першим.
У цілому обидва виробники надійдуть найкращим чином, якщо дуже швидко зменшать свої рекламні бюджети. Спочатку розглянута поведінкова гіпотеза, за якою конкурент орієнтується на піонера, виступає тепер істотно більш вигідному світлі. Піонер виграє у конкурента, але при цьому гарантується, що обидва вони не потрапляють в положення "поза грою". Імітаційний аналіз показує, що рекламне лідерство при обмеженому рекламному бюджеті може забезпечити отримання задовільною прибутку всіма учасниками. На практиці іноді спостерігається "орієнтація на конкурента" як керівництво до визначення власного рекламного бюджету.
Рекламні війни, особливо на пізніх стадіях життєвого циклу продукту, можуть призвести до даремним витрат. При цьому очевидним стає перевага змови виробників про скорочення рекламного бюджету. Але цьому зобов'язаний перешкоджати антимонопольний комітет, який, як мінімум, повинен вимагати зниження цін, щоб у виграші залишилися і споживачі.
Представлена дифузійна модель забезпечує ряд конкретних практичних рекомендацій. Зрозуміло, в якості основи прийняття рішень вона може бути піддана критиці, оскільки тут розглядаються тільки предмети споживання з тривалим життєвим циклом, при цьому повторні покупки виключаються. Крім того, допускаються як певний ринковий потенціал, так і постійний рівень ринкових цін. Ці обмеження, як і багато інших, насправді можуть бути зняті. Так, імітаційне додаток мутаційного процесу до цінової і рекламної стратегії може призвести до того, що широко рекламована низька ціна надалі буде підвищена.
3 Переваги і недоліки математичних моделей
Широкі можливості комп'ютерного імітаційного моделювання призводять до розробки все більш складних конструкцій моделей. Це породжує додаткові проблеми не тільки для програміста, але і для користувача. Кількісне визначення параметрів моделі (наприклад, еластичності ціни та реклами) стикається з дедалі більшими труднощами. Тому часто доводиться звертатися за відсутньої інформацією до експертів, що при масштабних моделях з багатьма параметрами істотно підсилює спекулятивну природу практичних рекомендацій.
Теорія хаосу вказує на те, що при динамічних зі зворотним зв'язком системах рівнянь навіть найдрібніші зміни у конфігурації параметрів моделі або вихідних умов можуть призвести до зовсім інших рекомендацій.
Слабким місцем математичних моделей прийняття рішень є не тільки проблема визначення параметрів, але і що лежить глибше недосконалість оціночних теорій як основи їх конструкцій. Так, при застосуванні дифузійної моделі більш досконалі теорії могли б пояснити взаємний вплив ціни і реклами. Це сприяло б вирішенню питання: чи збільшує реклама чутливість до ціни (так як вона інформує) або зменшує її (так як вона переконує)? Відсутність відповідей на подібного роду питання свідчить про недосконалість економічних теорій.
Певне полегшення в зв'язку з цим можуть принести "нейрональні мережі". Ці стимульовані нейробіологічним процесами комп'ютерні алгоритми не потребують функціональних причинно-наслідкових зв'язках. Мережа сама "шукає" за певним "правилом вивчення" наближену взаємозв'язок, яка найкраще відображає представлені дані. Тому нейрональні мережі можуть застосовуватися без теоретичної підгрунтя для прогнозування, наприклад, покупок як реакції на вплив реклами. У цьому випадку для "підрівнювання" і "настроювання" мережі потрібно великий матеріал даних, що відображають минулої динаміку. З іншого боку, мережа сама гнучко пристосовується і "виявляє" навіть невідомі взаємозв'язку, які хоч і здійснюються "механічно", але можуть прояснити причинно-наслідкових зв'язків.
Моделі прийняття рішень можуть лише обмежено відобразити дійсність не тільки через дефіцит даних і недосконалості теорій, але перш за все через величезного розмаїття явищ і зв'язків у реальному господарському житті. Багато дослідників бачать в цьому їх істотний недолік і привід для критики. Для них передумови моделювання рівнозначні далекою від практики науці.
У цьому зв'язку В.-Р.Бретцке протиставив розуміння моделі, заснованому на теоретичному відображенні реалій, "конструктивістське" розуміння. На його думку, зниження складності в моделі прийняття рішень - це не неминуче зло, а об'єктивна необхідність, тому що тільки структурування розпливчатою проблеми по передумов позначає контури і тим самим звужує сферу пошуку рішення. "Неповнота відомостей є не конструкційним недоліком, а конструкційним принципом" 2.
Конструкційний принцип, тобто можливість абстрагуватися в інтересах точного аналізу від "заважають величин", що існують у реальності, робить моделі прийняття рішень відкритими для вдосконалення. Вони ні в якому разі не віднімають ініціативи у осіб, відповідальних за рішення. Математичні моделі посилюють інтелект, але не замінюють його.
Нарешті, моделі прийняття рішень повинні постійно підтверджувати свою корисність як додаток до чисто умоглядної моделі. Це вдається все частіше, але поки що не завжди. Однак у принципі моделі мають всі передумови, щоб служити менеджерам як допоміжний засіб, а не як "абсолютне знання". Вони сприяють кращому розумінню реальних проблем, допомагають при розробці альтернатив, спрощують їх перевірку і полегшують оцінку інтуїтивних проектів та існуючих моделей поведінки.
У математичних моделей є і дидактична задача. Розробники вдосконалюють свій образ мислення, так як моделі дозволяють знайомитися зі структурою та логікою розв'язуваних проблем і відточують аналітичні розумові здібності. Таким чином, інтуїтивна умоглядна модель отримує тверду основу. При пошуку проблемних рішень можна навчитися більш цілеспрямовано і систематизовано просуватися вперед і ставити під сумнів нібито надійні спостереження.
У цілому моделі і теорії, які формулюються і вирішуються за допомогою математичних методів, являють собою невід'ємну складову діалогу між теорією і практикою. В умовах швидко мінливих постановок проблем, коли сьогоднішні рішення завтра вже не придатні, потрібні не тільки готові до безпосереднього використання знання, а й розумова динаміка, кругозір, компетентність, а також готовність постійно критично оцінювати свої знання.
4. ДЕЯКІ ПРИКЛАДНІ МОДЕЛІ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЬ CC ОВ.
4.1. Цільова, функція споживання і моделювання поведінки споживачів.
В умовах ринкової системи управління виробничою і збутовою діяльністю підприємств і фірм в основі прийняття господарських рішень лежить ринкова інформація, а обгрунтованість рішень перевіряється ринком у ході реалізації товарів і послуг. При такому підході початковим пунктом всього циклу підприємницької діяльності стає вивчення споживчого попиту. Розглянемо деякі питання моделювання попиту і споживання.
Рівень задоволення матеріальних потреб суспільства (рівень споживання) можна виразити цільової функцією споживання U = U (Y), де вектор змінних У ³ 0 включає різноманітні види товарів і послуг. Ряд властивостей цієї функції зручно вивчати, використовуючи геометричну інтерпретацію рівнянь U (Y) = C, де С - мінливий параметр, що характеризує значення (рівень) цільової функції споживання; як величини С може виступати, наприклад, прибуток або рівень матеріального добробуту
У просторі споживчих благ кожному рівняння U (Y) = C відповідає певна поверхню рівноцінних, або байдужих, наборів благ, яка називається поверхнею байдужості. Для наочності розглянемо простір двох благ, наприклад, у вигляді двох агрегованих груп товарів: продукти харчування (y1) і непродовольчі товари, включаючи послуги (у2). Тоді рівні цільової функції споживання можна зобразити на площині у вигляді кривих байдужості, відповідних різним значенням С (див. рис. 1, де С1 <С2 <С.3
Рис. 1.
З основних властивостей цільової функції споживання відзначимо наступні:
1) функція U (Y) є зростаючою функцією всіх своїх аргументів, тобто збільшення споживання будь-якого блага при незмінному рівні споживання всіх інших благ збільшує значення даної функції. Тому більш віддалена від початку координат крива байдужості відповідає більшому значенню цільової функції споживання, а сам процес максимізації цієї функції на деякому обмеженій множині допустимих векторів У можна інтерпретувати як знаходження допустимої точки, що належить кривій байдужості, максимально віддаленої від початку координат;
2) криві байдужості не можуть перетинатися, тобто через одну точку простору благ (товарів, послуг) можна провести тільки одну поверхню байдужості. В іншому випадку один і той самий набір благ одночасно відповідав би кільком різним рівням матеріального добробуту;
3) криві байдужості мають негативний нахил кожної осі координат, при цьому абсолютний нахил кривих зменшується при русі в позитивному напрямку по кожній осі, тобто криві байдужості є опуклими кривими.
Перейдемо до питання моделювання поведінки споживачів в умовах товарно-грошових відносин на базі цільової функції споживання. В основі моделі поведінки споживачів лежить гіпотеза, що споживачі, здійснюючи вибір товарів при встановлених цінах і наявному доході, прагнуть максимізувати рівень задоволення своїх потреб. Нехай у просторі п видів товарів досліджується поведінка сукупності споживачів. Позначимо попит споживачів через вектор У = (у1, у2 .. уn), а ціни на різні товари .- через вектор Р = (р1, р2, -, Ра) - При величині доходу D споживачі можуть вибирати тільки такі комбінації товарів, які задовольняють бюджетного обмеження ....
Припустимо, що перевагу споживачів на безлічі товарів виражається цільової функцією споживання U (Y). Тоді найпростіша модель поведінки споживачів: у векторній формі запису буде мати вигляд:
U (Y) ® max;
PY £ D
У> 0. (1)
Геометрична інтерпретація моделі (1) для двох агрегованих груп товарів представлена на рис.2.
Рис.2.
Лінія АВ (в інших варіантах А1В1, А2В2) відповідає бюджетному обмеженню і називається бюджетною лінією Вибір споживачів обмежений трикутником АОВ (А1ОВ1, А2ОВ2). Набір товарів М, відповідний точці дотику прямої АВ з найбільш віддаленій кривої байдужості, є оптимальним рішенням (в інших варіантах це точки К і Л). Легко помітити, що лінії АВ і А1В1 відповідають одному й тому ж розміру доходу та різними цінами на товари у1 і в2. • Лінія А2В2 відповідає більшому розміру доходу.
Спираючись на деякі висновки теорії нелінійного програмування, можна визначити математичні умови оптимальності рішень для моделі (1). Із завданням нелінійного програмування зв'язується так звана функція Лагранжа, яка для задачі (1) має вигляд:
L (Y, l) = U (Y) + l (D-PY),
Де множник Лагранжа l, є оптимальною оцінкою доходу.
0бозначім приватні похідні функції U (Y) через Ui:
Ui = ¶ U (Y) / ¶ yi.
Ці похідні інтерпретуються як граничні корисні ефекти (граничні корисності) відповідних споживчих благ і характеризують приріст цільової функції споживання при збільшенні використання 1-го блага (товару) на деяку умовну. «Малу одиницю».
Необхідними умовами того, що вектор Y ° буде оптимальним рішенням,
є умови Куна-Таккера:
Ui (Y °) £ l ° pi: i = `1,` n,
При цьому
Ui (Y °) = l ° pi, якщо у °> 0 (товар купується), (2)
Ui (Y °)> l ° pi, якщо yi ° = 0 (товар не купується), PY ° = D.
Останнє з співвідношень (2) відповідає повному використанню доходу, і для цього випадку очевидно нерівність l °> 0. •
З умов оптимальності (2) випливає, що
Ui (Y °) / pi = l °, yi °> 0.
Це означає, що споживачі повинні вибирати товари таким чином, щоб відношення граничної корисності до ціни товару було однаковим для всіх придбаних товарів. Іншими словами, в оптимальному наборі граничні корисності обираних товарів повинні бути пропорційні цінами.
Функції купівельного попиту
Функціями купівельного попиту (далі будемо називати їх просто функціями попиту) називаються функції, що відбивають залежність обсягу попиту на окремі товари і; послуги від комплексу чинників, що впливають на него.Такіе функції застосовуються в аналітичних моделях попиту і; споживання і будуються на основі інформації про структуру доходів населення, цінах на товари, склад сімей та інших факторах. Розглянемо побудову функцій попиту залежно від двох факторів - доходу і цін.
Нехай в моделі (1) ціни і дохід розглядаються як змінні параметри. Мінливу доходу будемо позначати Z. Тоді рішенням оптимізаційної задачі (1) буде векторна функція У ° = Y ° (P, Z), компонентами якої є функції попиту на певний товар від цін і доходу:
yi ° = fi (P, Z).
Розглянемо окремий випадок, коли вектор цін залишається незмінним, а змінюється тільки дохід. Для двох товарів цей випадок представлений на рис. 3. Якщо по осі абсцис відкласти кількість одиниць товару у1, яке можна придбати на наявний дохід Z (точка В), а по осі ординат - те ж саме для товару y2 (точка А), то пряма лінія АВ, звана бюджетною лінією, показує будь-яку комбінацію кількостей цих двох товарів, яку можна купити за суму грошей Z. При збільшенні доходу бюджетні лінії переміщуються паралельно самим собі, віддаляючись від початку координат. Разом з ними переміщуються відповідні криві байдужості. Точками оптимуму попиту споживачів для відповідних розмірів доходу будуть в даному випадку точки М1, М2, М3. При нульовому доході попит на обидва товари нульовий. Крива, що з'єднує точки 0, М1, М2, М3, є графічним відображенням векторної функції попиту від доходу при заданому векторі цін.
Рис.3.
Однофакторні функції попиту від доходу широко застосовуються при аналізі купівельного попиту. Відповідні цим функціям криві yi = fi (Z) називаються кривими Енгеля (на ім'я вивчав, їх німецького економіста). Форми цих кривих для різних товарів можуть бути різні. Якщо попит на даний, товар зростає приблизно пропорційно доходу, то функція буде лінійною, як у розглянутому вище прикладі. Такий характер має, наприклад, попит на одяг, фрукти і ін Крива Енгеля для цього випадку представлена на рис. 4а.
Якщо у міру зростання доходу попит на дану групу товарів зростає все більш високими темпами, то крива Енгеля • буде опуклою (рис. 46). Так поводиться попит на предмети розкоші.
Якщо зростання значень попиту, починаючи з певного моменту, в міру насичення попиту відстає від зростання доходу, то крива Енгеля має вигляд увігнутою кривою (рис. 4в). Наприклад, такий характер має попит на товари першої необхідності
Рис.4.
Той же принцип розмежування груп товарів за типами функцій попиту від доходу використовував шведський економіст Л. Торнквіст, який запропонував спеціальні види функції попиту (функції Торнквиста) для трьох груп товарів: першої необхідності, другої необхідності, предметів розкоші.
Функція Торнквиста для товарів першої необхідності має вигляд:
Y = aiZ / Z + C1,
і відображає той факт, що зростання попиту на ці першочергові товари із зростанням доходу поступово сповільнюється і має межу a1 (крива попиту асимптотично наближається до прямої лінії y = a1), графік функції є увігнутою кривою I на рис.5.
Функція попиту за Торнквіст на товари другої необхідності виражається формулою
Y = a2 (Z-b2) / Z = C2, де Z ³ b2.
Ця функція також має межу а2, але більш високого рівня, при цьому попит на цю групу товарів з'являється лише після того, як дохід досягне величини b2; графік функції - увігнута крива II на рис. 5.
Нарешті, функція Торнквиста для предметів розкоші має вигляд
Y = a3Z (Z-b3) / (Z + C3), де Z ³ b3.
Ця функція не має границі. Попит на ці товари виникає тільки після того, як дохід перевищить величину b3, і далі швидко зростає, так що графік функції - опукла крива III на рис. 5.
Крім зазначених функцій, в аналітичних моделях купівельного попиту використовуються також інші функції: статечні, S-образні і т.д.
Рис.5
Важливу роль в аналізі, зміни попиту при невеликих змінах доходу грають коефіцієнти еластичності. Коефіцієнт еластичності. Попиту від доходу показує відносну зміну попиту при зміні доходу (за інших не змінюються факторах). Обчислюється за формулою:
EiZ = (dyi / dZ) (Z / yi),
де EiZ - коефіцієнт еластичності для i-го товару (групи товарів) за доходом Z; yi - Попит на цей товар, що є функцією доходу: yi = f (Z).
Наприклад, якщо попит на товар описується функцією Торнквиста для товарів першої необхідності, то формула дає такий вираз для коефіцієнта еластичності попиту від доходу:
EiZ = С1 / (Z + C1).
У багатьох економіко-математичних моделях еластичність функцій відносять до відсотка приросту незалежної змінної. Таким чином, коефіцієнт еластичності попиту від доходу показує, на скільки відсотків, зміниться попит на товар при зміні доходу на 1%.
Коефіцієнти еластичності попиту від доходу різні за величиною для різних товарів, аж до негативних значень, коли із зростанням доходів споживання зменшується. Прийнято виділяти чотири групи товарів залежно від коефіцієнта еластичності попиту на них від доходу:
• малоцінні товари (EiZ <0);
• товари з малою еластичністю (Про <EiZ <1);
• товари з середньою еластичністю (EiZ близькі до одиниці);
• товари з високою еластичністю (EiZ> 1).
До малоцінних товарів, тобто товарах з негативною еластичністю попиту від доходу, відносять такі, як хліб, низькосортні товари. За результатами обстежень, коефіцієнти еластичності для основних продуктів харчування знаходяться в інтервалі від 0,4 до 0,8, по одягу, тканин, взуття - в інтервалі від 1,1 до 1,3 і т.д. У міру збільшення доходу попит переміщається з товарів першої та другої груп на товари третьої і четвертої групи, при цьому споживання товарів першої групи за абсолютними розмірами скорочується.
Перейдемо до розгляду та аналізу функцій купівельного попиту від цін на товари. З моделі поведінки споживачів випливає, що попит на кожен товар в загальному випадку залежить від цін на всі товари, проте побудувати функції загального виду yi = fi (Р) дуже складно. Тому в практичних дослідженнях обмежуються побудовою та аналізом функцій попиту для окремих товарів залежно від зміни цін на цей же товар або групу взаємозамінних товарів: yi = fi (pi).
Для більшості товарів діє залежність: чим вища ціна, тим нижче попит, і навпаки. Тут також можливі різні типи залежності і, отже, різні форми кривих. У практичних завданнях вивчення попиту важливо розрізняти дійсне збільшення попиту, коли сама крива зсувається вгору і вправо (відбувається перехід з кривою I на криву II на рис. 6), і збільшення обсягу придбаних товарів у результаті зниження цін при незмінній сумі витрат (перехід від точки А до точки В по одній і тій же кривій I на рис. 6). Як вже зазначено вище, в загальному випадку попит на окремий товар при інших рівних умовах залежить від рівня цін усіх товарів. Відносне зміна обсягу попиту при зміні ціни даного товару або цін інших пов'язаних з ними товарів характеризує коефіцієнт еластичності попиту від цін. Цей коефіцієнт еластичності зручно трактувати як величину зміни попиту у відсотках при зміні ціни на 1%.
Для попиту yi на i-й товар щодо його власної ціни рi коефіцієнт еластичності обчислюється за формулою:
Epii = (dyi / dpi) / (pi / yi).
Значення коефіцієнтів еластичності попиту від цін практично завжди негативні. Однак за абсолютним значенням цих коефіцієнтів товари можуть істотно відрізнятися один від одного. Їх можна розділити на три групи:
• товари з нееластичним попитом у відношенні ціни (Epii> -1);
• товари з середньою еластичністю попиту від ціни (Epii близькі до -1);
• товар з високою еластичністю попиту (Epii <-1).
У товари еластичного попиту підвищення ціни на 1% призводить до зниження попиту більш ніж на 1% і, навпаки, зниження ціни на 1% призводить до зростання покупок більше ніж на 1%. Якщо підвищення ціни на 1% тягне за собою пониження попиту менш ніж на 1%, то говорять, що цей товар нееластичного попиту.
Моделювання та прогнозування купівельного попиту
Очевидно, що попит багато в чому визначає стратегію і тактику організації виробництва і збуту товарів і послуг. Облік попиту, обгрунтоване прогнозування його на короткострокову та довгострокову перспективу - одна з найважливіших завдань служб маркетингу різних організацій і фірм.
Склад і рівень попиту на той чи інший товар залежать від багатьох чинників, як економічних, так і природних. До економічних факторів належать рівень виробництва (пропозиції) товарів та послуг (позначимо цей фактор у загальному вигляді П), рівень грошових доходів окремих груп населення (D), рівень і співвідношення цін (Р). До природних факторів належать демографічний склад населення, в першу чергу розмір і склад сім'ї (S), а також звички і традиції, рівень культури, природно-кліматичні умови і т.д.
Економічні чинники дуже мобільні, особливо розподіл населення за рівнем грошових доходів. Природні ж фактори змінюються порівняно повільно і протягом невеликого періоду (до 3-5 років) не надають помітного впливу на попит. Виняток становить демографічний склад населення. Тому в поточних і перспективних прогнозах попиту всі природні фактори, крім демографічних, доцільно враховувати спільно, ввівши фактор під назвою «час» (t).
Таким чином, у загальному вигляді попит визначається у вигляді функції перерахованих вище факторів:
Y = f (П, D, P, S, t).
Оскільки найбільший вплив на попит надає чинник доходу (відомий вислів: «попит завжди платоспроможний»), багато розрахунки попиту і споживання здійснюються у вигляді функції від душового грошового доходу: у = f (D).
Найбільш простий підхід до прогнозування попиту на невеликий період часу пов'язаний з використанням так званих структурних моделей попиту. При побудові моделі виходять з того, що для кожної економічної групи населення за статистичними бюджетних даних може бути розрахована притаманна їй структура споживання. При цьому передбачається, що на досліджуваному відрізку часу помітні зміни зазнає лише дохід, а ціни, розмір сім'ї та інші фактори приймаються незмінними. Зміна доходу, наприклад його зростання, можна розглядати як переміщення певної кількості сімей з нижчих дохідних груп до вищих. Іншими словами, змінюються частоти в різних інтервалах доходу: вони зменшуються у нижніх і збільшуються у верхніх інтервалах. Сім'ї, які потрапляють у новий інтервал, будуть мати ту ж структуру споживання і попиту, яка склалася у сімей з таким же доходом до теперішнього часу.
Таким чином, структурні моделі розглядають попит як функцію тільки розподілу споживачів за рівнем доходу. Маючи відповідні структури попиту, розраховані за даними статистики бюджетів, і частоти розподілу споживачів за рівнем доходу, можна розрахувати загальну структуру попиту. Якщо позначити структуру попиту у групі родин із середнім доходом Di через r (Di), а частоти сімей з доходом Di через w (Di), то загальна структура попиту R може бути розрахована за формулою:
де п - кількість інтервалів доходу сімей.
Структурні моделі попиту - один з основних видів економіко-математичних моделей планування та прогнозування попиту і споживання. Зокрема, широко поширені так звані компаративні (порівняльні) структурні моделі, в яких зіставляються структури попиту даного досліджуваного об'єкта і деякого аналогового об'єкта. Аналогом зазвичай вважаються регіон чи група населення з оптимальними споживчими характеристиками.
Поряд зі структурними моделями в плануванні та прогнозуванні попиту використовуються конструктивні моделі попиту. В основі їх лежать рівняння бюджету населення, тобто такі рівняння, які висловлюють очевидне рівність загального грошового витрати (іншими словами, обсягу споживання) і суми добутків кількості кожного спожитого товару на його ціну. Якщо Z, - обсяг споживання, т - кількість різних видів благ, qi - розмір споживання i-го блага, рi, - ціна i-го блага, то конструктивна модель попиту може бути записана наступним чином:
Ці моделі, звані також моделями бюджетів споживачів, відіграють важливу роль у плануванні споживання. Однією з таких моделей є, наприклад, всім відомий прожитковий мінімум. До таких моделей відносяться також раціональні бюджети, засновані на наукових нормах споживання, насамперед продуктів харчування, перспективні бюджети (наприклад, так званий бюджет достатку) і ін
У практиці планування та прогнозування попиту крім структурних і конструктивних моделей застосовуються також аналітичні моделі попиту і споживання, які будуються у вигляді рівнянь, що характеризують залежність споживання товарів і послуг від тих чи інших факторів. В аналітичних моделях функціональна залежність приймає цілком певний вид. Такі моделі можуть бути однофакторний і багатофакторними.