(1862-1943)
Його називають останнім всебічним математиком і самим чудовим вчителем математиків 20 століття. Але біографія у Гільберта була звичайна. Він народився у столиці Пруссії "Кенігсберзі незадовго до того, як Пруссія під керівництвом Бісмарка об'єднала всі німецькі держави в нову (другу) Німецьку імперію. Гільберт пережив зліт цієї держави, а потім" її розпад в кінці першої Світової війни. Потім виникла недовговічна Веймарська республіка, за нею послідували Гітлерівська імперія і друга Світова війна. Цих потрясінь вистачило б на багато життів, але до пори, до часу Гільберт примудрявся уникати участі в політиці і війнах.
Вундеркіндом він не був, а був типовим "класиком". Тобто, Гільберт по черзі намагався зрозуміти кожну область математики на всю її глибину і вирішити в ній ті завдання, які його цікавили. Коли політ фантазії і творчий вибух припинялися, Гільберт залишав це поле діяльності своїм учням. Але залишав у повному порядку, написавши хороший підручник для всіх послідовників і прочитавши відповідний курс для студентів.
Бувало й навпаки: Гільберт оголошував на наступний навчальний рік спецкурс з новою для себе області математики. За літо він входив у курс справи і далі вивчав нову науку, навчаючи їй студентів "як би ведучи групу альпіністів на траверс незнайомого хребта. Потрапити до складу такої штурмової групи вважалося великою честю і дуже важким випробуванням. Гільберт був турботливий з усіма учнями, в яких він помічав "іскру Божу". Але якщо вона згасала, то він чемно радив їм змінити рід діяльності, "наприклад, обмежитися викладанням математики. Бували й інші варіанти: учні Гільберта ставали фізиками, інженерами і навіть літераторами. Про одного колишнього вихованця Гільберт відгукнувся так: "Так, він став поетом" і правильно зробив. Для математики йому не вистачало фантазії! "Про те, що комусь може не вистачити працьовитості, Гільберт не говорив; нероб він не вважав повноцінними людьми.
Ще в Кенігсберзі Гільберт відчув себе лідером серед однолітків у науці, хоча зазнайство було йому чуже. Стати головою математичної школи "така мрія прийшла на думку сама собою. Але де звити своє гніздо" Це питання вимагає довгих роздумів. У Кенігсберзі професія математика була не в пошані; у столичному Берліні занадто велику роль грали військові та чиновники. Зате тихий Геттінген, осяяний славними іменами Гауса і Рімана, залишався місцем паломництва німецької математичної молоді. У 1895 році Гільберт переїхав туди і успішно пропрацював до 1933 року "поки до влади не прийшов Гітлер.
Подібно Гаусу, Гільберт почав свої дослідження з алгебри. 19 століття перетворив цю науку; прийшла пора навести в ній порядок, і Гільберт почав реформу з теорії чисел. Приводом стало замовлення від Математичного суспільства: зробити оглядову доповідь про сучасний стан теорії чисел і про перспективи її розвитку. З цим завданням Гільберт впорався б за півроку, але захопився цією роботою на добрих 5 років. У підсумку "Доповідь про числа" перетворився на підручник обсягом у 400 сторінок, де відбилися всі яскраві новинки. Наприклад, в цілих кільцях розкладання на прості множники буває неоднозначним: з-за цього Ернст Куммер не зумів завершити доказ Великої теореми Ферма. Або теорія інваріантів алгебраїчних груп: вона стала модною з тих пір, як Фелікс Клейн оголосив групу симетрій основним об'єктом геометрії. Гільберт довів цю область алгебри до досконалості і залишив її в спокої.
Або давня проблема англійця Варінга. Відомо, що кожне натуральне число є сумою не більше ніж 4 квадратів, або не більше 9 кубів. Чи правда, що для будь-якої ступеня (n) знайдеться число (к) таке, що будь-яке натуральне N буде сумою не більше ніж (к) різних (n)-них ступенів "Тільки в 1909 році ця проблема скорилася зусиллям Гільберта. Але його кращий друг і колега "Герман Мінковський" не встиг почути розповідь Давида про його чудовому успіху: він помер після невдалої операції апендициту за тиждень до вирішення проблеми Варінга ... Через три роки подібна смерть забрала француза Анрі Пуанкаре "єдиного математика, чиї досягнення Гільберт не встиг перевершити до його смерті.
Гільберт був щасливий у дружбі, але не так везучий в сімейному житті. З жінкою Кете вони жили, душа в душу; але єдиний син народився несповна розуму, і лікарі сказали, що так буде і надалі. Тому сім'єю Гільберта стали його учні майже з усіх країн Європи та Америки. Гільберт регулярно влаштовував спільні чаювання і турпоходи, під час яких математичні дискусії переривалися студентським базіканням про все на світі. Для манірною німецької професури такий стиль спілкування зі студентами був незвичний, але авторитет Гільберта зробив його нормою у Геттінгені, а учні та стажисти рознесли цю норму по всьому світу. У Росії її запровадили Дмитро Єгоров, Микола Лузін та їх учні: Павло Александров, Павло Урисон, Андрій Колмогоров.
Після перших алгебраїчних захоплень інтерес Гільберта змістився в геометрію, причому відразу в дві її області: класичну геометрію Евкліда і геометрію нескінченновимірних просторів, звану функціональним аналізом. Серед всіх векторних просторів, складених з функцій, Гільберт виділив найзручніше: те, в якому визначені відстань між точками, кут між векторами і межа послідовності точок. Цей аналог евклідового простору тепер називають гільбертовому просторі. Його геометричні властивості проявляються у рішеннях диференціальних рівнянь і в більш складних завданнях "криволінійної" геометрії.
У евклідової геометрії Гільберт хотів просто навести порядок. Адже за 23 сторіччя вимоги до суворості міркувань значно виросли, і прогалини в тексті Евкліда зробилися нетерпимі. У 1899 році Гільберт запропонував нову систему з 20 аксіом, серед яких явно не було жодної зайвої і (здавалося) не було пропусків. Гільберт підкреслив логічне досконалість своєї конструкції жартівливою фразою: "Справедливість аксіом і теорем нітрохи не захитається, якщо ми замінимо звичні терміни" точка, пряма, площина "іншими, так само умовними:" стілець, стіл, пивний кухоль "!
Цей успіх вселив Гільберт надію, що в кожній області математики можна ввести повну і сувору систему з необхідних і достатніх визначень і аксіом. Виведення всіх інших тверджень з цих засад можна буде формалізувати так, що він стане доступний обчислювальної машині. Правда, вона буде повільно повзти до тієї мети, якої людський розум нерідко досягає одним зухвалим стрибком. Зате кожну здогад можна буде перевірити "повільно, але надійно.
Гільберт усвідомлював, що ця його надія є гіпотезою і вимагає ретельної перевірки. В якості контрольного прикладу він обрав загальну теорію множин, а в ній "знамениту континуум-гіпотезу Кантора. Чи існує на відрізку незліченну безліч потужності меншої, ніж сам відрізок" Безуспішно намагаючись побудувати таку силу-силенну, Георг Кантор довів себе до психічного розладу. Навпаки, Гільберт спробував довести недоказово континуум "гіпотези" і це йому вдалося. Але коли він спробував довести її незаперечним, то зазнав невдачі. Успіх у цій справі прийшов лише в 1963 році до американця Полю Коену і чеху Карелу Вопенке.
Такий результат чимало порадував би Гільберта: він доводить, що континуум-гіпотеза є однією з необхідних аксіом теорії множин. Але за життя Гільберта спіткало в цій сфері тяжке розчарування, У 1931 році молодий австрієць Курт Гедель довів, що твердження на кшталт континуум-гіпотези (не доказові і не опровержімие) знайдуться в БУДЬ-ЯКІЙ системі аксіом. Були вони в системі Евкліда: такий "п'ятий постулат" про паралельні прямі. Є вони в теорії множин: така "аксіома вибору", така ж континуум-гіпотеза. Є вони навіть в арифметиці "і надалі будуть у всякій формальної моделі будь-якої з галузей математики!
Значить, надія Гільберта на повну формалізацію кожної галузі математики була помилкою "Так, такий вирок природи; оскарженню воно не підлягає. Але його можна сприйняти і з оптимізмом: з теореми Геделя випливає, що розвиток будь-якої галузі науки ніколи не припиниться! Правда, для цього доведеться регулярно винаходити нові визначення і аксіоми, що випливають із суті справи. На це здатний тільки людський мозок, але не комп'ютер. Гільберт це знав з досвіду, тому він не тільки засмучувався, але і радів вражаючого відкриття Геделя. Приємно, коли природа виявляється ще багатшими , ніж ти сподівався!
Але якщо винахід універсальної системи аксіом не може стати єдиним або головним прапором для розвивається математики, то, що потрібно додати до цього прапора "Ясно, що: рішення нових завдань! Ця робота приносить вченого все нові радості, спонукає його до нових зусиль. Значить, в будь-який момент часу всі математики повинні мати чітке уявлення про найважливіші не вирішених проблем своєї науки. Борг найсильніших математиків "не тільки вирішувати такі завдання, але і ставити нові проблеми на зміну вирішеним. Гільберт вступив на цей шлях у 38 років "у 1900 році, коли він зробив на Паризькому математичному конгресі доповідь" Математичні проблеми ". З тих пір пройшов цілий вік" і видно, що жоден математик не перевершив Гільберта своїм впливом на розвиток науки.
Які ж завдання Гільберт вважав тоді головними для математики "По-перше, обгрунтування її нових, що бурхливо розвиваються гілок: теорії множин, математичної логіки, теорії чисел, алгебраїчної геометрії, функціонального аналізу. У кожній з цих областей Гільберт виділив одну-дві задачі," найбільш просто формулируемого і важкі для вирішення. Такі континуум-гіпотеза і несуперечність арифметики, розподіл простих чисел і трансцендентність числа тобто .., класифікація неперервних груп і розв'язність діофантових рівнянь.
До кінця 20 століття всі ці завдання або вирішені, або доведена їх нерозв'язність. Але кожна вирішена проблема породила букет нових проблем ще більшої складності і такий же краси "так що Гільберт вірно вгадав найперспективніші точки зростання на тисячолітньому дереві математичної науки.
Осібно стоїть у списку Гільберта проблема 6: "Дати математичне виклад аксіом фізики". Це "прямий розвиток програми Ньютона на шляху великих успіхів і невдач Максвелла, Планка і Ейнштейна. Гільберт не став детально викладати це питання, будучи впевнений: кожне велике відкриття у фізиці ставить перед математиками безліч нових красивих задач, і цьому процесу кінця не буде!
Років через 20 молоді учні жартома запитали Гільберта: рішення якої завдання було б зараз корисніше за все для математики "Старіючий професор відповів цілком серйозно:" Спіймати муху на звороті Місяця! "Учні остовпіли, а Гільберт пояснив:" Сама ця задача нікому не потрібна . Але подумайте: якщо вона буде вирішена, то, які могутні методи доведеться винайти для цього, і яке безліч інших важливих відкриттів ми при цьому зробимо! "
Життя підтвердило правоту Гільберта і в цьому випадку. Згадаймо, що електронні комп'ютери були винайдені на замовлення протиповітряної оборони та для швидкого розрахунку водневої бомби. Запуск штучного супутника Землі, висадка перших людей на Місяці, прогноз погоди на всій земній кулі "всі ці завдання були вирішені як" побічний продукт "набагато менш красивих проблем в гонці озброєнь.
Сам Гільберт не дожив до цих подій. В останні 10 років життя він безсило спостерігав розпад Геттінгенської математичної школи під владою нових варварів "нацистів. Чи розумів він, що некультурне панування Гітлера просто зсуває центр світової наукової думки з Німеччини на захід" в США "Ймовірно, він здогадувався про це" і гірко посміхався про себе, порівнюючи божевільний проект побудови "тисячолітнього царства арійської раси" з ловом мух на зворотному боці Місяця. Дивно жартує Історія ...
Зараз, в кінці 20 століття, ми бачимо: Давид Гільберт виявився далекоглядним і впливовим математиком цього сторіччя. Добре, якщо і надалі в науці будуть з'являтися подібні лідери!