Графічне рішення рівнянь
Розквіт, 2009
Введення
Необхідність вирішувати квадратні рівняння ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вавілоняни вміли вирішувати ще близько 2000 років до н.е. Правило рішення цих рівнянь, викладене в вавилонських текстах, співпадає по суті з сучасними, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила.
Формули рішення квадратних рівнянь в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 році італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Його книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не лише в Італії, а й Німеччини, Франції та інших країнах Європи.
Але загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, при всіляких комбінаціях коефіцієнтів b і c було сформульовано в Європі лише в 1544 році М. Штіфель.
У 1591 році Франсуа Вієт ввів формули для розв'язання квадратних рівнянь.
У стародавньому Вавілоні могли вирішити деякі види квадратних рівнянь.
Діофант Олександрійський і Евклід, Аль-Хорезмі і Омар Хайям вирішували рівняння геометричними і графічними способами.
У 7 класі ми вивчали функції у = С, у = kx, у = kx + m, у = x 2, у = - x 2, у 8 класі - у = √ x, у = | x |, у = ax 2 + bx + c, у = k / x. У підручнику алгебри 9 класу я побачила ще не відомі мені функції: у = x 3, у = x 4, у = x 2 n, у = x - 2 n, у = 3 √ x, (x - a) 2 + ( у - b) 2 = r 2 та інші. Існують правила побудови графіків даних функцій. Мені стало цікаво, чи є ще функції, що підкоряються цим правилам.
Моя робота полягає в дослідженні графіків функцій і графічному рішенні рівнянь.
1. Які бувають функції
Графік функції - це множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументів, а ординати - відповідним значенням функції.
Лінійна функція задається рівнянням у = kx + b, де k і b - деякі числа. Графіком цієї функції є пряма.
Функція зворотної пропорційності у = k / x, де k ¹ 0. Графік цієї функції називається гіперболою.
Функція (x - a) 2 + (у - b) 2 = r 2, де а, b і r - деякі числа. Графіком цієї функції є коло радіуса r з центром у т. А (а, b).
Квадратична функція y = ax 2 + bx + c де а, b, с - деякі числа і а ¹ 0. Графіком цієї функції є парабола.
Рівняння у 2 (a - x) = x 2 (a + x). Графіком цього рівняння буде крива, звана строфоїди.
Рівняння (x 2 + y 2) 2 = a (x 2 - y 2). Графік цього рівняння називається Лемніската Бернуллі.
Рівняння. Графік цього рівняння називається астроідой.
Крива (X 2 y 2 - 2 ax) 2 = 4 a 2 (x 2 + y 2). Ця крива називається кардіоїда.
Функції: у = x 3 - кубічна парабола, в = x 4, у = 1 / x 2.
2. Поняття рівняння, його графічного рішення
Рівняння - вираз, що містить змінну.
Вирішити рівняння - це значить знайти всі його корені, або довести, що їх немає.
Корінь рівняння - це число, при підстановці якого в рівняння виходить правильне числове рівність.
Рішення рівнянь графічним способом дозволяє знайти точне або наближене значення коренів, дозволяє знайти кількість коренів рівняння.
При побудові графіків і рішення рівнянь використовуються властивості функції, тому метод частіше називають функціонально-графічним.
Для вирішення рівняння «ділимо» на дві частини, вводимо дві функції, будуємо їх графіки, знаходимо координати точок перетину графіків. Абсциси цих точок і є корені рівняння.
3. Алгоритм побудови графіка функції
Знаючи графік функції у = f (x), можна побудувати графіки функцій у = f (x + m), у = f (x) + l і у = f (x + m) + l. Всі ці графіки виходять з графіка функції у = f (x) за допомогою перетворення паралельного переносу: на │ m │ одиниць масштабу вправо або вліво вздовж осі x і на │ l │ одиниць масштабу вгору або вниз уздовж осі y.
4. Графічне рішення квадратного рівняння
На прикладі квадратичної функції ми розглянемо графічне рішення квадратного рівняння. Графіком квадратичної функції є парабола.
Що знали про параболу стародавні греки?
Сучасна математична символіка виникла в 16 столітті.
У давньогрецьких ж математиків ні координатного методу, ні поняття функції не було. Тим не менш, властивості параболи були вивчені ними докладно. Винахідливість античних математиків просто вражає уяву, - адже вони могли використовувати лише креслення і словесні описи залежностей.
Найбільш повно досліджував параболу, гіперболу і еліпс Аполонія Пергський, що жив в 3 столітті до н.е. Він же дав цим кривим назви і вказав, яким умовам задовольняють точки, що лежать на тій чи іншій кривій (адже формул-то не було!).
Існує алгоритм побудови параболи:
Знаходимо координати вершини параболи А (х 0; у 0): х 0 =- b / 2 a;
y 0 = ах 2 + вх про 0 + с;
Знаходимо вісь симетрії параболи (пряма х = х 0);
Складаємо таблицю значень для побудови контрольних точок;
Будуємо отримані точки і побудуємо точки їм симетричні відносно осі симетрії.
1. По алгоритму побудуємо параболу y = x 2 - 2 x - 3. Абсциси точок перетину з віссю x і є коріння квадратного рівняння x 2 - 2 x - 3 = 0.
Існує п'ять способів графічного рішення цього рівняння.
2. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y = x 2 і y = 2 x + 3. Корені рівняння - абсциси точок перетину параболи з прямою.
3. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y = x 2 -3 і y = 2 x. Корені рівняння - абсциси точок перетину параболи з прямою.
4. Перетворимо рівняння x 2 - 2 x - 3 = 0 за допомогою виділення повного квадрата на функції: y = (x -1) 2 і y = 4. Корені рівняння - абсциси точок перетину параболи з прямою.
5. Розділимо почленно обидві частини рівняння x 2 - 2 x - 3 = 0 на x, одержимо x - 2 - 3 / x = 0, розіб'ємо дане рівняння на дві функції: y = x - 2, y = 3 / x. Корені рівняння - абсциси точок перетину прямої і гіперболи.
5. Графічне рішення рівнянь ступеня n
Приклад 1. Розв'язати рівняння x 5 = 3 - 2 x.
Корінням даного рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y = x 5, y = 3 - 2 x.
Відповідь: x = 1.
Приклад 2. Вирішити рівняння 3 √ x = 10 - x.
Корінням даного рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y = 3 √ x, y = 10 - x.
Відповідь: x = 8.
Висновок
Розглянувши графіки функцій: у = ax 2 + bx + c, у = k / x, у = √ x, у = | x |, у = x 3, у = x 4, у = 3 √ x, я помітила, що всі ці графіки будуються за правилом паралельного перенесення щодо осей x і y.
На прикладі вирішення квадратного рівняння можна зробити висновки, що графічний спосіб застосовний і для рівнянь ступеня n.
Графічні способи вирішення рівнянь красиві і зрозумілі, але не дають стовідсоткової гарантії вирішення будь-якого рівняння. Абсциси точок перетину графіків можуть бути наближеними.
У 9 класі і в старших класах я буду ще знайомитися з іншими функціями. Мені цікаво знати: чи підкоряються ті функції правилам паралельного переносу при побудові їх графіків.
На наступний рік мені хочеться також розглянути питання графічного рішення систем рівнянь і нерівностей.
Література
1. Алгебра. 7 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
2. Алгебра. 8 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
3. Алгебра. 9 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
4. Глейзер Г.І. Історія математики в школі. VII-VIII класи. - М.: Просвещение, 1982.
5. Журнал Математика № 5 2009; № 8 2007; № 23 2008.
6. Графічне рішення рівнянь сайти в Інтернеті: Тол ВІКІ; stimul. Biz / ru; wiki. Iot. Ru / images; berdsk. Edu; pege 3-6. Htm.