Граничні умови загального вигляду

План.
1. Сполучений оператор.
2. Сполучена однорідна завдання.
3. Умови розв'язності.
Сполучений оператор.
Позначимо через диференціальний оператор другого порядку, тобто
(1)
де представляють собою безперервні функції у проміжку . Якщо і - Двічі безперервно диференціюються на функції, то маємо:
(2)
Як і в попередньому параграфі, інтегрування співвідношення (2) по частинах дає:
(3)
Позначимо диференціальний оператор, що входить до Фундаментальний вираз в правій частині (3) через , Тобто (4)
При цьому співвідношення (3) перепишеться так:
(5)
Оператор називається зв'язаним по відношенню до оператора . Множачи співвідношення (4) на та інтегруючи отриманий результат по частинах, по відношенню до оператора . Таким чином, оператори і взаємно пов'язані.
Як і в попередньому параграфі, диференціальне рівняння:
(6)
будемо називати зв'язаним диференціальному рівнянню:
(7)
Якщо ж , То оператор і диференціальне рівняння будемо називати сполученими. Порівнюючи вирази (1) та (5), приходимо до висновку, що тоді і тільки, коли:

Таким чином, оператор будемо самосполучення тоді і тільки тоді, коли .
При цьому:

Оскільки будь-яке диференціальне рівняння вигляду (7) можна перетворити в самосполучення форму, помноживши на функцію .
Диференціюючи співвідношення (5) за , Отримуємо так звану формулу Лагранжа:
(8)
Права частина цієї формули може бути записана як:
(9)
де
(10)
Відзначимо, що:
і отже, матриця -Невироджена. Підстановка виразу (9) у співвідношення (8) дає:
(11)
Сполучена однорідна завдання.
Введемо наступне невироджені лінійне перетворення у вектор :
(12),
де

Зауважимо, що зазначене перетворення може бути виконане безліччю способів, залежно від вибору матриці А. При заданому ненульовому векторі два останні рядки матриці А можна вибрати так, щоб надати будь-які необхідні значення компонентів . Це зауваження використовується в подальшому при знаходженні виду сполучених граничних умов. Оскільки , Ми можемо звернути перетворення (12) і отримати:
.
При цьому (11) можна переписати як:

або
(13),
де (14)
Білінійна форма у співвідношенні (13) називається канонічним уявленням білінійної форми в правій частині тотожності (11).
Для того щоб знайти граничні умови спряженої задачі, покладемо в співвідношенні (13)
і і отримаємо:
(15)
З формули (21) випливає, що однорідні граничні умови, еквівалентні равенствам:
(16)
(17)
З урахуванням рівностей (16) і (17) співвідношення (15) приймає вигляд:
(18)
При ненульовому векторі останні два рядки матриці А можуть бути вибрані так, щоб компоненти і брали будь-які необхідні значення, лише б і не зверталися в нуль одночасно. Зокрема, нижні рядки матриці А можна вибрати з умови . При цьому зі співвідношення (11) випливає, що . Аналогічним чином, нижні рядки матриці А можна вибрати так, щоб виконувалися рівності . При цьому зі співвідношення (11) випливає, що . Таким чином, завдання, сполучена завданню (19)
має вигляд:
(20)
де і пов'язані з компонентами вектора співвідношенням (14). Крайова задача (19) називається самосполучення тоді і тільки тоді, коли і кожна з двох компонент і є лінійною комбінацією і , Тобто пропорційна .
Один з визначників:

матриць-блоків

повинен бути відмінним від нуля. Щоб мати можливість порівняти ці результати з тими. які були отримані в попередньому параграфі, припустимо. що . Далі, виберемо такі і , Щоб рядки матриці А були лінійно незалежні.
Наприклад, покладемо і .
При цьому матриця А прийме вигляд:
(21).
З формули (19) випливає, що .
Тоді
(22)
Підставляючи матриці (20) і (9) у співвідношення (14) маємо (14а):
Отже, граничні умови спряженої задачі мають вигляд:
(22)
(23)
Для того, щоб крайові задачі були самосполучення необхідно, щоб і щоб кожна з компонент і була лінійною комбінацією і . Як вказувалося вище, тоді і тільки тоді, коли . При цьому умови (21) і (20) приймають вигляд:
(24)
Вирішуючи рівності щодо і при і замінюючи на , Отримуємо:
(25)
Порівнюючи граничні умови (24) і (25), укладаємо, що вони збігаються тоді і тільки тоді, коли:
(26)
Крайова задача при самосопряжена тоді і тільки тоді, коли виконані співвідношення (24) і рівність .
Умова розв'язності.
Визначивши пов'язану крайову задачу, повернемося до вирішення неоднорідної завдання. Використовуючи визначення (25), перепишемо формулу Гріна у вигляді:
(27)
,
тоді зі співвідношення (27) випливає, що умова розв'язності має вигляд:
(27)
Для того, щоб порівняти умова (27) з умовою розв'язності, використовуємо зв'язок і з вектором , Описувану формулою (14а) тобто:
(28)
При цьому співвідношення (27) приймає вигляд:

Якщо мати справу з граничними умовами загального вигляду можна висловити будь-які два з граничних значень через два інших.