Московський державний технічний
Університет ім. Н.Е. Баумана
Калузький філія
Гранична рівновага балок і рам
Поширений в практиці розрахунку машинобудівних конструкцій розрахунок за допускаються напруженням не дає уявлення про істинним запасі міцності. Якщо напружений стан неоднорідне, то виникнення пластичних деформацій в одній точці ще не означає настання граничного стану для всієї конструкції.
Під граничною розуміється та навантаження, при якому вичерпується здатність системи сприймати зростаюче навантаження, або така, при якій виникають такі значні зміни геометричних розмірів системи, що остання перестає задовольняти своєму призначенню.
Під терміном метод граничної рівноваги розуміється розрахунок систем у припущенні, що матеріал їх має діаграму''s - e''з необмеженою майданчиком плинності (Рис.1). Початковий ділянку діаграми відповідає пружною роботі матеріалу з модулем пружності Е і верхньою межею, яка дорівнює s y. Горизонтальний ділянку - ідеальної пластичності матеріалу (деформації необмежено ростуть при стабільному ном напрузі). Така діаграма називається зазвичай діаграмою ідеально пружно тіла або діаграмою Прандтля.
s
s y
0 e
Рис. 1
1. Граничний момент для перетину балки
При значеннях згинального моменту М> s т W x поперечний переріз балки переходить в пружнопластичне стан. У міру зростання деформацій, пружне ядро перерізу скорочується і в межі епюра нормальних напружень набуває вигляду двох прямокутників (Мал. 2). Цей стан перетину і будемо вважати граничним.
Залежність між кривизною осі балки і ізгібающім моментом буде мати вигляд, зображений на Рис. 3. Враховуючи, що в розрахунок вже внесена похибка, обумовлена прийняттям діаграми Прандтля, апроксимуємо залежність''кривизна - момент''двома відрізками прямих.
Y s y М
А -
x 0 s y W x м u
Справжня залежність
А + 1 / r
0 КРИВИЗНИ БАЛКИ
s y
Рис. 2 Рис. 3
Звернемо увагу на те, що залежність між М і 1 / r подібна діаграмі Прандтля. Граничний стан перерізу вважається досягнутим відразу після закінчення пружній стадії роботи перерізу, яка кілька продовжується за рахунок пружної стадії. Значення моменту, відповідне граничного стану, називається граничним моментом. Граничного моменту відповідає невизначене значення кривизни від М пр / ЕI x до ¥. Ця умовна стадія роботи перетину називається пластичним шарніром.
Граничний момент можна вирахувати, як момент внутрішніх сил перерізу відносно нейтральної осі в граничному стані x 0 (Рис.2). Вважаючи межі текучості при розтягуванні і стисненні однаковими і рівними s y, отримаємо:
М u = ò s y y dA + ò s y y dA = s y (êS xo + ê + êS xo - ê) = s y W пл;
A + A -
W пл = çS xo + ç + çS xo - ç - пластичний момент опору;
S xo + і S xo - - cтатіческіе моменти, відповідно, розтягнутої і стиснутої зони перетину (Мал. 2), взяті щодо осі x 0. Положення осі x 0 знайдеться з умови, що вона ділить перетин на дві рівновеликі за площею частини: А + = А -.
Отже! Перетин, що перейшло у граничний стан, веде себе подібно шарніра. Пластичний шарнір має такі відмінності:
1) у ньому діє згинальний момент, що дорівнює M u;
2) він односторонній;
3) при зменшенні навантаження він може закритися.
2. Граничне рівновагу балок і рам
Наведене спочатку визначення граничного стану системи занадто загальне і для досягнення результату має бути конкретизовано. Для балок і рам, матеріал яких слід діаграмі Прандтля, воно може бути сформульовано:
Граничний стан балки (рами) буде досягнуто тоді, коли в ній з'явиться стільки пластичних шарнірів, що система стане кінематично змінною.
Навантаження, відповідна граничного стану системи, називається граничним навантаженням. Граничну навантаження можна знайти, розглядаючи рівновагу механізму, який утворюється з системи після того, як в ній з'явиться достатня кількість пластичних шарнірів. Вважається, що механізм переходу в граничний стан є абсолютно жорсткі ланки, з'єднані між собою шарнірами. Таким чином, вважають, що зона плинності по довжині балки або стрижня рами обмежується одним перетином - пластичним шарніром. Переміщення механізму, допустимі зв'язками, будемо розглядати, як можливі. Тоді можна записати рівняння робіт, використовуючи принцип можливих переміщень:
Слід враховувати, що кінематичний спосіб визначення граничних навантажень завжди дає верхню оцінку несучої здатності конструкції.
3. Приклади
Приклад 1. Статично определимая балка на двох опорах завантажена силою, прикладеної посередині прольоту (Мал. 4). Знайти граничне навантаження для балки.
F u
a У a
А З
У 1 M u 2a
L / 2 L / 2
Рис. 4
Очевидно, що для переходу балки в граничний стан необхідна поява одного пластичного шарніра. Він з'явиться в середині прольоту, під силою. Використовуємо принцип можливих переміщень і запишемо рівняння робіт: F u × BB 1 - M u × 2a = 0,
тут враховано, що робота внутрішніх сил завжди негативна, тому що вони спрямовані у бік, протилежний переміщенню. Крім того, ми вважаємо, що оскільки кут a - малий: a = 2ВВ 1 / L. Тоді значення граничної сили дорівнюватиме:
F u = 4M u / L.
При заданому перерізі, а також відомому межі плинності M u легко обчислюється, відповідно до викладеного вище і, отже, поставлена задача вирішена.
Приклад 2. Двухпролетая, один раз статично невизначена балка завантажена в лівому прольоті зосередженої силою (Мал. 5). Знайти граничне значення сили.
F
L 2 L 2 L
F u M u
A a B b C
M u B 1 a + b
Схема переходу в граничний стан
Рис. 5
Граничний стан буде досягнуто в тому випадку, якщо з'являться два пластичних шарніра - один під силою, інший на опорі С. Рівняння робіт запишеться:
F u × BB 1 - M u (a + b) - M u × b = 0, де: a = BB 1 / L; b = BB 1 / 2L;
тоді: F u = 2,5 M u / L.
Звернемо увагу на той факт, що для визначення граничного навантаження не було необхідності розкривати статичної невизначеності балки. Тут було одразу зрозуміло, що найбільші згинальні моменти, а, отже, і пластичні шарніри утворюються під силою і на проміжній опорі. У більш складних випадках знання пружного стану може бути корисним, хоча з принципової точки зору необов'язковим, тому що можна перебрати всі кінематично можливі схеми переходу в граничний стан і відібрати справжню за допомогою кінематичного екстремального принципу.
Приклад 3. Двопрогінна статично невизначена балка завантажена рівномірно розподіленим навантаженням, прикладеної в лівому прольоті (Мал. 6). Знайти граничне навантаження для балки.
q
L L
a q u b M u
ABC
DD 1 M u
D 1
z L a + b
Cхема переходу в граничний стан
Рис. 6
Балка вичерпає свою несучу здатність у тому випадку, коли в ній з'являться два пластичних шарніра. Один пластичний шарнір виникне на середній опорі, інший в прольоті під навантаженням. Положення пластичного шарніра в прольоті нам поки невідомо і ми поставимо його безрозмірною координатою z (0 <z <1). Записуючи рівняння робіт, врахуємо, що робота рівномірно розподіленого навантаження дорівнює добутку інтенсивності навантаження на площу фігури, що лежить під навантаженням і утвореної початковою становищем осі балки і ланками механізму, що утворився в результаті появи пластичних шарнірів. У нашому випадку інтенсивність потрібно помножити на площу трикутника ABD 1 (Мал. 6). Таким чином, рівняння робіт буде виглядати:
½ q u × DD 1 × L - M u (a + b) - M u × b = 0; a = DD 1 / zL; b = DD 1 / (L (1-z)).
Висловлюючи звідси q u, отримаємо:
2M u (1 + z)
q u = ¾¾¾¾¾¾¾ (a)
L 2 z (1 - z)
Різним значенням z, тобто різним положенням пластичного шарніра, будуть відповідати різні значення граничного навантаження q u. Скористаємося кинематическим екстремальним принципом. Істинному стану пластичного шарніра, а, отже, істинної граничної навантаженні відповідає мінімум виразу (а).
dq / dz = 0 і 2M u / L 2 ¹ 0 Þ
z - z 2 - (1 + z) (1 - 2z)
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 0,
[Z (1 - z)] 2
Прирівнюючи чисельник нулю, одержимо квадратне рівняння
z 2 + Z - 1 = 0,
коріння якого рівні: z 1,2 = - 1 ± Ö 2; z 1 = Ö 2 - 1 »0,414, другий корінь не має сенсу. Підставляючи знайдене значення z 1 у вираз (а), остаточно отримаємо: q u = 11,66 M u / L 2.
Приклад 4. Статично невизначена однопролетная балка (Рис.7) завантажена двома силами F і 2F. Знайти граничне значення F.
Балка вичерпає несучу здатність при утворенні двох пластичних шарнірів. Один з них з'явиться у закладенні, а інший під однією з сил. Можливі варіанти: схема а) - пластичний шарнір під силою F, схема б) - під силою 2F (Мал. 7).
Розглянемо перший випадок. Рівняння робіт запишеться:
2F u × BB 1 + F u × CC 1 - M u a - M u (a + b) = 0; врахуємо: BB 1 = (2 / 3) CC 1;
a = CC 1 / 3L; b = CC 1 / L, тоді: F u = 5M u / 7L »0,714 M u / L.
Другий випадок нам дасть:
2F u × BB 1 + F u × CC 1 - M u j - M u × 2j = 0; CC 1 = ½ BB 1; j = BB 1 / 2L Þ
F u = 3M u / 5L = 0,6 M u / L.
Очевидно, що згідно кінематичному екстремального приципу, реальною буде схема переходу в граничний стан б), що дає найменше значення граничного навантаження.
Приклад 5. Один раз статично невизначена рама завантажена силою F (Мал. 8). Знайти граничне значення сили.
BB 1
FBCF u B 1 C 1
M u M u
L
aa
A D
A D
L
Cхема переходу в граничний стан
Рис. 8
Рама перейде в граничний стан, коли у вузлах В і С з'являться пластичні шарніри. Конфігурація виник при цьому механізму буде визначатися одним параметром - кутом a. Сумарна робота всіх зовнішніх і внутрішніх сил на можливих переміщеннях запишеться:
F u × BB 1 - M u a - M u a = 0; a = BB 1 / L Þ
F u = 2M u / L.
Приклад 6. Статично невизначена двопрогінна балка завантажена рівномірно розподіленим навантаженням q і силою F = qL (L = 1м). Розміри поперечного перерізу задані в мм. Матеріал - Ст.3 слід діаграмі Прандтля: s y = 240 МПа, коефіцієнт запасу по плинності n y = 1,5; допустима напруга s adm = s y / N y = 160 МПа. Виконати следующе:
1) Розкрити статичної невизначеності і побудувати епюру згинальних моментів для пружної стадії роботи балки.
2) Визначити для заданого перерізу балки, виходячи з пружної роботи, що допускається інтенсивність навантаження q adm.
3) Знайти граничний момент M u для заданого перерізу.
4) Виходячи з розрахунку за методом граничної рівноваги, знайти граничне навантаження q u. Знайти навантаження q u amd, яку можна допустити, грунтуючись на методі граничної рівноваги. Коефіцієнт запасу по плинності залишити колишнім.
1) Розкриємо статичної невизначеності. Використовуємо для цього спосіб''рівняння трьох моментів''. Разрєжєм балку над опорою 2 і помістимо туди шарнір (Мал. 9). Основна система буде представляти собою дві однопрогонові балки, епюри моментів для яких показані на Рис. 9а. Рівняння трьох моментів для опори 2 запишеться:
2M 2 (3L + 2L) = - 6 [((2 / 3) (qL 2 / 2) × 2L × L + ½ (2qL 2 / 3) × 2L × (4L / 3) +
+ ½ (2qL 2 / 3) × L × (7L / 3)) / (3L) - ½ (qL 2) × 2L × L / (2L)];
звідки знайдемо опорний момент: M 2 = - qL 2 / 6 »- 0,1667 qL 2.
Епюра опорного моменту показана на Рис. 9б. Складаючи епюру опорних моментів з епюр моментів в основній системі (Мал. 9а), отримаємо епюру моментів для статично невизначеної балки (Ріс.9в). Знайдемо максимальне значення моменту в лівому прольоті, для чого завантажимо проліт 1 - 2, крім заданого навантаження, знайденим опорним моментом М 2 (Мал. 10).
q
0,1667 qL 2
R 1 z R 2
2L L
Рис. 10
Знайдемо ліву опорну реакцію: R 1 = 4qL / 3 - 0,1667 qL 2 / 3L »1,2778 qL
Згинальний момент у довільному перерізі з координатою z визначиться: M = 1,2778 qL - qz 2 / 2; умови екстремуму: dM / dz = 0 Þ
z = 1,2778 L, max M = 0,8164 qL 2.
2) Визначимо навантаження, яку можна допустити на балку, грунтуючись на пружній розрахунку. Спочатку знайдемо геометричні характеристики заданого перерізу (Мал. 11). Площа поперечного перерізу: А = А 1 + А 2 = 10 + 12 = 22 см 2. Визначимо положення центру ваги перерізу.
Знайдемо статичний момент площі поперечного перерізу відносно осі x 2: S x 2 = A 1 b = 10 × 4 = 40 см 3. Координата центра ваги визначиться: b 2 = S x 2 / A = 40 / 22 »1,82 см.
Момент інерції перерізу:
A 1 I x = I x 1 + A 1 b 1 2 + I x 2 + A 2 b 2 лютого =
x 1 = 5 × 2 3 / 12 + 10 × 2,18 2 + 2 × 6 3 / 12 +
b 1 + 12 × 1,82 2 = 126,5 см 4.
b o x
b 2 Момент опору перетину:
A 2 y max x 2
W x = I x / Y max = 126,5 / 4,82 = 26,2 см 3.
Рис. 11
Допустиме навантаження можна знайти, прирівнявши максимальні напруги в балці допускаються:
s max = max M / W x = s adm Þ 0,8164 q adm L 2 / W x = s adm Þ
q adm = (s adm W x) / (0,8164 L 2) = (160 × 10 6 Па × 26,2 × 10 - 6 м 3 /
(0.8164 × 1 м 2) = 5135 Н / м = 5,135 кН / м.
3) Положення нейтральної осі в граничному стані знайдемо, прирівнявши площі стиснутої і розтягнутої зон (Мал. 12):
10 + (6 - y) × 2 = 2 × y Þ y = 5,5 см.
А -
x 0 Пластичний момент опору:
y W пл = ç S xo - ç + ç S xo + ç =
= 10 × 1,5 + ½ × 0,5 2 × 2 + ½ × 5,5 2 × 2 =
A + = 45,5 см 3.
Рис. 12
Граничний момент для перетину:
M u = s y W пл = 240 × 10 6 Па × 45,5 × 10 - 6 м 3 = 10920 Н × м = 10,92 кН × м
4) Балка перейде в граничний стан тоді, коли в ній утворюються два пластичних шарніра. Один з них з'явиться у правому прольоті, під силою. Положення другого, який виникне в лівому прольоті, під навантаженням, нам поки невідомо. Задамо його безрозмірною координатою z (0 <z <2). Механізм переходу в граничний стан показаний на Рис. 13.
Запишемо рівняння робіт зовнішніх і внутрішніх сил на переміщеннях, що виникли у механізмі. Робота розподіленого навантаження буде дорівнює добутку інтенсивності навантаження на площу фігури, утвореної віссю балки в первісному стані, відрізком СС 1 і відрізками, що лежать під навантаженням і співпадаючими з ланками механізму.
½ × q u [BB 1 zL + BB 1 L (3-z) - CC 1 L] + q u L × DD 1 - M u (a + b) - M u × 2b = 0.
що входять в рівняння відрізки і кути виразяться через ВВ 1:
CC 1 = DD 1 = BB 1 / (3 - z); a = BB 1 / (zL); b = BB 1 / ((3-z) L).
Підставивши це у рівняння робіт, і вирішивши його відносно граничного навантаження, маємо:
2M u (3 + 2z)
q u = ¾¾¾¾¾¾.
L 2 z (10 - 3z)
Істинному стану пластичного шарніра в лівому прольоті відповідає мінімум граничного навантаження (див. приклад 3): dq u / dz = 0.
Прирівнюючи в отриманому виразі для похідної чисельник нулю, одержимо квадратне рівняння z 2 + 3z - 5 = 0, вирішивши яке знайдемо корені: z 1 = 1,1926 і z 2 = - 4,1926 (не має сенсу). Підставивши перший корінь у вираз для q u, отримаємо справжнє значення граничного навантаження для балки:
q u = 1,406 M u / L 2 = 1,406 × 10,92 кН × м / 1м 2 = 15,35 кН / м.
Якщо прийняти такий же коефіцієнт запасу по плинності, що і при пружному розрахунку, то, виходячи з розрахунку по граничних навантажень, на балку може бути допущена навантаження:
q adm u = q u / N y = (15,35 кН / м) / 1,5 = 10,23 кН / м.
Звернемо увагу на те, що це значно більше, ніж дає пружний розрахунок. Відношення значень навантажень за двома методами розрахунку дорівнює: q adm u / q adm = 10,23 / 5,135 = 1,99. Тобто розрахунок за методом граничної рівноваги дозволяє в даному випадку збільшити навантаження на балку в два рази.
Цікаво відзначити і той факт, що пластичний шарнір з'явився не в тому місці, де в пружній стадії був максимальний згинальний момент (z = 1,2778). Ця обставина говорить про те, що за межами пружності відбуваються перерозподілу зусиль.
Висновок
Як вже зазначалося у п.2, кінематичний метод завжди дає верхню оцінку граничного навантаження, маючи яку, ми не знаємо, наскільки вона перевищує істинну. З цієї причини в розрахунок доводиться вводити додатковий запас міцності. Крім кінематичного методу, існує статичний метод визначення граничних навантажень. Він полягає в тому, що розглядаються статично можливі стани і будь-яке навантаження, відповідна безпідставного статично можливого станом системи, менше граничного навантаження. Статичний метод завжди дає нижню оцінку граничного навантаження. Якщо б ми могли вирішити завдання одночасно і кінематичними і статичним методами, то отримали б двосторонню оцінку, що вирішило б проблему. Однак знаходження статичних рішень у більшості випадків досить складно, і точна оцінка можлива для небагатьох завдань.
Необхідною умовою використання методу граничної рівноваги є достатня пластичність матеріалу. Крім того навантаження повинна бути статичною або близькою до неї. Не можна використовувати цей метод при змінюються в часі напругах, тому що в цьому випадку вирішальним фактором буде втомна міцність. Ці обставини звужують базу застосування методу в машинобудівній практиці. І, тим не менш, перевага методу, що полягає в значній економії матеріалу, настільки очевидно, що метод граничної рівноваги треба використовувати завжди, коли це можливо.
ЛІТЕРАТУРА
1. Феодос'єв В.І. Опір матеріалів. - М.: Наука. - 1986. - 512 с.
2. Малінін М.М. Прикладна теорія пластичності та повзучості. - М.: Машинобудування. - 1968. - 400 с.
3. Ржаніцин А.Р. Будівельна механіка. - М.: Вища школа. - 1991. - 440 с.
4. Работнов Ю.М. Механіка деформівного твердого тіла. - М.: Наука. - 1979. - 744 с.
5. Лешковцев В.Г., Покровський А.М., Зарубін С.В. Розрахунок граничних навантажень у стрижневих системах. - М.: МГТУ. - 1993. - 36 с.
6. Гречанінов І.П., Ринковенко О.В. Розрахунки за межами пружності. - М.: МВТУ. - 1986. - 12 с.
Університет ім. Н.Е. Баумана
Калузький філія
Гранична рівновага балок і рам
Поширений в практиці розрахунку машинобудівних конструкцій розрахунок за допускаються напруженням не дає уявлення про істинним запасі міцності. Якщо напружений стан неоднорідне, то виникнення пластичних деформацій в одній точці ще не означає настання граничного стану для всієї конструкції.
Під граничною розуміється та навантаження, при якому вичерпується здатність системи сприймати зростаюче навантаження, або така, при якій виникають такі значні зміни геометричних розмірів системи, що остання перестає задовольняти своєму призначенню.
Під терміном метод граничної рівноваги розуміється розрахунок систем у припущенні, що матеріал їх має діаграму''s - e''з необмеженою майданчиком плинності (Рис.1). Початковий ділянку діаграми відповідає пружною роботі матеріалу з модулем пружності Е і верхньою межею, яка дорівнює s y. Горизонтальний ділянку - ідеальної пластичності матеріалу (деформації необмежено ростуть при стабільному ном напрузі). Така діаграма називається зазвичай діаграмою ідеально пружно тіла або діаграмою Прандтля.
s
s y
Рис. 1
1. Граничний момент для перетину балки
При значеннях згинального моменту М> s т W x поперечний переріз балки переходить в пружнопластичне стан. У міру зростання деформацій, пружне ядро перерізу скорочується і в межі епюра нормальних напружень набуває вигляду двох прямокутників (Мал. 2). Цей стан перетину і будемо вважати граничним.
Залежність між кривизною осі балки і ізгібающім моментом буде мати вигляд, зображений на Рис. 3. Враховуючи, що в розрахунок вже внесена похибка, обумовлена прийняттям діаграми Прандтля, апроксимуємо залежність''кривизна - момент''двома відрізками прямих.
А + 1 / r
s y
Рис. 2 Рис. 3
Звернемо увагу на те, що залежність між М і 1 / r подібна діаграмі Прандтля. Граничний стан перерізу вважається досягнутим відразу після закінчення пружній стадії роботи перерізу, яка кілька продовжується за рахунок пружної стадії. Значення моменту, відповідне граничного стану, називається граничним моментом. Граничного моменту відповідає невизначене значення кривизни від М пр / ЕI x до ¥. Ця умовна стадія роботи перетину називається пластичним шарніром.
Граничний момент можна вирахувати, як момент внутрішніх сил перерізу відносно нейтральної осі в граничному стані x 0 (Рис.2). Вважаючи межі текучості при розтягуванні і стисненні однаковими і рівними s y, отримаємо:
М u = ò s y y dA + ò s y y dA = s y (êS xo + ê + êS xo - ê) = s y W пл;
A + A -
W пл = çS xo + ç + çS xo - ç - пластичний момент опору;
S xo + і S xo - - cтатіческіе моменти, відповідно, розтягнутої і стиснутої зони перетину (Мал. 2), взяті щодо осі x 0. Положення осі x 0 знайдеться з умови, що вона ділить перетин на дві рівновеликі за площею частини: А + = А -.
Отже! Перетин, що перейшло у граничний стан, веде себе подібно шарніра. Пластичний шарнір має такі відмінності:
1) у ньому діє згинальний момент, що дорівнює M u;
2) він односторонній;
3) при зменшенні навантаження він може закритися.
2. Граничне рівновагу балок і рам
Наведене спочатку визначення граничного стану системи занадто загальне і для досягнення результату має бути конкретизовано. Для балок і рам, матеріал яких слід діаграмі Прандтля, воно може бути сформульовано:
Граничний стан балки (рами) буде досягнуто тоді, коли в ній з'явиться стільки пластичних шарнірів, що система стане кінематично змінною.
Навантаження, відповідна граничного стану системи, називається граничним навантаженням. Граничну навантаження можна знайти, розглядаючи рівновагу механізму, який утворюється з системи після того, як в ній з'явиться достатня кількість пластичних шарнірів. Вважається, що механізм переходу в граничний стан є абсолютно жорсткі ланки, з'єднані між собою шарнірами. Таким чином, вважають, що зона плинності по довжині балки або стрижня рами обмежується одним перетином - пластичним шарніром. Переміщення механізму, допустимі зв'язками, будемо розглядати, як можливі. Тоді можна записати рівняння робіт, використовуючи принцип можливих переміщень:
Сумарна робота всіх зовнішніх і внутрішніх сил на будь-яких можливих переміщеннях дорівнює нулю.
При вирішенні завдань використовується кінематичний екстремальний принцип (А. А. Гвоздьов, 1938р.):
Справжньою формі переходу в граничний стан відповідає мінімальне значення граничного навантаження.Слід враховувати, що кінематичний спосіб визначення граничних навантажень завжди дає верхню оцінку несучої здатності конструкції.
3. Приклади
Приклад 1. Статично определимая балка на двох опорах завантажена силою, прикладеної посередині прольоту (Мал. 4). Знайти граничне навантаження для балки.
Рис. 4
Очевидно, що для переходу балки в граничний стан необхідна поява одного пластичного шарніра. Він з'явиться в середині прольоту, під силою. Використовуємо принцип можливих переміщень і запишемо рівняння робіт: F u × BB 1 - M u × 2a = 0,
тут враховано, що робота внутрішніх сил завжди негативна, тому що вони спрямовані у бік, протилежний переміщенню. Крім того, ми вважаємо, що оскільки кут a - малий: a = 2ВВ 1 / L. Тоді значення граничної сили дорівнюватиме:
F u = 4M u / L.
При заданому перерізі, а також відомому межі плинності M u легко обчислюється, відповідно до викладеного вище і, отже, поставлена задача вирішена.
F
L 2 L 2 L
F u M u
Схема переходу в граничний стан
Рис. 5
Граничний стан буде досягнуто в тому випадку, якщо з'являться два пластичних шарніра - один під силою, інший на опорі С. Рівняння робіт запишеться:
F u × BB 1 - M u (a + b) - M u × b = 0, де: a = BB 1 / L; b = BB 1 / 2L;
тоді: F u = 2,5 M u / L.
Звернемо увагу на той факт, що для визначення граничного навантаження не було необхідності розкривати статичної невизначеності балки. Тут було одразу зрозуміло, що найбільші згинальні моменти, а, отже, і пластичні шарніри утворюються під силою і на проміжній опорі. У більш складних випадках знання пружного стану може бути корисним, хоча з принципової точки зору необов'язковим, тому що можна перебрати всі кінематично можливі схеми переходу в граничний стан і відібрати справжню за допомогою кінематичного екстремального принципу.
q
L L
D 1
z L a + b
Cхема переходу в граничний стан
Рис. 6
Балка вичерпає свою несучу здатність у тому випадку, коли в ній з'являться два пластичних шарніра. Один пластичний шарнір виникне на середній опорі, інший в прольоті під навантаженням. Положення пластичного шарніра в прольоті нам поки невідомо і ми поставимо його безрозмірною координатою z (0 <z <1). Записуючи рівняння робіт, врахуємо, що робота рівномірно розподіленого навантаження дорівнює добутку інтенсивності навантаження на площу фігури, що лежить під навантаженням і утвореної початковою становищем осі балки і ланками механізму, що утворився в результаті появи пластичних шарнірів. У нашому випадку інтенсивність потрібно помножити на площу трикутника ABD 1 (Мал. 6). Таким чином, рівняння робіт буде виглядати:
½ q u × DD 1 × L - M u (a + b) - M u × b = 0; a = DD 1 / zL; b = DD 1 / (L (1-z)).
Висловлюючи звідси q u, отримаємо:
2M u (1 + z)
q u = ¾¾¾¾¾¾¾ (a)
L 2 z (1 - z)
Різним значенням z, тобто різним положенням пластичного шарніра, будуть відповідати різні значення граничного навантаження q u. Скористаємося кинематическим екстремальним принципом. Істинному стану пластичного шарніра, а, отже, істинної граничної навантаженні відповідає мінімум виразу (а).
dq / dz = 0 і 2M u / L 2 ¹ 0 Þ
z - z 2 - (1 + z) (1 - 2z)
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 0,
[Z (1 - z)] 2
Прирівнюючи чисельник нулю, одержимо квадратне рівняння
z 2 + Z - 1 = 0,
коріння якого рівні: z 1,2 = - 1 ± Ö 2; z 1 = Ö 2 - 1 »0,414, другий корінь не має сенсу. Підставляючи знайдене значення z 1 у вираз (а), остаточно отримаємо: q u = 11,66 M u / L 2.
Приклад 4. Статично невизначена однопролетная балка (Рис.7) завантажена двома силами F і 2F. Знайти граничне значення F.
Балка вичерпає несучу здатність при утворенні двох пластичних шарнірів. Один з них з'явиться у закладенні, а інший під однією з сил. Можливі варіанти: схема а) - пластичний шарнір під силою F, схема б) - під силою 2F (Мал. 7).
Розглянемо перший випадок. Рівняння робіт запишеться:
2F u × BB 1 + F u × CC 1 - M u a - M u (a + b) = 0; врахуємо: BB 1 = (2 / 3) CC 1;
a = CC 1 / 3L; b = CC 1 / L, тоді: F u = 5M u / 7L »0,714 M u / L.
Другий випадок нам дасть:
2F u × BB 1 + F u × CC 1 - M u j - M u × 2j = 0; CC 1 = ½ BB 1; j = BB 1 / 2L Þ
F u = 3M u / 5L = 0,6 M u / L.
Очевидно, що згідно кінематичному екстремального приципу, реальною буде схема переходу в граничний стан б), що дає найменше значення граничного навантаження.
Приклад 5. Один раз статично невизначена рама завантажена силою F (Мал. 8). Знайти граничне значення сили.
BB 1
M u M u
L
aa
A D
A D
L
Cхема переходу в граничний стан
Рис. 8
Рама перейде в граничний стан, коли у вузлах В і С з'являться пластичні шарніри. Конфігурація виник при цьому механізму буде визначатися одним параметром - кутом a. Сумарна робота всіх зовнішніх і внутрішніх сил на можливих переміщеннях запишеться:
F u × BB 1 - M u a - M u a = 0; a = BB 1 / L Þ
F u = 2M u / L.
Приклад 6. Статично невизначена двопрогінна балка завантажена рівномірно розподіленим навантаженням q і силою F = qL (L = 1м). Розміри поперечного перерізу задані в мм. Матеріал - Ст.3 слід діаграмі Прандтля: s y = 240 МПа, коефіцієнт запасу по плинності n y = 1,5; допустима напруга s adm = s y / N y = 160 МПа. Виконати следующе:
1) Розкрити статичної невизначеності і побудувати епюру згинальних моментів для пружної стадії роботи балки.
2) Визначити для заданого перерізу балки, виходячи з пружної роботи, що допускається інтенсивність навантаження q adm.
3) Знайти граничний момент M u для заданого перерізу.
4) Виходячи з розрахунку за методом граничної рівноваги, знайти граничне навантаження q u. Знайти навантаження q u amd, яку можна допустити, грунтуючись на методі граничної рівноваги. Коефіцієнт запасу по плинності залишити колишнім.
1) Розкриємо статичної невизначеності. Використовуємо для цього спосіб''рівняння трьох моментів''. Разрєжєм балку над опорою 2 і помістимо туди шарнір (Мал. 9). Основна система буде представляти собою дві однопрогонові балки, епюри моментів для яких показані на Рис. 9а. Рівняння трьох моментів для опори 2 запишеться:
2M 2 (3L + 2L) = - 6 [((2 / 3) (qL 2 / 2) × 2L × L + ½ (2qL 2 / 3) × 2L × (4L / 3) +
+ ½ (2qL 2 / 3) × L × (7L / 3)) / (3L) - ½ (qL 2) × 2L × L / (2L)];
звідки знайдемо опорний момент: M 2 = - qL 2 / 6 »- 0,1667 qL 2.
Епюра опорного моменту показана на Рис. 9б. Складаючи епюру опорних моментів з епюр моментів в основній системі (Мал. 9а), отримаємо епюру моментів для статично невизначеної балки (Ріс.9в). Знайдемо максимальне значення моменту в лівому прольоті, для чого завантажимо проліт 1 - 2, крім заданого навантаження, знайденим опорним моментом М 2 (Мал. 10).
q
2L L
Рис. 10
Знайдемо ліву опорну реакцію: R 1 = 4qL / 3 - 0,1667 qL 2 / 3L »1,2778 qL
Згинальний момент у довільному перерізі з координатою z визначиться: M = 1,2778 qL - qz 2 / 2; умови екстремуму: dM / dz = 0 Þ
z = 1,2778 L, max M = 0,8164 qL 2.
2) Визначимо навантаження, яку можна допустити на балку, грунтуючись на пружній розрахунку. Спочатку знайдемо геометричні характеристики заданого перерізу (Мал. 11). Площа поперечного перерізу: А = А 1 + А 2 = 10 + 12 = 22 см 2. Визначимо положення центру ваги перерізу.
Знайдемо статичний момент площі поперечного перерізу відносно осі x 2: S x 2 = A 1 b = 10 × 4 = 40 см 3. Координата центра ваги визначиться: b 2 = S x 2 / A = 40 / 22 »1,82 см.
A 1 I x = I x 1 + A 1 b 1 2 + I x 2 + A 2 b 2 лютого =
W x = I x / Y max = 126,5 / 4,82 = 26,2 см 3.
Рис. 11
Допустиме навантаження можна знайти, прирівнявши максимальні напруги в балці допускаються:
s max = max M / W x = s adm Þ 0,8164 q adm L 2 / W x = s adm Þ
q adm = (s adm W x) / (0,8164 L 2) = (160 × 10 6 Па × 26,2 × 10 - 6 м 3 /
(0.8164 × 1 м 2) = 5135 Н / м = 5,135 кН / м.
3) Положення нейтральної осі в граничному стані знайдемо, прирівнявши площі стиснутої і розтягнутої зон (Мал. 12):
x 0 Пластичний момент опору:
y W пл = ç S xo - ç + ç S xo + ç =
A + = 45,5 см 3.
Рис. 12
Граничний момент для перетину:
M u = s y W пл = 240 × 10 6 Па × 45,5 × 10 - 6 м 3 = 10920 Н × м = 10,92 кН × м
4) Балка перейде в граничний стан тоді, коли в ній утворюються два пластичних шарніра. Один з них з'явиться у правому прольоті, під силою. Положення другого, який виникне в лівому прольоті, під навантаженням, нам поки невідомо. Задамо його безрозмірною координатою z (0 <z <2). Механізм переходу в граничний стан показаний на Рис. 13.
Запишемо рівняння робіт зовнішніх і внутрішніх сил на переміщеннях, що виникли у механізмі. Робота розподіленого навантаження буде дорівнює добутку інтенсивності навантаження на площу фігури, утвореної віссю балки в первісному стані, відрізком СС 1 і відрізками, що лежать під навантаженням і співпадаючими з ланками механізму.
½ × q u [BB 1 zL + BB 1 L (3-z) - CC 1 L] + q u L × DD 1 - M u (a + b) - M u × 2b = 0.
що входять в рівняння відрізки і кути виразяться через ВВ 1:
CC 1 = DD 1 = BB 1 / (3 - z); a = BB 1 / (zL); b = BB 1 / ((3-z) L).
Підставивши це у рівняння робіт, і вирішивши його відносно граничного навантаження, маємо:
2M u (3 + 2z)
q u = ¾¾¾¾¾¾.
L 2 z (10 - 3z)
Істинному стану пластичного шарніра в лівому прольоті відповідає мінімум граничного навантаження (див. приклад 3): dq u / dz = 0.
Прирівнюючи в отриманому виразі для похідної чисельник нулю, одержимо квадратне рівняння z 2 + 3z - 5 = 0, вирішивши яке знайдемо корені: z 1 = 1,1926 і z 2 = - 4,1926 (не має сенсу). Підставивши перший корінь у вираз для q u, отримаємо справжнє значення граничного навантаження для балки:
q u = 1,406 M u / L 2 = 1,406 × 10,92 кН × м / 1м 2 = 15,35 кН / м.
Якщо прийняти такий же коефіцієнт запасу по плинності, що і при пружному розрахунку, то, виходячи з розрахунку по граничних навантажень, на балку може бути допущена навантаження:
q adm u = q u / N y = (15,35 кН / м) / 1,5 = 10,23 кН / м.
Звернемо увагу на те, що це значно більше, ніж дає пружний розрахунок. Відношення значень навантажень за двома методами розрахунку дорівнює: q adm u / q adm = 10,23 / 5,135 = 1,99. Тобто розрахунок за методом граничної рівноваги дозволяє в даному випадку збільшити навантаження на балку в два рази.
Цікаво відзначити і той факт, що пластичний шарнір з'явився не в тому місці, де в пружній стадії був максимальний згинальний момент (z = 1,2778). Ця обставина говорить про те, що за межами пружності відбуваються перерозподілу зусиль.
Висновок
Як вже зазначалося у п.2, кінематичний метод завжди дає верхню оцінку граничного навантаження, маючи яку, ми не знаємо, наскільки вона перевищує істинну. З цієї причини в розрахунок доводиться вводити додатковий запас міцності. Крім кінематичного методу, існує статичний метод визначення граничних навантажень. Він полягає в тому, що розглядаються статично можливі стани і будь-яке навантаження, відповідна безпідставного статично можливого станом системи, менше граничного навантаження. Статичний метод завжди дає нижню оцінку граничного навантаження. Якщо б ми могли вирішити завдання одночасно і кінематичними і статичним методами, то отримали б двосторонню оцінку, що вирішило б проблему. Однак знаходження статичних рішень у більшості випадків досить складно, і точна оцінка можлива для небагатьох завдань.
Необхідною умовою використання методу граничної рівноваги є достатня пластичність матеріалу. Крім того навантаження повинна бути статичною або близькою до неї. Не можна використовувати цей метод при змінюються в часі напругах, тому що в цьому випадку вирішальним фактором буде втомна міцність. Ці обставини звужують базу застосування методу в машинобудівній практиці. І, тим не менш, перевага методу, що полягає в значній економії матеріалу, настільки очевидно, що метод граничної рівноваги треба використовувати завжди, коли це можливо.
ЛІТЕРАТУРА
1. Феодос'єв В.І. Опір матеріалів. - М.: Наука. - 1986. - 512 с.
2. Малінін М.М. Прикладна теорія пластичності та повзучості. - М.: Машинобудування. - 1968. - 400 с.
3. Ржаніцин А.Р. Будівельна механіка. - М.: Вища школа. - 1991. - 440 с.
4. Работнов Ю.М. Механіка деформівного твердого тіла. - М.: Наука. - 1979. - 744 с.
5. Лешковцев В.Г., Покровський А.М., Зарубін С.В. Розрахунок граничних навантажень у стрижневих системах. - М.: МГТУ. - 1993. - 36 с.
6. Гречанінов І.П., Ринковенко О.В. Розрахунки за межами пружності. - М.: МВТУ. - 1986. - 12 с.