Гравітаційний парадокс і його рішення

Методи врахування впливу навколишнього середовища при розрахунку сил тяжіння

Олег Биковський

Історія питання

Самим Ньютоном була доведена теорема про те, що сферично-симетрична оболонка (див. рис.1) не створює сил тяжіння у внутрішній порожнині. Теорема носить ім'я свого творця і відома як «Теорема Ньютона», яка за суворістю і наочності не має аналогів.

Помістимо пробну масу * в довільну точку всередині порожнини. З малюнка видно, що розміри майданчиків S1 і S2, що вирізаються умовними конусами в будь-якому з взаємно протилежних напрямків, пропорційні квадратах висот цих конусів. Оскільки сили тяжіння, створювані майданчиками, прямо пропорційні їх площі і назад пропорційні квадрату відстані до майданчиків, то де б не знаходилося тіло всередині порожнини, тяжіння стінок оболонки буде взаємно врівноваженим.

* Пробна маса - маса, величина і розміри якої пренебрежимо малі, аналогічно поняттю точки в математиці.

Звернемо увагу на той факт, що сам Ньютон не розповсюдив дану теорему на порожнину в нескінченному просторі, обмежившись лише доказом відсутності сил тяжіння всередині оболонки кінцевих розмірів. Сумніви викликає не сама «Теорема Ньютона», а «узагальнення» на порожнину в просторі, який було запропоновано на початку двадцятих років нашого століття.

Нагадаємо, що Е. Мілн і В.Мак-Кри виконали узагальнення, суть якого полягає в наступному. Уявімо сферично симетричну порожнину в рівномірно заповненому речовиною просторі (див. рис.2). Щільність речовини, що заповнює порожнину, приймемо рівною нулю. Потрібно визначити, які сили тяжіння будуть діяти усередині порожнини на довільно розташовану пробну масу m.

Автори запропонували наступну схему міркувань. Розподілимо всі речовину за межами сферично симетричної порожнини на нескінченну послідовність оболонок. Оскільки кожна з оболонок не створює сил тяжіння всередині себе, то, отже, і вся послідовність оболонок також нічого не додасть і не зменшить при розрахунку сил тяжіння, що діють на пробну масу.

Звідси, дотримуючись міркувань Мілна і Мак-Кри, вся речовина знаходиться за межами порожнини (яке вони представили у вигляді нескінченної послідовності оболонок), ніяк не впливає на пробну масу, що знаходиться всередині неї. На перший погляд, усе начебто логічно і дане узагальнення не повинно викликати заперечень.

Застосуємо іншу схему міркувань, засновану на наступних аргументах (див. рис.3).

Рис. 3. Протилежно розташовані маси у формі:

а) сегментів, б) конусів

Відзначимо наступне. При зсуві пробної маси щодо центру порожнини, скажімо вправо, речовина оболонки, що знаходиться праворуч, стане ближче, а ліва частина оболонки стане далі від пробної маси. При цьому деяка частина оболонки праворуч і ліворуч від пробної маси залишиться на рівних відстанях. Сірим кольором на рис.3 виділено речовину оболонки, що зберігає абсолютно симетричне розташування по відношенню до пробної масі, тобто кожен елемент речовини оболонки, виділений сірим кольором зліва і праворуч від пробної маси, має точно такий же аналог з протилежного боку на однаковій відстані.

Отже, при розрахунку сил тяжіння діючих на пробну масу дією симетрично розташованого речовини можна знехтувати, обмежившись розглядом впливу речовини виділеного червоним кольором. На рис.3 червоним кольором виділено дві протилежно розташовані області у формі сегментів.

Нагадаємо, що асиметричність червоних ділянок по відношенню до пробної масі викликана заданим вище умовою - зсувом пробної маси щодо центру оболонки. Відповідно до «Теорема Ньютона» маленька маса розташована близько, велика - далеко, сила тяжіння усередині порожнини відсутній. При цьому на відміну від «Теореми Ньютона», в якій протилежно розташовані маси виділені цілком і мають форму зрізаних конусів (ріс.3б), в даному випадку виділені маси, розташовані асиметрично. Це не змінює результатів докази, (тобто відсутності сил тяжіння всередині оболонки), але робить його наочніше з урахуванням обставин подальшого аналізу.

Далі звернемо увагу на наступне. Як би не збільшився зовнішній радіус оболонки, поки він існує, зсув пробної маси від центру викличе одночасна поява двох асиметрично розташованих мас. Однієї маленької, розташованої ближче до пробного тіла, і другий - великий віддаленої. Іншими словами, при зсуві пробної маси всередині оболонки, наявність ближній, асиметрично розташованої маси, завжди компенсується існуванням віддаленої, розташованої з протилежного боку.

Не важко здогадатися, що в разі пробної маси всередині порожнини в просторі з необмеженою довжиною ближня асиметрія безумовно виникає, але далекої асиметрично розташованої маси немає і бути не може (див. рис.4).

Рис. 4. Ближня і дальня асиметрія асиметрично розташованої маси

Таким чином, наявність віддаленої асиметрії викликано асиметричним розташуванням ближньої маси. Звідси, допускаючи відсутність сил тяжіння усередині порожнини при будь-якому положенні пробної маси, ми тим самим припускаємо спонтанне поява компенсує віддаленої маси з того боку, де це необхідно, на тому відстані і тієї величини, яка потрібна. Неприпустимість подібних міркувань очевидна.

Висновок: наявність сили тяжіння всередині сферично-симетричною порожнини, що знаходиться в нескінченному просторі, пов'язане з неврівноваженим тяжінням речовини, що знаходиться за ближньої стінкою порожнини.

У разі прийняття даного твердження гравітаційний парадокс відсутня, оскільки розрахунок сил тяжіння в нескінченному просторі втрачає невизначеність.

Висловимо шукану силу чисельно.

Перший доказ наявності неврівноважених сил тяжіння всередині сферично-симетричною порожнини

Визначимо початкові умови. Нехай задано однорідне і изотропное простір, рівномірно заповнений речовиною з щільністю рівної ρ. Виділимо в просторі сферу радіуса R. Щільність речовини, що заповнює порожнину сфери, спочатку приймемо рівною нулю. Помістимо пробну масу m в центр порожнини (див. рис.5).

Рис. 5. Неврівноважені сили тяжіння всередині сферично-симетричною порожнини

Оскільки розташування речовини, що знаходиться за межами порожнини, симетрично щодо центру порожнини, то сила тяжіння, створювана всією речовиною на пробну масу вміщену в центр порожнини, буде дорівнює нулю. Внесемо всередину порожнини масу M, що має форму кулі радіуса r = R / 2.

Положення кулі (виділений червоним кольором) показано на ріс.5б. Щільність речовини, що заповнює об'єм малого кулі, приймемо рівної щільності речовини, що оточує сферу. Відповідно до закону всесвітнього тяжіння, після приміщення всередину порожнини пробного тіла масою m, на тіло буде діяти сила тяжіння F.

де G - гравітаційна постійна, M - маса малого кулі, m - маса пробного тіла, r - відстань між центром малого кулі і пробної масою.

Внесемо всередину порожнини ще одну масу, що має форму фігури, виділеної на ріс.5в синім кольором.

Дана фігура заповнює внутрішній обсяг порожнини за винятком внесеного кулі і його дзеркального відображення. Щільність речовини, що заповнює друге тіло, також дорівнює щільності речовини, що заповнює навколишній простір. Відзначимо, що розташування речовини, що заповнює друге тіло, симетрично щодо пробної маси m. Тому сили тяжіння, створювані другим тілом, взаємно врівноважені.

Сумісний ріс.5б і ріс.5в. Отримаємо рис.6а.

Рис. 6. Розташування речовини, врівноважує сили тяжіння:

а) пробне тіло розташоване на краю порожнини, б) речовина, зазначене сірим кольором, має однакову щільність

На ріс.6б вся речовина, що має однакову щільність, зазначено сірим кольором. Кордон речовини виділена жирною лінією, а умовні лінії побудови збережені у вигляді пунктиром.

Пробне тіло m розташоване на краю щойно побудованої порожнини, і на нього в даному випадку діє сила тяжіння (1), створена малим кулею радіуса r. Порівняння побудованої порожнини з будь-якої іншої порожниною призводить до висновку, що зміна дії сили на пробну масу може бути викликано лише зміною розмірів і щільності навколишнього речовини.

Висновок: будь-яка порожнину, незалежно від природи виникнення, створює сили тяжіння відповідно до формули (1).

У коректності проведеного докази можна переконатися самостійно, виконавши аналогічні дії з будь-якої іншої порожниною. Звернемо увагу на той факт, що сила тяжіння усередині порожнини створюється не самою порожниною (тобто порожнечею), а оточуючим порожнину речовиною, яка при наявності порожнини розташоване асиметрично по відношенню до пробної масі.

Втім, наведене доказ наявності неврівноважених сил тяжіння всередині сферично-симетричною порожнини не єдине. Наведемо другу схему міркувань, яка призводить до того ж результату. Ті, кого переконало викладене, можуть перейти до аналізу причин помилкового докази відсутності сил тяжіння всередині сферично-симетричною порожнини.

Друге доказ наявності неврівноважених сил тяжіння всередині сферично-симетричною порожнини

На рис.7а показані дві порожнини рівного радіусу R, що знаходяться в однорідному ізотропному просторі. Щільність речовини, рівномірно заповнює простір, приймемо рівним ρ. Щільність речовини усередині кожної порожнини спочатку приймемо рівною нулю.

Рис. 7. Дві порожнини в однорідному ізотропному просторі

Сумісний початок декартової системи координат xyz з центром пробної маси m (див. рис.7б).

Згідно початкових умов, розташування речовини, що знаходиться за межами обох порожнин, симетрично відносно початку координат. Сили тяжіння, створювані речовиною вздовж осей координат, можна описати рівнянням:

[Fx, Fy, Fz] = [-Fx,-Fy,-Fz].

Наявність неврівноважених сил тяжіння в довільно обраному напрямку, не збігається з осями координат, передбачає декілька проекцій однієї сили, що порушує умова симетрії. У випадку дзеркально-симетричного розташування двох порожнин щодо пробного тіла m, сила тяжіння на початку координат відсутня при будь-якому іншому положенні двох порожнин (див. мал.8).

Рис. 8. Відсутність сил тяжіння при довільному положенні порожнин

Єдиною умовою відсутності сил тяжіння є збереження симетрії фігури відносно осей x, y, z.

Заповнимо частину простору всередині кожної фігури таким чином, щоб частина, що залишилася набула форм сферично-симетричною порожнини (виділена червоним кольором на рис.9).

Рис. 9. Внесення додаткової маси

Внесення додаткової маси, розташованої асиметрично до положення пробного тіла, викличе появу сили тяжіння, яка спрямована до центру мас додатково внесеного речовини. До внесення додаткового речовини рівнодіюча сил тяжіння на пробне тіло дорівнювала нулю. Таким чином, сила тяжіння, обумовлена ​​внесенням додаткового речовини, буде єдиною силою, що діє на пробну масу.

Як підсумок сформулюємо загальне правило знаходження сил тяжіння всередині сферично-симетричною порожнини.

Для знаходження сил тяжіння, створюваних асиметрично розташованим речовиною, необхідні дві операції.

Перша: необхідно побудувати сферу з центром, що збігається з положенням точки, для якої ми розраховуємо сили тяжіння, і радіусом, рівним відстані до крайньої точки асиметрично розташованого речовини або який-небудь інший неоднорідності так, щоб вона цілком опинилися всередині сфери.

Дана операція повністю виключить необхідність розглядати речовина, розташоване за межами побудованої сфери, зважаючи прийнятого вище умови симетричності в розташуванні решти речовини щодо положення пробної маси.

Друга операція полягає в знаходженні рівнодіючої сил тяжіння всередині виділеної сфери, що пов'язано з розрахунком сил тяжіння, створюваних тілом, що має кінцеві розміри, і зводитися до застосування закону Ньютона, згідно з яким шукана сила обчислюється за формулою (1).

Ілюстрацією до запропонованого методу є ріс.6б.

Застосування формули (1) в тих випадках, коли пробне тіло знаходиться не на краю порожнини, а в довільній точці всередині неї, пов'язане з обчисленням сил тяжіння, створюваних кулею, радіус якого дорівнює відстані від центру порожнини до положення пробної маси (див. рис. 10а). Щільність кулі приймається рівній різниці щільності порожнини і щільності навколишнього середовища.

Рис. 10. Тотожне розташування мас: а) симетричне, б) асиметричне

У дійсності асиметрично розташована маса має форму тіла, виділеного червоним кольором на ріс.10б. Але набагато зручніше обчислювати дію маси, що має форму кулі (виділений на рис.10 синім кольором), благо тяжіння ними пробної маси тотожньо дорівнює. Напрямок дії сили у всіх випадках визначається положенням центру мас надлишкового речовини, виділеного червоним кольором.

Крім докази наявності сил тяжіння всередині сферично-симетричною порожнини наведемо графічну інтерпретацію незалежності сил тяжіння від радіуса порожнини у разі постійності відстані між пробної масою і її центром (див. рис.11).

Рис. 11. Незалежність сил тяжіння від радіус циліндра

Слід довести, що сили тяжіння не зміняться при вилученні речовини, що оточує порожнину у формі оболонки, подібної і подібно розташованої. Дійсно, порівняємо величину і положення асиметрично розташованих мас до і після вилучення оболонки. Асиметрично розташоване речовина в обох випадках показано червоним кольором. Вилучена у вигляді оболонки речовина - синім.

Звернемо увагу на таку обставину. За умовою положення пробної маси щодо центру порожнини в обох випадках не змінюється, отже, товщина асиметрично розташованого речовини залишається постійною. А площа зростає пропорційно квадрату відстані. Звідси, видалення центру мас, асиметрично розташованого речовини, точно компенсується збільшенням його маси.

Правда, наведене доказ - просто по іншому викладена «Теорема Ньютона», але з досвіду викладу автор знає, що незмінність сил тяжіння від радіуса порожнини викликає певну недовіру у частини читачів, тому автор визнав за необхідне зупинитися на даному факті окремо.

Висновок з проведеного аналізу наступний: застосовувати узагальнення, запропоноване Е. Мілном і В.Мак-Кри, не коректно, що суперечить загальним законам фізики.

Даний висновок узгоджується і з законами математичного аналізу. Згідно аксіоматиці геометрії Евкліда, поширення відрізка на пряму лінію неможливо. Оскільки це суперечило б аксіомі «порядку», згідно з якою, при відкладанні відрізка на прямій лінії, пряма обов'язково збереже хоча б одну зовнішню точку по відношенню до кінців відрізка. Що, звичайно, суперечило б умові відображення відрізка на всю пряму. Звідси поширення нескінченної послідовності сферично-симетричних оболонок на весь простір неможливо.

Поширення нескінченної послідовності відрізків пряму лінію на незаконно також і через порушення аксіоми «счетності», оскільки будь-яку кількість відрізків може бути об'єднано в один відрізок, довжина якого завжди може бути виражена через початковий відрізок, взятий за масштаб. Що привело б до счетності довжини прямої лінії.

Некоректність даної процедури очевидна. Зазначена операція - поширення нескінченної послідовності оболонок на весь простір - також суперечила б і властивості афінності, згідно з яким відрізок відображається лише на відрізок, а пряма - на пряму. Відображення відрізка на пряму лінію не афінне за визначенням. Тоді як дотримання афінності при заповненні простору нескінченної послідовністю оболонок обов'язково, оскільки мова в даному випадку йде про збереження лінійних відносин.

У читача, не схильного до екскурсів в область математичного аналізу, може виникнути питання: «А при якій гранично великій товщині оболонки виникають сили тяжіння усередині порожнини?» Або по-іншому: «При якому видаленні краю зникає вплив форми оболонки, і оболонку можна вважати порожниною? »

Відповімо наступним чином. Справа не в розмірах, а в геометричних властивості фігури. Якщо, скажімо, оболонка переходить у порожнину вже в межах вашої кімнати, то сили тяжіння усередині порожнини з'являються.

Засумніватися читачеві наведемо наочний приклад. Погляньте на рис.12, на якому зображений циліндр з отвором в бічній стінці. За нашим задумом циліндр ототожнює нескінченне двомірне простір з порожниною (червоним кольором виділена асиметрично распложенная маса).

Рис. 12. Сили тяжіння усередині порожнини: а) циліндра, б) кулі

Так от, на кульку, поміщений на край порожнини, буде діяти сила тяжіння, а якщо ми помістимо кульку всередину оболонки, наприклад футбольного м'яча (див. ріс.12б), то дія сил буде відсутній. Причому, обидва випадки будуть виконуватися при будь-яких розмірах зазначених тел.

Продемонструвати ж порожнина в «обмежений» тривимірному просторі ми можемо тільки умовно, маючи на увазі приклад з порожнинами, освіченими материками в речовині мантії. Даний випадок детально розглянуто в моїй книзі «Проблеми сучасної фізики» (там же - вказівка ​​на можливість розв'язання й інших проблем: космології, сейсмології, геофізики).

Зауважимо, що практичне застосування запропонованої методики досить часто, оскільки мова йде, в кінцевому рахунку, про поправку до закону тяжіння.

PS

Перше. Автор статті протягом останніх десяти років мав численні можливості доповісти про даної можливості в середовищі фахівців, так чи інакше займаються даною проблемою. Реакція зводилася до наступного. Не заперечуючи основної ідеї, тобто справедливості запропонованого автором докази - наявності сил тяжіння усередині порожнини, виражалася думка про нібито неактуальність теми, оскільки даної проблеми взагалі не існує в разі застосування математичного апарату ЗТВ. Це, м'яко кажучи, не відповідає дійсності.

Друге заперечення автору полягало в наступному. Проведений аналіз - лише констатація факту існування гравітаційного парадоксу, а не його рішення.

Відповімо на це таке. При врахуванні впливу сил тяжіння, створених навколишнім середовищем, на сили тяжіння, що діють між двома даними масами, необхідно і достатньо врахувати сили тяжіння, створювані порожниною, утвореної в середовищі кожної з даних мас, що в сукупності з іншими законами механіки Ньютона є достатнім засобом для рішення будь-якої задачі, пов'язаної з обчисленням сил тяжіння.

Крім цього автор хотів би заявити. Рішення проблеми знаходження сил тяжіння усередині порожнини повністю вирішує проблему, відому як «Гравітаційний парадокс», переводячи її в розряд курйозу, що виник, швидше за все, випадково, в силу незвичайності умов при завданні нескінченного простору. Зараз же, після знаходження точного рішення, дана проблема не може вважатися «гравітаційним парадоксом» в його спочатку піднесеному філософському сенсі, тепер мова може йти тільки про обговорення прикладної задачі з елементами «завдання на кмітливість» і не більше.