№ 1 Функціональні ряди
Членами є функції, визначені в деякій області зміни аргументу х: U 1 (x) + U 2 (x) + ... + U n (x) + ... Надаючи х яке-небудь значення х 0 з області визначення функцій U n (x), отримаємо числовий ряд U 1 (x 0) + U 2 (x 0) + ... + U n (x 0) + ... Цей ряд може збігатися або розходитися. Якщо він сходиться, то точка х 0 називається точкою збіжності функціонального ряду. Якщо при х = х 0 ряд розбігається, то точка х 0 називається точкою расходимости функціонального ряду. Сукупність усіх точок збіжності функціонального ряду називається областю його збіжності.
Функціональний ряд називається правильно збіжним на сегменті [a, b], якщо існує такий знакододатнього сходитися ряд b 1 + b 2 + ... + b n + ..., Що абсолютні величини членів даного ряду для будь-якого значення х, що належить сегменту [a, b], не перевершують відповідних членів знакододатнього ряду, тобто | U n (x) | ≤ b n (n = 1, 2, ...)
№ 2 Невизначений інтеграл та його властивості
Інтегральне числення вирішує зворотну задачу: знайти F (x), знаючи її похідну f (x).
Функція F (x) називається первообразной, якщо виконується рівність F '(x) = f (x).
Якщо F (x) одна з первісних функції f (x), то будь-яка первообразная функції f (x) на цьому проміжку має вигляд F (x) + C, де С € R.
Безліч всіх первісних функції f (x) називається невизначеним інтегралом
Властивості:
- Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює алгебраїчній сумі невизначених інтегралів від кожного доданку окремо;
- Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла.
№ 3 Асимптоти
Асимптотой кривої називається пряма, відстань до якої від точки, що лежить на кривій, прагне до 0 при необмеженій відстані від початку координат цієї точки по кривій.
Асимптоти бувають вертикальними, горизонтальними і похилими.
Пряма х = a є вертикальною асимптотой графіка функції y = f (x), якщо lim f (x) = ∞,
x → 0 ± a
Рівняння похилій асимптоти будемо шукати у вигляді y = Rx + b
R = lim (y / x); b = lim (y - Rx)
x → 0 x → 0
Якщо y = b, то це рівняння горизонтальної асимптоти.
№ 4 Екстремум функції (для однієї змінної)
Якщо функція f (x) диференційовна на інтервалі (a; b) і f '(x)> 0 (f' (x) <0), то f (x) зростає (убуває) на цьому проміжку. Точка х 0 називається точкою максимуму функції f (x), якщо існує така околицю точки х 0, що для всіх х, не рівних х 0 з цієї околиці, виконується нерівність f (x) <f (х 0), де х 0 - точка максимуму. Значення функції в точці максимуму (мінімуму) називається максимумом (мінімумом) функції. Максимум (мінімум) функції називається екстремумів.
Необхідна умова екстремуму: якщо дифференцируемая функція f (x) має екстремум в точці х 0, то її похідна в цій точці дорівнює 0.
Достатня умова екстремуму: якщо похідна змінює знак на мінус, то х 0 - точка максимуму; якщо з мінуса на плюс, то точка х 0 - точка мінімуму.
№ 5 Похідна. Її геометричний і фізичний зміст.
Фізичний: похідною функції y = f (x) в точці х 0 називається границя відношення приросту функції Δy в цій точці до який викликав його приросту аргументу Δх при довільному прагненні Δх до 0.
Геометричний: кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х 0 дорівнює значенню похідної цієї функції в точці х 0.
№ 6 Чудові межі
lim (1 +1 / x) ^ x = e; lim (1 + x) ^ 1 / x = e (e - експонент)
x → ∞ x → 0
№ 7 Точки розриву функції, класифікація
Точка х 0 називається точкою розриву функції y = f (x), якщо вона належить області визначення функції або її кордоні і не є точкою неперервності. У цьому випадку говорять, що при х = х 0 функція розривна. Це може статися, якщо в точці х 0 функція не визначена, або не існує межа функції при х → х 0, або, якщо межа функції існує, але не дорівнює значенню функції в точці х 0: lim f (x) ≠ f (х 0). Крапку х0 називають точкою розриву першого роду,
x → x 0
якщо існують кінцеві односторонні межі f (x0-0) = lim f (x) і f (x0 +0) = lim f (x), але f (x0-0) ≠ f (x0 +0). x → x 0 -0 x → x 0 +0
Крапку х0 називають точкою розриву другого роду, якщо хоча б один з односторонніх меж f (x0-0) і f (x0 +0) не існує (зокрема, нескінченний).
№ 8 Безперервність функції на відрізку
Функція y = f (x) називається неперервною, якщо:
- Функція визначена в точці х 0 і в деякому околі, що містить цю точку;
- Функція має межу при x → x 0,
- Межа функції при x → x 0 дорівнює значенню функції в точці x 0: lim f (x) = f (х 0)
x → x 0
Якщо в точці х 0 функція неперервна, то точка х 0 називається точкою безперервності даної функції. Часто доводиться розглядати безперервність функції в точці х 0 праворуч або ліворуч (тобто односторонню безперервність). Нехай функція y = f (x) визначена в точці х 0. Якщо lim f (x) = f (х 0), то говорять, що функція y = f (x) неперервна в точці x 0 праворуч; якщо lim f (x) = f (х 0),
x → x 0 +0 x → x 0 - 0
то функція називається безперервної в точці x 0 ліворуч.
№ 9 Межа функції з Гейне
Число А називається границею функції f (x) в точці x 0 якщо для будь-якій послідовності {x n} збіжної до x 0, послідовність F ({x n}) відповідних значень функції збігається до А:
lim f (x) = A
x → x 0
№ 10 Границя функції за Коші
Число А називається границею функції f (x) в точці x 0 якщо для будь-якого як завгодно малої кількості E> 0 (епселон більше 0) знайдеться таке число δ> 0 (дельта більше 0), що для всіх х таких, що | xx 0 | <δ, x ≠ x 0 виконується нерівність | f (x)-A | <E.
№ 11 Межа числової послідовності
Число а називається границею послідовності x n, якщо для будь-якого позитивного E> 0 знайдеться таке число n, де n <N виконується нерівність | x n-a | <E. У цьому випадку позначають так lim x n = a
n → ∞
Якщо послідовність має межу, що дорівнює а, то вона збігається до а. Теорема: сходиться послідовність має тільки одна межа. Послідовність, яка не має межі, називається розбіжної.
Операції над межами послідовностей:
Нехай lim x n = a; lim у n = b, тоді
n → ∞ n → ∞
- Lim (x n ± у n) = a ± b;
n → ∞
- Lim (x n * у n) = a * b;
n → ∞
- Lim (c * x n) = c * a;
n → ∞
- Lim (x n) ^ R = (lim x n) ^ R = a ^ R;
n → ∞
- Lim (x n) ^ 1 / R = a ^ 1 / R;
n → ∞
- Lim a = a.
n → ∞
Нескінченно великі послідовності:
- Lim x n = ± ∞;
n → ∞
Правила обчислення меж ПП:
- Lim x n = а; lim y n = ± ∞, тоді lim x n / lim y n = А / ± ∞ = 0;
n → ∞ n → ∞ n → ∞ n → ∞
- Lim x n = 0; lim y n = ± ∞, тоді lim y n = 0, lim (x n / y n) = ± ∞
n → 0 n → ∞ n → ∞ n → ∞
№ 12 Загальне рівняння площини, що проходить через три точки.
Якщо точки М 0 (x 0; y 0; z 0), М 1 (x 1; y 1; z 1), М 2 (x 2; y 2; z 2) не лежать на одній прямій, то через них площину представляється рівнянням
x - x 0 y - y 0 z - z 0
x 1 - x 0 y 1 - y 0 z 1 - z 0 = 0
x 2 - x 0 y 2 - y 0 z 2 - z 0
№ 14 Рівняння прямої у просторі (загальне і канонічне).
Пряма L, що проходить через точку М 0 (x 0; y 0; z 0) і має направляючий вектор a {l, m, n}, представляється рівняннями x - x 0 y - y 0 z - z 0
= =,
l m n
виражають колінеарність векторів a {l, m, n} і М 0 М {x - x 0, y - y 0, z - z 0 }. Вони називаються канонічними.
№ 15 Рівняння прямої на площині.
Ax + By + C = 0, де А, В, С - постійні коефіцієнти.
Зауважимо, що n (А; В) - нормальний вектор (n ┴ прямий).
Окремі випадки цього рівняння:
- Ах + By = 0 (C = 0) - пряма проходить через початок координат;
- Ах + С = 0 (В = 0) - пряма паралельна осі Оу;
- Ву + С = 0 (А = 0) - пряма паралельна осі Ох;
- Ах = 0 - пряма співпадає з віссю Оу;
- Ву = 0 - пряма співпадає з віссю Ох.
№ 16 Вектори. Операції над векторами.
Вектор - спрямований відрізок прямої.
I. Правила трикутника. Правила паралелограма. II. Різниця векторів. Паралелограма.
а b а b а ac
а b a + b = c
abb а
Рівність векторів:
Два (ненульових) вектора рівні, якщо вони равнонаправлени і мають один і той же модуль. Всі нульові вектори вважаються рівними. У всіх інших випадках вектори не рівні.
Додавання векторів:
Сумою векторів називається третій вектор
Сума декількох векторів: Сумою векторів а1, а2, а3, ..., аn називається вектор, що виникає після ряду послідовних складань: до вектора а1 додається вектор а2, до отриманого додається вектор а3 і т.д.
Колінеарність векторів:
Вектори, які лежать на паралельних прямих, називаються колінеарними.
Скалярний твір:
Скалярним добутком вектора а на вектор b називається добуток їхніх модулів на косинус кута між ними
Кут між векторами:
cos (a ^ b) = (a * b) / (| a | * | b |) = (x1x2 + y1y2 + z1z2) / ((x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2) * (x2 ^ 2 + y2 ^ 2 + z2 ^ 2)) ^ 1 / 2
№ 17 Система лінійних рівнянь. Формули Крамера.
x = Δ1 / Δ; x2 = Δ2 / Δ; ... xn = Δn / Δ
№ 18 Система лінійних рівнянь. Метод Гауса.
Системою лінійних рівнянь, яка містить m-рівнянь і n-невідомих, називається система виду а11х1 + а12х2 + а13х3 + ... + аnxn = b1;
{А21х1 + а22х2 + а23х3 + ... + аnxn = b2;}, де а ij - коефіцієнти системи, b i - вільні
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm члени
№ 19 Зворотній матриця. Ранг матриці.
Матриця А -1 називається оберненою до матриці А, якщо виконується умова А * А -1 = А -1 * А = Е
Будь-яка невироджена матриця (тобто Δ ≠ 0) має зворотну.
Алгоритм обчислення зворотної матриці:
1. обчислюємо визначник, складений з даної матриці;
2. знаходимо матрицю А Т, транспоновану до А;
3.
складаємо союзну матрицю (А *);
4. обчислюємо зворотну матрицю за формулою А -1 = А * / ΔА = 1/ΔА * ()
Ранг м-ці:
Мінором R-го порядку довільній м-ці А називається визначник, складений з елементів м-ці, розташованих на перетині яких-небудь R-рядків і R-стовпців.
Рангом м-ці А називається найбільший з порядків її мінорів, нерівних 0.
Базисним мінором називається будь-яке з мінорів м-ці А, порядок якого дорівнює рангу А.
При елементарних перетвореннях ранг м-ці не змінюється.
Ранг ступінчастою м-ці дорівнює кількості її не нульових рядків.
Властивості:
- При транспонуванні м-ці її ранг не міняється;
- Якщо викреслити з м-ці нульовий ряд, то ранг не зміниться.
№ 20 Матриці. Операції над матрицями.
Матрицею розміру m * n називається прямокутна таблиця чисел, яка містить m-рядків і n-стовпців. Числа, що складають м-цу, називаються елементами м-ці.
Дві м-ці А і В одного розміру називаються рівними, якщо вони збігаються поелементно.
Види: м-ца-рядок; м-ца-стовпець.
М-ца називається квадратної n-го порядку, якщо кількість її рядків дорівнює числу стовпців і одно n.
Квадратна м-ца, у якої всі елементи, крім елементів головної діагоналі, рівні 0, називається діагональною.
Якщо у діагональної м-ці n-го порядку всі елеметов головної діагоналі рівні 1, то м-ца називається одиничною n-го порядку і позначається Є.
Якщо всі елементи м-ці рівні 0, то вона називається нульовою.
Операції над матрицями:
Множення м-ці на число. Твором м-ці А на число λ називається матриця В = λ * А, елементи якої b ij = λ * a ij (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n)
Додавання м-ц. Сумою двох м-ц А і В однакового розміру m на n називається м-ца С = А + В, елементи якої Сij = aij + bij.
Аналогічно знаходиться різниця.
Множення м-ц. Множення м-ці А на м-цу В можливо коли число стовпців першого м-ці дорівнює числу рядків другої. Тоді твором м-ці А і В називається м-ца С, кожен елемент якої знаходиться за формулою
Сij = ai1 * b1j + ai2 * b2j + ... + aiR * bR = Σais * bsj
Піднесення до степеня.
А ^ 2 = A * A
Транспонування м-ці - перехід від м-ці А до м-ці А Т, в якому рядки і стовпці міняються місцями з збереженням порядку.
№ 21 Визначники n-го порядку. Властивості визначників.
Квадратної м-ці А порядку n можна зіставити число дельта А (| А |, Δ), яке називається визначником, якщо:
- N = 1, A = (a1), ΔA = a1;
- N = 2, A =, Δ = = a11a22-a12a21;
-N = 3, A =; ΔA =
Властивості визначників:
1. Якщо у визначника якась л рядок (стовпчик) складається тільки з нулів, то Δ = 0;
2. Якщо якісь л два рядки (стовпчик) визначника пропорційні, то Δ = 0;
Членами є функції, визначені в деякій області зміни аргументу х: U 1 (x) + U 2 (x) + ... + U n (x) + ... Надаючи х яке-небудь значення х 0 з області визначення функцій U n (x), отримаємо числовий ряд U 1 (x 0) + U 2 (x 0) + ... + U n (x 0) + ... Цей ряд може збігатися або розходитися. Якщо він сходиться, то точка х 0 називається точкою збіжності функціонального ряду. Якщо при х = х 0 ряд розбігається, то точка х 0 називається точкою расходимости функціонального ряду. Сукупність усіх точок збіжності функціонального ряду називається областю його збіжності.
Функціональний ряд називається правильно збіжним на сегменті [a, b], якщо існує такий знакододатнього сходитися ряд b 1 + b 2 + ... + b n + ..., Що абсолютні величини членів даного ряду для будь-якого значення х, що належить сегменту [a, b], не перевершують відповідних членів знакододатнього ряду, тобто | U n (x) | ≤ b n (n = 1, 2, ...)
№ 2 Невизначений інтеграл та його властивості
Інтегральне числення вирішує зворотну задачу: знайти F (x), знаючи її похідну f (x).
Функція F (x) називається первообразной, якщо виконується рівність F '(x) = f (x).
Якщо F (x) одна з первісних функції f (x), то будь-яка первообразная функції f (x) на цьому проміжку має вигляд F (x) + C, де С € R.
Безліч всіх первісних функції f (x) називається невизначеним інтегралом
Властивості:
- Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює алгебраїчній сумі невизначених інтегралів від кожного доданку окремо;
- Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла.
№ 3 Асимптоти
Асимптотой кривої називається пряма, відстань до якої від точки, що лежить на кривій, прагне до 0 при необмеженій відстані від початку координат цієї точки по кривій.
y |
x |
x 0 |
асимптота |
y = f (x) |
Пряма х = a є вертикальною асимптотой графіка функції y = f (x), якщо lim f (x) = ∞,
x → 0 ± a
Рівняння похилій асимптоти будемо шукати у вигляді y = Rx + b
R = lim (y / x); b = lim (y - Rx)
x → 0 x → 0
Якщо y = b, то це рівняння горизонтальної асимптоти.
№ 4 Екстремум функції (для однієї змінної)
Якщо функція f (x) диференційовна на інтервалі (a; b) і f '(x)> 0 (f' (x) <0), то f (x) зростає (убуває) на цьому проміжку. Точка х 0 називається точкою максимуму функції f (x), якщо існує така околицю точки х 0, що для всіх х, не рівних х 0 з цієї околиці, виконується нерівність f (x) <f (х 0), де х 0 - точка максимуму. Значення функції в точці максимуму (мінімуму) називається максимумом (мінімумом) функції. Максимум (мінімум) функції називається екстремумів.
Необхідна умова екстремуму: якщо дифференцируемая функція f (x) має екстремум в точці х 0, то її похідна в цій точці дорівнює 0.
Достатня умова екстремуму: якщо похідна змінює знак на мінус, то х 0 - точка максимуму; якщо з мінуса на плюс, то точка х 0 - точка мінімуму.
№ 5 Похідна. Її геометричний і фізичний зміст.
Фізичний: похідною функції y = f (x) в точці х 0 називається границя відношення приросту функції Δy в цій точці до який викликав його приросту аргументу Δх при довільному прагненні Δх до 0.
Геометричний: кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х 0 дорівнює значенню похідної цієї функції в точці х 0.
№ 6 Чудові межі
lim (1 +1 / x) ^ x = e; lim (1 + x) ^ 1 / x = e (e - експонент)
x → ∞ x → 0
№ 7 Точки розриву функції, класифікація
Точка х 0 називається точкою розриву функції y = f (x), якщо вона належить області визначення функції або її кордоні і не є точкою неперервності. У цьому випадку говорять, що при х = х 0 функція розривна. Це може статися, якщо в точці х 0 функція не визначена, або не існує межа функції при х → х 0, або, якщо межа функції існує, але не дорівнює значенню функції в точці х 0: lim f (x) ≠ f (х 0). Крапку х0 називають точкою розриву першого роду,
x → x 0
якщо існують кінцеві односторонні межі f (x0-0) = lim f (x) і f (x0 +0) = lim f (x), але f (x0-0) ≠ f (x0 +0). x → x 0 -0 x → x 0 +0
Крапку х0 називають точкою розриву другого роду, якщо хоча б один з односторонніх меж f (x0-0) і f (x0 +0) не існує (зокрема, нескінченний).
№ 8 Безперервність функції на відрізку
Функція y = f (x) називається неперервною, якщо:
- Функція визначена в точці х 0 і в деякому околі, що містить цю точку;
- Функція має межу при x → x 0,
- Межа функції при x → x 0 дорівнює значенню функції в точці x 0: lim f (x) = f (х 0)
x → x 0
Якщо в точці х 0 функція неперервна, то точка х 0 називається точкою безперервності даної функції. Часто доводиться розглядати безперервність функції в точці х 0 праворуч або ліворуч (тобто односторонню безперервність). Нехай функція y = f (x) визначена в точці х 0. Якщо lim f (x) = f (х 0), то говорять, що функція y = f (x) неперервна в точці x 0 праворуч; якщо lim f (x) = f (х 0),
x → x 0 +0 x → x 0 - 0
то функція називається безперервної в точці x 0 ліворуч.
№ 9 Межа функції з Гейне
Число А називається границею функції f (x) в точці x 0 якщо для будь-якій послідовності {x n} збіжної до x 0, послідовність F ({x n}) відповідних значень функції збігається до А:
lim f (x) = A
x → x 0
№ 10 Границя функції за Коші
Число А називається границею функції f (x) в точці x 0 якщо для будь-якого як завгодно малої кількості E> 0 (епселон більше 0) знайдеться таке число δ> 0 (дельта більше 0), що для всіх х таких, що | xx 0 | <δ, x ≠ x 0 виконується нерівність | f (x)-A | <E.
№ 11 Межа числової послідовності
Число а називається границею послідовності x n, якщо для будь-якого позитивного E> 0 знайдеться таке число n, де n <N виконується нерівність | x n-a | <E. У цьому випадку позначають так lim x n = a
n → ∞
Якщо послідовність має межу, що дорівнює а, то вона збігається до а. Теорема: сходиться послідовність має тільки одна межа. Послідовність, яка не має межі, називається розбіжної.
Операції над межами послідовностей:
Нехай lim x n = a; lim у n = b, тоді
n → ∞ n → ∞
- Lim (x n ± у n) = a ± b;
n → ∞
- Lim (x n * у n) = a * b;
n → ∞
- Lim (c * x n) = c * a;
n → ∞
- Lim (x n) ^ R = (lim x n) ^ R = a ^ R;
n → ∞
- Lim (x n) ^ 1 / R = a ^ 1 / R;
n → ∞
- Lim a = a.
n → ∞
Нескінченно великі послідовності:
- Lim x n = ± ∞;
n → ∞
Правила обчислення меж ПП:
- Lim x n = а; lim y n = ± ∞, тоді lim x n / lim y n = А / ± ∞ = 0;
n → ∞ n → ∞ n → ∞ n → ∞
- Lim x n = 0; lim y n = ± ∞, тоді lim y n = 0, lim (x n / y n) = ± ∞
n → 0 n → ∞ n → ∞ n → ∞
№ 12 Загальне рівняння площини, що проходить через три точки.
Якщо точки М 0 (x 0; y 0; z 0), М 1 (x 1; y 1; z 1), М 2 (x 2; y 2; z 2) не лежать на одній прямій, то через них площину представляється рівнянням
x 1 - x 0 y 1 - y 0 z 1 - z 0 = 0
x 2 - x 0 y 2 - y 0 z 2 - z 0
№ 14 Рівняння прямої у просторі (загальне і канонічне).
Пряма L, що проходить через точку М 0 (x 0; y 0; z 0) і має направляючий вектор a {l, m, n}, представляється рівняннями x - x 0 y - y 0 z - z 0
l m n
x |
y |
z |
М 0 (x 0; y 0; z 0) |
М (x; y; z) |
a |
№ 15 Рівняння прямої на площині.
Ax + By + C = 0, де А, В, С - постійні коефіцієнти.
Окремі випадки цього рівняння:
- Ах + By = 0 (C = 0) - пряма проходить через початок координат;
- Ах + С = 0 (В = 0) - пряма паралельна осі Оу;
- Ву + С = 0 (А = 0) - пряма паралельна осі Ох;
- Ах = 0 - пряма співпадає з віссю Оу;
- Ву = 0 - пряма співпадає з віссю Ох.
№ 16 Вектори. Операції над векторами.
Вектор - спрямований відрізок прямої.
I. Правила трикутника. Правила паралелограма. II. Різниця векторів. Паралелограма.
b |
a + b |
a - b |
b |
а b a + b = c
abb а
Рівність векторів:
Два (ненульових) вектора рівні, якщо вони равнонаправлени і мають один і той же модуль. Всі нульові вектори вважаються рівними. У всіх інших випадках вектори не рівні.
Додавання векторів:
Сумою векторів називається третій вектор
Сума декількох векторів: Сумою векторів а1, а2, а3, ..., аn називається вектор, що виникає після ряду послідовних складань: до вектора а1 додається вектор а2, до отриманого додається вектор а3 і т.д.
Колінеарність векторів:
Вектори, які лежать на паралельних прямих, називаються колінеарними.
Скалярний твір:
Скалярним добутком вектора а на вектор b називається добуток їхніх модулів на косинус кута між ними
Кут між векторами:
cos (a ^ b) = (a * b) / (| a | * | b |) = (x1x2 + y1y2 + z1z2) / ((x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2) * (x2 ^ 2 + y2 ^ 2 + z2 ^ 2)) ^ 1 / 2
№ 17 Система лінійних рівнянь. Формули Крамера.
x = Δ1 / Δ; x2 = Δ2 / Δ; ... xn = Δn / Δ
№ 18 Система лінійних рівнянь. Метод Гауса.
Системою лінійних рівнянь, яка містить m-рівнянь і n-невідомих, називається система виду а11х1 + а12х2 + а13х3 + ... + аnxn = b1;
{А21х1 + а22х2 + а23х3 + ... + аnxn = b2;}, де а ij - коефіцієнти системи, b i - вільні
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm члени
№ 19 Зворотній матриця. Ранг матриці.
Матриця А -1 називається оберненою до матриці А, якщо виконується умова А * А -1 = А -1 * А = Е
Будь-яка невироджена матриця (тобто Δ ≠ 0) має зворотну.
Алгоритм обчислення зворотної матриці:
1. обчислюємо визначник, складений з даної матриці;
2. знаходимо матрицю А Т, транспоновану до А;
3.
|
4. обчислюємо зворотну матрицю за формулою А -1 = А * / ΔА = 1/ΔА * ()
Ранг м-ці:
Мінором R-го порядку довільній м-ці А називається визначник, складений з елементів м-ці, розташованих на перетині яких-небудь R-рядків і R-стовпців.
Рангом м-ці А називається найбільший з порядків її мінорів, нерівних 0.
Базисним мінором називається будь-яке з мінорів м-ці А, порядок якого дорівнює рангу А.
При елементарних перетвореннях ранг м-ці не змінюється.
Ранг ступінчастою м-ці дорівнює кількості її не нульових рядків.
Властивості:
- При транспонуванні м-ці її ранг не міняється;
- Якщо викреслити з м-ці нульовий ряд, то ранг не зміниться.
№ 20 Матриці. Операції над матрицями.
Матрицею розміру m * n називається прямокутна таблиця чисел, яка містить m-рядків і n-стовпців. Числа, що складають м-цу, називаються елементами м-ці.
Дві м-ці А і В одного розміру називаються рівними, якщо вони збігаються поелементно.
Види: м-ца-рядок; м-ца-стовпець.
М-ца називається квадратної n-го порядку, якщо кількість її рядків дорівнює числу стовпців і одно n.
Квадратна м-ца, у якої всі елементи, крім елементів головної діагоналі, рівні 0, називається діагональною.
Якщо у діагональної м-ці n-го порядку всі елеметов головної діагоналі рівні 1, то м-ца називається одиничною n-го порядку і позначається Є.
Якщо всі елементи м-ці рівні 0, то вона називається нульовою.
Операції над матрицями:
Множення м-ці на число. Твором м-ці А на число λ називається матриця В = λ * А, елементи якої b ij = λ * a ij (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n)
Додавання м-ц. Сумою двох м-ц А і В однакового розміру m на n називається м-ца С = А + В, елементи якої Сij = aij + bij.
Аналогічно знаходиться різниця.
|
Сij = ai1 * b1j + ai2 * b2j + ... + aiR * bR = Σais * bsj
|
Піднесення до степеня.
А ^ 2 = A * A
Транспонування м-ці - перехід від м-ці А до м-ці А Т, в якому рядки і стовпці міняються місцями з збереженням порядку.
№ 21 Визначники n-го порядку. Властивості визначників.
Квадратної м-ці А порядку n можна зіставити число дельта А (| А |, Δ), яке називається визначником, якщо:
- N = 1, A = (a1), ΔA = a1;
|
|
- N = 2, A =, Δ = = a11a22-a12a21;
|
| ||||
-N = 3, A =; ΔA =
Властивості визначників:
1. Якщо у визначника якась л рядок (стовпчик) складається тільки з нулів, то Δ = 0;
2. Якщо якісь л два рядки (стовпчик) визначника пропорційні, то Δ = 0;
3. Якщо яку-л рядок (стовпчик) визначника помножити на довільне число, то і весь визначник примножиться на це число;
4. Якщо два рядки (стовпчик) визначника поміняти місцями, то визначник змінить знак;
5. Якщо до якоїсь л рядку (стовпцю) визначника додати якусь л інший рядок (стовпчик), помножене на довільне число, то визначник не зміниться;
6. Визначник твори матриць дорівнює добутку їх визначників.
№ 22 Ознаки порівняння позитивних рядів.
Для дослідження збіжності даного позитивного ряду U0 + U1 + U2 + ... його часто порівнюють з іншим позитивним поруч V0 + V1 + V2 + ..., про який відомо, що він збігається або розходиться.
Якщо ряд 2 сходиться і сума його дорівнює V, а члени даного ряду не перевершують відповідних членів ряду 2, то даний ряд збігається, і сума його не перевершує V. При цьому залишок даного ряду не перевершує залишку ряду 2.
Якщо ряд 2 розходиться, а члени даного ряду не менше відповідних членів ряду 2, то даний ряд розбігається.
№ 23 Ознаки Даламбера і Коші збіжності ряду
Ознака Даламбера:
Нехай у позитивному ряді U1 + U2 + ... + Un + ... ставлення U n +1 / U n подальшого члена до попереднього при n → ∞ має межу q. Можливі три випадки:
q <1-ряд збігається; q> 1 - ряд розходиться; q = 1 - ряд може збігатися, а може і розходитися.
№ 24 Похідні обернених тригонометричних функцій.
I. d arcsin x = dx / (1-x ^ 2) ^ 1 / 2, d / dx arcsin x = 1 / (1-x ^ 2) ^ 1 / 2
II. d arccos x = - dx / (1-x ^ 2) ^ 1 / 2, d / dx arccos x = - 1 / (1-x ^ 2) ^ 1 / 2
III. d arctg x = dx / (1 + x ^ 2), d / dx arctg x = 1 / (1 + x ^ 2)
IV. d arcctg x = - dx / (1 + x ^ 2), d / dx arcctg x = - 1 / (1 + x ^ 2)
№ 25 Диференціювання функцій, заданих неявно.
Нехай рівняння, що зв'язує x і y та задовольняє значеннями x = x0 і y = y0, визначає y як неявну функцію від x. Для розвідки похідної dy / dx у точці x = x0, y = y0 немає потреби шукати явне вираження функції. Досить прирівняти диференціали обох частин рівняння і з отриманої рівності знайти ставлення dy до dx.
№ 26 Диференціювання функцій, заданих параметрично.
Припустимо, що функція y від x задана параметрично рівняннями x = x (t), y = y (t), причому в деякій області зміни параметра t функції x (t) і y (t) диференційовні і x '(t) ≠ 0 .
Знайдемо похідну у 'x. Як ми знаємо у 'x = Dy / dx. Так як dx = x '(t) dt, dy = y' (t) dt, то
y 'x = dy / dx = y' (t) dt / x '(t) dt = y' (t) / x '(t) = y't / x't.
Таким чином, dy / dx = y't / x't. Ця формула дозволяє знаходити похідну функції, заданої параметрично.
№ 28 Диференціал функції.
Нехай приріст функції y = f (x) розбито на суму двох членів: Δy = A Δx + α, де А не залежить від Δx (тобто постійно при даному значенні аргументу x) і α має вищий порядок щодо Δ x (при Δx → 0).
Тоді перший член, пропорційний Δx, називається диференціалом функції f (x) і позначається dy або df (x).
№ 29 Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
Рівняння виду X1Y1dx + X2Y2dy = 0, де функції X1 і X2 залежать тільки від x (одна з них або обидві можуть бути постійними; те ж для функцій Y1, Y2), а функції Y1, Y2 - тільки від y, приводиться до вигляду ydx - xdy = 0 поділом на Y1X2. Процес твору називається поділом змінних.
№ 30 Площа криволінійної трапеції.
Фігура, обмежена прямими y = P; x = a, x = b і графіком безперервної і неотрицательной на [a, b] функції f (x), називається криволінійної трапецією. Площа криволінійної трапеції
дорівнює
∫ f (x) dx; ∫ f (x) dx - ∫ g (x) dx
№ 31 Диференціальні однорідні рівняння першого порядку.
ДУ першого порядку називається однорідним, якщо воно може бути представлено у вигляді y '= g (y / x).
Однорідне ДУ перетворюється на рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою заміни z = y / x; y = z * x, то y '= z'x + z, тому рівняння y' = g (y / x) перетворимо до виду z'x + z = g (z); dz * x / dx = g (z)-z; dz \ (g (z)-z) = dx / x.
Знайшовши його спільне рішення слід помітити в ньому z на y / x.
Однорідне ДУ часто задається в диференціальній формі: P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0.
ДУ буде однорідним, якщо P (x; y) і Q (x; y) - однорідні функції однакового порядку.
Переписавши рівняння у вигляді dy / dx =- P (x; y) / Q (x; y) і змінивши в правій частині розглянуте вище перетворення отримаємо рівняння y '= g (y / x).
При інтегруванні рівняння P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0 немає необхідності попередньо приводити їх до виду y '= g (y / x): підстановка z = y / x відразу перетворює рівняння P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0 в рівняння з відокремлюваними змінними.
№ 32 Степеневі ряди
Статечним рядом називається ряд виду а 0 + а 1 х + а 2 х 2 + ... + a n x n + ..., а також ряд більш загального вигляду а 0 + а1 (х-х 0) + а 2 (х-х 0 ) 2 + ... + a n (x-х 0) n + ..., де х 0 - постійна величина. Про перший ряді говорять, що він розташований за ступенями х, у другому - що він розташований за ступенями х-х 0.
Постійні а 0, а 1, ..., а n, ... називаються коефіцієнтами степеневого ряду.
Степеневий ряд завжди сходиться при х = 0.
№ 33 Криві другого порядку на площині (еліпс, гіпербола, парабола).
Лінії, які визначаються рівняннями другого ступеня відносно змінних x і y, тобто рівнянь виду Ах 2 +2 ВХУ + Су 2 +2 Вх +2 Еу + F = 0 (А 2 + В 2 + З 2 ≠ 0), називаються кривими 2-го порядку.
Еліпс.
х 2 / а 2 + у 2 / b 2 = 1
Гіпербола.
х 2 / а 2-у 2 / b 2 = 1
Парабола.
y 2 = 2px, де p> 0
№ 34 Диференціальні рівняння, що приводяться до рівнянь однорідної функції.
№ 35 Еліпсоїд (рівняння та креслення).
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1
№ 36 Гіперболоїд (рівняння, креслення).
x 2 / a 2 + y 2 / b 2-z 2 / c 2 = 1
№ 37 Параболоїд еліптичний (рівняння, креслення)
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 2pz
№ 38 Параболоїд гіперболічний (рівняння, креслення)
x 2 / a 2-y 2 / b 2 = 2pz
№ 39 Рівняння в повних диференціалах
Якщо коефіцієнти P (x, y), Q (x, y) у рівнянні
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (1) задовольняють умові
δP / δy = δQ / δx, то ліва частина (1) є повний диференціал
деякої функції F (x, y). Загальний інтеграл рівняння (1)
буде: F (x, y) = C.
4. Якщо два рядки (стовпчик) визначника поміняти місцями, то визначник змінить знак;
5. Якщо до якоїсь л рядку (стовпцю) визначника додати якусь л інший рядок (стовпчик), помножене на довільне число, то визначник не зміниться;
6. Визначник твори матриць дорівнює добутку їх визначників.
№ 22 Ознаки порівняння позитивних рядів.
Для дослідження збіжності даного позитивного ряду U0 + U1 + U2 + ... його часто порівнюють з іншим позитивним поруч V0 + V1 + V2 + ..., про який відомо, що він збігається або розходиться.
Якщо ряд 2 сходиться і сума його дорівнює V, а члени даного ряду не перевершують відповідних членів ряду 2, то даний ряд збігається, і сума його не перевершує V. При цьому залишок даного ряду не перевершує залишку ряду 2.
Якщо ряд 2 розходиться, а члени даного ряду не менше відповідних членів ряду 2, то даний ряд розбігається.
№ 23 Ознаки Даламбера і Коші збіжності ряду
Ознака Даламбера:
Нехай у позитивному ряді U1 + U2 + ... + Un + ... ставлення U n +1 / U n подальшого члена до попереднього при n → ∞ має межу q. Можливі три випадки:
q <1-ряд збігається; q> 1 - ряд розходиться; q = 1 - ряд може збігатися, а може і розходитися.
№ 24 Похідні обернених тригонометричних функцій.
I. d arcsin x = dx / (1-x ^ 2) ^ 1 / 2, d / dx arcsin x = 1 / (1-x ^ 2) ^ 1 / 2
II. d arccos x = - dx / (1-x ^ 2) ^ 1 / 2, d / dx arccos x = - 1 / (1-x ^ 2) ^ 1 / 2
III. d arctg x = dx / (1 + x ^ 2), d / dx arctg x = 1 / (1 + x ^ 2)
IV. d arcctg x = - dx / (1 + x ^ 2), d / dx arcctg x = - 1 / (1 + x ^ 2)
№ 25 Диференціювання функцій, заданих неявно.
Нехай рівняння, що зв'язує x і y та задовольняє значеннями x = x0 і y = y0, визначає y як неявну функцію від x. Для розвідки похідної dy / dx у точці x = x0, y = y0 немає потреби шукати явне вираження функції. Досить прирівняти диференціали обох частин рівняння і з отриманої рівності знайти ставлення dy до dx.
№ 26 Диференціювання функцій, заданих параметрично.
Припустимо, що функція y від x задана параметрично рівняннями x = x (t), y = y (t), причому в деякій області зміни параметра t функції x (t) і y (t) диференційовні і x '(t) ≠ 0 .
Знайдемо похідну у 'x. Як ми знаємо у 'x = Dy / dx. Так як dx = x '(t) dt, dy = y' (t) dt, то
y 'x = dy / dx = y' (t) dt / x '(t) dt = y' (t) / x '(t) = y't / x't.
Таким чином, dy / dx = y't / x't. Ця формула дозволяє знаходити похідну функції, заданої параметрично.
№ 28 Диференціал функції.
Нехай приріст функції y = f (x) розбито на суму двох членів: Δy = A Δx + α, де А не залежить від Δx (тобто постійно при даному значенні аргументу x) і α має вищий порядок щодо Δ x (при Δx → 0).
Тоді перший член, пропорційний Δx, називається диференціалом функції f (x) і позначається dy або df (x).
№ 29 Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
Рівняння виду X1Y1dx + X2Y2dy = 0, де функції X1 і X2 залежать тільки від x (одна з них або обидві можуть бути постійними; те ж для функцій Y1, Y2), а функції Y1, Y2 - тільки від y, приводиться до вигляду ydx - xdy = 0 поділом на Y1X2. Процес твору називається поділом змінних.
№ 30 Площа криволінійної трапеції.
|
|
|
дорівнює
|
|
|
№ 31 Диференціальні однорідні рівняння першого порядку.
ДУ першого порядку називається однорідним, якщо воно може бути представлено у вигляді y '= g (y / x).
Однорідне ДУ перетворюється на рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою заміни z = y / x; y = z * x, то y '= z'x + z, тому рівняння y' = g (y / x) перетворимо до виду z'x + z = g (z); dz * x / dx = g (z)-z; dz \ (g (z)-z) = dx / x.
Знайшовши його спільне рішення слід помітити в ньому z на y / x.
Однорідне ДУ часто задається в диференціальній формі: P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0.
ДУ буде однорідним, якщо P (x; y) і Q (x; y) - однорідні функції однакового порядку.
Переписавши рівняння у вигляді dy / dx =- P (x; y) / Q (x; y) і змінивши в правій частині розглянуте вище перетворення отримаємо рівняння y '= g (y / x).
При інтегруванні рівняння P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0 немає необхідності попередньо приводити їх до виду y '= g (y / x): підстановка z = y / x відразу перетворює рівняння P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0 в рівняння з відокремлюваними змінними.
№ 32 Степеневі ряди
Статечним рядом називається ряд виду а 0 + а 1 х + а 2 х 2 + ... + a n x n + ..., а також ряд більш загального вигляду а 0 + а1 (х-х 0) + а 2 (х-х 0 ) 2 + ... + a n (x-х 0) n + ..., де х 0 - постійна величина. Про перший ряді говорять, що він розташований за ступенями х, у другому - що він розташований за ступенями х-х 0.
Постійні а 0, а 1, ..., а n, ... називаються коефіцієнтами степеневого ряду.
Степеневий ряд завжди сходиться при х = 0.
№ 33 Криві другого порядку на площині (еліпс, гіпербола, парабола).
Лінії, які визначаються рівняннями другого ступеня відносно змінних x і y, тобто рівнянь виду Ах 2 +2 ВХУ + Су 2 +2 Вх +2 Еу + F = 0 (А 2 + В 2 + З 2 ≠ 0), називаються кривими 2-го порядку.
Еліпс.
b |
a |
x |
y |
еліпс |
b |
a |
p / 2 |
Гіпербола.
х 2 / а 2-у 2 / b 2 = 1
Парабола.
y 2 = 2px, де p> 0
|
b |
a |
c |
y |
x |
№ 35 Еліпсоїд (рівняння та креслення).
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1
№ 36 Гіперболоїд (рівняння, креслення).
x 2 / a 2 + y 2 / b 2-z 2 / c 2 = 1
x |
y |
z |
|
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 2pz
№ 38 Параболоїд гіперболічний (рівняння, креслення)
x 2 / a 2-y 2 / b 2 = 2pz
№ 39 Рівняння в повних диференціалах
Якщо коефіцієнти P (x, y), Q (x, y) у рівнянні
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (1) задовольняють умові
δP / δy = δQ / δx, то ліва частина (1) є повний диференціал
деякої функції F (x, y). Загальний інтеграл рівняння (1)
буде: F (x, y) = C.