Відновлення еталона циклічних сигналів на основі використання хаусдорфовой метрики у фазовому

Леонід Соломонович Файнзільберг, к.т.н.

Запропоновано стохастична модель породження циклічних сигналів. Показано, що ця модель є узагальненням моделей періодичної і майже періодичної функцій. Запропоновано конструктивний метод оцінки еталона по реалізації циклічного сигналу, що спостерігається у фазовому просторі координат.

Введення. Повторювані в часі процеси часто протікають в технічних і біологічних системах. Такі процеси породжують специфічні сигнали, які в науковій літературі прийнято називати циклічними [1] або квазіпериодичним [2]. Типовими прикладами циклічних сигналів є електрокардіограма (ЕКГ), реограмме, магнітокардіограмма і багато інші фізіологічні сигнали, що відображають циклічний характер роботи системи кровообігу живого організму.

Відомо, що існуючі комп'ютерні системи аналізу та інтерпретації циклічних сигналів, зокрема, ЕКГ, все ще не забезпечують необхідну достовірність результатів [3]. Згідно з [4], це в першу чергу викликано помилками, які виникають при вимірюванні параметрів (діагностичних ознак) при обробці реальних сигналів у часовій області. Один з альтернативних методів аналізу таких сигналів, запропонований в [5] і отримав розвиток в цілому ряді інших робіт, зокрема, в

[6-8], передбачає відображення і обробку сигналу в фазовому просторі координат.

У цій статті пропонується модель породження циклічних сигналів і на основі цієї моделі досліджується новий метод відновлення еталона циклічного сигналу за викривленою реалізації, що спостерігається у фазовому просторі.

Постановка завдання. Нехай спостережуваний сигнал є результатом спотворення періодичного процесу випадковим збуренням , Де - Деяка функція. Назвемо еталонним циклом - Частина неспостережний функції на якому з її періодів . Ставиться завдання оцінити еталон з реалізації , Що спостерігається на відрізку .

Стохастична модель породження циклічних сигналів. Перш ніж переходити до вирішення поставленого завдання, розглянемо одну з можливих моделей породження за еталоном . Будемо вважати, що еталон може бути представлений у вигляді функції, кусково-заданої на інтервалі окремими фрагментами

(1)

вважаючи, що число таких фрагментів . Стосовно до ЕКГ такі фрагменти відповідають стадіям процесу збудження окремих ділянок серця - деполяризації передсердь (хвилі ), Порушення (комплексу ) І реполяризації (хвилі ) Шлуночків [1].

Уявімо спостережуваний сигнал у вигляді послідовності спотворених еталонів (1), припускаючи, що на кожному -Му циклі такій послідовності ( ) Окремі фрагменти еталона незалежно один від одного лінійно розтягуються (стискаються) за часом, а сама функція лінійно розтягується (стискується) по амплітуді. Іншими словами, передбачається, що процес породження -Го фрагмента ( ) Кожного -Го циклу ( ) Здійснюється на основі операторного перетворення

, (2)

де - Відповідно параметри лінійного розтягу (стиску) по амплітуді і часу, а - Зсув за часом. Для забезпечення безперервності породжуваного сигналу передбачається, що Остання вимога завжди можна забезпечити, виконавши попередню нормування еталона .

Нехай у межах кожного -Го циклу параметр приймає фіксоване значення

, (3)

де - Послідовність реалізацій незалежних випадкових величин, які з нульовим математичним очікуванням розподілені на інтервалі , Обмеженому фіксованим числом .

Припустимо також, що параметр приймає фіксоване значення в процесі породження кожного -Го фрагмента -Го циклу

, (4)

де - Послідовність реалізацій незалежних випадкових величин, які з нульовим математичним очікуванням розподілені на інтервалах , Обмеженими фіксованими числами .

При таких припущеннях тривалість -Го фрагмента -Го циклу сигналу пов'язана з тривалістю відповідного фрагмента еталона співвідношенням

.

Отже, загальна тривалість -Го циклу породжуваного сигналу визначається виразом

,

початку -Го циклу відповідає момент часу

,

а початку -Го фрагмента -Го циклу - момент часу

. (5)

Застосуємо до -Му фрагменту еталона операторний перетворення (2), поклавши параметр зсуву . Тоді з (2) з урахуванням співвідношень (3) - (5) випливає, що процес породження -Го фрагменту на -Му циклі можна представити у вигляді

, (6)

де

. (7)

Запропонована модель, яка описує нерівномірні за часом спотворення еталона , Більш придатна для опису реальних циклічних сигналів, зокрема ЕКГ, ніж її спрощений варіант

,

отриманий у припущенні, що фігурує в (7) випадковий параметр залежить тільки від номера циклу, але не залежить від номера фрагмента.

Неважко показати, що стохастична модель (6), (7) є прямим узагальненням відомих моделей суворо періодичного і майже періодичного процесів. Дійсно, поклавши в (7) , Модель (6) можна представити у вигляді співвідношення

,

яке описує майже періодичний процес [9], а при додатковому умови , Зводиться до моделі суворо періодичної функції .

Запропонована модель легко може бути узагальнена для опису процесу породження більш складних циклічних сигналів, зокрема, ЕКГ з мінливих морфологією окремих циклів (екстрасистолами) [10]. Для цього достатньо ввести у розгляд не один, а еталонів , І припустити, що кожен -Й цикл породжується шляхом аналогічних спотворень одного з цих еталонів, які обирають випадковим чином відповідно до ймовірностями .

Генератор циклічних послідовностей. Розглянемо досить простий алгоритм генерації дискретних циклічних послідовностей за еталонами. Нехай кожен з еталонів , ( ) Представлений кінцевим числом дискретних значень , Зафіксованих за постійним кроком квантування за часом. Задамо загальне число фрагментів кожного еталона та номери точок , Які визначають межі -Го і -Го фрагмента -Го еталона.

При таких вихідних даних процедура генерації циклічної послідовності зводиться до наступних кроків.

Крок 1. Задаємо загальне число циклів генерується послідовності.

Крок 2. Визначаємо число циклів, породжуваних -М еталоном, за формулою , Де тут і далі -Операція округлення до цілого числа .

Крок 3. Вибираємо номер еталона, що породжує -Й цикл ( ), За значенням реалізації целочисленной випадкової величини , Розподіленої на інтервалі [1, G] тобто = .

Крок 4. Якщо , То повторюємо крок 3.

Крок 5. Визначаємо число точок -Го фрагмента -Го циклу за формулою

,

де - Реалізація випадкової величини , Яка з нульовим математичним очікуванням розподілена на інтервалі .

Крок 6. За дискретним значенням -Го фрагмента -Го еталону в вузлах будь-яким з методів інтерполяції обчислюємо значення генерується послідовності в точках.

Крок 7. Модифікуємо кожне обчислене значення на основі мультиплікативної процедури , Де - Реалізація випадкової величини , Яка з нульовим математичним очікуванням розподілена на інтервалі .

Крок 8. Якщо , То повертаємося до кроку 5.

Крок 9. Надаємо .

Крок 10. Якщо , То повертаємося до кроку 3.

Результати моделювання підтверджують ефективність розглянутого алгоритму для імітації реальних циклічних сигналів (рис. 1).

Рис. 1. ЕКГ-сигнал, породжений моделлю (6): по одному еталону (а); за двома еталонами (б)

Метод оцінки еталона за викривленою реалізації. Нехай циклічний сигнал (6) представлений послідовністю дискретних значень, які спостерігаються протягом циклів. Припустимо, що для кожного -Го значення є оцінка похідної . Виконавши нормування

,

сформуємо безліч точок, що належать траєкторії спостережуваного сигналу в двовимірному нормованому фазовому просторі .

Нехай нам відомі номери точок , Відповідні початків

кожного -Го циклу (алгоритм визначення номерів в даній статті не розглядається). Тоді безліч можна розбити на підмножин нормованих векторів , Кінці яких лежать на фазових траєкторіях окремих циклів.

Будемо оцінювати відстань між будь-якими двома підмножинами і , Гаусдорфів метрикою [11]

, (8)

де - Евклідова відстань між точками і .

Назвемо опорним циклом підмножина векторів , Яке має мінімальну сумарну відстань (8) з іншими підмножинами

, (9)

і будемо оцінювати еталон (середній цикл) шляхом усереднення точок різних траєкторій, розташованих в околиці точок опорного циклу.

З цією метою проведемо селекцію траєкторій, що підлягають усереднення, визначивши

підмножина тих траєкторій, гаусдорфів відстань яких до опорної менше заданої величини , Тобто . Для поліпшення оцінки представимо опорний цикл і інші цикли послідовністю розширених векторів , Які, крім нормованих фазових координат , Містять додаткову компоненту . Величина обчислюється в кожній -Й точці -Й траєкторії за формулою

,

де - Номер першої точки -Й траєкторії, що складається з точок.

Введення додаткової компоненти дозволяє при усередненні точок оцінювати їх близькість не тільки з точки зору значень фазових координат , Але і з точки зору синхронності у часі. Для цього пропонується визначати евклідова відстань між розширеними векторами опорної траєкторії і розширеними векторами інших траєкторій , А для оцінки послідовності точок середнього циклу скористатися співвідношенням

, (10)

де - Точка, що лежить на -Тієї траєкторії (що не є опорною), яка знаходиться на мінімальному евклідовому відстані від точки опорної траєкторії :

.

Послідовність векторів , Обчислена згідно (10), дає оцінку неспостережний еталону в фазовому просторі, а відповідна послідовність - Оцінку еталонного циклу в тимчасовій області (рис. 2).

Рис.2. Ілюстрація до алгоритму оцінки еталона (на прикладі ЕКГ) фазові траєкторії (а); фрагменти траєкторій (б); еталонний цикл (в)

Модельний приклад. Нехай еталон має форму рівнобедреного трикутника (рис. 3 а), заданого двома фрагментами у вигляді лінійних функцій

. (11)

Припустимо, що ми спостерігаємо два цикли сигналу, породженого відповідно до моделі (6) за еталоном (11), причому на 1-му циклі параметри розтягування за часом взяли значення і , А на 2-му циклі - і . У результаті спостережуваний сигнал буде описувати функція

, (12)

графік якої показаний на рис. 3 б).

Сумісний спостережувані цикли на інтервалі (Рис. 3 в) і усереднивши їх в тимчасовій області. Легко бачити, що при цьому буде отримана оцінка (рис 3 г)

яка за формою не відповідає еталону (рис 3 а). У той же час, усереднення цих же циклів у фазовому просторі координат (рис. 3 д) з подальшим переходом у тимчасову область (рис. 3 е) дозволяє точно відновити еталон (11).

Рис.3. Ілюстрація до модельного Приміром

еталон (а); спостережуваний сигнал (б); суміщені в часі цикли (в); оцінка еталон при усередненні в тимчасовій області (г); фазова траєкторія (д); оцінка еталон при усередненні у фазовому просторі (е)

Практичні результати. Запропонований метод оцінки еталонного циклу знайшов практичне застосування при розробці нових комп'ютерних систем обробки ЕКГ у фазовому просторі [12-14]. Медичні випробування систем проводилися Українському НДІ кардіології імені Н.Д. Стражеско.

При випробуваннях було встановлено ряд нових діагностичних ознак ЕКГ у фазовому просторі, які дозволили діагностувати хворих на ревматоїдний артрит навіть у тих випадках, коли їх ЕКГ визнавалися незміненими при традиційному аналізі в тимчасовій області [12]. Запропонований метод дозволяє виявити тонкі зміни морфології циклів ЕКГ і тим самим підвищити чутливість та специфічність діагностики при масових донозологических опитуваннях населення. Він може бути використаний для оцінки функціонального стан операторів, що працюють в умовах підвищеного ризику (водії транспортних засобів, авіадиспетчери, пілоти і т.п.) [13], а також для вивчення впливу параметрів зовнішнього середовища на ЕКГ здорової людини [14].

Висновки. Запропоновано стохастична модель (6) процесу породження циклічних сигналів, яка є прямим узагальненням відомих у математиці моделей періодичної і майже періодичної функцій. Показано, що ця модель легко може бути узагальнена на випадок породження циклічних сигналів зі змінною морфологією окремих циклів.

Незважаючи на те, що запропонована модель заснована на лінійних операціях, яким піддаються фрагменти еталона (1), ця модель описує нерівномірні в часі спотворення окремих циклів спостережуваного сигналу, що характерно для багатьох реальних циклічних сигналів, зокрема ЕКГ.

Показано, що можна отримати прийнятну оцінку неспостережний еталону по реалізації циклічного сигналу на основі конструктивного алгоритму усереднення траєкторій окремих циклів у фазовому просторі координат з використанням хаусдорфовой метрики.

Використання запропонованого методу в комп'ютерних системах обробки ЕКГ дозволило підвищити чутливість та специфічність ЕКГ діагностики.

Список літератури

Kanjilal PP, Bhattacharya J., Saha G. Robust method for periodicity detection and characterisation of irregular cyclical series in terms of embedded periodic components / / Phys. Rev .- 1999 .- Vol. 59 .- P. 4013-4025.

Whittaker ET, Watson, GN Quasi-Periodic Functions / / A Course in Modern Analysis. - Cambridge (England): Cambridge University Press, 1990 - P. 445-447.

Беркутів А.М., Гуржін С.Г., Дунаєв А.А., Прошин Є.М. Підвищення ефективності реєстрації форми електрокардіосігнала кореляційної обробкою у цифровій осциллографии / / Біомедичні технології та радіоелектроніка. - 2002, № 7 .- С. 4-13.

Валужіс А.К., Рашімас А.П. Статистичний алгоритм структурного аналізу електрокардіосігнала. - Кібернетика. - 1979, № 3 .- С. 91-95.

Амосов Н.М., Агапов Б.Т., Панічкін Ю.В. Дослідження скоротливої ​​функції міокарда методом фазових координат / / Докалади АН СРСР .- 1972, т. 202 .- № 1 .- С. 245-247.

Фрумін Л.Л., Штарк М.Б. Про фазовому портреті електрокардіограми / / Автометрія. - 1993, № 2 .- С. 51-54.

Fainzilberg LS Potapova TP Computer Analysis and Recognition of Cognitive Phase Space Electro-Сardio Graphic Image / / Proc. of 6 th Internnational Conf. On Computer analysis of Images and Patterns (CAIP'95) .- Prague (Czech Republic) .- 1995. - P. 668-673.

Fainzilberg LS Heart Functional State Diagnostic Using Pattern Recognition of Phase Space ECG-Images .- Proceeding of The 6th European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT '98, Aachen, Germany, September 7 - 10, 1998) .- Nr: B -27, Vol. 3 .- P. 1878-1882.

Лапа В.Г. Математичні основи кiбернетики. - К.: Вища школа, 1974 .- 452 с.

Мурашко В.В., Струтинський О.В. Електрокардіографія .- М.: Медицина, 1991 .- 288 с.

Скворцов В.А. Приклади метричних просторів. - М.: МЦНМО, 2002 .- 24 с.

Файнзільберг Л.С., Клубова А.Ф., Стаднюк Л.А., Чайковський І.А., Лерхе Дітмар. Новий метод аналізу ЕКГ хворих на ревматоїдний артрит / / Український ревматологічний журнал, 2001, № 2, с.48-51.

Файнзільберг Л.С. Інформаційна технологія для діагностики функціонального стану оператора / / УСиМ. - 1998, - № 4. - С. 40-45.

Вишневський В.В., Рагульская М.В., Файнзільберг Л.С. Вплив сонячної активності на морфологічні параметри ЕКГ серця здорової людини / / Біомедичні технології та радіоелектроніка, 2003, № 3. - C. 3-12.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.sciteclibrary.ru/